5.运筹学课件 整数线性规划
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运筹学课件第五章整数规划
第五章整数规划、学习目的与要求1、熟悉分支定界法和割平面法的原理及其应用;2、掌握求解0―― 1规划问题的隐枚举法；3、掌握求解指派问题的匈牙利法。
二、课时9学时第一节整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming):在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。
松弛问题(slack problem):不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式nmax(或min) z 八c j x jj a"nZ a ij X j <(或=,或X)b i (i =1,2,…,m)j =1s.t.」X j X0( j =1,2，…,n)X-X2,…,x n中部分或全部取整数I整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming):指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming):指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero—one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
二、整数规划的例子例1某服务部门各时段(每2h为一时段)需要服务员的人数见下表。
按规定，服务员连续工作8h (即四个时段为一班)。
现在求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少？解：设在第时段开始上班的服务员的人数为。
问题的数学模式略。
运筹学课件第五章 整数规划
第一节 整数规划的数学模型
解的特点： 整数规划
松弛问题
max c x Ax b s .t . x 0, x为整数
max c x Ax b s .t . x 0
1、整数规划可行域是松弛问题可行域的子集
2、整数规划最优值小于等于松弛问题的最优值
第一节 整数规划的数学模型
P1 P2
P4
以上描述了目前解整数规划问题的一种思路。
第二节 分支定界法
思路：切割可行域，去掉非整数点。 解题步骤： 1、不考虑整数约束，解相应松弛问题。 2、检查是否符合整数要求，是，则得最优解，完毕。 否则，转下步。 3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个新的约束条 件：xi ≤[bi]，xi≥[bi]+1,分别加入到上一个LP问 题，形成两个新的分枝问题。 4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整数解的Z值 大于所有分枝末梢的Z值，则得最优解。否则， 取Z值最大的非整数解，继续分解，Go to 3。
序号 1 2 3 4 5 6 7
物品
重量 系数
食品
5 20
氧气
5 15
冰镐
2 18
绳索
6 14
帐篷
12 8
相机
2 4
设备
4 10
第三节
0-1型整数规划
解：令xi=1表示登山队员携带物品i，xi=0表示登 山队员不携带物品i，则得： Max Z=20x1+15x2+18x3+14x4+8x5+4x6+10x7
第三节
(x1,x2,x3) z值
0-1型整数规划
1 2 3 4 过滤条件
(0,0,0)
运筹学课件OR_6_整数线性规划
而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界。 分支定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分支)的方法
，逐步减小上界和增大下界，最终求到z*。
7
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分支定界解法
在不考虑整数条件，所得到的最
优解是x1=4.81, x2=1.82, z=356。 在增加整数条件后，最优解不可
最优解是x1=4, x2=2, z=340
我们在B2问题以x2来分析，找出 接近的整数，并把不含整数的部 份去掉。 新问题的最优值再要重新确认。 B5问题的最优解无可行解。
最优解是x1=5.44, x2=1, z=308
11
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它和一般整数线性规划的约束条件形式是一致的。在 实际问题中，如果引入0-1变量，就可以把有各种情况 需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论 了。在本节我们先介绍引入0-1变量的实际问题，再研 究解法。
18
Ningbo University
投资场所的选定—相互排斥的计划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，拟议中有7 个位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定：
1. 将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。 不考虑整数条件求解这两个后继问题。
2. 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果，比较所有分支问题 的解，找出最优目标函数值最大者作为新的上界 。从已符合整数条 件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界 。
2. 比较与剪支
分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问题。20世 纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是解整数线性规划 的重要方法之一。
6
，逐步减小上界和增大下界，最终求到z*。
7
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分支定界解法
在不考虑整数条件，所得到的最
优解是x1=4.81, x2=1.82, z=356。 在增加整数条件后，最优解不可
最优解是x1=4, x2=2, z=340
我们在B2问题以x2来分析，找出 接近的整数，并把不含整数的部 份去掉。 新问题的最优值再要重新确认。 B5问题的最优解无可行解。
