集合知识点总结及习题

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集合知识点总结及习题

集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，，定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩一、集合有关概念 1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性： (1)元素确实定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3．元素与集合的关系——〔不〕属于关系〔1〕集合用大写的拉丁字母A 、B 、C …表示元素用小写的拉丁字母a 、b 、c …表示〔2〕假设a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A,记作a ∈A;假设不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A,记作a ∉A;4.集合的表示方法：列举法与描述法。

集合的基本概念知识点总结及练习

集合的基本概念知识点总结及练习 (3) 差集﹕属于A ，但不属于B 的所有元素所成的集合，记作A B -，即{}|A B x x A x B -=∈∉但。

(4) 宇集﹕当我们所探讨的集合皆为某一个集合U 的一、集合：是由一些满足某些条件之事物所组成的整体，记作S 表示之。

二、元素：组成集合的每一事物即是。

三、(一)空集合：不含任何元素的集合，记作{}或φ。

(注) 空集合φ为任何集合的子集。

(二)子集合：若集合A 中的每一个元素都是集合B 的元素，则称A 为B 的子集，记作A B ⊂（读作A 包含于B ）或B A ⊃（读作B 包含A ）。

(三)相等集合﹕已知A B 、为两集合，若A B ⊂且B A ⊂，则称A B 、两集合相等，记作A B =。

四、集合与元素的关系：若a 为集合A 的一个元素，则称a 属于A ，通常记作a A ∈﹔若a 不为集合A 的元素，则称a 不属于A ﹐记作a A ∉。

五、集合表示法：(一)列举法﹕当集合的元素不多时﹐我们可以把集合的所有元素全部列出﹐再冠以大括号﹐表示此一集合。

如：掷骰子、12的所有正因子、小于10的正奇数、…等。

(二)描述法﹕在大括号内将元素的共同特性描述出来，再加一直杠﹐而直杠的后面界定出此集合中元素的属性。

如：{}2104C k k k =+≤≤，為整數六、集合的运算﹕设A B 、为两集合，则(1) 交集﹕同时属于A 且属于B 的所有元素所成的集合，称为A 与B 的交集，记作A B ，即{}|A B x x A x B =∈∈且。

(2) 联集﹕属于A 或属于B 的所有元素所成的集合称为A 与B 的联集，记作A B ﹐即{}|A B x x A x B =∈∈或。

子集，则U就称为宇集。

(5) 补集（余集）﹕属于U但不属于A的所有元素所成的集合，称为A的补集，记作A'U A=-﹒七、笛摩根定律（De Morgan Laws）﹕(1) ()=A B'A'B'A B'A'B'=(2) ()八、集合元素的计数﹕当集合A中所包含元素的个数为有限个时，我们以()n A 来表示集合A中的元素个数。

集合及其性质知识点及题型归纳总结

集合及其性质知识点及题型归纳总结
集合的基本概念
- 集合是由一些确定的对象（元素）构成的整体。

- 集合中的元素是无序的，每个元素在集合中只能出现一次。

- 集合可以用大写字母表示，元素用小写字母表示。

集合的表示方法
- 列举法：将集合中的元素一一列举出来并用大括号括起来。

- 描述法：用条件描述集合中的元素的特点。

常见的集合性质
- 交集：两个集合中共有的元素构成的新的集合。

- 并集：将两个集合中的所有元素合并到一起构成的新的集合。

- 差集：从一个集合中减去另一个集合中共有的元素得到的新
的集合。

- 互斥：两个集合没有共同的元素。

集合的题型归纳总结
1. 求交集、并集、差集：
- 根据集合的定义和性质，确定要求的操作。

- 对给定的集合进行相应的运算，得到结果。

2. 判断集合关系：
- 比较两个集合的大小关系，如是否相等、是否包含等。

- 根据集合的定义和性质进行判断。

以上是关于集合及其性质的知识点及题型归纳总结，希望对你的学习有所帮助。

如有疑问，请随时向我提问。

集合知识点及题型归纳总结(含答案)

