算法、简单线性规划问题、优选法
求线性规划问题的最优解
求线性规划问题的最优解：121212123max 2322124 16.. 5 15,,0z x x x x x s t x x x x =++≤⎧⎪≤⎪⎨≤⎪⎪≥⎩ 方法1：图解法。
（P15 图1-3）方法2：求出所有的基可行解，然后比较目标值的大小得到最优解。
（P14表1-1）方法3：单纯形法。
第一步，将模型转化为标准型。
12345123142512345max 2300022 12 (1)4 16 (2).. 5 15 (3),,,,0z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x =++++++=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪≥⎩ 221004001005001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭秩A=3 第二步，求初始基可行解。
取()345100 010001B P P P ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭作为初始基矩阵，345, , x x x 为基变量，12, x x 为非基变量，令12=0,x x =得到初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =，目标值(0)0.z =第三步，对初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X =进行最优性检验。
基可行解()(0)0,0,12,16,15X =对应的目标值为(0)0z =，因为12023z x x =++，只要1>0x 或者2 0x >，目标值都会比(0)0z =大，即12or x x 之一作为基变量，目标值都会增大，故初始基可行解()(0)0,0,12,16,15X=不是最优解。
第四步，作基变换，求目标值比(0)0z =更大的基可行解。
① 确定换入基变量。
由第三步可知，12, x x 都可作为换入基变量，一般地，{}121122*********, 0,0. max ,z x x x x σσσσσσσ=++=++≥≥=。
2 x 作为换入基变量。
这里12,σσ称为基可行解(0)X 非基变量12, x x 的检验数。
线性规划的解与最优解知识点总结
线性规划的解与最优解知识点总结在现实生活和工作中，我们经常会遇到需要最优化某个目标函数的问题。
线性规划作为一种常见的数学优化方法，在各个领域中得到了广泛应用。
它能够帮助我们在一定的约束条件下，找到目标函数的最佳解。
本文将对线性规划的解与最优解的相关知识点进行总结。
1. 基本概念线性规划问题由目标函数和一组线性约束条件组成。
目标函数的形式通常是最大化或最小化一些变量的线性组合，而约束条件则给出了这些变量的取值范围。
线性规划问题的一般形式如下：```max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0```其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右边常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
2. 解的存在性线性规划问题存在三种解的情况：无解、有界解和无界解。
如果约束条件与目标函数之间存在矛盾，例如出现一个约束条件为 a₁₁x₁ +a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁，而目标函数的系数为 c₁ > a₁₁，那么这个线性规划问题就没有解。
有界解指的是线性规划问题在满足所有约束条件的情况下，能够找到目标函数的最大值或最小值。
无界解意味着目标函数可以无限制地增大或减小。
3. 最优解的性质线性规划问题的最优解具有以下性质：- 最优解必然出现在可行域的顶点上。
可行域是指所有满足约束条件的解的集合，而顶点则指可行域的边界上的点。
- 如果最优解存在，那么至少存在一个顶点是最优解。
- 如果可行域是有限的，则一定存在一个顶点是最优解。
- 如果最优解存在，那么一定有一条或多条约束条件在最优解上取等号。
线性规划问题的解法
线性规划问题的解法线性规划（Linear Programming，LP）是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最大化或最小化目标函数的问题。
线性规划问题在经济学、管理学、工程学等领域都具有广泛的应用，其求解方法也十分成熟。
本文将介绍线性规划问题的常用解法，包括单纯形法和内点法。
一、单纯形法单纯形法是解决线性规划问题最常用的方法之一。
它通过在可行解空间中不断移动，直到找到目标函数的最优解。
单纯形法的基本步骤如下：1. 标准化问题：将线性规划问题转化为标准形式，即将目标函数转化为最小化形式，所有约束条件均为等式形式，且变量的取值范围为非负数。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，可以通过人工选取或者其他启发式算法得到。
3. 进行迭代：通过不断移动至更优解来逼近最优解。
首先选择一个非基变量进行入基操作，然后选取一个基变量进行出基操作，使目标函数值更小。
通过迭代进行入基和出基操作，直到无法找到更优解为止。
4. 结束条件：判断迭代是否结束，即目标函数是否达到最小值或最大值，以及约束条件是否满足。
单纯形法的优点是易于理解和实现，而且在实际应用中通常具有较好的性能。