最优解是x1=5.44, x2=1, z=308
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它和一般整数线性规划的约束条件形式是一致的。在 实际问题中，如果引入0-1变量，就可以把有各种情况 需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论 了。在本节我们先介绍引入0-1变量的实际问题，再研 究解法。
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投资场所的选定—相互排斥的计划
某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，拟议中有7 个位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定：
1. 将这两个约束条件，分别加入问题B，求两个后继规划问题B1和B2。 不考虑整数条件求解这两个后继问题。
2. 定界，以每个后继问题为一分支标明求解的结果，比较所有分支问题 的解，找出最优目标函数值最大者作为新的上界 。从已符合整数条 件的各分支中，找出目标函数值为最大者作为新的下界 。
2. 比较与剪支
分支定界法可用于解纯整数或混合整数线性规划问题。20世 纪60年代初由Land Doig和Dakin等提出，是解整数线性规划 的重要方法之一。
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第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
运筹学课件OR_6_整数线性规划
1. 各分支的最优目标函数中若有小于下界者，则剪掉这支(用打×表示) ，即以后不再考虑了。若大于下界，且不符合整数条件，则再进行分 支(步骤3.1)。一直到最后得到得最优整数解为止。
13
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Ex. 分支定界法
9 7 x x 1 1 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 9 7 5 5 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 x x 2 2 1 3 1 5 7 2 0 1 .1 5 .7 7 5
分支定界解法
在求解整数线性规划时，如果可行域是有界的，首先 容易想到的方法就是穷举所有可行的整数解，然后比 较它们的目标函数值，从而确定最优解。
对于规模较小的问题，变量个数很少，可行解的组合数也较 小时，这个方法是可行的，也是有效的。
对于大型问题，可行的整数组合数会很大。
适合的解法应是仅检查可行的整数组合的一部分，来 找出最优的整数解。分支定界解法就是其中之一。
最优解是x1=5, x2=1.57, z=341
9
Ningbo University
分支定界解法
B4问题的最优解比我们的下界差， 故不须再进行讨论。
而B2问题的最优解比下界好，有 可能会存在较佳的整数解，因此
需要继续讨论。
最优解是x1=1.42, x2=3, z=327
最优解是x1=4, x2=2, z=340
分支定界法求解步骤(最大化)
将要求解的整数线性规划问题称为问题A，将与它相 应的线性规划问题称为问题B：
1. 解问题B，可能得到以下情况之一：
1. B没有可行解，这时A也没有可行解，则停止。 2. B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A的最优解
，则停止。 3. B有最优解，但不符合问题A的整数条件，则它为目标的上界。
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Ex. 分支定界法
9 7 x x 1 1 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 9 7 5 5 7 2 0 x 2 x 2 5 6 7 0 x x 2 2 1 3 1 5 7 2 0 1 .1 5 .7 7 5
分支定界解法
在求解整数线性规划时，如果可行域是有界的，首先 容易想到的方法就是穷举所有可行的整数解，然后比 较它们的目标函数值，从而确定最优解。
对于规模较小的问题，变量个数很少，可行解的组合数也较 小时，这个方法是可行的，也是有效的。
对于大型问题，可行的整数组合数会很大。
适合的解法应是仅检查可行的整数组合的一部分，来 找出最优的整数解。分支定界解法就是其中之一。
最优解是x1=5, x2=1.57, z=341
9
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分支定界解法
B4问题的最优解比我们的下界差， 故不须再进行讨论。
而B2问题的最优解比下界好，有 可能会存在较佳的整数解，因此
需要继续讨论。
最优解是x1=1.42, x2=3, z=327
最优解是x1=4, x2=2, z=340
分支定界法求解步骤(最大化)
将要求解的整数线性规划问题称为问题A，将与它相 应的线性规划问题称为问题B：
1. 解问题B，可能得到以下情况之一：
1. B没有可行解，这时A也没有可行解，则停止。 2. B有最优解，并符合问题A的整数条件，B的最优解即为A的最优解
，则停止。 3. B有最优解，但不符合问题A的整数条件，则它为目标的上界。
运筹学 第五章 整数规划PPT课件
x 32
x 42
400
x 13
x 23
x 33
x 43
300
x 14 x 24 x 34 x 44 1 5 0
s
.t
x 11 x 21
x 12 x 22
x 13 x 23
x 14 x 24
400 600
x
31
x 32
x 33
x 34
200 y3
x 41 x 42 x 43 x 44 2 0 0 y 4
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87 x22 78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34 86x41 90x42 80x43 88x44
要求每人做一项工作，约束条件为：
x11 x12 x13 x14 1
例5.3 设整数规划问题如下
max Z x1 x2
14 x1 9 x2 51
6 x1
3x2
1
x
1
,
x2
0且 为 整 数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称为松弛问题）
