【挑战高考】2019高考数学总复习轻松突破提分训练 7-1 文新人教A版

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【挑战高考】2014高考数学总复习轻松突破提分训练3-3文新人教A版

《挑战高考》2014高考数学总复习（人教A 文）轻松突破提分训练试题：3-3[命题报告·教师用书独具]1．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b2的值为( )A ．0 B.22C ．1D ．－1解析：因为由题易知[a ，b ]＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，所以cos a ＋b 2＝cos2k π＝1.答案：C2．(2013年蓬莱模拟)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的交点的横坐标为x 1，x 2，若|x 1－x 2|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4解析：y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数且0<θ<π，则y ＝2cos ωx ，θ＝π2，所以y ＝2cos ωx ，y ∈[－2,2]．故y ＝2与y ＝2cos ωx 的交点为最高点，于是最小正周期为π.所以2πω＝π，所以ω＝2，故选A.答案：A3．(2013年惠州模拟)函数y ＝log 12(cos x )的一个单调递减区间是( )A ．(－π，0)B ．(0，π)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0解析：由题易知cos x >0，当函数μ＝cos x 为增函数时，函数y ＝log 12(cos x )为减函数，则函数y ＝log 12(cos x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋2k π，2k π(k ∈Z )，结合选项可知选D.答案：D4．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为( ) A ．π B.2π C.3πD ．2π解析：本题是三角函数的最值问题．两函数的图象如图所示，则图中|MN |最小，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＝π4，x 2＝54π，|x 1－x 2|＝π，|y 1－y 2|＝|πsin x 1－πcos x 2|＝22π＋22π＝2π， ∴|MN |＝ π2＋2π2＝ 3π.选C.答案：C5．(2013年北京海淀模拟)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin x ，那么下列命题中是假命题的是( )A ．f (x )既不是奇函数也不是偶函数B ．f (x )在[－π，0]上恰有一个零点C ．f (x )是周期函数D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，56π上是增函数解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1，即f (－x )≠f (x )， ∴f (x )不是偶函数．∵x ∈R ，f (0)＝1≠0，∴f (x )不是奇函数，故A 为真命题；令f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝0，则sin 2x －sin x －1＝0，解得sin x ＝1±52，当x ∈[－π，0]时，sin x ＝1－52，由正弦函数图象可知函数f (x )在[－π，0]上有两个零点，故B 为假命题；∵f (x )＝f (x ＋2π)，∴T ＝2π，故函数f (x )为周期函数，C 为真命题；∵f ′(x )＝2cos x ·(－sin x )＋cos x ＝cos x ·(1－2sin x )，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，5π6时，cosx <0，12<sin x <1，∴f ′(x )＝cos x ·(1－2sin x )>0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，56π上是增函数，D 为真命题．故选B. 答案：B 二、填空题 6．已知f (n )＝sinn π3(n ∈N *)，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝________.解析：由题意知f (1)＝sin π3＝32，f (2)＝sin 2π3＝32，f (3)＝sin π＝0，f (4)＝sin4π3＝－32，f (5)＝sin 5π3＝－32，f (6)＝sin 2π＝0，f (7)＝sin 7π3＝sin π3＝32…由此可得函数f (n )的周期T ＝6，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝335×[f (1)＋f (2)＋…＋f (6)]＋f (2 011)＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＝ 3.答案： 37．函数f (x )＝sin πx ＋cos πx ＋|sin πx －cos πx |对任意的x ∈R 都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 2－x 1|的最小值为________．解析：依题意得，当sin πx ≥cos πx 时，f (x )＝2sin πx ；当sin πx <cos πx 时，f (x )＝2cos πx .由已知可知f (x 1)，f (x 2)分别是函数f (x )的最小值与最大值，结合函数y ＝f (x )的图象可知，|x 2－x 1|的最小值是34.答案：348．已知直线y ＝b (b >0)与曲线f (x )＝sin x 在y 轴右侧依次的三个交点的横坐标x 1，x 2，x 3成等比数列，则b 的值为________．解析：依题意得，x 2＝π－x 1，x 3＝2π＋x 1，∵x 22＝x 3x 1，∴(π－x 1)2＝x 1·(2π＋x 1)，解得x 1＝π4，∴b ＝sin π4＝22.答案：229．(2013年苏州模拟)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 的图象，若在区间[0，t ]上至少有两个波峰(图象的最高点)，则正数t 的最小值是________．解析：设函数的周期为T ，则由题意知54T ≤t ，即54×2ππ2≤t ，解得t ≥5.答案：5 三、解答题10．函数f (x )＝cos x ＋2|cos x |在[0,2π]上与直线y ＝m 有且仅有2个交点，求m 的取值范围．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π，2π，－cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，32π，如图：由图可知：当m ＝0或1<m ≤3时，直线y ＝m 与f (x )的图象有且仅有2个交点． 11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解析：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝±1.∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π4，k ∈Z .又∵－π<φ<0，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4，由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z .∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z .12．(能力提升)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π(1)求f (x )的零点；(2)求f (x )的最大值和最小值．解析：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0，所以sin x ＝0或tan x ＝－33. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，得x ＝π；由tan x ＝－33，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，得x ＝5π6. 综上，函数f (x )的零点为5π6或π.(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3.所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2时，f (x )的最大值为3；当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32.[因材施教·学生备选练习]1．已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )A ．－32B ．－62C. 3 D ．－ 3解析：因为函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)是奇函数，所以f (0)＝A cos φ＝0，解得φ＝π2.因为△EFG 是边长为2的等边三角形，所以A ＝2×32＝3，T2＝2，即T ＝4，所以ω＝2π4＝π2，所以f (x )＝－3sin π2x ，故f (1)＝－3sin π2＝－ 3. 答案：D2．(2013年郑州模拟)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π解析：注意到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos 2(x ＋π4)＝1＋sin 2x ，又函数y ＝1＋sin 2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin 2x 的图象(如图所示)可知，|P 1P 5→|＝2π，选B.答案：B3．(2013年保定摸底)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上随机取一个数x ，则使得tan x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3的概率为( )A.13 B.2πC.12D.23解析：区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2的长度为π，当tan x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，3时，x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，区间长度为π2，故由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为12.答案：C。

高考数学基础知识专题提升训练7--- 集合的概念

高考数学基础知识专题提升训练集合的概念课程标准学科素养1．通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系．2．针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.通过对集合概念的学习，提升“数学抽象”、“逻辑推理”的核心素养.[对应学生用书P1]知识点1 集合相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．(3)集合相等：构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．[微思考](1)本班所有的“帅哥”能否构成一个集合？(2)一个集合中可以有相同的元素吗？提示：(1)某班所有的“帅哥”不能构成集合，因为“帅哥”没有明确的标准．(2)根据集合元素的互异性可知，集合中不能有相同的元素．知识点2 元素与集合的关系及常用数集(1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(2)数学中一些常用的数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R [微体验]1．设集合A只含有一个元素a，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A答案C2．用符号“∈”或“∉”填空．(1)1________N*；(2)－3________N；(3)13________Q；(4)π________Q；(5)－12________R.答案(1)∈(2)∉(3)∈(4)∉(5)∈知识点3 集合的表示方法(1)把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.(2)一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法.[微体验]1．思考辨析(1)由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}．( )(2)集合{(1,2)}中的元素是1和2.( )(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．( )答案(1)×(2)×(3)√2．方程x2＝4的解集用列举法表示为( )A．{(－2,2)} B．{－2,2}C．{－2} D．{2}B[由x2＝4得x＝±2，故用列举法可表示为{－2,2}．]3．集合A＝{x∈Z|－2＜x＜3}的元素个数为( )A．1 B．2C．3 D．4D[因为A＝{x∈Z|－2＜x＜3}，所以x的取值为－1，0,1,2，共4个．]][对应学生用书P2探究一集合的基本概念考察下列每组对象，能构成集合的是( )①中国各地最美的乡村；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的自然数；④2020年第32届奥运会所设比赛项目．A．③④B．②③④C．②③D．②④B[①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合．][方法总结]判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性．如果该组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[跟踪训练1] 考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某校2016年在校的所有高个子同学；(4)3的近似值的全体．解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数，如“2”，是不是它的近似值，所以不能构成集合．探究二元素与集合之间的关系(1)下列所给关系中正确的个数是( )①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4(2)已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为( )A．2 B．2或4C．4 D．0(1)B[根据各数集的意义可知，①②正确，③④错误．](2)B[集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A，6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B．] [方法总结]判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：①使用前提：集合中的元素是直接给出的．②判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可．(2)推理法：①使用前提：对于某些不便直接表示的集合．②判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．[跟踪训练2] (1)已知集合A中元素满足2x＋a＞0，a∈R，若1∉A,2∈A，则( )A ．a ＞－4B ．a ≤－2C ．－4＜a ＜－2D ．－4＜a ≤－2 D [由题意可知⎩⎨⎧ 2×1＋a ≤0，2×2＋a ＞0，解得－4＜a ≤－2.](2)设集合D 是满足方程y ＝x 2的有序数对(x ，y )的集合，则－1____D ，(－1,1)____D . 解析因为集合D 中的元素是有序数对(x ，y )，而－1是数，所以－1∉D ，(－1,1)∈D . 答案∉∈探究三列举法表示集合用列举法表示下列给定的集合．(1)不大于10的非负偶数组成的集合A ；(2)小于8的质数组成的集合B ；(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根组成的集合C ；(4)一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的图象的交点组成的集合D .解(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以A ＝{0,2,4,6,8,10}．(2)小于8的质数有2,3,5,7，所以B ＝{2,3,5,7}．(3)方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32，所以C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，32. (4)由⎩⎨⎧ y ＝x ＋3，y ＝－2x ＋6，得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝4.所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1,4)，所以D ＝{(1,4)}．[方法总结]列举法表示集合的步骤(1)分清元素：列举法表示集合，要分清是数集还是点集．(2)书写集合：列元素时要做到不重复、不遗漏．提醒：二元方程组的解集，函数的图象上的点形成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开，如{(2,3)，(5，－1)}．[跟踪训练3] 用列举法表示下列集合．(1)由book 中的字母组成的集合；(2)方程(x －2)2＋|y ＋1|＝0的解集．解(1)由book 中的字母组成的集合为{b ，o ，k }．(2)由方程(x －2)2＋|y ＋1|＝0可知，⎩⎨⎧ x －2＝0，y ＋1＝0，即⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－1.从而方程的解集为{(2，－1)}．探究四描述法表示集合用描述法表示下列集合．(1)所有正偶数组成的集合；(2)不等式3x －2＞4的解集；(3)在平面直角坐标系中，第一、三象限内点的集合．解(1)正偶数都能被2整除，所以正偶数可以表示为x ＝2n ，(n ∈N *)的形式．于是这个集合可以表示为{x |x ＝2n ，n ∈N *}．(2)由3x －2＞4，得x ＞2，故不等式的解集为{x |x ＞2}．(3)第一、三象限中的点(x ，y )满足xy ＞0，于是这个集合可以表示为{(x ，y )|xy ＞0}．[变式探究] 若将本例(3)改为“坐标平面内坐标轴上的点组成的集合”，如何用描述法表示？解坐标平面内，x轴上的点纵坐标为0，横坐标为任意实数；y轴上的点横坐标为0，纵坐标为任意实数．故坐标轴上的点满足xy＝0.用集合表示为{(x，y)|xy＝0}．[方法技巧]描述法表示集合的步骤(1)确定集合中元素的特征．(2)给出其满足的性质．(3)根据描述法的形式写出其满足的集合.[跟踪训练4] 用适当的方法表示下列集合．(1)由大于5，且小于9的所有正整数组成的集合；(2)使y＝2－xx有意义的实数x的集合；(3)抛物线y＝x2－2x与x轴的公共点的集合；(4)直线y＝x上去掉原点的点的集合．解(1)列举法：{6,7,8}．(2)描述法：{x|x≤2，且x≠0，x∈R}．(3)列举法：{(0,0)，(2,0)}．(4)描述法：{(x，y)|y＝x，x≠0}．[对应学生用书P4]1．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合就确定了．这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c 组成的集合是相等的集合．这个性质通常用来判断两个集合的关系．2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3．在用列举法表示集合时应注意(1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示有限集，也可以表示无限集．若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．4．在用描述法表示集合时应注意(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式；(2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．课时作业(一) 集合的概念[见课时作业(一)P]1351．下面有四个语句：①集合N*中最小的数是0；②－a∉N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；④x2＋1＝2x的解集中含有两个元素．其中正确语句的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3A[N*是不含0的自然数，所以①错误；取a＝2，则－2∉N，2∉N，所以②错误；对于③，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值0，而不是2，所以③错误；对于④，解集中只含有元素1，故④错误．]2．如果A＝{x|x＞－1}，那么( )A．－2∈A B．{0}∈AC．－3∈A D．0∈AD[∵0＞－1，故0∈A.]3．集合A＝{x||x|＜2，x∈Z}用列举法表示正确的是( )A．{－2，－1,0,1,2} B．{－2，－1,1,2}C．{－1,0,1} D．{－1,1}C[因为|x|＜2，x∈Z，所以－2＜x＜2，故用列举法表示为{－1,0,1}．]4．(多选题)下列集合中表示数集的是( )A．{0} B．{y|y2＝0}C．{x|x＝0} D．{x＝0}ABC[A，B，C中的元素都是数，且只有一个元素0，D中的元素是式子x＝0.故D不是数集，A，B，C是数集．]5．P (1,3)和集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}之间的关系是________．解析集合A 是点集，P (1,3)的坐标满足集合A ，所以P ∈A .答案P ∈A6．用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋|y －3|＝0，x ∈R ，y ∈R }＝________. 解析(x ＋2)2＋|y －3|＝0，只有x ＋2＝0与y －3＝0同时成立，即x ＝－2，y ＝3.集合A ＝{(－2,3)}．答案{(－2,3)}7．集合B ＝{1,3,4}，若a ∈B ，且8－a ∈B ，那么a 的值为________．解析当a ＝1时，8－a ＝7∉B 不满足题意．当a ＝3时，8－a ＝5∉B 不满足题意．当a ＝4时，8－a ＝4满足题意．所以a 的值为4.答案48．若两个集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1，a ，b a ，B ＝{0，a 2，a ＋b }的元素相同，求a ＋b 的值．解依题意0∈A ，所以b ＝0.所以B ＝{0，a 2，a }，又1∈B ，且a ≠1.所以a 2＝1，所以a ＝－1，所以a ＋b ＝－1.9．用另一种方法表示下列集合．(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x |x ＝|x |，x ＜5，且x ∈Z }；(4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N *，y ∈N *}；(5){－3，－1,1,3,5}．解(1){－2，－1,0,1,2}．(2){3,6,9}．(3)∵x＝|x|，∴x≥0.又∵x∈Z，且x＜5，∴x＝0或1或2或3或4.∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．1．已知x，y，z为非零实数，代数式x|x|＋y|y|＋z|z|＋|xyz|xyz的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )A．0∉M B．2∈MC．－4∉M D．4∈MD[结合x，y，z的取值情况，可知当x＞0，y＞0，z＞0时，代数式的值为4，所以4∈M.]2．下列集合表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{3,2}，N＝{2,3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}B[A中两个坐标不同，C，D中一个点集一个数集．]3．若集合A＝{x|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )A ．4B ．2C ．0D ．0或4A [当a ＝0时，1≠0，此时方程无解．当a ≠0时，Δ＝a 2－4a ＝0即a ＝4，此时满足A 中只有一个元素x ＝－12.]4．集合A ＝{1,4,9,16,25，…}，若m ∈A ，n ∈A ，则mΔn ∈A ，“Δ”是一种运算，则“Δ”可以是________．(①加法；②减法；③乘法；④除法)解析因为两个整数的平方的乘积必为一个整数的平方．所以③正确．答案③5．已知集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，a ∈P ，b ∈M ，设c ＝a ＋b ，则c 与集合M 有什么关系？解∵a ∈P ，b ∈M ，c ＝a ＋b ，∴设a ＝2k 1，k 1∈Z ，b ＝2k 2＋1，k 2∈Z .∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1.又k 1＋k 2∈Z ，∴c ∈M .6．(拓广探索)已知集合A 中的元素全为实数，且满足：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A . (1)若a ＝2，求出A 中其他所有元素； (2)0是不是集合A 中的元素？请说明理由．解(1)由2∈A ，得1＋21－2＝－3∈A . 又由－3∈A ，得1－31＋3＝－12∈A .再由－12∈A ，得1－121＋12＝13∈A . 由13∈A ，得1＋131－13＝2∈A . 故A 中除2外，其他所有元素为－3，－12，13. (2)0不是集合A 中的元素．理由如下：若0∈A ，则1＋01－0＝1∈A ，而当1∈A 时，1＋a 1－a 不存在，故0不是集合A 中的元素．。

