2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(湖南卷,有答案)

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2013年湖南高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i(1i)z =+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【测量目标】复数代数形式的四则运算及复平面．【考查方式】给出复数的乘法形式，间接地考查了复数的代数与几何之间的关系．【参考答案】B【试题解析】 i(1i)1i z =+=-+，∴复数z 对应复平面上的点是(1,1)-，该点在第二象限．2．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【测量目标】命题的基本关系，充分、必要条件．【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件．【参考答案】A【试题解析】设{|12}A x x =<<，{|2}B x x =<，∴A B Ü，即当0x A ∈时，有0x B ∈，反之不一定成立．因此“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = ( ) A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【测量目标】分层抽样．【考查方式】根据分层抽样的特点，结合实际问题用比例法求解样本容量的多少．【参考答案】D 【试题解析】3=601208060n++，13n ∴= 4．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，()()114f g +-=，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【测量目标】函数的奇偶性、函数的求值．【考查方式】给出两个奇、偶函数的关系式，结合奇、偶函数的性质求解g (1)．【参考答案】B【试题解析】根据奇、偶函数的性质，将(1)f -和(1)g -转化(1),(1)f g -为列方程再求解． (f x ）是奇函数，(1)(1).f f ∴-=-又()g x 是偶函数， (1)(1)g g ∴-=，（步骤1） (1)(1)2,(1)(1)2f g g f -+=∴-= ． ①（步骤2）又(1)(1)4,(1)(1)4f g f g +-=∴+=． ②（步骤3）由①②，得(1)3g =．（步骤4）5．在锐角三角形ABC 中，角,A B 所对的边长分别为a ，b ．若2sin a B =，则角A 等于( ) A ．π3 B ．π4 C ．π6 D ．π12【测量目标】正弦定理．【考查方式】给出三角形的边角之间的关系，根据正弦定理，求出其中一个角的大小．【参考答案】A【试题解析】在△ABC 中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为△ABC 的圆半径)，2sin ,2sin sin a B A B B =∴=sin A ∴=，又△ABC 为锐角三角形，π3A ∴=．6．函数()ln f x x =的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【测量目标】函数的图像与性质，数形结合思想．【考查方式】给出对数函数和二次函数，考查了两个函数的图像与交点．【参考答案】C【试题解析】22()44(2)g x x x x =-+=-在同一平面直角坐标系内画出函数()ln f x x =与2()(2)g x x =-的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点．第6题图7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 ( )A B ．1 C D 【测量目标】空间几何体三视图的判断，柱、锥、台、及简单组合体的表面积、体积的求法．【考查方式】给出正方体的三视图面积，间接地考查了对正方形三视图的认识，并求出正视图的面积．【参考答案】D【试题解析】由于该正方形的俯视图是面积为11的矩形，所以8．已知,a b 是单位向量，0∙=a b ，若向量c 满足0--=c a b ，则c 的最大值为 ( )A 1-BC 1D 2 【测量目标】向量的运算律、向量的数量积及模．【考查方式】给出模为零的向量，间接地考查了向量的运算律、数量积及模的综合应用，并求出其中一个向量的模．【参考答案】C【试题解析】 ,a b 是单位向量， ∴1==a b ，（步骤1）又0∙=a b ，∴⊥a b ，（步骤2）∴+=a b ．（步骤3） ∴22222()+21--=-∙+∙++=c a b c c a b αb a b ．22()10∴-∙++=c c a b ，22()1∴∙+=+c a b c ．（步骤4） ∴21+c 2cos θ=+c a b (θ是c 与+a b 的夹角)．（步骤5）∴21+c cos θ=…，∴210-+c …．（步骤6）∴11c 剟，∴c 1．（步骤7） 9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB= ( )A ．12 B ．14C D【测量目标】几何概型．【考查方式】给出事件发生的概率并与代数相结合，求出几何概型的概率．【参考答案】D【试题解析】由于满足条件的点P 发生的概率为12，点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB AB =（当P 点超过点E 向点D 运动时，PB AB >）．设AB x =，过点E 作EF AB ⊥交AB 于点F ，则34BF x =．在Rt FBE △中，222222716EF BE FB AB FB x =-=-=，即EF x =，AD AB ∴=第9题图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===，则()U A B ð= ．【测量目标】集合的表示、集合的基本运算，数形结合思想．【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的补集、交集运算．【参考答案】{6,8}【试题解析】因为{2,3,6,8},{2,3}U A ==，所以{6,8}U A =ð，所以(){6,8}{2,6,8}{6,8}U A B == ð． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行，则常数a 的值为．【测量目标】参数方程、两直线的位置关系，转化思想的应用．【考查方式】参数方程与直角坐标方程的互化，间接考查了直线方程与直线位置的关系．【参考答案】4 【试题解析】由21,x s y s=+⎧⎨=⎩消去参数s ，得21x y =+．由,21x at y t =⎧⎨=-⎩消去参数t ，得2x ay a =+．12l l ∥，21, 4.2a a ∴=∴=12．执行如图所示的程序框图，如果输入a =1，b =2，则输出的a 的值为．【测量目标】循环结构的程序框图．【考查方式】程序框图的逻辑关系，并根据程序框图求出a 的值．第12题图【参考答案】9【试题解析】当1,2a b ==时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为3．当3,2a b ==时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为5．当5,a =2b =时，8a >不成立，执行a ab =+后a 的值为7．当7,a =2b =时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为9．由于98>成立，故输出的a 值为9．13．若变量,x y 满足约束条件28,04,03x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟则x y +的最大值为______．【测量目标】线性规划知识求最值．【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值．【参考答案】6【试题解析】根据不等式组出其平面区域，令z x y =+，结合直线z x y =+的特征求解．如图，画出不等式组表示的平面区域，平行移动z x y =+经过点(4,2)A 时，z 取最大值6．第13题图14．设12,F F 是双曲线C 22221x y a b-= ()0,0a b >>的两个焦点．若在C 上存在一点P ．使12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=，则C 的离心率为___________．【测量目标】双曲线的定义及其相关性质．【考查方式】给出双曲线上的点到两焦点之间直线的关系，根据双曲线的定义及性质求解其离心率．1【试题解析】如图，利用12PF PF ⊥及1230PF F ∠=，求出a ，c 的关系式．设点P 在双曲线右支上． 12PF PF ⊥，122F F c =，且1230PFF ∠= ，∴2PF c =，1PF =．又点P 在双曲线右支上，∴12PF PF-1)c =2a =．∴c e a==1=．第14题图 15．对于12100{,,,}E a a a = 的子集12{,,,}k i i i X a a a = ，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中121k i i i x x x ==== ．其余项均为0，例如子集23{,}a a 的“特征数列”为0，1，0，0， 0⑴子集135{,,}a a a 的“特征数列”的前三项和等于___________；⑵若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p ⋅⋅⋅ 满足11p =，11i i p p ++=，199i剟；E 的子集Q 的“特征数列” 12100,,,q q q ⋅⋅⋅满足11q =，121j j j q q q ++++=，198j剟，则P Q 的元素个数为_________．【测量目标】集合的子集、交集定义的理解以及数列中项、项数概念的理解及应用．【考查方式】根据给定“特征数列”的新定义，明确其性质，结合集合及数列性质求解．【参考答案】⑴2 ⑵17【试题解析】子集中元素的个数为“特征数列”中项1的个数，并且1所在的项记为“特征数列”中的第i 项． ⑴子集{}135,,a a a 的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0,,0. 故该数列前3项的和为2．⑵E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 中，由于11p =，11(199)i i p p i++=剟，因此集合P 中必含有元素1a ．又当1i =时，121p p +=，且11p =，故20p =同理可求得31p =，40p =，51p =，60p =，…．故E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0,,1,0 ，即{}1,35799,,,,.P a a a a a =⋅⋅⋅E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q ⋅⋅⋅中，由于11q =，121j j j q q q ++++=(198)j剟，因此集合Q 中必含有元素1a ．