max Z x 1 x 2
14
x1 6x
1
9x2 3x
2
51 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
1
,
x2
0
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划（离散最优化）模型。
整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
运筹学课件PPT课件
整数规划的解法
总结词
整数规划的解法可以分为精确解法和近似解法两大类。
详细描述
整数规划的解法可以分为两大类，一类是精确解法，另一类是近似解法。精确解法包括割平面法、分支定界法等， 这些方法可以找到整数规划的精确最优解。而近似解法包括启发式算法、元启发式算法等，这些方法可以找到整 数规划的近似最优解，但不一定能保证找到最优解。
模拟退火算法采用Metropolis准则来 判断是否接受一个较差解，即如果新 解的能量比当前解的能量低，或者新 解的能量虽然较高但接受的概率足够 小，则接受新解。
模拟退火算法的应用
01
模拟退火算法在旅行商问题中得到了广泛应用。通过模拟退火算 法，可以求解旅行商问题的最优解，即在给定一组城市和每对城 市之间的距离后，求解访问每个城市恰好一次并返回出发城市的 最短路径。
动态规划的解法
确定问题的阶段和状态
首先需要确定问题的阶段和状态，以便将问 题分解为子问题。
建立状态转移方程
根据问题的特性，建立状态转移方程，描述 状态之间的转移关系。
求解子问题
求解每个子问题，并存储其解以供将来使用。
递推求解
从最后一个阶段开始，通过递推方式向前求 解每个阶段的最优解。
动态规划的应用
线性规划的解法
单纯形法
01
单纯形法是求解线性规划问题的经典方法，通过迭代过程逐步
找到最优解。
对偶理论
02
对偶理论是线性规划的一个重要概念，它通过引入对偶问题来
简化求解过程。
分解算法
03
分解算法是将大规模线性规划问题分解为若干个小问题，分别
求解后再综合得到最优解。
线性规划的应用
生产计划
线性规划可以用于生产计划问题， 通过优化资源配置和生产流程， 提高生产效率和利润。
运筹学课件：第5章 整数线性规划-第3节
第3节 割平面解法
• 整数线性规划问题的可行域是整数点集，割 平面解法的思路是：首先不考虑变量是整数 这一条件，仍然是用解线性规划的方法去解 整数线性规划问题，若得到非整数的最优解 ，然后增加能割去非整数解的线性约束条件( 或称为割平面)使得由原可行域中切割掉一部 分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉 任何整数可行解。
• 直观地表示在图5-7中。但从解题过程来看， 这一步是不必要的。
图5-7
现把求一个切割方程的步骤归纳为：
(1) 令xi是相应线性规划最优解中为分数值的 一个基变量，由单纯形表的最终表得到
xi aik xk bi
k
(5 4)
其中i∈Q(Q指构成基变量号码的集合) k∈K(K指构成非基变量号码的集合)
⑥
• 3x1+x2 +x4=4
⑦
不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
初始计算表 最终计算表
表5-2
cj
CB
XB
0
x3
0
x4
cj-zj
1
x1
1
x2
cj-zj
11 0
0
b
x1 x2
x3
x4
1 -1 1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0
4
31
0
1
0
11
0
0
3/4 1 0 -1/4 1/4
7/4 0 1 3/4 1/4
-5/2 0 0 -1/2 -1/2
从表5-2的最终计算表中，得到非整数的最优解： x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，max z=5/2
不能满足整数最优解的要求。为此考虑将带 有分数的最优解的可行域中分数部分割去， 再求最优解。就可以得到整数的最优解。
• 整数线性规划问题的可行域是整数点集，割 平面解法的思路是：首先不考虑变量是整数 这一条件，仍然是用解线性规划的方法去解 整数线性规划问题，若得到非整数的最优解 ，然后增加能割去非整数解的线性约束条件( 或称为割平面)使得由原可行域中切割掉一部 分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉 任何整数可行解。
• 直观地表示在图5-7中。但从解题过程来看， 这一步是不必要的。
图5-7
现把求一个切割方程的步骤归纳为：
(1) 令xi是相应线性规划最优解中为分数值的 一个基变量，由单纯形表的最终表得到
xi aik xk bi
k
(5 4)
其中i∈Q(Q指构成基变量号码的集合) k∈K(K指构成非基变量号码的集合)
⑥
• 3x1+x2 +x4=4
⑦
不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表5-2。
初始计算表 最终计算表
表5-2
cj
CB
XB
0
x3
0
x4
cj-zj
1
x1
1
x2
cj-zj
11 0
0
b
x1 x2
x3
x4
1 -1 1 1
ห้องสมุดไป่ตู้
0
4
31
0
1
0
11
0
0
3/4 1 0 -1/4 1/4
7/4 0 1 3/4 1/4
-5/2 0 0 -1/2 -1/2
从表5-2的最终计算表中，得到非整数的最优解： x1=3/4，x2=7/4，x3=x4=0，max z=5/2
不能满足整数最优解的要求。为此考虑将带 有分数的最优解的可行域中分数部分割去， 再求最优解。就可以得到整数的最优解。
运筹与决策PPT：整数规划
案例2： California制造公司问题－ Excel求解
多个决策变量
0-1变量
相依决策
互斥方案
案例2： California制造公司问题－ 灵敏度分析
Capital Spent 100 <=
Capital Available
100
Total Profit ($millions)
10
取整约束
G 12 SUMPRODUCT(UnitProduced,UnitProfit)
6.2 整数规划问题的分类
▪ 纯整数规划问题：
– 所有决策变量均为整数
▪ 混合整数规划问题（MIP）：
B
C
3 NPV ($millions)
LA
4
Warehouse
6
5
6
Factory
8
7
8 Capital Required
9
($millions)
LA
10
Warehouse
5
11
12
Factory
6
13
14
15
Build?
