线性规划问题的单纯形法
单纯形法与线性规划问题
单纯形法与线性规划问题线性规划是一种优化问题，其基本形式是在给定的约束条件下，使目标函数最大或最小。
这种问题在工业、商业、农业和社会等领域有着广泛的应用。
在解决线性规划问题时，单纯形法是一种经典和常用的算法。
本文将介绍单纯形法和其在线性规划问题中的应用。
一、单纯形法概述单纯形法是一种基于向量空间的方法，其基本思想是沿着可行解空间中的边缘逐步搜索找到最优解。
单纯形法的运算是建立在基向量的概念上，基向量是指满足线性不可约条件的可行解基组成的向量。
单纯形法的步骤如下：1. 构造首行，确定初始基向量。
2. 选择离目标函数最远并且为正的变量，称为入基变量。
3. 选择离约束最近的基变量，称为出基变量。
4. 通过 Gauss-Jordan 消元法计算新的基向量组，确定更新后的基向量。
5. 重复步骤 2-4 直至无法选择入基变量为止。
6. 找到目标函数的最优解。
二、线性规划问题线性规划问题的一般形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$其中，$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 为线性目标函数，$a_{ij}$ 和$b_i$ 均为常数。
三、单纯形法解决线性规划问题1. 转化为标准型单纯形法只能用于标准型的线性规划问题，因此需要将原始问题转化为标准型。
标准型的形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}\sum_{j=1}^nc_jx_j$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$2. 添加松弛变量将约束条件转化为等式形式时需要添加松弛变量，松弛变量是一种关于决策变量的人工变量，其值可以取负数。
线性规划问题的单纯形法求解步骤
线性规划问题的单纯形法求解步骤线性规划是一种优化问题，它的解决方法有很多种，在这里我们来介绍其中一种常用的方法——单纯形法。
我们将介绍单纯形法的求解步骤，以帮助读者更好地理解和掌握这种求解方法。
1. 建立数学模型任何一个线性规划问题的解决都需要先进行建模。
我们将问题转换成数学模型，然后使用数学方法进行求解。
线性规划问题的一般形式为：max cxs.t.Ax ≤ bx ≥ 0其中，c、x、b、A都是向量或矩阵，x≥0表示各变量都是非负数。
其中c表示目标函数，A和b表示约束条件。
2. 计算初始基可行解我们需要从初始点开始，逐步优化目标函数。
但是，在开始优化前我们需要先找到一个基可行解。
基可行解的定义是：如果所有非基变量的取值都是0，并且所有基变量的取值都是非负的，则该解被称为基可行解。
当基可行解找到后，我们就可以开始进行优化。
3. 确定进入变量在单纯形法中，每次迭代中我们都需要找到进入变量。
进入变量是指，通过操作非基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个使得目标函数增加最多的非基变量，将其称为进入变量。
4. 确定离开变量在确定进入变量后，我们需要确定一个离开变量。
离开变量是指，通过操作基变量可以使得目标函数增加的变量。
我们需要找到一个离开变量，使得当进入变量增加到某个值时，该离开变量的值为0。
这样，我们就找到了一个最小的正根比率，使得通过基本变量出基到进入变量变为零而得到的新解是可行的。
5. 交换变量接下来，我们需要将已选定的进入变量和离开变量进行交换。
此时，我们将进入变量转变为基变量，离开变量转变为非基变量。
通过这种交换，我们还需要调整我们的基向量。
由于这个交换，我们将得到一个新的基可行解，并且它可以比之前的解更好。
6. 重复迭代我们需要重复上述步骤，直到我们找到最优解。
重复迭代意味着我们将不断查找新的进入变量和离开变量，并进行变量交换。
这种找到最优解的过程可能非常复杂，但是单纯形法的效率很高，通常可以在很短的时间内找到最优解。
单纯形法
max z = − 3 x1 + x3 + 0x4 + 0x5
化标准型
x1 + x 2 + x 3 + x4 − x5 −2 x1 + x2 − x3 s .t . 3 x2 + x3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5
=4 =1 =9 ≥0
max z = − 3 x1 + x3 + 0x4 + 0x5 − Mx6 − Mx7
13
单纯形法引例 Max Z=40X1 +50X2 X1 +2X2 +X3 3X1 +2X2 2X2 X1 … X5 ≥0 +X4 =30 =60
+X5 =24
14