2019版高考数学创新大一轮复习人教A版全国通用讲义：

第7节解三角形应用举例最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.知识梳理1.仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图1).2.方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B 点的方位角为α(如图2).3.方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值. [常用结论与微点提醒]1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)东北方向就是北偏东45°的方向.( )(2)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( )(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.( )(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( )解析 (2)α＝β；(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√2.若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( ) A.北偏东15° B.北偏西15° C.北偏东10°D.北偏西10°解析如图所示，∠ACB ＝90°，又AC ＝BC ，∴∠CBA ＝45°，而β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°. ∴点A 在点B 的北偏西15°. 答案 B3.(必修5P24A5改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( ) A.50 2 m B.50 3 mC.25 2 mD.2522 m解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B＝50×2212＝502(m).答案 A4.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是______n mile.解析设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900，∴d ＝70，即两船相距70 n mile. 答案 705.(2014·全国Ⅰ卷)如图所示，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.解析在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°，BC ＝100 m ，所以AC ＝100 2 m.在△AMC 中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，从而∠AMC ＝45°，由正弦定理得，AC sin 45°＝AMsin 60°，因此AM ＝100 3 m.在Rt △MNA 中，AM ＝100 3 m ，∠MAN ＝60°，由MN AM ＝sin 60°得MN ＝1003×32＝150 m. 答案 150考点一测量高度问题【例1】如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析在△ABC 中，AB ＝600，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°－30°＝45°，由正弦定理得BC sin ∠BAC ＝AB sin ∠ACB ，即BCsin 30°＝600sin 45°，所以BC ＝3002(m).在Rt △BCD 中，∠CBD ＝30°，CD ＝BC tan ∠CBD ＝3002·tan 30°＝1006(m). 答案 100 6规律方法 1.在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键.2.在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错.3.注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题. 【训练1】如图所示，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，求塔的高度CD . 解设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°， ∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，解得h ＝1039，故塔的高度为1039(m). 考点二测量距离问题【例2】如图，A ，B 两点在河的同侧，且A ，B 两点均不可到达，要测出AB 的距离，测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得CD ＝a ，同时在C ，D 两点分别测得∠BCA ＝α，∠ACD ＝β，∠CDB ＝γ，∠BDA ＝δ.在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出AC 和BC ，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出AB .若测得CD ＝32 km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离.解 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°，∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°，∴AC ＝DC ＝32(km). 在△BCD 中，∠DBC ＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin ∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64(km).在△ABC 中，由余弦定理，得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38.∴AB ＝64(km).∴A ，B 两点间的距离为64 km.规律方法 1.选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2.确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 【训练2】海轮“和谐号”从A 处以每小时21海里的速度出发，海轮“奋斗号”在A 处北偏东45°的方向，且与A 相距10海里的C 处，沿北偏东105°的方向以每小时9海里的速度行驶，则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为________小时.解析设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x 小时，如图，则由已知得△ABC 中，AC ＝10，AB ＝21x ，BC ＝9x ，∠ACB ＝120°.由余弦定理得：(21x )2＝100＋(9x )2－2×10×9x ×cos 120°，整理，得36x 2－9x －10＝0，解得x ＝23或x ＝－512(舍).所以海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为23小时. 答案 23考点三测量角度问题【例3】如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________.解析在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207.由正弦定理，得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC⇒sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝21 7.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝27 7.由θ＝∠ACB＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝21 14.答案21 14规律方法解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义.(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步.(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的结合使用.【训练3】如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD等于()A.30°B.45°C.60°D.75°解析依题意可得AD＝2010m，AC＝305m，又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝（305）2＋（2010）2－502 2×305×2010＝6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案 B基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.在相距2 km 的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为( ) A. 6 kmB. 2 kmC. 3 kmD.2 km解析如图，在△ABC 中，由已知可得∠ACB ＝45°，∴ACsin 60°＝2sin 45°， ∴AC ＝22×32＝6(km). 答案 A2.一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A.102海里 B.103海里 C.203海里D.202海里解析如图所示，易知，在 △ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里). 答案 A3.(2018·许昌调研)如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与B 的距离为( ) A.a km B.3a km C.2a kmD.2a km解析由题图可知，∠ACB ＝120°，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝a 2＋a 2－2·a ·a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，解得AB＝3a (km). 答案 B4.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )A.240(3－1)mB.180(2－1)mC.120(3－1)mD.30(3＋1)m解析如图，∠ACD ＝30°，∠ABD ＝75°，AD ＝60 m ，在Rt △ACD 中，CD ＝AD tan ∠ACD ＝60tan 30°＝603(m)，在Rt △ABD 中，BD ＝AD tan ∠ABD ＝60tan 75°＝602＋3＝60(2－3)(m)，∴BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3)＝120(3－1)(m). 答案 C5.如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于( ) A.5 6B.15 3C.5 2D.15 6解析在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6. 答案 D 二、填空题6.江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.解析如图，OM ＝AO tan 45°＝30(m)， ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103(m)，在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m). 答案 10 37.在200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为________m.解析如图，由已知可得∠BAC ＝30°，∠CAD ＝30°， ∴∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠ADC ＝120°. 又AB ＝200 m ，∴AC ＝40033(m). 在△ACD 中，由余弦定理得，AC 2＝2CD 2－2CD 2·cos 120°＝3CD 2， ∴CD ＝13AC ＝4003(m). 答案 4003 8.(2018·潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗.解析依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°. 由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA ，∴AC ＝CEsin ∠EAC·sin ∠CEA ＝20 3 m.∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝203×32＝30 m.∵国歌时长为50 s ，∴升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案 0.6 三、解答题9.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上. (1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值.解 (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784. 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14海里/时.(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.10.(2018·武汉质检)如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求山高CD .解由已知得，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠CAD ＝β.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC，即AC sin （90°－α）＝BC sin （α－β）， ∴AC ＝BC cos αsin （α－β）＝h cos αsin （α－β）. 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin βsin （α－β）. 故山高CD 为h cos αsin βsin （α－β）. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·山西康杰中学、临汾一中等五校联考)飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔15 000 m ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为15°，经过108 s 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为________m(取3＝1.732).解析 ∵108 s ＝0.03 h ，∴AB ＝1 000×0.03＝30 km.∵∠C ＝75°－15°＝60°，∴AB sin 60°＝BC sin 15°，∴BC ＝AB sin 15°sin 60°. ∴C 到AB 边的距离为h ＝BC sin 75°＝203sin 15°sin 75°＝103sin 30°＝53＝5×1.732＝8.66 km.∴山顶的海拔高度为(15－8.66)km ＝6 340 m.答案 6 34012.(2017·呼和浩特调研)某人为测出所住小区的面积，进行了一些测量工作，最后将所住小区近似地画成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，则该图所示的小区的面积是________km 2.解析如图，连接AC ，由余弦定理可知AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝3，故∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠DAC＝∠DCA ＝15°，∠ADC ＝150°，AC sin ∠ADC ＝AD sin ∠DCA ，即AD ＝AC sin ∠DCA sin ∠ADC ＝3·6－2412＝32－62，故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ADC ＝12×1×3＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫32－622×12＝6－34(km 2).答案 6－3413.如图，在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(注：6≈2.449).解设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则有CD ＝103t (海里)，BD ＝10t (海里).在△ABC 中，∵AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC＝45°＋75°＝120°，根据余弦定理，可得BC＝（3－1）2＋22－2×2×（3－1）cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC＝AC sin 120°BC＝2×326＝22.∴∠ABC＝45°，易知CB方向与正北方向垂直，从而∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD＝BD sin∠CBDCD＝10t·sin 120°103t＝12，∴∠BCD＝30°，∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝6(海里)，则有10t＝6，t＝610≈0.245小时＝14.7分钟.故缉私船沿北偏东60°方向，需14.7分钟才能追上走私船.。

2019版高考数学文人教A版全国版综合提分练集全国各地市模拟新题重组：滚动检测一含答案精品

滚动检测一考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{3,4}，则(∁U A )∪B 等于( ) A ．{4} B ．{2,3,4} C ．{3,4,5}D ．{2,3,4,5}2．“x <0”是“xx ＋1<0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知命题p 与命题q ，若命题(綈p )∨q 为假命题，则下列说法正确的是( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假D ．p 假，q 假4．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －m －1为减函数，则实数m 的取值集合为( )A ．{2}B ．{－1}C ．{2，－1}D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ≠1＋52 5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥5，f (x ＋2)，x <5，则f (2)的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．56．函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(e,3)D ．(e ，＋∞)7．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意x 都有f (x ＋2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x＋1)，则f (2 015)＋f (2 018)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．28．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )9．若a >0，b >0，ab >1，log 12a ＝ln 2，则log ab 与log 12a 的关系是( )A ．log a b <log 12aB ．log a b ＝log 12aC ．log a b >log 12aD ．log a b ≤log 12a10．已知f (x )是偶函数，x ∈R ，若将f (x )的图象向右平移一个单位得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)等于( ) A ．－1 003 B ．1 003 C ．1D ．－111．(2017·天津市河西区模拟)已知命题p ：∀x ∈[1,2]，e x －a ≥0.若綈p 是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，e 2] B ．(－∞，e] C ．[e ，＋∞)D ．[e 2，＋∞)12．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，lg x ，x >1，g (x )＝3－x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．0第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知g (x )是定义在[－2,2]上的偶函数，当x ≥0时，函数g (x )单调递减，当g (1－m )－g (m )<0时，实数m 的取值范围为________．14．(2018·保定模拟)已知命题p ：函数y ＝log a (ax ＋2a )(a >0且a ≠1)的图象必过定点(－1,1)；命题q ：如果函数y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，那么函数y ＝f (x )的图象关于点(3,0)对称，则命题p ∨q 为________(填“真”或“假”)命题．15．如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为________．16．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >1，f (－x )，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届衡水市武邑中学月考)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |x 2－3x ≤10}．(1)若a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．18．(12分)已知p ：函数f (x )＝x 2－2mx ＋4在[2，＋∞)上单调递增；q ：关于x 的不等式mx 2＋4(m －2)x ＋4>0的解集为R .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求m 的取值范围．19.(12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－1,3)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在(－1,2)内的值域；(2)若方程f (x )＝c 在[0,3]上有两个不相等实根，求c 的取值范围．20．(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求当年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？21.(12分)已知函数f (x )＝22x －52·2x ＋1－6.(1)当x ∈[0,4]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)若存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，求实数a 的取值范围．22．(12分)(2017·广东深圳一模)已知函数f(x)满足f(log a x)＝aa2－1(x－x－1)(其中a>0，a≠1)．(1)求f(x)的表达式；(2)对于函数f(x)，当x∈(－1,1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数m的取值范围；(3)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值为负数，求a的取值范围．答案精析1．C 2.B 3.C 4.A 5.B 6.B7．B [根据f (x ＋2)＝－f (x )可知，函数的最小正周期为4，故f (2 015)＋f (2 018)＝f (3)＋f (2)＝－f (1)－f (0)＝－1.]8．A [因为f (－x )＝f (x )，所以函数图象关于y 轴对称，排除C ；又f (x )＝ln(x 2＋1)≥ln 1＝0，所以排除B ，D ，故选A.]9．A [由log 12a ＝ln 2>0，得0<a <1，b >1，log a b <0.]10．D [f (x －1)是奇函数，而f (x )是偶函数，∴f (x )的最小正周期是4， f (－1)＝f (1)＝f (3)＝0，f (0)＝－f (2)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝f (1)＋f (2)＝－1.] 11．B [由命题p ：∀x ∈[1,2]，使得e x －a ≥0， ∴a ≤(e x )min ＝e ，若綈p 是假命题，∴p 是真命题，∴a ≤e. 则实数a 的取值范围为(－∞，e]．]12．A [函数h (x )的零点满足f (x )－g (x )＝0，即f (x )＝g (x )，绘制函数f (x )与g (x )的图象，如图所示，交点的个数即函数h (x )零点的个数，观察可得，函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是2.故选A.] 13.⎣⎡⎭⎫－1，12 解析根据题意，由g (1－m )<g (m )，得 ⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，1－m ∈[－2，2]，m ∈[－2，2]，解得⎩⎪⎨⎪⎧m <12，－1≤m ≤3，－2≤m ≤2，即－1≤m <12.14．真解析 ∵y ＝log a []a ×(－1)＋2a ＝1，∴命题p 为真；∵y ＝f (x －3)的图象关于原点对称，则函数y ＝f (x )的图象关于点(－3,0)对称，∴命题q 为假，因此命题p ∨q 为真． 15．4解析根据f (1＋x )＝f (－x )，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝12对称．又函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，故f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12上单调递减，则函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为f (－2)＋f (0)＝f (1＋2)＋f (1＋0)＝f (3)＋f (1)＝log 28＋log 22＝4. 16.⎣⎡⎦⎤－32，32 解析因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2－x ＋m ·2x ＝－(2x ＋m ·2－x )，解得m ＝－1，故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－x，x >1，2－x －2x，x ≤1，作出函数g (x )的图象(如图所示)．当x >1时，g (x )单调递增，此时g (x )>32；当x ≤1时，g (x )单调递减，此时g (x )≥－32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－32，32时，y ＝g (x )－t 有且只有一个零点． 17．解 (1)因为a ＝3，所以P ＝{x |4≤x ≤7}，∁R P ＝{x |x <4或x >7}．又Q ＝{x |x 2－3x ≤10}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x <4}．(2)当P ≠∅时，由P ⊆Q ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥－2，2a ＋1≤5，2a ＋1≥a ＋1.解得0≤a ≤2；当P ＝∅时，2a ＋1<a ＋1，解得a <0，此时有P ＝∅⊆Q ，综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．18．解若命题p 为真，因为函数f (x )的图象的对称轴为x ＝m ，则m ≤2；若命题q 为真，当m ＝0时，原不等式为－8x ＋4>0，显然不成立．当m ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝16(m －2)2－16m <0，解得1<m <4. 由题意知，命题p ，q 一真一假，故⎩⎪⎨⎪⎧ m ≤2，m ≤1或m ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <4，解得m ≤1或2<m <4.19．解 (1)由题意知，－1,3是方程ax 2＋bx －a －ab ＝0的两根，可得a ＝－1，b ＝2，则f (x )＝－x 2＋2x ＋3在(－1,2)内的值域为(0,4]．(2)方程－x 2＋2x ＋3＝c ，即x 2－2x ＋c －3＝0在[0,3]上有两个不相等实根，设g (x )＝x 2－2x ＋c －3，则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (0)≥0，g (3)≥0，解得3≤c <4.20．解 (1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．所以当年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．因为R (x )在[0,210]上是增函数，所以当x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1660.所以当年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元． 21．解 (1)f (x )＝(2x )2－5·2x －6，设2x ＝t ，∵x ∈[0,4]，则t ∈[1,16]，∴h (t )＝t 2－5t －6，t ∈[1,16]． ∵当t ∈⎝⎛⎦⎤1，52时函数h (t )单调递减；当t ∈⎝⎛⎦⎤52，16时函数h (t )单调递增， ∴f (x )min ＝h ⎝⎛⎭⎫52＝－494，f (x )max ＝h (16)＝170. (2)∵存在x ∈[0,4]，使f (x )＋12－a ·2x ≥0成立，而t ＝2x >0， ∴存在t ∈[1,16]，使得a ≤t ＋6t－5成立．令g (t )＝t ＋6t －5，则g (t )在[1，6]上单调递减，在[6，16]上单调递增，而g (1)＝2<g (16)＝918，∴g (t )max ＝g (16)＝918， ∴a ≤g (t )max ＝g (16)＝918， ∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，918. 22．解 (1)设log a x ＝t ，则x ＝a t ，代入原函数，得f (t )＝a a 2－1(a t －a －t )，则f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(其中a >0，a ≠1)．(2)当a >1时，a x 是增函数，a －x 是减函数，且a a 2－1>0，所以f (x )是定义域R 上的增函数，同理，当0<a <1时，f (x )也是R 上的增函数，又f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．由f (1－m )＋f (1－m 2)<0得f (1－m )<－f (1－m 2)＝f (m 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－m <1，－1<1－m 2<1，1－m <m 2－1，解得1<m < 2.则实数m 的取值范围是(1，2)．(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(－∞，2)时，f(x)－4∈(－∞，f(2)－4)，又当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值为负数，所以f(2)－4≤0，则f(2)－4＝aa2－1(a2－a－2)－4＝aa2－1·a4－1a2－4＝a2＋1a－4≤0，解得2－3≤a≤2＋3且a≠1，所以a的取值范围是{a|2－3≤a≤2＋3且a≠1}．。

【挑战高考】2014高考数学总复习轻松突破提分训练2-10文新人教A版

《挑战高考》2014高考数学总复习（人教A 文）轻松突破提分训练试题：2-10[命题报告·教师用书独具]1．(2013年沈阳模拟)某人在三个时间段内，分别乘摩托车、汽车和火车走了整个行程的三分之一，如果该人乘摩托车、汽车和火车的速度分别为v 1，v 2，v 3，则该人整个行程的平均速度是( )A.v 1＋v 2＋v 33B.1v 1＋1v 2＋1v 33C.3v 1v 2v 3D.31v 1＋1v 2＋1v 3解析：设整个行程为3S ，乘摩托车、汽车和火车的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＝S v 1，t 2＝S v 2，t 3＝S v 3，整个行程的平均速度为3St 1＋t 2＋t 3＝3SSv 1＋S v 2＋S v 3＝31v 1＋1v 2＋1v 3，选D.答案：D2．(2013年武汉调研)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10 km 处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元，8万元，那么要使这两项费用之和最小，则仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处解析：设仓库建在离车站x km 处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据已知数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x ＋0.8x ≥220x×0.8x ＝8，当且仅当x ＝5时，等号成立，故仓库应建在离车站5 km 处．答案：A3．(2013年福州模拟)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )解析：设CD ＝x m ，则AD ＝(16－x )m ，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧16－x >a ，x >4，解得4<x <16－a ，矩形花圃的面积S ＝x (16－x )，其最大值f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， 0<a <8，－a 2＋16a ，8≤a <12，故其图象为C.答案：C4．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面 3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m. 答案：A5．某学校制定奖励条例，对在教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ≤10，100，10<n ≤15，200，15<n ≤20，300，20<n ≤25，400，n >25.现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多( )A ．600元B ．900元C ．1 600元D ．1 700元解析：∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元)．又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D. 答案：D 二、填空题6．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低13，则现在价格为8 100元的计算机经过15年的价格应降为________．解析：设经过3个5年，产品价格为y 元，则y ＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝8 100×827＝2 400元．答案：2 400元7．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为______________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当0<x ≤20时y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100. 当x >20时y ＝260－100－x ＝160－x .所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，即x ＝16时y max ＝156，而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时年利润最大．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ， x >0，x ∈N * 168．(2013年惠州模拟)将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a en t ．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8升，则m ＝________.解析：根据题意12＝e 5n ，令18a ＝a e n t ，即18＝e n t ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，解得t ＝15，故m＝15－5＝10.答案：109．(2013年汕头模拟)鲁能泰山足球俱乐部准备为救助失学儿童在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6(万张)2.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，此次足球义赛的纯收入函数为y ＝lg 2x ，则这三种门票分别为________万张时为失学儿童募捐纯收入最大．解析：函数模型y ＝lg 2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝2.4， ①ab ＝0.6， ②x ＝3a ＋5b ＋8c ， ③把①代入③得x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2(万元)，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6，时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，c ＝0.8.由于y ＝lg 2x为增函数，即此时y 也恰有最大值．故三种门票分别为0.6、1、0.8万张时为失学儿童募捐纯收入最大．答案：0.6,1,0.8 三、解答题10．(2013年深圳模拟)某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车辆每月需要维护费50元．(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解析：(1)租金增加了600元，所以未租出的车有12辆，一共租出了88辆．(2)设每辆车的月租金为x 元(x ≥3 000)，租赁公司的月收益为y 元，则y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050－x －3 00050×50－⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050×150＝－x 250＋162x －21 000 ＝－150(x －4 050)2＋307 050，当x ＝4 050时，y max ＝307 050.所以每辆车的月租金定为4 050元时，租赁公司的月收益最大为307 050元． 11．(2013年龙岩一中月考)某分公司经销某品牌产品，每件产品成本3元，且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x (元)的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )．解析：(1)根据题意可知，L (x )＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9，11]．(2)由(1)知，L ′(x )＝(12－x )(18＋2a －3x )，令L ′(x )＝0，解得x ＝6＋2a3或x ＝12(舍去)，∵3≤a ≤5，∴8≤6＋2a 3≤283.①当8≤6＋2a 3<9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝9(6－a )，②当9≤6＋2a 3≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3＝4(3－a 3)3. ∴Q (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ，3≤a <92，4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33，92≤a ≤5.∴若3≤a <92，则每件产品的售价为9元时，L 最大，最大值为9(6－a )万元；若92≤a ≤5，则每件产品的售价为⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋2a 3元时，L 最大，最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 33万元．12．(能力提升)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解析：(1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧kt ， 0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a， t ≥1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916(小时)．[因材施教·学生备选练习]2012年7月27日第三十届奥林匹克运动会在伦敦举行．某特许专营店销售运动会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向运动会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．解析：(1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋－x x －，0<x ≤20，[2 000－x －x －，20<x <40，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x －，0<x ≤20，－xx －，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－x －2＋81]，0<x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20<x <40.当0<x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)．当20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元．。

2019版高考数学(文)人教A版(全国)一轮复习课件专题探究课三

热点一数列的通项与求和
数列的通项与求和是高考必考的一种题型，重点在于灵
活运用等差、等比的定义、性质、通项公式与前n项和公式.同时要重视方程思想的应用.
[考查角度一] 错位相减法求和问题
【例 1】 (满分 12 分)(2015· 湖北卷)设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的公比为 q，已知 b1＝a1， b2＝2，q＝d，S10＝100. (1) 求数列{an}，{bn}的通项公式； an (2) 当 d>1 时，记 cn＝b ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n
高考导航
对近几年高考试题统计看，全国卷中的数列与三角基本上交替考查，来自度不大；但自主命题的省市高考题每
年都考查，难度中等.考查内容主要集中在两个方面：一是以
选择题和填空题的形式考查等差、等比数列的运算和性质，题目多为常规试题；二是等差、等比数列的通项与求和问题，有时结合函数、不等式等进行综合考查，涉及内容较为全面，试题题型规范、方法可循.
❺把错位相减的两个式子，按照上下对应好，再相减，
就能正确地得到结果，本题就得满分，否则就容易出错，丢掉一些分数.
用错位相减法解决数列求和的模板.
第一步：(判断结构)
若数列 {an · bn} 是由等差数列 {an} 与等比数列 {bn}( 公
比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比) 设{an· bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q. 第三步：(错位相减)
【例 2】 (2015· 安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，且 a1＋a4＝9，a2a3＝8. (1)求数列{an}的通项公式； an＋1 (2)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，bn＝，求数列{bn}的 SnSn＋1 前 n 项和 Tn.

