矩形菱形正方形练习题

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矩形菱形正方形习题含答案

1. 在一次数学活动课上，张明同学将矩形ABCD 沿直线CE 折叠，顶点B 恰好落在AD 边上F 点处，如图所示，已知8CD =cm ，5BE =cm ，则AD = cm ．2.如图，在菱形ABCD 中，60B ∠=，点E F ，分别从点B D ，出发以同样的速度沿边BC DC ，向点C 运动．给出以下四个结论：①AE AF =②CEF CFE ∠=∠③当点E F ，分别为边BC DC ，的中点时，AEF △是等边三角形④当点E F ，分别为边BC DC ，的中点时，AEF △的面积最大．上述结论中正确的序号有．（把你认为正确的序号都填上）3如图，四边形ABCD 为正方形，ADE △为等边三角形．AC 为正方形ABCD 的对角线，则EAC ∠= 度．4.如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线l ，过A C ，作l 的垂线，垂足分别为 E F ，．若1AE =，3CF =，则AB 的长度为．5如图，正方形ABCD 的边长为4，MN BC ∥分别交AB CD ，于点M N ，，在MN 上任取两点P Q ，，那么图中阴影部分的面积是．1. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形ABCD 的周长为（） A ．16a B ．12a C ．8a D ．4a 2. 菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（） A ．24 B ．20C ．10D ．53. 如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ∠=，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是．（写出一种情况即可）4. 如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G ，F 分别为AD ，BC 边上的点，若1=AG ，2=BF ，︒=∠90GEF ，则GF 的长为．ＦＤＡＥＣlD M N DD C FG5.如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，折叠正方形纸片 A B C D ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB AC ，于点E G ，，连结GF ．下列结论：①112.5AGD ∠=；② tan 2AED ∠=；③AGD OGD S S =△△；④四边形AEFG 是菱形；⑤2BE OG =．则其中正确结论的序号是．6. 菱形ABCD 中，AE 垂直平分BC ，垂足为E ，4cm AB =．那么，菱形ABCD 的面积是，对角线BD 的长是．7. 如图，菱形ABCD 中，∠BAD =60º ，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若PM +PB 的最小值是3，则AB 长为． 8. 将一正方形按如图方式分成n 个全等矩形，上、下各横排两个，中间竖排若干个，则n 的值为 A ．12 B ．10 C ．8 D ．69. 如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（）A ．5cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm10. 如果菱形的周长是8cm ，高是1cm ，那么这个菱形两邻角的度数比为（） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:5 D ．1:611. 如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．812.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC BD ，分别等于8和6，将BD 沿CB 的方向平移，使D 与A 重合，B 与CB 延长线上的点E 重合，则四边形AECD 的面积等于（）A ．36B ．48C ．72D ．96BCD ＢＦＣＥＤＡBE6如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，连结PA 、PC ．（1）证明：PAB PCB ∠=∠；（2）在BC 上取一点E ，连结PE ，使得PE PC =，连结AE ，判断PAE △的形状，并说明理由．7如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交BC 、CD 于点P 、Q ，分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ．已知BE=BP ．求证：（1）∠E=∠F ．（2）□ABCD 是菱形．8如图1，在ABC △中，点P 为BC 边中点，直线a 绕顶点A 旋转，若点B P 、在直线a 的异侧，BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，连接.PM PN 、（1）延长MP 交CN 于点E （如图2），①求证：BPM CPE △≌△；②求证：PM PN =；（2）若直线a 绕点A 旋转到图3的位置时，点B P 、在直线a 的同侧，其它条件不变.