高考文科数学练习题绝对值不等式测试练习题含答案解析
绝对值不等式高考真题和典型题
绝对值不等式高考真题和典型题1．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2.(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|3x＋1|－2|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式f(x)＞f(x＋1)的解集．3.已知函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a∈R.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋|2x＋1|的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．4.已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－a|(a∈R)的最小值为a.(1)求实数a的值；(2)解不等式f(x)≤5.5.设函数f(x)＝lg (|2x－1|＋2|x＋1|－a)．(1)当a＝4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围．参考答案1.解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|x －4|＋|x －3|.当x ≤3时，f (x )＝4－x ＋3－x ＝7－2x ，由f (x )≥4，解得x ≤32；当3＜x ＜4时，f (x )＝4－x ＋x －3＝1，f (x )≥4无解；当x ≥4时，f (x )＝x －4＋x －3＝2x －7，由f (x )≥4，解得x ≥112.综上所述，f (x )≥4的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤32或x ≥112. (2)f (x )＝|x －a 2|＋|x －2a ＋1|≥|(x －a 2)－(x －2a ＋1)|＝|－a 2＋2a －1|＝(a －1)2(当且仅当2a －1≤x ≤a 2时取等号)，∴(a －1)2≥4，解得a ≤－1或a ≥3，∴a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．2.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3，x ≥1，5x －1，－13＜x ＜1，－x －3，x ≤－13，作出图象，如图所示．(2)将函数f (x )的图象向左平移1个单位，可得函数f (x ＋1)的图象，如图所示：由－x －3＝5(x ＋1)－1，解得x ＝－76.所以不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－76. 3.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ，由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0，当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解；当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎨⎧ x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎨⎧ x <a ，2x ＋a ≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x <a ，x ≤－a 2. 当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－a 2. 由－a 2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不符合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤a 4. 由a 4＝－1，得a ＝－4.综上，a ＝2或a ＝－4.4.解 (1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x ≤4，2x －6，x >4.故当x ≤2时，由－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2，当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，由2x －6≤5，得4<x ≤112，故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤112. 5.解 (1)当a ＝4时，f (x )＝lg (|2x －1|＋2|x ＋1|－4)，此时x 应满足|2x －1|＋2|x ＋1|>4.当x ≤－1时，1－2x －2x －2>4，解得x <－54；当－1<x <12时，1－2x ＋2x ＋2>4，无解；当x ≥12时，2x －1＋2x ＋2>4，解得x >34.综上所述，函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－54或x >34. (2)函数f (x )的定义域为R ，即|2x －1|＋2|x ＋1|－a >0在R 上恒成立，即a <(|2x －1|＋2|x ＋1|)min .因为|2x －1|＋2|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3， 所以a <3，即实数a 的取值范围为(－∞，3)．。
绝对值不等式(高考版)(含经典例题+答案)
绝对值不等式（一） 绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离；b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离。
b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离。
x a x b -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集。
分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22c b ax ≤-的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤- II.当0＜c 时，不等式解集为：空集 c b ax ≥+的解法：I.当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或 II.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(1－(－2)|＝3，所以只需a ≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a ≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a ≤3.例2：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。
绝对值不等式专题23题练习含答案
1．选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x x =-．（1）若()()29f t f t +<，求的取值范围；（2）若存在[]2,4x ∈a 的取值范围．2.选修4-5：不等式选讲已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集.（1）求集合M ；（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.3．已知是a 常数，对任意实数x ，不等式1212x x a x x +--≤≤++-恒成立．（1）求a 的取值集合；（2）设0m n>>4. [选修4-5：不等式选讲]（10分） 若关于x 的不等式32310x x t ++--≥的解集为R ，记实数t 的最大值为a .（1）求a 的值；（2）若正实数,m n 满足45m n a +=，求14233y m n m n=+++的最小值. 5．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f .（1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围. 6.已知函数.（1）解不等式；（2）若关于的不等式只有一个正整数解，求实数的取值范围. ()221f x x x =+--()1f x ≤x ()f x ax >a7.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||1|f x m x x =---+．（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．8．选修4-5：不等式选讲 已知不等式36x x x +-<+的解集为(),m n ．（1）求m ，n 的值；（2）若0x >，0y >，0nx y m ++=，求证：16x y xy +≥9．选修4-5：不等式选讲已知函数()1f x x x =+-．（1）若()1f x m ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）记（1）中m 的最大值为M ，正实数，满足22a b M +=，证明：2a b ab +≥．10.选修4-5：不等式选讲已知函数f x = 2x +a + 2x −b +2的最小值为3.(1)求a +b 的值；(2)若a >0,b >0，求证：.11.选修4-5：不等式选讲已知函数()3|||31|f x x a x =-++，g()|41||2|x x x =--+.（1）求不等式()6g x <的解集；（2）若存在1x ，2x R ∈，使得1()f x 和2()g x 互为相反数，求a 的取值范围.12.选修4-5：不等式选讲已知0,0a b >>，函数()2f x x a x b =++-的最小值为1．（Ⅰ）证明：22a b +=（Ⅱ）若2a b tab +≥恒成立，求实数t 的最大值．23.[选修4 — 5:不等式选讲](本小题满分10分）已知 a>0，b>0，c > 0,函数c |2b -x ||a x |)(+++=x f 的最小值为 4.(1)求a+2b + c 的值；（2）证明：13849222≥++c b a .1．【答案】（1）15t -<<；（2）[]4,0a ∈-．【解析】（1）由()()29f t f t +<得，或33239t t t ⎧⎨-+-<⎩≥，······3分 解得15t -<<．···········5分（2）当[]2,4x ∈时，·········6分∴存在[]2,4x ∈，使得即2662x x a x -+-≤≤成立，∴存在[]2,4x ∈，使得636x a x a +⎧⎨-⎩≤≤成立，···········8分 ∴6266a a +⎧⎨-⎩≥≥，∴[]4,0a ∈-．···········10分 2.解:（1）()31316f x x x =++-<当13x <-时，()31316f x x x x =---+=-，由66x -<解得1x >-，113x ∴-<<-； 当1133x -≤≤时，()31312f x x x =+-+=，26<恒成立，1133x ∴-≤≤； 当13x >时，()31316f x x x x =++-=由66x <解得1x <，113x ∴<< 综上，()6f x <的解集{}11M x x =-<<（2）()()222222121(2)ab a b a b ab a b ab +-+=++-++22221a b a b =--+22(1)(1)a b =--由,a b M ∈得1,1a b <<2210,10a b ∴-<-<22(1)(1)0a b ∴-->1ab a b ∴+>+.3．【答案】（1）{}3；（2）见解析．【解析】（1···········2分()()12123x x x x ++-≥++-=，···········4分 ∴3a =，的取值集合为{}3．···········5分 （2） ()()()()()22112m n m n m n m n m n -+=-+-+--3=≥···········10分 5.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f 由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ .（2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m 令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ，所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.6.解：（1）当时，，∴，∴；当时，，∴，∴； 当时，，∴，∴.综上，不等式的解集为{或}. （2）作出函数与的图象，由图象可知当时，不等式只有一个正整数解，∴.7.解：（1）当5m =时，52,1,()3,11,52, 1.x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩由()2f x >得不等式的解集为33|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由二次函数2223(1)2y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，()()()()42,321,41.x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩2x ≤-41x -≤5x ≤2x ≤-21x -<≤31x ≤13x ≤123x -<≤1x >41x -+≤3x ≥3x ≥3x x ≥13x ≤()y f x =y ax =13a ≤<1x =13a ≤<因为2,1,()2,11,2,1,m x x f x m x m x x +<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩在1x =-处取得最大值2m -，所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥．8．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【答案】（1）1m =-，9n =；（2）证明见解析．