【挑战高考】2014高考数学总复习轻松突破提分训练1-3文新人教A版

《挑战高考》2014高考数学总复习（人教A 文）轻松突破提分训练试题：1-3[命题报告·教师用书独具]1．(2013年江南十校联考)命题p ：若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p ∨q ”是真命题B ．“p ∨q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：当a ·b >0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，所以命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x ＋2，x >0，所以“p ∨q ”是假命题，选B.答案：B2．已知a 和b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，有下列四个命题：p 1：|a －b |＝13；p 2：|a ＋b |＝10；p 3：a ·b ＝－32；p 4：b >a .则其中的真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 1，p 3 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：根据向量的知识，逐一验证各个命题的真假．对于p 1，|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1＋9－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，故|a －b |＝13；对于p 2，|a ＋b |＝7；对于p 3，a ·b ＝－32；对于p 4，向量不能比较大小．故选B 项．答案：B3．(2013年大同模拟)已知函数f (x )＝x 2＋bx (b ∈R )，则下列结论正确的是( ) A ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是增函数 B ．∀b ∈R ，f (x )在(0，＋∞)上是减函数C ．∃b ∈R ，f (x )为奇函数D ．∃b ∈R ，f (x )为偶函数解析：注意到b ＝0时，f (x )＝x 2是偶函数．故选D. 答案：D4．下列命题中的真命题是( ) A ．∃x ∈R ，使得sin x cos x ＝35B ．∃x ∈(－∞，0)，2x>1 C ．∀x ∈R ，x 2≥x －1D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos x解析：由sin x cos x ＝35，得sin 2x ＝65>1，故A 错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B ，D 错误；因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，所以C 正确．答案：C5．(2013年南昌联考)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”，若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞) B．[1,4] C ．[e,4] D ．(－∞，1]解析：“p ∧q ”是真命题，则p 与q 都是真命题；p 真则∀x ∈[0,1]，a ≥e x，需a ≥e；q 真则x 2＋4x ＋a ＝0有解，需Δ＝16－4a ≥0，所以a ≤4；p ∧q 为真，则e≤a ≤4.答案：C 二、填空题6．(2013年连云港模拟)命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥2x ，则綈p ：____________________. 解析：命题的否定为：∃x ∈R ，x 2＋1＜2x . 答案：∃x ∈R ，x 2＋1＜2x7．若命题“∃x ∈R ，使得x 2＋(1－a )x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a )2－4>0，解得a <－1或a >3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0－8－6a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：若p 真，则∀x ∈[1,2]，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－ln x min ≥a ，解得，a ≤12；若q 真，则(2a )2－4×(－8－6a )＝4(a ＋2)·(a ＋4)≥0，∴a ≤－4或a ≥－2.∴实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12. 答案：(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，129．(2013年郑州模拟)已知命题p ：不等式xx －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是__________．(请把正确结论的序号都填上)解析：解不等式知，命题p 是真命题，在△ ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，所以命题q 是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误．答案：①③ 三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断真假： (1)存在一个三角形是正三角形；(2)至少存在一个实数x 0使x 20－2x 0－3＝0成立； (3)正数的对数不全是正数．解析：(1)任意的三角形都不是正三角形，假命题； (2)对任意实数x 都有x 2－2x －3≠0，假命题； (3)正数的对数都是正数，假命题．11．写出由下列各组命题构成的“p ∨q ”，“p ∧q ”，“綈p ”形式的新命题，并判断其真假．(1)p ：2是4的约数，q ：2是6的约数；(2)p ：矩形的对角线相等，q ：矩形的对角线互相平分；(3)p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实根的符号相同，q ：方程x 2＋x －1＝0的两实根的绝对值相等．解析：(1)p ∨q ：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p ∧q ：2是4的约数且2也是6的约数，真命题；綈p ：2不是4的约数，假命题．(2)p ∨q ：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p ∧q ：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；綈p ：矩形的对角线不相等，假命题．(3)p ∨q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同或绝对值相等，假命题；p ∧q ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号相同且绝对值相等，假命题；綈p ：方程x 2＋x －1＝0的两个实数根符号不同，真命题．12．(能力提升)已知命题p ：方程2x 2＋ax －a 2＝0在[－1,1]上有解；命题q ：只有一个实数x 0满足不等式x 20＋2ax 0＋2a ≤0，若命题“p ∨q ”是假命题，求实数a 的取值范围．解析：由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时|a2|≤1或|－a |≤1，∴|a |≤2.又“只有一个实数x 0满足x 20＋2ax 0＋2a ≤0”，即抛物线y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p ∨q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p ∨q ”为假命题，∴a >2或a <－2. 即a 的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．[因材施教·学生备选练习]1．(2013年太原联考)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋1<2x ；命题q ：若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，那么( )A ．“綈p ”是假命题B ．“綈q ”是真命题C ．“p ∧q ”为真命题D ．“p ∨q ”为真命题解析：对于命题p ，x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，即对任意的x ∈R ，都有x 2＋1≥2x ，因此命题p 是假命题．对于命题q ，若mx 2－mx －1<0恒成立，则当m ＝0时，mx 2－mx －1<0恒成立；当m ≠0时，由mx 2－mx －1<0恒成立得⎩⎪⎨⎪⎧m <0Δ＝m 2＋4m <0，即－4<m <0.因此若mx 2－mx －1<0恒成立，则－4<m ≤0，故命题q 是真命题．因此，“綈p ”是真命题，“綈q ”是假命题，“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，选D.答案：D2．(2013年济南调研)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－12，－4]∪[4，＋∞)B ．[－12，－4]∪[4，＋∞)C ．(－∞，－12)∪(－4,4)D ．[－12，＋∞)解析：命题p 等价于Δ＝a 2－16≥0，即a ≤－4或a ≥4；命题q 等价于－a4≤3，即a ≥－12.由p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题知，命题p 和q 一真一假．若p 真q 假，则a <－12；若p 假q 真，则－4<a <4.故a 的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．答案：C3．已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( )A ．p 真q 假B ．p 假q 真C ．“p ∨q ”为假D ．“p ∧q ”为真解析：在△ABC 中，设角C 与角B 所对应的边分别为c ，b ，由C >B ，知c >b ，由正弦定理c sin C ＝bsin B可得sin C >sin B ，当sin C >sin B 时，易证C >B ，故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件．当c ＝0时，由a >b 得ac 2＝bc 2，由ac 2>bc 2易证a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，即命题p 是假命题，命题q 也是假命题，所以“p ∨q ”为假．故选C.答案：C。

2019版高考数学文培优增分一轮全国经典版增分练：第7

板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·银川模拟]三视图如图的几何体是()A.三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台答案 B解析几何体底面为四边形，侧面是三角形．故选B.2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？()答案 D解析由三视图知该几何体是一个组合体，上部是圆锥，下部是圆柱．故选D.3．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是()答案 D解析几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．故选D.4．[2018·云南玉溪模拟]将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()答案 D解析根据几何体的结构特征进行分析即可．故选D.5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()答案 A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为选项A中的图．故选A.6．[2017·北京高考]某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A.3 2 B．2 3 C．2 2 D．2答案 B解析在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝2 3.故选B.7．[2018·河北石家庄质检]一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()答案 D解析由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD.故选D.8．如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为________．答案8 cm解析将直观图还原为平面图形，如图．可知还原后的图形中，OB＝22，AB＝12＋(22)2＝3，于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．9．[2018·济宁模拟]已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中面积的最大值是________．答案 6解析四棱锥如图所示，作PN ⊥平面ABCD ，交DC 于点N ，PC ＝PD ＝3，DN ＝2，则PN ＝32－22＝5，AB ＝4，BC ＝2，BC ⊥CD ，故BC ⊥平面PDC ，即BC ⊥PC ，同理AD ⊥PD .设M 为AB 的中点，连接PM ，MN ，则PM ＝3，S △PDC ＝12×4×5＝25，S △PBC ＝S △P AD ＝12×2×3＝3，S △P AB ＝12×4×3＝6，所以四棱锥P －ABCD 的四个侧面中面积的最大值是6.10．[2016·浙江高考]某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.答案8040解析几何体的直观图如图：∴S表＝42×2＋4×2×4＋22×4＝80(cm2)，V＝23＋4×4×2＝40(cm3)．[B级知能提升]1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BB1，BC 的中点，则图中阴影部分在平面ADD1A1上的投影为()答案 A解析点D在平面ADD1A1上的正投影为点D，点M在平面ADD1A1上的正投影为AA1的中点，点N在平面ADD1A1上的投影为DA的中点，连接三点可知A正确．故选A.2．[2018·湖南模拟]正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为()答案 C解析过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C.3.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为________．答案8 cm2解析解法一：依题意可知∠BAD＝45°，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与BC，AD相等，高为梯形ABCD的高的22倍，所以原平面图形的面积为8 cm2.解法二：依题意可知，S直观图＝2 2 cm2，故S原图形＝22S直观图＝8 cm2.4.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S .解本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)四棱锥的两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，取BC 的中点E ，连接OE ，VE ，则△VOE 为直角三角形，VE 为△VBC 边上的高，VE ＝VO 2＋OE 2＝4 2.同理侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h ＝ 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5. ∴S 侧＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. 5.[2018·合肥模拟]一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.。

2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：第七章不

§7.1 不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b a －b ＝0⇔a ＝ba －b <0⇔a <b(a ，b ∈R )(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b ab ＝1⇔a ＝ba b<1⇔a 0)2．不等式的基本性质3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0b >0,0<c <d ⇒a c >bd.④0<a <x b >0，m >0，则①b a b －m a －m (b －m >0)． ②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m(b －m >0)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a 1，则a >b .( × )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( × ) (4)a >b >0，c >d >0⇒a d >bc .( √ )(5)若ab >0，则a >b ⇔1a <1b .( √ )题组二教材改编2．[P74T3]若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析a －b >0⇒a >b⇒a >b ⇒a 2>b 2，但由a 2－b 2>0⇏a －b >0.3．[P75B 组T1]若0<a 1且2a <1，∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝⎛⎭⎫a －122＋12<12. 即a <2ab <12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1>0，b －1<0， ∴a 2＋b 2－b <0， ∴a 2＋b 2b >0，c <d <0，则一定有( ) A ．a c －bd >0B ．a c －bd <0C ．a d >b cD ．a d ac ，又∵cd >0，∴bd cd >ac cd ，即b c >ad.5．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．故选A.6．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是__________．答案 (－π，0)解析由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<αβ<0.题型一比较两个数(式)的大小1．若P ＝a ＋a ＋5，Q ＝a ＋2＋a ＋3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P >Q B ．P ＝QC ．P <QD ．由a 的取值确定答案 C解析 ∵P 2－Q 2＝2a ＋5＋2a (a ＋5)－[2a ＋5＋2(a ＋2)(a ＋3)]＝2(a 2＋5a －a 2＋5a ＋6)，且a 2＋5a <a 2＋5a ＋6，∴P 2<Q 2，又P ，Q >0，∴P <Q ，故选C.2．(2017·武汉调研)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A ．a x >byB ．sin ax >sin byC ．log a x >log b yD ．a x >b y答案 D解析对于A ，当a ＝3，b ＝2，x ＝3，y ＝2时不成立，排除A ；对于B ，当a ＝30，b ＝20，x ＝π2，y ＝π4时，不成立，排除B ；对于C ，当a ＝3，b ＝2，x ＝3，y ＝2时，不成立，排除C ，故选D.思维升华比较大小的常用方法 (1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．题型二不等式的性质典例 (1)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2 D ．ac (a －c )>0答案 A解析由c 0. 由b >c ，得ab >ac 一定成立．(2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >cb ；②ac log a (b －c )．其中所有正确结论的序号是( ) A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③ 答案 D解析由不等式性质及a >b >1，知1a <1b ，又c <0，∴c a >cb ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是单调递减的，又a >b >1，∴a c b >1，c <0，∴a －c >b －c >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确．思维升华解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．跟踪训练若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( ) A ．①④ B ．②③ C ．①③ D ．②④答案 C解析方法一因为1a <1b <0，故可取a ＝－1，b ＝－2.显然|a |＋b ＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4>0，所以④错误．综上所述，可排除A ，B ，D. 方法二由1a <1b<0，可知b <a <0.①中，因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0.故有1a ＋b <1ab，即①正确；②中，因为b <a <0，所以－b >－a >0.故－b >|a |，即|a |＋b <0，故②错误；③中，因为b <a <0，又1a <1b <0，则－1a >－1b >0，所以a －1a >b －1b，故③正确；④中，因为b <a <0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2>a 2>0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2>ln a 2，故④错误．由以上分析，知①③正确．题型三不等式性质的应用命题点1 应用性质判断不等式是否成立典例若a <01bB ．1a <1bC ．a 2|b | 答案 B解析因为a <0b 2，故C 错；取a ＝－12，b ＝1，可得|a |<|b |，故D 错，故选B.命题点2 求代数式的取值范围典例已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值范围是________，3x ＋2y 的取值范围是________．答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2， ∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12,4<2y <6， ∴1<3x ＋2y <18.思维升华 (1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．②在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．跟踪训练已知a >b >0，c <0，则下列不等关系中正确的是( ) A ．ac >bc B ．a c >b cC ．log a (a －c )>log b (b －c )D ．a a －c >b b －c答案 D解析选项A 中，不等式a >b >0两边同乘以负数c ，不等式方向应该改变，故A 错误；选项B 中，考查幂函数y ＝x c ，因为c <0，所以函数在(0，＋∞)上是减函数，故B 错误；选项C 中，假设a ＝4，b ＝2，c ＝－4，则log a (a －c )＝log 48<2，log b (b －c )＝log 26>2，此时log a (a －c )<log b (b －c )，故C 错误；选项D 中，作差a a －c －b b －c ＝ab －ac －ab ＋bc (a －c )(b －c )＝(b －a )c (a －c )(b －c )>0，所以a a －c >bb －c正确，故选D. (2)(2018届东北四市一模)已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是__________．答案 (－π，2π)解析结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，(α＋β)∈(0，π)，利用不等式的性质可知，3α－β的取值范围是(－π，2π)．利用不等式变形求范围典例设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．错解展示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2， ①2≤a ＋b ≤4. ②①＋②得32≤a ≤3，②－①得12≤b ≤1.由此得4≤f (－2)＝4a －2b ≤11. 所以f (－2)的取值范围是[4,11]．错误答案 [4,11] 现场纠错解析方法一设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法二由⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，得⎩⎨⎧a ＝12[f (－1)＋f (1)]，b ＝12[f (1)－f (－1)]，∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.方法三由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4确定的平面区域如图阴影部分所示，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝⎛⎭⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f (－2)≤10. 答案 [5,10]纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．1．(2018·济宁模拟)若a <0，ay >0，且x ＋y >0，则x 与y 之间的不等关系是( ) A ．x ＝y B ．x >y C ．x <y D ．x ≥y答案 B解析由a <0，ay >0，可知y <0，又由x ＋y >0，可知x >0，所以x >y .2．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A ．f (x )＝g (x ) B ．f (x )>g (x )C ．f (x )<g (x )D ．随x 值的变化而变化答案 B解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，则f (x )>g (x )．3．若a ，b ∈R ，且a ＋|b |<0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b >0 B ．a 3＋b 3>0 C ．a 2－b 2<0D ．a ＋b <0答案 D解析由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，∴a ＋b <0成立．故选D.4．(2018·西安市西北工业大学附属中学模拟)如果a >b >1，c <0，在不等式①c a >cb ；②ln(a ＋c )>ln(b＋c )；③(a －c )c <(b －c )c ；④b e a >a e b 中，所有正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②③④ D ．①②④答案 B解析用排除法，∵a >b >1，c <0， ∴可令a ＝3，b ＝2，c ＝－4，此时ln(a ＋c )>ln(b ＋c )，不成立， ∴②错误，排除A ，C ，D ，故选B.5．(2018·湖北沙市中学、恩施高中、郧阳中学联考)已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3，且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2，且ab >0，则1a <1b答案 C解析当c ＝0时，ac 2＝bc 2，选项A 是假命题；若c <0，则由a c >bc，可得a b 3且ab <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0，1a >1b 正确；若a 2>b 2且ab >0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0时，D 不成立． 6．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，5π6 B ．⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π)D ．⎝⎛⎭⎫－π6，π答案 D解析由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6， ∴－π6≤－β3≤0，∴－π6<2α－β3<π. 7．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析令x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3.A 项：ax ＋by ＋cz ＝1＋4＋9＝14；B 项：az ＋by ＋cx ＝3＋4＋3＝10；C 项：ay ＋bz ＋cx ＝2＋6＋3＝11；D 项：ay ＋bx ＋cz ＝2＋2＋9＝13.故选B.8．(2018·济南调研)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( )A ．a ＋1b >b ＋1aB ．b a >b ＋1a ＋1C ．a －1b >b －1aD ．2a ＋b a ＋2b >a b 答案 A解析取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a －1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A. 9．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__________________．答案 a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1解析 a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.10．已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b>0； ②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0；③若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0. 其中正确的命题是________．(填序号)答案 ①②③解析 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab>0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴bc －ad >0，∴②正确；∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即bc －ad ab>0， ∴ab >0，∴③正确．故①②③都正确．11．(2018·青岛调研)设a >b >c >0，x ＝a 2＋(b ＋c )2，y ＝b 2＋(c ＋a )2，z ＝c 2＋(a ＋b )2，则x ，y ，z 的大小关系是________．(用“>”连接)答案 z >y >x解析方法一 y 2－x 2＝2c (a －b )>0，∴y >x .同理，z >y ，∴z >y >x .方法二令a ＝3，b ＝2，c ＝1，则x ＝18，y ＝20，z ＝26，故z >y >x .12．已知－1<x ＋y <4,2<x －y <3，则3x ＋2y 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－32，232 解析设3x ＋2y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，m －n ＝2，∴⎩⎨⎧ m ＝52，n ＝12.即3x ＋2y ＝52(x ＋y )＋12(x －y )，又∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－52<52(x ＋y )<10,1<12(x －y )<32， ∴－32<52(x ＋y )＋12(x －y )<232，即－32<3x ＋2y <232， ∴3x ＋2y 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－32，232.13．设实数x ，y 满足0<xy <4，且0<2x ＋2y <4＋xy ，则x ，y 的取值范围是( )A ．x >2且y >2B ．x <2且y <2C ．0<x <2且0<y <2D ．x >2且0<y <2答案 C解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ xy >0，x ＋y >0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，由2x ＋2y －4－xy ＝(x －2)·(2－y )<0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >2，y >2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <2，0<y <2，又xy <4，可得⎩⎪⎨⎪⎧0<x <2，0<y <2. 14．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ；②a ＋x >b ＋y ；③ax >by ；④x －b >y －a ；⑤a y >b x这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．答案 ②④解析令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2.符合题设条件x >y ，a >b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5.∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③不成立．∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1， ∴a y ＝b x，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．15．(2018·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≤b ，b ，a >b ，a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4答案 A 解析结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p q ≤2，可得⎩⎪⎨⎪⎧ p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎨⎧ 1<b a ＋c a ≤3，－1<c a －b a <1，两式相加，得0<2×c a<4， ∴c a 的取值范围为(0,2)。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习70 一元线性回归模型及其应用