当1j =时，1231q q q ++=，当2j =时，2341q q q ++=，当3j =时，3451q q q ++=，…故11q =230q q ==，41q =，560q q ==，71q =，…．故，所以E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0,,0,1⋅⋅⋅，即{}14710100,,,,,Q a a a a a =⋅⋅⋅．因为1001(1)3n =+-⨯，故34n =，所以集合Q 中有34个元素，其下标为奇数的有17个．因此，P Q {}17131997,,,,,a a a a a =⋅⋅⋅共有17个元素．三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数π()cos cos()3f x x x =⋅-．⑴求2π()3f 的值； ⑵求使 1()4f x <成立的x 的取值集合．【测试目标】三角函数的定义及性质，三角函数的恒等变换．【考查方式】利用三角函数的恒等变换将函数转化成正弦函数，根据三角函数图像的性质求出x 的范围．【试题解析】(1)ππ()cos (cos cossin sin )33f x x x x =⋅⋅+⋅111(sin 2cos 2)2224x x =⋅+⋅+ 1π1sin(2)264x =++2π13π1()sin3224f ⇒=+14=-，所以2π1()34f =-．（2）由（1）知，1π11()sin(2)2644f x x =++<1π11cos(2)2344x ⇔-+<，即πcos(2)03x -<于是ππ3π2π22π232k x k +<-<+5π11π(π,π),1212x k k k ⇒∈++∈Z ．故使1()4f x <成立的x 的取值集合为5π11π,1212x kx x kx k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 17．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB AC ==13AA = ，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动．⑴证明：1AD C E ⊥；⑵当异面直线AC ，1C E 所成的角为60时，求三棱柱111C A B E -的体积．【测量目标】空间点、线、面的之间的位置关系，线线、线面、面面垂直与平行第17题图的性质与判定，异面直线所成角，三棱柱的体积．【考查方式】根据线面垂直推导到线线垂直，求出三棱柱111E A B C -的高1EB 再求体积．【试题解析】⑴AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．(步骤1) ① 又在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，而AD ⊂平面11BB C C ，∴1AD BB ⊥．（步骤2） ② 由①②，得AD ⊥平面11BB C C ，由E 点在棱1BB 上运动，得1C E ⊂平面11BB C C 1C E AD ∴⊥．（步骤3）⑵11CA C A ∥，1160AC E ∴∠=⇒在11Rt AC E △中，1A E =，（步骤4） ⇒在11Rt A B E △中，12EB =．（步骤5） 111ABC A B C - 是直棱柱，1EB ∴是三棱柱111E A B C -的高．（步骤6） 11111111111212333C A B E E A B C A B C V V S EB --==⨯⨯=⨯⨯=△．所以三棱柱111C A B E -的体积是23．（步骤7）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． ⑴完成下表，并求所种作物的平均年收获量；⑵在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．【测量目标】频数分布表及平均数、简单随机事件的概率．【考查方式】考查识图能力及数据处理能力及分类讨论思想，结合图形解决概率与统计的相关知识，根据图形找出Y 对应的频数．【试题解析】(1) 由图知，三角形中共有15个格点，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4，0)，(0，4)．与周围格点的距离不超过１米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0，0)， (1，3)， (2，2)，(3，1)．与周围格点的距离不超过１米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1，0)， (2，0)， (3，0)，(0，1，) ，(0，2)，(0，3)．与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1)， (1，2)， (2，1)．如下表所示：平均年收获量5124844564234615u ⨯+⨯+⨯+⨯==．(2)在15株中，年收获量至少为48kg 的作物共有246+=个．所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48kg 的概率60.415p ==． 19．（本小题满分13分）设n S 为数列{}n a 的前项和，已知01≠a ，112n n a a S S -=∙，*n ∈N ．⑴求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n na 的前n 项和．【测量目标】等比数列的公式、性质及数列的前n 项和的公式、性质．【考查方式】利用递推公式1n n n a S S -=-(2)n …消去n S 得到关于n a 的通项公式，并用错位相减法求{}n na 的前n 项和．【试题解析】⑴ 11S a = ∴令1n =，得21112a a a -=.1,011=≠⇒a a (步骤1)令2n =，得2221a S -=21a =+22a ⇒=．（步骤2）当2n …时，由21nn a S -=，1121n n a S ---=两式相减，得122n n n a a a --=，即12n n a a -=．（步骤3）于是{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．（步骤4）因此，12,n na n -*=∈N ，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（步骤5） ⑵由⑴知，12n n na n -=⋅．记数列{}12n n -⋅的前n 项和为n T ，于是21122322n nT n -=+⨯+⨯++⨯ ①2321222322n n T n ⇒=⨯+⨯+⨯++⨯ ② （步骤6）①－②，得21122...22n n nT n --=++++-⋅212n n n =--⋅(1)21,n n T n n *⇒=-⋅+∈N ．（步骤7） 20．（本小题满分13分）已知1F ，2F 分别是椭圆E ：2215x y +=的左、右焦点1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．⑴求圆C 的方程；⑵设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ．当ab 最大时，求直线l 的方程．【测量目标】点关于直线对称点的求法，圆的方程，直线与椭圆的位置关系，直线的方程以及利用函数求最值问题．【考查方式】考查了对称思想在求解实际问题中的应用，求出圆C 的方程．由勾股定理求出弦长b ，根据焦半径的公式求出弦长a ，构造函数判断单调性，求出ab 最大值，求出l 的方程．【试题解析】⑴先求圆C 关于直线20x y +-=对称的圆D ，由题意知，圆D 的直径为12F F ，所以圆D 的圆心是(0,0)D，半径2r c ==，（步骤1）圆心0,0D （）与圆心C 关于直线02=-+y x 对称(2,2)C ⇒． ⇒圆的方程是22(2)(2)4x y -+-=（步骤2）⑵由⑴知2(2,0)F ，根据题可设直线l 方程为:2,x my m =+∈R ．这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意．圆C :4)2()2(22=-+-y x 到直线l的距离d =．（步骤3）⇒在圆中，由勾股定理，得22222444(4)11m b m m =-=++．（步骤4）直线与椭圆相较于点1122(,),(,)E x y F x y ，联立直线与椭圆方程，得22(5410m y my ++-=）12x x ⇒+12()4m y y =++2445m mm -=++2205m =+，由椭圆的焦半径公式得：12)a x x =+=2215m m +=+2215m ab m +∴=+25m =+（步骤5）令()0f x x =…()y f x ⇒=在[0,3]上单调增，在[3,)+∞单调减，（步骤6）令()(3)f x f …⇒当23m =时，取ab最大值，这时直线方程为2x =+，所以当取ab最大值，直线方程为2x =+．（步骤7） 21．（本小题满分13分）已知函数21()e 1xx f x x-=+．⑴求()f x 的单调区间；⑵证明：当时1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<．【测量目标】导数的运算，导数研究函数的单调性，导数在不等式证明问题中的应用．【考查方式】考查导数的运算、利用导数求函数单调区间的方法、构造函数判断函数大小的方法．【试题解析】⑴ 函数的定义域,-∞+∞（）， 2211()e e 11x x x x f x x x '--⎛⎫'=+ ⎪++⎝⎭222(11)e 1)(1)e 21)x x x x x x x -+-⋅+--⋅=+（（22232e 1)x x x x x --+=⋅+（（步骤1） 22420∆=-⨯< ，∴当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x y f x '>=单调递增，当时(0,)x ∈+∞，()0,()f x y f x '=…单调递减．∴()y f x =在(,0)-∞上单调递增，在(0)x ∈+∞，上单调递减．（步骤2） ⑵当1x <时，由于2101x x ->+，e 0x >，故()0f x >；同理，当1x >时，()0f x <．（步骤3）当1212()()()f x f x x x =≠时，不妨设12x x <，由⑴知，1(,0)x ∈-∞，2(0,1)x ∈．（步骤4）下面证明：(0,1)x ∀∈，()()f x f x <-，即证2211e e 11x x x x x x --+<++⇔1(1)e 0e x x x x ---<．（步骤5）令1()(1)e ex x x g x x +=--，则2()e (e 1)x x g x x -'=--．（步骤6）当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而()(0)0g x g <=，即1(1)e 0e x xx x +--<． (0,1)x ∴∀∈，()()f x f x <-．（步骤7）而2(0,1)x ∈，22()()f x f x ∴<-，从而12()()f x f x <-．（步骤8）由于1x ，2(,0)x -∈-∞，()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以12x x <-，即120x x +<．（步骤9）。

