线性规划的单纯形算法
线性规划问题的单纯形法求解步骤
线性规划问题的单纯形法求解步骤线性规划是一种优化问题，它的解决方法有很多种，在这里我们来介绍其中一种常用的方法——单纯形法。
我们将介绍单纯形法的求解步骤，以帮助读者更好地理解和掌握这种求解方法。
1. 建立数学模型任何一个线性规划问题的解决都需要先进行建模。
我们将问题转换成数学模型，然后使用数学方法进行求解。
线性规划问题的一般形式为：max cxs.t.Ax ≤ bx ≥ 0其中，c、x、b、A都是向量或矩阵，x≥0表示各变量都是非负数。
其中c表示目标函数，A和b表示约束条件。
2. 计算初始基可行解我们需要从初始点开始，逐步优化目标函数。
但是，在开始优化前我们需要先找到一个基可行解。
基可行解的定义是：如果所有非基变量的取值都是0，并且所有基变量的取值都是非负的，则该解被称为基可行解。
当基可行解找到后，我们就可以开始进行优化。
3. 确定进入变量在单纯形法中，每次迭代中我们都需要找到进入变量。
进入变量是指，通过操作非基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个使得目标函数增加最多的非基变量，将其称为进入变量。
4. 确定离开变量在确定进入变量后，我们需要确定一个离开变量。
离开变量是指，通过操作基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个离开变量，使得当进入变量增加到某个值时，该离开变量的值为0。
这样，我们就找到了一个最小的正根比率，使得通过基本变量出基到进入变量变为零而得到的新解是可行的。
5. 交换变量接下来，我们需要将已选定的进入变量和离开变量进行交换。
此时，我们将进入变量转变为基变量，离开变量转变为非基变量。
通过这种交换，我们还需要调整我们的基向量。
由于这个交换，我们将得到一个新的基可行解，并且它可以比之前的解更好。
6. 重复迭代我们需要重复上述步骤，直到我们找到最优解。
重复迭代意味着我们将不断查找新的进入变量和离开变量，并进行变量交换。
这种找到最优解的过程可能非常复杂，但是单纯形法的效率很高，通常可以在很短的时间内找到最优解。
单纯形方法（SimplexMethod）
单纯形⽅法（SimplexMethod）最近在上最优理论这门课，刚开始是线性规划部分，主要的⽅法就是单纯形⽅法，学完之后做了⼀下⼤M算法和分段法的仿真，拿出来与⼤家分享⼀下。
单纯形⽅法是求解线性规划问题的⼀种基本⽅法。
线性规划就是在⼀系列不等式约束下求⽬标函数最⼤值或最⼩值的问题，要把数学中的线性规划问题⽤计算机来解决，⾸先要确定⼀个标准形式。
将所给的线性规划问题化为标准形式：s.t.是英⽂subject to 的简写，意思是受约束，也就是说第⼀个⽅程受到后⾯两个⽅程的约束。
对于求最⼤值问题可以将⽬标函数加负号转换为最⼩值问题。
对于求最⼤值问题可以将⽬标函数加负号转换为最⼩值问题。
其他的问题就是将实际问题中的不等式约束改为等式约束，主要⽅法是引进松弛变量和剩余变量，以及将⾃有变量转换为⾮负变量。
①对于不等式，引⼊松弛变量将其变为等式形式如下：②对于不等式，引⼊剩余变量将其变为等式形式如下：③若变量为⾃有变量（可取正、负或零，符号⽆限制），则引⼊两个⾮负变量将其表⽰如下：关于线性规划问题的解：确定了标准形式，我们就针对这个标准形式讨论⼀下线性规划问题的解。
线性规划问题的解能满⾜标准形式中约束条件的向量X的值，但只有最优解才能使⽬标函数值最⼩。
对于上⽂中的标准形式，约束矩阵A是⼀个m*n维矩阵，且m<n，所以⼀定可以从A中找到⼀个满秩m*m矩阵。
这个矩阵就称作矩阵A的⼀个基阵，矩阵A就可以写作 [B N] , 相应的解 x 也可以写成 x=(xB,xN)’，那么 Ax=b 就变为，左式两端同乘B矩阵的逆，得到。
由此引出下列名词：基阵：⾮奇异矩阵（满秩矩阵、可逆矩阵）B基向量：基阵B由m个线性⽆关的向量组成，称之为基向量基变量：向量xB各分量，与基向量对应的xB中的m个分量成为基变量⾮基变量：向量xN各分量基本解：令xN各分量为0，由得到的解称为基阵B对应的基本解基本可⾏解：当成⽴时，称基本解为基本可⾏解，因为只有满⾜所有分量不⼩于0，才符合标准形式中的约束条件（最后⼀条）。
nm单纯形算法
nm单纯形算法引言：nm单纯形算法是一种用于线性规划问题求解的经典算法。
它通过逐步调整基变量来寻找最优解，具有较高的效率和广泛的应用。
本文将详细介绍nm单纯形算法的原理和步骤，并通过一个实例来说明其具体应用过程。
一、算法原理nm单纯形算法的基本思想是通过改变基变量来逐步优化目标函数的值，直到找到最优解。
其核心原理可以概括为以下几个步骤：1. 初始化：将线性规划问题转化为标准型，并确定初始基变量。
2. 判断最优性：计算当前基解的目标函数值，若已达到最优，则算法结束；否则，进入下一步。
3. 寻找入基变量：选择一个非基变量作为入基变量，使目标函数值增加最快。
4. 寻找出基变量：确定出基变量，使得基变量的取值保持可行。
5. 更新基变量：通过更新基变量来得到新的基解。
6. 重复步骤2-5，直到找到最优解或判断问题无界。
二、算法步骤1. 初始化：将线性规划问题转化为标准型，并确定初始基变量。
标准型的要求是目标函数为最小化形式，约束条件为等式形式。
通过引入松弛变量、人工变量等，将原始问题转化为标准型。
确定初始基变量可通过单纯形表的第一行找到。
2. 判断最优性：计算当前基解的目标函数值，若已达到最优，则算法结束；否则，进入下一步。
将目标函数与单纯形表的最后一列相乘，再求和，得到当前基解的目标函数值。
3. 寻找入基变量：选择一个非基变量作为入基变量，使目标函数值增加最快。
在单纯形表的第一行中，找到系数为负且绝对值最大的变量作为入基变量。
4. 寻找出基变量：确定出基变量，使得基变量的取值保持可行。
在单纯形表中，通过比较各个约束条件中的值与入基变量系数的比值，选择最小正比值对应的变量作为出基变量。
5. 更新基变量：通过更新基变量来得到新的基解。
利用选定的入基变量和出基变量，更新单纯形表中的数值，得到新的基解。
6. 重复步骤2-5，直到找到最优解或判断问题无界。
通过不断迭代，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解或判断问题无界。
线性规划中单纯形的算法及其应用
线性规划中单纯形的算法及其应用作者：房月华来源：《科技资讯》 2012年第12期房月华(衡水学院数学与计算机科学学院河北衡水 053000)摘要:单纯形法是求解线性规划问题的基本方法,它的基本思想是:先找出一个基本可行解,对它进行检验,看是否是最优解;若不是,则按照一定法则迭代到另一改进的基本可行解,再检验;若仍不是,则再迭代,直到解为最优解。
本文首先介绍了线性规划问题中单纯形法的具体算法,并对其算法方法进行了分析和应用。