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题70 一元线性回归模型及其应用考点知识1.了解样本相关系数的统计含义.2.了解最小二乘法原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.3.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．知识梳理1．变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)相关关系的分类：正相关和负相关．(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关．2．样本相关系数(1)r＝i＝1n(x i－x)(y i－y)i＝1n(x i－x)2i＝1n(y i－y)2.(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关．(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．3．一元线性回归模型(1)我们将y ^＝b ^x ＋a ^称为Y 关于x 的经验回归方程，其中⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝i ＝1n(x i －x )(y i －y )i ＝1n(x i－x )2，a ^＝y －b ^x .(2)残差：观测值减去预测值称为残差．常用结论1．经验回归直线过点(x ，y )．2．求b ^时，常用公式b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2.3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)相关关系是一种非确定性关系．(√)(2)散点图是判断两个变量相关关系的一种重要方法和手段．(√)(3)经验回归直线y ^＝b ^x ＋a ^至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点．(×) (4)样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强．(√) 教材改编题1．在对两个变量x ，y 进行回归分析时有下列步骤：①对所求出的经验回归方程作出解释；②收集数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ；③求经验回归方程；④根据所收集的数据绘制散点图．则下列操作顺序正确的是() A ．①②④③B．③②④① C ．②③①④D．②④③① 答案D解析根据回归分析的思想，可知对两个变量x ，y 进行回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求经验回归方程，最后对所求的经验回归方程作出解释． 2．对于x ，y 两变量，有四组成对样本数据，分别算出它们的样本相关系数r 如下，则线性相关性最强的是()A ．－0.82B ．0.78C ．－0.69D ．0.87 答案D解析由样本相关系数的绝对值|r |越大，变量间的线性相关性越强知，各选项中r ＝0.87的绝对值最大．3．某单位为了了解办公楼用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到经验回归方程y ^＝－2x ＋a ^，当气温为－4℃时，预测用电量约为() A ．68度B ．52度C ．12度D ．28度答案A解析由表格可知x ＝10，y ＝40，根据经验回归直线必过(x ，y )得a ^＝40＋20＝60，∴经验回归方程为y ^＝－2x ＋60，因此当x ＝－4时，y ^＝68.题型一成对数据的相关性例1(1)(2023·保定模拟)已知两个变量x 和y 之间有线性相关关系，经调查得到如下样本数据：根据表格中的数据求得经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则下列说法中正确的是()A.a ^>0，b ^>0 B.a ^>0，b ^<0C.a ^<0，b ^>0 D.a ^<0，b ^<0 答案B解析由已知数据可知y 随着x 的增大而减小，则变量x 和y 之间存在负相关关系，所以b ^<0.又x ＝15×(3＋4＋5＋6＋7)＝5，y ＝15×(3.5＋2.4＋1.1－0.2－1.3)＝1.1，即1.1＝5b ^＋a ^，所以a ^＝1.1－5b ^>0.(2)(2022·大同模拟)如图是相关变量x ，y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程y ^＝b ^1x ＋a ^1，样本相关系数为r 1；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下的数据得到经验回归方程y ^＝b ^2x ＋a ^2，样本相关系数为r 2.则()A ．0<r 1<r 2<1B ．0<r 2<r 1<1C ．－1<r 1<r 2<0D ．－1<r 2<r 1<0 答案D解析根据相关变量x ，y 的散点图知，变量x ，y 具有负线性相关关系，且点(10,21)是离群值；方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些；方案二中，剔除离群值，线性相关性强些；所以样本相关系数－1<r 2<r 1<0. 思维升华判定两个变量相关性的方法(1)画散点图：若点的分布从左下角到右上角，则两个变量正相关；若点的分布从左上角到右下角，则两个变量负相关．(2)样本相关系数：当r >0时，正相关；当r <0时，负相关；|r |越接近1，相关性越强．(3)经验回归方程：当b ^>0时，正相关；当b ^<0时，负相关．跟踪训练1(1)某公司2017～2022年的年利润x (单位：百万元)与年广告支出y (单位：百万元)的统计资料如表所示：根据统计资料，则利润中位数() A．是16，x与y有正相关关系B．是17，x与y有正相关关系C．是17，x与y有负相关关系D．是18，x与y有负相关关系答案B解析由题意知，利润中位数是16＋182＝17，而且随着年利润x的增加，广告支出y也在增加，故x与y有正相关关系．(2)已知相关变量x和y的散点图如图所示，若用y＝b1·ln(k1x)与y＝k2x＋b2拟合时的样本相关系数分别为r1，r2则比较r1，r2的大小结果为()A．r1>r2B．r1＝r2C．r1<r2D．不确定答案C解析由散点图可知，用y＝b1ln(k1x)拟合比用y＝k2x＋b2拟合的程度高，故|r1|>|r2|；又因为x ，y 负相关，所以－r 1>－r 2，即r 1<r 2. 题型二回归模型命题点1一元线性回归模型例2(2023·蚌埠模拟)某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：(1)在给出的坐标系中画出上表数据的散点图；(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知现行利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测日均存款总额为现行利率下的2倍时，利率需上升多少个百分点？参考公式及数据：①b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x ，②∑i ＝15x i y i ＝0.9，∑i ＝15x 2i ＝0.55.解(1)如图所示．(2)由表格数据可得x ＝15×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，y ＝15×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，所以b ^＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝0.9－5×0.3×0.50.55－5×0.3×0.3＝1.5， a ^＝y －b ^x ＝0.5－1.5×0.3＝0.05，故y ^＝1.5x ＋0.05.(3)设利率需上升x 个百分点，由(2)得，0.625×2＝1.5x ＋0.05，解得x ＝0.8，所以预测利率需上升0.8个百分点．命题点2非线性回归模型例3(2023·保山模拟)某印刷企业为了研究某种图书每册的成本费y (单位：元)与印刷数量x (单位：千册)的关系，收集了一些数据并进行了初步整理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．表中u i ＝1x i ，u ＝17∑i ＝17u i .(1)根据散点图判断y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx哪一个模型更适合作为该图书每册的成本费y 与印刷数量x 的经验回归方程？(只要求给出判断，不必说明理由) (2)根据(1)的判断结果及表中数据求出y 关于x 的经验回归方程；(3)若该图书每册的售价为9元，则预测至少应该印刷多少册，才能使销售利润不低于80000元(假设能够全部售出)．附：对于一组数据(ω1，v 1)，(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其经验回归方程v ^＝β^ω＋α^的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝i ＝1n (ωi －ω)(v i －v )i ＝1n(ωi －ω)2，α^＝v －β^ω.解(1)由散点图判断y ＝c ＋d x更适合作为该图书每册的成本费y 与印刷数量x 的经验回归方程．(2)先建立y 关于u 的经验回归方程得y ^＝c ^＋d ^u ，由于d ^＝i ＝17(u i －u )(y i －y )i ＝17(u i －u )2＝70.7＝10，故c ^＝y －d ^u ＝3.5－10×0.2＝1.5，所以预测y 关于u 的经验回归方程为y ^＝1.5＋10u ，从而y 关于x 的经验回归方程为y ^＝1.5＋10x.(3)假设印刷x 千册，依据题意得9x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1.5＋10x x ≥80，解得x ≥12，所以预测至少应该印刷12 000册图书，才能使销售利润不低于80 000元．思维升华求经验回归方程的步骤跟踪训练2(2022·南充模拟)某特色餐馆开通了某APP 的外卖服务，在一周内的某特色菜外卖份数x (单位：份)与收入y (单位：元)之间有如下的对应数据：(1)在给出的坐标系中画出数据散点图；(2)请根据以上数据用最小二乘法求出收入y 关于份数x 的经验回归方程； (3)据此估计外卖份数为12时，收入为多少元．参考数据公式：∑i ＝15x 2i ＝145，∑i ＝15x i y i ＝1380，b ^＝i ＝1n(x i －x )(y i －y )i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n xy∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .解(1)作出散点图如图所示．(2)由表格数据得，x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50，则b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2＝1 380－5×5×50145－5×52＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝50－6.5×5＝17.5，因此，所求经验回归方程为y ^＝6.5x ＋17.5.(3)当x ＝12时，y ^＝12×6.5＋17.5＝95.5，即外卖份数为12时，预测收入为95.5元．题型三残差分析例4(1)(多选)下列说法正确的是()A ．在经验回归方程y ^＝－0.85x ＋2.3中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y ^平均减少2.3个单位B ．在经验回归方程y ^＝－0.85x ＋2.3中，相对于样本点(1,1.2)的残差为－0.25 C ．在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好 D ．若两个变量的决定系数R 2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好答案BCD解析对于A ，根据经验回归方程，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量y ^平均减少0.85个单位，故A 错误；对于B ，当解释变量x ＝1时，响应变量y ^＝1.45，则样本点(1,1.2)的残差为－0.25，故B 正确；对于C ，在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，说明拟合精度越高，即拟合效果越好，故C 正确；对于D ，由决定系数R 2的意义可知，R 2越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故D 正确．(2)新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的很大一部分，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分．从2020年底开始，碳酸锂的价格不断升高，如表是2022年某企业的前5个月碳酸锂的价格与月份的统计数据：根据表中数据，得出y 关于x 的经验回归方程为y ^＝0.28x ＋a ^，根据数据计算出在样本点(5,1.5)处的残差为－0.06，则表中m ＝________. 答案1.4解析由题设，1.5－y ^＝1.5－(0.28×5＋a ^)＝－0.06，可得a ^＝0.16.又x ＝1＋2＋3＋4＋55＝3，y ＝0.5＋0.6＋1＋m ＋1.55＝3.6＋m 5，所以0.28×3＋0.16＝3.6＋m5，可得m ＝1.4.思维升华检验回归模型的拟合效果的两种方法(1)残差分析：通过残差分析发现原始数据中的可疑数据，判断所建立模型的拟合效果． (2)R 2分析：通过公式计算R 2，R 2越大，残差平方和越小，模型的拟合效果越好；R 2越小，残差平方和越大，模型的拟合效果越差．跟踪训练3(1)下列命题是真命题的为()A ．经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^一定不过样本点B ．可以用样本相关系数r 来刻画两个变量x 和y 线性相关程度的强弱，r 的值越小，说明两个变量线性相关程度越弱C ．在回归分析中，决定系数R 2＝0.80的模型比决定系数R 2＝0.98的模型拟合的效果要D ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好答案D解析对于A ，经验回归方程不一定经过其样本点，但一定经过(x ，y )，所以A 是假命题；对于B ，由样本相关系数的意义，当|r |越接近0时，表示变量y 与x 之间的线性相关程度越弱，所以B 是假命题；对于C ，用决定系数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好，所以C 是假命题；对于D ，由残差的统计学意义知，D 是真命题． (2)两个线性相关变量x 与y 的统计数据如表：其经验回归方程是y ^＝b ^x ＋40，则相应于点(9,11)的残差为________．答案－0.2解析因为x ＝15×(9＋9.5＋10＋10.5＋11)＝10，y ＝15×(11＋10＋8＋6＋5)＝8，所以8＝10b ^＋40，解得b ^＝－3.2，所以y ^＝－3.2x ＋40，当x ＝9时，y ^＝11.2，所以残差为11－11.2＝－0.2.课时精练1．下列有关线性回归的说法，不正确的是()A．具有相关关系的两个变量不是因果关系B．散点图能直观地反映数据的相关程度C．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系D．任一组数据都有经验回归方程答案D解析根据两个变量具有相关关系的概念，可知A正确；散点图能直观地描述呈相关关系的两个变量的相关程度，且回归直线最能代表它们之间的相关关系，所以B，C正确；具有相关关系的成对样本数据才有经验回归方程，所以D不正确．2．对于样本相关系数，下列说法错误的是()A．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关的正负性B．样本相关系数可以是正的，也可以是负的C．样本相关系数r∈[－1,1]D．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强答案D解析样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强，故D错误．3．(2023·运城模拟)在线性回归模型中，变量x 与y 的一组样本数据对应的点均在直线y ＝12x ＋1上，R 2＝1－i ＝1n(y i －y ^i )2i ＝1n (y i －y )2，则R 2等于() A.14 B.12 C ．1 D.52 答案C解析因为样本数据对应的点均在一条直线上，所以R 2＝1.4．(多选)某工厂研究某种产品的产量x (单位：吨)与所需某种材料y (单位：吨)之间的相关关系，在生产过程中收集4组数据如表所示．根据表中数据可得经验回归方程为y ^＝0.7x ＋a ^，则下列四个说法中正确的为()A.变量x 与y 正相关 B ．y 与x 的样本相关系数r <0C.a ^＝0.35D ．当产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨答案ACD解析因为经验回归方程y ^＝0.7x ＋a ^，所以变量x 与y 呈正相关，所以样本相关系数r >0，故A 正确，B 错误；由表格可得x ＝3＋4＋6＋74＝5，y ＝2.5＋3＋4＋5.94＝3.85，则0.7×5＋a ^＝3.85，解得a ^＝0.35，故C 正确；所以经验回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，当x ＝8时，y ^＝0.7×8＋0.35＝5.95，即产量为8吨时，预测所需材料约为5.95吨，故D 正确．5．(多选)(2023·唐山模拟)某制衣品牌为使成衣尺寸更精准，选择了10名志愿者，对其身高(单位：cm)和臂展(单位：cm)进行了测量，这10名志愿者身高和臂展的折线图如图所示．已知这10名志愿者身高的平均值为176 cm ，根据这10名志愿者的数据求得臂展u 关于身高v 的经验回归方程为u ^＝1.2v －34，则下列结论正确的是()A ．这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．这10名志愿者的身高和臂展呈负相关C ．这10名志愿者臂展的平均值为176.2 cmD ．根据经验回归方程可估计身高为160 cm 的人的臂展为158 cm 答案AD解析对于选项A ，因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A 正确；对于选项B ，因为1.2>0，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B 错误；对于选项C ，因为这10名志愿者身高的平均值为176cm ，所以这10名志愿者臂展的平均值为1.2×176－34＝177.2(cm)，故C 错误；对于选项D ，若一个人的身高为160 cm ，则由经验回归方程u ^＝1.2v －34，可得这个人的臂展的估计值为158 cm ，故D 正确．6．色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中：已知该产品的色度y 和色差x 之间满足线性相关关系，且y ^＝0.8x ＋a ^，现有一对测量数据为(30,23.6)，则该数据的残差为()A.－0.96B ．－0.8C ．0.8D ．0.96 答案C解析由题意可知，x ＝21＋23＋25＋274＝24，y ＝15＋18＋19＋204＝18，将(24,18)代入y ^＝0.8x ＋a ^，即18＝0.8×24＋a ^，解得a ^＝－1.2，所以y ^＝0.8x －1.2，当x ＝30时，y ^＝0.8×30－1.2＝22.8，所以该数据的残差为23.6－22.8＝0.8.7．某智能机器人的广告费用x (万元)与销售额y (万元)的统计数据如表所示：根据此表可得经验回归方程为y ^＝5x ＋a ^，据此模型预测广告费用为8万元时销售额为________万元．答案57解析由表格，得x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝28＋31＋41＋484＝37，所以37＝5×4＋a ^，即a ^＝17，所以预测当广告费用为8万元时，销售额为5×8＋17＝57(万元)．8．已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点图分布在函数y ＝2e 2x ＋1的图象附近，设z ＝ln y ，将其变换后得到经验回归方程为z ＝mx ＋n ，则mn ＝________. 答案2ln2＋2解析由z ＝ln y ，则ln y ＝ln2e 2x ＋1，即z ＝ln2＋lne 2x ＋1＝ln2＋2x ＋1，则z ＝2x ＋ln2＋1，故m ＝2，n ＝ln2＋1，所以mn ＝2ln2＋2.9．假设关于某种设备的使用年限x (单位：年)与所支出的维修费用y (单位：万元)有如下统计资料：已知∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15y 2i ≈140.8，∑i ＝15x i y i ＝112.3，79≈8.9，2≈1.4.(1)求x ，y ；(2)计算y 与x 的样本相关系数r (精确到0.001)，并判断该设备的使用年限与所支出的维修费用的相关程度．附：样本相关系数r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y (∑ni ＝1x 2i －n x 2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2).解(1)x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.0.(2)∑i ＝15x i y i －5x y ＝112.3－5×4×5＝12.3，∑i ＝15x 2i －5x 2＝90－5×42＝10，∑i ＝15y 2i －5y2≈140.8－5×52＝15.8，所以r ＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x2∑i ＝15y 2i －5y2≈12.310×15.8＝12.32×79≈12.31.4×8.9≈0.987，r 接近1，说明该设备的使用年限与所支出的维修费用之间具有很高的相关性． 10．(2022·全国乙卷)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m 2)和材积量(单位：m 3)，得到如下数据：并计算得∑10i ＝1x 2i ＝0.038，∑10i ＝1y 2i ＝1.6158，∑10i ＝1x i y i ＝0.2474. (1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01)； (3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m 2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：样本相关系数r ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1 (x i －x )2∑ni ＝1(y i －y )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y (∑ni ＝1x 2i －n x 2)(∑ni ＝1y 2i －n y 2)，1.896≈1.377.解(1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值x ＝0.610＝0.06(m 2)，样本中10棵这种树木的材积量的平均值y ＝3.910＝0.39(m 3)，据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为0.06 m 2，平均一棵的材积量为0.39 m 3.(2)r＝∑i＝110xiyi－10x y(∑i＝110x2i－10x2)(∑i＝110y2i－10y2)＝0.2474－10×0.06×0.39 (0.038－10×0.062)×(1.6158－10×0.392)＝0.01340.0001896≈0.01340.01377≈0.97.(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.060.39＝186Y，解得Y＝1209.则该林区这种树木的总材积量的估计值为1209m3.11．(多选)针对某疾病，各地医疗机构采取了各种有针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y 关于x的经验回归方程为y^＝6x2＋a^，则下列说法正确的是()A.a^＝4B.a^＝－8C ．此回归模型第4周的残差为5D ．估计第6周治愈人数为220 答案BC解析设t ＝x 2，则y ^＝6t ＋a ^，由已知得t ＝15×(1＋4＋9＋16＋25)＝11，y ＝15×(2＋17＋36＋93＋142)＝58，所以a ^＝58－6×11＝－8，故A 错误，B 正确；在y ^＝6x 2－8中，令x ＝4，得y ^4＝6×42－8＝88，所以此回归模型第4周的残差为y 4－y ^4＝93－88＝5，故C 正确；在y ^＝6x 2－8中，令x ＝6，得y ^6＝6×62－8＝208，故D 错误．12．2020年，全球开展了某疫苗研发竞赛，我国处于领先地位，为了研究疫苗的有效率，在某地进行临床试验，对符合一定条件的10000名试验者注射了该疫苗，一周后有20人感染，为了验证疫苗的有效率，同期，从相同条件下未注射疫苗的人群中抽取2500人，分成5组，各组感染人数如下：并求得y 与x 的经验回归方程为y ^＝0.011x ＋a ^，同期，在人数为10000的条件下，以拟合结果估算未注射疫苗的人群中感染人数，记为N ；注射疫苗后仍被感染的人数记为n ，则估计该疫苗的有效率为________．(疫苗的有效率为1－n N，结果保留3位有效数字) 答案0.818解析由表格中的数据可得x ＝500，y ＝5，故a ^＝5－0.011×500＝－0.5，故N ＝0.011×10 000－0.5＝110－0.5＝109.5≈110，而n ＝20，故疫苗的有效率为1－20110≈0.818.13．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 7，y 7)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，7)都在曲线y ＝a ln(x －1895)＋12.15附近波动，经计算i ＝17(x i －1895)＝210.77，i ＝17y i ＝73.50，i ＝17ln(x i －1895)＝23.10，则实数a 等于()A ．－0.5B ．0.5C ．－1D ．1 答案A解析因为17i ＝17ln(x i －1895)＝23.107＝3.3，17i ＝17y i ＝73.507＝10.5，所以10.5＝3.3a ＋12.15，解得a ＝－0.5.14．(多选)已知由样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，10)组成的一个样本，得到经验回归方程为y ^＝2x －0.4，且x ＝2，去除两个歧义点(－2,1)和(2，－1)后，得到新的经验回归直线的斜率为3.则下列说法正确的是() A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．去除两个歧义点后，新样本中变量x j (j ＝1,2，…，8)的平均值变大C ．去除两个歧义点后的经验回归方程为y ^1＝3x －3 D ．去除两个歧义点后，样本数据(4,8.9)的残差为0.1 答案ABC解析对于A ，因为经验回归直线的斜率大于0，所以相关变量x ，y 具有正相关关系，故A 正确；对于B ，将x ＝2代入y ^＝2x －0.4得y ＝3.6，则去除两个歧义点后，得到新的相关变量的平均值分别为X ＝2×10－(－2＋2)8＝52，Y ＝3.6×10－(1－1)8＝92，故B 正确；对于C ，a ^＝92－3×52＝－3，新的经验回归方程为y ^1＝3x －3，故C 正确；对于D ，当x ＝4时，y ^1＝3×4－3＝9，残差为8.9－9＝－0.1，故D 错误．。