集合知识点及题型归纳总结知识点精讲一、集合的有关概念 1．集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2．集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如{}{},,,,a b c a c b =． 3．集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法． 4．常用数集的表示R 一实数集 Q 一有理数集 Z 一整数集 N 一自然数集*N 或N +一正整数集 C 一复数集二、集合间的关系1．元素与集合之间的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作a A ∈)和不属于(记作a A ∉)两种．空集：不含有任何元素的集合，记作∅． 2．集合与集合之间的关系（1）包含关系．子集：如果对任意a A A B ∈⇒∈，则集合A 是集合B 的子集，记为A B ⊆或B A ⊇，显然A A ⊆．规定：A ∅⊆．（2）相等关系．对于两个集合A 与B ，如果A B ⊆，同时B A ⊆，那么集合A 与B 相等，记作A B =．（3）真子集关系．对于两个集合A 与B ，若A B ⊆，且存在b B ∈，但b A ∉，则集合A 是集合B 的真子集，记作AB 或B A ．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．三、集合的基本运算集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表11-所示．IA{|IA x x =1．交集由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的交集，记作A B ⋂，即{}|A B x x A x B ⋂=∈∈且．2．并集由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 与B 的并集，记作A B ⋃，即{}|A B x x A x B ⋃=∈∈或．3．补集已知全集I ，集合A I ⊆，由I 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集I 的补集，记作IA ，即{}|I A x x I x A =∈∉且．四、集合运算中常用的结论 1．集合中的逻辑关系（1）交集的运算性质．A B B A ⋂=⋂，A B A ⋂⊆，A B B ⋂⊆ A I A ⋂=，A A A ⋂=，A ⋂∅=∅．（2）并集的运算性质．A B B A ⋃=⋃，A A B ⊆⋃，B A B ⊆⋃ A I I ⋃=，A A A ⋃=，A A ⋃∅=．（3）补集的运算性质．()II A A =，I I ∅=，I I =∅ ()I A A ⋂=∅，()I A A I ⋃．补充性质：II I A B A A B B A B B A A B ⋂=⇔⋃=⇔⊆⇔⊆⇔⋂=∅．（4）结合律与分配律．结合律：()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃ ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂．分配律：()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃．（5）反演律（德摩根定律）．()()()II I A B A B ⋂=⋃()()()II I A B A B ⋃=⋂．即“交的补=补的并”，“并的补=补的交”． 2．由*(N )n n ∈个元素组成的集合A 的子集个数A 的子集有2n 个，非空子集有21n -个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个．3．容斥原理()()()()Card A B Card A Card B Card A B ⋃=+-⋂．题型归纳及思路提示I AA题型1 集合的基本概念思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．例1.1 设,a b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，则b a -=（） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-解析：由题意知{}01,,a b a ∈+，又0a ≠，故0a b +=，得1ba=-，则集合{}{}1,0,0,1,a b =-，可得1,1,2a b b a =-=-=，故选C 。

(完整版)《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合有关概念1．集合的含义一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集） 2．集合中元素的三个特性：确定性互异性无序性3．集合的表示：{}⋅⋅⋅如：{}我校的篮球队员，{}太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋用拉丁字母表示集合：A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法：列举法与描述法。

列举法：{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{|32}x x ->语言描述法：例：{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 *N N +或整数集Z 有理数集Q 实数集R4．集合的分类：有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含任何元素的集合例：2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：A B ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分；（2）A 与B 是同一集合。

反之，集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ⊆ (或B ⊇/A) ③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

结论：有n 个元素的集合，含有2n 个子集，12n -个真子集（2）交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ （3）容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数。

集合知识点及题型总结

1.1集合的含义与表示1、集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2、集合的中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性 2、“属于”的概念：我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素；元素在集合A 中，称属于A ，记为，否则称不属于A ，记作。

3、常用数集及其记法非负整数集（即自然数集）记作：N ；正整数集记作：N*或 N+ ；整数集记作：Z ；有理数集记作：Q ；实数集记作：R 4、集合的表示法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

（2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x -3>2的解集是{x∈R| x -3>2}或{x| x -3>2} （3）图示法（Venn 图）1.2 集合间的基本关系【知识要点】1、“包含”关系——子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为，例如。

子集的个数为2n （n 为集合中元素个数）2、“相等”关系：如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。