此时PM PN =还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）若直线a 绕点A 旋转到与BC 边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN 的形状及此时PM PN =还成立吗？不必说明理由.D C B A P图1 图2 图39已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．证明：（1）10如图，在正方形ABCD 中，G 是BC 上的任意一点（G 与B C 、两点不重合），E F 、是AG 上的两点（E F 、与A G 、两点都不重合），若AF BF EF =+，12∠=∠，请判断线段DE 与BF 有怎样的位置关系，并证明你的结论.11如图，ABC △中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F ．（1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；（2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点O 运动到何处，且ABC △满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？12如图①，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F . （1）求证：DE －BF = EF ．（2）当点G 为BC 边中点时，试探究线段EF 与GF 之间的数量关系，并说明理由．（3）若点G 为CB 延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE 、BF 、EF 之间的数量关系（不需要证明）．A DB E FO C2 A BC D E FG 1A F N DC B M E O（图）13如图，将矩形纸片ABCD 沿其对角线AC 折叠，使点B 落到点B '的位置，AB '与CD 交于点E ．（1）试找出一个与AED △全等的三角形，并加以证明；（2）若83AB DE P ==，，为线段AC 上任意一点，PG AE ⊥于G ，PH EC ⊥于H ．试求PG PH +的值，并说明理由．14已知：如图，菱形ABCD 中，E F ，分别是CB CD ，上的点，且BE DF =．（1）求证：AE AF =．（2）若60B ∠=，点E F ，分别为BC 和CD 的中点．求证：AEF △为等边三角形．15如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合)，以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连结BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度α，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．ABDCEF A D E FB GC 图① C BG A D 图② A BC D PG HE B ′16如图-1，已知P 为正方形ABCD 的对角线AC 上一点（不与A 、C 重合），PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ．（1）求证：BP =DP ；（2）如图-2，若四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP =DP ？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD 的两个顶点，分别与四边形PECF 的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．17已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ，（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADCE 是一个正方形？并给出证明．17（1）证明：在△A BC 中， AB ＝AC ，AD ⊥BC ．∴ ∠BAD ＝∠DAC ．2分∵ AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴ MAE CAE ∠=∠．∴ ∠DAE ＝∠DAC ＋∠CAE ＝⨯21180°＝90°．4分又 ∵ AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴ ADC CEA ∠=∠＝90°， ∴ 四边形ADCE 为矩形．5分（2）说明：①给出正确条件得1分，证明正确得3分．②答案只要正确均应给分．图-2图-1N例如，当AD ＝12BC 时，四边形ADCE 是正方形．6分证明：∵ AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ．∴ DC ＝12BC ． 7分又 AD ＝12BC ，∴ DC ＝AD ． 8分由（1）四边形ADCE 为矩形，∴ 矩形ADCE 是正方形． 9分 16⑴ 解法一：在△ABP 与△ADP 中，利用全等可得BP =DP . 