高中数学7-1条件概率与全概率公式7-1-2全概率公式课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第7章 7.1.2A 级——基础过关练1．袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球．今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二人取得黄球的概率为( )A ．35B ．1949C ．2049D ．25【答案】D 【解析】设A ＝{第一个人取到黄球}，B ＝{第二个人取到黄球}，则P (B )＝P (A )(B |A )＋P (A )P (B |A )，由题意知P (A )＝2050，P (A )＝3050，P (B |A )＝1944，P (B |A )＝2049，所以P (B )＝2050×1949＋3050×2049＝25.2．设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量占全厂产量的25%,35%,40%，而且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品，那它由甲车间生产的概率约为( )A ．0.013B ．0.362C ．0.468D ．0.035【答案】B3．甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，其产量分别占总量的25%,35%,40%，次品率分别为5%,4%,2%.从这批产品中任取一件，则它是次品的概率为( )A ．0.012 3B ．0.023 4C ．0.034 5D ．0.045 6 【答案】C 【解析】由全概率公式，得所求概率为0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034 5.4．已知甲袋中有6只红球，4只白球；乙袋中有8只红球，6只白球，随机取一只袋子，再从袋中任取一球，发现是红球，则此球来自甲袋的概率为( )A ．512B ．37C ．2041D ．2141【答案】D 【解析】设A ＝{取得红球}，B 1＝{来自甲袋}，B 2＝{来自乙袋}，则P (B 1)＝P (B 2)＝12，P (A |B 1)＝610，P (A |B 2)＝814，由贝叶斯公式得P (B 1A )＝P B 1P A |B 1B 1P A |B 1＋P B 2P A |B 2＝12×61012×610＋12×814＝2141. 5．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，每次从中任取一张，连取两次．若第一次取出的卡片不放回，则第二次取出的卡片上的数字大于第一次取出的数字的概率为( )A ．14B ．12 C ．25 D ．35【答案】B6．两台机床加工同样的零件，它们常出现废品的概率分别为0.03和0.02，加工出的零件放在一起，设第一台机床加工的零件比第二台的多一倍，则任取一个零件是合格品的概率为________．【答案】7375 【解析】第一台机床加工的零件比第二台多一倍，那么第一台机床生产的零件占据总零件的比例是23，第二台机床生产的零件占据总零件的比例是13，由全概率公式，得所求概率为(1－0.03)×23＋(1－0.02)×13＝7375.7．根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A 表示“试验反应为阳性”，以B 表示“被诊断者患有癌症”，则有P (A |B )＝0.95，P (A －|B )＝0.95，现对自然人群进行普查，设被实验的人患有癌症的概率为0.005，则P (B |A )＝________(保留两位有效数字)．【答案】0.087 【解析】P (A |B )＝1－P (A |B )＝1－0.95＝0.05，被试验的人患有癌症概率为0.005，就相当于P (B )＝0.005，由贝叶斯公式，得P (B |A )＝P B P A |BP B P A |B ＋PBP A |B＝0.005×0.950.005×0.95＋0.995×0.05≈0.087. 8．装有10件某产品(其中一等品5件，二等品3件，三等品2件)的箱子中丢失一件产品，但不知道是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为________．【答案】38 【解析】设事件A 表示从箱中任取2件都是一等品，事件B i 表示丢失的为i等品，i ＝1,2,3，那么P (A )＝P (B 1)·P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＋P (B 3)P (A |B 3)＝12×C 24C 29＋310×C 25C 29＋210×C 25C 29＝29.所以P (B 1|A )＝P B 1P A |B 1P A ＝38.9．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查，参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占35，乙班中女生占13，求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率．解：用A 1，A 2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的事件，则Ω＝A 1∪A 2，且A 1，A 2互斥，B ⊆Ω.由题意知P (A 1)＝58，P (A 2)＝38，P (B |A 1)＝35，P (B |A 2)＝13.由全概率公式可知P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＝58×35＋38×13＝12. 10．有三个箱子，分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2个红球3个白球， 3号箱装有3个红球．某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率．B 级——能力提升练11．某试卷只有1道选择题，但有6个答案，其中只有一个是正确的．考生不知道正确答案的概率为14，不知道正确答案而猜对的概率为16.现已知某考生答对了，则他猜对此题的概率为( )A ．14 B ．119 C ．1116D ．1924【答案】B 【解析】设A ＝{不知道正确答案}，B ＝{猜对此题}，则P (A )＝14，P (A )＝1－14＝34，P (B |A )＝16.∴P (A |B )＝P A P B |A P A P B |A ＋PAP B |A＝14×1614×16＋34×1＝119. 12．甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有1个白球，3个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱中，再从乙箱任取一球．(1)已知从甲箱中取出的是白球的情况下，从乙箱也取出的是白球的概率是________； (2)从乙箱中取出白球的概率是________．【答案】25 825【解析】设A ＝“从甲箱中取出白球”，B ＝“从乙箱中取出白球”，则P (A )＝35，P (A )＝25，P (B |A )＝25，P (B |A )＝15，利用全概率公式，得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝35×25＋25×15＝825.13．设袋中装有10个阄，其中8个是白阄，2个是有物之阄，甲、乙二人依次抓取一个，求没人抓得有物之阄的概率．解：设A ，B 分别为甲、乙抓得有物之阄的事件． ∴P (A )＝P (B )P (A |B )＋P (B )P (A |B ) ＝210×19＋810×29＝15， P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A )P (B |A )＝210×19＋810×29＝15. ∴1－P (A )－P (B )＝1－15－15＝35.C 级——探究创新练14．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，求第二次抽出的是黑球的概率．解：设A ＝{第一次抽出的是黑球}，B ＝{第二次抽出的是黑球}．由全概率公式，得P (B )＝P (A )P (B |A )＋P (A －)P (B |A －)．由题意P (A )＝ba ＋b，P (B |A )＝b ＋c a ＋b ＋c ，P (A －)＝a a ＋b，P (B |A －)＝b a ＋b ＋c.所以P (B )＝b b ＋ca ＋b a ＋b ＋c ＋ab a ＋b a ＋b ＋c ＝ba ＋b.。

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高考专题突破一高考中的导数应用问题【考点自测】1．若函数f (x )＝2sin x (x ∈[0，π])的图象在点P 处的切线平行于函数g (x )＝2x ⎝⎛⎭⎫x3＋1的图象在点Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为( ) A.83 B ．2 C.73 D.33 答案 A解析 f ′(x )＝2cos x ∈[－2,2]， g ′(x )＝x ＋1x≥2(当且仅当x ＝1时取等号)．当两函数的切线平行时，x p ＝0，x Q ＝1. 即P (0,0)，Q ⎝⎛⎭⎫1，83，∴直线PQ 的斜率为83. 2．(2017·全国Ⅱ)若x ＝－2是函数f (x )＝(x 2＋ax －1)·e x －1的极值点，则f (x )的极小值为( )A ．－1B ．－2e －3 C ．5e －3 D ．1答案 A解析函数f (x )＝(x 2＋ax －1)e x －1，则f ′(x )＝(2x ＋a )e x －1＋(x 2＋ax －1)e x －1＝e x －1·[x 2＋(a ＋2)x ＋a －1]．由x ＝－2是函数f (x )的极值点，得f ′(－2)＝e －3·(4－2a －4＋a －1)＝(－a －1)e －3＝0，所以a ＝－1.所以f (x )＝(x 2－x －1)e x －1，f ′(x )＝e x －1·(x 2＋x －2)．由e x －1＞0恒成立，得当x ＝－2或x ＝1时，f ′(x )＝0，且当x ＜－2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜1时，f ′(x )＜0；当x ＞1时，f ′(x )＞0.所以x ＝1是函数f (x )的极小值点．所以函数f (x )的极小值为f (1)＝－1. 故选A.3．设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x g (x ) B ．f (x )<g (x )C ．f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )>g (x )＋f (b ) 答案 C解析 ∵f ′(x )－g ′(x )>0，∴(f (x )－g (x ))′>0， ∴f (x )－g (x )在[a ，b ]上是增函数， ∴当a <x f (a )－g (a )， ∴f (x )＋g (a )>g (x )＋f (a )．4．若函数f (x )＝2x 3－3mx 2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m 的取值范围为____________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，52 解析 ∵f ′(x )＝6x 2－6mx ＋6，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )≥0恒成立，即x 2－mx ＋1≥0恒成立，∴m ≤x ＋1x 恒成立．令g (x )＝x ＋1x ，g ′(x )＝1－1x2，∴当x >2时，g ′(x )>0，即g (x )在(2，＋∞)上单调递增，∴m ≤2＋12＝52.5．(2017·江苏)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤－1，12 解析因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x －1e －x＝－x 3＋2x －e x ＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立，所以f (x )在R 上单调递增，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，所以－1≤a ≤12.题型一利用导数研究函数性质例1 (2018·沈阳质检)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R . (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．解 (1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)，所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增；当a ＞0，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减．所以当a ≤0时，函数g (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a ＞0时，函数g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当a ≤0时，f ′(x )单调递增，所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不符合题意； ②当0＜a ＜12，即12a ＞1时，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 上单调递增．可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )＞0. 所以f (x )在(0,1)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 上单调递增．所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不符合题意； ③当a ＝12，即12a ＝1时，f ′(x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不符合题意； ④当a ＞12，即0＜12a＜1时，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减．所以f (x )在x ＝1处取得极大值，符合题意 .综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ＞12. 思维升华利用导数主要研究函数的单调性、极值、最值．已知f (x )的单调性，可转化为不等式f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图象的性质进行分析．跟踪训练1 已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)当a ＝2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )在(－1,1)上单调递增，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x .令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－2，2)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为f ′(x )＝(－2x ＋a )e x ＋(－x 2＋ax )e x ＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ，所以[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0对x ∈(－1,1)都成立．因为e x >0，所以－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0对x ∈(－1,1)都成立，即a ≥x 2＋2x x ＋1＝(x ＋1)2－1x ＋1＝(x ＋1)－1x ＋1对x ∈(－1,1)都成立．令y ＝(x ＋1)－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0. 所以y ＝(x ＋1)－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，所以y <(1＋1)－11＋1＝32，即a ≥32.经检验a ＝32时，符合题意．因此a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥32.题型二利用导数研究函数零点问题例2 已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a >0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝a (a >0)．当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )．(2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)<0，f (－1)>0，f (0)<0，解得0<a <13.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13. 思维升华函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．跟踪训练2 (2018·合肥调研)设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k >0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．(1)解函数的定义域为(0，＋∞)．由f (x )＝x 22－k ln x (k >0)，得f ′(x )＝x －k x ＝x 2－kx.由f ′(x )＝0，解得x ＝k (负值舍去)．f ′(x )与f (x )在区间(0，＋∞)上随x 的变化情况如下表：所以，f (x )的单调递减区间是(0，k )，单调递增区间是(k ，＋∞)． f (x )在x ＝k 处取得极小值f (k )＝k (1－ln k )2，无极大值． (2)证明由(1)知，f (x )在区间(0，＋∞)上的最小值为f (k )＝k (1－ln k )2.因为f (x )存在零点，所以k (1－ln k )2≤0，从而k ≥e ，当k ＝e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且f (e)＝0，所以x ＝e 是f (x )在区间(1，e]上的唯一零点；当k >e 时，f (x )在区间(1，e]上单调递减且 f (1)＝12>0，f (e)＝e －k 2<0，所以f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．题型三利用导数研究不等式问题例3 (2017·陕西省宝鸡市质检)设函数f (x )＝ax 2ln x ＋b (x －1)，曲线y ＝f (x )过点(e ，e 2－e ＋1)，且在点(1,0)处的切线方程为y ＝0. (1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )≥(x －1)2；(3)若当x ≥1时，f (x )≥m (x －1)2恒成立，求实数m 的取值范围．(1)解由题意可知，f (x )＝ax 2ln x ＋b (x －1)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ln x ＋ax ＋b (x >0)， ∵f ′(1)＝a ＋b ＝0，f (e)＝a e 2＋b (e －1)＝a (e 2－e ＋1) ＝e 2－e ＋1， ∴a ＝1，b ＝－1.(2)证明 f (x )＝x 2ln x －x ＋1， f (x )－(x －1)2＝x 2ln x ＋x －x 2，设g (x )＝x 2ln x ＋x －x 2(x ≥1)，则g ′(x )＝2x ln x －x ＋1.由(g ′(x ))′＝2ln x ＋1>0，得g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增，∴g ′(x )≥g ′(1)＝0， ∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝0. ∴f (x )≥(x －1)2.(3)解设h (x )＝x 2ln x －x －m (x －1)2＋1(x ≥1)，则h ′(x )＝2x ln x ＋x －2m (x －1)－1，由(2)知x 2ln x ≥(x －1)2＋x －1＝x (x －1)， ∴x ln x ≥x －1，∴h ′(x )≥3(x －1)－2m (x －1)＝(3－2m )(x －1)． ①当3－2m ≥0，即m ≤32时，h ′(x )≥0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (1)＝0成立． ②当3－2m <0，即m >32时，h ′(x )＝2x ln x ＋(1－2m )(x －1)，(h ′(x ))′＝2ln x ＋3－2m ，令(h ′(x ))′＝0，得x ＝232e m ->1，当x ∈[1，232em -)时，h ′(x )单调递减，则h ′(x )≤h ′(1)＝0，∴h (x )在[1，232em -)上单调递减，∴h (x )≤h (1)＝0，即h (x )≥0不成立．综上，m ≤32.思维升华求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值较烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解．跟踪训练 3 已知函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋a ，g (x )＝－2x ＋9x ，若对任意的x 1∈[－1,2]，存在x 2∈[2,4]，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎣⎡⎦⎤－74，－32 解析问题等价于f (x )的值域是g (x )的值域的子集，显然，g (x )单调递减，∴g (x )max ＝g (2)＝12，g (x )min ＝g (4)＝－234；对于f (x )，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，令f ′(x )＝0，解得x ＝13或x ＝1，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况列表如下：∴f (x )max ＝a ＋2，f (x )min ＝a －4，∴⎩⎨⎧a ＋2≤12，a －4≥－234，∴a ∈⎣⎡⎦⎤－74，－32.1．已知函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的最小值；(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，求实数a 的取值范围．解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f (x )的导数f ′(x )＝1＋ln x ，令f ′(x )>0，解得x >1e ，令f ′(x )<0，解得0<x <1e ，从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增．所以，当x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e.(2)由题意，得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x 对于x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x . 当x >1时，因为g ′(x )＝1x ⎝⎛⎭⎫1－1x >0，故g (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以g (x )的最小值是g (1)＝1，从而a 的取值范围是(－∞，1]．2．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a 的值；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． (1)解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a . 曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2. 由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2. 设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4. 由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增， g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )．h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点． 3．已知函数f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x .(1)若曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，求a 与b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同的交点，求b 的取值范围．解由f (x )＝x 2＋x sin x ＋cos x ，得f ′(x )＝x (2＋cos x )．(1)因为曲线y ＝f (x )在点(a ，f (a ))处与直线y ＝b 相切，所以f ′(a )＝a (2＋cos a )＝0，b ＝f (a )，解得a ＝0，b ＝f (0)＝1.(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：所以函数f (x )在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，f (0)＝1是f (x )的最小值．当b ≤1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 最多只有一个交点；当b >1时，f (－2b )＝f (2b )≥4b 2－2b －1>4b －2b －1>b ， f (0)＝11时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有且仅有两个不同的交点．综上可知，如果曲线y ＝f (x )与直线y ＝b 有两个不同的交点，那么b 的取值范围是(1，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝－ax ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解 (1)由题意得，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，易求得f ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2，令h (x )＝ax 2－2x ＋a .①当a ≤0时，h (x )<0在(0，＋∞)上恒成立，则f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a >0时，Δ＝4－4a 2.(ⅰ)当0<a <1时，由f ′(x )>0，即h (x )>0，得x <1－1－a 2a 或x >1＋1－a 2a ；由f ′(x )<0，即h (x )<0，得1－1－a 2a <x <1＋1－a 2a.所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－a 2a 和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－a 2a ，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－a 2a ，1＋1－a 2a . (ⅱ)当a ≥1时，h (x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)因为存在x 0∈[1，e]，使得f (x 0)>g (x 0)成立，所以ax 0>2ln x 0，即a >2ln x 0x 0. 令F (x )＝2ln x x，则题目等价于当x ∈[1，e]时，a >F (x )min .对F (x )求导，得F ′(x )＝2(1－ln x )x 2. 因为当x ∈[1，e]时，F ′(x )≥0，所以F (x )在[1，e]上单调递增．所以F (x )min ＝F (1)＝0，因此a >0，即实数a 的取值范围为(0，＋∞)．5．(2017·豫南九校联考)对于函数y ＝H (x )，若在其定义域内存在x 0，使得x 0·H (x 0)＝1成立，则称x 0为函数H (x )的“倒数点”．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12(x ＋1)2－1. (1)求证：函数f (x )有“倒数点”，并讨论函数f (x )的“倒数点”的个数；(2)若当x ≥1时，不等式xf (x )≤m [g (x )－x ]恒成立，试求实数m 的取值范围．(1)证明设h (x )＝ln x －1x，x >0，则h ′(x )＝1x ＋1x2>0，x >0，所以h (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数．而h (1)＝－1<0，h (e)＝1－1e>0，所以函数h (x )有零点且只有一个零点．所以函数f (x )有“倒数点”且只有一个“倒数点”．(2)解 xf (x )≤m [g (x )－x ]等价于2x ·ln x ≤m (x 2－1)，设d (x )＝2ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x ，x ≥1. 则d ′(x )＝－mx 2＋2x －m x 2，x ≥1，易知－mx 2＋2x －m ＝0的判别式为Δ＝4－4m 2.①当m ≥1时，d ′(x )≤0，d (x )在[1，＋∞)上单调递减，d (x )≤d (1)＝0，符合题意； ②当0<m <1时，方程－mx 2＋2x －m ＝0有两个正根且0<x 1<1<x 2，则函数d (x )在(1，x 2)上单调递增，此时d (x )>d (1)＝0，不合题意；③当m ＝0时，d ′(x )>0，d (x )在(1，＋∞)上单调递增，此时d (x )>d (1)＝0，不合题意；④当－1<m <0时，方程－mx 2＋2x －m ＝0有两个负根，d (x )在(1，＋∞)上单调递增，此时d (x )>d (1)＝0，不合题意；⑤当m ≤－1时，d ′(x )≥0，d (x )在(1，＋∞)上单调递增，此时d (x )>d (1)＝0，不合题意．综上，实数m 的取值范围是[1，＋∞)．6．(2018·泉州调研)已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝a x，a 为实常数． (1)设F (x )＝f (x )－g (x )，当a >0时，求函数F (x )的单调区间；(2)当a ＝－e 时，直线x ＝m ，x ＝n (m >0，n >0)与函数f (x )，g (x )的图象一共有四个不同的交点，且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形．求证：(m －1)(n －1)<0.(1)解 F (x )＝e x －a x，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而F ′(x )＝e x ＋a x 2，当a >0时，F ′(x )>0，故F (x )的单调递增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明因为直线x ＝m 与x ＝n 平行，故该四边形为平行四边形等价于f (m )－g (m )＝f (n )－g (n )且m >0，n >0.当a ＝－e 时，F (x )＝f (x )－g (x )＝e x ＋e x(x >0)，则F ′(x )＝e x －e x 2，令g (x )＝F ′(x )＝e x －e x 2，则g ′(x )＝e x ＋2e x 3>0，故F ′(x )＝e x －e x 2在(0，＋∞)上单调递增．而F ′(1)＝e －e 12＝0，故当x ∈(0,1)时，F ′(x )<0，F (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )>0，F (x )单调递增．而F (m )＝F (n )，故0<m <1<n 或0<n <1<m ，所以(m －1)(n －1)<0.。