LA
16
Warehouse
0
17
<=
18
Factory
1
19
20
Total NPV ($millions)
原因分析
▪线性规划的可分性假设
–线性规划的决策变量必须允许在满足一定函数 约束与非负约束下取任意实数。
TBA公司的问题由于决策变量只能取整 数，故不满足可分性假设。
整数规划的Excel求解模型－ 案例1
B
3
4
Unit Profit ($millions)
运筹学-第三章-整数规划
于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个 子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解： 设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数 学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称 为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活 且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。
运筹学教学课件线性规划学习课件
降低潜在损失
通过全面、有效的风险管理策略，降低潜 在损失。
06线性规划在ຫໍສະໝຸດ 通运输中的应用线性规划在货物运输中的应用
优化运输路径
通过线性规划方法，可以优化货物的运输 路径，从而降低运输成本和时间。
车辆装载优化
线性规划可以优化车辆的装载方案，使得 车辆的装载量达到最大，减少车辆使用数 量和运输成本。
04
线性规划问题的求解方法
图解法
总结词
直观、简单、易懂
详细描述
图解法是一种用几何图形来求解线性规划问题的简单直观的方法，它通过将不等式约束条件转换为图形的限制 条件，将线性规划问题转化为在图中寻找最优解的问题。该方法适用于小规模问题，方便理解，是求解线性规 划问题的基本方法之一。
单纯形法
总结词
03
线性规划问题的数学模型
线性规划问题的标准形式
确定线性规划问题的标准形式
标准形式是由一个线性目标函数和一个线性约束条件组成的数学模型。
将非标准形式转化为标准形式
在求解线性规划问题时，通常需要将非标准形式转化为标准形式，这可以通过引入变量、转换约束条件等方式 实现。
线性规划问题的扩展形式
多目标线性规划
05
线性规划在管理决策中的应用
线性规划在生产计划中的应用
总结词
高效、低成本
确定生产计划目标
通过线性规划方法确定最优质、低 成本的生产计划。
优化生产资源配置
将有限的资源，如人力、物料、设 备等，根据不同产品或部门的需要 ，进行合理分配和优化。
提高生产效率
通过优化生产流程和布局，减少生 产过程中的浪费和等待时间，提高 生产效率。
特点
运筹学注重定量分析、优化思想和系统方法，强调理论与实践相结合，具有广泛应用性和多学科交叉 性。
运筹学整数规划PPT课件
2
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
B1 (x1≤4)
2
4
B2 6
(4,2.1) z=349
(5,1.57) z=341 7x1+20x2=70
若情况③发生，得到(A)问题最优值的一个上界。同时可以通 过观察的方法任找(A)问题的一个可行解，那么对应的目标函 数值是(A)最优值的一个下界 z 。即得到
z ≤ z* ＜z，转2，进行以下一步的迭代；
步骤2.对当前问题进行分支和定界
分支：任取非整数的分量 xr。构造两个附加约束： xr ≤ [xr] 和 xr ≥ [xr]+1 ，
s.t.
9 7
x1 x1
7 x2 56 20 x2 70
x1,x
2
0, 且为整数
x2
8
6
4 (0,3.5) Z=315
2
等值线
9x1+7x2=56
选x1来分支
松弛规划问题最优解
(4.81,1.82) Z=356 7x1+20x2=70
2
4
6
8
10
x1
x2 8
6
9x1+7x2=56
4 (0,3.5) Z=315
① 过滤隐枚举法 ② 分支隐枚举法 4．匈牙利法——解决指派问题(0-1规划特殊情形)
5．蒙特卡洛法——求解各种类型规划(不要求掌握) 6. 分支切割方法(不要求掌握) 7. 启发式算法(不要求掌握)
分 支 定 界 法
分支定界法是求整数规划的一种常用的有效的 方法，既能解决纯整数规划的问题，也能解决 混合整数规划的问题。
划 变量全限制为整数的，为纯(完全)整数规划。
定
特例：0-1整数规划
义 变量部分限制为整数的，为混合整数规划。
运筹学课件 第5章：整数规划
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯 整数规划/全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划
整数规划解的性质
求解整数规划问题
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 ( IP)2 x1 3 x2 14 x1 , x2 0且为整数
分析：考虑对应的线性规划问题(LP)
b
x1
2
2 3
x2
1
3 2
x3
1
0 0
x4
0
1 0
b
x1
1
0 0
x2
0
1 0
x3
3/4
-1/2
x4
-1/4 1/2
0
0
x3 9 x4 14
9/2
14/2
3
2
x1 13/4 x2 5/2
-5/4
-1/4
初始表
最终表
可见，最优解为x1=3.25 x2=2.5 z(0) =59/4=14.75
选 x2 进行分枝，即增加两个约束x2≤2 和x2 ≥3 ，则
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP1) 1 x2 2 x1 , x2 0且为整数
max Z 3 x1 2 x2 2 x1 x2 9 2 x 3 x 14 2 ( IP2) 1 x2 3 x1 , x2 0且为整数
b
7/2 2 1 3 -29/2 7/2 2 1 -1/2 -29/2
x1
1 0 0 1 0 1 0 0 0 0
x2
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
x3
1/2 0 -1 0 -3/2 1/2 0 -1 -1/2 -3/2
运筹学第三章 整数规划PPT课件
（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25
管理运筹学 第三章 整数线性规划
注意在分枝定界求解过程中，为了最优整数解，我们要不断 缩小其最优目标函数值上界与下界的距离，故通过分枝要使得其 上界越来越小，而其下界则越来越大。 在例题中，通过对上下界的修改，上下界距离有所缩小，但 并不相等，所以还要继续分枝。
(5)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划， 即 线 性 规 划 3 ， 进 行 分 枝 。 线 性 规 划 3 的 最 优 解 为 x1=3 ， x2=2.86，把x2分成x2≤2和x2 ≥3两种情况，这样线性规划3分 解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： s.t. 线性规划5： s.t.
