线 性 规 划 算 法 详 解

线性规划算法详解

线性规划

首先什么是线性规划，大致的定义我总结为在线性的目标和约束中，找出一个最优解。

举个例子：

M1和M2两种原料用于生产内外墙涂料，M1日最大可用量24吨，M2日最大可用量为6吨，外墙涂料每吨需要6吨M1，1吨M2，内墙涂料每吨需要4吨M12，吨M2，外墙涂料每吨利润5个单位，内墙涂料每吨利润4个单位。且市场需求调查数据得出，内墙日需求量不超过外墙的日需求量+1吨，内墙最大日需求量为2吨

怎样在这样的各个线性的条件中，得到最优的内外墙生产吨数，就是我们线性规划算法要做的事情。

设外墙生产x1吨,内墙生产x2吨,设利润为z，要得到z的最大化，也就是最优解，上述条件罗列为公式可得出

6x1+4x2=24

x1+2x2=6

-x1+x2=1

z=5x1+4x2

如何从这个公式中求出最优解？有以下两大方法

我们将上述约束条件画图，y轴为x2，x轴为x1，得出如下：圈红色的部分就是所有的可行解，表示这个区间内都的x1x2能满

足约束条件

对于我们的z函数，其实表示的是一条截距为z斜率为-(5-4)的线性直线，我们要求z最大化的最优解，就是在所有的可行区域内找到可以满足z曲线截距最大的点。

最后我们发现，可行区域内能让z函数达到最大截距的点就是我圈出来的那个角点，z再增大的话，就超出可行区域了，所以不满足要求，所以最终得出最优解为x1=3,x2=1.5

这就是图解法的做法，一个定理就是，线性规划的最优解总是发生在约束几何平面的角点上，例如上面圈出来的点，先当做是个定理，我也不知道怎么证明这个定理。

以上就是线性规划的图解法，优点是简单明了，缺点就是当参数超过3个时，我们很难直观画出一个jihe几何平面来找角点，所以我们需要下面的另一种解法。

单纯形法

当超过3个参数时，单纯形法就派上用场了，单纯形法首先要做的就是把方程化为标准形式：

所有的变量都是非负数

所有的约束都是等式(非负限制除外)，且具有非负的右端项像上述的方程，如果化为标准形式，将会是如下

6x1+4x2+s1=24

x1+2x2+s2=6

-x1+x2+s3=1

x2+s4=2

z=5x1+4x2+0s1+0s2+0s3+0s4

新加入的s1-4表示的是松弛变量(非负)，根据大于号小于号来决定他们的正负号

对于标准化形式，我们设有n个参数，设列举出的约束方程个数m，当m=n时，方程组就只有唯一的解，当mn时，说明有无穷个可行解，也就是解是一个区域。

例如y=x+1单独这个约束方程，那么可行解就是这条直线上的所有点，这个就是m=1,n=2的情况，如果再加上一个方程使得m=2，例如y=-x,则是唯一的解了，解为(-0.5,0.5)

由上面的定理，最优可行解必然出现在几何空间上的角点

几何角点的代数定义

对于一个m*n的方程组，我们另n-m个变量为0，再去在m个方程中求出其余的m个变量的值，如果有可行解，则这m个变量得出的点就是这个超几何平面的角点。

例如y=x+1,xy都非负，这里m=1我们就有两种角点情况，一种是x=0的角点，一种是y=0的角点，画图上便可只管看出。对于超3维的几何面也是如此类推，虽然我不知道如何直观证明，但这就是个定理。

所以我们线性规划最终zu做的事就是，找出适合的角点，并代入最优的z方程，哪个得出的z最优，哪个角点就是我们的最优解！

但当参数十分多时，角点的数量就十分庞大，所以我们需要一个

智能的搜索过程，来寻找出最优角点的位置。

进基离基

我们每一次的寻找角点称之为迭代，每一次我们都从原点，也就是非松弛变量全为0的时候开始

我们称令(n-m)个变量为0的这些变量为非基变量，令其余的m个变量为基变量。

从原点开始，我们计算完z值后，就要选择下一个角点来计算z，那么就需要迭代，选择一个基变量进行离基操作，并选择一个非基变量代替它，进行进基操作，从而得到下一个角点来计算z。

对于如何选择进基变量和离基变量，我们遵照如下条件

最优条件确定进基变量，在z方程上，选择一个能让z最可能往最优方向发展的变量进基，例如max z=3x1+5x2，x2的系数更高，x2非基(即非0)的话更能使z趋于最大化。

可行性条件确定离基变量，找出约束最小的那个进行离基，因为超过最小约束表明有约束不满足了，所以不能再往外扩展了。(具体操作是进行最小非负比计算，后面会继续讲)

通过这两个条件，我们就可以不用暴力穷举出所有的角点进行z 计算，大大减少了计算量，最后直到无最优条件可选了，再迭代时z 反而会适得其反时，最优解已经得到了，求解完成。

高斯-若尔当行运算

上面讲述的只是单纯形法的思路，具体的计算步骤就是高斯-若尔当行计算

回到上面的原料公式:

6x1+4x2+s1=24

x1+2x2+s2=6

-x1+x2+s3=1

x2+s4=2

z=5x1+4x2+0s1+0s2+0s3+0s4

由于最初我们从原点开始，所以基变量是s1-4，我们把基变量写在左侧则为

s1=24-6x1-4x2

s2=6-x1-2x2

s3=1-x2+x1

s4=2-x2

右边的系数为非基变量，左边为基变量，因为非基变量为0，所以左边的基变量的解值就是右边的常系数，也就是截距x1的系数为5 最能达到z最大化 ?x1在s1的方程中系数为-6,s1行的解值-进基变量系数的非负比最小(24-6 这里为了明显显示基变量，所以把一些参数挪到了右边，挪到左边过来就是6而不是-6，这个比值代表了新的角点的截距)，所以选择x1进基，s1出基假设我们错误的选择了s2离基，那么xi新角点上，x1的值就是6,而x1等于6超过了约束，因为24-6*60，而s1是非负的，所以必须选择最小非负比进行离基。

以s1离基，x1进基其实就是把右边的变量挪到左边以达到左边