【解析】（1得3 36x x x x ⎧⎨+-<+⎩≥或03 36x x <<⎧⎨<+⎩或0 36x x x x ⎧⎨-+-<+⎩≤，···········3分 解得19x -<<，∴1m =-，9n =．···········5分（2）由（1）知0x >，0y >，91x y +=，当且仅当9y x x y=即112x =，14y =时取等号， 16x y xy +≥．···········10分 9．【答案】（1）2；（2）见解析．【解析】由()210101211x x f x x x x -+⎧⎪=<<⎨⎪-⎩≤≥，·········2分 得()min 1f x =，要使()1f x m -≥恒成立，只要11m -≥，即02m ≤≤，实数m 的最大值为2；·········5分 （2）由（1）知222a b +=，又222a b ab +≥，故1ab ≤；()222224a b a b a b +-=+222422ab a b ab +-=+()()2242121a b ab ab -=--+，∵01ab <≤，∴()()()222421210a b a b ab ab +-=--+≥，∴2a b ab +≥．·········10分10.(1)解：f x = 2x +a+ 2x −b +2所以,即(2)由，则原式等价为：，即, 而,故原不等式成立11.解：（1）∵()g x =33,2151,24133,4x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 当2x ≤-时，336x -+<解得1x >-，此时无解. 当124x -<≤时，516x --<，解得75x >-，即7154x -<≤. 当14x <时，336x -<，解得3x <，即134x <<，综上，()6g x <的解集为7{|3}5x x -<<. （2）因为存在1x ，2x R ∈，使得12()()f x g x =-成立.所以{|(),}y y f x x R =∈{|(),}y y g x x R =-∈≠∅ . 又()3|||31|f x x a x =-++|(33)(31)||31|x a x a ≥--+=+，由（1）可知9()[,)4g x ∈-+∞，则9()(,]4g x -∈-∞. 所以9|31|4a +≤，解得1351212a -≤≤. 故a 的取值范围为135[,]1212-. 12.解：（Ⅰ）证明：2b a -<()3,,23,2x a b x a b f x x a b a x b x a b x ⎧⎪--+<-⎪⎪∴=-++-≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，显然()f x 在,2b ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，在,2b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()f x 的最小值为122b b f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，即22a b +=． （Ⅱ）因为2a b tab +≥恒成立，所以2a b t ab +≥恒成立， ()212112122925+222a b a b a b ab b a b a b a +⎛⎫⎛⎫≥+=++=+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当23a b ==时，2a b ab +取得最小值92， 所以92t ≤，即实数t 的最大值为92．。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.设函数（1）解不等式；（2）求函数的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）解含绝对值的不等式，关键是去掉绝对值符号，其方法有三种：①定义法；②平方法；③分区间讨论法，这里用的是分区间讨论法，遇到多个绝对值时常用此方法；（2）求绝对值函数的值域，通常是通过分区间讨论，去掉绝对值符号，将绝对值函数改写成分段函数，然后就每段求的范围，最后再将每段求得的范围求并集，注意不是求交集，从而得到绝对值函数的值域.试题解析：（1）不等式等价于：①；②；③，综合①②③得不等式的解集为：（2）①当时，；②当时，③当时，综合①②③得函数的值域为，因此求函数的最小值为.【考点】1.含绝对值的不等式的解法；2.绝对值函数的值域的求法；3.分类讨论思想.2.已知定义在R上的函数的最小值为.（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用求得的最小值；（2）利用证明即可.规律总结：不等式选讲内容，一般难度不大，主要涉及绝对值不等式和不等式的证明，证明或求最值，要灵活选用有关定理或公式.试题解析：（1）因为,当且仅当时,等号成立,所以的最小值等于3,即.（2）由（1）知,又因为是正数,所以,即.【考点】1.绝对值不等式；2.重要不等式.3.设函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围．【答案】（1）;(2).【解析】(1)欲解不等式，需去掉绝对值，考虑到含有两个绝对值，因此分三段去，然后解.（2）要使不等式恒成立，则,考虑到不等式性质,不等式右侧可化简.试题解析：去绝对值，函数可化为,分三段解不等式，可得解集为：.由, 可得, 由（1）可解得：【考点】（1）含绝对不等会的解法；（2）恒成立问题（一般采用分离常数）.4.已知函数（1）解关于的不等式；（2）若存在，使得的不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（1）;（2）【解析】（1）先去掉绝对值得到，然后遂个求解不等式最终可得解集；（2）利用含参不等式的求解方法先确定因为所以则．试题解析：（1）原不等式等价于①： 1分或②： 2分或③： 3分解不等式组①无解； 4分解不等式组②得： 5分解不等式组③得： 6分所以原不等式的解集为 7分；（2）依题意 9分因为，所以 11分所以， 12分所以实数的取值范围为 13分．【考点】1，分段函数2，含参函数不等式的求解．5.对于实数，若，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为又因为，可得，故选B.【考点】绝对值不等式.6.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。
高二数学绝对值不等式(含答案)
高二数学绝对值不等式一、选择题 ： 1．已知{}2,Ma a =≥{}2(2)(3)0,A a a a a M =--=∈则集合A 的子集共有（ ）A ．1个B ．2个C ．4个D ．8 个【答案】B2．不等式2|x 2|2-<的解集是（ ）A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣2，0）∪（0，2）【答案】D3．不等式||x －2>1的解集是( )A ．(1，3)B ．(－∞，1)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)【答案】D4．不等式|x ＋1|>x ＋1成立的充分不必要条件是( )A ．x <0B ．x >－1C ．x <－1D ．x <－2【答案】D5．不等式|x －2|＋|x ＋1|<5的解集为( )A ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．(－2，4)D ．(－2，3)【答案】D6．不等式5310x x -++≥的解集是（ ）A ．[]5,7-B ．[]4,6-C ．(][),57,-∞-⋃+∞D ．(][),46,-∞-⋃+∞【答案】D7．不等式3≤|5﹣2x|<9的解集为（）A．[﹣2，1）∪[4，7）B．（﹣2，1]∪（4，7]C．（﹣2，﹣1]∪[4，7）D．（﹣2，1]∪[4，7）【答案】Dx－2＋||x>a恒成立”的()8．已知a∈R，则“a<2”是“||A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C9．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|>a2＋a＋1的解集为R，则a的取值范围是() A．(0，1) B．(－1，0) C．(1，2) D．(－∞，－1)【答案】B10．不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【答案】A11．已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥5【答案】D12．若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是()A．a＜－1 B．a≥1 C．|a|＜1 D．|a|≤1【答案】D二、解答题 ：13．选修4-5：不等式选讲已知函数|4||8|)(---=x x x f ． （1）作出函数)(x f y =的图像； （2）解不等式2|4||8|>---x x ． 【答案】解：（1）4()2124f x x ⎧⎪=-+⎨⎪-⎩，，4488.x x x ≤<≤>，图象如下：（2）不等式842x x --->，即()2f x >， 由2122x -+=得5x =．由函数()f x 图象可知，原不等式的解集为(5)-∞，．14．已知关于x 的不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|<a ．（1）当a=2时，解上述不等式；（2）如果关于x 的不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|<a 的解集为空集，求实数a 的取值范围．【答案】（1）原不等式|x ﹣3|+|x ﹣4|<2当x<3时，原不等式化为7﹣2x<2，解得5x 2>，∴5x 32<< 当3≤x≤4时，原不等式化为1<2，∴3≤x≤4 当x>4时，原不等式化为2x ﹣7<2，解得9x 2<，∴94x 2<<综上，原不等式解集为59xx 22⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）法一､作出y=|x ﹣3|+|x ﹣4|与y=a 的图象，若使|x ﹣3|+|x ﹣4|<a 解集为空集只须y=|x ﹣3|+|x ﹣4|图象在y=a 的图象的上方， 或y=a 与y=1重合，∴a≤1 所以，a 的范围为（﹣∞，1]，法二､：y=|x ﹣3|+|x ﹣4|=2x 7,x 41,3x 472x,x 3-≥⎧⎪≤≤⎨⎪-<⎩当x≥4时，y≥1 当3≤x<4时，y=1 当x<3时，y>1综上y≥1，原问题等价为a≤[|x ﹣3|+|x ﹣4|]min ∴a≤1 法三､：∵|x ﹣3|+|x ﹣4|≥|x ﹣3﹣x+4|=1， 当且仅当（x ﹣3）（x ﹣4）≤0时，上式取等号 ∴a≤1．15．已知函数f （x ）=log 2（|x+1|+|x ﹣2|﹣m ）．（1）当m=5时，求函数f （x ）的定义域；（2）若关于x 的不等式f （x ）≥1的解集是R ，求m 的取值范围【答案】（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x ﹣2|＞5， 不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：2125x x x ≥⎧⎨++->⎩，或12125x x x ≤<⎧⎨+-+>⎩，或1125x x x >⎧⎨---+>⎩， 解得函数f （x ）的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）； （2）不等式f （x ）≥1即|x+1|+|x ﹣2|＞m+2，∵x ∈R 时，恒有|x+1|+|x ﹣2|≥|（x+1）﹣（x ﹣2）|=3， 不等式|x+1|+|x ﹣2|＞m+2解集是R ，∴m+2＜3，m 的取值范围是（﹣∞，1）． 故答案为（﹣∞，1）．16．已知函数f （x ）=|x ﹣a|．（1）若不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若f （x ）+f （x+5）≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）由f （x ）≤3得|x ﹣a|≤3， 解得a ﹣3≤x≤a+3．又已知不等式f （x ）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}， 所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩解得a=2．（6分）（2）当a=2时，f （x ）=|x ﹣2|． 设g （x ）=f （x ）+f （x+5），于是()21,323532212x x g x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩所以当x<﹣3时，g （x ）>5； 当﹣3≤x≤2时，g （x ）=5； 当x>2时，g （x ）>5．综上可得，g （x ）的最小值为5． 从而，若f （x ）+f （x+5）≥m即g （x ）≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为（﹣∞，5]．17．设函数()3f x x a x =-+，其中0a >．（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集 （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-，求a 的值．【答案】解：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥．由此可得3x ≥或1x ≤-． 故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-． （Ⅱ）由()0f x ≤得：30x a x -+≤此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x aa x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2ax x ≤-由题设可得2a-= 1-，故2a =18．（选修4﹣5：不等式选讲）已知函数f (x)|2x 1||2x a |=-++，g(x)x 3=+． （Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f (x)g(x)<的解集； （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当时，f (x)g(x)≤，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3＜0．