高考理科数学(人教版)一轮复习练习：第二篇第9节函数模型及其应用含解析

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高考理科数学(人教版)一轮复习练习：第二篇第9节函数模型及其应用

高考理科数学（人教版）一轮复习练习：第二篇第9节函数模型及其应用【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( C )(A)y=100x (B)y=50x2-50x+100(C)y=50×2x (D)y=100log2x+100解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数函数模型. 故选C.2.(2017·广元三模)某城区按以下规定收取水费:若每月用水不超过20 m3,则每立方米水费按2元收取;若超过20 m3,则超过的部分按每立方米3元收取,如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元,则这户居民这月共用水( D )(A)46 m3 (B)44 m3 (C)26 m3 (D)25 m3解析:设这户居民这个月共用水x立方米,20×2+(x-20)×3=2.2x,40+3x-60=2.2x,0.8x=20,x=25.他这个月共用了25立方米的水.故选D.3.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料一边靠墙围成一个矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形,如图所示,则围成矩形场地最大面积为( B )(A)2 000 m2 (B)2 500 m2 (C)2 800 m2 (D)3 000 m2解析:设每个小矩形长为x,宽为y,则4x+3y=200,S=3xy=x(200-4x)=-4x2+200x=-4(x-25)2+2 500,所以x=25时,Smax=2 500(m2).故选B.4.某工厂2017年生产某产品2万件,计划从2018年开始每年比上一年增产20%,从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件(已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( D )(A)2021年(B)2022年(C)2023年(D)2024年解析:设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件,根据题意,得2(1+20%)n>6,即1.2n>3,两边取对数,得nlg 1.2>lg 3,。

高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第9节函数模型及其应用跟踪检测文含解析

第二章函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆．所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误．答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元．则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立，则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ，则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0；当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%，所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15，所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意，所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6，即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。

高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及其应用课件理

必修(bìxiū)部分
第二章函数(hánshù)、导数及其应用
第九节函数模型(móxíng)及其应用
第一页，共33页。
栏
考情分析 1
(fēnxī)
目
基础自主(zìzhǔ) 2
3 考点疑难(yí
nán)突破
导
梳理
航
4 课时跟踪检测
第二页，共33页。
1
考情分析
第三页，共33页。
考点分布
考纲要求
第十三页，共33页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是 20 万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．
解析：利润 L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当 x＝18 时，L(x)有最大值．答案：18
第三十页，共33页。
指数函数与对数函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题.
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c 为常数，a≠0)
第六页，共33页。
f(x)＝bax＋c 指数函数模型
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c
(a，b，c 为常数，b≠0，a＞0 且 a≠1)

高考数学一轮复习 2.9 函数模型及应用课时作业理(含

【与名师对话】2015高考数学一轮复习 2.9 函数模型及应用课时作业理（含解析）新人教A版一、选择题1．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示为( )解析：根据题意得解析式h＝20－5t(0≤t≤4)，其图象为B.答案：B2．(2013·荆州模拟)在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：A．y＝a＋bx B．y＝a＋b x C．y＝ax2＋b D．y＝a＋b x解析：法一：作散点图，由散点图可知，应选B.法二：从表中发现0在函数的定义域内而否定D；函数不具奇偶性，从而否定C；自变量的改变量相同而函数值的改变量不同而否定A.故选B.答案：B3．某地2004年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2014年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为________万 m2.(1.0110≈1.1045)()A．90 B．87 C．85 D．80解析：到2010年底该城市人口有500×(1＋1%)10≈552.25 万人，则500×1＋1%10×7－500×610≈86.6(万 m 2)．答案：B4．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性回位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量，已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10 ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )A ．5 太贝克B ．75 ln 2太贝克C ．150 ln 2太贝克D ．150 太贝克解析：M ′(t )＝M 02－t30 ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫130M ′(30)＝M 012ln 2⎝⎛⎭⎪⎫－130＝－10ln 2，∴M 0＝600∴M (60)＝600×2－6030＝150. 答案：D5．(2013·江西南昌调研考试)如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个小孔以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：正方体中，h 和t 成正比例关系，图象应是一条上升曲线，故选A.答案：A6．(2013·江西省八校联考)一高为H、满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为H时水的体积为V，则函数的大致图像可能是( )解析：由题意知H 越小，其体积V 越小，故排除A 、C ，对应轴截面的形状知此鱼缸上、下细，中间粗，结合高H 及体积的变化率知选B.答案：B 二、填空题7．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．解析：设这种商品涨价x 元，则其定价为90＋x ，销量减少20x ，利润y ＝(10＋x )(400－20x )＝－20[(x －5)2＋175]仅当x ＝5时，利润最大，即商品售价为95元时．答案：958．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．辛云和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为________．解析：依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤200，0.9x ，200<x ≤500，500×0.9＋x －500×0.7，x >500.当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168；当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470.所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6元，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．答案：546.6元9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：20 三、解答题10．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出；当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车辆每月需要维护费200元．(1)当每辆车月租金为3 600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？解：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为3 600－3 00050＝12，所以这时租出了88辆车．(2)设每辆车的月租金定为x (x ≥3 000)元，则租赁公司的月收益为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫100－x －3 00050(x －200)，整理得f (x )＝150(8 000－x )(x －200)＝－150x 2＋164x －32 000＝－150(x －4 100)2＋304 200.所以，当x ＝4 100时，f (x )最大．最大值为f (4 100)＝304 200，即当每辆车的月租金定为4 100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为304 200元．11．(2014·福建四市六地高三模拟)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次次购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式； (2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？解：(1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600.(2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600.当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050， ∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050>2 000. 所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．12．(2013·河北正定中学月考)据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2，当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上，可知s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650. 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城． [热点预测]13．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )解析：设矩形花圃的长为x m(a ≤x <12)，则此矩形花圃的面积S (x )＝x (16－x )＝64－(x －8)2，①当0<a ≤8时，S (x )max ＝S (8)＝64；②当8<a <12时，S (x )max ＝S (a )＝64－(a －8)2，故u ＝f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64，0<a ≤864－a －82，8<a <12.故函数u ＝f (a )的图象大致是C. 答案：C。

