高考小题分项练 13

高考小题分项练13 推理与证明1．一个数列的第2项到第4项分别是3，15，21，据此可以猜想这个数列的第一项是________． 答案3解析 ∵a 2＝9＝6×2－3， a 3＝15＝6×3－3， a 4＝21＝6×4－3， ∴猜想a 1＝6×1－3＝ 3.2．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________． 答案 f (2n )≥2＋n2解析 观察f (n )中n 的规律为2k ，k ＝1,2，…， 不等式右侧分别为2＋k2，k ＝1,2，…，∴f (2n )≥2＋n2(n ≥2，n ∈N *)．3．由两种花色组成的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是________．答案 31解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第6个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.4．已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14，cos π7cos 2π7cos 3π7＝18，…，根据这些结果，猜想出的一般结论是________．答案 cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n解析 由特殊到一般发现规律，左边角的规律是cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1，等式右边数的规律是12n .5．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第五个等式为________．答案 13＋23＋33＋43＋53＋63＝212解析 ∵所给等式左边的底数依次分别为1,2；1,2,3；1,2,3,4；…，右边的底数依次分别为3,6,10，…(注意：1＋2＝3,1＋2＋3＝6,1＋2＋3＋4＝10)，∴由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1,2,3,4,5,6，右边的底数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为13＋23＋33＋43＋53＋63＝212. 6．古希腊数学家把数1,3,6,10,15,21，…叫做三角数，它有一定的规律性，第30个三角数与第28个三角数的差为________． 答案 59解析 方法一 记这一系列三角数构成数列{a n }，则由a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，归纳猜测a 30－a 29＝30，a 29－a 28＝29，两式相加得a 30－a 28＝59. 方法二 由a 1＝1，a 2＝1＋2，a 3＝1＋2＋3，猜测a n ＝1＋2＋…＋n .7．已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，则经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.类比上述性质，可以得到椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)类似的性质为________．答案 经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1解析 已知圆的性质中，经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程，就是将圆的方程中的一个x 与y 分别用点M (x 0，y 0)的横坐标与纵坐标替换的结果．经类比猜想，即可得椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b＞0)类似的性质为：经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.8．如图(甲)是某会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案n解析根据OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1和图(乙)中的各直角三角形，可得a1＝OA1＝1，a2＝OA2＝OA21＋A1A22＝12＋12＝2，a3＝OA3＝OA22＋A2A23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测a n＝n.9．设函数f(x)＝xx＋2(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f(f1(x))＝x3x＋4，f3(x)＝f(f2(x))＝x7x＋8，f4(x)＝f(f3(x))＝x15x＋16，…，根据以上各式，由归纳推理，可得当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.答案x(2n－1)x＋2n解析观察知，四个等式等号右边的分母为x＋2,3x＋4，7x＋8,15x＋16，即(21－1)x＋21，(22－1)x＋22，(23－1)x＋23，(24－1)x＋24，所以归纳出f n(x)＝f(f n－1(x))的分母为(2n－1)x＋2n，故当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝x(2n－1)x＋2n.10．通过计算可得下列等式：22－12＝2×1＋1，32－22＝2×2＋1，42－32＝2×3＋1，…，(n＋1)2－n2＝2×n＋1.