但是，对于某些问题，单纯形法可能会陷入循环或者运算效率较低。
二、内点法内点法是一种相对较新的线性规划求解方法，它通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解。
与单纯形法相比，内点法具有更好的数值稳定性和运算效率。
内点法的基本思想是通过将问题转化为求解一系列等价的非线性方程组来求解最优解。
首先，将线性规划问题转化为等价的非线性优化问题，然后通过迭代求解非线性方程组。
每次迭代时，内点法通过在可行解空间的内部搜索来逼近最优解，直到找到满足停止条件的解。
内点法的优点是在计算过程中不需要基变量和非基变量的切换，因此可以避免单纯形法中可能出现的循环问题。
此外，内点法还可以求解非线性约束条件下的最优解，具有更广泛的适用性。
三、其他方法除了单纯形法和内点法，还有一些其他的线性规划求解方法，如对偶方法、割平面法等。
线性规划化问题的简单解法
简单线性规划问题的几种简单解法依不拉音。
司马义（吐鲁番市三堡中学，838009）“简单的线性规划问题”属于高中数学新课程必修5，进入了高考试题，并且保持了较大的考察比例，几乎是每年高考的必考内容，也是高中数学教学的一个难点。
简单的线性规划是指目标函数只含两个自变量的线性规划。
简单线性规划问题的标准型为：1112220(0)0(0),(),0(0)m m m A x B y C A x B y C m N z Ax By A x B y C +++≥≤⎧⎪++≥≤⎪∈=+⎨⎪⎪++≥≤⎩L约束条件 目标函数 ，下面介绍简单线性规划问题的几种简单解法。
1. 图解法第一步、画出约束条件表示的可行区域，这里有两种画可行区域的方法。
⑴代点法：直线Ax+By+C=0（c 不为0）的某侧任取一点，把它的坐标代入不等式，若不等式成立，则不等式表示的区域在该点的那一侧；若不成立，则在另一侧。
⑵B 判别法：若Ｂ＞0（＜０），则不等式Ax+By+C ＞0（＜０）表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的上方；若Ｂ＞０（＜０），则不等式Ax+By+C ＜０(＞0)表示的区域在直线Ax+By+C ＝0的下方。
（即若B 与0的大小方向跟不等式的方向相同，则可行区域是边界线的上方；若B 与0的大小方向与不等式的方向相反，则可信分区域是边界线的下方）用上面的两种方法画出可行区域是很简单，所以这里不必举例说明。
第二步、在画出的可行区域内求最优解（使目标函数取最大值或最小值的点），这个可以用下面的两种办法解决。
⑴y 轴上的截距法：若b >0，直线y a b x z b=-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，便是z 取得最大值（最小值）的点；若b <0，直线y a b x z b =-+所经过可行域上的点使其y 轴上的截距最大（最小）时，是z 取得最小值（最小值）的点（提醒：截距不是距离，截距可以取正负）。
简单的线性规划问题
简单的线性规划问题一、基本知识1.规划问题中的可行域，实际上是二元一次不等式（组）表示的平面区域，是解决线性规划问题的基础。
因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0) （若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧。
2.在求线性目标函数z=ax+by的最大值或最小值时，设ax+by=t，则此直线往右（或左）平移时，t值随之增大（或减小）。
要会在可行域中确定最优解。
3.新概念:①线性约束条件②线性目标函数③线性规划问题④可行解⑤可行域⑥最优解4.重要的思想方法：数形结合化归思想5.解线性规划问题总体步骤：设变量→ 找约束条件，找目标函数找出可行域求出最优解二、典型例题：例1．某工厂生产甲，乙两种产品，已知生产甲种产品1t，需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t, 生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t，每1t甲种产品的利润是600元。
每1t乙种产品的利润是1000元。
工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，甲，乙这两种产品应各生产多少。
（精确到1t)。
能使利润总额达到最大？解：设生产甲，乙两种产品分别为x(t), y(t)，利润总额为Z元，则，Z=600x+1000y。
作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域。
作直线600x+1000y=0即3x+5y=0。
将直线向上平移到如图位置，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，即Z 取最大值。
得x=360/29≈12。
y=1000/29≈34。
例2．某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周生产空调器，彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？解：设每周生产空调器，彩电，冰箱分别为x 台，y 台，z 台，每周产值为f 元，则f=4x+3y+2z，其中x, y, z满足由(1),(2)得y=360-3x, z=2x。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
线性规划问题的解法与最优解分析