2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(无误版)

绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

（1）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛x|x=n2，n∈A｝,则A∩B= ( ) （A）｛0｝（B）｛-1，,0｝（C）{0，1} （D）｛-1，,0，1} （2）错误！未找到引用源。

=( )（A）-1 - 错误！未找到引用源。

i（B）-1 + 错误！未找到引用源。

i （C）1 + 错误！未找到引用源。

i（D）1 - 错误！未找到引用源。

i（3）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）（A）错误！未找到引用源。

（B）错误！未找到引用源。

（C）错误！未找到引用源。

（D）错误！未找到引用源。

（4）已知双曲线C：错误！未找到引用源。

= 1（a>0,b>0）的离心率为错误！未找到引用源。

，则C的渐近线方程为（）（A）y=±错误！未找到引用源。

x （B）y=±错误！未找到引用源。

x （C）y=±错误！未找到引用源。

x （D）y=±x（5）已知命题p：，则下列命题中为真命题的是：（）（A） p∧q （B）￢p∧q （C）p∧￢q （D）￢p∧￢q （6）设首项为1，公比为错误！未找到引用源。

的等比数列｛an｝的前n项和为Sn，则（）（A）Sn =2an-1 （B）Sn=3an-2 （C）Sn=4-3an（D）Sn=3-2an（7）执行右面的程序框图，如果输入的t∈[-1，3]，则输出的s属于（A）[-3,4]（B）[-5,2]（C）[-4,3]（D）[-2,5]（8）O为坐标原点，F为抛物线C：y²=4x的焦点，P为C上一点，若丨PF丨=4，则△POF的面积为（A）2 （B）2（C）2（D）4（9）函数f（x）=（1-cosx）sinx在[-π，π]的图像大致为（10）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos²A+cos2A=0，a=7，c=6，则b=（A）10 （B）9 （C）8 （D）5（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（A）18+8π（B）8+8π（C）16+16π（D）8+16π（12）已知函数f（x）= 若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（A）（-∞] （B）（-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。

2013年高考真题—文科数学(湖南卷)精校精析

2013年高考真题精校精析2013·湖南卷(文科数学)1．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 1．B [解析] z ＝i·(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，在复平面上对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，选B.2． “1<x <2”是“x <2”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．A [解析] 1<x <2，一定有x <2；反之，x <2，则不一定有1<x <2，如x ＝0.故“1<x <2”是“x <2”成立的充分不必要条件，选A.3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差别，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )A ．9B ．10C ．12D ．133．D [解析] 根据抽样比例可得360＝n120＋80＋60，解得n ＝13，选D.4．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．B [解析] 由函数的奇偶性质可得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)．根据f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，可得2g (1)＝6，即g (1)＝3，选B.5．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6 D.π125．A [解析] 由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ．又sin B ≠0，所以sin A ＝32.因为A 为锐角，故A ＝π3，选A.6．，函数f (x )＝ln x 的图像与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图像的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．A [解析] 方法一：作出函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4的图像如图所示可知，其交点个数为2，选C. 方法二(数值法)可知它们有27．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32B ．1 C.2＋12D. 2 7．D [解析] 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为2，选D.8．已知，是单位向量，＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋28．C [解析] 由题可知·＝0，则⊥，又||＝||＝1，且|－－|＝1，不妨令＝(x ，y )，＝(1，0)，＝(0，1)，则(x －1)2＋(y －1)2＝1.又||＝x 2＋y 2，故根据几何关系可知||max ＝12＋12＋1＝1＋2，选C. 9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( ) A.12 B.14 C.32 D.749．D [解析] 依题可知，E ，F 是CD 上的四等分点，P 只能在线段EF 上，则BF ＝AB ，不妨设CD ＝AB ＝a ，BC ＝b ，则有b 2＋⎝⎛⎭⎫3a 42＝a 2，即b 2＝716a 2，故b a ＝74，选D.10．已知集合U ＝{2，3，6，8}，A ＝{2，3}，B ＝{2，6，8}，则(∁U A )∩B ＝________． 10．{6，8} [解析] 由已知得∁U A ＝{6，8}，又B ＝{2，6，8}，所以(∁U A )∩B ＝{6，8}．11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________．11．4 [解析] l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s ＋1，y ＝s ，即x －2y －1＝0，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at ，y ＝2t －1，即2x －ay －a ＝0.由两直线平行，得21＝－a －2≠－a－1，解得a ＝4. 12．执行如图1－1所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为________．图1－112．9 [解析] 根据程序框图所给流程依次可得，a ＝1，b ＝2→a ＝3→a ＝5→a ＝7→a ＝9，满足条件，输出a ＝9.13．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，0≤x ≤4，0≤y ≤3，则x ＋y 的最大值为________．13．6 [解析] 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，可知在点B (4，2)处x ＋y 取最大值为6.14．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．14.3＋1 [解析] 如图，因PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，故|PF 2|＝12|F 1F 2|＝c ，则|PF 1|＝3c ，又由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，故c a ＝23－1＝3＋1.15．，对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，…，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，…，x 100，其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．15．2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知，子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)根据“E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i ≤99”可知子集P 的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j ≤98”可知子集Q 的“特征数列为1，0，0，1，0，0，…，0，1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P ∩Q 的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a 1，a 7，a 13，…，a 97，共17项．16．已知函数f (x )＝cos x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3. (1)求f ⎝⎛⎭⎫2π3的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．16．解：(1)f 2π3＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－122＝－14.(2)f (x )＝cos x ·cos x －π3＝cos x ·12cos x ＋32sin x＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos2x －π3＋14. f (x )<14⇔12cos2x －π3＋14<14，即cos2x －π3<0.于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈，解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈17．如图1－2所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝2，AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动．(1)证明：AD ⊥C 1E ；(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积．图1－2 17．解：(1)证明：因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC .①又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥BB 1.②由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C .由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥C 1E .(2)因为AC ∥A 1C 1，所以∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设∠A 1C 1E ＝60°. 因为∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°，所以A 1C 1⊥A 1B 1. 又AA 1⊥A 1C 1，从而A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，于是A 1C 1⊥A 1E .故C 1E ＝A 1C 1cos 60°＝2 2.又B 1C 1＝A 1C 21＋A 1B 21＝2，所以B 1E ＝C 1E 2－B 1C 21＝2.从而V 三棱锥C 1－A 1B 1E ＝13S △A 1B 1E ·A 1C 1＝13×12×2×2×2＝23.图1－318．某人在如图1－3所示的直角边长为4 m 的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1 m. (1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下：所种作物的平均年收获量为51×2＋48×4＋45×6＋42×315＝102＋192＋270＋12615＝69015＝46.(2)由(1)知，P (Y ＝51)＝215，P (Y ＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg 的概率为P (Y ≥48)＝P (Y ＝51)＋P (Y ＝48)＝215＋415＝25.19．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0，2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈ (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．19．解：(1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21. 因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n ，2a n －1－1＝S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1，① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，②①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n .从而B n ＝1＋(n －1)2n .20．已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 25＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．(1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b .当ab 最大时，求直线l 的方程． 20．解：(1)由题设知，F 1，F 2的坐标分别为(－2，0)，(2，0)，圆C 的半径为2，圆心为原点O 关于直线x ＋y －2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧y 0x 0＝1，x 02＋y 02－2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝2.所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由题意，可设直线l 的方程为x ＝my ＋2，则圆心到直线l 的距离d ＝|2m |1＋m 2，所以b ＝222－d 2＝41＋m 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，x 25＋y 2＝1得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 y 1＋y 2＝－4m m 2＋5，y 1y 2＝－1m 2＋5. 于是a ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋m 2）（y 1－y 2）2＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2] ＝（1＋m 2）16m 2（m 2＋5）2＋4m 2＋5＝2 5（m 2＋1）m 2＋5.从而ab ＝8 5·m 2＋1m 2＋5＝8 5·m 2＋1（m 2＋1）＋4＝8 5m 2＋1＋4m 2＋1≤8 52m 2＋1·4m 2＋1＝2 5. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±3时等号成立．故当m ＝±3时，ab 最大，此时，直线l 的方程为x ＝3y ＋2或x ＝－3y ＋2，即x －3y －2＝0或x ＋3y －2＝0.21．已知函数f (x )＝1－x 1＋x 2e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2<0. 21．解：(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2e x ＝x 2－2x －1（1＋x 2）2＋1－x 1＋x 2e x＝－x （x －1）2＋2（1＋x 2）2e x.当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明：当x <1时，由于1－x 1＋x2>0，e x>0，故f (x )>0；同理，当x >1时，f (x )<0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0，1)．下面证明：∀x ∈(0，1)，f (x )<f (－x )，即证 1－x 1＋x 2e x <1＋x 1＋x 2e －x. 此不等式等价于(1－x )e x －1＋xe x <0.令g (x )＝(1－x )e x －1＋xex ，则g′(x)＝－x e－x(e2x－1)．当x∈(0，1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，从而g(x)<g(0)＝0，即所以∀x∈(0，1)，f(x)<f(－x)．由x2∈(0，1)，所以f(x2)<f(－x2)，从而f(x1)<f(－x2)．由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以x1<－x2，即x1＋x2<0.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(新课标II卷,解析版1)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学 (文科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则M N = （）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 【答案】C【解析】因为{31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---,所以M N {2,1,0}=--，选C.2、21i=+（）（A）（B ）2 （C（D ）1 【答案】C 【解析】22(1)2(1)11(1)(1)2i i i ii i --===-+-+，所以21i=+ C.3、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3- 【答案】B【解析】由z=2x-3y 得3y=2x-z ，即233z y x =-。