高三数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用课件理新人教A版

(3)今后最多还能砍伐多少年？
第二十四页，共49页。
【解】 (1)设每年降低的百分比为x(0＜x＜1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12. 解得x＝1－(12)110. (2)设经过m年剩余面积为原来的 22，则a(1－x)m＝ 22a， ∴(12)1m0＝(12)12，1m0＝12，解得m＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍了n年，
第二十三页，共49页。
(2013·广州模拟)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至
少要保留原面积的
1 4
，已知到今年为止，森林剩余面积为原
来的
2 2
(1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
D．{1.5，2，2.5}
【解析】当m∈[0.5，3.2]时，[m]所有可能值为0，1， 2，3共四个，故f(m)的值域为{1，1.5，2，2.5}．
【答案】 B
第七页，共49页。
3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某
企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋
2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该
第九节函数(hánshù)模型及其应用
第一页，共49页。
1．三种函数模型之间增长速度(zēnɡ chánɡ sùdù)的比较
函数性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
在(0，＋ ∞)
上的增减性
单__调___(d__ā_n_d_i_à_o_)_递__增单调__(_d_ā_n_d_i_à_o_)递__增 _单__调__递___增___

人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第2章第9节函数模型及其应用含答案

第九节函数模型及其应用[考纲传真] 1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．(2)反比例函数模型：y ＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)． (3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数，b ＞0，b ≠1，a ≠0)． (5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，a ＞0，a ≠1，m ≠0)． (6)幂函数模型：y ＝a ·x n ＋b (a ≠0)． 2．三种函数模型之间增长速度的比较3.(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：[常用结论]形如f (x )＝x ＋ax (a ＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)内单调递增，在[－a ，0]和(0，a ]上单调递减． (2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a .[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 与函数y ＝x 2的图象有且只有两个公共点．( ) (2)幂函数增长比直线增长更快．( ) (3)不存在x 0，使ax 0＜x n 0＜log a x 0.( )(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )＜f (x )＜g (x )．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表，则x ，y 最适合的函数是( )A .y ＝2x C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2 xD [当x ＝0.50时，y ＝－0.99，从而排除选项A 、C ，又当x ＝2.01时，y ＝0.98，从而排除选项B ，故选D .]3．(教材改编)一个工厂生产一种产品的总成本y (单位：万元)与产量x (单位：台)之间的函数关系是y ＝0.1x 2＋10x ＋300(0＜x ≤240，x ∈N)，若每台产品的售价为25万元，生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润＝销售收入－产品成本)时的产量是( ) A ．70台 B ．75台 C ．80台D ．85台B [由题意可知，利润f (x )＝25x －y ＝－0.1x 2＋15x －300，(0＜x ≤240，x ∈N) ∴当x ＝75时，f (x )取到最大，故选B .]4．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( ) A ．减少7.84% B ．增加7.84% C ．减少9.5%D ．不增不减A [设某商品原来价格为a ，四年后价格为： a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ， (0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%.]5．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/k m ，如果超过100 k m ，超过100 k m 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________．y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0＜x ≤1000.4x ＋10，x ＞100 [由题意可知，当0＜x ≤100时，y ＝0.5x . 当x ＞100时，y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4 ＝0.4x ＋10.∴y ＝⎩⎨⎧0.5x ，0＜x ≤1000.4x ＋10，x ＞100.]用函数图象刻画变化过程1.如图，在不规则图形ABCD 中，AB 和CD 是线段，AD 和BC 是圆弧，直线l ⊥AB 于E ，当l 从左至右移动(与线段AB 有公共点)时，把图形ABCD 分成两部分，设AE ＝x ，左侧部分面积为y ，则y 关于x 的大致图象为( )A B C DD [因为左侧部分面积为y ，随x 的变化而变化，最初面积增加得快，后来均匀增加，最后缓慢增加，只有D 选项适合．]2．物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0，各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )A B C DB [因为运输效率逐步提高，故曲线上每点处的切线斜率应该逐渐增大，故选B .]3．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是( )A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D ．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油D [根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A 错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B 错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C 错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D 对．]应用所给函数模型解决实际问题【例1】小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ [解] (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15，此时，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A ．3.50分钟 B ．3.75分钟 C ．4.00分钟D ．4.25分钟(2)(2019·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．(1)B (2)16 [(1)根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎨⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎨⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2 ＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．(2)当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b ＝12a ，∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －b t ＝18a ，e －b t ＝18＝(e －8 b )3＝e －24b ，则t＝24，所以再经过16 min .]构建函数模型解决实际问题【例2】某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ [解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115. 令50x －115＞0，解得x ＞2.3. ∵x ∈N *，∴3≤x ≤6，x ∈N *. 当x ＞6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115＞0，有3x 2－68x ＋115＜0. 又x ∈N *，∴6＜x ≤20(x ∈N *)，故y ＝⎩⎨⎧50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，－3x 2＋68x －115(6＜x ≤20，x ∈N *).(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y max ＝185. 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113(6＜x ≤20，x ∈N *)，当x ＝11时，y max ＝270.又∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( ) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年B [设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金开始超过200万元．由130(1＋12%)n >200，得1.12n >2013，两边取常用对数，得n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元．]函数模型的选择【例3】 (2019·沈阳模拟)某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋7；③f (x )＝log q (x ＋p )．其中p ，q 均为常数且q ＞1.(注：x 表示上市时间，f (x )表示价格，记x ＝0表示4月1号，x ＝1表示5月1号，…，以此类推x ∈[0,5])(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；(2)对(1)中所选的函数f (x )，若f (2)＝11，f (3)＝10，记g (x )＝f (x )－2x －13x ＋1，经过多年的统计发现，当函数g (x )取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？[解] (1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，故应该选择②f (x )＝px 2＋qx ＋7.(2)由f (2)＝11，f (3)＝10解得f (x )＝－x 2＋4x ＋7. g (x )＝f (x )－2x －13x ＋1＝－x 2－2x ＋6x ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9x ＋1＋(x ＋1)－4.因为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9x ＋1＋(x ＋1)－4≤－2，当且仅当x ＋1＝3，即x ＝2时等号成立．所以明年拓展外销的时间应为6月1号．较准确地反映商场月销售额f (x )与月份x 的关系且满足f (1)＝8，f (3)＝2的函数为( ) A ．f (x )＝20×⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝－6log 3 x ＋8C ．f (x )＝x 2－12x ＋19D ．f (x )＝x 2－7x ＋14D [把f (1)＝8，f (3)＝2逐一代入四个选项中，并结合f (x )与x 间呈先下降后上升的趋势，不难选出选项D 符合．]。