解：(1)、确定初始基本可行解 、 B=(P3 P4 P5)=I
Z =0 +40X1+50X2 X3 =30-( X1+ 2X2 ) X4=60-( 3X1+ 2X2) X5 =24 令X1 = X2 =0 X(1) =(0, 0, 30, 60, 24)T Z(1) =0
线性规划的单纯形法
The Simplex Method
1
§4.1 线性规划模型的几种表示
1.标准形式 1.标准形式 max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + … a1j xj+ … + a1n xn a21 x1 + … a2j xj+ … + a2n xn …… am1 x1 + … amj xj + … + amn xn = bm x1 ， … , xj ，… ，xn ≥ 0 = b1 = b2
求解线性规划的方法
求解线性规划的方法
求解线性规划问题的常用方法有以下几种：
1. 单纯形法（Simplex Method）：单纯形法是解线性规划问题的经典方法，通过逐步迭代找到目标函数的最优解。
它适用于小到中等规模的问题。
2. 内点法（Interior Point Method）：内点法通过在可行域内的可行点中搜索目标函数最小化的点来解决线性规划问题。
相对于单纯形法，内点法在大规模问题上的计算效率更高。
3. 梯度法（Gradient Method）：梯度法是基于目标函数的梯度信息进行搜索的一种方法。
它适用于凸优化问题，其中线性规划问题是一种特殊的凸优化问题。
4. 对偶法（Duality Method）：对偶法通过构建原问题和对偶问题之间的关系来求解线性规划问题。
通过求解对偶问题，可以得到原问题的最优解。
5. 分支定界法（Branch and Bound Method）：分支定界法通过将原问题划分为更小的子问题，并逐步确定可行域的界限，来搜索目标函数的最优解。
需要根据具体的问题规模、约束条件和问题特点选择合适的方法进行求解。
运筹学单纯形法
16
三、其他解旳情况 1、无穷多种解 例2 解LP问题：
min Z x1 2 x2 x3 0 x4 0 x5
xx51
1 2c 5 3c
其中c是满足非负性旳任意常数。
21
再由
x1,
x5
旳非负性，知：
x1 x2
1 2c c
0 0
x5 5 3c 0
解出 0 c 5 3
最优解为：
(2c 1, c,0,0,5 3c)T （其中0 c 5 ）
3
最优值为：max S 1.
22
2、无最优解旳两种情况：
相应地，将 X 0代入目的函数得 Z ( X 0 ) 0
从数学角度看，若让非基变量 x1, x2 取值从零增长，
6
min Z 2x1 x2 0x3 0x4 0x5
相应旳目旳函数值Z也将随之降低。所以有可能找到一种 新旳基本可行解，使其目旳函数值有所改善。即进行基变
换，换一种与它相邻旳基。再注意到 x1 前旳系数－2比 x2
x3
6 x1 x1
2x2 x2
x4 x5
xi 0
i 1,,5
15 24 5
目前可行基{ x3, x4 , x5 }所相应旳基本可行解
X 0 (0,0,15,24,5)T
(相应可行域旳 o(0,0) )
显然不是最优。 因为从经济意义上讲， x1 0, x2 0
意味着该厂不安排生产，所以没有利润。
2
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
单纯形法
四、单纯形法的实现——单纯形表
例1：煤电油例 Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2≤360 化为标准型 s.t. 4x1 +5x2 ≤200 3 x1 +10x2 ≤300 x1 , x2≥0 s.t. Max Z=7 x1 +12x2 9 x1 +4x2 +x3 4x1 +5x2 3 x1 +10x2 x1 ,…,x5≥0 +x4 =360 = 200
•
“≥”型约束，减松弛变量；
练习1.3 请将例1.1的约束化为标准型
Maxz = 7 x1 + 12 x 2 ⎧9 x1 + 4 x 2 ≤ 360 ⎪4 x1 + 5 x 2 ≤ 200 s.t.⎨ 3x1 + 10 x 2 ≤ 300 ⎪x , x ≥ 0 ⎩ 1 2
则约束化为
= 360 ⎧9 x1 + 4 x 2 + x3 ⎪4 x + 5 x 2 + x4 = 200 s.t.⎨ 1 3 x1 + 10 x 2 + x5 = 300 ⎪x , x , x , x , x ≥ 0 ⎩ 1 2 3 4 5
例4 下面为某线性规划的约束
=1 ⎧ x1 + 2 x2 + x3 ⎪ + x4 = 3 ⎨2 x1 − x2 ⎪ x1 , , x4 ≥ 0 ⎩ 请例举出其基矩阵和相应的基向量、基变量。