作出可行域如图,平移直线233z y x =-，由图象可知当直线233z y x =-经过点B 时，直线233z y x =-的截距最大，此时z 取得最小值，由103x y x -+=⎧⎨=⎩得34x y =⎧⎨=⎩，即(3,4)B ,代入直线z=2x-3y 得32346z =⨯-⨯=-，选B.4、A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则A B C ∆的面积为（）（A）2 （B1 （C）2 （D1 【答案】B 【解析】因为,64B C ππ==,所以712A π=.由正弦定理得sinsin64b c ππ=，解得c =所以三角形的面积为117sin 22212b c A π=⨯⨯.因为7231si n s i ()()12342222222ππ=+⨯+=+，所以1231s 22()32222b c =+=+，选B. 5、设椭圆2222:1x y C ab+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212P F F F ⊥，1230P F F ∠=，则C 的离心率为（）（A6（B ）13（C ）12（D3【答案】D【解析】因为21212,30P F F F P F F ⊥∠=,所以212tan 30,33P F c P F ===。

2013年高考全国1卷文科数学试题及答案(详细解析版,精校版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）文科数学一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ={1,2,3,4}，B ={x |x =n 2,n ∈A }，则A ∩B =A ．{1,4}B ．{2,3}C ．{9,16}D ．{1,2}2．212i 1i +(-)= A ．1-1-i 2 B ．1-1+i 2 C ．11+i 2 D ．11-i 23．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是A ．12B ．13C ．14D ．164．已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2，则C 的渐近线方程为 A ．y=14x ± B ．y=13x ± C ．y=12x ± D ．y=±x 5．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3=1-x 2，则下列命题中为真命题的是A ．p ∧qB ．﹁p ∧qC ．p ∧﹁qD ．﹁ p ∧﹁q6．设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则A ．S n =2a n -1B ．S n =3a n -2C ．S n =4-3a nD ．S n =3-2a n7．执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[-1,3]，则输出的S 属于A ．[-3,4]B ．[-5,2]C ．[-4,3]D ．[-2,5]8．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2=的焦点，P 为C 上一点，若|PF |=POF 的面积为A ．2B ．C ．D ．49．函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为10．已知锐角ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ， 23cos 2A +cos2A =0， a =7，c =6，则b =A ．10B ．9C ．8D ．511．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π12．已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是A ．(-∞,0]B ．(-∞,1]C ．[-2,1]D ．[-2,0]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．13．已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c =t a +(1-t )b . 若b ·c =0，则t =____.14．设x ，y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15．已知H 是球O 的直径AB 上一点，AH :HB =1:2，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，则球O 的表面积为______.16．设当x =θ时，函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值，则cos θ=______.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0，S 5=－5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和．18．(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A 药,B 药)的疗效，随机地选取20位患者服用A 药，20位患者服用B 药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h)．试验的观测结果如下：服用A 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B 药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？(2)19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB=CB=2，A1C，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x，曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．21．(本小题满分12分)已知圆M：(x+1)2+y2=1，圆N：(x-1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N 内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A,B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DB=DC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求ΔBCF外接圆的半径.23 ．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．24．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|，g(x)=x+3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>-1，且当x∈1[,)22a-时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．2013年高考全国1卷文科数学参考答案12．解：212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2- 3．解：依题所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6种，满足条件的事件数是2种，所以所求的概率为13. 4．解：依题2254c a =. ∵c 2=a 2＋b 2，∴2214b a =，∴12b a =. ∴渐近线方程为12y x =± 5．解：由20=30知，p 为假命题．令h (x )=x 3-1+x 2，∵h (0)=-1<0，h (1)=1>0， ∴h (x )=0在(0,1)内有解．∴∃x ∈R ，x 3=1-x 2，即命题q 为真命题．由此可知只有⌝p ∧q 为真命题．6．解：121(1)/133n n n a a q S a q -==--=3-2a n 7．解：当－1≤t <1时，s =3t ，则s ∈[-3,3)．当1≤t ≤3时，s =4t -t 2. ∵该函数的对称轴为t =2，∴s max =4，s min =3. ∴s ∈[3,4]．综上知s ∈[-3,4]8．解：利用|PF |=P x =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=9．解：由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π(0,)2时，f (x )>0，排除A. 当x ∈(0,π)时，f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0，可得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 10．解：由23cos 2A +cos 2A =0，得cos 2A =125. ∵A ∈π(0,)2，∴cos A =15. ∵cos A =236491265b b +-=⨯，解得b =5或135b =-(舍)．故选D. 11．解：该几何体为一个半圆柱的上面后方放一个长方体组成的一个组合体．V 半圆柱=12π×22×4=8π，V 长方体=4×2×2=16. 所以体积为16＋8π. 故选A 12．解：可画出|f (x )|的图象如图所示．当a >0时，y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点，所以排除B,C;当a ≤0时，若x >0，则|f (x )|≥ax 恒成立；若x ≤0，则以y =ax 与y =x 2-2x 相切为界限，联立y =ax 与y =x 2-2消去y 得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0，∴a =-2. ∴a ∈[-2,0]．故选D.二、填空题：13．2 1 4．3 15．9π216．5- 13．解：依题a ·b =111122⨯⨯=，b ·c = t a ·b +(1-t )b 2 =0，∴12t +1-t =0. ∴t =2. 14．解：作出可行域如图所示．画出初始直线l 0:2x -y =0，l 0平移到l ，当直线l 经过点A (3,3)时z 取最大值，z =2×3-3=3.15．解：如图，π·EH 2=π，∴EH =1，设球O 的半径为R ，则AH =23R ， OH =3R . 在RtΔOEH 中，R 2=22()+13R ， ∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2. 16．解：∵f (x )=sin x -2cos x x +φ)，其中tan φ=-2，φ是第四象限角.当x +φ=2k π+π2(k ∈Z )时，f (x )取最大值．即θ=2k π+π2-φ(k ∈Z )， ∴cos θ=πcos()2ϕ-=sin φ=5-. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n =1(1)2n n na d -+. 则11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ …2分解得a 1=1，d =-1. …4分故{a n }的通项公式为a n =2-n . …6分(2)由(1)知21211n n a a -+=1111()321222321n n n n =-(-)(-)--， …8分从而新数列的前n 项和为111111[(11)(1)()][1]23232122112n n T n n n n =--+-++-=--=---- …12分 18．解： (1)设A 药数据的平均数为x B 药观测数据的平均数为y . x =(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3 +2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9 +3.0+3.1+3.2+3.5)/20=2.3，…3分 y ＝+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)/20=1.6. …6分由以上计算结果可得x >y ，因此可看出A 药的疗效更好．(2)绘制茎叶图如图： … 9分从茎叶图可以看出，A 药疗效数据有710的叶集中在茎“2.”，“3.”上，而B 药疗效数据有710的叶集中在茎“0.”，“1.”上，由此可看出A 药的疗效更好．… 12分19． (1)证：取AB 的中点O ，连结OC ，OA 1，A 1B .由于AB =AA 1，∠BAA 1=60°，故ΔAA 1B 为等边三角形，所以OA 1⊥AB . 又CA =CB ，所以OC ⊥AB . …3分因为OC ∩OA 1=O ，所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ，所以AB ⊥A 1C . …6分(2)解：依题ΔABC 与ΔAA 1B 都是边长为2的等边三角形，所以OC =OA 1又A 1C，则A 1C 2=OC 2+OA 12，故OA 1⊥OC ，又OA 1⊥AB ，OC ∩AB =O ，所以OA 1⊥平面ABC ， …9分OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高．又ΔABC 的面积S △ABC故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3. …12分20．解：(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 依题f (0)=4，f ′(0)=4. …3分故b =4，a +b =8. 从而a =4，b =4. …6分(2)由(1)知，f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x ，f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=2(x +2)·(2e x -1).令f ′(x )=0得，x =-ln 2或x =-2. …8 分所以在(-∞，-2)与(-ln2，+∞)上，f ′(x )>0；f (x )单调递增．在(-2，-ln 2) 上，f ′(x )<0. f (x )单调递减． …10 分当x =-2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (-2)=-4e －2+4． …12 分21．解：(1)由已知得圆M 的圆心为M (-1,0)，半径r 1=1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2=3. 设圆P 的圆心为P (x ,y )，半径为R .依题， |PM |=R +1. |PN |=3-R . 所以|PM |+|PN |=4. …3 分由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点的椭圆(左顶点除外)，且a =2，c =1，∴b∴C 的方程为22=143x y +(x ≠-2)． …6 分 (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y )，由于|PM |-|PN |=2R -2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R =2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x -2)2+y 2=4. …7 分若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|= …8 分若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，可设l 与x 轴的交点为Q (m ,0)，由1||222||1QP R m QM r m-===--即，解得m =-4. 所以Q (-4,0)，故可设l ：y =k (x ＋4)．由l 与圆M=1，解得k=4±.当k=4时，将4y x =代入22=143x y +，并整理得7x 2+8x -8=0，解得x=47-±，所以|AB|x 2-x 1|=187. …10分当k=4-时，由图形的对称性可知|AB |=187. 综上，|AB|=|AB |=187. …12 分 22．(1)证明：连结DE ，交BC 于点G . 由弦切角定理得，∠ABE =∠BCE . 而∠ABE =∠CBE ，故∠CBE =∠BCE ，所以BE =CE . 又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，所以∠DCE =90°，由勾股定理可得DB =DC . …5分(2)解：由(1)知，∠CDE =∠BDE ，DB =DC ，故DG 是BC 的中垂线，所以BG. 设DE 的中点为O ，连结BO ，则∠BOG =60°. 从而∠ABE =∠BCE =∠CBE =30°，所以CF ⊥BF ，故RtΔBCF. …10分 23．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x -4)2+(y -5)2=25，将x=ρcos θ, y=ρsin θ代入整理得C 1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. …5分(2)C 2的普通方程为x 2+y 2-2y =0. 联立C 1的方程x 2+y 2 -8x -10y +16=0，解得交点为(1,1)与(0,2)，其极坐标分别为π)(2,)42π与. …10分 24．解：(1)当a =-2时，不等式f (x )>g (x )化为|2x -1|+|2x -2|-x -3<0. 设函数y =|2x -1|+|2x -2|-x -3，则y =15,,212,1,236, 1.x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． …5分(2)当a >-1，且x ∈1[,)22a -时，f (x )=1+a . 不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1[,)22a -都成立．故2a -≥a -2，即a ≤43. 从而a 的取值范围是4(1,]3-. …10分。