高三数学一轮复习第2篇第9节函数模型及其应用课件理

市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图(1);B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图(2)(注:利润和投资单位:万元).
2.几种常见的函数模型见附表
固双基
y=xn(n>0)
单调递增函数
相对平稳随 n 值变化而不同
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3.解函数应用问题的步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言, 利用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:
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基础自测 1.下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( A )
(A)v= 1 ·ex (B)v=100ln x 100
(C)v=x100
(D)v=100×2x
解析:只有 v= 1 ·ex 和 v=100×2x 是指数函数, 100
并且 e>2,
所以 v= 1 ·ex 的增大速度快, 100
答案:②⑤
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考点突破
考点一一次函数、二次函数模型
剖典例找规律
【例 1】为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下, 进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)
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反思归纳解函数应用题时首先要把求解目标表示为一个变量的函数,这个变量应该把求解目标需要的一切量表示出来,同时注意实际问题的函数定义域(指定的、根据实际意义的),一般不是由求出的函数解析式确定的.

2024届新高考一轮总复习人教版第二章第9节函数模型及其应用课件(37张)

A．当 T＝220，P＝1 026 时，二氧化碳处于液态 B．当 T＝270，P＝128 时，二氧化碳处于气态 C．当 T＝300，P＝9 987 时，二氧化碳处于超临界状态 D．当 T＝360，P＝729 时，二氧化碳处于超临界状态
解析：对于 A 选项，当 T＝220，P＝1 026 时，lg P＝lg 1 026>lg 103＝3，根据题图可知，二氧化碳处于固态；
解析：由题图得，前三小时的产量在逐步减少，故 A 错误，B 正确；最后两小时内没有生产产品，故 C 错误，D 正确．故选 BD．
答案：BD
2．(2022·北京高考)在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与 T 和 lg P 的关系，其中 T 表示温度，单位是 K；P 表示压强，单位是 bar. 下列结论中正确的是( )
第二章函数
[课标解读] 1.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及一元一次函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用．
1．几类函数模型函数模型
一次函数模型
反比例函数模型
二次函数模型指数函数模型对数函数模型幂函数模型
备考第 1 步——梳理教材基础，落实必备知识
函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b 为常数，a≠0) f(x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0) f(x)＝bax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1) f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)

2020版高考理科数学(人教版)一轮复习讲义：第二章第九节函数模型及其应用 Word版含答案

第九节函数模型及其应用1．几类函数模型2．三种函数模型的性质 ❶对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减.当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ；当 x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (1)当描述增长速度变化很快时，选用指数函数模型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，选用对数函数模型． (3)幂函数模型y ＝x n (n ＞0)可以描述增长幅度不同的变化，当n 值较小(n ≤1)时，增长较慢；当n 值较大(n ＞1)时，增长较快.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(3)不存在x0，使ax0＜x n0＜log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a＞0)的增长速度．()(5)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、选填题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()AC．指数函数模型D．对数函数模型解析：选A根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()解析：选C小明匀速行驶时，图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.3．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4 096个需经过________小时．解析：设需经过t小时，由题意知24t＝4 096，即16t＝4 096，解得t＝3.答案：34．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km，票价是0.5元/km；如果超过100 km，超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(元)与行程千米数x(km)之间的函数关系式是____________．解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞1005．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．解析：设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．答案：18考点一应用所给函数模型解决实际问题[师生共研过关][典例精析]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．[解析] 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2 ＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2 ＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟． [答案] 3.75[解题技法]求解所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．[过关训练]1．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B (x －A )，x ＞A .已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元解析：选A 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12(x －5)，x ＞5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元解析：选D 设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20) ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700. 令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0,30)时，L ′(p )＞0，当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )＜0，故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23 000.。

