张英伯—欧氏几何的公理体系

当然，按照现代数学的公理化体系去衡量，《几何原本》的公理 体系不是很完备，比如对点、线、面等原始概念的定义不甚清晰， 关联，顺序，运动，连续性等方面的公理还有待补充，个别公理 欠独立性。一些命题的证明基于公理4的几何直观，即：彼此能 重合的物体是全等的。也就是说，一个平面图形可以不改变形状 和大小从一个位置移动到另一个位置。这实际上是不加定义默认 了平面的刚体运动。后者在现代数学中的严格定义是平面到自身 的保持距离不变的一个映射。
证明了素数有无穷多；第十卷篇幅最大，占全书的四分之一，主 要讨论无理量，可以看作是现代极限概念的雏形；第十一卷讨论 空间的直线与平面；第十二卷证明了圆面积的比等于直径的平方 比，球体积的比等于直径的立方比，但没有给出比例常数；第十 三卷详细研究了五种正多面体。
欧几里得《几何原本》中的内容已在现代中等教育中分成了若 干部分，分别归入平面几何，代数，三角，立体几何。初中平面 几何的内容主要取材于《几何原本》的前六章，大致可以概括为 点、线、面、角的概念，三角形，两条直线的位置关系（包括平 行，垂直），四边形，圆，相似形，求图形的面积这样几个部分。
自六十年代初，我国的平面几何课本在内容的编排上有了一些 变动，使用了较多的公理，并将平行线部分调到三角形的前面来 讲。其中主要的公理有： 两点确定一条直线。 两点间直线段最短。 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。 同位角相等，两直线平行。 过直线外（或上）一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。 三角形全等的判定: 边角边，角边角，边边边。
（一）几何原本与几何基础
我们都知道，两千多年前，古希腊的数学家欧几里得写了一 本著名的书《原本》。在古往今来的浩瀚书海中，《原本》用各 国文字出版的印数仅次于《圣经》而居世界第二位。我国最早的 中译本是在明朝末年由外国传教士利玛窦与我国科学家徐光启翻 译的，1607年出版，书名定为《几何原本》。此后，我国出版 的各种译本都沿袭这一名称叫做《几何原本》。 《几何原本》列出了五条公理与五条公设，并在各章的开头 给出了一系列定义，然后根据这些定义，公理和公设推导出了 465个数学命题，（按照目前通行的希思英译本《Euclid’s Elements》13卷计算, 该书的中译本于1990年出版），其系统之 严谨，推理之严密，令人叹为观止。
1922年，民国政府教育部制定了课程纲要，学制改为小学6年， 初中3年，高中3年，平面几何在初中三年级与高中一年级讲授。 高中课程为升入大学进行准备，初中纲要已包括了平面几何的基 本内容。 从三十年代初直到五十年代初，我国很多初中使用3S平面几 何作为教材，作者为美国的Schultz-Sevenoak-Schuyler三位姓 氏以S开头的数学工作者。这本书可以看作是《几何原本》中平 面几何部分的改写本，结合了中学生的接受能力，体系严谨，语 言平实。二战胜利后，经过修订又出了一套新3S平面几何，由 上海中学余元庆老师等人翻译，一直沿用到50年代初。 1949年中华人民共和国成立，我们开始学习苏联。人民教育 出版社于五十年代初期出版了自己编写的平面几何课本，主编者 是已调到人民教育出版社工作的余元庆老师等，有多人参加编写。 内容仍然类比着《几何原本》。
欧氏几何的公理体系 和我国平面几何课本的历史演变
பைடு நூலகம்
在大学数学课程 报告论坛上的发言 2005.11
引子
最近一个时期，许多数学家和大学数学教师对中学的课程改 革，特别是数学课程的改革非常关心。正如大家经常议论的，目 前的中等教育，有很多不尽如人意的地方，比如愈演愈烈的高考 竞争引发的应试教育，使我们的中学学生和中学老师不堪重负。 这些现象大多属于社会问题，单纯靠学术和教学是解决不了的。 中等教育牵动着整个社会，牵动着几乎所有家庭的希望和忧 虑。也关系到学生进入大学后进一步的学习，关系到我们的大学， 包括师范院校，应当为中学培养什么样的师资。另一方面，我们 的许多大学老师，不仅是师范院校的老师，都已经不同程度地介 入了中学课本的编写工作，今后可能会更多地参与进去。 最近我也参与了一些讨论。在这里仅就几何课本的一些思考 向各位专家和老师做一个汇报。