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优 解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件 的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝）， 再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下 界的距离，最后得整数规划的最优解。
“ 分枝”为整数规划最优解的出现创造了条件， 而“定界”则提高了搜索的效率。
(6)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 由于线性规划 1 分枝为线性规划 2 和线性规划 3 ，线性规 划3又分枝为线性规划4和5，也就是线性规划1分枝为线性规 划 2、 4、 5，故从线性规划 2， 4，5中进一步修改整数规划 最优目标函数值的上下界。 因为线性规划2的最优目标函数值为13.90，线性规划4 的最优目标函数值为 14，而线性规划 5无可行解，可得整数 规划最优目标函数值的上界可修改为14，即 z =14， 取线性 规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 又因为在线性规划2中可知存在整数规划可行解x1=2， x2=3，其目标函数值为13，在线性规划4中可知存在整数规 划可行解 x1=4 ， x2=2 ，其目标函数值为 14 ，而线性规划 5 无可行解，可知整数规划最优目标函数值的下界可修改为 14， z=14，也取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值 的最大值。
运筹学(五)
x1、x2 为整数去掉，它就是一个线性规划的问题。 为整数去掉，它就是一个线性规划的问题。
我们可以用图解法来解这个整数规划， 我们可以用图解法来解这个整数规划，以及与它 相应的线性规划问题， 相应的线性规划问题，并把它们的最优解加以比 较。 下图中的阴影部分是上述整数规划相应的线 性规划的可行域， 性规划的可行域，而图中画 “ 划的可行点。 划的可行点。 可行点
9
当我们对相应的线性规划的最优解进行四 舍五入或去尾法时， 舍五入或去尾法时，得 x1＝2，x2＝3，这时目 这时目 标函数值为 13，并不是此整数规划的最优解。 ，并不是此整数规划的最优解。 当我们对相应的线性规划的最优解进行进 一法时， 一法时，取 x1＝3， x2＝3，或 x1＝2， x2 ＝4， 或 都不是此整数规划的可行解。 或 x1＝3，x2＝4 都不是此整数规划的可行解。
x1 + x2 + x3 ≤ 2 x4 + x5 ≥ 1 x6 + x7 ≥ 1 x8 + x9 + x10 ≥ 2 xj ≥ 0 ，且 xj 为 0—1 变量 j = 1，2，…，10。 变量， 且
管理运筹学软件包” 整数规划程序求解得 用 “管理运筹学软件包” 中的 0—1 整数规划程序求解得 ： max z = 245； x1 = x2 = x5 = x6 = x9 = x10 = 1，其余 其余 为0。
6
” 的点是整数规
x2
3 2 1 x1 1 2 3 4
7
x2
3 2 1
2x1+3x2＝14.66
2x1+3x2＝14 x1 1 2 3 2x1+3x2＝6 4
图 8-1
8
平移目标函数的等值线， 平移目标函数的等值线，得相应的线性规划 的最优解为 x1＝2.44，x2＝3.26，目标函数的最优 目标函数的最优 值为14.66，这个解显然不是整数规划的可行解。 ，这个解显然不是整数规划的可行解。 值为 同样把目标函数的等值线尽量向右上方移以 便取得最大值，同时又必须过整数规划的可行点， 便取得最大值，同时又必须过整数规划的可行点， 可得整数规划的最优解 x1＝4，x2＝2，这时其最 这时其最 优目标函数值为14。 优目标函数值为 。
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n
a
j 1
ij
x j bi ( i 1, 2, , m )
其中x j , aij , bi 全为整数, x j 0, ( i 1,2, , m , j 1,2, , n)
一、一个符号的说明
r [r ] f ,0 f 1 其中 [r ]为不大于r的最大整数， f为r的纯小数部分
在ILP问题（1）中，只要求部分 xj 为整数.
4.0-1规划 在ILP问题（1）中， 要求 xj ＝0或1.