将以上各式分别相加，得(n ＋1)2－12＝2×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ，即1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 类比上述求法：求出12＋22＋32＋…＋n 2的值为________________． 答案 16n (n ＋1)(2n ＋1)解析 23－13＝3×12＋3×1＋1， 33－23＝3×22＋3×2＋1， 43－33＝3×32＋3×3＋1， …，(n ＋1)3－n 3＝3×n 2＋3×n ＋1.以上各式分别相加，得(n ＋1)3－13＝3×(12＋22＋32＋…＋n 2)＋3×(1＋2＋3＋…＋n )＋n ， 所以12＋22＋32＋…＋n 2 ＝13⎣⎡⎦⎤(n ＋1)3－1－n －3×1＋n 2×n ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)． 11．已知当x ∈(1，＋∞)时函数f (x )恒有f (3x )＝3f (x )成立，且当x ∈(1,3)时，f (x )＝3－x ，记f (3n ＋1)＝k n ，则∑i ＝1nk i ＝________.答案 3n ＋1－n －3解析 k 1＝f (3＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫3×43＝3f ⎝⎛⎭⎫43＝3⎝⎛⎭⎫3－43； k 2＝f (32＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫32×32＋132＝32×⎝⎛⎭⎫3－32＋132；…，k n ＝3n⎝⎛⎭⎫3－3n＋13n ＝3n ＋1－3n －1＝2·3n －1，∴∑i ＝1nk i ＝2(3＋32＋…＋3n )－n＝2×3(3n －1)3－1－n ＝3n ＋1－n －3.12．计算x 2＋8x 2＋4的最值时，我们可以将x 2＋8x 2＋4化成x 2＋4＋4x 2＋4＝(x 2＋4)2＋4x 2＋4，再将分式分解成x 2＋4＋4x 2＋4，然后利用基本不等式求最值；借此，计算使得x 2＋1＋c x 2＋c ≥1＋c c 对一切实数x 都成立的正实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 x 2＋1＋c x 2＋c ≥1＋c c 等价于x 2＋c ＋1x 2＋c ≥c ＋1c ，换元等价于t ＋1t ≥c ＋1c ，其中t＝x 2＋c (t ≥c )，再构造函数f (t )＝t ＋1t ，转化为f (t )≥f (c )，根据对号函数性质，从而c ≥1，c ≥1.13．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为斜边上的高．Rt △ABC 的外接圆，Rt △ACD 的外接圆和Rt △CBD 的外接圆半径分别为R ，R 1，R 2，则有R 21＋R 22＝R 2；类似，Rt △ABC 的内切圆，Rt △ACD 的内切圆和Rt △CBD 的内切圆半径r ，r 1，r 2满足的关系式为____________．答案 r 21＋r 22＝r 2解析 在Rt △ABC 中，记AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，由r 为Rt △ABC 的内切圆半径可知，r ＝AC ＋BC －AB 2＝c cos A ＋c sin A －c 2＝c 2(cos A ＋sin A－1)，同理r 1＝AD ＋DC －AC 2＝b2(cos A ＋sin A －1)，r 2＝BD ＋DC －BC 2＝a2(cos A ＋sin A －1)．所以r 1r ＝b c ，r 2r ＝a c，由勾股定理可得r 21＋r 22＝r 2.14．如图，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，点P 是椭圆上除长轴上两个顶点外的任意一点，则 PF 1sin ∠PF 2F 1＝PF 2sin ∠PF 1F 2＝F 1F 2sin (∠PF 2F 1＋∠PF 1F 2)⇒PF 1＋PF 2sin ∠PF 2F 1＋sin ∠PF 1F 2＝F 1F 2sin (∠PF 2F 1＋∠PF 1F 2)，于是椭圆的离心率e ＝c a ＝sin (∠PF 2F 1＋∠PF 1F 2)sin ∠PF 2F 1＋sin ∠PF 1F 2.如果设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，点P 是该双曲线上除顶点外的任一点，类比上述过程和结论，得到双曲线的离心率e ＝____________________________. 答案sin (∠PF 2F 1＋∠PF 1F 2)|sin ∠PF 2F 1－sin ∠PF 1F 2|解析 类似于椭圆，若P 点在双曲线的左支上，有 PF 2sin ∠PF 1F 2＝PF 1sin ∠PF 2F 1＝F 1F 2sin ∠F 1PF 2⇒PF 2－PF 1sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1＝F 1F 2sin ∠F 1PF 2.∴e ＝c a ＝2c 2a ＝F 1F 2PF 2－PF 1＝sin ∠F 1PF 2sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1＝sin (π－∠F 1PF 2)sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1＝sin (∠PF 2F 1＋∠PF 1F 2)sin ∠PF 1F 2－sin ∠PF 2F 1；若P 点在双曲线的右支上时，类似可得 e ＝c a ＝sin (∠PF 2F 1＋∠PF 1F 2)sin ∠PF 2F 1－sin ∠PF 1F 2. 综合得e ＝sin (∠PF 2F 1＋∠PF 1F 2)|sin ∠PF 2F 1－sin ∠PF 1F 2|.。