第四类中只有一个公理，即著名的平行公理：过直线外一点 至多有一条直线与已知直线平行。与《几何原本》的叙述稍有不 同，后者的表述是：两条直线被第三条直线所截，若某一侧同旁 内角之和小于两个直角，则两直线在该侧相交。
第五类是连续公理，包括阿基米德度量公理和直线的完备性 两条。
（二）我国平面几何课本的历史演变
第三类是合同公理，（或全等公理）。 1. 已知直线a及 a上的 线段 AB, 给出直线 a’ 及其上的点A’并指定a’上点A’的一侧。则在 a’ 上点A’的该侧存在点B’, 使A’B’合同于（或等于）AB. 记作 AB=A’B’. 2. 若 A’ B’ = AB, 且A’’B’’=AB, 则A’B’=A’’B’’. 3. 关于两 条线段的相加。 4. 关于角的合同，（或相等）。 5. 若两个三角 形△ABC 和△A’ B’C’ 有下列合同式：AB=A’B’，AC=A’C’， ∠A=∠ A’，则∠B=∠ B’，且∠C=∠ C’. 并以此为根据，通过《几何基础》第一章第5节定理28建立了 平面的刚体运动。为《几何原本》中“彼此能够叠合的物体是全 等的”这一事实奠定了公理化基础。
据有关专家介绍，3S平面几何强调了知识的从易到难,目前的 几何课本则强调了图形的从简到繁。编写基础教育阶段的几何课 本时，最基本的要求是：在保证前因后果的逻辑顺序的前提下， 在论述难易上应由易到难，在图形结构上应由简到繁。 遇有命 题的论证难以被学生接受，便把这个命题不加证明，暂作公理使 用，使得课本中的公理扩大范围。 我国六十年代初至今的初中 平面几何课本就是这样处理的。 这一阶段的课本充分注意到了知识的逻辑性，也注意到了初中 生的接受能力。是自成体系的，逻辑清晰的。
1899年数学泰斗希尔伯特Hilbert 出版了他的著作《几何基 础》，并于30多年间不断地修正和精炼，于1930年出了第七版。 《几何基础》一书为欧几里得几何补充了完整的公理体系，给出 了点、线、面、关联、顺序、合同这些原始概念的的准确定义。
《几何基础》将公理体系分为下述五类。第一类叫做关联公 理，由两点确定一条直线；一条直线上至少有两个点，至少有三 个点不在一条直线上，等8个公理组成。
已知： △ABC 与 △A’B’C’ 中，∠A=∠A’，AB=A’B’, AC=A’C’. 已知 求证：∠B=∠B’，∠C=∠C’，且 BC=B’C’. 求证 证明：将 ∠A’ 与 ∠A 叠合， 使 B’ 落在射线 AB 上，C’ 落在射 证明 线AC上。则 A’B’=AB，A’C’=AC 使得B’ 落在 B 上，C’ 落在 C 上。根据两点确定一条直线这一公设，B’C’ 与BC叠合。故 ∠B=∠B’，∠C=∠C’，且 BC=B’C’. □ （见《几何原本》第一卷命题4）。
在全书的开头列出的5个公设和五个公理如下。 公理适用于数学的各个领域： 公理
等于同量的量彼此相等。 等量加等量，其和相等。 等量减等量，其差相等。 彼此能重合的物体是全等的。 整体大于部分。
公设适用于几何部分： 公设
由任意一点到任意（另）一点可作直线。 一条有限直线可以继续延长。 以任意点为心及任意距离可以画圆。 凡直角都相等。 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角 的和小于而直角，则这二直线经无限延长后在这一侧相交。
由此可以证明（见《几何基础》第一章第4节定理8）：平面 上的任意一条直线将该平面上其余的点分为两个区域，一个区域 的每一点A和另一区域的每一点B所确定的线段AB内，必含有a 的一个点，而同一个区域的任意两点A和A’所确定的线段AA’内， 不含有直线a的点。有了这个定理，我们才可以定义平面上直线a 的同侧或异侧。我们还可以根据顺序公理的前三条，定义直线a 上的一点O将直线分为两侧：设A、A’、O 和B是一直线a上的四 点，若O不在点A, A’ 之间，称A, A’ 在O的同侧；若O在点A, B之 间，称A, B在O的异侧。因而直线上点O同侧的点的集合，叫做 始于O点的一条射线。
