命题逻辑等值演算
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第二章 命题逻辑等值演算
等值式 析取范式与合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法 知 识 点：等值式、置换规则、等值演算、(主)析取范式、(主)合取范
式、联结词完备集、其它联结词、可满足性问题、消解法 教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念 教学重点：等值演算、(主)析取范式、(主)合取范式 学时: 4
例6 用等值演算法判断公式的类型
(1) ( p→q) ∧p → q
(2) ┐( p→(p∨q ) ) ∧r
(3) p∧(((p∨q)∧p ) → q )
2020年3月31日3时11分
®
§2.2 析取范式与合取范式
一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 范式存在定理:
p
q
F
r
当且仅当 p、q、r 的输入为 0,0,1 或 1,0,0 或 0,1,1 或 1,1,0 时输出 F 为 1
2020年3月31日3时11分
®
§2.4 可满足性问题与消解法
命题公式的可满足性问题是算法理论的核心问题之一
解决方法: 真值表法、主析取范式或主合取范式 缺点: 计算量大 新方法: 消解法 命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题
矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n（n为公式中命题变项 个数）个极大项
而重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项 重言式的主合取范式记为1。矛盾式的主析取范式为0 可满足式的主析取范式中至少含有一个极小项,主合取范式中极大项的个
数一定小于2n
2020年3月31日3时11分
®
例1 判断下列公式是否是可满足式
p ∧ (p∨q) ∧ ( p∨┐q) ∧ (q∨┐r) ∧ (q∨r)
2020年3月31日3时11分
®
§2.4 可满足性问题与消解法
消解法
永真式可以从合取范式中消去
不含任何文字的简单析取式为空简单析取式,规定它是不可满足的
含有空简单析取式的合取范式是不可满足的
®
§2.1 等值式
例1 用等值演算法验证等值式
(p∨q)→ r ⇔ (p→r) ∧(q →r )
证： (p→r) ∧( q → r )
⇔ (┐p∨r)∧ (┐q∨ r )
(蕴涵等值式,替换规则)
⇔ (┐p ∧┐q) ∨r
(分配律)
⇔ ┐(p ∨q) ∨r
(德摩根律)
⇔ (p∨q)→ r
(蕴涵等值式)
§2.3 联结词完备集
例2：某电路中有一个灯泡和三个开关A，B，C。已知在且仅在下述 四种情况下灯亮：
(1)C的扳键向上，A,B的扳键向下
(2)A的扳键向上，B,C的扳键向下
(3)B,C的扳键向上，A的扳键向下
(4)A,B的扳键向上，C的扳键向
设F为1表示灯亮，p,q,r分别表示A,B,C的扳键向上
结合律 (A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)
分配律 A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律） A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
德摩根律 ┐(A∨B) ⇔ ┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔ ┐A∨┐B
吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A ，
定理2.8 C1∧C2 ≈Res(C1,C2) 定理2.10 (消解的完全性)如果合取范式S是不可满足的,则S有否证
31日3时11分
®
等价否定等值式 A↔B ⇔ ┐A ↔ ┐B
归谬论
(A→B)∧(A → ┐B) ⇔ ┐A
代入实例：例如在蕴涵等值式中
1. 取A=p, B=q时，得到等值式 p→q ⇔ ┐p∨q
2. 取A=p→q , B= ┐p时，得到等值式
(p →q) → ┐p ⇔ ┐ (p →q) ∨ ┐ p
2020年3月31日3时11分
(a)用命题公式构造F
(b)在联结词完备集{┐,∧}上构造F