关键词:线性规划单纯形法算法中图分类号:O221 文献标识码:A 文章编号:1672-3791(2012)04(c)-0226-02线性规划的研究与应用工作,在我国开始于20世纪50年代初期,最早应用在物资调运等方面。
线性规划不仅在实践中取得了成果,而且在理论上提出了理论依据。
线性规划工作的一个很重要任务就是为现代生产、管理服务。
生产单位如何根据生产设备能力安排各类生产计划(如年度计划按月分配、车间或工段的生产安排等);一种需要数种原料合成的产品,在保证质量要求的前提下,如何配料使成本最低;一笔可用于投资的基金,在有数种不同投资方案时,如何选择获利最多的方案;来自不同产地的资源如何调运到各需求地,从而使总运费最少,这些问题都属于线性规划的问题。
本文主要探讨是求解线性规划问题的基本方法—单纯形法以及其应用。
1 预备知识1.1 基本概念定义1:当数学规划问题的目标函数和约束条件均为线性函数时成为线性规划。
线性规划的标准形式如下:1.2 线性规划模型的建立性规划研究的是线性目标函数在线性约束条件下取得最大值或最小值的问题。
线性规划的数学模型就是描述实际问题的数学形式,它反映了实际问题数量间的本质规律。
由于实际问题往往比较复杂,建立线性规划的数学模型时,对某一个问题要认真分析,抓住最本质的因素,用简单的数学式子将其描述出来,使建立的数学模型既简单又能正确地反映问题的本质。
从实际问题中建立数学模型一般有以下三个步骤:(1)根据影响所要达到目的的因素找到决策变量;(2)由决策变量和所要达到目的之间的函数关系确定目标函数;(3)由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满足的约束条件。
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素 SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数 SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑这个函数用来判断是否已经存在最优解bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零这个函数用来判断线性规划是否是无解的bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)用来判断线性规划是否存在最优解,因为如果最后一列如果有负数的化,就无解了,算法终止int InColumn(); //确定输入变量用来判断主元所在的列int DepartRow(int col); //确定分离变量(寻找主元)用来确定主元所在的行void MainItem_To_1(int row,int col); //将主元所在的行做处理,使主元变为1void SubMatrixLine(int row1,int row2,intcol);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减这个函数是在主元行已经做处理以后调用,目的是是矩阵的其他行主元列的元素变成0.其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer(); //输出矩阵的最优解int GetRows(); //返回矩阵的行数int GetCols(); //返回矩阵的列数double GetItem(int row,int col); //返回矩阵第row行,第col列的元素源代码//SimpleMatrix.h#ifndef SIMPLEMATRIX_H_#define SIMPLEMATRIX_H_class SimpleMatrix{public:SimpleMatrix(int row=0,int col=0);SimpleMatrix(int row,int col,double **M);~SimpleMatrix();bool Is_objectLine_All_Positive(); //判断目标行是否全部为非负数,最后一列不作考虑 bool Is_MainCol_All_Negative(int col);//判断主元列是否全部为负数或零bool Is_column_all_Positive(int col); //判断col列中是否全部为正(不包括目标行)int InColumn(); //确定输入变量int DepartRow(int col); //确定分离变量(寻找主元)void MainItem_To_1(int row,int col); //将主元所在的行做处理,使主元变为1void SubMatrixLine(int row1,int row2,int col);//将矩阵的其他行做处理,矩阵的两行相减 void PrintAnswer(); //输出矩阵的最优解int GetRows(); //返回矩阵的行数int GetCols(); //返回矩阵的列数double GetItem(int row,int col); //返回矩阵第row行,第col列的元素private:int rowLen; //标准矩阵的行数int colLen; //标准矩阵的列数double **data; //一个二维数组,指向标准矩阵的数据成员void init(int rows,int cols); //动态分配一个rows行,cols列的二维数组};#end if//SimpleMatrix.cpp#include <iostream>#include <cmath>#include "SimpleMatrix.h"using namespace std;void SimpleMatrix::init(int rows,int cols){if(rows>0&&cols>0){rowLen=rows;colLen=cols;data = new double *[rows];for (int i=0;i<rows;i++){data[i]=new double[cols];}}elsecout<<"矩阵的行.列数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++){cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)if (data!