2分解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP =DP . 2分 ⑵ 不是总成立 . 3分当四边形PECF 绕点C 按逆时针方向旋转，点P 旋转到BC 边上时，DP >DC >BP ，此时BP =DP 不成立. 5分说明：未用举反例的方法说理的不得分. ⑶ 连接BE 、DF ，则BE 与DF 始终相等. 6分在图8-1中，可证四边形PECF 为正方形， 7分在△BEC 与△DFC 中，可证△BEC ≌△DFC . 从而有 BE =DF . 8分15（1）①BG DE BG DE =⊥， 2分 ②BG DE BG DE =⊥，仍然成立 1分在图（2）中证明如下∵四边形ABCD 、四边形ABCD 都是正方形∴ BC CD =，CG CE =， 90BCD ECG ∠=∠=∴BCG DCE ∠=∠1分 ∴BCG DCE △≌△ （SAS ）1分∴BG DE = C B G C D E∠=∠ 又∵BHC DHO ∠=∠ 90CBG BHC ∠+∠= ∴90CDE DHO ∠+∠= ∴90DOH ∠=∴BG DE ⊥14证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB =AD ，B D ∠=∠，又∵BE =D F∴ABE △≌ADF △ ∴AE =AF (2)连接AC∵AB =BC ，60B ∠=︒ ∴ABC ∆是等边三角形， E 是BC 的中点∴AE ⊥BC ， ∴906030BAE ︒∠=︒-=︒，同理30DAF ∠=︒ ∵120BAD ∠=︒∴60EAF BAD BAE DAF ∠=∠-∠-∠=︒又∵AE =AF∴AEF △是等边三角形． 13 解：（1）AED CEB '△≌△证明：四边形ABCD 为矩形，90B C BC AD B B D ''∴==∠=∠=∠=，°，又B EC DEA '∠=∠， ∴AED CEB '△≌△．（2）由已知得：EAC CAB ∠=∠且CAB ECA ∠=∠ EAC ECA ∴∠=∠ 835AE EC ∴==-=在ADE △中，4AD = 延长HP 交AB 于M 则PM AB ⊥ PG PM ∴=4PG PH PM PH HM AD ∴+=+===12（1）证明：∵ 四边形ABCD 是正方形， BF ⊥AG ， DE ⊥AG ∴ DA =AB ，∠BAF + ∠DAE = ∠DAE + ∠ADE = 90° ∴ ∠BAF = ∠ADE ∴ △ABF ≌ △DAE ∴ BF = AE ， AF = DE ∴ DE －BF = AF －AE = EFA DE F BG C图①（2）EF = 2FG 理由如下：∵ AB ⊥BC ， BF ⊥AG ， AB =2 BG ∴ △AFB ∽△BFG ∽△ABG ∴2===FGBFBF AF BF AB ∴ AF = 2BF ， BF = 2 FG由（1）知，AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG （3）如图 DE + BF = EF------------------------------------------------ 11解：（1）OE OF =．其证明如下：∵CE 是ACB ∠的平分线，12∴∠=∠．∵MN BC ∥，∴13∠=∠． ∴23∠=∠． ∴OE OC =．同理可证OC OF =． ∴OE OF =． 3分（2）四边形BCFE 不可能是菱形，若BCFE 为菱形，则BF EC ⊥，而由（1）可知FC EC ⊥，在平面内过同一点F 不可能有两条直线同垂直于一条直线． 3分（3）当点O 运动到AC 中点时，OE OF =，OA OC =，则四边形AECF 为，要使AECF 为正方形，必须使EF AC ⊥．∵EF BC ∥，∴AC BC ⊥，∴ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形， ∴当点O 为AC 中点且ABC △是以ACB ∠为直角的直角三角形时，四边形AECF 是正方形．------------------------------------------------10根据题目条件可判断.DE BF ∥证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴ 290AB AD BAF ∠+∠==，°． ∵,AF AE EF =+又,AF BF EF =+ ∴AE BF =，∵12,∠=∠∴().ABF DAE SAS △≌△5分∴AFB DEA ∠=∠，BAF ADE ∠=∠.∴290ADE ∠+∠=°.∴90AED BFA ∠=∠=°. ∴.DE BF ∥9分------------------------------------------------ 9证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ,∠B = ∠D = 90°． ∵AE = AF ，AF D CB M EO （图） 1 2 54 3 6∴Rt Rt ABE ADF △≌△． ∴BE ＝DF ．4分（2）四边形AEMF 是菱形．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCA = ∠DCA = 45°，BC = DC ． ∵BE ＝DF ，∴BC －BE = DC －DF . 即CE CF =． ∴OE OF =． ∵OM = OA ，∴四边形AEMF 是平行四边形． ∵AE = AF ，∴平行四边形AEMF 是菱形．