设y=|2x ﹣1|+|2x ﹣2|﹣x ﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y ＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）． （Ⅱ）设a ＞﹣1，且当时，f （x ）=1+a ，不等式化为 1+a≤x+3，故 x≥a ﹣2对都成立．故﹣≥a ﹣2，解得 a≤，故a 的取值范围为（﹣1，]．19．设函数()|1|||f x x x a =-+-．（Ⅰ）若1,a =-解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）当()11a f x x x =-=-++时，． 由()3113f x x x ≥-++≥得．①1x ≤-时，不等式化为11323x x x ---≥-≥．即．不等式组1()3x f x ≤-⎧⎨≥⎩的解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．②当11x -<≤时，不等式化为113x x -++≥，不可能成立． 不等式组11()3x f x -<≤⎧⎨≥⎩的解集为∅．③当1x >时，不等式化为1323x x x x -++≥≥，即．不等式组1()3x f x >⎧⎨≥⎩的解集为3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．综上得，()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭．（Ⅱ）若1a =，()21f x x =-，不满足题设条件．若1a <，21,,1,1,2(1),1x a x a a a x x a x -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩，f x （）的最小值为1-a ． 若1a >，21,1,1,1,2(1),.x a x a x a x a x a -++≤⎧⎪-<<⎨⎪-+≥⎩，f x （）的最小值为a-1． 所以x R ∀∈，()2f x ≥的充要条件是12a -≥，从而a 的取值范围为][(13)-∞-⋃+∞，，．20．已知()2f x x x a =--．（I ）当1a =时，解不等式()2f x x <-； （II ）当(0,1]x ∈时，()2112f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{}|2x x <（2）12a ⎛∈- ⎝。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质2.集合A＝{x|<0}，B＝{x||x－b|<a}．若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是______．【答案】(－2,2)【解析】A＝{x|<0}＝{x|－1<x<1}，B＝{x||x－b|<a}＝{x|b－a<x<b＋a}，因为“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，所以－1≤b－1<1或－1<b＋1≤1，即－2<b<2.3.不等式有实数解的充要条件是_____.【答案】．【解析】记，则不等式有实数解等价于，因为，故【考点】绝对值三角不等式.4.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．5.解不等式|2x－4|＜4－|x|.【答案】【解析】原不等式等价于①或②或③不等式组①无解．由②0<x≤2，③2<x<，得不等式的解集为.6.已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】≤x≤【解析】由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值．∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)·(a－b)≥0时取等号，∴的最小值等于2.∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得≤x≤.7.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若时，，求a的取值范围.【答案】（1）；（2）[－7，7].【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立等基础知识，考查学生分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先把a＝－1代入，先写出的解析式，利用零点分段法去掉绝对值，解不等式组，得到不等式的解集；第二问，在已知的范围内的绝对值可去掉，解绝对值不等式，使之转化成2个恒成立.试题解析：（1）当a＝－1时，不等式为|x＋1|－|x＋3|≤1．当x≤－3时，不等式化为－(x＋1)＋(x＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x＜－1时，不等式化为－(x＋1)－(x＋3)≤1，解得；当x≥－1时，不等式化为(x＋1)－(x＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为． 5分（2）当x∈[0，3]时，f(x)≤4即|x－a|≤x＋7，由此得a≥－7且a≤2x＋7．当x∈[0，3]时，2x＋7的最小值为7，所以a的取值范围是[－7，7]． 10分【考点】绝对值不等式的解法、不等式恒成立.8. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参数方程为(为参数), 则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A. ； B．； C．【解析】A. 先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C. 由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.9.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法10.已知关于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．(1)当a＝1时，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）a≥4【解析】(1)当a＝1时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥2，由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点x到1、2的距离之和大于等于2.∴x≥或x≤.∴不等式的解集为.注：也可用零点分段法求解．(2)∵|ax－2|＋|ax－a|≥|a－2|，∴原不等式的解集为R等价于|a－2|≥2，∴a≥4或a≤0.又a>0，∴a≥4.11.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．【答案】（1）M＝{x|0＜x＜1}（2）ab＋1＞a＋b【解析】(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.12.不等式的解集是 .【答案】【解析】由题意可得，，解得．【考点】绝对值不等式的解法．13.不等式的解集是________．【答案】【解析】，当即时，则或，所以，故此时不成立；当即时，显然恒成立，故答案为.【考点】绝对值不等式的解法.14.已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】D【解析】因为|x＋2|＋|x|的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有a≥2.15.不等式的解集是．【答案】【解析】含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为，它等价于，这是二次不等式，解得，还要注意题目要求写成集合形式．【考点】解不等式．16.不等式的解集为 .【答案】【解析】即两边平方得，，，所以，不等式的解集为.【考点】绝对值不等式的解法17.已知函数f(x)=|x+2|+|2x－4|（1）求f(x)＜6的解集；（2）若关于的不等式f(x)≥m2－3m的解集是R，求m的取值范围【答案】（1）不等式的解是{x|0＜x＜}；（2）【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用函数的单调性求出最小值证明恒成立问题试题解析：（I）由题设知：当时，不等式等价与，即； 2分当时，不等式等价与，即； 4分当时，不等式等价与，即无解所以满足不等式的解是 6分（II）由图像或者分类讨论可得的最小值为4 8分则，解之得，【考点】1 绝对值不等式的解法；2 恒成立问题；3 分段函数的最值问题18.设关于的不等式的解集为，且，则实数的取值范围是 .【答案】.【解析】由题意当时，，当时，，即，由，则或，所以实数的取值范围为.【考点】绝对值不等式.19.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是 .【答案】【解析】∵|x-1|-|x-2|=|x-1|-|2-x|≤|x-1-x+2|=1，若不等式|x-1|-|x-2|≥a2+a+1（x∈R）的解集为空集，则|x-1|-|x-2|＜a2+a+1恒成立，即a2+a+1＞1，解得x＜-1或x＞0.∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（0，+∞）.【考点】1.绝对值不等式的解法；2.函数恒成立问题20.已知函数（1）求不等式的解集；（2）若关于x的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨论的解题思路和问题的转化能力.第一问，利用零点分段法进行分段，分别去掉绝对值，列出不等式组，求出每一个不等式的解，通过求交集、求并集得到原不等式的解集；第二问，先将不等式的解集非空，转化为，利用绝对值的运算性质，求出函数的最小值4，所以，再解绝对值不等式，得到的取值范围.试题解析：（Ⅰ）原不等式等价于或或 3分解得或或即不等式的解集为 5分（Ⅱ） 8分∴或. 10分【考点】1.绝对值的运算性质；2.绝对值不等式的解法.21.已知函数，其中实数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求的值.【答案】(1)不等式的解集为;(2)【解析】（1）将代入得一绝对值不等式：，解此不等式即可.（2）含绝对值的不等式，一般都去掉绝对值符号求解。
高中数学-绝对值不等式的解法练习
高中数学-绝对值不等式的解法练习一、选择题1．如果1x ＜2和|x |＞13同时成立，那么实数x 的取值范围是( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13＜x ＜12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－13，或x ＞13解析：解不等式1x ＜2，得x ＜0或x ＞12.解不等式|x |＞13，得x ＞13或x ＜－13.∴实数x 的取值范围为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＞12或x ＜－13.答案：B2．不等式2＜|2x ＋3|≤4的解集为( )A ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ≤12B ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72＜x ＜－52或－12＜x ＜12C ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ＜－52或－12＜x ≤12D ．⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－72≤x ≤－52或－12＜x ≤12解析：由2＜|2x ＋3|≤4，可得2＜2x ＋3≤4或 －4≤2x ＋3＜－2.解得－12＜x ≤12或－72≤x ＜－52.答案：C3．关于x 的不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ax －1x ＞a 的解集为集合M ，且2∉M ，则实数a 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 解析：因为2∉M ，所以2∈∁R M .所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即－a ≤2a －12≤a .解得a ≥14.答案：B4．不等式|3－x |＋|x ＋4|＞8的解集是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞72 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜－92或x ＞72 D ．R解析：|3－x |＋|x ＋4|＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，3－x －x －4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，3－x ＋x ＋4＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x －3＋x ＋4＞8⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－4，－1－2x ＞8或⎩⎪⎨⎪⎧－4＜x ＜3，7＞8或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，2x ＞7.∴x ＜－92或x ＞72.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－92或x ＞72.答案：C 二、填空题5．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53＜x ＜13，则a ＝________. 