解：
本例中， A = ⎡1 2 1 0⎤，A中的2阶可逆子阵有 ⎢ 2 − 1 0 1⎥ ⎦ ⎣
问题：本例的A中一共有几个基？—— 6个。
易见，增加的松弛变量的系数恰构成一个单位阵I。
一般地，记松弛变量的向量为 X s，则
单纯形法求解线性规划问题例题
单纯形法求解线性规划问题例题线性规划问题（LinearProgrammingProblem,LPP）是指由一系列约束条件和优化目标函数组成的数学最优化模型，它可以用于解决各种单位时间内最高效率的分配问题。
在求解LPP的过程中，单纯形法（Simplex Method）是最主要的优化算法之一。
单纯形法的原理是采用一组基本变量的拿破仑表示法，一步步构造出线性规划问题的最优解。
下面我们来看一个例子：有公司向农户出售两种农药，甲和乙，每瓶甲农药售价3元，每瓶乙农药售价2元，公司每天有200瓶甲农药和150瓶乙农药，问该公司售出多少瓶甲农药和乙农药，能每天获得最大收益？该问题可表示为下述线性规划模型：最大化 $3x_1+2x_2$约束条件：$x_1+x_2le 200$$2x_1+x_2le 150$$x_1,x_2ge 0$由上述模型可知，有两个未知量$x_1$和$x_2$，它们分别代表出售的甲农药和乙农药的瓶数。
单纯形法的基本思想是采用一组基本变量表示未知量，将未知量$x_1$和$x_2$表示为由两个基本变量$y_1$和$y_2$组成的拉格朗日变换系数矩阵形式，即：$x_1+x_2=y_1+y_2$$2x_1+x_2=m(y_1+y_2)$其中，m是一个系数，根据上面的约束条件，m取200/150=4/3，则：$x_1=y_1+frac{1}{3}y_2$$x_2=y_2-frac{1}{3}y_2$由此可以得到该问题的新的线性规划模型：最大化 $3y_1+2(frac{4}{3})y_2$约束条件：$y_1+y_2le 200$$y_2le 150$$y_1,y_2ge 0$可以看出，该问题所构建出来的新的线性规划模型比原来的模型更加容易求解。
我们将建立单纯形表，以便求出最优解。
首先列出单纯形表：$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline& y_1 & y_2 & S_1 & S_2 & f & b hline1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 & 200 hline2 & 0 & 1 & 0 & 1 & 4/3 & 150 hlineend{array}$其中，$y_1$和$y_2$是基本变量，$S_1$和$S_2$是可行解系数，$f$是目标函数系数，$b$是右端项。
单纯形法原理
单纯形法原理
单纯形法是线性规划中常用的一种方法，用于求解极值问题。
它的基本思想是通过不断迭代的方式，逐渐接近最优解。
单纯形法的基本步骤如下：
1. 将线性规划问题转化为标准型。
标准型的约束条件为≤，目标函数为最大化，且所有变量的取值范围为非负数。
2. 利用人为变量引入的方法，将标准型问题转化为初始单纯形表。
3. 选择合适的初始基变量，并计算出对应的基变量解。
4. 计算单纯形表中的评价函数。
如果所有评价函数中的系数都为非负数，则当前基变量解为最优解，过程结束。
否则，继续进行下一步。
5. 选择进入变量和离开变量。
进入变量是指取值为负的评价函数系数对应的变量，离开变量是指进入变量在当前基变量解中最先达到0的变量。
6. 迭代计算，通过变换基变量，逐渐接近最优解。
具体的计算方式为将进入变量对应列调整为单位向量，同时更新初始单纯形表中其它列的数值。
7. 重复步骤4至步骤6，直至得到最优解为止。
值得注意的是，单纯形法的执行依赖于初始基变量的选择，不同的初始基变量可能会得到不同的最优解。
因此，在实际应用中，需要通过灵活选择初始基变量来提高求解效果。
单纯形法解的四种情况
单纯形法解的四种情况单纯形法是运筹学中求解线性规划问题的一种常用方法。
它的基本思想是利用线性规划问题的几何性质，通过不断优化目标函数值，使得问题的最优解逐渐逼近。
在运用单纯形法求解线性规划问题时，存在四种不同的情况，下面一一进行详细介绍。
一、唯一最优解当线性规划问题满足严格的可行性条件和凸性条件时，求解出的最优解就是唯一的。
在这种情况下，单纯形法通过一系列计算步骤，得出的就是该问题的最优解。
此时，算法的收敛速度也是最快的，因为每次迭代都会使得目标函数值有所改善，确定下一次迭代的方向也较为明确。
二、无解当线性规划问题没有可行解时，单纯形法会失败。
这通常是因为约束条件之间存在冲突，导致问题无法求解。
例如，如果一个约束条件要求变量的值大于等于某个数，而另一个约束条件要求该变量的值小于该数，那么就会导致问题无法求解。