2019版高考数学文人教A版全国版综合提分练集全国各地

单元检测七不等式考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则下列选项中正确的是( ) A ．ac >bc B ．a 2>b 2 C ．a 3>b 3D.1a >1b2．(2017·北京朝阳区二模)已知x >y ，则下列不等式一定成立的是( ) A.1x <1y B ．log 2(x －y )>0 C ．x 3<y 3D.⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫12y3．(2018·开封模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则a ＋b 等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－25D ．254．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，x ＋y ≥0，x ≤4，则z ＝2x ＋3y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．5D ．25．不等式x 2＋x －6x ＋1>0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1或x >3}B ．{x |－3<x <－1或x >2}C ．{x |x <－3或－1<x <2}D ．{x |x <－3或x >2}6．(2018届永州一模)《几何原本》卷2的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．现有图形：AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆周上，CD ⊥AB 于点C ，设AC ＝a ，BC ＝b ，直接通过比较线段OD 与线段CD 的长度可以完成的“无字证明”为( )A.b ＋m a ＋m >b a (b >a >0，m >0)B.a 2＋b 2≥22(a ＋b )(a >0，b >0) C.2ab a ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)7．已知f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上f ′(x )>0，且偶函数f (x )满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13，则x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎝⎛⎭⎫－∞，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，238．(2018·烟台模拟)已知a >1，设函数f (x )＝a x ＋x －4的零点为m ，g (x )＝log a x ＋x －4的零点为n ，则mn 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．19．(2017·黔东南州模拟)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝x 2＋y 2的最大值是( )A.43B.522C.73D ．3 210．(2018届山西名校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝|x －3y |的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．611．若x ，y ，a 是正实数，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，则a 的最小值是( )A.22 B. 2 C ．2 D.1212．已知k ≥－1，实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，y ≥k ，且y ＋1x的最小值为k ，则k 的值为( ) A.2－25B.2±25C.3－52D.3±52第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y ≤8，3x ＋y ≤9，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．14．设x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y >0，y ≤x ，|x |＋|y |≤1，则z ＝x ＋y 的最大值为________．15．已知两正实数a ，b ，满足a ＋b ＝4，则a a 2＋1＋bb 2＋1的最大值为________． 16．在△ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝1t ，AC ＝t ，P 是△ABC 所在平面内一点，若AP →＝4AB →|AB →|＋AC→|AC →|，则△PBC 面积的最小值为______．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018·郑州模拟)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．18．(12分)已知关于x 的不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)． (1)若不等式的解集为{x |x <－3或x >－2}，求k 的值； (2)若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．19.(12分)(2018届河北衡水中学测试)已知函数f (x )＝log 4x ，x ∈⎣⎡⎦⎤116，4的值域是集合A ，关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫123x ＋a >2x(a ∈R )的解集为B ，集合C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪5－x x ＋1≥0，集合D ＝{x |m ＋1≤x <2m －1}(m >0)．(1)若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围； (2)若D ⊆C ，求实数m 的取值范围．20．(12分)某科研小组研究发现：一棵水果树的产量ω(单位：百千克)与肥料费用x (单位：百元)满足如下关系：ω(x )＝⎩⎨⎧12x 2＋1(0≤x ≤2)，4－31＋x (2<x ≤5).此外，还需要投入其它成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为L (x )(单位：百元)． (1)求L (x )的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？21.(12分)(2018届贵阳普通高中摸底)已知函数f (x )＝x ＋|x ＋2|. (1)求不等式f (x )≥6的解集M ；(2)记(1)中集合M 中元素最小值为m ，若a ，b 是正实数，且a ＋b ＝m ，求⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1的最小值．22．(12分)园林管理处拟在公园某区域规划建设一半径为r 米，圆心角为θ(弧度)的扇形景观水池，其中O 为扇形AOB 的圆心，同时紧贴水池周边建一圈理想的无宽度步道，要求总预算费用不超过24万元，水池造价为每平方米400元，步道造价为每米1 000元．(1)当r 和θ分别为多少时，可使广场面积最大，并求出最大值； (2)若要求步道长为105米，则可设计出水池的最大面积是多少？答案精析1．C 2.D 3.D 4.C 5.B6．D [∵OD 是半圆的半径，AB ＝a ＋b 为圆的直径，∴OD ＝a ＋b2，由△ACD ∽△DCB 可知，CD 2＝AC ·BC ＝ab ，CD ＝ab .在Rt △ODC 中，OD >CD ，即a ＋b 2>ab ，当O 与C 重合时，a ＋b 2＝ab ，所以a ＋b2≥ab ，故选D.] 7．A [因为f ′(x )是f (x )的导函数，在区间[0，＋∞)上，f ′(x )>0，所以函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，又因为函数f (x )为偶函数，所以f (|x |)＝f (x )，所以要求f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的解集，等价于求解f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪13的解集，等价于求|2x －1|<13的解集，解得13<x <23，故选A.]8．B [令f (x )＝0，g (x )＝0，得a x ＝4－x ，log a x ＝4－x ，因为y 1＝a x 与y 2＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称，所以m ，n 关于两直线y ＝x 和y ＝4－x 交点的横坐标对称，则m ＋n ＝4，所以mn ≤⎝⎛⎭⎫m ＋n 22＝4.]9．C [先根据约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3画出可行域，而z ＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离|OP |，点P 为阴影中的动点，在点B 处时|OP |最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，x －y ＋5＝0，可得B (3,8)，当在点B (3,8)时，z 最大，最大值为32＋82＝73，故选C.]10．C [由⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ＋1，y ≤3－x ，根据题意画出可行域，△ABC 区域及其边界为满足不等式组的所有点的集合，由z ＝|x －3y |，得⎩⎨⎧y ＝13x ＋13z ，y >13x或⎩⎨⎧y ＝13x －13z ，y ≤13x ，平移直线y ＝13x ，结合图象可知当直线经过B 点或A 点时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ＝x ＋1，y ＝3－x解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即(1,2)为点B 的坐标，代入得z ＝|x －3y |＝5，又A 点坐标为(3,0)，此时z ＝|x －3y |＝3.故选C.]11．B [由题意x ，y ，a 是正实数，且x ＋y ≤a x ＋y 恒成立，故有x ＋y ＋2xy ≤a 2(x ＋y )，即a 2－1≥2xy x ＋y ，由于2xy x ＋y ≤x ＋y x ＋y ＝1(当且仅当x ＝y 时取等号)，即a 2－1≥1，解得a ≥2，则a 的最小值是2，故选B.] 12．C [画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，y ≥k表示的平面区域如图，因为y ＋1x ＝y －(－1)x －0的几何意义是平面区域内的动点P (x ，y )与A (0，－1)连线的斜率，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，3x －2y ＝6，得C ⎝⎛⎭⎫145，65，由平面区域的存在可得－1≤k <65，所以结合图形可以看出点B (4－k ，k )与定点A (0，－1)连线的斜率最小，其最小值为⎝⎛⎭⎫y ＋1x min＝k －(－1)4－k ＝k ＋14－k＝k ，解得k ＝3－52或3＋52(舍)，所以⎝⎛⎭⎫y ＋1x min ＝3－52，故选C.]13．12解析作出不等式表示的平面区域(阴影部分)如图，由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋z 3，平移直线y ＝－13x ＋z 3，由图象可知当直线y ＝－13x ＋z3经过点A (0,4)时，直线y ＝－13x ＋z3的截距最大，此时z 有最大值，最大值为z ＝0＋3×4＝12.14．1解析作出不等式组所表示的可行域如图所示，平移直线y ＝－x 可得，目标函数在线段AB 上取得最大值，故目标函数的最大值为z ＝12＋12＝1. 15.5＋14解析由题意得z ＝a a 2＋1＋bb 2＋1＝4ab ＋4a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝4ab ＋4a 2b 2－2ab ＋17＝4(ab ＋1)(ab －1)2＋16，令ab －1＝t ，则z ＝4(t ＋2)t 2＋16，因为a ＋b ＝4(a >0，b >0)，所以0<ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，所以t ∈(－1,3]，所以由z ′＝－4(t 2＋4t －16)(t 2＋16)2＝0，得t ＝25－2，因为当t ∈(－1,25－2)时，z 为增函数；当t ∈[25－2,3]时，z 为减函数，所以当t ＝25－2时，z max ＝5＋14. 16.32解析以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴、AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则P (1,4)，C (t,0)，B ⎝⎛⎭⎫0，1t ，直线BC ：xt ＋ty ＝1，即直线BC ：x ＋t 2y －t ＝0，又点P 到直线BC 的距离d ＝|1＋4t 2－t |1＋t 4，所以S △PBC ＝12×|1＋4t 2－t |1＋t 4×t 2＋1t2＝12⎪⎪⎪⎪4t ＋1t －1≥12⎪⎪⎪⎪24t ·1t －1＝32，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时“＝”成立，所以△PBC 面积的最小值为32.17．解设f (x )的最小值为g (a )，对称轴为x ＝－a2.(1)当－a2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤73，故此时解集为∅；(2)当－a2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；(3)当－a2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4.综上，a 的取值范围是[－7,2]．18．解 (1)因为不等式kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)的解集为 {x |x <－3或x >－2}，所以x 1＝－3，x 2＝－2是方程kx 2－2x ＋6k ＝0(k ≠0)的两根，所以k ＝－25.(2)若不等式的解集为R ，即kx 2－2x ＋6k <0(k ≠0)恒成立，则满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ＝4－24k 2<0，所以k <－66，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－66. 19．解 (1)因为4>1，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤116，4上单调递增，所以f (x )min ＝log 4116＝－2，f (x )max ＝log 44＝1，所以A ＝[－2,1]．由⎝⎛⎭⎫123x ＋a >2x(a ∈R )，可得2－(3x ＋a )>2x ，即－3x －a >x ，所以x <－a4，所以B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－a 4. 又因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B . 所以－a4>1，解得a <－4，所以实数a 的取值范围为(－∞，－4)． (2)由5－x x ＋1≥0，解得－1<x ≤5，所以C ＝(－1,5]．因为D ⊆C ，①当m ＋1≥2m －1，即0<m ≤2时，D ＝∅，满足D ⊆C ； ②当m ＋1<2m －1，即m >2时，D ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1>－1，2m －1≤5，解得－2<m ≤3，又因为m >2，所以2<m ≤3.综上所述，实数m 的取值范围为(0,3]．20．解 (1)L (x )＝16ω(x )－2x －x＝⎩⎪⎨⎪⎧ 8x 2＋16－3x (0≤x ≤2)，64－481＋x －3x (2<x ≤5). (2)当0≤x ≤2时，L (x )max ＝L (2)＝42，当2<x ≤5时，L (x )＝67－⎣⎡⎦⎤48x ＋1＋3(x ＋1) ≤67－248x ＋1×3(x ＋1)＝43. 当且仅当48x ＋1＝3(x ＋1)，即x ＝3时等号成立．答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4 300元．21．解 (1)f (x )≥6，即为x ＋|x ＋2|≥6，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－2，x －x －2≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x ＋x ＋2≥6，解得x ≥2，∴M ＝{x |x ≥2}．(2)由(1)知m ＝2，即a ＋b ＝2，且a ，b 是正实数，∴⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 2a ＋1⎝⎛⎭⎫a ＋b 2b ＋1＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋32⎝⎛⎭⎫a 2b ＋32＝52＋34⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥52＋34×2b a ×a b ＝4，当且仅当a b ＝b a，即a ＝b ＝1时， ⎝⎛⎭⎫1a ＋1⎝⎛⎭⎫1b ＋1取得最小值4. 22．解 (1)由题意，得弧长AB 为θr ，扇形面积为S ＝12θr 2，则400×12θr 2＋1 000(2r ＋θr )≤24×104，即θr 2＋5(2r ＋θr )≤1 200，因为θr ＋2r ≥22θr 2，所以θr 2＋102θr 2≤1 200，令t ＝2θr 2，t >0，则t 22＋10t ≤1 200，解得0<t ≤40，所以当且仅当θr ＝2r ＝40，即θ＝2，r ＝20时面积S ＝12θr 2的最大值为400. (2)由θr ＋2r ＝105，得θ＝105r－2<2π， θr ＝105－2r 代入可得(105－2r )r ＋5×105≤1 200，即2r 2－105r ＋675≥0，解得r ≤152或r ≥45，又S ＝12θr 2＝12(105－2r )r ＝－r 2＋1052r ＝－⎝⎛⎭⎫r －10542＋105216，当r ≤152时，θ＝105r －2≥105152－2＝12>2π，与θ<2π不符，因为S 在[45，＋∞)上单调递减，所以当r ＝45时，S max ＝337.5，此时θ＝13.。

【挑战高考】2019高考数学总复习轻松突破提分训练 9-3 文新人教A版

《挑战高考》2018高考数学总复习（人教A 文）轻松突破提分训练试题：9-3[一、选择题1．(2019年滨拟)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为( )A ．32B ．0.2C ．40D ．0.25解析：中间一个占总面积的15，即15＝x160，∴x ＝32.答案：A2．(2019年厦门质检)某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )A ．90B ．75C ．60D ．45解析：产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.300，设样本容量为n ，则36n＝0.300，所以n ＝120，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是120×0.75＝90.答案：A3．(2019年高考陕西卷)对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数、极差分别是( )A ．46,45,56B ．46,45,53C ．47,45,56D ．45,47,53解析：直接列举求解．由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49, 50,50,51,51,54,57,59,61,67,68，中位数是46，众数是45，最大数为68，最小数为12，极差为68－12＝56.答案：A4．(2019年黄拟)一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )A ．40.6,1.1B ．48.8,4.4C ．81.2,44.4D ．78.8,75.6 解析：记原数据依次为x 1，x 2，x 3，…，x n ，则新数据依次为2x 1－80,2x 2－80,2x 3－80，…，2x n －80，且1＋x 2＋…＋x n －80n n ＝1.2，因此有x 1＋x 2＋…＋x n n ＝1.2＋802＝40.6，结合各选项知正确选项为A.答案：A5．(2019年高考江西卷)小波一星期的总开支分布如图(1)所示，一星期的食品开支如图(2)所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A．30% B．10%C．3% D．不能确定解析：利用“整数值”定比例．由题图(2)可知小波一星期的食品开支共计300元，其中鸡蛋开支30元．又由题图(1)知，一周的食品开支占总开支的30%，则可知一周总开支为1 000元，所以鸡蛋开支占总开支的百分比为301 000×100%＝3%.答案：C二、填空题6．(2019年南拟)一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图所示)．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则在[2 500,3 000)月收入段应抽出________人．解析：由图可得月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×500＝0.25，所以在[2 500,3 000)月收入段应抽取100×0.25＝25(人)．答案：257．(2019年苏拟)甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：．解析：x 甲＝x 乙＝9，s 2甲＝15×[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15×[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s 2甲，故甲更稳定．答案：甲8．甲、乙两个体能康复训练小组各有10名组员，经过一段时间训练后，某项体能测试结果的茎叶图如图所示，则这两个小组中体能测试平均成绩较高的是________组．解析：由茎叶图所给数据依次确定两组体能测试的平均成绩分别为x 甲＝63＋65＋66＋71＋77＋77＋79＋81＋84＋9210＝75.5，x乙＝58＋68＋69＋74＋75＋78＋79＋80＋82＋9110＝75.4，故平均成绩较高的是甲．答案：甲9．(2019年高考广东卷)由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)解析：利用平均数、中位数、标准差公式分类讨论求解．假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝141－2＋2－2＋3－2＋4－2]＝121－2＋2－2＋－x2－2＋－x1－2＝121－2＋2－2]＝1，∴(x1－2)2＋(x2－2)2＝2.同理可求得(x3－2)2＋(x4－2)2＝2.由x1，x2，x3，x4均为正整数，且(x1，x2)，(x3，x4)均为圆(x－2)2＋(y－2)2＝2上的点，分析知x1，x2，x3，x4应为1,1,3,3.答案：1,1,3,3三、解答题10．某市电视台为宣传在伦敦举办的“2019年奥运会”，随机对该市15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“2019年奥运会是第几届奥运会？”，统计结果如图表所示：(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)在第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组应各抽取多少人？(3)在(2)的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解析：(1)由频率分布表中第1组数据可知，第1组总人数为50.5＝10，再结合频率分布直方图可知n ＝100.010×10＝100，∴a ＝100×0.020×10×0.9＝18，b ＝100×0.025×10×0.36＝9，x ＝27100×0.030×10＝0.9，y ＝3100×0.015×10＝0.2. (2)∵第2,3,4组中回答正确的共有54人，∴利用分层抽样的方法在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组，1854×6＝2，第3组，2754×6＝3，第4组，954×6＝1.(3)设第2组的2人为A 1，A 2，第3组的3人为B 1，B 2，B 3，第4组的1人为C 1，则从6人中抽取2人的所有可能的结果为(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 3，C 1)，共15种情况，其中每2组至少有1人被抽中的情况有(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，共9种情况．故第2组至少有1人获得幸运奖的概率为915＝35.11．在某电脑杂志的一篇文章中，每个句子的字数如下：10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17. 在某报纸的一篇文章中，每个句子中所含的字数如下：27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22. (1)将这两组数据用茎叶图表示；(2)将这两组数据进行比较分析，得到什么结论？解析：(1)茎叶图如图所示．(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在10～30之间，中位数为22.5；而报纸上每个句子的字数集中在10～40之间，中位数为27.5.还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句子的平均字数要少．说明电脑杂志作为读物通俗易懂、简明清晰．12．(能力提升)(2019年郑州质检)某中学共有1 000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：(1)为了了解同学们前段时间的复习情况，学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为95分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为110分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分．(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)解析：(1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中的个体数，故甲同学被抽到的概率P ＝110.(2)由题意得x ＝1 000－(60＋90＋300＋160)＝390.故估计该中学达到优秀线的人数m ＝160＋390×120－110120－90＝290.(3)频率分布直方图如图所示．该学校本次考试的数学平均分x －＝60×15＋90×45＋300×75＋390×105＋160×1351 000＝90.估计该学校本次考试的数学平均分为90分．[因材施教·学生备选练习]1．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65B.65C. 2D ．2解析：由题可知样本的平均值为1，所以a ＋0＋1＋2＋35＝1，解得a ＝－1，所以样本的方差为15×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.答案：D2．(2019年咸拟)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，测试成绩(单位：分)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m o ，平均值为x ，则( )A ．m e ＝m o ＝xB ．m e ＝m o <xC ．m e <m o <xD ．m o <m e <x解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人．中位数为第15、16个数(分别为5、6)的平均数，即m e ＝5.5,5出现的次数最多，故m o ＝5，x ＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m o <m e <x .故选D.答案：D。