解析：由原不等式的解集，可知－53，13为原不等式对应的方程|ax －2|＝3的根，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪－53a －2＝3，⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a －2＝3.解得a ＝－3. 答案：－36．已知函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则实数x 的取值范围是________. 解析：由已知，有|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x .所以x －2≤2x －1≤2－x ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≤2－x ，2x －1≥x －2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≥－1.所以－1≤x ≤1.答案：[－1,1]三、解答题7．已知一次函数f (x )＝ax －2. (1)当a ＝3时，解不等式|f (x )|＜4； (2)解关于x 的不等式|f (x )|＜4；(3)若关于x 的不等式|f (x )|≤3对任意x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝3时，f (x )＝3x －2，所以|f (x )|＜4⇔|3x －2|＜4⇔－4＜3x －2＜4⇔ －2＜3x ＜6⇔－23＜x ＜2.所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23＜x ＜2. (2)|f (x )|＜4⇔|ax －2|＜4⇔－4＜ax －2＜4⇔－2＜ax ＜6.当a ＞0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －2a ＜x ＜6a ； 当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪6a ＜x ＜－2a . (3)|f (x )|≤3⇔|ax －2|≤3⇔－3≤ax －2≤3⇔－1≤ax ≤5⇔⎩⎪⎨⎪⎧ax ≤5，ax ≥－1.因为x ∈[0,1]， 所以－1≤a ≤5.所以实数a 的取值范围为[－1,5]．8．已知对区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，54内的一切实数a ，满足关于x 的不等式|x －a |＜b 的x 也满足不等式|x －a 2|＜12，试求实数b 的取值范围．解：设A ＝{x ||x －a |＜b }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪|x －a 2|＜12， 则A ＝{x |a －b ＜x ＜a ＋b ，b ＞0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a 2－12＜x ＜a 2＋12. 由题意，知当0＜a ≤54时，A ⊆B ．所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ≥a 2－12，a ＋b ≤a 2＋12，0＜a ≤54.所以b ≤－a 2＋a ＋12且b ≤a 2－a ＋12.因为0＜a ≤54，所以－a 2＋a ＋12＝－a －122＋34∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤316，34，a 2－a ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1316.所以b ≤316且b ≤14.从而b ≤316.故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，316.一、选择题1．设集合A ＝{x ||x －a |＜1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |＞2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥3解析：由|x －a |＜1，得a －1＜x ＜a ＋1. 由|x －b |＞2，得x ＜b －2或x ＞b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2. ∴a －b ≥3或a －b ≤－3.∴|a －b |≥3. 答案：D2．若关于x 的不等式|2x ＋1|－|x －4|≥m 恒成立，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－92 D ．(－∞，－5] 解析：设F (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x ＜－12，3x －3，－12≤x ≤4，x ＋5，x ＞4.如图所示，F (x )min ＝－32－3＝－92.故m ≤F (x )min ＝－92.答案：C二、填空题3．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则实数a 的取值范围是________.解析：∵关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，∴Δ＝12－4⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≥0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |≤14.根据绝对值的几何意义，知0≤a ≤14.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14 4．若函数f (x )是R 上的减函数，且函数f (x )的图像经过点A (0,3)和B (3，－1)，则不等式|f (x ＋1)－1|＜2的解集是________.解析：∵|f (x ＋1)－1|＜2，∴－2＜f (x ＋1)－1＜2，即－1＜f (x ＋1)＜3.∴f (3)＜f (x ＋1)＜f (0)．∵函数f (x )在R 上是减函数， ∴0＜x ＋1＜3.解得－1＜x ＜2. 答案：{x |－1＜x ＜2} 三、解答题5．如图所示，点O 为数轴的原点，A ，B ，M 为数轴上三点，C 为线段OM 上的动点．设x 表示点C 与原点的距离，y 表示点C 到点A 的距离的4倍与点C 到点B 的距离的6倍之和．(1)将y 表示为x 的函数；(2)要使y 的值不超过70，实数x 应该在什么范围内取值？ 解：(1)依题意，得y ＝4|x －10|＋6|x －20|,0≤x ≤30. (2)由题意，得x 满足⎩⎪⎨⎪⎧4|x －10|＋6|x －20|≤70，0≤x ≤30.(*)当0≤x ≤10时，不等式组(*)化为 4(10－x )＋6(20－x )≤70，解得9≤x ≤10. 当10＜x ＜20时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(20－x )≤70，解得10＜x ＜20. 当20≤x ≤30时，不等式组(*)化为 4(x －10)＋6(x －20)≤70，解得20≤x ≤23. 综上，实数x 的取值范围是[9,23]． 6．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若关于x 的不等式f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：法一 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3. 解得a －3≤x ≤a ＋3.又关于x 的不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5.解得a ＝2.(2)由(1)，得a ＝2，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x ＜－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x ＞2.所以当x ＜－3时，g (x )＞5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上，函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．法二(1)同法一．(2)由(1)，得a＝2，f(x)＝|x－2|.设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得函数g(x)的最小值为5.从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知实数满足，证明：.【答案】见解析【解析】有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。
证明：证法一，∴，，∴，. 2分∴，即， 4分∴，∴， 6分即，∴. 8分证法二：要证，只需证 2分只需证只需证 4分即. 6分，∴，，∴成立.∴要证明的不等式成立. 8分【考点】绝对值不等式；不等式证明的基本方法.2.不等式的解集是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，即或，解得或【考点】解含绝对值不等式3.不等式的解集为A．[-5.7]B．[-4,6]C．D．【答案】C【解析】本题利用绝对值的几何意义，结合数轴求解。
不等式的解集为，选C。
【考点】绝对值不等式解法点评：简单题，绝对值不等式解法，通常以“去绝对值符号”为出发点。
有“平方法”，“分类讨论法”，“几何意义法”，不等式性质法等等。
4.已知关于x的不等式的解集是非空集合，则的取值范围是【答案】【解析】根据题意，关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a<2013（a是常数）的解是非空集合，即为存在y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2013-a的下方． y=|x+a|+|x-1|的图形是一条有两个折点的折线．y=2013-a是一条平行于x轴的直线．a的取值范围是（-∞，1006）；6所以答案为：（-∞，1006）．【考点】绝对值不等式点评：（1）关于x的不等式|x+a|+|x-1|+a<2013（a是常数）的解是非空集合，等价于存在y=|x+a|+|x-1|的图形在y=2013-a的下方．与恒成立是有本质区别的．（2）y=|x+a|+|x+b|的图形为一条带有两个折点的直线．5.在实数范围内，不等式的解集为__________【答案】【解析】解：由不等式|2x-1|+|2x+1|≤6，可得①-(2x-1)+(-2x-1)≤6, x＜-，或②-(2x-1)+(2x+1)≤6-≤x＜，或③2x-1+2x+1≤6,X解①得-≤x＜-，解②得-≤x＜，解③得≤x≤把①②③的解集取并集可得不等式的解集为【考点】分式不等式点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．6.不等式的解集为。
2017-2021年高考真题 绝对值不等式 解答题全集 (学生版 解析版)
2017-2021年高考真题绝对值不等式解答题全集（学生版+解析版）1．（2021•乙卷）已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+3|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）＞﹣a，求a的取值范围．2．（2020•江苏）设x∈R，解不等式2|x+1|+|x|＜4．3．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．（1）证明：ab+bc+ca＜0；3．（2）用max{a，b，c}表示a，b，c的最大值，证明：max{a，b，c}≥√4 4．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝|3x+1|﹣2|x﹣1|．（1）画出y＝f（x）的图象；（2）求不等式f（x）＞f（x+1）的解集．5．（2020•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝|x﹣a2|+|x﹣2a+1|．（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）≥4，求a的取值范围．6．（2020•新课标Ⅲ）设数列{a n}满足a1＝3，a n+1＝3a n﹣4n．（1）计算a2，a3，猜想{a n}的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n}的前n项和S n．7．（2020•新课标Ⅲ）设a，b，c∈R，a+b+c＝0，abc＝1．（1）证明：ab+bc+ca＜0；3．（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥√48．（2019•江苏）设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．9．（2019•新课标Ⅲ）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1．（1）求（x﹣1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值；（2）若（x﹣2）2+（y﹣1）2+（z﹣a）2≥13成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．10．（2019•新课标Ⅱ）已知f（x）＝|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．11．（2019•新课标Ⅰ）已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．证明：（1）1a +1b+1c≤a2+b2+c2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．12．（2018•北京）设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…y n），记M（α，β）=12[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（x n+y n﹣|x n﹣y n|）]．