高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第2章第9节函数模型及其应用Word版含解析

第九节函数模型及其应用[考纲传真 ] 1.认识指数函数、对数函数、幂函数的增添特色，联合详细实例领会直线上涨、指数增添、对数增添等不一样函数种类增添的含义.2.认识函数模型 (如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中广泛使用的函数模型 )的宽泛应用．1．常有的几种函数模型(1)一次函数模型： y＝kx＋b(k≠0)．k(2)反比率函数模型： y＝x＋ b(k， b 为常数且 k≠0)．(3)二次函数模型： y＝ax2＋ bx＋c(a，b，c 为常数， a≠0)．(4)指数函数模型： y＝a·b x＋c(a，b，c 为常数， b＞0，b≠1，a≠0)．(5)对数函数模型： y＝ mlog a x＋n(m， n， a 为常数， a＞0，a≠1，m≠0)．(6)幂函数模型： y＝a·x n＋ b(a≠ 0)．2．三种函数模型之间增添速度的比较函数y＝ x n(n＞0)y＝ a x(a＞1)y＝ log a x(a＞1)性质在(0，＋∞ )单一递加单一递加单一递加上的增减性增添速度愈来愈快愈来愈慢相对安稳随 x 的增大逐随 x 的增大逐随 n 值变化而图象的变化渐表现为与 y渐表现为与 x各有不一样轴平行轴平行值的比较存在一个 x0，当 x＞x0时，有 log a＜n＜a xx x3.解函数应用问题的步骤 (四步八字 )(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数目关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转变为数学语言，将文字语言转变为符号语言，利用数学知识，成立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)复原：将数学识题复原为实质问题．以上过程用框图表示以下：1．(思虑辨析 )判断以下结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)函数x的函数值比 y＝x2的函数值大． ()(1)y＝2(2)幂函数增添比直线增添更快． ()(3)不存在 x0，使 ax0＜ x0n＜log a x0.()2，g(x)＝ 2x，h(x)＝ log2，当x ∈(4，＋∞时，恒有h(x)＜f(x)＜(4)f(x)＝ x x)g(x)． ()[答案 ](1)×(2)× (3)× (4)√2．已知某种动物生殖量y(只)与时间 x(年)的关系为 y＝alog3(x＋1)，设这类动物第 2 年有 100 只，到第 8 年它们发展到 ()A．100 只 B.200 只C．300 只 D.400 只B[由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，当x＝8时，y ＝100log3 9＝200.]3．(教材改编 )在某种新式资料的研制中，试验人员获取了以下一组试验数据．现准备用以下四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，此中最靠近的一个是 ()x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12y0.97 1.59 1.98 2.35 2.61A.y＝2xB.y＝log2x12C．y＝2(x －1) D.y＝2.61cos xB[由表格知当x＝3时，y＝1.59，而A中y＝23＝8，不合要求，B中y＝log23 12∈(1,2)，C 中 y＝2(3 －1)＝4，不合要求， D 中 y＝2.61cos 3＜ 0，不合要求，应选B.]4．一根蜡烛长 20 cm，点燃后每小时焚烧 5 cm，焚烧时剩下的高度h(cm)与焚烧时间 t(h)的函数关系用图象表示为()【导学号： 01772069】B[由题意h＝20－5t,0≤t≤4.联合图象知应选 B.]5．某市生产总值连续两年连续增添．第一年的增添率为 p，第二年的增添率为 q，则该市这两年生产总值的年均匀增添率为 ________．1＋p 1＋q －1[设年均匀增添率为x，则 (1＋ x)2＝ (1＋p)(1＋q)，∴x＝1＋ p 1＋q － 1.]用函数图象刻画变化过程(1)某工厂 6 年来生产某种产品的状况是：前 3 年年产量的增添速度越来越快，后 3 年年产量保持不变，则该厂 6 年来这类产品的总产量 C 与时间 t(年)()的函数关系图象正确的选项是A B C D(2)已知正方形 ABCD 的边长为 4，动点 P 从 B 点开始沿折线 BCDA 向 A 点运动．设点 P 运动的行程为 x，△ABP 的面积为 S，则函数 S＝f(x)的图象是 ( )【导学号： 01772070】A B C D(1)A(2)D[(1) 前 3 年年产量的增添速度愈来愈快，说明呈高速增添，只有A、 C 图象切合要求，尔后 3 年年产量保持不变，产品的总产量应呈直线上涨，应选 A.(2)依题意知当 0≤x≤4 时，f(x)＝ 2x；当 4<x≤ 8 时，f(x)＝8；当 8<x≤12 时，f(x)＝24－2x，察看四个选项知，选 D.][规律方法 ]判断函数图象与实质问题中两变量变化过程相符合的两种方法：(1)建立函数模型法：当依据题意易建立函数模型时，先成立函数模型，再联合模型选图象．(2)考证法：当依据题意不易成立函数模型时，则依据实质问题中两变量的变化特色，联合图象的变化趋向，考证能否符合，从中清除不切合实质的状况，选择出切合实质状况的答案．[变式训练 1]设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了 20 分钟，在乙地歇息 10 分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的行程y 和其所用的时间 x 的函数图象为()D[y为“小王从出发到返回原地所经过的行程”而不是位移，故清除 A ，C.又由于小王在乙地歇息10 分钟，故清除 B，应选 D.]应用所给函数模型解决实质问题某公司生产 A，B 两种产品，依据市场检查与展望， A 产品的收益与投资成正比，其关系如图2-9-1①；B 产品的收益与投资的算术平方根成正比，其关系如图 2-9-1②.