=NULL)delete[] data;}}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col) {for(int i=0;i<rowLen-1;i++){if(data[i][col-1]<0)return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count)); int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++){temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);//double temp=data[row-1][col-1];for (int i=0;i<colLen;i++){data[row][i]/=temp;}}void SimpleMatrix::SubMatrixLine(int row1,int row2,int col) {double temp=GetItem(row1,col);//double temp=data[row1-1][col-1];double*tempLine=new double[colLen];for(int i=0;i<colLen;i++){tempLine[i]=data[row2][i];}for(i=0;i<colLen;i++){data[row1][i]=data[row1][i]-temp*tempLine[i];}delete[]tempLine;}int SimpleMatrix::GetRows(){return rowLen;}int SimpleMatrix::GetCols(){return colLen;}double SimpleMatrix::GetItem(int row,int col){return data[row][col];}void SimpleMatrix::PrintAnswer(){//先确定单位矩阵中1的位置for (int i=0;i<GetRows();i++)for (int j=0;j<GetRows();j++){if(1==data[i][j]){int index_col=j;cout<<"x"<<index_col+1<<"="<<data[i][colLen-1]<<" ";}}cout<<endl;cout<<"取得最优解,并且最优值为"<<data[rowLen-1][colLen-1];}//单纯形法.cpp#include <iostream>#include "SimpleMatrix.h"using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(Matrix.Is_column_all_Positive(5)) //判断是否存在最优解{bool p=Matrix.Is_objectLine_All_Positive(); //判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解 while(!p){int col=Matrix.InColumn(); //确定主元所在的行if(Matrix.Is_MainCol_All_Negative(col)) //确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=Matrix.DepartRow(col); //确定主元所在的行Matrix.MainItem_To_1(mainRow,col); //将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<Matrix.GetRows()){if(i!=mainRow){Matrix.SubMatrixLine(i,mainRow,col); //处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}else{i++;}}}for(int i=0;i<Matrix.GetRows();i++) //输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<Matrix.GetCols();j++){cout<<Matrix.GetItem(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=Matrix.Is_objectLine_All_Positive();}Matrix.PrintAnswer();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。
线性规划与单纯形法
线性规划与单纯形法线性规划（Linear Programming）是一种在资源有限的情况下，通过最优化目标函数来确定最佳解决方案的数学优化方法。
而单纯形法（Simplex Method）则是一种常用的求解线性规划问题的算法。
本文将介绍线性规划与单纯形法的基本概念和运算步骤，以及实际应用中的一些注意事项。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本思想是在一组线性不等式约束条件下，通过线性目标函数的最小化（或最大化）来求解最优解。
其中，线性不等式约束条件可表示为：```a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b```其中，x1、x2、...、xn为决策变量，a1、a2、...、an为系数，b为常数。
目标函数的最小化（或最大化）可表示为：```min(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```或```max(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```其中，c1、c2、...、cn为系数。
二、单纯形法的基本思想单纯形法是由乔治·丹尼尔·丹齐格尔（George Dantzig）于1947年提出的求解线性规划问题的算法。
其基本思想是通过逐步迭代改进当前解，直至达到最优解。
三、单纯形法的运算步骤1. 初等列变换：将线性规划问题转化为标准型，即将所有约束条件转化为等式形式，并引入松弛变量或人工变量。
2. 初始化：确定初始可行解。
通常使用人工变量法来获得一个初始可行解。
3. 检验最优性：计算当前基础解的目标函数值，若目标函数值小于等于零，则该基础解即为最优解。
否则，进入下一步。
4. 基本可行解的变换：选择一个入基变量和一个出基变量，并进行基本变换，得到新的基础解。
5. 迭代求解：根据目标函数值是否小于等于零，判断是否达到最优解。
若达到最优解，则算法终止；若未达到最优解，则返回步骤3进行下一轮迭代。
四、单纯形法的实际应用注意事项1. 线性规划问题的约束条件必须是线性的，且可行解集合必须是有界的。
2.3 线性规划(单纯形算法).