2013年高考文科数学试卷--湖南卷(含答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i ·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于___ ____ A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限2.“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的______ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=___ D ____A .9B .10C .12D .134.已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于____ A .4 B .3 C .2 D .15.在锐角∆ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b. 若2sinB=3b ，则角A 等于______ A .3πB .4πC .6πD .12π6.函数f （x ）=㏑x 的图像与函数g （x ）=x 2-4x+4的图像的交点个数为______ A.0 B.1 C.2 D.37.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于______A ．B.1 8.已知a,b 是单位向量，a ·b=0.若向量c 满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____ C ____1-12+9.已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为.21，则ADAB=____A.12 B.14二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2013年湖南省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析

2013年湖南省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i•(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(5分)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A.9B.10C.12D.134.(5分)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝( )A.4B.3C.2D.15.(5分)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )A. B. C. D.6.(5分)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.37.(5分)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A. B.1 C. D.8.(5分)已知，是单位向量，•＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的最大值为( )A. B. C. D.9.(5分)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.A)∩B＝.10.(5分)已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁U11.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若直线(s为参数)和直线(t 为参数)平行，则常数a的值为.12.(5分)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为.13.(5分)若变量x，y满足约束条件，则x＋y的最大值为.14.(5分)设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为.15.(5分)对于E＝{a1，a2，….a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x 1，x2…，x100，其中xi1＝xi2＝ (x)ik＝1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于；(2)若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为.三、解答题；本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)＝cosx•cos(x－).(1)求f()的值.(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合.17.(12分)如图.在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积.18.(12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的X之间的关系如下表所示：1米.48kg的概率.19.(13分)设Sn 为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1•Sn，n∈N*(Ⅰ)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和.20.(13分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程.21.(13分)已知函数f(x)＝.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.2013年湖南省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(5分)复数z＝i•(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【分析】化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案.【解答】解：z＝i•(1＋i)＝－1＋i，故复数z对应的点为(－1，1)，在复平面的第二象限，故选：B.【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题.2.(5分)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【分析】设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案.【解答】解：设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜2}，∵A⊊B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件.故选：A.【点评】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键.3.(5分)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝( )A.9B.10C.12D.13【分析】甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值.【解答】解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n＝3÷＝13.故选：D.【点评】本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象.总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小.4.(5分)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)＝( )A.4B.3C.2D.1【分析】直接利用函数的奇偶性，化简方程，解方程组即可.【解答】解：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，方程f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，化为：－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加可得2g(1)＝6，所以g(1)＝3.故选：B.【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数的值的求法，基本知识的考查.5.(5分)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝b，则角A等于( )A. B. C. D.【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A.【解答】解：∵在△ABC中，2asinB＝b，∴由正弦定理＝＝2R得：2sinAsinB＝sinB，∴sinA＝，又△ABC为锐角三角形，∴A＝.故选：A.【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题.6.(5分)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )A.0B.1C.2D.3【分析】在同一个坐标系中，画出函数f(x)＝㏑x 与函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象，数形结合可得结论.【解答】解：在同一个坐标系中，画出函数f(x)＝㏑x 与函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2的图象，如图所示：故函数f(x)＝㏑x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为2，故选：C.【点评】本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题.7.(5分)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A. B.1 C. D.【分析】通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可.【解答】解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：.故选：D.【点评】本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力.8.(5分)已知，是单位向量，•＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的最大值为( )A. B. C. D.【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出.【解答】解：∵||＝||＝1，且，∴可设，，.∴.∵，∴，即(x－1)2＋(y－1)2＝1.∴的最大值＝＝.故选：C.【点评】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键.9.(5分)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )A. B. C. D.【分析】先明确是一个几何概型中的长度类型，然后求得事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的线段长度，再利用两者的比值即为发生的概率，从而求出.【解答】解：记“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”为事件M，试验的全部结果构成的长度即为线段CD，构成事件M的长度为线段CD其一半，根据对称性，当PD＝CD时，AB＝PB，如图.设CD＝4x，则AF＝DP＝x，BF＝3x，再设AD＝y，则PB＝＝，于是＝4x，解得，从而.故选：D.【点评】本题主要考查几何概型，基本方法是：分别求得构成事件A的区域长度和试验的全部结果所构成的区域长度，两者求比值，即为概率.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.10.(5分)已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁UA)∩B＝{6，8} .【分析】先求出集合A的补集，再利用交集的定义求(CUA)∩B【解答】解：由题意∵U＝{2，3，6，8}，集合A＝{2，3}，∴CUA＝{6，8}，又B＝{2，6，8}，故(CUA)∩B＝{6，8}故答案为：{6，8}.【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的定义，并能根据所给的规则进行正确运算.11.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若直线(s为参数)和直线(t 为参数)平行，则常数a的值为 4 .【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，再利用两条直线平行，直接求出a的值即可.【解答】解：直线l1的参数方程为(s为参数)，消去s得普通方程为x－2y－1＝0，直线l2的参数方程为(t为参数)，消去t得普通方程为2x－ay－a＝0，∵l1∥l2，x－2y－1＝0的斜率为k1＝，∴2x－ay－a＝0的斜率k2＝＝，解得：a＝4.故答案为：4.【点评】本题是基础题，考查直线的平行条件的应用，注意直线的斜率是否存在是解题关键，考查计算能力.12.(5分)执行如图所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为32 .【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的a的值，当a＝32时，满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32.【解答】解：模拟执行程序，可得a＝1，b＝2不满足条件a＞31，a＝2不满足条件a＞31，a＝4不满足条件a＞31，a＝8不满足条件a＞31，a＝16不满足条件a＞31，a＝32满足条件a＞31，退出循环，输出a的值为32.故答案为：32.【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查.13.(5分)若变量x，y满足约束条件，则x＋y的最大值为 6 .【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值.【解答】解：画出可行域如图阴影部分，由得A(4，2)目标函数z＝x＋y可看做斜率为－1的动直线，其纵截距越大z越大，＝4＋2＝6由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大故答案为：6.【点评】本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题.14.