3、真子集（个数怎么算）：如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。

真子集的个数为2n -1（n 为集合中元素个数）。

4、空集：不含任何元素的集合称为空集，用来表示。

空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

1.3 集合的基本运算【知识要点】1、交集的定义：即A ∩B={x| x ∈A ，且x ∈B}．2、并集的定义：即A ∪B={x | x ∈A ，或x ∈B}．3、交集与并集的性质A ∩A = A ，A ∩φ= φ, A ∩B = B ∩A ，A ∪A = A ，A ∪φ= A , A ∪B = B ∪A 4、全集与补集（1）全集：通常用U 来表示。

集合知识点及题型归纳总结(含答案)

高考数学集合知识点总结及例题解析

集合【知识清单】1.性质：确定性、互易性、无序性.2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“∉”.3.集合和集合的关系：子集（包含于“⊆”）、真子集（真包含于“≠⊂”）.4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n .5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且|并集：{}B x A x x B A ∈∈=或|补集：{}A x U x x A C U ∉∈=且|6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集.题型一、集合概念解决此类型题要注意以下两点：①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性；①元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集.【No.1 定义&性质】1.下列命题中正确的个数是（）①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ①集合{}R x x y y ∈-=,1|2与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ①集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素A.0B.1C.2D.3分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点.答案：A详解：在①中方程022=++-y x 等价于⎩⎨⎧=+=-0202y x ，即⎩⎨⎧-==22y x 。

因此解集应为(){}2,2-，错误；在①中，由于集合{}R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理，{}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误；在①中，集合{}01|<-x x 即1<x ，而{}R a a x x ∈>,|，画出数轴便可知这两个集合可能有公共的元素，错误.故选A.2.下列命题中，（1）如果集合A 是集合B 的真子集，则集合B 中至少有一个元素；（2）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素少于集合B 的元素；（3）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素不多于集合B 的元素；（4）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 和B 不可能相等．错误的命题的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．3分析：首先大家要理解子集和真子集的概念，如果集合M 是集合N 的子集，那么M 中的元素个数要小于或等于N 中元素的个数；如果集合M 是集合N 的真子集，那么M 中的元素个数要小于N 中元素的个数.答案：C详解：（1）如果集合A 是集合B 的真子集，则集合B 中至少有一个元素，故（1）正确；（2）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素少于或等于集合的B 元素，故（2）不正确；（3）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 的元素不多于集合B 的元素，故（3）正确；（4）如果集合A 是集合B 的子集，则集合A 和B 可能相等，故（4）不正确．故选C ．3.设P 、Q 为两个非空实数集，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合Q P +中的元素是b a +，其中P a ∈,Q b ∈，则Q P +中元素的个数是（）A.9B.8C.7D.6 分析：因为P a ∈，Q b ∈，所以Q P +中的元素b a +是P 中的元素和Q 中元素两两相加而得出的，最后得出的集合还要考虑集合的互易性.答案：B详解：当0=a 时，b 依次取1,2,6，得b a +的值分别为1,2,6；当2=a 时，b 依次取1,2,6，得b a +的值分别3,4,8；当5=a 时，b 依次取1,2,6，得b a +的值分别6,7,11；由集合的互异性得Q P +中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个，故选B.4.设数集M 同时满足条件①M 中不含元素1,0,1-，①若M a ∈，则M aa ∈-+11. 则下列结论正确的是 ( )A ．集合M 中至多有2个元素；B ．集合M 中至多有3个元素；C ．集合M 中有且仅有4个元素；D ．集合M 中有无穷多个元素. 分析：已知M a ∈时，M aa ∈-+11.那么我们可以根据条件多求出几个M 集合的元素，找出规律并且判断元素之间是否有可能相等，从而判断集合中元素的个数.答案：C详解：由题意，若M a ∈，则M a a ∈-+11，则M a a a a a ∈-=-+--++1111111，M a a aa ∈+-=+-111111，则M a a a a a a ∈==+--+-+22111111，若a a a -+=11，则12-=a ，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M 中有且仅有4个元素．---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 【No2. 表达方式】5.下列集合表示空集的是（）A.{}55|=+∈x R xB.{}55|>+∈x R xC.{}0|2=∈xR x D.{}01|2=++∈x x R x 分析：本题考查空集的概念，空集是指没有任何元素的集合.答案：D详解：012=++x x ，031141<-=⨯⨯-=∆∴方程无实数解，故选D.6.用描述法表示下列集合：(1){}8,6,4,2,0；(2){} ,81,27,9,3；(3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,87,65,43,21； (4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．分析：描述法就是将文字或数字用式子表示出来.但是要注意题中给出的元素的范围详解：(1){}是偶数且x x N x ,100|<≤∈；(2){}+∈=N n n x x ,3|；(3)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=+N n n n x x ,212|； (4){}Z n n x x ∈+=,25|．====================================================================== 题型二、不含参数⑴①中的参数是指方程的非最高次项系数解决此类型题应注意：①区分∈，⊆，≠⊂的区别； ①会用公式求子集、真子集、非空真子集的个数；①B A A B A ⊆⇒=A B A B A ⊆⇒=两方面讨论和从∅=∅=⇒∅=B A B A .【No.1 判断元素/集合与集合之间的关系】1.给出下列各种关系①0≠⊂{}0；①0∈{}0；①{}∅∈∅；①{}a a ∈；①{}0=∅；①{}∅∈0；①{}0∈∅；①∅≠⊂{}0其中正确的是（）A.①①①①B.①①①①C.①①①①D.①①①①分析：本题需要大家分清∈，⊆，≠⊂三个符号的意义和区别：∈--“属于”，用于表示元素和集合的关系；⊆，≠⊂--“包含于和真包含于”，用于表示集合和集合之间的关系.答案：A详解：①错误，应为{}00∈；①①①①正确；①①①应为∅≠⊂{}0；2.若U 为全集，下面三个命题中真命题的个数是（）（1）若()()U B C AC B A U U =∅= 则, （2）若()()∅==B C A C U B A U U 则,（3）若∅==∅=B A B A ，则A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个分析：本题应先简化后面的式子，然后再和前面的条件对比.答案：D详解：（1）()()()U C B A C B C A C U U U U =∅== ；（2）()()()∅===U C B A C B C A C U U U U ；（3）证明：∵()B A A ⊆,即∅⊆A ，而A ⊆∅，∴∅=A ；同理∅=B， ∴∅==B A ；----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【No.2 子集、真子集】3.从集合{}d c b a U ,,,=的子集中选出4个不同的子集，须同时满足以下两个条件： ①∅，U 都要选出；①对选出的任意两个子集A 和B ，必有B A ⊆或A B ⊆.那么共有种不同的选法.分析：由①可以知道选出的子集中一定有∅和U ，我们要求得只剩两个集合。