8分------------------------------------------------ 8（1）证明：①如图2.BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，90BMN CNM ∴∠=∠=°．BM CN ∴∥．MBP ECP ∴∠=∠．又P 为BC 边中点， .BP CP ∴=又BPM CPE ∠=∠， BPM CPE ∴△≌△ 3分②BPM CPE △≌△12PM PE PM ME ∴=∴=∴在Rt MNE △中，12PN ME =PM PN ∴=5分（2）成立.如图3.6分证明：延长MP 与NC 的延长线相交于点E .BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ， 90180BMN CNM BMN CNM ∴∠=∠=∴∠+∠=°．°．BM CN MBP ECP ∴∴∠=∠∥．．7分又P 为BC 中点，BP CP ∴=．又BPM CPE ∠=∠，BPM CPE ∴△≌△． 12PM PE PM ME ∴=∴=．．则在Rt MNE △中，12PN ME =．∴PM PN =．10分（3）四边形MBCN 是矩形. 11分 PM PN =成立. 12分AD BE FOCM-----------------------------------------------7证明：（1）在□ABCD 中，BC AD ∥∴1F ∠=∠∵BE BP =∴1E ∠=∠∴E F ∠=∠（2）∵BD EF ∥∴23E F ∠=∠∠=∠，∵E F ∠=∠∴23∠=∠∴AB AD =∴□ABCD 是菱形6（1）∵在正方形ABCD 中，BD 是对角线，∴AB CB ABD CBD =∠=∠，．又∵BP BP =，∴ABP CBP △≌△．∴PA PC PAB PCB =∠=∠，． ······································································ 3分（2）如图，PAE △是等腰直角三角形，理由如下： ············································ 4分 ∵PE PC =，∴PEC PCB ∠=∠．又∵PAB PCB ∠=∠，∴PAB PEC ∠=∠．∵E 是BC 上一点,180PEB PEC ∠+∠=,∴180PAB PEB ∠+∠=． ∵在四边形ABEP 中，36090PAB ABC PEB APE ABC ∠+∠+∠+∠=∠=，，∴90APE ∠=．∵PA PC PE PC ==，， D C E B A P A D F Q C P E B 1 2 3∴PA PE =．∴PAE △是等腰直角三角形． ··········································· 7分（其他方法酌情给分）1.102. ①②③3. 1054.5. 81. 2. B 3. 90A ∠=或AD BC =或AB CD ∥ 4. 3 5. ①④⑤ 6. 2 c m7. 8. C9. D 10. C 11. A 12. A。

初中数学矩形、菱形与正方形测试题含答案

矩形、菱形与正方形测试题一、选择题1．能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）．（A）AB∥CD，AD=BC; （B）∠A=∠B，∠C=∠D;（C）AB=CD，AD=BC; （D）AB=AD，CB=CD2．在给定的条件中，能画出平行四边形的是（）．（A）以60cm为一条对角线，20cm、34cm为两条邻边;（B）以6cm、10cm为对角线，8cm为一边;（C）以20cm、36cm为对角线，22cm为一边;（D）以6cm为一条对角线，3cm、10cm为两条邻边3．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）（A）对角线互相平分; （B）对角线相等;（C）对角线平分一组对角; （D）对角线互相垂直4．在下列说法中不正确的是（）（A）两条对角线互相垂直的矩形是正方形;（B）两条对角线相等的菱形是正方形;（C）两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形;（D）两条对角线垂直且相等的四边形是正方形5．下列说法不正确的是（）（A）对角线相等且互相平分的四边形是矩形;（B）对角线互相垂直平分的四边形是菱形;（C）一组对边平行且不等的四边形是梯形;（D）一边上的两角相等的梯形是等腰梯形6．不能判定四边形ABCD为平行四边形的题设是（）（A）AB=CD，AD=BC （B）AB//CD（C）AB=CD，AD∥BC （D）AB∥CD，AD∥BC7．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判定它为正方形的题设是（）（A）AO=CO，BO=DO; （B）AO=CO=BO=DO;（C）AO=CO，BO=DO，AC⊥BD; （D）AO=BO=CO=DO，AC⊥BD8．下列说法不正确的是（）（A）只有一组对边平行的四边形是梯形;（B）只有一组对边相等的梯形是等腰梯形;（C）等腰梯形的对角线相等且互相平分;（D）在直角梯形中有且只有两个角是直角9．如图1，在□ABCD中，MN分别是AB、CD的中点，BD分别交AN、CM于点P、Q，在结论：①DP=PQ=QB ②AP=CQ ③CQ=2MQ ④S △ADP=14S ABCD中，正确的个数为（）．