（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素α，β，M（α，β）＝0，写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．13．（2018•新课标Ⅰ）已知f（x）＝|x+1|﹣|ax﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞1的解集；（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围．14．（2018•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围．15．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝﹣x2+ax+4，g（x）＝|x+1|+|x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．16．（2017•新课标Ⅱ）已知a＞0，b＞0，a3+b3＝2．证明：（1）（a+b）（a5+b5）≥4；（2）a+b≤2．17．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）≥1的解集；（2）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．2017-2021年高考真题 绝对值不等式 解答题全集 （学生版+解析版）参考答案与试题解析1．（2021•乙卷）已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +3|．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥6的解集；（2）若f （x ）＞﹣a ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|+|x +3|={−2x −2，x ≤−34，−3＜x ＜12x +2，x ≥1， ∵f （x ）≥6，∴{x ≤−3−2x −2≥6或{−3＜x ＜14≥6或{x ≥12x +2≥6， ∴x ≤﹣4或x ≥2，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．（2）f （x ）＝|x ﹣a |+|x +3|≥|x ﹣a ﹣x ﹣3|＝|a +3|，若f （x ）＞﹣a ，则|a +3|＞﹣a ，两边平方可得a 2+6a +9＞a 2，解得a ＞−32，即a 的取值范围是（−32，+∞）．2．（2020•江苏）设x ∈R ，解不等式2|x +1|+|x |＜4．【解答】解：2|x +1|+|x |={3x +2，x ＞0x +2，−1≤x ≤0−3x −2，x ＜−1．∵2|x +1|+|x |＜4，∴{3x +2＜4x ＞0或{x +2＜4−1≤x ≤0或{−3x −2＜4x ＜−1， ∴0＜x ＜23或﹣1≤x ≤0或﹣2＜x ＜﹣1，∴﹣2＜x ＜23，∴不等式的解集为{x |﹣2＜x ＜23}．3．（2020•新课标Ⅲ）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab +bc +ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 的最大值，证明：max {a ，b ，c }≥√43．【解答】证明：（1）∵a +b +c ＝0，∴（a +b +c ）2＝0，∴a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2），∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2）＜0，∴ab +ac +bc ＜0；（2）不妨设a ≤b ＜0＜c ＜√43，则ab =1c ＞1√43， ∵a +b +c ＝0，∴﹣a ﹣b ＝c ＜√43，而﹣a ﹣b ≥2√ab ＞2√46=412416=413=√43，与假设矛盾， 故max {a ，b ，c }≥√43．4．（2020•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝|3x +1|﹣2|x ﹣1|．（1）画出y ＝f （x ）的图象；（2）求不等式f （x ）＞f （x +1）的解集．【解答】解：函数f （x ）＝|3x +1|﹣2|x ﹣1|={ x +3，(x ≥1)5x −1，(−13≤x ＜1)−x −3，(x ＜−13)， 图象如图所示（2）由于f （x +1）的图象是函数f （x ）的图象向左平移了一个单位所得，（如图所示）直线y ＝5x ﹣1向左平移一个单位后表示为y ＝5（x +1）﹣1＝5x +4，联立{y =−x −3y =5x +4，解得横坐标为x =−76， ∴不等式f （x ）＞f （x +1）的解集为{x |x ＜−76}．5．（2020•新课标Ⅱ）已知函数f （x ）＝|x ﹣a 2|+|x ﹣2a +1|．（1）当a ＝2时，求不等式f （x ）≥4的解集；（2）若f （x ）≥4，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝2时，f （x ）＝|x ﹣4|+|x ﹣3|={−2x +7，x ≤31，3＜x ＜42x −7，x ≥4， ∴当x ≤3时，不等式f （x ）≥4化为﹣2x +7≥4，即x ≤32，∴x ≤32；当3＜x ＜4时，不等式f （x ）≥4化为1≥4，此时x ∈∅；当x ≥4时，不等式f （x ）≥4化为2x ﹣7≥4，即x ≥112，∴x ≥112．综上，当a ＝2时，不等式f （x ）≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}；（2）f （x ）＝|x ﹣a 2|+|x ﹣2a +1|≥|x ﹣a 2﹣（x ﹣2a +1）|＝|（a ﹣1）2|＝（a ﹣1）2． 又f （x ）≥4，∴（a ﹣1）2≥4，得a ﹣1≤﹣2或a ﹣1≥2，解得：a ≤﹣1或a ≥3．综上，若f （x ）≥4，则a 的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．6．（2020•新课标Ⅲ）设数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝3a n ﹣4n ．（1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．【解答】解：（1）法一：数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝3a n ﹣4n ，则a 2＝3a 1﹣4＝5，a 3＝3a 2﹣4×2＝7，…，猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n +1．证明如下：（i ）当n ＝1，2，3时，显然成立，（ii ）假设n ＝k 时，a k ＝2k +1（k ∈N +）成立，当n ＝k +1时，a k +1＝3a k ﹣4k ＝3（k +1）﹣4k ＝2k +3＝2（k +1）+1，故n ＝k +1时成立， 由（i ）（ii ）知，a n ＝2n +1，猜想成立，所以{a n }的通项公式a n ＝2n +1．法二：数列{a n }满足a 1＝3，a n +1＝3a n ﹣4n ，则a 2＝3a 1﹣4＝5，a 3＝3a 2﹣4×2＝7，…，猜想{a n }的通项公式为a n ＝2n +1．证明：设a n +1+α（n +1）+β＝3（a n +αn +β），可得a n +1＝3a n +2αn +2β﹣α，∴{2α=−42β−α=0，解得{α=−2β=−1， ∴a n +1﹣2（n +1）﹣1＝3（a n ﹣2n ﹣1），（不能说明{a n ﹣2n ﹣1}是等比数列）∵a 1＝3，a 1﹣2×1﹣1＝0，并且a 2﹣2（2+1）﹣1＝0，所以a n ＝2n +1恒成立． 所以a n ＝2n +1．（2）令b n ＝2n a n ＝（2n +1）•2n ，则数列{2n a n }的前n 项和S n ＝3×21+5×22+…+（2n +1）2n ，…①两边同乘2得，2S n ＝3×22+5×23+…+（2n +1）2n +1，…②①﹣②得，﹣S n ＝3×2+2×22+…+2×2n ﹣（2n +1）2n +1＝6+8(1−2n−1)1−2−（2n +1）2n +1，所以S n ＝（2n ﹣1）2n +1+2．7．（2020•新课标Ⅲ）设a ，b ，c ∈R ，a +b +c ＝0，abc ＝1．（1）证明：ab +bc +ca ＜0；（2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c }≥√43．【解答】证明：（1）∵a +b +c ＝0，∴（a +b +c ）2＝0，∴a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc ＝0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2），∵abc ＝1，∴a ，b ，c 均不为0，∴2ab +2ac +2bc ＝﹣（a 2+b 2+c 2）＜0，∴ab +ac +bc ＜0；（2）不妨设a ≤b ＜0＜c ＜√43，则ab =1c √43， ∵a +b +c ＝0，∴﹣a ﹣b ＝c ＜√43，而﹣a ﹣b ≥2√ab ＞√46=412416=413=√43，与假设矛盾， 故max {a ，b ，c }≥√43．8．（2019•江苏）设x ∈R ，解不等式|x |+|2x ﹣1|＞2．【解答】解：|x |+|2x ﹣1|={ 3x −1，x ＞12−x +1，0≤x ≤12−3x +1，x ＜0， ∵|x |+|2x ﹣1|＞2，∴{3x −1＞2x ＞12或{−x +1＞20≤x ≤12或{−3x +1＞2x ＜0， ∴x ＞1或x ∈∅或x ＜−13，∴不等式的解集为{x |x ＜−13或x ＞1}．9．（2019•新课标Ⅲ）设x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1．（1）求（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值；（2）若（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥13成立，证明：a ≤﹣3或a ≥﹣1．【解答】解：（1）x ，y ，z ∈R ，且x +y +z ＝1，由柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2]≥（x ﹣1+y +1+z +1）2＝4，可得（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2≥43，即有（x ﹣1）2+（y +1）2+（z +1）2的最小值为43； （2）证明：由x +y +z ＝1，柯西不等式可得（12+12+12）[（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2]≥（x ﹣2+y ﹣1+z ﹣a ）2＝（a +2）2，可得（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2≥(a+2)23， 即有（x ﹣2）2+（y ﹣1）2+（z ﹣a ）2的最小值为(a+2)23， 由题意可得(a+2)23≥13， 解得a ≥﹣1或a ≤﹣3．10．（2019•新课标Ⅱ）已知f （x ）＝|x ﹣a |x +|x ﹣2|（x ﹣a ）．（1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＜0的解集；（2）当x ∈（﹣∞，1）时，f （x ）＜0，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x ﹣1|x +|x ﹣2|（x ﹣1），∵f （x ）＜0，∴当x ＜1时，f （x ）＝﹣2（x ﹣1）2＜0，恒成立，∴x ＜1；当x ≥1时，f （x ）＝（x ﹣1）（x +|x ﹣2|）≥0恒成立，∴x ∈∅；综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；（2）当a ≥1时，f （x ）＝2（a ﹣x ）（x ﹣1）＜0在x ∈（﹣∞，1）上恒成立； 当a ＜1时，x ∈（a ，1），f （x ）＝2（x ﹣a ）＞0，不满足题意，∴a 的取值范围为：[1，+∞）11．（2019•新课标Ⅰ）已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．证明：（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；（2）（a +b ）3+（b +c ）3+（c +a ）3≥24．【解答】证明：（1）分析法：已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1．要证（1）1a +1b +1c ≤a 2+b 2+c 2；因为abc ＝1．就要证：abc a +abc b +abc c ≤a 2+b 2+c 2；即证：bc+ac+ab≤a2+b2+c2；即：2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2；2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．∴（a﹣b）2≥0；（a﹣c）2≥0；（b﹣c）2≥0恒成立；当且仅当：a＝b＝c＝1时取等号．即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0得证．故1a +1b+1c≤a2+b2+c2得证．（2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24成立；即：已知a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）为正数；（b+c）为正数；（c+a）为正数；（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）；当且仅当（a+b）＝（b+c）＝（c+a）时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∵a，b，c为正数，且满足abc＝1．（a+b）≥2√ab；（b+c）≥2√bc；（c+a）≥2√ac；当且仅当a＝b，b＝c；c＝a时取等号；即：a＝b＝c＝1时取等号；∴（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥3（a+b）•（b+c）•（c+a）≥3×8√ab•√bc•√ac=24abc ＝24；当且仅当a＝b＝c＝1时取等号；故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3≥24．