集合知识点+练习题

集合知识点+练习题第⼀章集合§ 1.1集合基础知识点：1.集合的定义: ⼀般地，我们把研究对象统称为兀素，⼀些兀素组成的总体叫集合，也简称集2.表⽰⽅法:集合通常⽤⼤括号｛｝或⼤写的拉丁字母A,B,C…表⽰，⽽元素⽤⼩写的拉丁字母a,b,c…表⽰。

3.集合相等: 构成两个集合的兀素完全⼀样。

4. 常⽤的数集及记法：⾮负整数集（或⾃然数集），记作N ;正整数集，记作N*或N + ；N内排除0的集.整数集，记作Z ；有理数集，记作Q；实数集，记作R ；5. 关于集合的元素的特征⑴确定性：给定⼀个集合，那么任何⼀个兀素在不在这个集合中就确定了。

⼥⼝：“地球上的四⼤洋”（太平洋，⼤西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四⼤发明”（造纸，印刷，⽕药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；⽽“⽐较⼤的数”，“平⾯点P周围的点”⼀般不构成集合，因为组成它的兀素是不确定的.⑵互异性：⼀个集合中的兀素是互不相冋的，即集合中的兀素是不重复出现的。

如:⽅程（x-2）（x-1）2=0的解集表⽰为1,2 ，⽽不是1, 1,2⑶⽆序性：即集合中的元素⽆顺序，可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：⑴⼤于3⼩于11的偶数；⑵我国的⼩河流；⑶⾮负奇数；⑷⽅程x2+仁0的解；⑸徐州艺校校2011级新⽣；⑹⾎压很⾼的⼈；⑺著名的数学家；⑻平⾯直⾓坐标系内所有第三象限的点6. 元素与集合的关系：（元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种）⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a_A ；⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a A。