（2.3.5）
j m1
线性方程组相对于基B的典式
线性方程组化典式就是把基变量的系数向量化为 单位向量。
典式的右端向量为基变量的取值。
符号 Aj , b , Aj , b 的含义
（2）目标函数 z cT x 的转化 相应于基 B ，记价值向量为 cT (cBT ,cTN ) ，
则
z
cT
j m 1
b
(2.3.8)
x 0
例
min z x1 2x2 x3 8x4 2x5
s.t.
x1 x1 x2
3x4 2x5 1 5x4 x5 3
x1
x3 2x4 5x5 4
x j 0, j 1,,5
z0
cT
x
(cBT , cTN
)
xB xN
cBT
xB
cTN
xN
所以
z0 cBT xB cBT B1b cBT b
，则
令
j cBT Aj c j , j 1,, n.
称 j 为 xj 的检验数，
的检验数向量。
(1,, n )T .
1、单纯形算法的主要思想：
先找一个基本可行解，判定它是否为 最优解，若不是，就找一个“更好”的基 本可行解，再进行判定，如此迭代进行， 直到找到最优解，或判定问题无界。
2、需解决两个问题：
（1）如何得到第一个基本可行解（§2.4）
（2）如何判定和迭代（本节）
本节总是假定已经找到了一个基本可行
解 x ，即找到了一个基 B
已知 x (1, 2, 3, 0, 0)T 是它的基本可行解，对应的基为
线性规划模型的求解方法
线性规划模型的求解方法线性规划是数学中的一个分支，是用来解决优化问题的方法。
一般来说，它适用于那些具有一定限制条件，但是希望达到最优解的问题。
在实际应用中，无论是在工业、商业还是管理等领域，都可以使用线性规划模型来进行求解。
本文将详细介绍线性规划模型的求解方法，包括单纯形算法、内点法和分支定界法。
1、单纯形算法单纯形算法是线性规划求解中最常用的方法，它是基于不等式约束条件的优化算法，主要是通过这些不等式约束来定义一些可行域并寻找最优解。
单纯形算法的基本思路是将约束条件重写为等式，然后再将变量从这些等式中解出来，最后根据这些解来判断是否找到最优解。
举例来说，假设有如下线性规划的问题：$$\begin{aligned}\text { maximize } \quad &60 x_{1}+40 x_{2} \\\text { subject to } \quad &x_{1}+x_{2} \leq 100 \\&2 x_{1}+x_{2} \leq 150 \\&x_{1}+2 x_{2} \leq 120 \\&x_{1}, x_{2} \geq 0\end{aligned}$$我们可以将这些约束条件重写为等式：$$\begin{aligned}x_{3} &=100-x_{1}-x_{2} \\x_{4} &=150-2 x_{1}-x_{2} \\x_{5} &=120-x_{1}-2 x_{2}\end{aligned}$$然后我们可以利用这些等式来解出每个变量的取值，从而得到最优解。
通常情况下，单纯形算法利用较小的限制空间集合来缩小可行的解空间集合，并通过一定的规则，比如说乘子法则来找到最优的解。
2、内点法内点法则是比单纯形算法更快的一个线性规划求解方法，它通过不停地迭代，将可行域中的点从内部向最优解方向移动，从而找到最优解。
在实际应用中，内点法通常能够达到非常高的精确度，而且与单纯型算法相比，它在数值计算方面更加稳定。
第三章线性规划的单纯形算法1
2 x5 x5
10 6
xi 0(i 1 ~ 5)
解：第一步，将（LP）问题化为（SLP）问题。 第二步，作下面形式的单纯形表（开始只能写出左上部 表格）
基变量 cB xB
x1 1 10 x2 2 6
Z
x1 x2 x3 x4 x5 θ 1 2 11 7 6
1 0 2 1 2 10/ 0 1 3 3 12
z 22 3x3 0 • x4 2x5 22 (3)x3 0x4 (2)x5
由此可知当取x 1和x 2为基变量时， x 3, x 4, x 5的检验数分 别为-3，0和-2。目标值为22。
x 3, x 4或x 5每增加一个单位，z的值就相应增加3，0， 个单位，所以把x 3作为新基变量对改进目标函数最有利。
z的旧值 - z的新值=22-（25）= -3 称这个值为非基变量x 3 的检验值（判别数）。因为 可以用它来判别把x 3 改为基变量后，能否改进目标值。 这个检验数的绝对值有时也称为相对收益系数。
由于检验数为负，增加x 3可以增加目标函数值。这证 明目前的基可行解不是最优解，如将x 3改为基变量就可以 改进目标值。
类似的可以算 x 4, x 5 的检验数。 比较所得到的几个检验数，决定把哪个非基变量换为
基变量对目标函数的改进有利。
检验数也可以用消去目标函数z中x 1, x 2的代入法来得
到。将 x1 10 2x3 x4 2x5和x2 6 3x3 3x4 x5
代入目标函数 z x1 2x2 11x3 7x4 6x5得：
③把 z j 与 x j 下面的数 C j相减得： j z j C j
由于 xji (i 1 ~ m) 是基变量， B1Pji ei (0...0,1,0...0)T 因而对于基变量的判别数 ji C ji C ji 0, (i 1 ~ n) 即基变量对应判别数等于0。因而只需计算非基变量的nm个判别数就可以了。n个判别数组成一个n维向量 (1, 2,..., n )也可以用矩阵向量形式表出：