线性规划问题的解法与最优解分析线性规划是一种数学建模方法，用于解决最优化问题。
它在工程、经济学、管理学等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性规划问题的解法和最优解分析。
一、线性规划问题的定义线性规划问题是指在一定的约束条件下，求解一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
线性规划问题的数学模型可以表示为：max/min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙsubject toa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数的值，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数中的系数，a₁₁,a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件中的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件中的常数，x₁,x₂, ..., xₙ为决策变量。
二、线性规划问题的解法线性规划问题的解法主要有两种：图形法和单纯形法。
1. 图形法图形法适用于二维或三维的线性规划问题。
它通过绘制约束条件的直线或平面以及目标函数的等高线或等高面，来确定最优解。
首先，将约束条件转化为不等式，并将其绘制在坐标系上。
然后，确定目标函数的等高线或等高面，并绘制在坐标系上。
最后，通过观察等高线或等高面与约束条件的交点，找到最优解。
图形法简单直观，但只适用于低维的线性规划问题。
2. 单纯形法单纯形法是一种迭代的求解方法，适用于高维的线性规划问题。
它通过在可行域内不断移动，直到找到最优解。
单纯形法的基本思想是从初始可行解开始，每次通过找到一个更优的可行解来逼近最优解。
它通过选择一个基本变量和非基本变量，来构造一个新的可行解。
然后，通过计算目标函数的值来判断是否找到了最优解。
如果没有找到最优解，则继续迭代，直到找到最优解为止。
单纯形法是一种高效的求解线性规划问题的方法，但对于大规模的问题，计算量会很大。
运筹学的优化算法
运筹学的优化算法运筹学是一门研究如何对复杂问题进行优化的学科，通过利用数学、统计学和计算机科学等方法，运筹学可以帮助解决各种决策和优化问题。
在该领域中，存在着许多不同的优化算法，下面将介绍其中几种常见的算法。
1. 线性规划（Linear Programming，LP）：线性规划是一种常见的数学规划方法。
它的目标是优化一个线性目标函数，同时满足一组线性约束条件。
通过将问题转化为标准形式（即将约束条件和目标函数都表示为线性等式或不等式），线性规划可以使用诸如单纯形法、内点法等算法进行求解。
2. 整数规划（Integer Programming，IP）：整数规划是一种在线性规划的基础上，引入了变量为整数的约束条件。
这样的问题更具挑战性，因为整数约束使得问题成为NP困难问题。
针对整数规划问题，常用的方法包括分支定界法、回溯法、割平面法等。
3. 非线性规划（Nonlinear Programming，NLP）：与线性规划不同，非线性规划的目标函数或约束条件至少有一个是非线性的。
非线性规划的求解需要使用迭代算法，例如牛顿法、拟牛顿法、遗传算法等。
这些算法通过逐步优化解来逼近最优解。
4. 动态规划（Dynamic Programming，DP）：动态规划通过将问题分解为子问题，并使用递归方式求解子问题，最终建立起最优解的数学模型。
动态规划方法常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
例如，背包问题、最短路径问题等。
5. 启发式算法（Heuristic Algorithm）：启发式算法是一种近似求解优化问题的方法，它通过启发式策略和经验知识来指导过程，寻找高质量解而不必找到最优解。
常见的启发式算法包括模拟退火算法、遗传算法、粒子群算法等。
6. 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）：蒙特卡洛模拟是一种基于概率的数值模拟方法，用于评估随机系统中的不确定性和风险。
它通过生成大量随机样本，并使用这些样本的统计特征来近似计算数学模型的输出结果。
线性规划问题的四种求解方法
2x +3y ≥160 ∴ 3x -y ≥130
x ≥0 y ≥0 成本 c =400 +7x +5y
令 7x +5y =λ(2 x +3y )+μ(3x -y)(λ、
μ是待定系数)
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即 可行域 .可行域为一五边形 , 五个顶点对应的 z 值如下表
(x , y) (0, 0)(4, 0)(4, 2)(2, 3)(0 , 3) z = 200x +300y 0 800 1400 1300 900
乙地
5
9
6
10x +20y ≤130
则 4000 x +1000y ≤24000
x ≥0 y ≥0 x +2y ≤13
即 4x +y ≤24 x ≥0 ,y ≥0 总年利润 z =12x +18y
作出以上不等式组所表示的平面区域 , 即
可行域 .由 z =12x +18y 得y =-23 x +1z8 , 则
美元 .但政府核准的外汇是 130 万美元 , 并要求 该种产品分别为 200 吨 、450 吨和 400 吨 .每吨
总维护费不得超过人民币 24000 元 .问每种机 运费如下表(单位 :元):
器应购买多少台时 , 才能使工厂获得的年利润 最大 ?