这种情况下，单纯形法会一直进行迭代，直到达到指定的迭代次数或者发现无法得到更好的解为止。
三、无界当线性规划问题的目标函数可以无限地取得更小的值时，就被称为无界问题。
这种情况通常是由于约束条件中某个变量的值可以无限大或者无限小，导致目标函数的值可以无限地下降。
在这种情况下，单纯形法会一直迭代下去，但却无法得到最优解。
此时，需要对约束条件进行适当的调整，添加额外的限制条件以消除无界情况。
四、多解当线性规划问题可以有多个最优解时，就称为多解问题。
例如，当目标函数有多个极小值点，每个极小值点都是最优解。
在这种情况下，单纯形法只能找到其中一个最优解，而无法确定其他最优解的位置。
在实际应用中，多解问题较为常见，在解决此类问题时，需要进一步确定目标函数的相关参数，以便正确地找到所有的最优解。
综上所述，单纯形法在求解线性规划问题时，会出现四种不同的情况，即唯一最优解、无解、无界和多解。
对于每种不同的情况，需要采取不同的策略来进行处理。
因此，在运用单纯形法求解线性规划问题时，需要对这些情况进行充分的考虑，以便正确地解决问题。
线性规划中的单纯形法分析
线性规划中的单纯形法分析在数学和运筹学领域中，线性规划是一种优化问题的数学建模方法，通过最小化或最大化线性目标函数，同时满足一系列线性等式和不等式约束条件。
而单纯形法则是一种广泛应用于线性规划问题求解的算法，它通过迭代计算来找到最优解。
本文将对线性规划中的单纯形法进行详细分析。
一、线性规划基本概念在介绍单纯形法之前，我们需要先了解线性规划的基本概念。
线性规划包括目标函数、决策变量和约束条件三个主要部分。
目标函数是线性规划问题中待优化的目标，可以是最大化或最小化某个线性表达式。
决策变量是这个问题中需要确定的变量，它们的取值将影响到目标函数的结果。
约束条件则是对决策变量的限制条件，可以是等式或不等式。
二、单纯形法的基本原理单纯形法是由美国数学家Dantzig于1947年提出的一种求解线性规划问题的有效算法。
该算法基于以下基本原理：在每一次迭代中，通过选择合适的决策变量进行优化，使目标函数的值不断逼近最优解。
具体而言，单纯形法通过构造一个初始可行解，然后通过迭代计算找到一个更优的解。
三、单纯形法的步骤1. 构造初始可行解：根据约束条件，求解一组可行解，并将其用于下一步的迭代计算。
2. 检验最优性：计算当前解的目标函数值，判断是否满足最优性要求。
3. 选择进入变量：根据规则选择一个进入变量，即使得目标函数值增加最大的变量。
4. 选择离开变量：根据规则选择一个离开变量，即使目标函数值达到最大的变量离开。
5. 更新解的值：根据进入变量和离开变量，更新当前解的值。
6. 返回步骤2，直至达到最优解或无界。
四、单纯形法的优缺点1. 优点：a) 单纯形法适用于大多数线性规划问题，并且可以找到全局最优解。
b) 算法相对简单直观，易于理解和实现。
c) 在实践中，单纯形法已被证明是一种高效的求解方法。
2. 缺点：a) 即使是对于中等规模的问题，单纯形法的计算复杂度也很高，需要大量的迭代计算。
b) 在某些特殊情况下，单纯形法可能会陷入循环，并无法找到最优解。
线性规划-单纯形法
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
单纯形法判断解的类型
单纯形法判断解的类型单纯形法是一种用于线性规划问题的优化算法，通过迭代的方式逐步靠近最优解。
在使用单纯形法判断解的类型时，主要有三种可能的结果：无界解、有穷解和无解。
当线性规划问题存在无界解时，意味着目标函数可以无限增加或无限减小。
在单纯形法中，通过计算目标函数系数与约束条件的比值来判断无界解。
如果所有的比值都小于等于0，则表明目标函数可以无限增加，即问题存在无界解。
有穷解是指线性规划问题存在有限的最优解。
在单纯形法中，通过引入人工变量来构造初始解，并通过迭代计算来不断改进解的质量。
如果经过有限次迭代后，目标函数值不再发生改变，则可以确定存在有穷解。
当线性规划问题不存在满足约束条件的解时，称之为无解。
在单纯形法中，通过检查约束条件中的人工变量是否仍然为基变量，来判断是否存在无解情况。
如果人工变量仍然为基变量，则表明约束条件无法满足，即问题无解。
除了以上三种情况外，单纯形法还可以确定最优解的具体数值。
在每一次迭代中，通过计算目标函数的增量以及选择合适的基变量来改变当前解，直到达到最优解。
在单纯形法中，目标函数值的减少是保证最优解的关键。
总结起来，单纯形法通过迭代的方式逐步靠近最优解，并可以判断解的类型为无界解、有穷解或无解。
通过计算目标函数的增量和选择合适的基变量来改变当前解，以求得最优解。
这种方法在实际应用中具有很高的效率和准确性，特别是在大规模线性规划问题中。