线性规划中的单纯形法求解问题
线性规划中的单纯形法求解问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它的应用范围非常广泛，包括经济、工程、网络、交通等领域。
在实际问题中，我们通常会需要求解一个线性规划问题，而单纯形法是解决线性规划问题的一种常用方法。
1. 线性规划线性规划是一类优化问题，通常在最小化或最大化某个线性函数的同时，满足一组线性约束条件。
一个线性规划问题可以表示为：$$\begin{array}{lll}\textrm{min/max} & c^Tx & \\ \textrm{s.t.} & Ax &\leq b \\ & x &\geq 0\end{array}$$其中，$c$ 是一个 $n$ 维列向量，$A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m$ 维列向量，$x$ 是一个 $n$ 维列向量，代表问题的决策变量。
我们称 $Ax\leq b$ 是问题的约束条件，称 $x\geq0$ 是问题的非负性条件。
线性规划问题的求解可以分为两种基本方法，分别为单纯形法和内点法。
其中，单纯形法是一种经典的方法，应用广泛，是大多数线性规划软件的基础算法之一。
2. 单纯形法基本思想单纯形法的基本思想是通过对问题中的决策变量进行调整，使得目标函数值不断减小（最小化问题）或增大（最大化问题），并且在满足约束条件的前提下，最终找到最优解。
单纯形法的具体步骤如下：步骤1：初始化。
我们从一组基本解开始，即 $m$ 个基本变量和 $n-m$ 个非基本变量构成的向量 $x$。
在最初的阶段，我们需要选择一组基变量，并计算出它们的取值。
这个基变量集合构成了问题的起始基。
步骤2：检查最优性。
首先，我们需要对当前解进行检验，判断它是否为最优解。
如果是最优解，则停止算法；否则，进行下一步。
步骤3：选择进入变量。
我们需要选择一个非基变量，使得将它加入到基变量集合后，目标函数值有最大的增长量。
如果这个增长量为负数，则问题无界。
线性规划的求解算法
线性规划的求解算法线性规划（linear programming ）是运筹学中的一个重要分支，在现代工业、农业、商业、交通运输、国防军事及经济管理等诸多领域都有着广泛重要的应用。
在数学系的竞赛数学建模中，也多次应用线性规划来建模从而解决实际问题。
在这里介绍单纯性法和对偶单纯形法两种求解线性规划的方法。
一、单纯形法算法主体思想 标准线性规划简记如下：LP-max LP-min s.t {0Ax b x =≥ s.t {0Ax bx =≥ 这里只以LP-min 为例。
1、算法思想单纯形法是在已知一个可行基的前提下采用的解决线性规划的算法。
步骤如下：（1）输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M MO M K，并化为典则形式。
用R （i ）记录单位矩阵I 中元素1的位置。
（2）求{}0min|0,1jj aj n t >≤≤@若t 不存在，则得到最优解；(i),1R i n x a += （i=1,2,...m ）.其他j x =0，停。
否则，转到（3）。
（3）求,1min{|0,1}i n it ita a i m a λ+>≤≤@。
若λ不存在，则LP-min 无下届，所以无最优解，停；否则，求,1min (i)|,0,1(s)i n it it a R a i m R a λ+⎧⎫=>≤≤⎨⎬⎩⎭@，转到（4）。
（4）sjsj sta a a ⇐，（j=1，2....n+1）ijij sj it a a a a ⇐-,(i=0,1,2...m;i ≠s;j=1,2,....,n+1),(s)t R ⇐,转到（2）.二、对偶单纯形法对偶单纯形法是在已知一个正则基的条件下的求解线性规划的方法。
步骤如下:(1)输入初始矩阵：01020,111121,112,1n n m m m n a a a a a a a a a +++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦K L M MO M K，并化为典则形式。
0050算法笔记——【线性规划】单纯形算法(未完全实现)
1、线性规划问题及其表示线性规划问题可表示为如下形式：变量满足约束条件-式的一组值称为线性规划问题的一个可行解。
所有可行解构成的集合称为线性规划问题的可行区域。
使目标函数取得极值的可行解称为最优解。
在最优解处目标函数的值称为最优值。
有些情况下可能不存在最优解。
通常有两种情况：(1)根本没有可行解，即给定的约束条件之间是相互排斥的，可行区域为空集；(2)目标函数没有极值，也就是说在n 维空间中的某个方向上，目标函数值可以无限增大，而仍满足约束条件，此时目标函数值无界。
例：这个问题的解为 (x1,x2,x3,x4) = (0,,,1)；最优值为16。
2、线性规划基本定理约束条件-中n个约束以等号满足的可行解称为线性规划问题的基本可行解。
若n>m，则基本可行解中至少有n-m个分量为0，也就是说，基本可行解中最多有m个分量非零。
线性规划基本定理：如果线性规划问题有最优解，则必有一基本可行最优解。
上述定理的重要意义在于，它把一个最优化问题转化为一个组合问题，即在 -式的m+n个约束条件中，确定最优解应满足其中哪n 个约束条件的问题。