例如，（1）A表⽰“ 1~20以内的所有质数”组成的集合，则有 3 € A , 4 A，等等。

（2）A=｛2 , 4, 8, 16｝，贝U 4_A, 8_A, 32 A.典型例题例1⽤“ €”或“”符号填空：⑴ 8_ N ; ⑵ 0 ___ N; ⑶-3 ___ Z ; ⑷ 2_Q；⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国_A，美国_________ A，印度_____A，英国A。

集合知识点总结带例题

集合知识点总结带例题一、基本概念1. 集合集合是由一些确定的对象构成的整体。

集合是一个无序的整体，它只关心集合中包含的元素，与元素的排列顺序无关。

2. 元素集合中的个体称为元素，元素可以是任何事物或对象，例如数字、字母、集合等。

3. 空集一个不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅ 或 {} 表示。

4. 包含关系若集合 A 中的所有元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 包含在集合 B 中，通常用符号A⊆B 表示。

5. 相等关系若集合 A 包含在集合 B 中，并且集合 B 包含在集合 A 中，则称集合 A 和集合 B 相等，通常用符号 A=B 表示。

6. 子集若集合 A 包含在集合 B 中，且集合 A 不等于集合 B，则称集合 A 是集合 B 的子集，通常用符号A⊂B 表示。

7. 并集若集合 A 和集合 B 的元素都包含在一个新的集合中，则称该集合为 A 和 B 的并集，通常用符号A∪B 表示。

8. 交集若集合 A 和集合 B 的公共元素构成一个新的集合，则称该集合为 A 和 B 的交集，通常用符号A∩B 表示。

9. 完全集一个包含所有可能元素的集合称为完全集。

10. 互斥集若集合 A 和集合 B 没有共同的元素，则称集合 A 和集合 B 互斥。

二、运算1. 并集对于两个集合 A 和 B，它们的并集是一个包含 A 和 B 所有元素的集合。

例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集对于两个集合 A 和 B，它们的交集是一个包含 A 和 B 共同元素的集合。

例如：A={1,2,3}, B={3,4,5} 则A∩B={3}。

3. 补集对于一个集合 A，它在另一个集合 U 中的补集是指 U 中不属于 A 的元素所组成的集合，通常用符号 A' 或 A^c 表示。

4. 差集对于两个集合 A 和 B，它们的差集是包含在 A 中但不包含在 B 中的元素所组成的集合，通常用符号 A-B 表示。

集合知识点总结及典型例题

集合一．【课标要求】1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主。

预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体三．【要点精讲】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

集合知识点+基础习题(有答案)

集合练习题知识点一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)．1.集合中元素具的有几个特征⑴确定性－因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的．⑵互异性－即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个(或几个)相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的．⑶无序性－即集合中的元素没有次序之分．2.常用的数集及其记法我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R3．元素与集合之间的关系4.反馈演练1.填空题2．选择题⑴以下说法正确的( )(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合(C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元素不确定⑵已知2是集合M={ }中的元素，则实数为( )(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可二、集合的几种表示方法1、列举法－将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开．*有限集与无限集*⑴有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集例如: A={1~20以内所有质数}⑵无限集--------含有无限个元素的集合叫无限集例如: B={不大于3的所有实数}2、描述法－用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.具体方法:在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.3、图示法 -- 画一条封闭曲线,用它的内部来表示一个集合.常用于表示不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:三、集合间的基本关系观察下面几组集合，集合A与集合B具有什么关系？(1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.(3) A={正方形}，B={四边形}.(4) A=∅，B={0}.1.子集定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作A⊆B（或B⊇A）,即若任意x∈A,有x∈B，则A⊆B(或A⊂B)。