在实际应用中，单纯形法可以用于求解各种优化问题，如生产计划、资源分配、运输问题等。
通过对问题进行数学建模，并利用单纯形法求解最优解，可以有效地提高生产效率、降低成本，并实现资源的合理利用。
单纯形法是一种有效的线性规划问题求解方法，通过迭代的方式逐步靠近最优解，并可以判断解的类型为无界解、有穷解或无解。
在实际应用中，单纯形法可以帮助我们解决各种优化问题，提高效率和降低成本。
因此，掌握单纯形法的原理和应用，对于提升我们的问题解决能力和决策水平具有重要意义。
单纯形法的原理
单纯形法是一种线性规划的求解方法，其基本思想是在线性规划问题的可行域内，通过不断迭代，逐步找到最优解。
单纯形法的原理可以概括为以下几个步骤：1. 确定线性规划问题的可行域：对于一个线性规划问题，首先需要确定其可行域，即所有满足约束条件的解的集合。
可行域通常是一个凸多边形，也可以表示为一个凸锥。
2. 确定初始基：在单纯形法中，我们需要选取一个初始基，即一个初始的可行解，来开始迭代过程。
初始基可以是一个非基变量为零的点，也可以是通过某种启发式算法得到的一个初始可行解。
3. 判断最优解：在得到初始基之后，我们需要判断该基是否是最优解。
如果该基对应的目标函数值已经满足要求，则该基是最优解。
否则，我们需要找到一个非基变量，其对应的系数在约束条件下最小，来继续迭代。
4. 确定换入变量：在找到一个非基变量后，我们需要确定一个换入变量，即需要被替换掉的那个基变量。
通常情况下，我们选择当前基中对应的系数最小的非基变量作为换入变量。
5. 进行迭代：在确定了换入变量之后，我们需要进行迭代，将当前基中的某个基变量替换为非基变量，得到一个新的基。
具体来说，我们可以使用高斯消元法来计算新的基变量的系数，并更新当前基的矩阵表示。
6. 判断收敛：在完成一次迭代后，我们需要判断当前基是否已经收敛到最优解。
如果当前基已经满足精度要求，或者达到了一定的迭代次数上限，我们可以认为已经找到了最优解，停止迭代。
否则，我们需要回到步骤3，继续迭代过程。
单纯形法的原理比较简单，其核心思想是通过不断迭代，逐步逼近最优解。
该方法具有良好的数值稳定性和广泛的应用范围，是求解线性规划问题的一种常用方法之一。
需要注意的是，在实际应用中，单纯形法可能会面临一些问题，例如初始基的选择、系数矩阵的奇异性等问题，需要进行一定的处理和优化。
除了单纯形法外，还有许多其他的线性规划求解方法，例如内点法、外点法、椭球算法等。
这些方法各有优缺点和适用范围，可以根据具体问题的特点进行选择和组合使用。
单纯形法标准型
单纯形法标准型单纯形法是一种用于求解线性规划问题的有效方法，它通过不断地移动解向可行域的极端点来寻找最优解。
在实际应用中，线性规划问题往往需要转化为标准型，然后再利用单纯形法进行求解。
本文将对单纯形法标准型进行详细介绍，以便读者能够更好地理解和运用这一方法。
首先，我们来看一下线性规划问题的标准型是如何定义的。
线性规划问题的标准型可以表示为：Max z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ。
Subject to:a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ≤ b₁。
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ≤ b₂。
...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ≤ bₙ。
x₁, x₂, ..., xₙ≥ 0。
其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数，aᵢⱼ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右端常数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量。
接下来，我们将线性规划问题转化为标准型。
对于不等式约束，如果右端常数为负数，则可以通过乘以-1的方式将其转化为非负数。
对于大于等于的约束条件，可以引入松弛变量将其转化为小于等于的形式。
这样，原始的线性规划问题就可以转化为标准型，方便后续的求解。
然后，我们将介绍单纯形法的基本思想和步骤。
单纯形法的基本思想是从一个基本可行解出发，通过不断地移动到更优的基本可行解，直到找到最优解为止。
单纯形法的步骤包括，选择初始基本可行解、确定入基变量和出基变量、计算新的基本可行解、更新目标函数值等。
通过这些步骤，我们可以逐步逼近最优解，并最终找到最优解。
最后，我们需要注意单纯形法的一些特殊情况。
在实际应用中，可能会出现无界解、无可行解或者多个最优解的情况。