(注：收益和投资单位：万元 )①②图 2-9-1(1)分别将 A，B 两种产品的收益表示为投资的函数关系式；(2)已知该公司已筹集到18 万元资本，并将所有投入 A，B 两种产品的生产．①若均匀投入生产两种产品，可获取多少收益？②问：假如你是厂长，如何分派这18 万元投资，才能使该公司获取最大利润？其最大收益约为多少万元？[解 ] (1)f(x)＝0.25x(x≥0)， g(x)＝2x(x≥ 0).3 分(2)①由 (1)得 f(9)＝2.25，g(9)＝29＝6，因此总收益 y＝ 8.25 万元 .5 分②设 B 产品投入 x 万元， A 产品投入 (18－ x)万元，该公司可获总收益为y万元．1则 y＝4(18－x)＋2 x，0≤x≤18.7 分令 x＝t， t∈[0,3 2]，121217则 y＝4(－t＋8t＋18)＝－4(t－4)＋2 .17因此当 t＝4 时， y max＝2＝8.5，9 分此时 x＝ 16,18－x＝2.因此当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、 16 万元时，可使该公司获取最大利润，约为 8.5 万元 .12 分[规律方法 ]求解所给函数模型解决实质问题的关注点：(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)依据已知利用待定系数法，确立模型中的待定系数．(3)利用该模型求解实质问题．易错警告：解决实质问题时要注意自变量的取值范围．[变式训练 2](2017 ·西城区二模 )某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费C， 0＜ x≤ A，已知某家庭 2016 年前三个月的煤气f(x)(元)知足关系 f(x)＝C＋ B x－A ，x＞A.费以下表：月份用肚量煤气费一月份 4 m3 4 元二月份25 m314 元三月份35 m319 元若四月份该家庭使用了 20 m3的煤气，则其煤气费为 ()A．11.5 元 B.11 元C．10.5 元 D.10 元A [依据题意可知 f(4)＝ C ＝4，f(25)＝C ＋ B(25－ A)＝14，f(35)＝C ＋ B(35－A)4，0＜x ≤5，＝ 19，解得 A ＝ 5， B ＝ 11因此 f(20)2， C ＝4，因此 f(x)＝4＋2 x －5 ， x ＞5，1＝ 4＋ 2(20－5)＝ 11.5，应选 A.]建立函数模型解决实际问题(1)(2016 四·川高考 )某公司为激励创新，计划逐年加大研发资本投入，若该公司 2015 年整年投入研发资本130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增添 12%，则该公司整年投入的研发资本开始超出 200 万元的年份是(参照数据： lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11， lg 2≈0.30)()A ．2018 年B.2019 年C ．2020 年D.2021 年(2)一个工厂生产某种产品每年需要固定投资 100 万元，别的每生产 1 件该产品还需要增添投资 1 万元，年产量为 x(x ∈ N * )件．当 x ≤ 20 时，年销售总收入为 (33x －x 2)万元；当 x>20 时，年销售总收入为 260 万元．记该工厂生产并销售这类产品所得的年收益为 y 万元，则 y(万元 )与 x(件 )的函数关系式为 ________，该工厂的年产量为 ________件时，所得年收益最大． (年收益＝年销售总收入－年总投资 )(1)B (2)y ＝－x 2＋32x － 100， 0＜ x ≤ 20，*)16 [(1) 设 2015 年后160－x ，x ＞ 20(x ∈ N的第 n 年该公司投入的研发资本开始超出200 万元．由 130(1＋12%)n >200，得n 20lg 2－ lg 1.3≈0.30－0.11 191.12 >13，两边取常用对数，得 n> lg 1.12 0.05＝ 5 ，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资本开始超出200 万元．(2)当 0＜x ≤20 时，y ＝(33x － x 2)－x －100＝－ x 2＋32x －100；当 x ＞20 时，y＝ 260－100－x ＝160－x.－x2＋ 32x－100，0＜x≤20，故 y＝(x∈N* )．160－x，x＞20当 0＜ x≤20 时， y＝－ x2＋32x－100＝－ (x－16)2＋156，x＝ 16 时， y max＝156.而当 x＞ 20 时， 160－x＜140，故 x＝16 时获得最大年收益． ][规律方法 ]建立函数模型解决实质问题的常有种类与求解方法：(1)建立二次函数模型，常用配方法、数形联合、分类议论思想求解．(2)建立分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法．a(3)建立 f(x)＝ x＋x(a＞0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解．易错警告：求解过程中不要忽略实质问题是对自变量的限制．[变式训练 3] (2016 ·宁波模拟 )某工厂生产某种产品固定成本为2 000 万元，而且每生产一单位产品，成本增添 10 万元．又知总收入 K 是单位产品数 Q 的函数， K(Q)＝40Q－201Q2，则总收益 L(Q)的最大值是 ________万元．121212 500[L(Q)＝40Q－20Q－10Q－2 000＝－20Q＋30Q－2 000＝－20(Q－2当 Q＝ 300 时， L(Q)的最大值为 2 500 万元． ][思想与方法 ]1．仔细剖析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础．2．实质问题中常常解决一些最值问题，能够利用二次函数的配方法、函数的单一性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④复原．[易错与防备 ]1．函数模型应用不妥，是常有的解题错误．因此，要正确理解题意，选择适合的函数模型．2．要特别关注实质问题的自变量的取值范围，合理确立函数的定义域．3．注意问题反应．在解决函数模型后，一定考证这个数学结果对实质问题的合理性．。