(c)在联结词完备集{┐, →, ↔}上构造F
解：
F=(┐p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧q∧┐r)
(b)(c)留作课后练习
2020年3月31日3时11分
®
§2.3 联结词完备集
F=(┐p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧q∧┐r)
设l 是一个文字,
l
c
p p
称作文字l 的补
,若l p ,若l p
定义2.9 设C1,C2是两个简单析取式,C1含文字l , C2含文字lc . 从C1中 删去l ,从C2中删去lc ,然后再将所得到的结果析取成一个简单析取式, 称这样得到的简单析取式为C1,C2的消解式或消解结果,记为
Res(C1,C2)
任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式 求范式可使用如下步骤:
1.消去联结词 → , ↔ 2.否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利用德摩根） 3.利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式
利用∨对∧的分配律求合取范式
2020年3月31日3时11分
®
§2.2 析取范式与合取范式
p,q,r形成的极小项与极大项
2020年3月31日3时11分
§2.1 等值式
定义2.1 设A,B是两个命题公式,若A,B构成的等价式 AB 为重言式,则称A与B是等值的,记为A B
16组(24个)重要的等值式
双重否定律 A ⇔ ┐┐A
幂等律
A ⇔ A∨A , A ⇔ A∧A
交换律
A∨B ⇔ B∨A ，A∧B ⇔ B∧A
设mi与Mi是命题变项 p1,p2,…,pn 形成的极小项和大项 ， 则 ┐mi ⇔ Mi ，┐Mi ⇔ mi
2020年3月31日3时11分
®
§2.2 析取范式与合取范式
任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式 并且是唯一的。
注意：
由公式的主析取范式求主合取范式 反之，也可以由公式的主合取范式确定主析取范式
A∧(A∨B) ⇔ A
零律
A∨1 ⇔ 1 , A∧0 ⇔ 0
2020年3月31日3时11分
®
§2.1 等值式
同一律
A∨0 ⇔A ， A∧1 ⇔ A
排中律
A∨┐A ⇔ 1
矛盾律
A∧┐A ⇔ 0
蕴涵等值式
A→B ⇔ ┐A∨B
等价等值式 (A ↔ B) ⇔ (A→B)∧(B→A)
假言易位
A→B ⇔ ┐B → ┐A
等值式 析取范式与合取范式 联结词完备集 可满足性问题与消解法 知 识 点：等值式、置换规则、等值演算、(主)析取范式、(主)合取范
式、联结词完备集、其它联结词、可满足性问题、消解法 教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念 教学重点：等值演算、(主)析取范式、(主)合取范式 学时: 4
例6 用等值演算法判断公式的类型
(1) ( p→q) ∧p → q
(2) ┐( p→(p∨q ) ) ∧r
(3) p∧(((p∨q)∧p ) → q )
2020年3月31日3时11分
®
§2.2 析取范式与合取范式
一个析取范式是矛盾式当且仅当它的每个简单合取式都是矛盾式 一个合取范式是重言式当且仅当它的每个简单析取式都是重言式 范式存在定理:
p
q
F
r
当且仅当 p、q、r 的输入为 0,0,1 或 1,0,0 或 0,1,1 或 1,1,0 时输出 F 为 1
2020年3月31日3时11分
®
§2.4 可满足性问题与消解法
命题公式的可满足性问题是算法理论的核心问题之一
解决方法: 真值表法、主析取范式或主合取范式 缺点: 计算量大 新方法: 消解法 命题公式的可满足性问题可以归结为合取范式的可满足性问题
矛盾式无成真赋值，因而矛盾式的主合取范式含2n（n为公式中命题变项 个数）个极大项
而重言式无成假赋值，因而主合取范式不含任何极大项 重言式的主合取范式记为1。矛盾式的主析取范式为0 可满足式的主析取范式中至少含有一个极小项,主合取范式中极大项的个
数一定小于2n
2020年3月31日3时11分
®
例1 判断下列公式是否是可满足式
p ∧ (p∨q) ∧ ( p∨┐q) ∧ (q∨┐r) ∧ (q∨r)
2020年3月31日3时11分
®
§2.4 可满足性问题与消解法
消解法
永真式可以从合取范式中消去