解 :设购买第一种机 器
A
B
C
甲地
6
3
5
x 台 , 购买第二种机器 y上点 C 成本如下表 :
时 , 等值线的值最小 .z 有最小值 5650 元 , 此时 x =0 、y =300 , 故甲地产品运往 B 地 ;乙地产 品运往 A 、B 、C 三地分别为 200 吨 、150 吨 、400
简单线性规划
简单线性规划线性规划（Linear Programming，LP）是一种运用数学方法，以规定的约束条件为前提，通过建立数学模型，求解线性目标函数最大或最小值的一种优化方法。
线性规划方法可用于解决许多实际问题，如资源分配、生产计划、物流管理等。
线性规划的基本形式是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性的目标函数。
目标函数和约束条件必须是线性的，即目标函数和约束条件中的变量的系数必须为常数。
例如，假设有两种可供选择的产品A和B，它们的产量分别为x和y。
目标是通过调整x和y的值，使得总利润最大化。
同时，需要考虑的约束条件包括资源的使用限制、产品的产能限制等。
如果将总利润表示为目标函数，资源使用和产能限制等表示为约束条件，那么这个问题可以用线性规划的方法来解决。
线性规划的解法有多种，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法基于一个重要的性质，即在一个凸多边形的顶点上，目标函数的最优解一定存在。
单纯形法通过迭代计算，逐步接近最优解，直到找到最优解为止。
此外，还有其他的方法来解决线性规划问题，如对偶理论、内点法等。
线性规划的应用十分广泛。
在资源有限的情况下，如何合理地分配资源是一个重要的问题。
例如，在生产计划中，如何安排生产任务，对产品的产量进行合理分配，以最大化利润；在物流管理中，如何合理地安排货物的运输路线，以最小化运输成本等。
线性规划提供了一种直观且有效的工具，可以帮助我们在有限的资源下得到最优的解决方案。
尽管线性规划方法在许多场景下表现良好，但它也有一些局限性。
首先，线性规划要求目标函数和约束条件都是线性的，因此对于非线性的问题，线性规划方法并不适用。
其次，线性规划方法在求解大规模问题时可能面临计算复杂度的问题。
不过，有许多方法可以对线性规划的问题进行转化，从而将非线性问题转化为线性问题，或者通过并行计算等方法来加快计算速度。
总的来说，线性规划是一种强大的优化工具，可用于解决各种实际问题。
它的优势在于简单、直观，能够得到全局最优解。
线性规划与最优化问题的求解算法
线性规划与最优化问题的求解算法线性规划（Linear Programming）是数学中一种重要的优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
在实际应用中，线性规划被广泛运用于工程、经济、管理等领域，是一种强大的决策分析工具。
为了解决线性规划及其他最优化问题，人们开发了多种求解算法。
一、单纯形法（Simplex Method）单纯形法是最常用的线性规划求解方法之一。
它通过不断迭代来寻找问题的最优解。
单纯形法的基本思想是通过交换变量的值来达到更优解的目的。
在每次迭代中，通过选择一个入基变量（进入基本解）和一个出基变量（离开基本解），逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
二、内点法（Interior Point Method）内点法是另一种有效的线性规划求解算法。
与单纯形法不同的是，内点法从问题的内部（可行解域）开始搜索最优解，而不是从边界（顶点）开始。
内点法的核心思想是通过迭代找到目标函数值逼近最优解的过程。
内点法相对于单纯形法在大规模问题上具有更高的求解效率，但在处理一些特殊问题时可能存在较大的挑战。
三、分支定界法（Branch and Bound Method）分支定界法是一种通用的最优化问题求解算法，适用于各种类型的优化问题，包括线性和非线性规划问题。
它通过将问题划分为一系列子问题，并逐步缩小最优解的搜索范围，最终找到全局最优解。
分支定界法具有较高的可行性和可靠性，但在处理大规模问题时存在计算复杂性的问题。
四、梯度下降法（Gradient Descent Method）梯度下降法是一种常用于非线性规划问题的求解方法。
它利用函数的梯度信息来指导搜索方向，并通过迭代逐步优化目标函数的值。
梯度下降法有多种变体，包括批量梯度下降法、随机梯度下降法等。
梯度下降法在非凸问题的求解上具有较好的效果，但可能存在陷入局部最优解和收敛速度慢等问题。
总结：线性规划及最优化问题是现实生活中经常遇到的一类问题，求解这类问题的算法也因此应运而生。
解线性规划问题的常见方法与策略
解线性规划问题的常见方法与策略线性规划是数学中的一类优化问题，目标函数和约束条件都是线性的。
线性规划在运筹学、经济学、管理学、工程学等领域得到了广泛的应用。
本文将介绍解决线性规划问题的常见方法与策略。
1. 模型建立在解决线性规划问题之前，应该先建立数学模型。
模型主要包含目标函数和约束条件。
通常需要对问题进行分析和抽象，确定需求变量、决策变量、目标和限制条件。
建立好模型后，就可以应用各种算法进行求解了。
2. 单纯性法单纯性法是一种直接、高效的线性规划求解方法，也是最为广泛应用的方法。
它通过不断的交替基变换来逐步靠近最优解。
具体而言，单纯性法首先选择一个基本可行解，然后通过行变换和列变换找到下一个更优的基本可行解，直到找到最优解或者无法继续优化为止。
3. 对偶理论对偶理论是解决线性规划问题的另一种方法，它将线性规划问题转化为一个对偶问题。
对偶问题又称对偶线性规划，它的目标函数与原问题的约束条件有关。
对偶问题可以通过单纯性法或其他优化方法来求解，从而得到原问题的最优解。
4. 网络流算法网络流算法是一种常用的线性规划求解方法，它通过流量平衡条件和容量限制条件来描述约束条件。
将线性规划问题转化为网络流问题，然后应用最大化流算法或最小费用最大流算法求解。
5. 分支定界法分支定界法是一种可以求解任何类型的数学规划问题的通用方法。
其基本思想是将问题分解成多个子问题，然后用分支定界法求解。