高考数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第9节函数模型及其应用训练理新人教版

第9节函数模型及其应用知识点、方法题号一次、二次函数模型2,3,7,8指数、对数函数模型1,4,10函数模型的综合应用5,6,9,11,12,13基础巩固(时间:30分钟)1.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是( C )(A)y=100x (B)y=50x2-50x+100(C)y=50×2x(D)y=100log2x+100解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数函数模型. 故选C.2.(2017·广元三模)某城区按以下规定收取水费:若每月用水不超过20 m3,则每立方米水费按2元收取;若超过20 m3,则超过的部分按每立方米3元收取,如果某户居民在某月所交水费的平均价为每立方米2.20元,则这户居民这月共用水( D )(A)46 m3(B)44 m3(C)26 m3(D)25 m3解析:设这户居民这个月共用水x立方米,20×2+(x-20)×3=2.2x,40+3x-60=2.2x,0.8x=20,x=25.他这个月共用了25立方米的水.故选D.3.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料一边靠墙围成一个矩形场地,中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形,如图所示,则围成矩形场地最大面积为( B )(A)2 000 m2(B)2 500 m2 (C)2 800 m2(D)3 000 m2解析:设每个小矩形长为x,宽为y,则4x+3y=200,S=3xy=x(200-4x)=-4x2+200x=-4(x-25)2+2 500,所以x=25时,S max=2 500(m2).故选B.4.某工厂2017年生产某产品2万件,计划从2018年开始每年比上一年增产20%,从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件(已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( D ) (A)2021年(B)2022年(C)2023年(D)2024年解析:设再过n年这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件,根据题意,得2(1+20%)n>6,即1.2n>3,两边取对数,得nlg 1.2>lg 3,所以n>≈6.031 6.所以n=7,即2017+7=2024.所以从2024年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件.故选D.5.(2017·山西长治期中)制作一个面积为 1 m2,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济的(够用,又耗材最少)是( C )(A)4.6 m (B)4.8 m (C)5 m (D)5.2 m解析:设一条直角边为x,则另一条直角边是,斜边长为,故周长C=x++≥2+2≈4.82,当且仅当x=时等号成立,故较经济的(够用,又耗材最少)是5 m.故选C.6.(2016·长春联合测试)某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( B )(A)略有盈利(B)略有亏损(C)没有盈利也没有亏损(D)无法判断盈亏情况解析:设该股民购这只股票的价格为a,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a×1.1n,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.故选B.7.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.解析:设内接矩形另一边长为y,则由相似三角形性质可得=,解得y=40-x,所以面积S=x(40-x)=-x2+40x=-(x-20)2+400(0<x<40),当x=20时,S max=400(m2).答案:208.某人根据经验绘制了2017年元旦前后,从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月26日大约卖出了西红柿千克.解析:前10天满足一次函数关系式,设为y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k=,b=,所以y=x+,则当x=6时,y=.答案:能力提升(时间:15分钟)9.某地区植被破坏、土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加的面积分别为198.5公顷、399.6公顷和793.7公顷,则沙漠增加面积y(公顷)关于年数x的函数关系较为近似的是( C )(A)y=200x (B)y=100x2+100x(C)y=100×2x(D)y=0.2x+log2x解析:对于A,x=1,2时,符合题意,x=3时,相差较大,不符合题意;对于B,x=1时,符合题意,x=2,3时,相差较大,不符合题意;对于C,x=1,2,3时,y值都近似符合题意;对于D,x=1,2,3时,相差较大,不符合题意.故选C.10.某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P mg/L与时间t h间的关系为P=P0e-kt.若在前5个小时消除了10%的污染物,则污染物减少50%所需要的时间约为(已知lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)( B )(A)26小时(B)33小时(C)36小时(D)42小时解析:由题意,前5个小时消除了10%的污染物,因为P=P0e-kt,所以(1-10%)P0=P0e-5k,所以k=-ln 0.9;则P=P0,当P=50%P0时,有50%P0=P0,所以ln 0.9=ln 0.5,所以t=≈33,即污染物减少50%需要花33小时.故选B.11.已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P=;投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q=(a>0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品,使所获得的利润不少于5万元,则a的最小值为.解析:设投资乙商品x万元(0≤x≤20),则投资甲商品(20-x)万元.利润分别为Q=(a>0),P=,因为P+Q≥5,0≤x≤20时恒成立,则化简得a≥,0≤x≤20时恒成立.(1)x=0时,a为一切实数;(2)0<x≤20时,分离参数a≥,0<x≤20时恒成立,所以a≥,a的最小值为.答案:12.(2017·南昌二模)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足x=3-函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是万元.解析:由题知t=-1,(1<x<3),所以月利润:y=(48+)x-32x-3-t=16x--3=16x-+-3=45.5-[16(3-x)+]≤45.5-2=37.5,当且仅当x=时取等号,即月最大利润为37.5万元.答案:37.513.某化工厂从今年一月起,若不改善生产环境,按生产现状,每月收入为70万元,同时将受到环保部门的处罚,第一个月罚3万元,以后每月增加2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计),一方面可以改善环境,另一方面也可以大大降低原料成本.据测算,添加回收净化设备并投产后的前5个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间n个月的二次函数g(n)=n2+kn(k是常数),且前3个月的累计生产净收入可达309万,从第6个月开始,每个月的生产净收入都与第5个月相同.同时,该厂不但不受处罚,而且还将得到环保部门的一次性奖励100万元.(1)求前8个月的累计生产净收入g(8)的值;(2)问经过多少个月,投资开始见效,即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.解:(1)据题意g(3)=32+3k=309,解得k=100,所以g(n)=n2+100n,(n≤5)第5个月的净收入为g(5)-g(4)=109(万元),所以,g(8)=g(5)+3×109=852万元.(2)g(n)=即g(n)=若不投资改造,则前n个月的总罚款3n+×2=n2+2n,令g(n)-500+100>70n-(n2+2n),得g(n)+n2-68n-400>0.显然当n≤5时,上式不成立;当n>5时,109n-20+n2-68n-400>0,即n(n+41)>420,又n∈N,解得n≥9.所以,经过9个月投资开始见效.。