得证．故得证．12．（2018•北京）设n为正整数，集合A＝{α|α＝（t1，t2，…t n），t k∈{0，1}，k＝1，2，…，n}，对于集合A中的任意元素α＝（x1，x2，…，x n）和β＝（y1，y2，…y n），记M（α，β）=12[（x1+y1﹣|x1﹣y1|）+（x2+y2﹣|x2﹣y2|）+…（x n+y n﹣|x n﹣y n|）]．（Ⅰ）当n＝3时，若α＝（1，1，0），β＝（0，1，1），求M（α，α）和M（α，β）的值；（Ⅱ）当n＝4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素α，β，当α，β相同时，M（α，β）是奇数；当α，β不同时，M（α，β）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；（Ⅲ）给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素α，β，M （α，β）＝0，写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由． 【解答】解：（I ） M （α，α）＝1+1+0＝2，M （α，β）＝0+1+0＝1． （II ）考虑数对（x k ，y k ）只有四种情况：（0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1），相应的x k +y k −|x k −y k |2分别为0、0、0、1，所以B 中的每个元素应有奇数个1，所以B 中的元素只可能为（上下对应的两个元素称之为互补元素）： （1，0，0，0 ）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）， （0，1，1，1）、（1，0，1，1）、（1，1，0，1）、（1，1，1，0）， 对于任意两个只有1个1的元素α，β都满足M （α，β）是偶数，所以四元集合B ＝{（1，0，0，0）、（0，1，0，0）、（0，0，1，0）、（0，0，0，1）}满足 题意，假设B 中元素个数大于等于4，就至少有一对互补元素， 除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素α，则互补元素中含有1个1的元素β与之满足M （α，β）＝1不合题意， 故B 中元素个数的最大值为4．（Ⅲ） B ＝{（0，0，0，…0），（1，0，0…，0），（0，1，0，…0），（0，0，1…0）…， （0，0，0，…，1）}，此时B 中有n +1个元素，下证其为最大．对于任意两个不同的元素α，β，满足M （α，β）＝0，则α，β中相同位置上的数字不能同时为1，假设存在B 有多于n +1个元素，由于α＝（0，0，0，…，0）与任意元素β都有M （α，β）＝0，所以除（0，0，0，…，0）外至少有n +1个元素含有1，根据元素的互异性，至少存在一对α，β满足x i ＝y i ＝l ，此时M （α，β）≥1不满足题意， 故B 中最多有n +1个元素．13．（2018•新课标Ⅰ）已知f （x ）＝|x +1|﹣|ax ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）＞1的解集；（2）若x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣1|={2，x ＞12x ，−1≤x ≤1−2，x ＜−1，由f （x ）＞1，∴{2x ＞1−1≤x ≤1或{2＞1x ＞1， 解得x ＞12，故不等式f （x ）＞1的解集为（12，+∞），（2）当x ∈（0，1）时不等式f （x ）＞x 成立， ∴|x +1|﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即x +1﹣|ax ﹣1|﹣x ＞0， 即|ax ﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax ﹣1＜1， ∴0＜ax ＜2， ∵x ∈（0，1）， ∴a ＞0， ∴0＜x ＜2a ， ∴a ＜2x ∵2x ＞2，∴0＜a ≤2，故a 的取值范围为（0，2]．14．（2018•新课标Ⅱ）设函数f （x ）＝5﹣|x +a |﹣|x ﹣2|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥0的解集； （2）若f （x ）≤1，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝5﹣|x +1|﹣|x ﹣2|={2x +4，x ≤−12，−1＜x ＜2−2x +6，x ≥2．当x ≤﹣1时，f （x ）＝2x +4≥0，解得﹣2≤x ≤﹣1， 当﹣1＜x ＜2时，f （x ）＝2≥0恒成立，即﹣1＜x ＜2，当x ≥2时，f （x ）＝﹣2x +6≥0，解得2≤x ≤3， 综上所述不等式f （x ）≥0的解集为[﹣2，3]， （2）∵f （x ）≤1， ∴5﹣|x +a |﹣|x ﹣2|≤1， ∴|x +a |+|x ﹣2|≥4，∴|x +a |+|x ﹣2|＝|x +a |+|2﹣x |≥|x +a +2﹣x |＝|a +2|， ∴|a +2|≥4，解得a ≤﹣6或a ≥2，故a 的取值范围（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．15．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f （x ）＝﹣x 2+ax +4，g （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|． （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[﹣1，1]，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝﹣x 2+x +4，是开口向下，对称轴为x =12的二次函数，g （x ）＝|x +1|+|x ﹣1|={2x ，x ＞12，−1≤x ≤1−2x ，x ＜−1，当x ∈（1，+∞）时，令﹣x 2+x +4＝2x ，解得x =√17−12，g （x ）在（1，+∞）上单调递增，f （x ）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f （x ）≥g （x ）的解集为（1，√17−12]；当x ∈[﹣1，1]时，g （x ）＝2，f （x ）≥f （﹣1）＝2．当x ∈（﹣∞，﹣1）时，g （x ）单调递减，f （x ）单调递增，且g （﹣1）＝f （﹣1）＝2． 综上所述，f （x ）≥g （x ）的解集为[﹣1，√17−12]； （2）依题意得：﹣x 2+ax +4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x 2﹣ax ﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需{12−a ⋅1−2≤0(−1)2−a(−1)−2≤0，解得﹣1≤a ≤1，故a 的取值范围是[﹣1，1]．16．（2017•新课标Ⅱ）已知a ＞0，b ＞0，a 3+b 3＝2．证明： （1）（a +b ）（a 5+b 5）≥4； （2）a +b ≤2．【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a +b ）（a 5+b 5）≥（√a ⋅a 5+√b ⋅b 5）2＝（a 3+b 3）2≥4，当且仅当√ab 5=√ba 5，即a ＝b ＝1时取等号， （2）∵a 3+b 3＝2，∴（a +b ）（a 2﹣ab +b 2）＝2， ∴（a +b ）[（a +b ）2﹣3ab ]＝2， ∴（a +b ）3﹣3ab （a +b ）＝2， ∴(a+b)3−23(a+b)=ab ，由均值不等式可得：(a+b)3−23(a+b)=ab ≤（a+b 2）2，∴（a +b ）3﹣2≤3(a+b)34， ∴14（a +b ）3≤2，∴a +b ≤2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立． 17．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式f （x ）≥x 2﹣x +m 的解集非空，求m 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|={−3，x ＜−12x −1，−1≤x ≤23，x ＞2，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2； 当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2； 综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立， 即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）={−x 2+x −3，x ≤−1−x 2+3x −1，−1＜x ＜2−x 2+x +3，x ≥2，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x =12＞−1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x =32∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）=−94+92−1=54；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x =12＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1； 综上，g （x ）max =54，∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数．（Ⅰ）求的解集；（Ⅱ）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）先利用根式的性质将函数的解析式化为含绝对的函数，在将具体化为，利用零点分析法化为不等式组，通过解不等式组解出的解集；（Ⅱ）利用零点分析法，通过分讨论将的解析式化为分段函数，作出函数的图像，由函数知，函数图像是恒过（3,0），斜率为的直线，由对任意的都成立知，函数的图像恒在函数的上方，作出函数的图像，观察满足的条件，求出的取值范围.试题解析：（Ⅰ）∴即∴①或②或③解得不等式①：；②：无解③：所以的解集为或． 5分（Ⅱ）即的图象恒在图象的上方图象为恒过定点，且斜率变化的一条直线作函数图象如图,其中，，∴由图可知，要使得的图象恒在图象的上方∴实数的取值范围为. 10分【考点】根式性质，含绝对不等式解法，分段函数，数形结合思想，分类整合思想2. (1).（不等式选做题）对任意,的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，选C.【考点】含绝对值不等式性质3.（2013•重庆）若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是_________．【答案】（﹣∞，8]【解析】由于|x﹣5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和﹣3对应点的距离之和，其最小值为8，再由关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，可得a≤8，故答案为：（﹣∞，8]．4.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
【答案】-9【解析】解：由关于x的不等式的解集不是空集得：即a的最小值是，所以答案应填．【考点】1、绝对值不等式的性质；2、绝对值不等式的解法．5.已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入函数的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为，利用双绝对值函数的最小值为，于是得到，问题转化为来求解，解出不等式即可.（1）由得，，或，或，解得：或，原不等式的解集为；（2）由不等式的性质得：，要使不等式恒成立，则，解得：或所以实数的取值范围为.【考点】1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立6.已知不等式|2x－t|＋t－1<0的解集为，则t＝()A．0B．-1C．-2D．-3【答案】A【解析】∵|2x－t|<1－t，∴t－1<2x－t<1－t，即2t－1<2x<1，，∴t＝0，选A.7.求函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值．【答案】2【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥|x－4＋6－x|＝2.所以函数的最小值为2.8.若不等式|3x－b|＜4的解集中整数有且只有1，2，3，求实数b的取值范围．【答案】5＜b＜7【解析】由|3x－b|＜4，得－4＜3x－b＜4，即＜x＜.因为解集中整数有且只有1，2，3，所以解得所以5＜b＜7.9.A．不等式的解集为B.如图，已知的两条直角边的长分别为3cm,4cm，以为直径的圆与交于点，则．C.已知圆的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标系为_______【答案】A．；B．；C．和【解析】A．当时，原不等式等价于，即不成立；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，即恒成立，所以原不等式的解集为．B．在中，．∵以为直径的圆与交于点，∴，∴，∴，∴．C．由题设知，在直角坐标系下，直线的方程为，圆的方程为．联立方程，得或，故所求交点的直角坐标为和．【考点】1、绝对值不等式的解法；2、与圆有关的比例线段；3、直线与圆的参数方程．10. A.（坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，圆的参数方程为(为参数),则圆心到直线的距离为_________．B．（几何证明选讲）如右图，直线与圆相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，,则_________．C．