分支定界法可以解决较小规模的线性规划问题，但是对于大规模问题求解效率较低。
综上所述，单纯性法、对偶理论、网络流算法和分支定界法是解决线性规划问题的常见方法。
在实际应用中，应该结合问题的特点和求解效率选择合适的方法和策略。
教学设计4：3.3.2 简单的线性规划问题（二）
3.3.2 简单的线性规划问题(二)教学目标1.了解实际生活中线性规划问题的最优整数解求法．2.会解决生活中常见的线性规划问题． 教学引导知识点一 求解线性规划最优整数解的方法1．平移找解法：先打网络、描整点、平移直线l ，最先经过或最后经过的整点便是最优解，这种方法需充分利用非整数最优解的信息，结合精确的作图进行．当可行域是有限区域且整点个数又较少时，可逐个将整点坐标代入目标函数求值，经比较求最优解．2．调整优值法：先求非整点最优解及最优值，再借助不定方程知识调整最优解，最后筛选出整点最优解．3．由于作图有误差，有时由图形不一定能准确而迅速地找到最优解，此时将可能的解逐一检验即可．知识点二 线性规划问题的实际应用1．线性规划的理论和方法主要用于解决以下两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、财力、物力、资金等资源来完成该项任务． 2．求解线性规划应用题的步骤教学检测1．可行域内的整点指横坐标、纵坐标均为整数的点．( √ ) 2．在线性规划问题中，最优解一定是边界点．( × ) 教学案例题型一 求目标函数的最优整数解例1 画出2x －3<y ≤3表示的平面区域，并求出所有横坐标、纵坐标都为正整数的点．解 所给不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y >2x －3，y ≤3，其表示的平面区域如图(1)．对于2x －3<y ≤3的正整数解，再画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y >2x －3，y ≤3，x >0，y >0表示的平面区域，如图(2)所示．由图可知，在该区域内的横坐标、纵坐标都为正整数的点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)． 反思感悟 目标函数的最优整数解可能不止一个，有多个，注意不要漏写．跟踪训练1 若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a 的整点(x ，y )(整点是指横、纵坐标都是整数的点)恰有9个，则整数a 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 【答案】C【解析】不等式组所表示的平面区域如图阴影部分(含边界)所示，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)．当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)，5个整点．再加上a ＝0时的四个整点，共9个整点，故选C.题型二 生活中的线性规划问题例2 某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A ，B ，要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体安排．通过调查，有关数据如下表：产品A 产品B 搭载要求研制成本与搭载实验费用之和(万元/件)20 30 计划最大资金额300万元 产品质量(千克/件) 10 5 最大搭载质量110千克预计收益(万元/件)8060试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？ 解 设搭载A 产品x 件，B 产品y 件，预计总收益为z 万元，则目标函数为z ＝80x ＋60y .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋30y ≤300，10x ＋5y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤30，2x ＋y ≤22，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .画出可行域，如图阴影部分(含边界)所示．将z ＝80x ＋60y 变形为y ＝－43x ＋z60.作出直线l 0：4x ＋3y ＝0，并将其向右上方平移，由图象可知， 当直线l 0经过点M (整点)时，z 能取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝30，2x ＋y ＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝4，即M (9,4)． 所以z max ＝80×9＋60×4＝960(万元)．即搭载9件产品A,4件产品B ，可使得总预计收益最大，最大为960万元．反思感悟 (1)从实际问题抽象出约束条件时要选择适当的决策变量作为x ，y ．并用x ，y 把约束条件准确表达出来．(2)实际问题有时会要求整数解，但高考很少涉及．有兴趣的同学可以自行搜索相关资料． 跟踪训练2 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为________.货物 体积(m 3/箱)重量(50 kg/箱)利润(百元/箱)甲 5 2 20 乙 4 5 10 托运限制2413【答案】4,1【解析】设甲、乙两种货物应各托运的箱数为x ，y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤24，2x ＋5y ≤13，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .目标函数z ＝20x ＋10y ，画出可行域如图阴影部分(含边界)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝13，5x ＋4y ＝24，得A (4,1)． 