针对这些特殊情况，我们需要进行相应的处理，以确保线性规划问题能够得到正确的解。
总之，单纯形法标准型是线性规划问题的一种重要形式，通过将线性规划问题转化为标准型，并利用单纯形法进行求解，我们可以有效地找到最优解。
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题 max z =nj j j=1c x ∑1,1,2,...,0,1,2,...nij j i j ja xb i mx j n =⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n )进行编号, 则可得下列方程组11,111122,1122,1112.........,,...,0m m n n m m n n m m m m nn n nn x a x a x b x a x a x b x ax a x b x x x +++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩显然得到一个m ×m 单位矩阵121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭ 以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得111,111222,112,11.........m m n nm m n nm m m m m mn n x b a x a x x b a x a x x b a x a x ++++++=---⎧⎪=---⎪⎨ ⎪⎪=---⎩令12...0,m m n x x x ++====由上式得(1,2,...,)i i x b i m == 又因i b ≥0, 所以得到一个初始基可行解12()12()(,,...,,0,...,0)(,,...,,0,...,0)Tm n m Tm n m X x x x b b b --= =个个（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
线性规划中的单纯形法求解问题
线性规划中的单纯形法求解问题线性规划是运筹学中的一个重要分支，它的应用范围非常广泛，包括经济、工程、网络、交通等领域。
在实际问题中，我们通常会需要求解一个线性规划问题，而单纯形法是解决线性规划问题的一种常用方法。
1. 线性规划线性规划是一类优化问题，通常在最小化或最大化某个线性函数的同时，满足一组线性约束条件。
一个线性规划问题可以表示为：$$\begin{array}{lll}\textrm{min/max} & c^Tx & \\ \textrm{s.t.} & Ax &\leq b \\ & x &\geq 0\end{array}$$其中，$c$ 是一个 $n$ 维列向量，$A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m$ 维列向量，$x$ 是一个 $n$ 维列向量，代表问题的决策变量。
我们称 $Ax\leq b$ 是问题的约束条件，称 $x\geq0$ 是问题的非负性条件。
线性规划问题的求解可以分为两种基本方法，分别为单纯形法和内点法。
其中，单纯形法是一种经典的方法，应用广泛，是大多数线性规划软件的基础算法之一。
2. 单纯形法基本思想单纯形法的基本思想是通过对问题中的决策变量进行调整，使得目标函数值不断减小（最小化问题）或增大（最大化问题），并且在满足约束条件的前提下，最终找到最优解。
单纯形法的具体步骤如下：步骤1：初始化。
我们从一组基本解开始，即 $m$ 个基本变量和 $n-m$ 个非基本变量构成的向量 $x$。
在最初的阶段，我们需要选择一组基变量，并计算出它们的取值。
这个基变量集合构成了问题的起始基。
步骤2：检查最优性。
首先，我们需要对当前解进行检验，判断它是否为最优解。
如果是最优解，则停止算法；否则，进行下一步。
步骤3：选择进入变量。
我们需要选择一个非基变量，使得将它加入到基变量集合后，目标函数值有最大的增长量。
如果这个增长量为负数，则问题无界。
线性规划单纯形法
线性规划单纯形法线性规划是一种优化问题求解方法，它通过建立数学模型，来寻找使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划的主要特点是目标函数和约束条件都是线性的。
单纯形法是线性规划中最常用的求解方法之一，它是由美国数学家Dantzig在1947年提出的。
单纯形法通过迭代计算的方式，逐步优化目标函数的值，直到找到最优解为止。
单纯形法的步骤如下：1. 建立线性规划模型：确定决策变量、目标函数和约束条件，并确定它们的线性关系。