6
第二节 分支定界法 (Branch and Bound Method)
适用范围：全整数线性规划、纯整数线性规划、 混合整数线性规划
一、几何解释
例2（P135）求解整数线性规划问题
MaxZ 40 x1 90 x 2 9 x1 7 x 2 56 ST : 7 x1 20 x 2 70 x ，x 0，且为整数 2 1
[1] 1
0 6
0
0 4 x2
0
-1/3 0 x3
0
-8/3 0 x4
0 0 1 0
0 x5
CB
XB
b
x1
4 6 0 σj
x2 x1 x5
2 5/2 -1/2 -23
0 1 0 0
1 0 0 0
1/3 -1/3 -1/6 2/3 1/6 [-2/3] -1/3 -8/3
0 0 1 0
15
cj
CB XB b
0
x4 -1/3 2/3
XB x2 x1
-23
0
0
-1/3
-8/3
14
将约束条件直接写入单纯形表：
x1 2
CB 4 6
x1 x5 2
cj 6 b 2 5/2 x1 0 1 4 x2 1 0 0 x3 1/3 -1/6 0 x4 -1/3 2/3
XB x2 x1
0 x5
0
σj
x5
cj
2
-23
7
解：图解法。 x2
9x1+7x2=56 问题B2 Z2=341 x1=5.00 x2=1.57
8 7 6 5 4 3 2 1
0
问题B1 Z1=349 x1=4.00 x2=2.10
B
X(0)=(4.81, 1.82) Z0=356
7x1+20x2=70
C 8 9 10 x1 x1>=[x(0)]+1
cj
CB 9 7 0 XB x2 x1 x3 b 3 32/7 11/7
7
x1 0 1 0
9
x2 1 0 0
0
x3 0 0 1
0
x4 0 1/7 1/7
0
x5 1 -1/7 -22/7
0 x6 0 0 0 1 0
0
x6
j
-4/7
-59
0
0
0
0
Байду номын сангаас
0
0
-1/7
-1
-6/7
-8
1 6 4 求出Gomory约束 : x4 x5 x6 , 写入最优表。 7 7 7
5x1+4x2=24
(4, 1)T Z=90 (4.8, 0)T Z=96 2x1+5x2=13 x1
（2）理论方面
ILP 问题的可行域不是凸集
5
二、整数线性规划的分类
1.纯整数线性规划
MaxZ C T X ST : AX b x j 0, xj 全部为整数
（1）
2.全整数线性规划 在ILP问题（1）中，还要求 aij , bi 全为整数。 3.混合整数线性规划
8
1
2
3 4 5 6 7
x1<=[x(0)]
二、分支规则
序号 问题 1 问题 2 无可行解 无可行解 1 无可行解 整数解 2 无可行解 非整数解 3 整数解 整数解 4 非整数解 5 整数解，目标函 数优于问题 2 整数解 非整数解，目标 6 函数优于问题 1 说 明 整数规划无可行解 此整数解即最优解 对问题 2 继续分支 较优的一个为最优解 问题 1 的解即最优解 问题 1 停止分支 (剪 枝 )， 其 整 数 解 为 界 ， 对问题 2 继续分支
第六章 整数线性规划
整数线性规划模型及其与线性规划的区别 整数规划的求解——分支定界法、割平面法
0-1整数线性规划模型与求解
指派问题模型与求解
整数规划的应用——建模
1
第一节 整数规划问题的提出
一、整数线性规划的一般形式
例1（P133）某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表： 货物 甲 乙 体积 (米3 /箱) 5 4 重量 (百斤/箱) 2 5 利润 (百元/箱) 20 10
6
σj
x1
5/2
-23
1
0
0
0
-1/6
-1/3
2/3
-8/3
解： x1
1 2 5 x 3 x4 6 3 2
所以, Gomory 约束为 1 5 2 5 2 1 x3 x4 0或 x3 x4 x5 2 6 3 6 3 2
21
三、计算步骤
解松弛问题
All xi 为整数 ?
1.整数线性规划模型的一般形式
MaxZ C T X ST : AX b x j 0, xj部分或全部为整数
3
2.ILP问题与一般LP问题的区别 （1）求解方法方面 在例1中， ILP问题 MaxZ 20 x1 10 x 2
5 x1 4 x 2 24 (1) ST : 2 x1 5 x 2 13 x ，x 0，且为整数 2 1
MaxZ 6 x1 4 x 2 2 x1 4 x 2 13 ST : 2 x1 x 2 7 x 3, x 0, (整数) 2 1 x ( 2 ) ( 3,1) Z * 22
11
分支问题的松弛解
货物 x1 x2 Z
问题I 2 9/4 21
问题II 3 1 22
松弛问题的最优解为： X*=(5/2, 2), Z*=23
分支B1: x1
2
分支B2: x1
3
MaxZ 6 x1 4 x 2 2 x1 4 x 2 13 ST : 2 x1 x 2 7 0 x 2, x 0, (整数) 1 2 9 x (1) ( 2, ) 4 Z * 21
k
19
2. 令
将bi 和a ik 都分解成整数部分与非 负真分数之和。 a ik [a ik ] f ik bi [bi ] f i (0 f ik 1) (0 f i 1) ( 2) ( 3)
把(2)(3)代入(1)并移项得： xi [aik ] xk [bi ] f i f ik xk
6
x1
4
x2
0
x3
0
x4
0
x5
4 6 0
σj
x2 x1 x4
9/4 2 3/4
-21
0 1 0
0
1 0 0
0
1/4 0 -1/4
-1
0 0 1
0
-1/2 1 -3/2
-4
x1 3
CB
4 6
将另一约束条件直接写入单纯形表：
x1 x6 3
6 4
cj
0
0
XB
x2 x1
b
2 5/2
x1
0 1
问题II的解即原整数问题的最优解 可能存在两个分支都是非整数解的情况，则需要两边同 时继续分支，直到有整数解出现，就可以进行定界过程。 当存在很多变量有整数约束时，分支即广又深，在最坏 情况下相当于组合所有可能的整数解。
12
方法1：图解法 x2
8 7 6 5 4 3 2 1
0 1 2