易知当直线z ＝20x ＋10y 平移经过点A 时，z 取得最大值，即甲、乙两种货物应各托运的箱数分别为4和1时，可获得最大利润．如何从实际问题中建立线性规划模型从实际问题中建立线性规划模型一般有3个步骤 1．根据影响目标的因素找到决策变量． 2．由决策变量与目标的关系确定目标函数． 3．由决策变量所受限制确定约束条件．典例 某人准备投资1 200万兴办一所民办中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以班级为单位)：学段 班级学生人数配备教师数 硬件建设/万元 教师年薪/万元初中 45/班 2/班 26/班 2/人 高中40/班3/班54/班2/人因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜，试用数学关系式表示上述的限制条件． 解 设开设初中班x 个，开设高中班y 个，根据题意，总共招生班数应限制在20至30之间，所以有20≤x ＋y ≤30.考虑到所投资金的限制，得到26x ＋54y ＋2×2x ＋2×3y ≤1 200，即x ＋2y ≤40. 另外，开设的班数应为自然数，则x ∈N ，y ∈N . 把上面的四个不等式合在一起，得到⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，x ＋2y ≤40，x ∈N ，y ∈N .[素养评析] 1947年美国数学家G.B.Dantzing 为线性规划奠定基础，却水花不起；1951年美国经济学家T.C.库普曼斯把线性规划应用到经济领域，为此获1975年诺贝尔经济学奖．由此可见应用实践能力的重要．认识数学模型在科学、社会、工程等诸多领域的作用，提升应用能力、实践能力，是数学模型核心素养的培养目标之一.当堂检测1．直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个 【答案】B【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)．因为直线2x ＋y －10＝0过点A (5,0)，且其斜率为－2，小于直线4x ＋3y ＝20的斜率－43，所以只有一个公共点(5,0)，故选B.2．设点P (x ，y )，其中x ，y ∈N ，则满足x ＋y ≤3的点P 有( ) A ．10个 B ．9个 C ．3个 D ．无数个 【答案】A【解析】作出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤3，x ，y ∈N所表示的平面区域，如图中阴影部分的整点所示，由图知，符合要求的点P 有10个，故选A.3．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用为400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用为300元，可装洗衣机10台．若每辆货车至多运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2 000元B ．2 200元C ．2 400元D ．2800元【答案】B【解析】设需使用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，运输费用为z 元，根据题意，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≥100，0≤x ≤4，0≤y ≤8，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝400x ＋300y ，画出可行域(图略)可知，当x ＝4，y ＝2时z 取得最小值，z min ＝2 200，故选B. 4．若目标函数z ＝x ＋y ＋1在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，y ≤n ，x ≥－3下取得最大值的最优解有无穷多个，则n 的取值范围是________． 【答案】(2，＋∞)【解析】作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ＋2≤0，x ≥－3所表示的可行域，如图中阴影部分所示，要使目标函数z ＝x ＋y ＋1取得最大值的最优解有无穷多个，只需使目标函数对应的直线能平移到与可行域的边界直线x ＋y －2＝0重合，所以当n >2时，目标函数的最优解有无穷多个． 课堂小结1．画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图上操作尽可能规范．2．在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题．。
线性规划问题
线性规划问题线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束下的最优化问题。
早在20世纪40年代，线性规划就被广泛应用于军事、经济、运输等领域。
随着计算机技术的发展，线性规划在实际问题中的应用变得更加广泛。
线性规划问题由目标函数、约束条件以及决策变量组成。
目标函数是我们要最小化或最大化的数值量，约束条件是问题的限制条件，决策变量是我们需要确定的变量。
线性规划的数学模型可以表示为：最小化（或最大化）：C^T * X约束条件为：AX ≤ B, X ≥ 0其中，C是目标函数的系数向量，X是决策变量的向量，A是约束条件的系数矩阵，B是约束条件的右侧常数向量。
线性规划问题的求解方法主要有单纯形法和内点法。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断移动基变量和非基变量来寻找最优解。
内点法则通过寻找内点来逼近最优解，相比于单纯形法，内点法在高维问题上更有优势。
线性规划问题的应用非常广泛。
例如，在生产计划中，我们需要考虑资源的有限性和生产过程中的约束条件，通过线性规划可以优化生产计划，使生产成本最低。
