线性规划问题的单纯形法

如果给出的问题中，目标函
数是最大化的类型，则可令
二、线性规划问题的标S准′化如=-果S，某这个样变就量将没目有标非函负数限
即最制小，化即．x在j≤求0或出xSj符′号的不值
1．目标函数最小化 以后限，．乘对以于（x-j1≤）0就，是可原令问题
2．决策变量非负化 3．约束条件等式化
的最x大j′值=-．xj ，xj′≥0 ；若 符号不限，则可令xj =xj′-xj″,其中xj′≥0,
a21
a12 a22
am1 am2
a1n
a2n
( P1 ,
P2 ,
, Pn )
amn
一般总是假r(A)=m<n．因为只有m<n时，约 束方程组才有无穷多解，才谈得上是优化问题．
一、基、基变量和非基变量 设约束方程系数矩阵A的前m个列向量线性无关
则有
a11 a12 a1m a1m1 a1n
minS CX
AX b
s.t .
X
O
其中 C (c1, c2 , , cn ); X ( x1, x2 , , xn )T
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
Hale Waihona Puke Baidua1n
a2n
amn
b1
b
b2
bm
0 O 0
0
若令Pj (a1j ,a2 j , ,amj )T ( j 1,2, , n)
x1
则
A (P1, P2 ,
,
Pn
)
x2 xn
n j 1
Pj x j
于是
minS CX
n
s.t .
Pj x j b
j1
X O
线性规划问题的标准型具有如下特点：
（1）目标函数为最小：minS CX （2）决策变量为非负：X O （3）约束条件为等式： AX b （4）约束常数为非负： b 0
（2）由于x2没有非负限制，因此可令 x2 x2 x2 其中 x2 0, x2 0
（3）引入剩余变量x4 0 松弛变量 x5 0
可将第一、二个约束条件化为等式，即
x1 ( x2 x2) x3 x4 3
x1 2( x2 x2) x3 x5 7
（4）以（-1）乘以第三个约束方程两边，使 其右端常数非负．
§1 线性规划问题的标准型
一、线性规划模型的标准型
线性规划模型的标准型规定如下：
min S c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.
a21x1
a22
x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
二、基本解、基本可行解和最优基本可行解
对变量X也做相应的分块，即
X (x1 ,
x2 ,
,
xm ,
xm1 ,
,
xn )T
XB XN
其中，XB表示关于基B的基变量，XN表示关于基
B的非基变量．
这样，约束方程组AX=b可以改写为
即 因为
(B
N
)
X X
B N
b
BX B NX N b
B 0 所以存在B-1，用B-1左乘上式后得
线性规划问题的单纯形法
图解法对于两个变量的线性规划问题，是 一个简单易行、形象直观的求解方法，但是当 决策变量多于两个时，图解法就失效了．因此 有必要研究线性规划问题更一般的解法，这种 方法就是单纯形法．本章我们首先介绍线性规 划问题的标准型，然后介绍有关单纯形法的重 要概念，最后对单纯形法进行讨论．
4．约束常数非负化
xj″≥0 ，
当约束条件为“≤”式时，可在不
若常这以端常数个某（为一数为约个-非 为1为）即负束约负 非非，数等束目； 负负从时式方标．约．而两程，函束使端的则数条得同右可统件右在乘端一等一等当等一统式约号般号般为一．束的称的称最为条左为左为小等件边剩边松；为减余式加弛决去变“；上变一量≥策一量约个 ，”变个，束非使式非使量常负不时负不统数的等，的等一变式可统变式量成在量成，为不为，
X B B1b B1 NX N
可知，每给非基变量XN一组值，就能得到基变
量XB的一组相应的值，从而得线性规划问题的一
个解．
X ( X B X N )T
特别当 X N O 时，得
X ( X B X N )T (B1b O)T
x1, x2 , , xn 0 , j 1,2, , n
其中 bi 0 , (i 1,2, , m)
其紧缩形式为：
n
min S c j x j j1
n
s.t .
aij
j1
xj
bi
x j 0
(i 1,2, , m) ( j 1,2, , n)
其中 bi 0 , (i 1,2, , m) 其矩阵形式为：
注1：所求的 maxS min S
注2：由于引入的剩余变量在经济问题中表示 应付需求的剩余，而松弛变量表示没有被利用的 闲置资源，它们都不会产生利润，所以在目标函 数中，其系数必为零．
§2 单纯形解的基本概念
对于一个线性规划问题
minS CX
其约束矩阵为
AX b
s.t
.
X
O
a11
A
于是，可得上述线性规划模型的标准型
min S x1 3( x2 x2) 2x3 0x4 0x5
x1 ( x2 x2) x3 x5 3
s.t
.
x1 2( x2 x2) x3 3x1 2( x2 x2) 4
x4 x3
7 6
x1 , x2 , x2, x3 , x4 , x5 0
等式．
例1.1 将下面的线性规划问题化为标准型
max S x1 3 x2 2 x3
x1 x2 x3 3
s.t .
x1 2 x2 x3 7 3 x1 2 x2 4 x3 6
x1 , x3 0, x2没 有 非 负 限 制
解 （1）令 S=S′ ，则
min S max S x1 3x2 2x3
A
a21
a22
a2m
a2m1
a2n
am1 am2
amm
amm 1
amn
=（P1 P2 … Pm | Pm+1 … Pn）=（B | N）
其中 B 0称B为线性规划问题的一个基阵，简称 为基， 并称构成基阵的列向量 Pj ( j 1,2, , m)为基 向量，其余的列向量Pm+1，Pm+2，…，Pn称为非基 向量；与基向量 Pj 相对应的 x j ( j 1,2, , m) 称为 关于基B的基变量， 除此均称为关于基B的非基变量.