(5分)设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点.若在C上存在一点P.使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为.【分析】根据题意可知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，求得|PF1|和|PF2|，进而利用双曲线定义建立等式，求得a和c的关系，则离心率可得.【解答】解：依题意可知∠F1PF2＝90°|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝|F1F2|＝c，|PF2|＝|F1F2|＝c，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2a＝(－1)c∴e＝＝.故答案为：.【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质特别是双曲线定义的运用，属于基础题.15.(5分)对于E＝{a1，a2，….a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x 1，x2…，x100，其中xi1＝xi2＝ (x)ik＝1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于 2 ；(2)若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为17 .【分析】(1)利用“特征数列”的定义即可得出；(2)利用“特征数列”的定义分别求出子集P，Q的“特征数列”，再找出相同“1”的个数即可.【解答】解：(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为：1，0，1，0，1，0，…，0.故前三项和等于1＋0＋1＝2；(2)∵E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足Pi＋Pi＋1＝1，1≤i≤99，∴P的特征数列为1，0，1，0，…，1，0.其中奇数项为1，偶数项为0.则P＝{a1，a3，a5，…，a99}有50个元素，又E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，可知：j＝1时，q1＋q2＋q3＝1，∵q1＝1，∴q2＝q3＝0；同理q4＝1＝q7＝…＝q3n－2.∴子集Q的“特征数列”为1，0，0，1，0，0，1，…，1，0，0，1.则Q＝{a1，a4，a7，…，a100}则P∩Q的元素为a1，a7，a13，…，a91，a97.∵97＝1＋(17－1)×6，∴共有17相同的元素.故答案分别为2，17.【点评】正确理解“特征数列”的定义是解题的关键.三、解答题；本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)已知函数f(x)＝cosx•cos(x－).(1)求f()的值.(2)求使f(x)＜成立的x的取值集合.【分析】(1)将x＝代入f(x)解析式，利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简即可得到结果；(2)f(x)解析式利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的余弦函数，变形后，利用余弦函数的图象与性质即可得到满足题意x的集合.【解答】解：(1)f()＝cos cos(－)＝cos cos＝－cos2＝－；(2)f(x)＝cosxcos(x－)＝cosx(cosx＋sinx)＝cos2x＋sinxcosx＝(1＋cos2x)＋sin2x＝cos(2x－)＋，∴f(x)＜，化为cos(2x－)＋＜，即cos(2x－)＜0，∴2kπ＋＜2x－＜2kπ＋(k∈Z)，解得：kπ＋＜x＜kπ＋(k∈Z)，则使f(x)＜成立的x取值集合为{x|kπ＋，kπ＋(k∈Z)}.【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键.17.(12分)如图.在直棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动.(1)证明：AD⊥C1E；(2)当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1－A1B1E的体积.【分析】(1)根据直三棱柱的性质，得AD⊥BB1，等腰△ABC中利用“三线合一”证出AD⊥BC，结合线面垂直判定定理，得AD⊥平面BB1C1C，从而可得AD⊥C1E；(2)根据AC∥A1C1，得到∠EC1A1(或其补角)即为异面直线AC、C1E 所成的角.由A1C1⊥A1B1且A1C1⊥AA1，证出A1C1⊥平面AA1B1B，从而在Rt△A1C1E中得到∠EC1A1＝60°，利用余弦的定义算出C 1E＝2A1C1＝2，进而得到△A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1－A 1B1E的体积.【解答】解：(1)∵直棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥BB1∵△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∴AD⊥BC又∵BC、BB1⊂平面BB1C1C，BC∩BB1＝B∴AD⊥平面BB1C1C，结合C1E⊂平面BB1C1C，可得AD⊥C1E；(2)∵直棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，∴∠EC1A1(或其补角)即为异面直线AC、C1E 所成的角∵∠BAC＝∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1，又∵AA1⊥平面A1B1C1，可得A1C1⊥AA1，∴结合A1B1∩AA1＝A1，可得A1C1⊥平面AA1B1B，∵A1E⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥A1E因此，Rt△A1C1E中，∠EC1A1＝60°，可得cos∠EC1A1＝＝，得C1E＝2A1C1＝2又∵B1C1＝＝2，∴B1E＝＝2由此可得V＝S△×A1C1＝×＝【点评】本题给出直三棱柱的底面是等腰直角三角形，在已知侧棱长和底面边长的情况下证明线线垂直并求锥体的体积，着重考查了直棱柱的性质、空间线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题.18.(12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一株该种作物的X之间的关系如下表所示：1米.48kg的概率.【分析】(Ⅰ)根据题意可知所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5，其中“相近”作物株数为1的有2株，“相近”作物株数为2的有4株，“相近”作物株数为3的有6株，“相近”作物株数为4的有3株，据此列表，且可得出所种作物的平均所收获量.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝，从而根据互斥事件的概率加法公式得出在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率.【解答】解：(Ⅰ)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，建立如图所示直角坐标系，其中“相近”作物株数为1的植株有2株，植株坐标分别为(4，0)，(0，4)，“相近”作物株数为2的植株有4株，植株坐标分别为(0，0)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，“相近”作物株数为3的植株有6株，植株坐标分别为(1，0)，(2，0)，(3，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，“相近”作物株数为4的植株有3株，植株坐标分别为(1，1)，(1，2)，(2，1).所种作物的平均所收获量为：(51×2＋48×4＋45×6＋42×3)＝＝46；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，P(Y＝51)＝，P(Y＝48)＝，故在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝＋＝.【点评】本题考查互斥事件的概率加法公式，众数、中位数、平均数和利用图表获取信息的能力.利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题.19.(13分)设Sn 为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an－a1＝S1•Sn，n∈N*(Ⅰ)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)求数列{nan}的前n项和.【分析】(Ⅰ)令n＝1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n＝n－1得到2an－1－1＝Sn－1，两个式子相减得an＝2an－1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；(Ⅱ)由(Ⅰ)求出nan＝n•2n－1，再由错位相减法求出此数列的前n项和.【解答】解：(Ⅰ)令n＝1，得2a1－a1＝，即，∵a1≠0，∴a1＝1，令n＝2，得2a2－1＝1•(1＋a2)，解得a2＝2，当n≥2时，由2an －1＝Sn得，2an－1－1＝Sn－1，两式相减得2an －2an－1＝an，即an＝2an－1，∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an ＝2n－1，即数列{an}的通项公式an＝2n－1；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，nan ＝n•2n－1，设数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，①2Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，②①－②得，－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n•2n ＝2n－1－n•2n，∴Tn＝1＋(n－1)2n.【点评】本题考查了数列an 与Sn之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用.20.(13分)已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x＋y－2＝0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(Ⅰ)求圆C的方程；(Ⅱ)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b.当ab最大时，求直线l的方程.【分析】(I)由题意可知：F1(－2，0)，F2(2，0)，可得⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点.设圆心的坐标为(m，n).利用线段的垂直平行的性质可得，解出即可得到圆的方程；(II))由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线l的距离d＝，再利用弦长公式即可得到b＝.把直线l的方程为x＝my＋2与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不等式的性质即可得出结论.【解答】解：(I)由题意可知：F1(－2，0)，F2(2，0).故⊙C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y－2＝0的对称点.设圆心的坐标为(m，n).则，解得.∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4；(II)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d＝，∴b＝.由得(5＋m2)y2＋4my－1＝0.设l与E的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2).则，.∴a＝＝＝，∴ab＝＝＝.当且仅当，即时等号成立.故当时，ab最大，此时，直线l的方程为，即.【点评】本题综合考查了圆与椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式b＝、直线与椭圆相交的弦长公式a＝、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力..21.(13分)已知函数f(x)＝.(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)证明：当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，x1＋x2＜0.【分析】(Ⅰ)利用导数的运算法则求出f′(x)，分别解出f′(x)＞0与f′(x)＜0的x取值范围即可得到单调区间；(Ⅱ)当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2.由(I)可知：x1∈(－∞，0)，x2∈(0，1).利用导数先证明：∀x∈(0，1)，f(x)＜f(－x).而x2∈(0，1)，可得f(x2)＜f(－x2).即f(x1)＜f(－x 2).由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，因此得证.【解答】解：(Ⅰ)易知函数的定义域为R.＝＝，当x＜0时，f′(x)＞0；当x＞0时，f′(x)＜0.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞).(Ⅱ)当x＜1时，由于，e x＞0，得到f(x)＞0；同理，当x＞1时，f(x)＜0.当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1＜x2.由(Ⅰ)可知：x1∈(－∞，0)，x2∈(0，1).下面证明：∀x∈(0，1)，f(x)＜f(－x)，即证＜.此不等式等价于.令g(x)＝，则g′(x)＝－xe－x(e2x－1).当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∴g(x)＜g(0)＝0.即.∴∀x∈(0，1)，f(x)＜f(－x).而x2∈(0，1)，∴f(x2)＜f(－x2).从而，f(x1)＜f(－x2).由于x1，－x2∈(－∞，0)，f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴x1＜－x2，即x1＋x2＜0.【点评】本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化问题等基础知识与基本技能，需要较强的推理能力和计算能力.。