2x1+x2=7 X*=(2, 9/4) Z*=21 X*=(5/2, 2) Z*=23 X*=(3, 1) Z*=22 2x1+4x2=13 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
24
同样用对偶单纯形法进行计算，可得如下最 优表，此时xi的值都已经是整数，解题完成。
cj CB 9 7 0 0 XB x2 x1 x3 x4 b 3 4 1 4 -55 7 x1 0 1 0 0 0 9 x2 1 0 0 0 0 0 x3 0 0 1 0 0 0 x4 0 0 0 1 0 0 x5 1 -1 -4 6 -2 0 x6 0 1 1 -7 -7
18
例如
1 1 1 2 1 1 ， 1 2 3 3 3 3
二、Gomory 约束的推导
cj
CB 4 XB x2 b 2
6
x1 0
4
x2 1
0
x3 1/3
0
x4 -1/3
6
σj
x1
5/2
-23
1
0
0
0
-1/6
-1/3
2/3
-8/3
1. 令xi 是松弛问题最优解中取值为分数的一个基变量， 由最优单纯形表可得： xi aik xk bi (1)
不考虑整数约束的最优解为： X * (4.8, 0)T , Z * 96 X(1)=(5, 0)T不是(1)的可行解 X(2)=(4, 0)T虽是可行解，但不是最优解
实际上，此ILP问题的最优解为：
X * (4, 1)T , Z * 90
4
做图分析例1的最优解(直观) x2
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
a
j 1
ij
x j bi ( i 1, 2, , m )
其中x j , aij , bi 全为整数, x j 0, ( i 1,2, , m , j 1,2, , n)
一、一个符号的说明
r [r ] f ,0 f 1 其中 [r ]为不大于r的最大整数， f为r的纯小数部分
在ILP问题（1）中，只要求部分 xj 为整数.
4.0-1规划 在ILP问题（1）中， 要求 xj ＝0或1.
6
第二节 分支定界法 (Branch and Bound Method)
适用范围：全整数线性规划、纯整数线性规划、 混合整数线性规划
一、几何解释
例2（P135）求解整数线性规划问题
MaxZ 40 x1 90 x 2 9 x1 7 x 2 56 ST : 7 x1 20 x 2 70 x ，x 0，且为整数 2 1
[1] 1
0 6
0
0 4 x2
0
-1/3 0 x3
0
-8/3 0 x4
0 0 1 0
0 x5
CB
XB
b
x1
4 6 0 σj
x2 x1 x5
2 5/2 -1/2 -23
0 1 0 0
1 0 0 0
1/3 -1/3 -1/6 2/3 1/6 [-2/3] -1/3 -8/3
0 0 1 0
15
cj
CB XB b
0
x4 -1/3 2/3
XB x2 x1
-23
0
0
-1/3
-8/3
14
将约束条件直接写入单纯形表：
x1 2
CB 4 6
x1 x5 2
cj 6 b 2 5/2 x1 0 1 4 x2 1 0 0 x3 1/3 -1/6 0 x4 -1/3 2/3
XB x2 x1
0 x5
0
σj
x5
cj
2
-23
7
解：图解法。 x2
9x1+7x2=56 问题B2 Z2=341 x1=5.00 x2=1.57
8 7 6 5 4 3 2 1
0
问题B1 Z1=349 x1=4.00 x2=2.10
B
X(0)=(4.81, 1.82) Z0=356
7x1+20x2=70
C 8 9 10 x1 x1>=[x(0)]+1
cj
CB 9 7 0 XB x2 x1 x3 b 3 32/7 11/7
7
x1 0 1 0
9
x2 1 0 0
0
x3 0 0 1
0
x4 0 1/7 1/7
0
x5 1 -1/7 -22/7
0 x6 0 0 0 1 0
0
x6
j
-4/7
-59
0
0
0
0
Байду номын сангаас
0
0
-1/7
-1
-6/7
-8
1 6 4 求出Gomory约束 : x4 x5 x6 , 写入最优表。 7 7 7
5x1+4x2=24
(4, 1)T Z=90 (4.8, 0)T Z=96 2x1+5x2=13 x1
（2）理论方面
ILP 问题的可行域不是凸集
5
二、整数线性规划的分类
1.纯整数线性规划
MaxZ C T X ST : AX b x j 0, xj 全部为整数
（1）
2.全整数线性规划 在ILP问题（1）中，还要求 aij , bi 全为整数。 3.混合整数线性规划
8
1
2
3 4 5 6 7
x1<=[x(0)]
二、分支规则
序号 问题 1 问题 2 无可行解 无可行解 1 无可行解 整数解 2 无可行解 非整数解 3 整数解 整数解 4 非整数解 5 整数解，目标函 数优于问题 2 整数解 非整数解，目标 6 函数优于问题 1 说 明 整数规划无可行解 此整数解即最优解 对问题 2 继续分支 较优的一个为最优解 问题 1 的解即最优解 问题 1 停止分支 (剪 枝 )， 其 整 数 解 为 界 ， 对问题 2 继续分支
第六章 整数线性规划
整数线性规划模型及其与线性规划的区别 整数规划的求解——分支定界法、割平面法
0-1整数线性规划模型与求解
指派问题模型与求解
整数规划的应用——建模
1
第一节 整数规划问题的提出
一、整数线性规划的一般形式
例1（P133）某厂拟用集装箱托运甲乙两种货物，每箱 的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如下表： 货物 甲 乙 体积 (米3 /箱) 5 4 重量 (百斤/箱) 2 5 利润 (百元/箱) 20 10
6
σj
x1
5/2
-23
1
0
0
0
-1/6
-1/3
2/3
-8/3
解： x1
1 2 5 x 3 x4 6 3 2
所以, Gomory 约束为 1 5 2 5 2 1 x3 x4 0或 x3 x4 x5 2 6 3 6 3 2
21
三、计算步骤
解松弛问题
All xi 为整数 ?