（不等式选讲）若存在实数使成立，则实数的取值范围是_________．【答案】A.；B．；C．【解析】A.先把直线l和圆C的参数方程化为普通方程y=x+1，（x-2）2+y2=1，再利用点到直线的距离公式求出即可．B．在圆中线段利用由切割线定理求得PA，进而利用直角三角形PCO中的线段，结合面积法求得CE即可．C.由绝对值的基本不等式得：，解得－3≤m≤1.【考点】(1)参数方程；（2）圆的性质；（3）绝对值不等式.11.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】(1) (2)【解析】(1)可以采用零点分段法或者绝对值的定义来解决该绝对值不等式,其中零点分段法即把x分为三段讨论去掉绝对值来求的该不等式的解集，而绝对值的定义,即表示在数轴上点x到-1和a的距离之和,利用数轴即可得到相应的解集(2)首先由区间的a,再根据x的范围去掉绝对值，剩下即为恒成立问题,再利用分离参数法分离x与a,求出x一边的最值即可.解得a的范围.试题解析：（1）由题得a=2，法一.利用绝对值的定义,即|x+1|即为在数轴上x与-1之间的距离,|x-2|是x与2之间的距离.故利用数轴法可以求的,综上的解集为.法二.零点分段法，分为一下三种情况当x>2时,当-1x2时,当x<-1时,综上的解集为.（2）由题得,所以且,即在区间上恒成立,所以,综上a的取值范围为.【考点】绝对值不等式恒成立问题12.不等式的解集是【答案】【解析】解答本题可利用“分段讨论法”，也可利用“几何法”，根据绝对值的几何意义，结合数轴得，不等式的解集是.【考点】绝对值不等式的解法13.已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．【答案】【解析】因为，所以的最小值为.因为函数的图象恒在轴上方，所以因此有，解得．试题解析：解：的最小值为， 5分由题设，得，解得． 10分【考点】绝对值不等式的应用14.已知函数f(x)＝|x－a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1) a＝2 (2) (－∞，5]【解析】(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以解得a＝2.(2)方法一：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，当且仅当－3≤x≤2时等号成立，得g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．方法二：当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|.于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝所以当x＜－3时，g(x)＞5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x＞2时，g(x)＞5.综上可得，g(x)的最小值为5.从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，实数m的取值范围为(－∞，5]．15.解不等式：x＋|2x－1|＜3.【答案】{x|－2＜x＜}【解析】原不等式可化为或解得≤x＜或－2＜x＜.所以不等式的解集是{x|－2＜x＜}．16.若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.【答案】2【解析】由|kx－4|≤2⇔2≤kx≤6.∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.17.已知不等式|x＋2|＋|x|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是()．A．(－∞，2)B．(－∞，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【答案】D【解析】因为|x＋2|＋|x|的最小值为2，所以要使不等式的解集不是空集，则有a≥2.18.若存在实数使得成立，则实数的取值范围为.【答案】【解析】在数轴上，表示横坐标为的点到横坐标为的点距离，就表示点到横坐标为1的点的距离，∵，∴要使得不等式成立，只要最小值就可以了，即，∴．故实数的取值范围是，故答案为：．【考点】绝对值不等式的解法．19.不等式的解集是．【答案】【解析】含绝对值的不等式我们可以通过根据绝对值的定义通过分类讨论的方法去掉绝对值符号，然后解决问题，本题也可不分类讨论，首先不等式变形为，它等价于，这是二次不等式，解得，还要注意题目要求写成集合形式．【考点】解不等式．20.若关于x的不等式的解集为空集，则实数a的取值范围是。
含绝对值不等式练习题
含绝对值不等式练习题绝对值不等式是数学中的一种重要的概念和工具，它在解决实际问题和推导数学定理时起着重要的作用。
在学习绝对值不等式时，我们需要掌握一些基本的性质和解题方法。
下面，我将通过一些练习题来帮助大家更好地理解和掌握绝对值不等式的应用。
练习题一：求解不等式|x-3|<5。
解法一：我们可以将不等式|x-3|<5拆分成两个不等式，即x-3<5和x-3>-5。
解得x<8和x>-2。
将这两个不等式合并，得到-2<x<8，即x的取值范围为-2到8之间。
解法二：我们可以利用绝对值的定义来解这个不等式。
根据绝对值的定义，|x-3|<5等价于-5<x-3<5。
我们可以将这个不等式拆分成两个不等式，即-5<x-3和x-3<5。
解得x>2和x<8。
将这两个不等式合并，得到2<x<8，即x的取值范围为2到8之间。
练习题二：求解不等式|2x-1|>3。
解法一：我们可以将不等式|2x-1|>3拆分成两个不等式，即2x-1>3和2x-1<-3。
解得x>2和x<-1。
将这两个不等式合并，得到x的取值范围为负无穷到-1并且2到正无穷。
解法二：我们可以利用绝对值的定义来解这个不等式。
根据绝对值的定义，|2x-1|>3等价于2x-1>3或者2x-1<-3。
解得x>2或者x<-1。
将这两个不等式合并，得到x的取值范围为负无穷到-1并且2到正无穷。
练习题三：求解不等式|3x+2|-4<1。
解法一：我们可以将不等式|3x+2|-4<1拆分成两个不等式，即|3x+2|<5和|3x+2|>-3。
解得-5<3x+2<5和3x+2<-3或者3x+2>3。
将这三个不等式合并，得到-5<3x+2<5并且3x+2不等于-3。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.函数若不等式f（x）≥6的解集为（—∞，-2][4，+∞），则实数a的值为．【答案】3．【解析】∵a＞0，故f（x）=|x+1|+|x-a|=，∴当x≤-1时，解-2x+a-1≥6得：x≤；当-1＜x＜a时，f（x）=1+a；当x≥a时，解2x+1-a≥6得：x≥；又f（x）≥6的解集为（-∞，-2]∪[4，+∞），∴=-2且=4且1+a∈[4，+∞），解得a=3．故应填入：3．【考点】绝对值不等式的解法．2.设函数(1)求不等式的解集；(2)若不等式（，，）恒成立，求实数的范围．【答案】（1）;(2).【解析】(1)欲解不等式，需去掉绝对值，考虑到含有两个绝对值，因此分三段去，然后解.（2）要使不等式恒成立，则,考虑到不等式性质,不等式右侧可化简.试题解析：去绝对值，函数可化为,分三段解不等式，可得解集为：.由, 可得, 由（1）可解得：【考点】（1）含绝对不等会的解法；（2）恒成立问题（一般采用分离常数）.3.不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原不等式等价于或，解得或，∴不等式的解集为.【考点】解绝对值不等式.4.已知实数满足，证明：.【答案】见解析【解析】有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。
证明：证法一，∴，，∴，. 2分∴，即， 4分∴，∴， 6分即，∴. 8分证法二：要证，只需证 2分只需证只需证 4分即. 6分，∴，，∴成立.∴要证明的不等式成立. 8分【考点】绝对值不等式；不等式证明的基本方法.5.设a,b为满足ab<0的实数，那么（）A．|a+b|>|a-b|B．|a+b|<|a-b|C．|a-b|<|a|-|b|D．|a-b|<|a|+|b|【答案】B【解析】用赋值法，；令代入检验，A项为，不成立，C项为，不成立，，不成立.故选B.【考点】绝对值不等式点评：对于有些问题，若能根据其具体情况，合理地、巧妙地对某些元素赋值，特别是赋予确定的特殊值（如0，1，-1等），往往能使问题获得简捷有效的解决．6.若关于的不等式的解集包含，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】不等式化为，所以，即有，所以，又因为不等式的解集包含，所以，解得的取值范围为。
高二数学绝对值不等式试题
高二数学绝对值不等式试题1.设函数.（1）解不等式；（2）若对一切实数均成立，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】：（1）理解绝对值的几何意义，表示的是数轴的上点到原点离.（2）对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1），（2）（3）的应用.（4）掌握一般不等式的解法：，.试题解析：（1）即，解得：。
解集为 5分（2）=10分【考点】（1）考察绝对值不等式的意义；（2）绝对值不等式的应用.2.已知的解集为，则实数等于（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】因为的解集为，所以与是方程的两个根，所以，当时，，当时，无解，故选C．【考点】绝对值不等式．3.对于实数，若，则的最大值为（）A．4B．6C．8D．10【答案】B【解析】因为又因为，可得，故选B.【考点】绝对值不等式.4.不等式的解集是 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，即或，解得或【考点】解含绝对值不等式5.不等式选讲.设函数.（1）若解不等式；（2）如果关于的不等式有解,求的取值范围.【答案】（Ⅰ）原不等式的解为（Ⅱ）的取值范围为【解析】（Ⅰ）当时，由，得，①当时，不等式化为即所以，原不等式的解为②当时，不等式化为即所以，原不等式无解.③当时，不等式化为即所以，原不等式的解为综上，原不等式的解为 5分（说明：若考生按其它解法解答正确，相应给分）（Ⅱ）因为关于的不等式有解，所以，因为表示数轴上的点到与两点的距离之和，所以，解得，所以，的取值范围为 10分【考点】绝对值不等式的解法点评：中档题，绝对值不等式的解法，往往从“去”绝对值的符号入手，主要方法有“平方法”“分类讨论法”，有时利用绝对值的几何意义，会简化解题过程。
6.解不等式：【答案】或【解析】解：或或或【考点】绝对值不等式点评：解绝对值不等式，关键是去掉绝对值，这需要分布讨论。
7.若,使不等式在上的解集不是空集的的取值是A．B．C．D．以上均不对【答案】C【解析】不等式在上的解集不是空集，即不等式能够成立。
绝对值练习题及答案
绝对值练习题及答案绝对值是数学中常见的概念，它可以帮助我们计算数值的距离和大小。
在这篇文章中，我们将介绍一些绝对值的练习题，并提供相应的答案，帮助读者更好地理解和应用这个概念。
1. 练习题一：计算绝对值计算以下数的绝对值：-5, 10, -3.14, 0, 100.答案：绝对值是一个数到原点的距离，因此绝对值永远是非负数。
所以答案分别是：5, 10, 3.14, 0, 100.2. 练习题二：绝对值的性质根据绝对值的定义，我们可以得出以下性质：- 对于任意实数a，|a| ≥ 0，且当且仅当a = 0时，|a| = 0.- 对于任意实数a和b，有|ab| = |a| * |b|.- 对于任意实数a和b，有|a + b| ≤ |a| + |b|.3. 练习题三：绝对值的应用绝对值在实际生活中有着广泛的应用，例如：- 温度计上的温度差值就是绝对值的概念。
当我们说温度差为5度时，实际上是指两个温度之间的绝对值差为5.- 距离的计算也常常用到绝对值。
当我们计算两个点之间的距离时，实际上就是计算两个坐标的绝对值差。
- 绝对值还可以用于解决一些实际问题，例如计算误差、求解方程等等。
4. 练习题四：绝对值的计算计算以下表达式的值：|3 - 7| + |10 - 15|.答案：首先计算绝对值内的差值，得到：|-4| + |-5|. 然后计算绝对值，得到：4 + 5 = 9.5. 练习题五：绝对值的不等式解决以下绝对值不等式：|x - 3| ≤ 5.答案：我们可以将不等式分为两个部分来求解。
当x - 3 ≥ 0时，不等式变为：x - 3 ≤ 5，解得：x ≤ 8. 当x - 3 < 0时，不等式变为：-(x - 3) ≤ 5，解得：x ≥ -2. 综合起来，解集为：-2 ≤ x ≤ 8.通过以上的练习题，我们可以更深入地理解和应用绝对值的概念。
绝对值不仅仅是一个数学概念，它在实际生活中有着广泛的应用。
通过练习和掌握绝对值的计算和性质，我们可以更好地解决实际问题，并提高数学运算的准确性。
(完整版)含绝对值的不等式解法练习题及答案