2013年高考答案

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：B解析：z ＝i ＋i 2＝－1＋i ，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B ．2．答案：D解析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．3．答案：D解析：由2a sin B 得2sin A sin B B ，故sin A A ＝π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. 4．答案：C解析：约束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x ＋2y ＝d ，即122d y x =-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以d max ＝145333+=.5．答案：B解析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1x 2＝1舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1+h (x )单调递增．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0， ∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．6．答案：A解析：由题意，不妨令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y－1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．如图所示，当点(x ，y )在位置P 时到原点的距离最近，在位置P ′时最远，而PO 1，P ′O 1，故选A ．7．答案：C解析：θ，如图所示．故正视图的面积为Sθ(0≤θ≤π4)， ∴1≤S而1<12，故面积不可能等于12. 8．答案：D解析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，因为直线BC 方程为x ＋y －4＝0，所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，根据光线反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上， ∴12PD P D k k =，即4443344433mm -+=+-，解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝43. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分) 9．答案：3解析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，所以其右顶点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.10．答案：12解析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 11．答案：2解析：如图所示，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内相交弦定理知PD ·PC ＝PA ·PB ，所以PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC所以O 到CD 距离为OE(二)必做题(12～16题) 12．答案：3解析：∵313x '⎛⎫⎪⎝⎭＝x 2，∴0T ⎰x 2d x ＝13x 30|T ＝13T 3－0＝9，∴T ＝3. 13．答案：9解析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3； a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5； a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9. 14．解析：不妨设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a+=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩ ∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝22224224c a a a()+()-()⨯，整理得，c 2＋3a 2－＝0，即e 2－＋3＝0，∴e =15．答案：(1)116- (2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭16．答案：(1){x |0＜x ≤1} (2)①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x －12cos x ＋12cos x sin xx ，g (x )＝22sin 2x＝1－cos x .(1)由f (α)＝5得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α＞0.从而g (α)＝1－cos α＝1＝41155-=.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x x ＋cos x ≥1.于是π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为2π|2π2π,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 18．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有11312C C ＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为82369=. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝kn N得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝62155=，P (X ＝4)＝31155=. 故所求的分布列为所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝346490425+++＝46.19．解法1：(1)如图，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1. 又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ．而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D ．(2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连结A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1. 从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D ．由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB ．从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB BCDA AB=.即AB=连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 12＋BD 2＝BB 12＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D.在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝17AD B D ==，即cos(90°－θ). 从而sin θ＝7. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 解法2：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =t =(舍去)．于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1BD ，即AC ⊥B 1D ． (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z)是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,330.y y z +=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n7=.即直线B 1C 1与平面ACD 1. 20．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|，因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立，又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立．所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立．d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|，此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|， d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．解：(1)由题意，抛物线E 的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋2p ，由12,22p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 12＋p .所以点M 的坐标为211,2p pk pk ⎛⎫+⎪⎝⎭，FM ＝(pk 1，pk 12)．同理可得点N 的坐标为222,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 12k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，所以0＜k 1k 2＜2122k k +⎛⎫⎪⎝⎭＝1.故FM ·FN ＜p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|FA |＝y 1＋2p ，|FB |＝y 2＋2p ，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 12＋2p .从而圆M 的半径r 1＝pk 12＋p ，故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2212p y pk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(pk 12＋p )2.化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 12＋1)y －34p 2＝0.同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 12)y ＝0. 又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0. 因为p ＞0，所以点M 到直线l 的距离2d =22117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥⎪⎝⎭故当k 1＝14-时，d.=p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y . 22．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a xx a-+；当x ＞a 时，f (x )＝2x ax a-+.因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝232ax a -(+)＜0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝232ax a (+)＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增．①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12.②若0＜a ＜4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝1412422a a a a---=++，故当0＜a ≤1时，g (a )＝f (4)＝442aa -+；当1＜a ＜4时，g (a )＝f (0)＝12.综上所述，g (a )＝4,01,421, 1.2aa aa -⎧<≤⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0＜a ＜4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递增．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1＜x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，即221233122a ax a x a -⋅=-(+)(+).亦即x 1＋2a ＝232ax a+.(*)由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，232a x a +∈3,142a a ⎛⎫⎪+⎝⎭.故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a ＜x ＜3a }与集合B ＝3142a xx a ⎧⎫<<⎨⎪+⎩⎭的交集非空．因为342a a +＜3a ，所以当且仅当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，A ∩B ≠∅.综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2013年高考试题(湖南卷)数学