2. 初始可行解：选择一个初始可行解，使得所有的约束条件都得到满足。
一般来说，可以通过将约束条件全部转化为等式约束，从而求解出一个初始可行解。
3. 判断最优解：计算当前可行解对应的目标函数值，判断是否是最优解。
如果是最优解，则终止算法；如果不是最优解，则进入下一步。
4. 寻找进入变量：选择一个进入变量，即目标函数可以通过增加该变量的值而增大。
5. 寻找离开变量：选择一个离开变量，即通过增加进入变量来保持其他约束条件满足的同时，尽可能减小目标函数的值。
6. 更新可行解：根据进入变量和离开变量的取值更新可行解，并转化为下一个迭代的初始可行解。
7. 重复以上步骤，直到找到最优解为止。
单纯形法的优势在于它可以在有限的迭代次数内找到最优解。
然而，单纯形法的缺点也是显著的，它在处理大规模问题时计算复杂度很高，可能需要大量的计算时间。
总结来说，线性规划单纯形法是一种求解线性规划问题的有效方法。
通过迭代计算，单纯形法不断改进可行解，最终找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
虽然单纯形法在处理大规模问题时存在一定的局限性，但在许多实际问题中仍然得到广泛应用。
§2.2单纯形法
Maxz 7 x 12 x
1
Maxz 7 x1 12x2 0x3 0x4 0x5
3) 当模型中有某变量 xk 没有非负要求， 称为自由变量, 则可令 x x x ,x ,x 0
/ // / // k k k k k
化为标准型。 4) 若某个bi<0,两边乘(-1) 5) 对负变量 x j 0 ，换元设 xj x j 0
2. 最优性检验
问题：用什么检验？ —— 目标。
1 1
X 而目标z CX (C C ) C (B b B N X ) C X X C B b (C C B N ) X
记 C C B N，则当 0 时，当前基可行解为最 优。
1
方法：计算每个变量 x 的检验数 c C B P ,
1
若 0, 则当前解为最优；否则 非最优。
问题：非最优的特征为何？
至少有某个检验数 0。
3. 寻找更好的基可行解（换基迭代） （基变换）
由于基可行解与基对应，即寻找一个新的基可行 解，相当于从上一个基B0变换为下一个新的基B1，因此， 本步骤也称为基变换。 进基
1 1 1 1
360 90 4
[ ] 中表示进基列与出基行的交叉元，下一张表将实行以它为主 元的初等行变换（称高斯消去）。方法是：先将主元消成1，再用此1将 其所在列的其余元消成0。
特点： (1) 目标函数求最大值 (2) 约束条件都为等式方程； (3) 非负约束：决策变量xj为非负； 右端常数项bi非负。
标准型的矩阵表示：
Maxz CX AX b s.t. X 0
其中，A 的秩为m（m n） , b 0。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
AX b
s.t .
X
O
其中 C (c1, c2 , , cn ); X ( x1, x2 , , xn )T
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n
a2n
amn
b1
b
b2
bm
0 O 0
0
若令Pj (a1j ,a2 j , ,amj )T ( j 1,2, , n)
§1 线性规划问题的标准型
一、线性规划模型的标准型
线性规划模型的标准型规定如下：
min S c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
s.t.
a21x1
a22
x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
4．约束常数非负化
xj″≥0 ，
当约束条件为“≤”式时，可在不
若常这以端常数个某（为一数为约个-非 为1为）即负束约负 非非，数等束目； 负负从时式方标．约．而两程，函束使端的则数条得同右可统件右在乘端一等一等当等一统式约号般号般为一．束的称的称最为条左为左为小等件边剩边松；为减余式加弛决去变“；上变一量≥策一量约个 ，”变个，束非使式非使量常负不时负不统数的等，的等一变式可统变式量成在量成，为不为，
线性规划问题的单纯形法
图解法对于两个变量的线性规划问题，是 一个简单易行、形象直观的求解方法，但是当 决策变量多于两个时，图解法就失效了．因此 有必要研究线性规划问题更一般的解法，这种 方法就是单纯形法．本章我们首先介绍线性规 划问题的标准型，然后介绍有关单纯形法的重 要概念，最后对单纯形法进行讨论．
x1, x2 , , xn 0 , j 1,2, , n
其中 bi 0 , (i 1,2, , m)
其紧缩形式为：
n
min S c j x j j1
n
s.t .