(完整版)集合知识点总结与习题《经典》

集合详解集合的含义与表示1、集合的概念把某些特定的对象集在一起就叫做集合. 2、常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.3、集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. 4、集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. 5、集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(∅). 二、集合间的基本关系 1、子集、真子集、集合相等2、已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n-个真子集，它有21n-个非空子集，它有22n-非空真子集.三、集合的基本运算1、交集、并集、补集【经典例题】1.知集合{(,)|,A x y x y=为实数，且}221,x y +={(,)|,B x y x y =为实数，且},A By x =I 则的元素个数为（）A 、0B 、1C 、2D 、3 2.已知集合{{},1,,A B m A B A==⋃=，则m = （）A 、0或3B 、0或3C 、1或3D 、1或33.A={1，2，3，4}，B==⋂∈=B A A n n x x 则},,|{2( ) A,{1,4} B,{2,3} C,{9,16} D,{1,2}4.已知集合{1,2,3,4}U =,集合={1,2}A ,={2,3}B ,则)(B A C U ⋃=（）A ．{1,3,4}B ．{3,4}C ．{3}D ．{4}5.已知集合{}{}1,2,3,4,|2,A B x x A B ==<=I 则（）A ．{1}B ．{}0,1C ．{}0,2D ．{}0,1,26.若集合A ={x ∈R|ax 2+ax+1=0}其中只有一个元素,则a=（）A ．4B ．2C ．0D ．0或47.设集合2{|20,}S x x x x R =+=∈,2{|20,}T x x x x R =-=∈,则S T =IA ．{0}B ．{0,2}C ．{2,0}-D ．{2,0,2}-8.下列八个关系式①{0}=φ；①φ=0；①φ={φ}；①φ∈{φ}；①{0}⊇φ；①0∉φ；①φ≠{0}；①φ≠{φ}其中正确的个数（）A.4B.5C.6D.7 9.下列各式中，正确的是（） A.2}2{≤⊆x x B.{}≠<>12x x x 且φC.{Z k k x x ∈±=,14}},12{Z k k x x ∈+=≠D.{Z k k x x ∈+=,13}={Z k k x x ∈-=,23}练习：一、选择题1．若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（）A ．0X ⊆B ．{}0X ∈C ．X φ∈D ．{}0X ⊆2．已知集合{}2|10,A x x A R φ=+==I 若，则实数m 的取值范围是（） A ．4<m B ．4>m C ．40<≤m D ．40≤≤m 3．下列说法中，正确的是（）A ．任何一个集合必有两个子集；B ．若,A B φ=I则,A B 中至少有一个为φC ．任何集合必有一个真子集；D ．若S 为全集，且,A B S =I 则,A B S ==4．设集合22{|0},{|0}A x x x B x x x =-==+=，则集合A B =I （） A ．0 B ．{}0 C ．φ D ．{}1,0,1- 二、填空题 7．已知{}Rx x x y y M ∈+-==,34|2，{}Rx x x y y N ∈++-==,82|2则__________=N M I 。

集合复习知识要点及典型例题.pptx

（2）A B A B A; A B A B B.
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Part 02
基础过关
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基础自测
圆梦,P2，基础自测.
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Part 03
典例剖析
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典例剖析
考点1、2 集合与元素、集合的表示法
【例1】下列各描 A x x U且x A ；
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知识要点
7、常用的性质
（1）A A; A;若A B,B C,则A C.
（2）A A A; A ; A B B A;
A B A; A B B. （3）A A A; A A; A B B A;
Part 01
知识点回顾
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1、集合的相关概念
知识要点
（1）集合：某些确定的对象所组成的整体，常用大写字母表示；
（2）元素：集合中每一个确定的对象，常用小写字母表示；组成集合的元素具有确定性、互异性、无序性三个特性；
（3）集合的分类：按元素个数可分为空集、有限集、无限集.
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典例剖析
【方法规律】 (1)集合A中的任意1个，2个，3个元素组成的集合及空集，都是集合A的子集．若一个集合中有n个元素，则这个集合的子集个数有2n个，真子集个数有2n－1个． (2)写子集或真子集时，要按元素个数由少到多的顺序写，空集不能遗忘．
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典例剖析
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5、常用的数集符号
知识要点
自然数集：N ; 正整数集： N 或N ; 整数集：Z; 有理数集： Q; 实数集：R;
N ,N ,Z ,Q,R是集合符号，各表示一个集合，不能写成

集合知识点汇总与练习

1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示一集合与元素1.集合是由元素组成的集合通常用大写字母A、B、C，…表示，元素常用小写字母a、b、c，…表示。