在供应链管理中，线性规划可用于优化货物的选择和运输方式，最大化利润。
在金融领域，线性规划可用于投资组合分配的优化，以达到风险最小化或收益最大化。
线性规划的应用也面临一些挑战。
首先，线性规划问题的求解可能非常耗时，特别是在高维情况下。
其次，线性规划的模型只适用于线性问题，无法处理非线性的问题。
最后，线性规划问题的结果可能依赖于输入参数的准确性，如果参数不准确，可能导致结果的偏差。
为了克服这些挑战，研究人员一直在不断改进线性规划算法。
一些改进包括使用启发式算法来加速求解过程，使用混合整数线性规划来处理离散决策变量，以及引入鲁棒线性规划来处理参数不确定性。
总之，线性规划是一种强大的数学工具，可以用于解决各种实际问题。
虽然线性规划问题存在一些挑战，但通过不断改进算法和方法，我们可以提高线性规划的求解效率和准确性，使其在实际应用中发挥更大的作用。
数学知识点归纳线性规划与最优化问题
数学知识点归纳线性规划与最优化问题数学知识点归纳：线性规划与最优化问题数学作为一门学科，其中有很多重要的知识点需要我们去学习和掌握。
线性规划和最优化问题就是其中的两个重要知识点。
本文将对线性规划和最优化问题进行详细归纳和讲解。
一、线性规划线性规划是一种数学优化方法，其目标是在一组线性约束条件下，寻找一个线性目标函数的最大值或最小值。
线性规划广泛应用于工程、经济、管理等领域。
下面我们将逐步介绍线性规划的基本概念、模型和解法。
1. 问题的建模在线性规划中，我们需要确定目标函数、约束条件和决策变量。
目标函数是我们希望最大化或最小化的线性指标，约束条件限制了决策变量的取值范围。
通过确定这些要素，我们可以建立一个数学模型，描述出线性规划问题。
2. 单变量线性规划在单变量线性规划中，我们只有一个决策变量。
通过绘制目标函数和约束条件的图像，我们可以找到使目标函数取得最大值或最小值的决策变量。
3. 多变量线性规划在多变量线性规划中，我们有多个决策变量。
通过使用线性代数和数学优化方法，我们可以求解出目标函数的最优解。
4. 线性规划的解法求解线性规划问题的常用方法有单纯形法和内点法。
单纯形法是一种基于顶点的搜索方法，通过不断迭代改进目标函数的值，直到找到最优解。
内点法则是通过将问题转化为一系列约束条件更强的问题，逐步逼近最优解。
二、最优化问题最优化问题是数学分析中的一个重要问题领域，它涉及在一定约束条件下找出使目标函数取得最大值或最小值的问题。
最优化问题广泛应用于工程、经济和科学等领域。
下面我们将介绍最优化问题的基本概念和求解方法。
1. 单变量最优化问题在单变量最优化问题中，我们只有一个自变量。
通过求导、求极值点和判断二阶导数的符号，我们可以找到目标函数的最大值或最小值。
2. 多变量最优化问题在多变量最优化问题中，我们有多个自变量。
通过使用梯度下降法、牛顿法等数值优化方法，我们可以找到目标函数的最优解。
3. 最优化问题的约束条件最优化问题中的约束条件可以是等式约束或不等式约束。
线性规划与优化问题的求解
线性规划与优化问题的求解1. 引言线性规划是一种常见的优化方法，用于解决如生产调度、资源分配、投资组合等问题。
本文将介绍线性规划的基本概念和求解方法，并探讨一些典型的优化问题。
2. 线性规划的基本概念线性规划是数学规划的一种，其数学模型可以表示为：最大化（或最小化）目标函数约束条件其中，目标函数是线性的，表示需要最大化或最小化的目标；约束条件也是线性的，表示问题的限制条件。
3. 线性规划的求解方法线性规划可以使用各种求解方法来求解，包括单纯形法、内点法、分支定界法等。
这些方法都基于不同的思想和算法，但本质上都是通过迭代寻找最优解。
4. 单纯形法单纯形法是线性规划最经典的求解方法之一。
其基本思想是从一个可行解出发，通过迭代交换基变量和非基变量，逐步接近最优解。
内点法是一种相对较新的线性规划求解方法。
其核心思想是通过将线性规划问题转化为一系列的等价问题，通过迭代逐步接近最优解。
6. 分支定界法分支定界法是一种适用于整数线性规划的求解方法。
它将整数线性规划问题划分为一系列子问题，并通过剪枝策略逐步缩小搜索空间，直到找到最优解。
7. 典型的优化问题线性规划可以用于解决各种优化问题，下面介绍几个典型的应用场景。
7.1 生产调度问题在生产调度中，最大化利润或最小化成本是一个重要的目标。
线性规划可以帮助找到最优的生产调度方案，以实现生产效益的最大化。
7.2 资源分配问题在资源有限的情况下，如何合理分配资源是一个重要的问题。
线性规划可以帮助确定资源的最优分配方案，以最大限度地满足需求。
7.3 投资组合问题在投资决策中，如何选择资产组合以最大化收益或最小化风险是一个关键问题。
线性规划可以帮助投资者找到最优的投资组合策略。
本文介绍了线性规划的基本概念和求解方法，并探讨了一些典型的优化问题。
线性规划作为一种常见的优化方法，在实际问题中具有广泛的应用价值。
通过合理地应用线性规划，我们可以优化决策，提高效率，实现最佳效果。
运筹学中的优化算法与算法设计
运筹学中的优化算法与算法设计运筹学是一门研究如何通过优化决策来解决实际问题的学科。
而优化算法则是运筹学中的关键工具，旨在通过数学方法寻找最优解决方案。
本文将介绍运筹学中常用的优化算法，并讨论其设计和应用。
一、线性规划算法线性规划是运筹学中最基础的优化问题之一，其目标是在给定的线性约束条件下，寻找目标函数的最优解。
常用的线性规划算法包括单纯形算法和内点算法。
单纯形算法是一种迭代算法，通过在顶点之间的移动来逐步逼近最优解。
该算法在实践中表现优秀，但在某些情况下可能会出现效率较低的问题。
内点算法是一种基于路径追踪的算法，通过在可行域内寻找最优解。
相比于单纯形算法，内点算法能够更好地处理大规模问题和边界约束条件。
二、整数规划算法整数规划是线性规划的扩展，其决策变量被限制为整数。
由于整数规划问题的复杂性，常规求解方法往往难以找到最优解。
常用的整数规划算法包括分枝定界法和割平面法。
分枝定界法通过不断地将问题分解为子问题，并在每个子问题中进行求解，最终得到最优解。
该算法的关键在于选择合适的分枝策略，以尽可能地减少子问题的规模。
割平面法是一种利用线性不等式来减小可行域的方法。