例1 不等式｜8－3x|＞0的解集是[ ］A B RC {x|x }D {83}．．．≠．∅83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83答 选C ．例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是［ ］A ．3B ．2C ．－2D ．－5 分析 列出不等式．解 根据题意得2＜｜x ｜≤5．从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5,其中最小整数为－5, 答 选D ．例3 不等式4＜｜1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形．解 原不等式可化为4＜｜3x －1|≤7,即4＜3x －1≤7或－7≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383例4 已知集合A ＝{x|2＜｜6－2x|＜5，x ∈N}，求A ．分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜｜6－2x|＜5可化为2＜|2x －6｜＜5即－＜－＜，－＞或－＜－，52x 652x 622x 62⎧⎨⎩即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4⎧⎨⎩解之得＜＜或＜＜．4x x 211212因为x ∈N,所以A ＝｛0，1，5｝． 说明：注意元素的限制条件．例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 ［ ］A ．｜a －b ｜＜|a ｜＋|b|B ．|a ＋b ｜＞|a －b|C ．｜a ＋b|＜｜a －b|D ．|a －b ｜＜｜|a ｜＋｜b ｜｜分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号,∴ ｜a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ．例6 设不等式|x －a ｜＜b 的解集为｛x ｜－1＜x ＜2｝,则a ，b 的值为[ ]A ．a ＝1，b ＝3B ．a ＝－1，b ＝3C ．a ＝－1,b ＝－3D a b ．＝，＝1232分析 解不等式后比较区间的端点．解 由题意知，b ＞0,原不等式的解集为｛x ｜a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为｛x ｜－1＜x ＜2｝所以比较可得．a b 1a b 2a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．⎧⎨⎩1232 答 选D ．说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式｜2x －1|＜2m －1(m ∈R ） 分析 分类讨论．解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112式的解集为；∅若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12x ＜m ．综上所述得：当≤时原不等式解集为；当＞时，原不等式的解集为m m 1212∅｛x|1－m ＜x ＜m}．说明：分类讨论时要预先确定分类的标准．例解不等式－＋≥．8 3212||||x x分析 一般地说，可以移项后变形求解，但注意到分母是正数,所以能直接去分母．解 注意到分母|x ｜＋2＞0,所以原不等式转化为2（3－｜x|)≥|x|＋2，整理得|x|x {x|x }≤，从而可以解得－≤≤，解集为－≤≤．4343434343说明：分式不等式常常可以先判定一下 分子或者分母的符号，使过程简便．例9 解不等式｜6－|2x ＋1||＞1．分析 以通过变形化简，把该不等式化归为｜ax ＋b|＜c 或|ax ＋b ｜＞c 型的不等式来解． 解 事实上原不等式可化为6－|2x ＋1｜＞1①或 6－｜2x ＋1|＜－1②由①得|2x ＋1｜＜5，解之得－3＜x ＜2;由②得｜2x ＋1｜＞7，解之得x ＞3或x ＜－4．从而得到原不等式的解集为{x ｜x ＜－4或－3＜x ＜2或x ＞3｝． 说明:本题需要多次使用绝对值不等式的解题理论．例10 已知关于x 的不等式｜x ＋2|＋｜x －3｜＜a 的解集是非空集合,则实数a 的取值范围是________．分析 可以根据对|x ＋2｜＋|x －3｜的意义的不同理解，获得多种方法．解法一 当x ≤－2时，不等式化为－x －2－x ＋3＜a 即－2x ＋1＜a 有解，而－2x ＋1≥5, ∴a ＞5．当－2＜x ≤3时，不等式化为x ＋2－x ＋3＜a 即a ＞5．当x ＞3是，不等式化为x ＋2＋x －3＜a 即2x －1＜a 有解，而2x －1＞5，∴a ＞5． 综上所述:a ＞5时不等式有解,从而解集非空．解法二 ｜x ＋2|＋|x －3|表示数轴上的点到表示－2和3的两点的距离之和，显然最小值为3－（－2）＝5．故可求a 的取值范围为a ＞5．解法三 利用|m|＋|n ｜＞｜m ±n|得|x ＋2|＋|x －3｜≥|(x ＋2）－(x －3）|＝5． 所以a ＞5时不等式有解．说明：通过多种解法锻炼思维的发散性． 例11 解不等式|x ＋1｜＞2－x ．分析一 对2－x 的取值分类讨论解之． 解法一 原不等式等价于：①－≥＋＞－或＋＜－2x 0x 12x x 1x 2⎧⎨⎩或②－＜∈2x 0x R⎧⎨⎩由①得≤＞或＜－x 2x 1212⎧⎨⎪⎩⎪ 即≤＞，所以＜≤；x 2x x 21212⎧⎨⎪⎩⎪ 由②得x ＞2．综合①②得＞．所以不等式的解集为＞．x {x|x }1212分析二 利用绝对值的定义对|x ＋1|进行分类讨论解之． 解法二 因为|x 1| x 1x 1x 1x 1＋＝＋，≥－－－，＜－⎧⎨⎩原不等式等价于：①≥＞或②＜＞x x x x x x++-⎧⎨⎩+---⎧⎨⎩10121012由①得≥＞即＞；x x -⎧⎨⎪⎩⎪11212 x由②得＜－－＞即∈．x 112x ⎧⎨⎩∅所以不等式的解集为＞．{x|x }12例12 解不等式｜x －5|－|2x ＋3｜＜1．分析 设法去掉绝对值是主要解题策略，可以根据绝对值的意义分区间讨论，事实上，由于＝时，－＝，＝－时＋＝．x 5|x 5|0x |2x 3|032所以我们可以通过－，将轴分成三段分别讨论．325x解当≤－时，－＜，＋≤所以不等式转化为 x x 502x 3032－（x －5）＋(2x ＋3）＜1,得x ＜－7,所以x ＜－7；当－＜≤时，同理不等式化为32x 5－（x －5)－（2x ＋3）＜1，解之得＞，所以＜≤；x x 51313当x ＞5时，原不等式可化为 x －5－（2x ＋3）＜1，解之得x ＞－9,所以x ＞5．综上所述得原不等式的解集为＞或＜－．{x|x x 7}13说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略． 例13 解不等式|2x －1｜＞|2x －3|．分析 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝 对值，但这样比较复杂．如果采取两边平方，即根据＞＞解|a||b|a b 22⇔ 之，则更显得流畅，简捷．解 原不等式同解于(2x －1）2＞（2x －3)2，即4x 2－4x ＋1＞4x 2－12x ＋9，即8x ＞8，得x ＞1．所以原不等式的解集为{x|x ＞1}．说明：本题中，如果把2x 当作数轴上的动坐标,则|2x －1｜＞｜2x －3｜表示2x 到1的距离大于2x 到3的距离,则2x 应当在2的右边，从而2x ＞2即x ＞1．。
高二数学绝对值不等式试题答案及解析
高二数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式存在实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，不等式，化简可得，或，或．解出每个不等式组的解集，再取并集，即为所求．（2）令，则由绝对值的意义可得的最小值为，依题意可得，由此求得实数的取值范围．试题解析：（1）当时，不等式可化为，化简可得，或，或．解得或，即所求解集为．（2）令，则，所以的最小值为．依题意可得，即．故实数的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法；函数的零点．2.已知实数满足，证明：.【答案】见解析【解析】有已知条件，可得，，然后得到，展开进行整理即可。
证明：证法一，∴，，∴，. 2分∴，即， 4分∴，∴， 6分即，∴. 8分证法二：要证，只需证 2分只需证只需证 4分即. 6分，∴，，∴成立.∴要证明的不等式成立. 8分【考点】绝对值不等式；不等式证明的基本方法.3.设函数，．（1）解不等式：；（2）若的定义域为，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】（1）或或，不等式的解集为；（2）若的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，f（x）的最小值为2，所以m＞-2．【考点】本题考查了绝对值不等式的解法点评：问题（1）考查绝对值的代数意义，去绝对值的过程体现了分类讨论的思想方法，属中档题；问题（2）考查应用绝对值的几何意义求最值，体现了转化的思想，属中等题．4.若,使不等式在上的解集不是空集的的取值是A．B．C．D．以上均不对【答案】C【解析】不等式在上的解集不是空集，即不等式能够成立。
而由绝对值的几何意义，表示数轴上点到定点3,4的距离之和。
其最小值为1，所以，使不等式在上的解集不是空集的的取值是，选C。
【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义。
绝对值不等式练习题
第 1 页 共 3 页1、 不等式3|2||1|≥-+-x x 的解集是A 、 ),3[]0,(+∞-∞B 、]2,1[C 、 ),2[]1,(+∞-∞D 、 ]3,0[【答案】A2、函数46y x x =-+-的最小值为（ ）A ．2B ．2C ．4D ．6【答案】A 【解析】3、不等式|x-5|+|x+3|≥10的解集是（ ）（A ）[-5,7] （B ）[-4,6]（C ）(-∞,-5]∪[7，+∞) （D ）(-∞，-4]∪[6,+∞)【答案】D【解析】解：法一：当x=0时，|x-5|+|x+3|=8≥10不成立可排除A ，B当x=-4时，|x-5|+|x+3|=12≥12成立可排除C故选D法二：当x ＜-3时不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：-（x-5）-（x+3）≥10解得：x≤-4当-3≤x≤5时不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：-（x-5）+（x+3）=8≥10恒不成立当x ＞5时不等式|x-5|+|x+3|≥10可化为：（x-5）+（x+3）≥10解得：x≥6故不等式|x-5|+|x+3|≥10解集为：（-∞，-4]∪[6，+∞）故选D4、、不等式|x-1|+|x+2|5≥的解集为( )(A) (][)+∞-∞-,22, (B) (][)+∞-∞-,21,(C) (][)+∞-∞-,32, (D) (][)+∞-∞-,23,【答案】 D5、不等式323x x +--≥的解集为 【答案】{}1x x ≥ 6、不等式124x x -++≥的解集为__________． 【答案】53,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 7、如果关于x 的不等式45x x b --+≥的解集为空集，则实数b 的取值范围为 ．【答案】9b > 8、如果|2||5|x x a -++>恒成立，则a 的取值范围是 ．【答案】7a <【解析】，而恒成立，则，即．9、如果关于x 的不等式1020x x a -+-<的解集不是空集，则实数a 的取值范围为_____________.【答案】(10,)+∞ 101020x x -+-表示x 轴上的点到点10和20的距离和，因为x 轴上的点10和20的距离是10，所以1020x x a -+-<的解集不是空集的话a 10>. 10、选修4-5：不等式选讲已知不等式a x x 2432<-+-若1=a ，求不等式的解集；若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围。
高三数学绝对值不等式试题答案及解析
高三数学绝对值不等式试题答案及解析1.已知，且．（1）试利用基本不等式求的最小值；（2）若实数满足，求证：．【答案】（1）3（2）参考解析【解析】（1）由已知，且．即m可化为.由柯西不等式可得结论.（2）由（1）可得.再由柯西不等式即可得结论.（1）由三个数的均值不等式得：（当且仅当即时取“=”号），故有． 4分（2），由柯西不等式得：（当且仅当即时取“=”号）整理得：，即． 7分【考点】1.柯西不等式.2.绝对值不等式.2.已知f(x)=|x+1|+|x-1|,不等式f(x)的解集为M.(1).求M;(2).当a,b M时,证明:2|a+b|＜|4+ab|.【答案】（1）；（2）证明过程详见解析.【解析】本题主要考查绝对值不等式、不等式的证明等基础知识，意在考查考生的运算求解能力、利用综合法、分类讨论思想的解题能力．第一问，利用零点分段法分别去掉绝对值，解不等式；第二问，可先用分析法由所求证的结论入手，分析需要证明什么，再用综合法证明，要证2|a+b|＜|4+ab|，需证明，展开，需证明，由已知入手，找到，，从而证出.试题解析：（1）由，即，当时，则，得，∴；当时，则，得，恒成立，∴；当时，则，得，∴；综上，. 5分（2）当时，则，.即：，，∴，∴，即，也就是，∴，即：，即. 10分【考点】绝对值不等式、不等式的证明.3.解不等式|2x－4|＜4－|x|.【答案】【解析】当x＞2时，原不等式同解于2x－4＜4－x，解得x＜，所以2＜x＜；当0≤x≤2时，原不等式同解于4－2x＜4－x，解得x＞0，所以0＜x≤2；当x＜0时，原不等式同解于4－2x＜4＋x，解得x＞0，所以x∈∅.综上所述，原不等式的解集为.4.若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|<a无解，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，8]【解析】因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋3|)＝8，∴当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|<a无解，min故实数a的取值范围为(－∞，8]．5.已知函数.（1）若的解集为，求实数的值.（2）当且时，解关于的不等式.【答案】（1）；（2）当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为.【解析】本题考查绝对值不等式的解法及利用解集求实数的值，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用绝对值不等式的解法求出的范围，让它和已知解集相同，列出等式，解出和的值；第二问，先将代入，得到解析式，再代入到所求不等式中，找到需要解的不等式，注意到当时，2个绝对值一样，所以先进行讨论，当时，按照解绝对值不等式的步骤，先列出不等式组，内部求交集，综合和的情况得到结论.试题解析：（Ⅰ）由得，所以解之得为所求． 4分（Ⅱ）当时，，所以当时，不等式①恒成立，即；当时，不等式或或，解得或或，即；综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为． 10分【考点】1.绝对值不等式的解法.6.若存在实数使成立，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】令，易知的最小值为，故，所以.【考点】绝对值不等式的解法点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值的几何意义，得到|a-1|≤3是关键，也是难点，考查分析问题、转化解决问题的能力，属于中档题．7.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式：的整数解有且仅有一个值为2．（1）求整数的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：．【答案】（1），。