2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第九节函数模型及其应用课时规范练理含解析新人教版20

第九节函数模型与其应用[A组根底对点练]1．2018年6月，某某合作组织某某峰会后，某某成为国内外旅游的好去处，随着游客的增加，菜价上涨，某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下列图，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．答案：B2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下列图，如此如下说法正确的答案是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度一样D．甲比乙先到达终点解析：由题图知，甲和乙所走的路程一样且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．答案：D3．20世纪30年代，为了防X地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制订了一种明确地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震〞的振幅．假如“标准地震〞的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4级，如此该地地震的最大振幅为( )A ．6B ．8C ．10D ．12解析：由题意知，lg A －lg 0.001＝4，所以lg A ＝1，即A ＝10. 答案：C4．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L 甲＝－5x 2＋900x －16 000，L 乙＝300x －2 000(其中x 为销售辆数).假如某月两连锁店共销售了110辆，如此能获得的最大利润为( )A ．11 000元B ．22 000元C ．33 000元D ．40 000元解析：设甲连锁店销售x 辆，如此乙连锁店销售(110－x )辆，故利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，∴当x ＝60时，有最大利润33 000元．答案：C5．今有一组数据如下：A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：把t 看作自变量，v 看作其函数值，从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，对照四个选项，选项A 是对数型函数，其递增速度不断变慢，选项B 随着t 的增大v 变小，故排除．选项D 以一个恒定的幅度变化，其图象是直线型的，不符合此题的变化规律，选项C 是二次型函数，比照数据知，其最接近实验数据的变化趋势．答案：C6．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，如此每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N )，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．答案：C7．(2020·某某某某质检)用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，如此隔墙的长度为( )A ．3米B ．4米C ．6米D ．12米解析：设隔墙的长为x (0＜x ＜6)米，矩形的面积为y 平方米，如此y ＝x ·24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，y 取得最大值．答案：A8.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如下列图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影局部)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14 解析：由三角形相似得24－y24－8＝x20，得x ＝54(24－y )，由0＜x ≤20得，8≤y ＜24，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 答案：A9．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，如此该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a 元，如此经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ·n 元，经历n 次跌停后的价格为a ·n ·(1－10%)n ＝a ·n ·n ＝a ·0.9)nn ·a ＜a ，故该股民这支股票略有亏损．答案：B10．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期〞．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．假如某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，如此他经过的“半衰期〞个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，如此经过n 个“半衰期〞后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜11 000，得n ≥10，所以假如某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，如此他至少需要经过10个“半衰期〞．答案：C11．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与费s (元)的函数关系如下列图，当通话150分钟时，这两种方式费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D ．403元解析：设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，化简得k 2－k 1＝15.当t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10(元).答案：A12．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进展促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3xx ＋2(x ≥0).生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．假如每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产本钱的150%〞与“年平均每件甲产品所占广告费的50%〞之和，如此当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )解析：由题意，产品的生产本钱为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ·150%＋xy·50%，故年销售收入为z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30y ＋4y ·150%＋x y ·50%·y ＝45y ＋6＋12x ，∴年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x2(万元)，∴当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元).答案：B13．拟定甲、乙两地通话m 分钟的费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，如此甲、乙两地通话6.5分钟的费为________元．解析：∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，如此f (m ××6＋1)＝4.24.14．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如下列图，如此此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，如此当x ＝6时，y ＝1909.答案：190915．某人计划购置一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购置后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试求，大约使用多少年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元？解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元．x x ＝14.4.化简得x －6×x ＝0，令f (x )＝x －6×x . 因为f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3，4)上应有一个零点．故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．[B 组素养提升练]1．(2021·某某某某模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e －bt (cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，如此再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：依题意有a ·e －b ×8＝12a ，所以b ＝ln 28，所以y ＝a ·e －ln 28t . 假如容器中的沙子只有开始时的八分之一，如此有a ·e －ln 28t ＝18a ，解得t ＝24，所以再经过的时间为24－8＝16(min). 答案：162．某厂生产某种零件，每个零件的本钱为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的解析式； (3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6 000元？( 工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－本钱)解析：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x 0个，如此x 0＝100＋60－510.02＝550(个)，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．(2)当0≤x ≤100时，p ＝60；当100＜x ＜550时，p ＝60－0.02(x －100)＝62－x50；当x ≥550时，p ＝51.所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60〔0≤x ≤100〕，62－x50〔100＜x ＜550〕，〔x ∈N *〕，51〔x ≥550〕(3)设销售商的一次订购量为x 个时，工厂获得的利润为L 元，如此L ＝(p －40)x ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x 〔0≤x ≤100〕，22x －x250〔100＜x ＜550〕，〔x ∈N *〕，11x 〔x ≥550〕当0≤x ≤100时，L ≤2 000；当x ≥550时，L ≥6 050；当100＜x ＜550时，L ＝22x －x 250.由⎩⎪⎨⎪⎧22x －x250＝6 000，100＜x ＜550，解得x ＝500.3．某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格根底之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋7；③f (x )＝log q (x ＋p ).其中p ，q 均为常数且q ＞1.(注：x 表示上市时间，f (x )表示价格，记x ＝0表示4月1号，x ＝1表示5月1号，…，以此类推x ∈[0，5])(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能表现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；(2)对(1)中所选的函数f (x )，假如f (2)＝11，f (3)＝10，记g (x )＝f 〔x 〕－2x －13x ＋1，经过多年的统计发现，当函数g (x )取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？解析：(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后单调递减，根本符合开口向下的二次函数变化趋势，故应该选择②f (x )＝px 2＋qx ＋7.(2)由f (2)＝11，f (3)＝10解得f (x )＝－x 2＋4x ＋7.g (x )＝f 〔x 〕－2x －13x ＋1＝－x 2－2x ＋6x ＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9x ＋1＋〔x ＋1〕－4. 因为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤9x ＋1＋〔x ＋1〕－4≤－2，当且仅当x ＋1＝3即x ＝2时等号成立．所以明年拓展外销市场的时间应为6月1号．。

