浙江省绍兴嵊州市中学浙教版8年级数学培优试卷(校本课程)专题09 二次根式的概念与性质
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【例4】若实数 ， ， 满足关系式：
，试确定 的值．
（北京市竞赛试题）
解题思路：观察发现（ －199＋ ）与（199－ － ）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．
【例5】已知 ，求 ＋ ＋ 的值．
（山东省竞赛试题）
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．
（上海市竞赛试题）
B级
1．已知 ， 为实数，y＝ ，则5 ＋6 ＝_________．
2．已知实数 满足 ，则 －19992＝___________．
3．正数 ， 满足 ＋4 －2 －4 ＋4 ＝3，那么 的值为_______．
（北京市竞赛试题）
4．若 ， 满足3 ＝7，则 = 的取值范围是________．
A．3B． C．2D．
8．已知 ，则 的值为（）．
A．3B．4C．5D．6
9．设 ， ， 是实数，若 ＋ ＋ ＝2 ＋4 ＋6 －14，求
的值．
（北京市竞赛试题）
10．已知 3＝ 3＝cz3， ＋ ＋ ＝1，求证： ＋ ＋ ．
11．已知在等式 中， ， ， ， 都是有理数， 是无理数．求：
（1）当 ， ， ， 满足什么条件时， 是有理数，
A．小于0的有理数B．大于0的有理数
C．小于0的无理数D．大于0的无理数
（武汉市竞赛试题）
9．已知 ，其中 ≠0，求 的值．
（山东省中考试颗）
10．已知 与 的小数部分分别是 ， ，求 的值．
（浙江省竞赛试题）
11．设 ， ， 为两两不等的有理数．
求证： 为有理数．
（北京市竞赛试题）
12．设 ， 都是正整数，且使 ，求 的最大值．
5．代数式 的最小值是（）．
A．0B．1＋ C．1D．不存在
6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．
A． 和2 B．3 和3
CБайду номын сангаас 和 D． 和
（“希望杯”邀请赛试题）
7．化简 的结果是（）．
A．6 －6B．－6 ＋6C．－4D．4
（江苏省竞赛试题）
8．设 是一个无理数，且 ， 满足 － － ＋l＝0，则 是一个（）．
解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．
能力训练
A级
1．要使代数式 有意义．则 的取值范围是_____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．
已知 为实数，化简 ．
解：原式＝ ．
3．已知正数 ， ，有下列命题：
（1）若 ＝1， ＝1，则 1；
（2）若 ＝ ， ＝ ，则 ；
（3）若 ＝2， ＝3，则 ；
（4）若 ＝1， ＝5，则 3．
根据以上命题所提供的信息，请猜想：若 ＝6， ＝7，则 ________．
（黄冈市竞赛试题）
4．已知实数 ， ， 满足 ，则 （ ＋ ）的值为_______．
【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知整数 ， 满足 ＋2 ＝50，那么整数对（ ， ）的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
（江苏省竞赛试题）
6．已知 ＝1，那么代数式 的值为（）
A． B．－ C．－ D．
（重庆市中考试题）
7．设等式 在实数范围内成立，其中 ， ， 是两两不同的实数．则代数式 的值为（）．
6．若 ＞ ＞0，则 ＞ ＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．
例题与求解
【例1】设 ， 都是有理数，且满足方程 ，那么 的值是____________．（“希望杯”邀请赛试题）
（2）当 ， ， ， 满足什么条件时， 是无理数．
（“希望杯”邀请赛试题）
12．设 ＝ ，求不超过 的最大整数[s]．
13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝ ．
（1）用含 的代数式表示AC＋CE的长；
（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？
专题09二次根式的概念与性质
阅读与思考
式子 叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：
1． ．说明了 与 、 2一样都是非负数．
2． ＝ （ ≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．
3． 揭示了与绝对值的内在一致性．
4． （ ≥0， ≥0）．
5． （ ≥0， ＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为 ，2 ， （ ＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
（3）若△ABC三边的长分别为 ， ，2 （ ＞0， ＞0，且 ≠ ）试运用构图法求出这个三角形的面积．
（咸宁市中考试题）
解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．
【例2】当1≤ ≤2，经化简， ＝___________．
解题思路：从化简被开方数入手，注意 中 ≥0的隐含制约．
【例3】若 ＞0， ＞0，且 ，求 的值．
（天津市竞赛试题）
解题思路：对已知条件变形，求 ， 的值或探求 ， 的关系．
，试确定 的值．
（北京市竞赛试题）
解题思路：观察发现（ －199＋ ）与（199－ － ）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口．
【例5】已知 ，求 ＋ ＋ 的值．
（山东省竞赛试题）
解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试.