《几何原本》作为教科书在西欧讲授有1000年以上的历史，我国最早 的中译本是在400年前明朝末年出版。那个时代不太重视科学技术，包 括当时称为算学的数学。虽然在明末清初，包括清朝康熙皇帝在内，出 现过有一定数学水准的学者，但一般来讲，学习数学的人还是为数不多 的。随着清朝末期英，美，法，德，日，俄等列强对我国的侵略，西方 传教士大量进入中国。他们兴办了各类学堂，即新学，并编译了一些国 外的数学教科书作为教材。与此同时，清朝各级政府和留洋归国的有识 之士亦陆续设立了各种新学，较著名的中学有王氏育才书塾，即后来的 上海南洋中学，北京五城中学堂，即后来的北京师大附中。这一时期可 以看作是我国数学教育的启蒙阶段。
第二类叫做顺序公理，由下述四个公理组成。1. 设A,B,C是 一条直线上的三点，如果B在A,C之间，则B也在C, A之间。 2. 已知A, B是直线上两点，则直线上至少有一点 C, 使得B在A, C之 间。3. 一条直线的三点中，至少有一点在其它两点之间。 4. 若 直线a 不经过三角形ABC的顶点，且与线段AB相交，则a与AC或 BC相交。
课本逐年进行着改进和完善。1963，1964年发行的课本已经相当不 错。据说到1966年又有一套更好的课本准备出版使用，却由于文化大革 命的到来而夭折了。改革开放以后，我们的平面几何课本基本上沿用了 六十年代的体系，有时加进视图，锐角三角函数（原高一年级三角课本 的部分内容），直线和圆的方程（原高三年级解析几何的部分内容）。 上世纪六十年代至本世纪初，公理体系扩大化的程度以及视图等内容增 添的程度随着政治形势的变化而时强时弱，其间有些课本亦编得相当精 彩。据说每个定理的叙述，每个例题的选取，都是经过若干堂教学实践， 反复推敲定稿的。
（三）《几何原本》证明点滴 几何原本》
平面几何这一学科的思维特点是：从少量几条公理出发，经过 推理证明，得到一系列命题。在初中课程中，不必绝对地追求体 系的完整，只要逻辑清晰，自圆其说即可。应当尽可能地将几何 的直观性与逻辑性相结合，充分利用图形的直观功能，探索图形 的性质。课程力求精简，使学生学习到平面几何的精髓。在这里 我想略举几例，介绍欧几里得《几何原本》和希尔伯特《几何基 础》的原始的证法。我个人认为，平面几何逻辑体系的选择属学 术范畴，可以不作硬性规定，以保证学术自由。 比如三角形全等的判定“边角边”在欧式几何中是如下证明的。
1902年清朝政府正式颁布了钦定学堂章程，于1905年下诏 “立停科举，以广学校”，建立了初小5年，高小4年，中学5年 的洋学制，并正式开始在中学讲授平面几何。由于日本十九世纪 后半叶的明治维新运动对我国触动很大，当时所用课本大都为日 本教材的中译本。数学教育逐步走上了正轨。 辛亥革命后，1912至1922年，民国政府教育部将学堂改为学 校，算学改称数学，（这一称谓于三十年代在民间普及），学制 改为初小4年，高小3年，中学4年，教育部审定教学用书，平面 几何教材逐步开始使用一些英译本，如美国人温德华氏几何学， 和我国自己编的课本，数学教育的水平已大大提高。
《几何原本》的内容涉及初等数学的各个领域，包括代数，数 论，平面几何，立体几何，甚至现代极限概念的雏形，但各部分 的表述大都是从图形出发的。第一卷讲直线形，包括点、线、面、 角的概念，三角形，两条直线的平行与垂直，勾股定理等；第二 卷讲代数恒等式，如两项和的平方，黄金分割；第三卷讨论圆、 弦、切线等与圆有关的图形；第四卷是圆的内接和外切三角形， 正方形，内接正多边形（5，10，15边）的作图；第五卷比例论， 取材于欧多克索斯（Eudoxus）的公理法，使之适用于一切可公 度和不可公度的量；第六卷将比例论应用平面图形，研究相似形； 第七八九卷是初等数论，其中给出了辗转相除法，