不含任何文字的简单析取式为空简单析取式,规定它是不可满足的
含有空简单析取式的合取范式是不可满足的
®
§2.1 等值式
例1 用等值演算法验证等值式
(p∨q)→ r ⇔ (p→r) ∧(q →r )
证： (p→r) ∧( q → r )
⇔ (┐p∨r)∧ (┐q∨ r )
(蕴涵等值式,替换规则)
⇔ (┐p ∧┐q) ∨r
(分配律)
⇔ ┐(p ∨q) ∨r
(德摩根律)
⇔ (p∨q)→ r
(蕴涵等值式)
§2.3 联结词完备集
例2：某电路中有一个灯泡和三个开关A，B，C。已知在且仅在下述 四种情况下灯亮：
(1)C的扳键向上，A,B的扳键向下
(2)A的扳键向上，B,C的扳键向下
(3)B,C的扳键向上，A的扳键向下
(4)A,B的扳键向上，C的扳键向
设F为1表示灯亮，p,q,r分别表示A,B,C的扳键向上
结合律 (A∨B)∨C ⇔ A∨(B∨C) (A∧B)∧C ⇔ A∧(B∧C)
分配律 A∨(B∧C) ⇔ (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律） A∧(B∨C) ⇔ (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
德摩根律 ┐(A∨B) ⇔ ┐A∧┐B ┐(A∧B) ⇔ ┐A∨┐B
吸收律 A∨(A∧B) ⇔ A ，
定理2.8 C1∧C2 ≈Res(C1,C2) 定理2.10 (消解的完全性)如果合取范式S是不可满足的,则S有否证
31日3时11分
®
等价否定等值式 A↔B ⇔ ┐A ↔ ┐B
归谬论
(A→B)∧(A → ┐B) ⇔ ┐A
代入实例：例如在蕴涵等值式中
1. 取A=p, B=q时，得到等值式 p→q ⇔ ┐p∨q
2. 取A=p→q , B= ┐p时，得到等值式
(p →q) → ┐p ⇔ ┐ (p →q) ∨ ┐ p
2020年3月31日3时11分
(a)用命题公式构造F
(b)在联结词完备集{┐,∧}上构造F
(c)在联结词完备集{┐, →, ↔}上构造F
解：
F=(┐p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧q∧┐r)
(b)(c)留作课后练习
2020年3月31日3时11分
®
§2.3 联结词完备集
F=(┐p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(┐p∧q∧r) ∨(p∧q∧┐r)
设l 是一个文字,
l
c
p p
称作文字l 的补
,若l p ,若l p
定义2.9 设C1,C2是两个简单析取式,C1含文字l , C2含文字lc . 从C1中 删去l ,从C2中删去lc ,然后再将所得到的结果析取成一个简单析取式, 称这样得到的简单析取式为C1,C2的消解式或消解结果,记为
Res(C1,C2)
任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式 求范式可使用如下步骤:
1.消去联结词 → , ↔ 2.否定号的消去（利用双重否定律）或内移（利用德摩根） 3.利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式
利用∨对∧的分配律求合取范式
2020年3月31日3时11分
®
§2.2 析取范式与合取范式
p,q,r形成的极小项与极大项
2020年3月31日3时11分
§2.1 等值式
定义2.1 设A,B是两个命题公式,若A,B构成的等价式 AB 为重言式,则称A与B是等值的,记为A B
16组(24个)重要的等值式
双重否定律 A ⇔ ┐┐A
幂等律
A ⇔ A∨A , A ⇔ A∧A
交换律
A∨B ⇔ B∨A ，A∧B ⇔ B∧A
设mi与Mi是命题变项 p1,p2,…,pn 形成的极小项和大项 ， 则 ┐mi ⇔ Mi ，┐Mi ⇔ mi
2020年3月31日3时11分
®
§2.2 析取范式与合取范式
任何命题公式都存在与之等值的主析取范式和主合取范式 并且是唯一的。
注意：
由公式的主析取范式求主合取范式 反之，也可以由公式的主合取范式确定主析取范式
A∧(A∨B) ⇔ A
零律
A∨1 ⇔ 1 , A∧0 ⇔ 0
2020年3月31日3时11分
®
§2.1 等值式
同一律
A∨0 ⇔A ， A∧1 ⇔ A
排中律
A∨┐A ⇔ 1
矛盾律
A∧┐A ⇔ 0
蕴涵等值式
A→B ⇔ ┐A∨B
等价等值式 (A ↔ B) ⇔ (A→B)∧(B→A)
假言易位
A→B ⇔ ┐B → ┐A