高考数学大一轮复习提升练七2.4指数函数理新人教A版

核心素养提升练七指数函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下面式子中,①=3-π;②无理数e是自然对数的底数,可以得logπ1+ln e=1;③若a>b,则a2>b2;④若a>b,则<;正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选B.对于①,因为3<π,所以=|3-π|=π-3,错误;对于②,因为无理数e是自然对数的底数,所以logπ1+ln e=0+1=1,正确;对于③,因为0>a>b时,a2<b2,所以错误;对于④,y=是R 上的减函数,所以a>b时,<,正确.综上,以上正确的有②④两个.【变式备选】化简4·÷的结果为( )A.-B.-C.-D.-6ab【解析】选C.原式=·=-6ab-1=-.2.设a>0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( )A. B. C. D.【解析】选C.=====.3.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( )A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>c>a【解析】选 A.由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b>c;因为a=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.综上,a>b>c.4.已知f(x)=3x-b(2≤x≤4,b为常数)的图象经过点(2,1),则f(x)的值域为( ) A.[9,81] B.[3,9]C.[1,9]D.[1,+∞)【解析】选 C.由f(x)过定点(2,1)可知b=2,因为f(x)=3x-2在[2,4]上是增函数,f(x)min=f(2)=1,f(x)max=f(4)=9.5.若函数f(x)=2x+b-1(b∈R)的图象不经过第二象限,则b的取值范围为( )A.[1,+∞)B.(-∞,1]C.[0,+∞)D.(-∞,0]【解析】选D.因为当x<0时,y=2x∈(0,1).又函数f(x)=2x+b-1(b∈R)的图象不经过第二象限,则有b-1≤-1,解得b≤0.6.函数y=(0<a<1)的图象的大致图象是( )【解析】选D.当x>0时,|x|=x,此时y=a x(0<a<1);当x<0时,|x|=-x,此时y=-a x(0<a<1),则函数y=(0<a<1)的大致图象如图所示.7.已知a,b∈(0,1)∪(1,+∞),当x>0时,10时,11.因为当x>0时,b x<a x,所以当x>0时,>1.所以>1,所以a>b.所以1<b<a.二、填空题(每小题5分,共15分)8.-(π-1)0-+=________.【解析】原式=-1-+(4-3=-+42=16.答案:169.不等式>的解集为________.【解析】不等式>可化为>,等价于x2-2x<x+4,即x2-3x-4<0,解得-1<x<4.答案:{x|-1<x<4}10.指数函数y=f(x)的图象经过点(m,3),则f(0)+f(-m)=________.【解析】设f(x)=a x(a>0且a≠1),所以f(0)=a0=1.且f(m)=a m=3.所以f(0)+f(-m)=1+a-m=1+=. 答案:(20分钟40分)1.(5分)(2018·济宁模拟)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成立的是( )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b≥0,c>0C.2-a<2cD.2a+2c<2【解析】选D.作出函数f(x)=|2x-1|的图象,如图因为a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),结合图象知0<f(a)<1,a<0,c>0,所以0<2a<1.所以f(a)=|2a-1|=1-2a<1,所以f(c)<1,所以0<c<1,所以1<2c<2,所以f(c)=|2c-1|=2c-1,又因为f(a)>f(c),所以1-2a>2c-1,所以2a+2c<2.2.(5分)函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当a变动时,函数b=g(a)的图象可以是( )【解析】选B.作出y=2|x|的图象,如图,结合选项知a≤0,因为当a变动时,函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],所以-4≤a≤0,所以2|b|=16.即b=4,故-4≤a≤0,且b=4.3.(5分)(2019·阜阳模拟)若函数f(x)=a x(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)在[0,+∞)上是增函数,则a=________.【解析】当a>1时,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-为减函数,不合题意;若0<a<1,则a-1=4,a2=m,故a=,m=,g(x)=在[0,+∞)上是增函数,符合题意.答案:4.(12分)已知函数f(x)=.(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)的最大值是,求a的值.【解析】(1)令t=|x|-a,则f(x)=,不论a取何值,t在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,又y=是单调递减的,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是[0,+∞).(2)由于f(x)的最大值是,且=,所以t=|x|-a应该有最小值-2,从而a=2.5.(13分)已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常量,a>0,且a≠1)的图象经过点A(1,6),B(3,24).(1)求f(x)的表达式.(2)若不等式+-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)的图象过A(1,6),B(3,24),所以所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3.所以f(x)=3·2x.(2)由(1)知a=2,b=3,则x∈(-∞,1]时,+-m≥0恒成立,即m≤+在(-∞,1]上恒成立.又因为y=与y=均为减函数,所以y=+也是减函数,所以当x=1时,y=+有最小值.所以m≤.即m的取值范围是.。

2019版高考文科数学大一轮复习人教A版文档：9.7

§9.7　抛物线最新考纲考情考向分析1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.抛物线的方程、几何性质及与抛物线相关的综合问题是命题的热点．题型既有小巧灵活的选择、填空题，又有综合性较强的解答题.1．抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．2．抛物线的标准方程与几何性质y 2＝2px (p >0)y 2＝－2px (p >0)x 2＝2py (p >0)x 2＝－2py (p >0)标准方程p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标O (0,0)对称轴x 轴y 轴焦点坐标F (p2，0)F (－p 2，0)F(0，p2)F(0，－p 2)离心率e ＝1准线方程x ＝－p 2x ＝p 2y ＝－p2y ＝p 2范围x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下知识拓展1．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋，也称为抛物线的(p 2，0)p2焦半径．2．y 2＝ax (a ≠0)的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(a 4，0)a43．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝，y 1y 2＝－p 2.p 24(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝(α为弦AB 的倾斜角)．2psin2α(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　×　)(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方(a4，0)程是x ＝－.(　×　)a4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　×　)(4)AB 为抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(p2，0)x 1x 2＝，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .(　√　)p 24(5)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　×　)(6)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .(　√　)题组二　教材改编2．[P64A 组T3]过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( )A ．9 B ．8 C ．7 D ．6答案　B解析　抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3．[P59T1]已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________．答案　y 2＝－8x 或x 2＝－y解析　设抛物线方程为y 2＝2px (p ≠0)或x 2＝2py (p ≠0)．将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .题组三　易错自纠4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4 B ．6C ．8 D ．12答案　B解析　如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B.5．已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( )A ．y 2＝±2x B ．y 2＝±2x 2C ．y 2＝±4x D ．y 2＝±4x 2答案　D解析　由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则22＝，所以p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝±4x .故选D.p22226．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是__________．答案　[－1,1]解析　Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0，解得－1≤k ≤1.题型一　抛物线的定义及应用典例设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．答案　4解析　如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4.引申探究1．若将本例中的B 点坐标改为(3,4)，试求|PB |＋|PF |的最小值．解　由题意可知点B (3,4)在抛物线的外部．∵|PB |＋|PF |的最小值即为B ，F 两点间的距离，F (1,0)，∴|PB |＋|PF |≥|BF |＝＝2，42＋225即|PB |＋|PF |的最小值为2.52．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋5＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，求d 1＋d 2的最小值．解　由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．点P 到y 轴的距离d 1＝|PF |－1，所以d 1＋d 2＝d 2＋|PF |－1.易知d 2＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d 2＋|PF |的最小值为＝3，|1＋5|12＋(－1)22所以d 1＋d 2的最小值为3－1.2思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．跟踪训练设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________．答案　5解析　如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为＝.[1－(－1)]2＋(0－1)25题型二　抛物线的标准方程和几何性质命题点1　求抛物线的标准方程典例(2017·深圳模拟)如图所示，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝9x32C ．y 2＝x D ．y 2＝3x 92答案　D解析　分别过点A ，B 作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，且垂足分别为A 1，B 1，由已知条件|BC |＝2|BF |，得|BC |＝2|BB 1|，所以∠BCB 1＝30°.又|AA 1|＝|AF |＝3，所以|AC |＝2|AA 1|＝6，所以|CF |＝|AC |－|AF |＝6－3＝3，所以F 为线段AC 的中点．故点F 到准线的距离为p ＝|AA 1|＝，1232故抛物线的方程为y 2＝3x .命题点2　抛物线的几何性质典例已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝；p 24(2)＋为定值；1|AF |1|BF |(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明　(1)由已知得抛物线焦点坐标为.(p2，0)由题意可设直线方程为x ＝my ＋，代入y 2＝2px ，p2得y 2＝2p，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)(my ＋p2)因为在抛物线内部，(p 2，0)所以直线与抛物线必有两交点．则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根，所以y 1y 2＝－p 2.因为y ＝2px 1，y ＝2px 2，所以y y ＝4p 2x 1x 2，212212所以x 1x 2＝＝＝.y 21y 24p 2p 44p 2p 24(2)＋＝＋1|AF |1|BF |1x 1＋p 21x 2＋p 2＝.x 1＋x 2＋px 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24因为x 1x 2＝，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，p 24得＋＝＝(定值)．1|AF |1|BF ||AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 242p (3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝(|AC |＋|BD |)12＝(|AF |＋|BF |)＝|AB |.1212所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．跟踪训练 (1)(2017·广西三市调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，)到其焦点的距离是2A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.B ．1 C. D ．21232答案　D解析　由题意得3x 0＝x 0＋，即x 0＝，p2p4即A ，代入抛物线方程，得＝2，(p4，2)p 22∵p >0，∴p ＝2.故选D.(2)(2017·郑州二模)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝|AB |，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )12A. B. C. D ．2537597答案　A解析　设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E .∵|PA |＝|AB |，12∴Error!又Error!得x 1＝，23则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋＝.2353题型三　直线与抛物线的综合问题命题点1　直线与抛物线的交点问题典例已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若·＝0，则k ＝________.MA→ MB → 答案　2解析　抛物线C 的焦点为F (2,0)，则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，则抛物线C 与直线必有两个交点．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋，x 1x 2＝4.8k 2所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝，8k y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为·＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)MA→ MB → ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0，所以k ＝2.命题点2　与抛物线弦的中点有关的问题典例 (2016·全国Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．(1)证明　由题意知，F ，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，(12，0)且A ，B ，P ，Q ，R.(a 22，a )(b 22，b )(－12，a )(－12，b )(－12，a ＋b2)记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝＝＝a －b1＋a 2a －b a 2－ab 1a＝－＝－b ＝＝k 2.ab a b －0－12－12所以AR ∥FQ .(2)解　设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝|b －a ||FD |＝|b －a |，1212|x 1－12|S △PQF ＝.|a －b |2由题意可得|b －a |＝，|x 1－12||a －b |2所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得＝(x ≠1)．2a ＋b yx －1而＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．a ＋b2当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．跟踪训练(2018届武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N .(1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值；(2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程．解　(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将AB 的方程代入抛物线C ，得x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两不等实根，则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .①又x 2＝2py 得y ′＝，xp 则A ，B 处的切线斜率乘积为＝－＝－1，x 1x 2p 22p 则有p ＝2.(2)设切线AN 为y ＝x ＋b ，x 1p 又切点A 在抛物线y ＝上，x 22p∴y 1＝，∴b ＝－＝－，x 212p x 212p x 21p x 212p ∴y AN ＝x －.x 1p x 212p 同理y BN ＝x －.x 2p x 22p 又∵N 在y AN 和y BN 上，∴Error!解得N.(x 1＋x 22，x 1x 22p )∴N (pk ，－1)．|AB |＝|x 2－x 1|1＋k 2＝，1＋k 24p 2k 2＋8p 点N 到直线AB 的距离d ＝＝，|kxN ＋1－yN |1＋k 2|pk 2＋2|1＋k 2S △ABN ＝·|AB |·d 12＝≥2，p (pk 2＋2)32p ∴2＝4，∴p ＝2，2p 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .直线与圆锥曲线问题的求解策略典例 (12分)已知抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)，焦点为F ，直线2x －y ＋2＝0交抛物线C 于A ，B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点Q .(1)求抛物线C 的焦点坐标；(2)若抛物线C 上有一点R (x R,2)到焦点F 的距离为3，求此时m 的值；(3)是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．思维点拨　(3)中证明·＝0.QA→ QB → 规范解答解　(1)∵抛物线C ：x 2＝y ，1m ∴它的焦点F.[2分](0，14m )(2)∵|RF |＝y R ＋，14m ∴2＋＝3，得m ＝.[4分]14m 14(3)存在，联立方程Error!消去y 得mx 2－2x －2＝0，依题意，有Δ＝(－2)2－4×m ×(－2)>0，得m >－.[6分]12设A (x 1，mx )，B (x 2，mx )，则Error!(*)212∵P 是线段AB 的中点，∴P ，(x 1＋x 22，mx 21＋mx 22)即P ，∴Q，[8分](1m ，yP )(1m ，1m )得＝，QA → (x 1－1m ，mx 21－1m )＝.QB → (x 2－1m ，mx 2－1m )若存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形，则·＝0，QA→ QB → 即·＋＝0，[10分](x 1－1m )(x 2－1m )(mx 21－1m )(mx 2－1m )结合(*)式化简得－－＋4＝0，4m 26m 即2m 2－3m －2＝0，∴m ＝2或m ＝－，12而2∈，－∉.(－12，＋∞)12(－12，＋∞)∴存在实数m ＝2，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的直角三角形．[12分]解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x 1x 2，x 1＋x 2(或y 1y 2，y 1＋y 2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况．1．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线的距离为6，那么抛物线的方程是( )A ．y ＝12x 2B ．y ＝12x 2或y ＝－36x 2C ．y ＝－36x 2D ．y ＝x 2或y ＝－x 2112136答案　D解析　分两类a >0，a <0，可得y ＝x 2或y ＝－x 2.1121362．(2018届云南昆明一中摸底)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点A ∈l ，线段AF 交抛物线C 于点B ，若＝3，则||等于( )FA → FB → AF→ A ．3 B ．4 C ．6 D ．7答案　B解析　由已知B 为AF 的三等分点，作BH ⊥l 于H ，如图，则|BH |＝|FK |＝，∴||＝||＝，∴||＝3||＝4，故选B.2343BF → BH → 43AF → BF→3．(2017·皖北协作区联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为4，则抛物线C 的方程为( )5A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．x 2＝2y D ．x 2＝y答案　C解析　由Error!得Error!或Error!即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则＝4，得p ＝1(舍去负值)，(4p )2＋(8p )25故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2017·赣州二模)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上一点，若A 到F 的距离是A 到y 轴距离的两倍，且△OAF 的面积为1，O 为坐标原点，则p 的值为( )A ．1 B ．2C ．3 D ．4答案　B解析　不妨设A (x 0，y 0)在第一象限，由题意可知Error!即Error!∴A ，又∵点A 在抛物线y 2＝2px 上，(p 2，4p )∴＝2p ×，即p 4＝16，又∵p >0，∴p ＝2，故选B.16p 2p25．(2018届新余市第一中学模拟)动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝8x C ．x 2＝4yD ．x 2＝8y答案　D解析　∵动点P 到点A (0,2)的距离比它到直线l ：y ＝－4的距离小2，∴动点P 到点A (0,2)的距离与它到直线y ＝－2的距离相等．根据抛物线的定义可得点P 的轨迹为以A (0,2)为焦点，以直线y ＝－2为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝8y ，故选D.6．(2017·昆明调研)已知抛物线C 的顶点是原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，经过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，若·＝－12，则抛物线C 的方程为( )OA→ OB → A ．x 2＝8y B ．x 2＝4y C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x答案　C解析　由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，直线方程为x ＝my ＋，联立Error!p2消去x 得y 2－2pmy －p 2＝0，显然方程有两个不等实根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－p 2，得·＝x 1x 2＋y 1y 2＝＋y 1y 2OA → OB → (my 1＋p 2)(my 2＋p2)＝m 2y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋＋y 1y 2＝－p 2＝－12，得p ＝4(舍负)，pm 2p 2434即抛物线C 的方程为y 2＝8x .7．(2017·河北六校模拟)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为________．答案　y 2＝16x解析　设满足题意的圆的圆心为M (x M ，y M )．根据题意可知圆心M 在抛物线上．又∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6，则|MF |＝x M ＋＝6，即x M ＝6－，p2p2又由题意可知x M ＝，∴＝6－，解得p ＝8.p4p4p2∴抛物线方程为y 2＝16x .8．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 与双曲线－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线上x x 23轴上方一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率等于________．答案　－22解析　双曲线－y 2＝1的右焦点为(2,0)，x 23∴抛物线方程为y 2＝8x ，p ＝4.∵|AF |＝3，∴x A ＋2＝3，∴x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2.2∵点A 在x 轴上方，∴A (1,2)，2∴直线AF 的斜率k ＝＝－2.221－229．(2017·江西九校联考)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2－x 2＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案　23解析　y 2＝2px 的准线方程为x ＝－.由于△ABF 为等边三角形，因此不妨设A ，Bp2(－p 2，p 3)，又点A ，B 在双曲线y 2－x 2＝1上，从而－＝1，(－p 2，－p 3)p 23p 24又p >0，所以p ＝2.310．(2017·全国Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.答案　6解析　如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .由题意知，F (2,0)，|FO |＝|AO |＝2.∵点M 为FN 的中点，PM ∥OF ，∴|MP |＝|FO |＝1.12又|BP |＝|AO |＝2，∴|MB |＝|MP |＋|BP |＝3.由抛物线的定义知|MF |＝|MB |＝3，故|FN |＝2|MF |＝6.11．(2018·郑州模拟)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于2A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．OC → OA → OB→解　(1)直线AB 的方程是y ＝2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0.2(x －p2)由题易知，方程必有两个不等实根．所以x 1＋x 2＝，由抛物线定义得5p4|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝＋p ＝9，5p4所以p ＝4，从而抛物线方程为y 2＝8x .(2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－2，y 2＝4，22从而A (1，－2)，B (4,4)．设C (x 3，y 3)，22则＝(x 3，y 3)＝(1，－2)＋λ(4,4)OC→ 22＝(4λ＋1,4λ－2)．22又y ＝8x 3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，232整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．(2017·北京)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，过点作直线l 与抛物线C 交于不(0，12)同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点．(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点．(1)解　由抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1,1)，得p ＝，12所以抛物线C 的方程为y 2＝x ，抛物线C 的焦点坐标为，准线方程为x ＝－.(14，0)14(2)证明　由题意知，直线l 的斜率必存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋(k ≠0)，12l 与抛物线C 的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由Error!得4k 2x 2＋(4k －4)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝，x 1x 2＝.1－kk 214k 2因为点P 的坐标为(1,1)，所以直线OP 的方程为y ＝x ，点A 的坐标为(x 1，x 1)．直线ON 的方程为y ＝x ，点B 的坐标为.y 2x 2(x 1，y 2x 1x 2)因为y 1＋－2x 1＝y 2x 1x 2y 1x 2＋y 2x 1－2x 1x 2x 2＝(kx 1＋12)x 2＋(kx 2＋12)x 1－2x 1x 2x 2＝(2k －2)x 1x 2＋12(x 2＋x 1)x 2＝＝0，(2k －2)×14k 2＋1－k 2k 2x 2所以y 1＋＝2x 1，y 2x 1x 2故A 为线段BM的中点．13．(2017·邵阳联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M (x 0,2)是抛物线2(x 0>p2)C 上一点，圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝截得的弦长为|MA |.若＝2，则p23|MA ||AF ||AF |等于( )A. B ．1 C ．2 D ．332答案　B解析　由题意知M (x 0,2)在抛物线上，2则8＝2px 0，则px 0＝4，①由抛物线的性质可知，|DM |＝x 0－，＝2，p2|MA ||AF |则|MA |＝2|AF |＝|MF |＝，2323(x 0＋p2)∵圆M 被直线x ＝截得的弦长为|MA |，p23则|DE |＝|MA |＝，3233(x 0＋p2)又|MA |＝|ME |＝r ，在Rt △MDE 中，|DE |2＋|DM |2＝|ME |2，即2＋2＝2，13(x 0＋p2)(x 0－p2)49(x 0＋p2)代入整理得4x ＋p 2＝20，②20由①②，解得x 0＝2，p ＝2(舍负)，∴|AF |＝＝1，故选B.13(x 0＋p2)14．过点(0,3)的直线与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线经过点(4,0)，F 为抛物线的焦点，则|AF |＋|BF |的值为________．答案　6解析　设AB 的中点为H ，抛物线的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，设A ，B ，H 在准线上的射影为A ′，B ′，H ′，则|HH ′|＝(|AA ′|＋|BB ′|)，由抛物线的定义可得，12|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|.由题意知直线的斜率必存在，设为y ＝kx ＋3，与y 2＝4x 联立得k 2x 2＋(6k －4)x ＋9＝0，Δ＝(6k －4)2－36k 2>0，计算得出k <且k ≠0，13又x 1＋x 2＝，AB 的中点为，4－6kk 2(2－3k k 2，2k )线段AB 的垂直平分线过点(4,0)，方程为y ＝－(x －4)，且过中点，则＝－1k (2－3k k 2，2k )2k 1k，(2－3k k 2－4)得2k 2＋3k －2＝0，解得k ＝－2或k ＝(舍去)，12则H (2，－1)，|HH ′|＝2＋1＝3，则|AF |＋|BF |＝|AA ′|＋|BB ′|＝2|HH ′|＝6.15．已知曲线G ：y ＝及点A (1,0)，若曲线G 上存在相异两点B ，C ，其到直－x 2＋16x －15线l ：x ＋1＝0的距离分别为|AB |和|AC |，则|AB |＋|AC |＝________.答案　14解析　曲线G ：y ＝，即为半圆M ：(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)，由题意得B ，C －x 2＋16x －15为半圆M 与抛物线y 2＝4x 的两个交点，由y 2＝4x 与(x －8)2＋y 2＝49(y ≥0)联立方程组得x 2－12x ＋15＝0，方程必有两不等实根，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)．所以|AB |＋|AC |＝x 1＋1＋x 2＋1＝12＋2＝14.16．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r >0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是________________．答案　(2,4)解析　如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则Error!两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条．当k 存在时，x 1≠x 2，则有·＝2，y 1＋y 22y 1－y 2x 1－x 2又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·＝－1，y 0－0x 0－5即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上．将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12，则有－2<y 0<2.33因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y ＝r 2，20故r 2＝y ＋4<12＋4＝16.20又y ＋4>4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)，20所以4<r 2<16，即2<r <4.。