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值．
（上海市竞赛试题）
B级
1．已知 ， 为实数，y＝ ，则5 ＋6 ＝_________．
2．已知实数 满足 ，则 －19992＝___________．
3．正数 ， 满足 ＋4 －2 －4 ＋4 ＝3，那么 的值为_______．
（北京市竞赛试题）
4．若 ， 满足3 ＝7，则 = 的取值范围是________．
A．3B． C．2D．
8．已知 ，则 的值为（）．
A．3B．4C．5D．6
9．设 ， ， 是实数，若 ＋ ＋ ＝2 ＋4 ＋6 －14，求
的值．
（北京市竞赛试题）
10．已知 3＝ 3＝cz3， ＋ ＋ ＝1，求证： ＋ ＋ ．
11．已知在等式 中， ， ， ， 都是有理数， 是无理数．求：
（1）当 ， ， ， 满足什么条件时， 是有理数，
A．小于0的有理数B．大于0的有理数
C．小于0的无理数D．大于0的无理数
（武汉市竞赛试题）
9．已知 ，其中 ≠0，求 的值．
（山东省中考试颗）
10．已知 与 的小数部分分别是 ， ，求 的值．
（浙江省竞赛试题）
11．设 ， ， 为两两不等的有理数．
求证： 为有理数．
（北京市竞赛试题）
12．设 ， 都是正整数，且使 ，求 的最大值．
5．代数式 的最小值是（）．
A．0B．1＋ C．1D．不存在
6．下列四组根式中是同类二次根式的一组是（）．
A． 和2 B．3 和3
CБайду номын сангаас 和 D． 和
（“希望杯”邀请赛试题）
7．化简 的结果是（）．
A．6 －6B．－6 ＋6C．－4D．4
（江苏省竞赛试题）
8．设 是一个无理数，且 ， 满足 － － ＋l＝0，则 是一个（）．
解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得．
能力训练
A级
1．要使代数式 有意义．则 的取值范围是_____________．
（“希望杯”邀请赛试题）
2．阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答．
已知 为实数，化简 ．
解：原式＝ ．
3．已知正数 ， ，有下列命题：
（1）若 ＝1， ＝1，则 1；
（2）若 ＝ ， ＝ ，则 ；
（3）若 ＝2， ＝3，则 ；
（4）若 ＝1， ＝5，则 3．
根据以上命题所提供的信息，请猜想：若 ＝6， ＝7，则 ________．
（黄冈市竞赛试题）
4．已知实数 ， ， 满足 ，则 （ ＋ ）的值为_______．
【例6】在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上：_________．
（全国初中数学联赛试题）
5．已知整数 ， 满足 ＋2 ＝50，那么整数对（ ， ）的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
（江苏省竞赛试题）
6．已知 ＝1，那么代数式 的值为（）
A． B．－ C．－ D．
（重庆市中考试题）
7．设等式 在实数范围内成立，其中 ， ， 是两两不同的实数．则代数式 的值为（）．
6．若 ＞ ＞0，则 ＞ ＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础．
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
（2）要学会性质的“正用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边．
例题与求解
【例1】设 ， 都是有理数，且满足方程 ，那么 的值是____________．（“希望杯”邀请赛试题）
（2）当 ， ， ， 满足什么条件时， 是无理数．
（“希望杯”邀请赛试题）
12．设 ＝ ，求不超过 的最大整数[s]．
13．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连结AC，EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝ ．
（1）用含 的代数式表示AC＋CE的长；
（2）请问点C满足什么条件是AC＋CE的值最小？
专题09二次根式的概念与性质
阅读与思考
式子 叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有：
1． ．说明了 与 、 2一样都是非负数．
2． ＝ （ ≥0）．解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化．
3． 揭示了与绝对值的内在一致性．
4． （ ≥0， ≥0）．
5． （ ≥0， ＞0）．给出了二次根式乘除法运算的法则．
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法．若△ABC三边的长分别为 ，2 ， （ ＞0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为 ）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
（3）若△ABC三边的长分别为 ， ，2 （ ＞0， ＞0，且 ≠ ）试运用构图法求出这个三角形的面积．
（咸宁市中考试题）
解题思路：将等式整理成有理数、无理数两部分，运用有理数和无理数的性质解题．
【例2】当1≤ ≤2，经化简， ＝___________．
解题思路：从化简被开方数入手，注意 中 ≥0的隐含制约．
【例3】若 ＞0， ＞0，且 ，求 的值．
（天津市竞赛试题）
解题思路：对已知条件变形，求 ， 的值或探求 ， 的关系．