届高考数学一轮总复习第2章函数、导数及其应用第9节函数模型及其应用课件理新人教版

解析
[由题悟法]
解决分段函数模型问题的 3 个注意点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解； (2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏； (3)分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
解析
[由题悟法] 二次函数模型问题的 3 个注意点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．
[即时应用]
A，B 两城相距 100 km，在两城之间距 A 城 x(km)处建一核电站给 A，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于 10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的 0.25 倍，若 A 城供电量为每月 20 亿度， B 城供电量为每月 10 亿度． (1)求 x 的取值范围； (2)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数； (3)核电站建在距 A 城多远，才能使供电总费用 y 最少？
[即时应用]
国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 人或 30 人以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30 人，则给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数 75 人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元． (1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服

高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第九节函数模型及应用学案(含解析)新人教B版-新人教

第九节函数模型及应用最新考纲考情分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．2．常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．3．选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较知识点二几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)数模型二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0)(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( ×)(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( ×)(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.( ×)(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度．( √)解析：(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99元．∴每件赔1元，(1)错．(2)中，当x＝2时，2x＝x2＝4.不正确．(3)中，如a ＝x 0＝12，n ＝14，不等式成立，因此(3)错．2．小题热身(1)函数模型y 1＝0.25x ，y 2＝log 2x ＋1，y 3＝1.002x，随着x 的增大，增长速度的大小关系是y 3>y 1>y 2.解析：根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得．(2)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S 表示为x 的函数是S ＝800x ＋x8.解析：由题意知，每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫x8×1元，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S ＝800x ＋x8.(3)某物体一天中的温度T 是关于时间t 的函数，且T ＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t ＝0时表示中午12：00，其后t 值为正，则上午8时该物体的温度是8_℃.解析：由题意知，上午8时即t ＝－4，因此所求温度T ＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)． (4)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到200只．解析：由题意知100＝a log 3(2＋1)， ∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.(5)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)关于燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m.当燃料质量是火箭质量的e 6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：由题意可得12 000＝2 000ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m ，则ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋M m＝6，解得1＋M m＝e 6，所以M m＝e6－1，故填e 6－1.考点一一次函数、二次函数模型的应用【例1】为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ·80 000x－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x－80 000＝－12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损．方法技巧在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．1．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：)应为( C )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值，故选C.2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( B )A ．8元/件B ．10元/件C ．12元/件D ．14元/件解析：设单价为6＋x ，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0<x <10)．∴当x ＝4时，y max ＝340.即单价为10元/件时，利润最大，故选B.考点二分段函数模型的应用【例2】已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解】 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40)＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104，所以W max ＝W (32)＝6 104(万美元)； ②当x >40时，W ＝－40 000x－16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600，当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元．方法技巧 1分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.2构造分段函数时，要力求准确，简洁，做到分段合理，保证不重不漏.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S 元，则S ＝200x －12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500]，当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，y x取得最小值240.当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x－200≥212x ×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x. 即x ＝400时，yx取得最小值200，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．考点三指数函数、对数函数模型的应用【例3】已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．【解】 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，即m ·2t＋22t ≥2恒成立．亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1， ∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.方法技巧 1指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；2应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；3y ＝a 1＋xn通常利用指数运算与对数函数的性质求解.1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( D )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年解析：设经过x 年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得130(1＋0.12)x＝200，则x ＝log 1.122013，即x ＝lg20－lg13lg1.12＝1＋lg2－1－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05≈4，2 016＋4＝2 020，故选D.2．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( C )A.76倍 B ．倍C ．10倍D ．ln 76倍解析：由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10 ，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍，故选C.。

高考理科数学(人教版)一轮复习练习：第二篇第9节 函数模型及其应用含解析