线性规划的单纯形算法

如果 0, k 0,则 : f , f *即迭代后目标函数值非最优，这
是我们不希望的迭代，不必进行。
下面分几种情形讨论：
1）若最优基本可行解非退化，且所有非基变量的判别
数 j 0 , 则最优基本可行解是唯一的。
如果进行迭代, 因为非退化,则θ>0,又 k 0因此
f ' f * k f *
规则Ⅱ 若有几个 bi/ ik , (ik 0) 同时达到最小
那么选取其中下标最小的基变量作为出基变量，即若
i0
mini /
bi aik
,ik
0
x 则选 ji0为出基变量。
定理8 （Bland规则）对（SLP），在进行单纯形法迭
代时，如果按照上面的规则Ⅰ和Ⅱ选取入基 变量和出基变
量，就不会出现循环。
而在实际问题中，一个最优基本可行解就是一个实施 方案，如果有若干个方案都能达到最优，便能为决策者提 供多种选择方式，因而求出全部最优基本可行解是重要的。
如何求出全部最优基本可行解？
求全部最优基本解，要从最优单纯形表出发，若已得到一
个最优基本可行解，由目标函数迭代公式： f , f * k
若θ=0,或 k=0, 则迭代后目标函数值 f ,与迭代前最优解f * 保持不变，我们正是利用这一性质来求出线性规则全部最 优基本可行解的。
3/4
0
0
2
0
1
-180 -1/25
6
X3
0
1
0
0
1
0
0
1
0
σj
0
3/2
0
0
15
-1/20
21/2
X1
0
3/100
1
-1/2 3/100
0
-15
0
15/2
X4
3/4
'1/25
0
2
1/25
1
-180
0
6
X6
1/50
1
0
0
1
0
0
1
0
σj
0
3/2
1/20
0
15
0
21/2
此时，判别数全部非负，得到摄动问题的最优解：
即表明目标值下降，因而不可能产生其他最优基本可行解， 只可能有唯一最优基本可行解。
X2 0 0 0 1 0 1/2 -90 -1/50 3
X3
0
1
0
0
1
0
0
1
0
σj
0 0 0 -3/4 150 -1/50 0
（注XB处只列出 0的系数，XB的取值为对应的 0系数及
j 行与该行中元素积之和。）
k min j 4 0 k 4，如何找l？在k 4这一列，
14 1/ 4 0，24 1/ 2 0 ，ε>0足够小时，由单纯形法迭
x3
9x7 1/ 4 4 60 5 1/ 25 6 9 7 3x7 2 1/ 2 4 90 5 `1/ 50 6 3 7 x6 1 3 6
x j 0( j 1 7)
易见摄动问题的约束条件Ax=b(ε）中右端 的j 系数与左边
系数x j 相同，这是由b(ε）的构造决定的。
现在我们用ε-摄动法求解Beale 的例子。
原问题有一个退化可行基，基变量是 x5 , x6 , x7
退化基可行解（0，0，0，0，0，0，1），首先改变
变量下标，使 x1, x2 , x3 是基变量，得到问题的形式如下：
max 3 / 4x4 -150 x5 1/ 50 x6 - 6x7
x1 1/ 4x4 60x5 1/ 25x6 9x7 0
st
x2 1/ 2x4 90x5 1/ 50x6 3x7 0
x3 x6 1
x j 0( j 1 7)
相应的摄动问题为：（ε>0充分小）
max 3 / 4x4 150 x5 1/ 50 x6 6x7
st
xx21
1/ 4x4 1/ 2x4
60x5 90x5
1/ 25x6 1/ 50x6
当ε足够小时，退化问题有j 非退化初始可行基（P1，P2，
P3）对应基可行解： x0 ( ) (x10 ( ), x20 ( ), x30 ( ),0,0,0,0)T
其中x10 ( ), x20 ( ), x30 ( )的取值分别是上面约束等式右端 项。
怎样列单纯形表？是否与以前一样要列出 xB 的取值列？
x（* ）（x1*( ), x2*( ) x7*( ))T 令 = 0，得x* (0) = (x1* (0), x2* (0) x7* (0))T 其中基变量取值即为ε列的系数 x*(0) (3/100,0,0,1/ 25,0,1,0)T
再按开始的方式，将变量下标还原，即得Beale问题 的最优基可行解：
代公式知，应从下面两式中找θ，即：
min
x10 ( ) 1/ 4
x20 ( ) 1/ 2
min
1/
4
4
60 5 1/ 1/ 4
25
6
9
7
2 1/ 2 4 90 5 1/ 50 6 3 7
1/ 2
ε足够小，多项式取值主要取决于ε的较低次幂。
这里，0次项：
0 1/ 4
0 1/ 2
,1次项：1 1/ 4
此定理的证明见管梅谷、郑汉鼎《线性规划》P69-72。
注意，Bland 方法理论上很重要，但实际上迭代次数不一定比摄动法少。 由于实际问题中出现循环，可在设计程序是安置一条打印目标函数值 的命令，如果目标出数值长久不变，则表明出现循环，此时再采用一 些简单补救措施就可以了，这样做程序简单，工作量也小。
0 1/ 2
（如1次项比值相等，
再比 2次项，3次项……）
故
l
2
x20
(
) 1/
2
0
l
2
x 取枢轴24 1/ 2 0, 作枢轴运算， 2出基，x4 入基，得
下表
CB
ε。 ε1 X1
ε2 X2
ε3 X3
ε4 X4
ε5 X5
ε6 X6
ε7 X7
X1
0
0
1
-1/2
0
0
-15 -3/100 15/2
X2
没有必要！ 因为除去 0即常数项系数外 ， j 的系数与 x j 的
系数相同，都在单纯形表上给出。这样，只须加一行顺序 为
1, 2 , 3 7 分别与 x1, x2 , x3 x7对应即可。
CB
ε。Байду номын сангаас
ε1 X1
ε2 X2
ε3 X3
ε4 X4
ε5 X5
ε6 X6
ε7 X7
X1 0 0 1 0 0 1/4 -60 -1/25 9
x*(0) (1/ 25,0,1,0,3 /100 ,0,0)T
3.6 求全部最优基本可行解
我们已经知道，某些线性规则问题不止一个最优解， 而是某一个凸子集上都达到最优，即最优解的个数不唯一 时，最优解的个数就有无穷多个。因此，要求出全部最优 解是不可能，也是无意义的。但基本可行解个数是有限的， 因而最优基本可行解个数也是有限的。这样，求出全部最 优基本可行解是可能的。