由此可知，只要对各种不同的组合进行测试，并比较每种情况下的目标函数值，直到找到最优解。
Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。
单纯形算法的特点是：（1）只对约束条件的若干组合进行测试，测试的每一步都使目标函数的值增加；（2）一般经过不大于m或n次迭代就可求得最优解。
3、约束标准型线性规划问题的单纯形算法当线性规划问题中没有不等式约束和式，而只有等式约束和变量非负约束时，称该线性规划问题具有标准形式。
先考察一类更特殊的标准形式线性规划问题。
这一类线性规划问题中，每一个等式约束中，至少有一个变量的系数为正，且这个变量只在该约束中出现。
在每一约束方程中选择一个这样的变量，并以它作为变量求解该约束方程。
这样选出来的变量称为左端变量或基本变量，其总数为m 个。
剩下的n-m个变量称为右端变量或非基本变量。
单纯形算法原理与计算步骤详解
单纯形算法原理与计算步骤详解单纯形算法是一种常用于线性规划问题求解的优化算法，其基本思想是通过不断迭代改变可行解，使目标函数值逐渐趋近最优解。
本文将详细介绍单纯形算法的原理和计算步骤。
一、单纯形算法原理单纯形算法基于以下原理：假设存在一个线性规划问题，其中目标函数需要最小化，约束条件为一组线性等式和不等式。
算法通过在可行域内循环改变基变量，以求得最优解。
算法的基本思想是从初始可行解出发，不断迭代地转移到更优的解，直到找到最优解。
单纯形算法的迭代过程中，每一次迭代都会选择一个非基变量进行转移，使目标函数值逐步减小。
二、单纯形算法的计算步骤下面将详细介绍单纯形算法的计算步骤，以帮助读者更好地理解该算法。
1. 初始化阶段在初始化阶段，需要将线性规划问题转化为标准型，并找到初始可行解。
标准型的要求是：目标函数为最小化，约束条件为等式和非负约束。
2. 检验阶段在检验阶段，需要进行基变量的选择和检验是否达到最优解。
首先选择一个入基变量，该变量的选择通常基于某些准则，如最大增量准则、最小比率准则等。
3. 转换阶段在转换阶段，需要进行基变量的转换，使目标函数值不断减小。
通过将选定的入基变量与已有的基变量组成一个新的基，进而得到新的可行解。
在转换过程中，还需要进行非基变量的选择和计算。
选择一个出基变量，使得目标函数值减小的幅度最大。
然后，通过高斯消元法计算出相应的新基。
4. 终止判断阶段在每次迭代后，都需要判断是否已达到最优解或存在无界解。
如果目标函数不能减小或者无界，则算法终止。
否则，返回检验阶段继续迭代。
5. 结果输出阶段当算法终止时，需要输出最优解以及最优解对应的目标函数值。
三、单纯形算法的优化尽管单纯形算法是一种常用的线性规划求解方法，但在某些情况下，其迭代次数可能会非常大。
为了优化算法效率，可以采用以下方法：1. 人工变量法当初始可行解需要引入人工变量时，可以通过人工变量法来优化算法。
该方法通过对目标函数引入人工变量，并对目标函数进行最小化，从而减少迭代次数。
《管理运筹学》求解线性规划的单纯形法
– 基变量在目标函数中的系数为0
– 非基变量在目标函数中的系数<=0.
（注意：目标函数形式 z = 2x1 + 3x2）
– 若目标函数为方程形式：
检验数
z - 2x1 - 3x2=0，则需非基变量的系数>=0
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤1：确定移动的方向
确定进基变量
例：z = 2x1 + 3x2 – 选择 x1 ？Z的增长率=2 – 选择 x2 ？Z的增长率=3 – 3＞2，选择x2！
• 进基变量的选择：
检验数的 绝对值哦
~~~
– 选择非基变量的系数最大的！
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤2：确定在何处停下 – 增加x2 的值， x1 =0
• 选择单元阵作为初始基：
1 1 1 0
A 1
2
0
1
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
)
1 0
B
0
1
(a3
,
a4
)
令非基变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
求解线性规划的单纯形法
Q2：最优性检验
• 非最优：增加非基变量的值，可以使 得目标函数Z值增加
x1,
x2,
x3,
=1 +x4 =2 x4 ≥0
然后确定初始基本可行解
X0 = (0, 0, 1, 2)T z0 = 0
最优性检验：一切σj ≥ 0 ？
当前解 X0 非优； 须由X0 转化为另一个基本可行解 X1。 思路：让X0 中的一个非基变量进基，去替换原来的一个基变量（离基）。
线性规划单纯形法
线性规划单纯形法线性规划是一种优化问题求解方法，它通过建立数学模型，来寻找使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件都是线性的。
单纯形法是线性规划中最常用的求解方法之一，它是由美国数学家Dantzig在1947年提出的。
单纯形法通过迭代计算的方式，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解为止。