通过引入额外的约束条件，该算法能够逐步逼近最优解。
割平面法在求解0-1整数规划等问题时表现出色。
三、进化算法进化算法是一类基于自然进化原理的优化算法，其灵感来源于生物的进化过程。
常见的进化算法包括遗传算法和粒子群优化算法。
遗传算法模拟自然界中的遗传过程，通过选择、交叉和变异等操作来生成新的解，并逐步逼近最优解。
该算法擅长于处理复杂的组合优化问题。
粒子群优化算法模拟鸟群中鸟离食物的搜索过程，通过不断地更新位置和速度来寻找最优解。
该算法对于连续优化问题有较好的效果。
四、模拟退火算法模拟退火算法是一种基于物理退火原理的全局优化算法。
该算法通过模拟金属退火过程中的原子运动来搜索最优解。
模拟退火算法的核心是在求解过程中引入随机性，通过接受劣解的方式跳出局部最优。
求解线性规划问题的算法
cB xB M x4 M x5
M x4 4 x1
1 x3 4 x1
1 x3 1 x2
4 1 1 MM x1 x2 x3 x4 x5 2 12 10 3 31 01
4-5M 1-4M 1-3M 0 0
b 4 3
J=7M
比值 4/ 2 3/3
0 -1 4/3 1 -2/3 2
3/2
307
-3 0 0 x4 x5 x6 100 110 -1 0 1 -4 0 0 1 00 3 10 0 01 -1 0 0
b
比值
6
6/1
3
3/-2
4
4/-1
J=6
6
6/1
15 15/3
10 10/0
J =-12
1 -2 1
cB xB x1 x2 x3 1 x1 1 1 3 0 x5 0 -2 1 0 x6 0 -1 6
=b2
a31u1+a32u2 +…….+a3nun +un+3
=b3
…
am1u1+am2u2 +…….+amnun u1>=0, u2>=0, ……. un+m>=0 b1>=0, b2>=0, ……. bm>=0
新问题的解就是原问题的解。
+un+m =bm
例：用大M法求解线性规划问题 Min J=4x1+x2 +x3 s.t . 2x1+x2 +2x3=4
4 继续寻找好的基本可行解x(2) 、x(3)、 x(4) ，使 目标函数值不断下降，直到目标函数值不可能 再被改进。
二由一个典范型化为另一个典范型的过程
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算法、简单线性规划问题、优选法
（一）算法
1.2010年上海世博会园区每天9：00开园，20：00停止入园．在下边的框图中，S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入________．
2.已知函数y＝下图表示的是给定x的值，求其对应的函数值y的程序框图．①处应填写__________；②处应填写__________．
3.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x＝__________.
4.某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内为( )
A．k＞4? B．k＞5? C．k＞6? D．k＞7?
第1题图第2题图第3题图第4题图5.下图是一个算法流程图，则输出S的值是__________．
6．123(6)=________(10) 123(10)=____________(2) 123(6)=_______________(2)
7.(111…1)(2)=________________(10)
共2011个1
(二)简单线性规划问题
8．设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为( )
A．0 B．2 C．4 D．6
9．若变量x ，y 满足约束条件 ，则2x ＋y 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝__________.
11．设不等式组 110330530x y x y x y 9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩
表示的平面区域为D ，若指数函数y=x a 的图像上存在
区域D 上的点，则a 的取值范围是_________________
12.设x ，y 满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的值是 最大值为12，则23a b
+的最小值为_________________
(三)优选法
13．在调式某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手中只有阻值（单位：Ω）为1，1.3，
1.5，2，3，3.5，4，4.5，5，6，8, 9等十二种阻值不等的定值电阻，那么用分数法找出的第1试点1x 和第2试点2x （2x >1x ）, 则1x = , 2x = , 3x = ,
14．在配置某种溶液时，需要加入一种材料，用80ml 的量杯计量加入量，该量杯的量程分
为8格，每格代表10ml ，若用分数法进行试验，则第1试点应安排在________ml 处.
15.炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出来的钢满足一定的指标要求。
假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某些元素的量在1000g 到2000g 之间,用黄金分割法进行试验,则第1试点应安排在________处.
16.某实验因素对应的目标函数是单峰函数,若用分数法需要从20个试验点中找到最佳点,则需要做试验的次数为___________
17. 用0.618法至少需要做_______次试验可使得精度为4618.0
18. 用0.618法至少需要做_______次试验可使得精度为0.01(21.0618.0lg -=) ⎪⎩
⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,00
20
63y x y x y x。