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π 4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52 5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．06. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A．⎤⎦ B．⎤⎦C．1⎡⎤⎣⎦ D．1⎡⎤⎣⎦7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BCD8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等于A ．2B ．1C ．83D ．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 .11.如图2，在半径为7的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .（一）必做题（12-16题）12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 . 13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___。

湖南2013年高考试题(word版)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π 4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52 5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．06. 已知,a b 是单位向量，0a b = .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦，B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦，C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦， 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 B ．2 C ．2-12 D ．2+128.在等腰直角三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的重心，则AP 等于A ．2B ．1C ．83D ．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 .11.如图2，在半径为7的O 中,弦,,2,AB CD P PA PB ==相交于点1PD O =，则圆心到弦CD 的距离为 .（一）必做题（12-16题）12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 .13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 .14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30 ，则C 的离心率为___。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖南文

2013年湖南文一、选择题（共9小题；共45分）1. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. " "是" "成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为件，件，件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了件，则A. B. C. D.4. 已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于A. B. C. D.5. 在锐角中，角，所对的边长分别为，．若，则角等于A. B. C. D.6. 函数的图象与函数的图象的交点个数为A. B. C. D.7. 已知正方体的棱长为，其俯视图是一个面积为的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于A. B. C. D.8. 已知，是单位向量，．若向量满足，则的最大值为A. B. C. D.9. 已知事件"在矩形的边上随机取一点，使的最大边是 "发生的概率为，则A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）10. 已知集合，，，则．11. 在平面直角坐标系中，若直线（为参数）和直线（为参数）平行，则常数的值为．12. 执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出的的值为．13. 若变量，满足约束条件，则的最大值为．14. 设，是双曲线的两个焦点，若在上存在一点，使，且，则的离心率为．15. 对于的子集，定义的"特征数列"为，其中，其余项均为，例如：子集的"特征数列"为．（1）子集的"特征数列"的前项和等于．（2）若的子集的"特征数列" 满足，的子集的"特征数列" 满足，则的元素个数为．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知函数．（1）求的值；（2）求使成立的的取值集合．17. 如图，在直棱柱中，，是的中点，点在棱上运动．（1）证明：；（2）当异面直线所成的角为时，求三棱锥的体积．18. 某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过米．（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；频数（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为的概率．19. 设为数列的前项和，已知，．（1）求，，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．20. 已知分别是椭圆的左，右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点．（1）求圆的方程；（2）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为．当最大时，求直线的方程．21. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：当时，．答案第一部分1. B2. A3. D4. B5. A【解析】，．又由正弦定理得，．又为锐角，．6. C7. D8. C9. D 【解析】由于满足条件的概率为，且点在边上运动，根据图形的对称性，当点在靠近点的边的分点时，（当点超过点向点运动时，）．设，过点作交于点，则．在中，因为即，所以．第二部分10.11.12.13.14.15. ，【解析】（1）子集的"特征数列"中，其余均为，该数列为．故该数列前项的和为．（2）的子集的"特征数列" 中，由于因此集合中必含有元素．又当时，，且，故．同理可求得故的子集的"特征数列"为，即的子集的"特征数列" 中，由于因此集合中必含有元素．又当时，当时，当时，故所以的子集的"特征数列"为即因为，故．所以集合中有个元素，其下标为奇数的有个．因此共有个元素．第三部分16. （1）（2）等价于，即于是解得故使成立的的取值集合为17. （1）因为，是的中点，所以又在直三棱柱中，平面，而平面，所以由①②，得平面，由点在棱上运动，得平面，所以．（2）因为，所以是异面直线所成的角．由题意知．因为，所以．又，从而平面．于是，故又，所以从而三棱锥18. （1）所种作物的总株数为，其中“相近”作物株数为的作物有株，“相近”作物株数为的作物有株，“相近”作物株数为的作物有株，“相近”作物株数为的作物有株，列表如下：频数所种作物的平均年收获量为（2）由（1）知，故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为的概率为19. （1）令，得即．因为，所以．令，得解得．当时，由两式相减，得即．于是数列是首项为，公比为的等比数列．因此，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，记数列的前项和为，于是①②，得从而20. （1）由题设如，的坐标分别为，圆的半径为圆心为原点关于直线的对称点．设圆心的坐标为，由解得所以圆的方程为（2）由题意，可设直线的方程为，则圆心到直线的距离所以由得设与的两个交点坐标分别为，则于是从而当且仅当，即时等号成立．故当时，最大，此时，直线的方程为或即或21. （1）函数的定义域为．当时，；当时，．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）当时，由于，故；同理，当时，．当时，不妨设，由（1）知，下面证明：，即证此不等式等价于令，则当时，，单调递减，从而即所以，而，所以从而由于，在上单调递增，所以，即。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学带答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)文科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（1）已知集合M=｛x|-3<X<1｝，N=｛-3，-2，-1，0，1｝，则M∩N=（A）｛-2，-1，0,1｝（B）｛-3，-2，-1，0｝（C）{-2，-1，0} （D）{-3，-2，-1 } （2）||=（A）2（B）2 （C）（D）1（3）设x，y满足约束条件，则z=2x-3y的最小值是（A）（B）-6 （C）（D）-（4）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2，B=，C=，则△ABC的面积为（A）2+2 （B）+1 （C）2-2 （D）-1（5）设椭圆C：+=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30。

，则C的离心率为（A）（B）（C）（D）（6）已知sin2α=，则cos2(α+)=（A）（B）（C）（D）（7）执行右面的程序框图，如果输入的N=4，那么输出的S=（A）1（B）1+（C）1++++（D）1++++（8）设a=log32,b=log52,c=log23,则（A）a＞c＞b （B）b＞c＞a （C）c＞b＞a（D）c＞a＞b（9）一个四面体的顶点在点间直角坐系O-xyz中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可为（A）（B）（C）（D）( 10)设抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线L过F且与C交于A, B两点.若|AF|=3|BF|，则L 的方程为（A）y=x-1或y=-x+1 （B）y=（X-1）或y=-（x-1）（C）y=（x-1）或y=-（x-1）（D）y=（x-1）或y=-（x-1）（11）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c ，下列结论中错误的是（A）（B）函数y=f（x）的图像是中心对称图形（C）若x0是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（-∞，x0）单调递减（D）若x0是f(x)的极值点，则f’（x0）=0（12）若存在正数x使2x（x-a）＜1成立，则a 的取值范围是（A）（-∞，+∞）（B）(-2, +∞) (C)(0, +∞) (D)（-1，+∞）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2013高考数学(文)真题专业解析(湖南卷)汇总

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文科）（湖南卷）解析本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：B思路分析：考点解剖：考查了复数的概念和运算以及复数在坐标系中的几何意义。

解题思路：利用复数和复平面上的点一一对应。

解答过程：解析：z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B规律总结：①复数和复平面上的点一一对应。

②熟记21i=-2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A思路分析：考点解剖：考查充分条件与必要条件的判定。

解题思路：从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．解答过程：【解析】若“1＜x＜2”成立，则“x＜2”成立,所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分条件；若“x＜2”成立，则“1＜x＜2”不一定成立, 所以“1＜x＜2”不是“x＜2”的必要条件.综上，“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件.选A规律总结：充分条件、必要条件、充要条件的判定：(1)定义法：①分清条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论；②找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；③下结论：根据推式及定义下结论(2)等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断．注意：从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。

为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n= （）A.9B.10C.12D.13答案：D思路分析：考点解剖：考查了分层抽样的概念。

普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(湖南卷,解析版)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 A ．抽签法 B ．随机数法 C ．系统抽样法 D ．分层抽样法【答案】 D 【解析】因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

选D3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ，选D4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2 B ．0 C ．53 D ．52【答案】 C【解析】区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u 选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】 B【解析】二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2 选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦， B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦， C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦，D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦，【答案】 A【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c 2.1|c -)b a (||b a -c |,2|b a |向量，是b ,a =+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。