单纯形法的步骤如下：1. 建立线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件，并确定它们的线性关系。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，使得所有的约束条件都得到满足。
一般来说，可以通过将约束条件全部转化为等式约束，从而求解出一个初始可行解。
3. 判断最优解：计算当前可行解对应的目标函数值，判断是否是最优解。
如果是最优解，则终止算法；如果不是最优解，则进入下一步。
4. 寻找进入变量：选择一个进入变量，即目标函数可以通过增加该变量的值而增大。
5. 寻找离开变量：选择一个离开变量，即通过增加进入变量来保持其他约束条件满足的同时，尽可能减小目标函数的值。
6. 更新可行解：根据进入变量和离开变量的取值更新可行解，并转化为下一个迭代的初始可行解。
7. 重复以上步骤，直到找到最优解为止。
单纯形法的优势在于它可以在有限的迭代次数内找到最优解。
然而，单纯形法的缺点也是显著的，它在处理大规模问题时计算复杂度很高，可能需要大量的计算时间。
总结来说，线性规划单纯形法是一种求解线性规划问题的有效方法。
通过迭代计算，单纯形法不断改进可行解，最终找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
虽然单纯形法在处理大规模问题时存在一定的局限性，但在许多实际问题中仍然得到广泛应用。
线性规划 第四讲 单纯形法的计算步骤
amj
检验数 j
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基本步骤
1、标准化（构造初始可行基）； 2、列出初始单纯形表； 3、最优性检验：判断是否最优解
根据最大检验数原则：if σj≦0 是：计算结束；否：转入下一步 4、从一个基可行解转到相邻的另一个基可行解，然 后转3。要保证目标函数值比原来更优。 （1）进基 （2）出基
am,k
j
检验数 if k max j j 0
k
xk进基
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单纯形表
单纯形表结构
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b1
cm xm bm
z c z
j
j0
主元，主元变成1， 主元所在列其他数变
成0
1 C0 0 0
x2 xmxn min
a1,k
c1 x1 b1
—
A
cm xm bm
24/6 5/1
j
检验数
上页 下页 返回
单纯形表
单纯形表结构
c j
2
CX
B
B
b
x1
c1 x1 b1
cm xm bm
j cj zj
基可行解：
X (b1, , bm , 0, , 0)
1 C0
x2
A
0 0
xm xn min
— 24/6 5/1
根据最大检验数原则：if σj≦0 是：计算结束；否：转入下一步 4、从一个基可行解转到相邻的另一个基可行解，然 后转3。要保证目标函数值比原来更优。 （1）进基 （2）出基
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线性规划与单纯形法-计算步骤
max Z 3x1 5x2
x1
s.t.
3x1
x1 0
2x2 2 x 2 x2 0
4 12 18
第一次迭代 x2为入基， x4为出基 第二次迭代 x1为入基， x5为出基
X * (2, 6, 2, 0, 0) Z* 36
2.4 单纯形法计算步骤
3、确定进基变量（迭代的第一步）
确定进基变量对应于图解法的确定运动方向
x1
x3
8
3x1
2x2 4x2
x4
12
x5 36
3x1 5x2 0x3 0x4 0x5 Z
j
从目标函数-Z+3x1+5 x2 +0x3 +0x4+0x5 =0可知： 因为x2的系数大于x1的系数，即生产单位乙产品比甲产品利 润更高一些，故应优先多生产乙产品。即x2为进基
5 2
x4
0 x5
Z 30
④
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
x1
1 2 x4
2 3 x4
1 3 x5
6 ② 4 ③
3x1 0x2
0 x3
5 2
x4
0 x5
Z 30 ④
④-3×③
x3
2 3
x4
1 3
x5
4 ①
x2
1 2
x4
6 ②
x1
2 3
x4
1 3
x5
4 ③
0
x1
STOP 包括三个步骤： 1、确定进基变量（进基） 2、确定出基变量（出基） 3、对新基可行解的求解（高斯消元）
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是我们不希望的迭代，不必进行。
下面分几种情形讨论：
1）若最优基本可行解非退化，且所有非基变量的判别
数 j 0 , 则最优基本可行解是唯一的。
如果进行迭代, 因为非退化,则θ>0,又 k 0因此
f ' f * k f *
此定理的证明见管梅谷、郑汉鼎《线性规划》P69-72。
注意，Bland 方法理论上很重要，但实际上迭代次数不一定比摄动法少。 由于实际问题中出现循环，可在设计程序是安置一条打印目标函数值 的命令，如果目标出数值长久不变，则表明出现循环，此时再采用一 些简单补救措施就可以了，这样做程序简单，工作量也小。
x*(0) (1/ 25,,1,0,3 /100 ,0,0)T
