第二讲：线性规划算法

在新的基本可行解中，目标函数比原来增加了σkxk。 重复上述过程，直至所有的σj均≤0，得到最优解。因为 基本可行解的个数是有限的，因此在非退化(r(A)=m)情 况下，经有限次迭代必能达到最优解。
总结计算步骤：给定初始基B
步1.令xN=0,，xB=B-1b=b，z0=cBTxB ；
步2.检验数σj=cj-cBTB-1 Pj，σj≤0，停止，得最优解，否则 取σk＝max{σj}，转步3；
步3. 解yk=B-1Pk，若yk≤0，停止,不存在有限最优解.
否则转步4；
步4.计算
r＝min{
bi yik
|
yik
0}

br yrk
xk进基，xBr离基，用Pk替代PBr得新的可行基B， 转步1。
例：用单纯形法的基本思路求 解下面的线性规划问题：
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 C=(1500, 2500, 0, 0, 0)T
=


xMB1 ＝
bM1



y1k M
xk
xBm bm ymk
z z0 + (cj cBT B-1Pj)x j z0 + jxk jR
从目标函数看xk越大越好，但从可行性看xk又不能任意大。
若若yyiikk≤>00,,i为=1保,…证，可m行,x性k可，任即意xB取i=值bi-，yik此xk时≥0问，题应是取无界xk的；ybiik
xB xN



B-1b 0


0称为基本可行解，B为可行基
线性规划解的性质
▪ 可行域——凸集（凸多面体） ▪ 可行域非空——至多有有限个顶点 ▪ 最优解——若存在，必可在顶点达到 ▪ 线性规划的基本定理：线性规划的基本可行解就
是可行域的极点。 这一定理的重要性在于把可行域的极点这一几何 概念与基本可行解这一代数概念联系起来，因而 可以通过求基本可行解的线性代数的方法来得到 可行域的一切极点，从而有可能进一步获得最优 极点。
N为检验数，判别准则：当 N 0则得到最优解x(0) , 否则继续寻找改进的基本可行解 注 B cBT cBT B-1B＝0
3. 基变换——转轴变换
取某一非基变量xk→换入基（即让xk>0，其余非基变量仍为0） 同时，再从基变量中换出一个变量xBr→作为非基变量。
如何求换入变量xk和换出变量xBr？K=?，r=?
线性规划的单纯形算法
▪ 计算流程
初始基本可行解
是否最优解或 无限最优解?
Y
结束
N
沿边界找新
的基本可行解
1. 初始基本可行解的确定
从系数矩阵中找到一个可行基B，不妨设B由A的前 m列组成，即B=(P1,P2,……Pm)。进行等价变换－ －约束方程两端分别左乘B－1
即BxB +NxN =b, xB＝B-1b-B1Nx N
令x
N
=0,
得初始基本可行解x(0)


B-1b 0

对应的目标函数值z 0
=cTx(0)

(cBT
,
cT N
)
B-1b 0
பைடு நூலகம்


cBT
B-1b
2. 最优性检验
由AX=b,
x
B＝B-1b-B1Nx
，其目标函数值：
N
z=cT
x

(cBT
,
cT N
)
x x
令xk＝min{
bi yik
|
yik
0}

br yrk
注意：xBr=0
3. 基变换——转轴变换
新可行解：x‘=(xB1,…xBr-1,0,xBr+1,…,xBm,0,…，0,xk,0,…，0) 可以证明此解为新的基本可行解。这是因为原来的基 PB1,…,PBm线性无关，而yk=B-1Pk,故Pk=Byk=∑yikPBi， 而PBr的系数yrk≠0， 所以，用Pk代替Pr后的向量组PB1,…Pk,,…,PBm线性无 关，所以x’为基本可行解


xB xN

,
x
B为基变量，x
为非基变量
N
xn
代入约束：(B,N)
xB xN


b,即BxB
+Nx N
=b,
x B＝B-1b-B 1Nx N
令x
N
=0,
xB＝B-1b，称x=

xB xN



B-1b 0

为基本解

若x=

第二讲：线性规划算法
线性规划标准型
▪ 代数式maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 ……… am1x1+am2x2+…+amnxn=bm xj ≥0 j=1,2,…,n
线性规划标准型
▪ 和式：maxZ=∑cjxj ∑aijxj=bi i=1,2,…,m xj ≥0 j=1,2,…,n
s.t. 3 x1 + 2 x2 + x3 = 65
3 2 1 0 0
2 x1 + x2 + x4 = 40 3 x2 + x5 = 75
x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
A


2
0
1 3
0 0
1 0
0

1
b=(65, 40, 75)T
选 k

max{ jR
j
|
j

0}, 令xk

0, 其余非基变量＝0
由AX=b, xB＝B-1b-B1Nx N
0
M

xB＝B-1b-B（1 L
,PK ,L
）
xk


B-1b-B1Pk
xK
＝ b-Yk x k
M
0
3. 基变换——转轴变换
更详细地xB
B N


cBT
x
B
+cTN
x
N
cBT (B-1b-B-1Nx N )+cTN x N
cBT B-1b－(cBT B-1N－cTN )x N z0 +(cTN cBT B-1N)x N
z0 + (cj cBT B-1Pj)x j, R 非基变量下标集 jR
记 N cTN cBT B-1N 即 j cj cBT B-1Pj，j R
▪ 向量式：maxZ=CTX ∑pjxj=bi i=1,2,…,m xj ≥0 j=1,2,…,n
▪ 矩阵式： maxZ=CTX AX=b X ≥0
线性规划解的概念
分解
若A = (B, N )，其中B (P1, P2,…，Pm )可逆，称B为基矩阵
x1
相应地X＝
x
2
M