2.集合中元素的属性（1）确定性：一个元素要么属于这个集合，要么不属于这个集合，绝无模棱两可的情况。

（2）互异性：集合中的元素是互不相同的个体，相同的元素只能出现一次。

（3）无序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。

3.元素与集合的关系（1）元素a是集合A中的元素，记做a∈A，读作“a属于集合A”；（2）元素a不是集合A中的元素，记做a∉A，读作“a不属于集合A”。

4.集合相等如果构成两个集合的元素一样，就称这两个集合相等，与元素的排列顺序无关。

二集合的分类1.有限集：集合中元素的个数是可数的，只含有一个元素的集合叫单元素集合；2.无限集：集合中元素的个数是不可数的；3.空集：不含有任何元素的集合，记做∅.三集合的表示方法1.常用数集（1）自然数集：又称为非负整数集，记做N；（2）正整数集：自然数集内排除0的集合，记做N+或N※；（3）整数集：全体整数的集合，记做Z（4）有理数集：全体有理数的集合，记做Q（5）实数集：全体实数的集合，记做R3.集合的表示方法（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。

如大于等于2且小于等于8的偶数构成的集合。

（2）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝”括起来表示集合的方法，一般适用于元素个数不多的有限集，简单、明了，能够一目了然地知道集合中的元素是什么。

注意事项：①元素间用逗号隔开；②元素不能重复；③元素之间不用考虑先后顺序；④元素较多且有规律的集合的表示：｛0,1,2,3，…，100｝表示不大于100的自然数构成的集合。

（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式是｛x∈I | p(x)｝.注意事项：①写清楚该集合中元素的代号；②说明该集合中元素的性质；③不能出现未被说明的字母；④多层描述时，应当准确使用“且”、“或”；⑤所有描述的内容都要写在集合符号内；⑥语句力求简明、准确。

集合知识点及习题

集合一、集合：1、定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

2、集合与元素的关系：（1）如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A 。

3、常见集合：非负整数集(或自然数集) ：N ；正整数集合：*N 或+N ；整数集合：Z ；有理数集合：Q ；实数集合：R 。

注意：（1）自然数集N 含有0；（2）整数集Z 、有理数Q 、实数集R 内排除0的集合分别表示为： Z*或Z+、Q*或Q+、R*或R+。

4、集合三要素：确定性、互异性、无序性。

特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ。

5、集合的表示方法：（1）列举法（2）描述法（3）韦恩图（4）区间表示法二、集合间的基本关系：1、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作：A ⊆B 或(B ⊇A).性质：①Φ⊆A （特别地Φ⊆Φ）； ②A ⊆A ； ③ 若A ⊆B,B ⊆C,则A ⊆C 。

2、真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B ⇔A ⊆B ，A ≠B性质：①若A Φ≠,则有Φ⊂A 。

②如果A ⊂B,B ⊂C ，那么A ⊂C 。

③规定：空集合是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

三、集合间的基本运算：1、并集：一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

记作：A ∪B={x| x ∈A,或x ∈B}. 性质：①A ∪A=A ②A ∪Φ=A ③A ∪B=B ∪A④A ⊆A ∪B ，B ⊆A ∪B ⑤A ∪B=B ⇔A ⊆B2、交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：A ∩B={x| x ∈A,且x ∈B}。

(完整版)《集合》知识点总结

列举法：{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

反之，集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A2. “相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)例：设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” ① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作B A ⊆ (或B ⊇/A)③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，记为∅规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

结论：有n 个元素的集合，含有2n 个子集，12n -个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A 交B’）即A B=｛x|x ∈A 且x ∈B｝．由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作A B （读作‘A 并B ’），即AB={x|x ∈A，或x ∈B})．设S 是一个集合，A 是S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集）记作UCA ，即{|,}UC A x x U x A =∈∉且韦恩图示A B图1AB图2性质A AB B A A B A A B B⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆⋂⊆A A A A AA B B A A B A A B B⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇ ()()()uuuC A C B C A B ⋂=⋃()()()uuuC A C B C A B ⋃=⋂()uA C A U ⋃=()uA C A ⋂=∅（2）交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ （3）容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数SA。