3.6 求全部最优基本可行解
我们已经知道，某些线性规则问题不止一个最优解， 而是某一个凸子集上都达到最优，即最优解的个数不唯一 时，最优解的个数就有无穷多个。因此，要求出全部最优 解是不可能，也是无意义的。但基本可行解个数是有限的， 因而最优基本可行解个数也是有限的。这样，求出全部最 优基本可行解是可能的。
而在实际问题中，一个最优基本可行解就是一个实施 方案，如果有若干个方案都能达到最优，便能为决策者提 供多种选择方式，因而求出全部最优基本可行解是重要的。
如何求出全部最优基本可行解？
求全部最优基本解，要从最优单纯形表出发，若已得到一
个最优基本可行解，由目标函数迭代公式： f , f * k
若θ=0,或 k=0, 则迭代后目标函数值 f ,与迭代前最优解f * 保持不变，我们正是利用这一性质来求出线性规则全部最 优基本可行解的。
现在我们用ε-摄动法求解Beale 的例子。
原问题有一个退化可行基，基变量是 x5 , x6 , x7
退化基可行解（0，0，0，0，0，0，1），首先改变
变量下标，使 x1, x2 , x3 是基变量，得到问题的形式如下：
max 3 / 4x4 -150 x5 1/ 50 x6 - 6x7
x1 1/ 4x4 60x5 1/ 25x6 9x7 0
没有必要！ 因为除去 0即常数项系数外 ， j 的系数与 x j 的
系数相同，都在单纯形表上给出。这样，只须加一行顺序 为
1, 2 , 3 7 分别与 x1, x2 , x3 x7对应即可。
CB
ε。
ε1 X1
ε2 X2
ε3 X3
ε4 X4
ε5 X5
ε6 X6
ε7 X7
X1 0 0 1 0 0 1/4 -60 -1/25 9
x3
9x7 1/ 4 4 60 5 1/ 25 6 9 7 3x7 2 1/ 2 4 90 5 `1/ 50 6 3 7 x6 1 3 6
x j 0( j 1 7)
易见摄动问题的约束条件Ax=b(ε）中右端 的j 系数与左边
系数x j 相同，这是由b(ε）的构造决定的。
x（* ）（x1*( ), x2*( ) x7*( ))T 令 = 0，得x* (0) = (x1* (0), x2* (0) x7* (0))T 其中基变量取值即为ε列的系数 x*(0) (3/100,0,0,1/ 25,0,1,0)T
再按开始的方式，将变量下标还原，即得Beale问题 的最优基可行解：
规则Ⅱ 若有几个 bi/ ik , (ik 0) 同时达到最小
那么选取其中下标最小的基变量作为出基变量，即若
i0
mini /
bi aik
,ik
0
x 则选 ji0为出基变量。
定理8 （Bland规则）对（SLP），在进行单纯形法迭
代时，如果按照上面的规则Ⅰ和Ⅱ选取入基 变量和出基变
量，就不会出现循环。
st
x2 1/ 2x4 90x5 1/ 50x6 3x7 0
x3 x6 1
x j 0( j 1 7)
相应的摄动问题为：（ε>0充分小）
max 3 / 4x4 150 x5 1/ 50 x6 6x7
st
xx21
1/ 4x4 1/ 2x4
60x5 90x5
1/ 25x6 1/ 50x6
X2 0 0 0 1 0 1/2 -90 -1/50 3
X3
0
1
0
0
1
0
0
1
0
σj
0 0 0 -3/4 150 -1/50 0
（注XB处只列出 0的系数，XB的取值为对应的 0系数及
j 行与该行中元素积之和。）
k min j 4 0 k 4，如何找l？在k 4这一列，
14 1/ 4 0，24 1/ 2 0 ，ε>0足够小时，由单纯形法迭
0 1/ 2
（如1次项比值相等，
再比 2次项，3次项……）
故
l
2
x20
(
) 1/
2
0
l
2
x 取枢轴24 1/ 2 0, 作枢轴运算， 2出基，x4 入基，得
下表
CB
ε。 ε1 X1
ε2 X2
ε3 X3
ε4 X4
ε5 X5
ε6 X6
ε7 X7
X1
0
0
1
-1/2
0
0
-15 -3/100 15/2
X2
3/4
0
0
2
0
1
-180 -1/25
6
X3
0
1
0
0
1
0
0
1
0
σj
0
3/2
0
0
15
-1/20
21/2
X1
0
3/100
1
-1/2 3/100
0
-15
0
15/2
X4
3/4
'1/25
0
2
1/25
1
-180
0
6
X6
1/50
1
0
0
1
0
0
1
0
σj
0
3/2
1/20
0
15
0
21/2
此时，判别数全部非负，得到摄动问题的最优解：
当ε足够小时，退化问题有j 非退化初始可行基（P1，P2，
P3）对应基可行解： x0 ( ) (x10 ( ), x20 ( ), x30 ( ),0,0,0,0)T
其中x10 ( ), x20 ( ), x30 ( )的取值分别是上面约束等式右端 项。
怎样列单纯形表？是否与以前一样要列出 xB 的取值列？
即表明目标值下降，因而不可能产生其他最优基本可行解， 只可能有唯一最优基本可行解。
代公式知，应从下面两式中找θ，即：
min
x10 ( ) 1/ 4
x20 ( ) 1/ 2
min
1/
4
4
60 5 1/ 1/ 4
25
6
9
7
2 1/ 2 4 90 5 1/ 50 6 3 7
1/ 2
ε足够小，多项式取值主要取决于ε的较低次幂。
这里，0次项：
0 1/ 4
0 1/ 2
,1次项：1 1/ 4