aij
j1
xj
bi
x j 0
(i 1,2, , m) ( j 1,2, , n)
其中 bi 0 , (i 1,2, , m) 其矩阵形式为：
等式．
例1.1 将下面的线性规划问题化为标准型
max S x1 3 x2 2 x3
x1 x2 x3 3
s.t .
x1 2 x2 x3 7 3 x1 2 x2 4 x3 6
x1 , x3 0, x2没 有 非 负 限 制
解 （1）令 S=S′ ，则
min S max S x1 3x2 2x3
a21
a12 a22
am1 am2
a1n
a2n
( P1 ,
P2 ,
, Pn )
amn
一般总是假r(A)=m<n．因为只有m<n时，约 束方程组才有无穷多解，才谈得上是优化问题．
一、基、基变量和非基变量 设约束方程系数矩阵A的前m个列向量线性无关
则有
a11 a12 a1m a1m1 a1n
X B B1b B1 NX N
可知，每给非基变量XN一组值，就能得到基变
量XB的一组相应的值，从而得线性规划问题的一
个解．
X ( X B X N )T
特别当 X N O 时，得
X ( X B X N )T (B1b O)T
于是，可得上述线性规划模型的标准型
min S x1 3( x2 x2) 2x3 0x4 0x5
x1 ( x2 x2) x3 x5 3
s.t
.
x1 2( x2 x2) x3 3x1 2( x2 x2) 4
x4 x3
7 6
x1 , x2 , x2, x3 , x4 , x5 0
二、基本解、基本可行解和最优基本可行解
对变量X也做相应的分块，即
X (x1 ,
x2 ,
,
xm ,
xm1 ,
,
xn )T
XB XN
其中，XB表示关于基B的基变量，XN表示关于基
B的非基变量．
这样，约束方程组AX=b可以改写为
即 因为
(B
N
)
X X
B N
b
BX B NX N b
B 0 所以存在B-1，用B-1左乘上式后得
A
a21
a22
a2m
a2m1
a2n
am1 am2
amm
amm 1
amn
=（P1 P2 … Pm | Pm+1 … Pn）=（B | N）
其中 B 0称B为线性规划问题的一个基阵，简称 为基， 并称构成基阵的列向量 Pj ( j 1,2, , m)为基 向量，其余的列向量Pm+1，Pm+2，…，Pn称为非基 向量；与基向量 Pj 相对应的 x j ( j 1,2, , m) 称为 关于基B的基变量， 除此均称为关于基B的非基变量.
x1
则
A (P1, P2 ,
,
Pn
)
x2 xn
n j 1
Pj x j
于是
minS CX
n
s.t .
Pj x j b
j1
X O
线性规划问题的标准型具有如下特点：
（1）目标函数为最小：minS CX （2）决策变量为非负：X O （3）约束条件为等式： AX b （4）约束常数为非负： b 0
注1：所求的 maxS min S
注2：由于引入的剩余变量在经济问题中表示 应付需求的剩余，而松弛变量表示没有被利用的 闲置资源，它们都不会产生利润，所以在目标函 数中，其系数必为零．
§2 单纯形解的基本概念
对于一个线性规划问题
minS CX
其约束矩阵为
AX b
s.t
.
X
O
a11
A
如果给出的Leabharlann 题中，目标函数是最大化的类型，则可令
二、线性规划问题的标S准′化如=-果S，某这个样变就量将没目有标非函负数限
即最制小，化即．x在j≤求0或出xSj符′号的不值
1．目标函数最小化 以后限，．乘对以于（x-j1≤）0就，是可原令问题
2．决策变量非负化 3．约束条件等式化
的最x大j′值=-．xj ，xj′≥0 ；若 符号不限，则可令xj =xj′-xj″,其中xj′≥0,
（2）由于x2没有非负限制，因此可令 x2 x2 x2 其中 x2 0, x2 0
（3）引入剩余变量x4 0 松弛变量 x5 0
可将第一、二个约束条件化为等式，即
x1 ( x2 x2) x3 x4 3
x1 2( x2 x2) x3 x5 7
（4）以（-1）乘以第三个约束方程两边，使 其右端常数非负．