1.整数线性规划模型的一般形式
MaxZ C T X ST : AX b x j 0, xj部分或全部为整数
3
2.ILP问题与一般LP问题的区别 （1）求解方法方面 在例1中， ILP问题 MaxZ 20 x1 10 x 2
5 x1 4 x 2 24 (1) ST : 2 x1 5 x 2 13 x ，x 0，且为整数 2 1
MaxZ 6 x1 4 x 2 2 x1 4 x 2 13 ST : 2 x1 x 2 7 x 3, x 0, (整数) 2 1 x ( 2 ) ( 3,1) Z * 22
11
分支问题的松弛解
货物 x1 x2 Z
问题I 2 9/4 21
问题II 3 1 22
松弛问题的最优解为： X*=(5/2, 2), Z*=23
分支B1: x1
2
分支B2: x1
3
MaxZ 6 x1 4 x 2 2 x1 4 x 2 13 ST : 2 x1 x 2 7 0 x 2, x 0, (整数) 1 2 9 x (1) ( 2, ) 4 Z * 21
k
19
2. 令
将bi 和a ik 都分解成整数部分与非 负真分数之和。 a ik [a ik ] f ik bi [bi ] f i (0 f ik 1) (0 f i 1) ( 2) ( 3)
把(2)(3)代入(1)并移项得： xi [aik ] xk [bi ] f i f ik xk
6
x1
4
x2
0
x3
0
x4
0
x5
4 6 0
σj
x2 x1 x4
9/4 2 3/4
-21
0 1 0
0
1 0 0
0
1/4 0 -1/4
-1
0 0 1
0
-1/2 1 -3/2
-4
x1 3
CB
4 6
将另一约束条件直接写入单纯形表：
x1 x6 3
6 4
cj
0
0
XB
x2 x1
b
2 5/2
x1
0 1
问题II的解即原整数问题的最优解 可能存在两个分支都是非整数解的情况，则需要两边同 时继续分支，直到有整数解出现，就可以进行定界过程。 当存在很多变量有整数约束时，分支即广又深，在最坏 情况下相当于组合所有可能的整数解。
12
方法1：图解法 x2
8 7 6 5 4 3 2 1
0 1 2
2x1+x2=7 X*=(2, 9/4) Z*=21 X*=(5/2, 2) Z*=23 X*=(3, 1) Z*=22 2x1+4x2=13 3 4 5 6 7 8 9 10 x1
24
同样用对偶单纯形法进行计算，可得如下最 优表，此时xi的值都已经是整数，解题完成。
cj CB 9 7 0 0 XB x2 x1 x3 x4 b 3 4 1 4 -55 7 x1 0 1 0 0 0 9 x2 1 0 0 0 0 0 x3 0 0 1 0 0 0 x4 0 0 0 1 0 0 x5 1 -1 -4 6 -2 0 x6 0 1 1 -7 -7
18
例如
1 1 1 2 1 1 ， 1 2 3 3 3 3
二、Gomory 约束的推导
cj
CB 4 XB x2 b 2
6
x1 0
4
x2 1
0
x3 1/3
0
x4 -1/3
6
σj
x1
5/2
-23
1
0
0
0
-1/6
-1/3
2/3
-8/3
1. 令xi 是松弛问题最优解中取值为分数的一个基变量， 由最优单纯形表可得： xi aik xk bi (1)
不考虑整数约束的最优解为： X * (4.8, 0)T , Z * 96 X(1)=(5, 0)T不是(1)的可行解 X(2)=(4, 0)T虽是可行解，但不是最优解
实际上，此ILP问题的最优解为：
X * (4, 1)T , Z * 90
4
做图分析例1的最优解(直观) x2
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8