人教A版(2019)高中数学必修第一册逆袭之路第一章1

绝密★启用前人教A 版（2019）必修第一册逆袭之路第一章 1.5 全称量词与存在量词第I 卷（选择题）一、单选题1．命题“0x R ∃∈，0012x x +”的否定形式是( )A ．x R ∀∈，12x x +> B ．x R ∃∈，12x x +<C ．x R ∃∈，12x x +> D ．x R ∀∈，12x x +<2．命题P ：“x R ∀∈，2x 2x m 0++>”的否定为( )A ．x R ∃∈，2x 2x m 0++>B ．x R ∃∈，2x 2x m 0++≤C ．x R ∀∈，2x 2x m 0++<D ．x R ∀∈，2x 2x m 0++≤3．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x ++<，则p ⌝为( )A ．x R ∀∈，210x x ++C ．x R ∀∈，210x x ++≥D ．x R ∃∈，210x x ++≥4．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数5．命题“[)x 0,∞∀∈+，22x x 0-≥”的否定是( )A ．[)x 0,∞∀∉+，22x x 0-，则p ⌝为A ．*0x N ∃∉，使得20(1)0x -≤B ．0x ∃∈*N ，使得20(1)0x -≤C ．*x N ∀∉，使得2(1)0x -≤D ．*x N ∀∈，使得2(1)0x -≤7．针对我校某次考试有关的命题P ：所有理科学生都会做第1题，那么命题P 的否定是（）A ．所有理科学生都不会做第1题B ．存在一个理科学生不会做第1题C ．存在一个理科学生会做第1题D ．至少有一个理科学生会做第1题8．命题“x ∀，0y <，x y +≤-”的否定为A ．0x ∃，00y <，00x y +>-B ．0x ∃，00y <，00x y +≤-C ．0x ∃，00≥y，00x y ≥+>-D ．0x ∃，00≥y，00x y +≤-第II 卷（非选择题）二、解答题9．判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ∀∈，||11x +；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.10．判断下列存在量词命题的真假：（1）有一个实数x ，使2230x x ++=；（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；（3）有些平行四边形是菱形.11．判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数.12．判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数.13．写出下列全称量词命题的否定：（1）所有能被3整除的整数都是奇数；（2）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上；（3）对任意x ∈Z ，2x 的个位数字不等于3.14．写出下列存在量词命题的否定：（1）x R ∃∈，20x +；（2）有的三角形是等边三角形；（3）有一个偶数是素数.15．写出下列命题的否定，并判断真假：（1）任意两个等边三角形都相似；（2）x R ∃∈，210x x -+=.16．写出下列命题的否定：（1）n ∀∈Z ，Q n ∈；（2）任意奇数的平方还是奇数；（3）每个平行四边形都是中心对称图形.17．写出下列命题的否定：（1）有些三角形是直角三角形；（2）有些梯形是等腰梯形；（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数.18．判断下列命题的真假：（1）2,x x x ∃∈>R ；（2）2,x x x ∀∈>R ；（3）2,80x x ∃∈-=Q ；（4）2,20x x ∀∈+>R ．19．写出下列命题的否定：（1）所有人都晨练；（2）2,10x x x ∀∈++>R ；（3）平行四边形的对边相等；（4）2,10x x x ∃∈-+=R ．20．已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++.若p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围. 21．已知命题p ：存在一个实数0x ，使得20020x x --<，写出p ⌝．22．写出下列命题的否定：（1）可以被5整除的数，末位是0；（2）能被3整除的数，也能被4整除.23．试判断以下命题的真假：（1）2,20x x ∈+>R ；（2）4,1x x ∀∈N ；（3）3,1x x ∃∈<Z ；（4）2,3x x ∃∈=Q ．24．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．（1）:p x ∀∈R ，2104x x -+≥；（2）q ：所有的正方形都是矩形；（3）:r x ∃∈R ，2220x x ++≤；（4）s ：至少有一个实数，使得310x +=．25．写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°.26．写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）任何有理数都是实数；（2）存在一个实数a ，能使210a +=成立.27．已知命题:p x R ∃∈，使得()214204x a x +-+≤，命题2:7100q a a -+≤，若命题p 为假，命题q 为真，求a 的取值范围.三、填空题28．若命题“存在x∈R ，使得2ax 2x a 0++≤”为假命题，则实数a 的取值范围为_____．29．命题p:0x R ∃∈，20020x mx ++≤,若“非p”为真命题，m 的取值范围为____________ 30．命题“x R ∃∈，2210x x ++=”的否定是______命题.(选填“真”、“假”之一)31．命题“x R ∀∈，2210x ax -+>”是假命题，则实数a 的取值范围是_________．32．已知命题"3p x ∃≥,使得21"x m -<是假命题，则实数m 的最大值是____________33．若“x ∃∈R ，220x x a +-<”是真命题，则实数a 的取值范围是____．34．“200,20o x R x x m ∃∈++≤”是假命题，则实数m 的取值范围是 ________.35．已知命题p ：x R ∃∈，2210ax ax ++≤，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是___．参考答案：1．D【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【详解】解：命题“0x R ∃∈，0012x x +”为特称命题，其否定为全称命题，则否定是：x R ∀∈，12x x+<，故选：D ．【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．2．B【解析】【分析】“全称命题”的否定是“特称命题”.根据全称命题的否定写出即可．【详解】解：命题P ：“x R ∀∈，2x 2x m 0++>”的否定是：x R ∃∈，2x 2x m 0++≤．故选B ．【点睛】本题考察了“全称命题”的否定是“特称命题”，属于基础题.3．C【解析】【分析】本题首先可以判断出命题是特称命题，然后根据特称命题的否定是全称命题，分别对量词和结论进行否定即可得出结果．【详解】命题是特称命题，则命题的否定是：x R ∀∈，210x x ++≥，故选C ．【点睛】本题考查命题的否定，主要考查了全称命题与特称命题的否定的应用，特称命题的否定是全称命题，需要对量词和结论进行否定，是简单题．4．B【解析】【详解】试题分析：由命题的否定的定义知，“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是任意一个无理数，它的平方不是有理数．考点：命题的否定．5．C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，据此可得命题“[)0,x ∞∀∈+，220x x -≥”的否定是[)0,x ∃∈+∞，220x x -<，故选C ．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.6．B【解析】【分析】由含有一个量词的命题的否定直接可写出结果.【详解】命题*:p x N ∀∈，总有()210x ->的否定为：*0x N ∃∈，使得()2010x -≤，故选B【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，通常只需要改量词和结论即可，属于基础题型.7．B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可．【详解】根据全称命题的否定是特称命题，∴命题p ：所有理科学生都会做第1题，那么命题p 的否定是：存在理科学生不会做第1题．故选B ．【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．8．A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，得到命题“x ∀，0y <，x y +≤-”的否定为0x ∃，00y <，00x y +>- 故答案为A.【点睛】这个题目考查了全称命题的写法，按照换量词否结论，不变条件这一规则书写即可.9．（1）假命题；（2）真命题；（3）假命题【解析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）2是素数，但2不是奇数.所以全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题.（2）x R ∀∈，总有||0x ，因而||11x +.所以全称量词命题“x R ∀∈，||11x +”是真命题.（322=是有理数.所以，全称量词命题“对每一个无理数x ，2x 也是无理数”是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.10．（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】对每个存在量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）由于224380∆=-⨯=-<，因此一元二次方程2230x x ++=无实根，所以，存在量词命题“有一个实数x ，使2230x x ++=”是假命题.（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以，存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题.（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题.【点睛】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题.11．（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【解析】对每个全称量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题.【点睛】本题考查判断全称量词命题的真假，属于简单题.12．（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】对每个存在量词命题进行判断，从而得到答案.【详解】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数.【点睛】本题考查判断存在量词命题的真假，属于简单题.13．（1）存在一个能被3整除的整数不是奇数；（2）存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；（3）x Z ∃∈，2x 的个位数字等于3.【解析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上.（3）该命题的否定：x Z ∃∈，2x 的个位数字等于3.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.14．（1）x R ∀∈，20x +>；（2）所有的三角形都不是等边三角形；（3）任意一个偶数都不是素数【解析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：x R ∀∈，20x +>.（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形.（3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.15．（1）见解析；（2）见解析【解析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，再判断其真假，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似.因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似.因此这是一个假命题.（2）该命题的否定：x R ∀∈，210x x -+≠.因为对任意x ∈R ，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以这是一个真命题.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，判断命题的真假，属于简单题.16．（1）n ∃∈Z ，n ∉Q ；（2）存在一个奇款的平方不是奇数；（3）存在一个平行四边形不是中心对称图形.【解析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：n ∃∈Z ，n ∉Q ；（2）该命题的否定：存在一个奇款的平方不是奇数；（3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.17．（1）任意三角形都不是直角三角形；（2）所有的梯形都不是等腰梯形；（3）任意一个实数，它的绝对值都是正数.【解析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）该命题的否定：任意三角形都不是直角三角形；（2）该命题的否定：所有的梯形都不是等腰梯形；（3）该命题的否定：任意一个实数，它的绝对值都是正数.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.18．（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题【解析】（1）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）通过解方程可判断；（4）根据不等式的性质可证明；【详解】解：（1）因为2x =时，2x x >成立，所以“2,x x x ∃∈>R ”是真命题．（2）因为0x =时，2x x >不成立，所以“2,x x x ∀∈>R ”是假命题．（3）因为使280x -=成立的数只有x =x =-所以“2,80x x ∃∈-=Q ”是假命题．（4）因为对任意实数x ，有20x ≥，则220x +>，即对任意实数，都有220x +>成立，所以“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．【点睛】本题考查命题真假判断，属于基础题.19．（1）有的人不晨练；（2）2,10x x x ∃∈++≤R ；（3）存在平行四边形，它的对边不相等；（4）；2,10x x x ∀∈-+≠R【解析】根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定为全称命题解答.【详解】解：（1）因为命题“所有人都晨练”是全称命题，所以其否定是“有的人不晨练”．（2）因为命题“2,10x x x ∀∈++>R ”是全称命题，所以其否定是“2,10x x x ∃∈++≤R ”．（3）因为命题“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等，是一个全称命题，所以它的否定是“存在平行四边形，它的对边不相等”．（4）因为命题“2,10x x x ∃∈-+=R ”是特称命题，所以其否定是“2,10x x x ∀∈-+≠R ”．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.20．[0,1]【解析】先写出p ⌝和q ⌝，从而得到p ⌝与q ⌝都是真命题，从而分别得到a 的不等式，得到a 的范围.【详解】:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++，:p x R ∴⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>.因为p 与q 均为假命题，所以p ⌝与q ⌝都是真命题.由p ⌝为真命题得0a =或0,440,a a ≠⎧⎨-≥⎩，故1a ≤.由q ⌝为真命题得0a =或20,40,a a a >⎧⎨-<⎩，故04a ≤< .1,04,a a ⎧∴⎨<⎩解得01a ≤≤. 故实数a 的取值范围是[0,1].【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.21．p ⌝：对任意的实数x ，都有220x x --≥【解析】根据特称命题的否定为全称命题解答.【详解】解：:p 存在一个实数0x ，使得20020x x --<，为特称命特，根据特称命题的否定为全称命题，:p ∴⌝对任意的实数x ，都有220x x --≥故答案为：对任意的实数x ，都有220x x --≥【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，属于基础题.22．（1）有些可以被5整除的数，末位不是0；（2）存在一个能被3整除的数，不能被4整除【解析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）原命题省略了全称量词“任何一个"，所以该命题的否定：有些可以被5整除的数，末位不是0.（2）原命题省略了全称量词“所有”，所以该命题的否定：存在一个能被3整除的数，不能被4整除.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.23．（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题；（4）假命题【解析】（1）根据不等式的性质判断即可；（2）全称命题判断为假，只需举一个反例即可；（3）特称命题判断为真，只需举一个正例即可；（4）解方程即可判断；【详解】解：（1）由于x ∀∈R ，都有20x ，因而有2220x +≥>，即220x +>．因此命题“2,20x x ∀∈+>R ”是真命题．（2）由于0∈N ，当0x =时，41x 不成立．因此命题“4,1x x ∀∈N ”是假命题．（3）由于1-∈Z ，当1x =-时，能使31x <成立．因此命题“3,1x x ∃∈<Z ”是真命题．（4）由于使23x =成立的数只有3．因此命题“2,3x x ∃∈=Q ”是假命题．【点睛】本题考查含有一个量词的命题的真假性判断，属于基础题.24．（1）:p x ⌝∃∈R ，2104x x -+<．因为x ∀∈R ，2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭恒成立，所p ⌝是假命题；（2）:q ⌝至少存在一个正方形不是矩形，是假命题；（3）:r x ⌝∀∈R ，2220x x ++>．因为x ∀∈R ，2222(1)110x x x ++=++≥>恒成立，所以r ⌝是真命题；（4）:s x ⌝∀∈R ，310x +≠．因为当1x =-时，310x +=，所以s ⌝是假命题．【解析】【分析】命题的否定的写法：改变量词，否定结论；真假的判断：（1）通过配方判断得到与零的大小关系判断真假；（2）根据正方形是特殊的矩形作出判断；（3）利用配方法判断真假；（4）考虑特殊值1x =-.【详解】（1）:p x ⌝∃∈R ，2104x x -+<．因为x ∀∈R ，2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭恒成立，所以p ⌝是假命题；（2）:q ⌝至少存在一个正方形不是矩形，是假命题；（3）:r x ⌝∀∈R ，2220x x ++>．因为x ∀∈R ，2222(1)110x x x ++=++≥>恒成立，所以r ⌝是真命题；（4）:s x ⌝∀∈R ，310x +≠．因为当1x =-时，310x +=，所以s ⌝是假命题．【点睛】判断命题的否定的真假，可以先将命题的否定写出来，然后再判断真假，也可以判断原命题的真假，利用原命题与命题的否定的真假相反得到结果.25．（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°.【解析】根据含有一个量词命题的否定，分别写出每个命题的否定，得到答案.【详解】（1）原命题省略了全称量词“所有"，所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数.（2）原命题省略了全称量词“任何一个”，所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°.【点睛】本题考查含有一个量词命题的否定，属于简单题.26．（1）至少有一个有理数不是实数，假命题;（2）任意一个实数a ，不能使210a +=成立.真命题【解析】【分析】（1）原命题为全称命题，其否定为特称命题，由此写出原命题的否定.原命题是真命题，故其否定为假命题.（2）原命题为特称命题，其否定为全称命题，由此写出原命题的否定.由于21a =-在实数范围内不成立，故原命题是假命题，故其否定为真命题.【详解】（1）根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为：至少有一个有理数不是实数.由于有理数是实数，故原命题为真命题，其否定为假命题.（2）根据特称命题的否定是全称命题可知，原命题的否定为：任意一个实数a ，不能使210a +=成立.由于21a =-在实数范围内不成立，所以原命题为假命题，那么它的否定就是真命题.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，以及它们的否定，考查命题真假性的判断.属于基础题.27．[)2,4a ∈【解析】【分析】由命题p 为假，所以其否定：x R ∀∈，()214204x a x +-+>恒成立为真，可得0∆<，可得04a <<，又命题q 为真得，可得25a ≤≤，综合可得答案.【详解】解：因为命题p 为假，所以其否定：x R ∀∈，()214204x a x +-+>恒成立为真，则：()221244404a a a ∆=--⨯⨯=-< 所以：04a <<又命题q 为真得：25a ≤≤所以：[)2,4a ∈【点睛】本题主要考查根据复合命题的真假求参数，注意根据已知条件及命题的性质求解.28．()1,+∞【解析】【分析】由原命题为假命题，则其否定为真命题，得x R ∀∈，使得2ax 2x a 0++>恒成立，即可得a 的范围．【详解】命题“0x R ∃∈，使得a 2x 2x a 0++≤”是假命题，则命题“x R ∀∈，使得2ax 2x a 0++>”是真命题，∈∈a=0,x>0不恒成立;22a>024a 0⎧⇒⎨∆=-<⎩②a ＞1．故答案为（1，+∞）．本题考查了存在命题的否定，不等式恒成立问题，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．29．(-【解析】【分析】由题意知， x 2+mx +2>0恒成立，即0<，即可得到结果.【详解】由题意知，命题p:0x R ∃∈，20020x mx ++≤为假，即x 2+mx +2>0恒成立，即0<，所以242m -⨯<0，得到m -<故答案为(-.【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．30．假【解析】【分析】根据条件判断特称命题为真命题，则命题的否定为假命题．【详解】解：由2210x x ++=得2(1)0x +=，1x ∴=-，则命题“x R ∃∈，2210x x ++=”是真命题，则命题的否定是假命题，故答案为假【点睛】本题主要考查命题真假的判断，结合含有量词的命题的否定的真假关系是解决本题的关键．31．(][),11,-∞-+∞【解析】【分析】由题意，命题x R ∀∈，2210x ax -+>是假命题，可得出二次函数与x 轴有交点，借助二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，命题x R ∀∈，2210x ax -+>是假命题，可得出二次函数与x 轴有交点，又由二次函数的性质，可得0∆≥即2440a -≥，解得1a ≤-或1a ≥.【点睛】本题主要考查了根据命题的真假求解参数问题，其中解答中根据命题为假命题，转化为二次函数的图象与x 轴没有公共点，再借助二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 32．5【解析】【分析】由命题p “x 3∃≥，使得2x 1m -<”是假命题，得“x 3∀≥，使得21x m -≥”是真命题，从而可求出结果.【详解】因为命题p “x 3∃≥，使得2x 1m -<”是假命题，所以“x 3∀≥，使得21x m -≥”是真命题，故m 5≤.【点睛】本题主要考查根据命题真假判断参数的范围，属于基础题型.33．{|1}a a【解析】【分析】结合二次函数图象可得判别式大于0，解不等式即可得所求范围．【详解】若“∃x ∈R ，x 2+2x ﹣a ＜0”是真命题，则△＞0，即4+4a ＞0，解得a ＞﹣1．故答案为{}1a a -【点睛】本题考查不等式成立问题解法，注意运用判别式大于0，考查运算能力，属于基础题．【解析】【分析】考虑题中所给命题的否命题为真命题求解实数m 的取值范围即可.【详解】由题意可知，命题“2,20x R x x m ∀∈++>”为真命题，据此有：440m ∆=-<，求解不等式可得实数m 的取值范围是1m >.【点睛】本题主要考查命题的否定，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.35．[)0,1【解析】【分析】根据已知中“x R ∃∈，2ax 2ax 10++≤”为假命题，可以得到否定命题:“x R ∀∈，2ax 2ax 10++>”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a 分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．【详解】解：“x R ∃∈，2ax 2ax 10++≤”为假命题，∴其否定“x R ∀∈，2ax 2ax 10++>”为真命题，当a 0=时，显然成立；当a 0≠时，2ax 2ax 10++>恒成立可化为：a 024a 4a 0>⎧-<⎨⎩解得0a 1<<综上实数a 的取值范围是[)0,1.故答案为[)0,1.【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．。