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4(1) (2) (3)10．如图2，在梯形ABCD中，AD∥CB，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，则梯形ABCD的面积为（）．（A）24 （B）20 （C）16 （D）12二、填空题11．在□ABCD中，AC与BD交于O，则其中共有_____对全等的三角形．12．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为_______，矩形的面积为________．13．一个菱形的两条对角线长分别为6cm，8cm，这个菱形的边长为_______，•面积S=______．14．如果一个四边形的四个角的比是3：5：5：7，则这个四边形是_____形．15．如图3，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC=8，AB=6，AD=5，则△CDE的周长是________．16．如图4，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB=_______．(4) (5) (6)17．在长为1.6m，宽为1.2m的矩形铅板上，剪切如图5所示的直角梯形零件（•尺寸单位为mm），则这块铅板最多能剪出______个这样的零件．18．如图6，ABCD中，过对角线交点O，引一直线交BC于E，交AD于F，若AB=2.4cm，BC=4cm，OE=1.1cm，则四边形CDFE周长为________．19．已知等腰梯形的一个锐角等于60•°，•它两底分别为15cm，•49cm，•则腰长为_______．20．已知等腰梯形ABCD中AD∥BC，BD平分∠ABC，BD•⊥DC，•且梯形ABCD•的周长为30cm，则AD=_____．三、计算题21．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，AD=3cm，BC=7cm，•DE•⊥BC 于E，试求DE的长．四、证明题22．如图，已知四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，求证：四边形EFGH是菱形．23．已知如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AM=MB，DN=NC．求证：MN∥BC，MN=12（BC+AD）．答案:1．（C） 2．（C） 3．（B） 4．（D） 5．（D）6．（C） 7．（D） 8．（C） 9．（C） 10．（A）11．4 12．40cm 4003cm213．5cm 24cm2 14．直角梯形15．15 16．15° •17．12 18．8.6cm 19．34cm20．如图，作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∴AD=EF，设BE=x．则AB=2x，DC=2x，FC=x，∴BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°．∴DC=12BC，∴BC=4x．∴EF=2x=AD．又∵AB+BC+CD+AD=30，∴4x+6x=30，x=3，∴AD=6（cm）．21．过D点作DF∥AC，交BC的延长线于点F，则四边形ACFD为平行四边形，•所以AC=DF，AD=CF．因为四边形ABCD为等腰梯形，所以AC=BD，所以BD=DF，又已知AC⊥BD，DF∥AC，•所以BD⊥DF，则△BDF为等腰直角三角形．又因为DF⊥BC，所以DE=12BF=12（BC+CF）=12（BC+AD）=12（7+3）=5（cm）．22．证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=12AC，HG=12AC，FG=12BD，EH=12BD．∴EF=HG=12AC，FG=EH=12BD．又∵AC=BD，∴EF=HG=FG=EH．∴四边形EFGH是菱形．23．证明：如图，连接AN并延长，交BC的延长线于点E．∵DN=NC，∠1=∠2，∠D=∠3，∴△ADN≌△ECN，∴AN=EN，AD=EC．又AM=MB，∴MN是△ABE的中位线．∴MN∥BC，MN=12BE（三角形中位线定理）∵BE=BC+CE=BC+AD，∴MN=12（BC+AD）．。

中考数学复习《矩形、菱形与正方形》专项练习题含答案

初三中考数学复习矩形、菱形与正方形专项练习题1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是()A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．对角线平分一组对角2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF 的周长为()A．14B．15C．16D．173. 若矩形ABCD的邻边长分别是1，2，则BD的长是()A. 3 B． 5 C. 3 D．2 54. 在下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是( )A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行5. 如果矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成了3cm和5cm的两部分，则矩形的较短边长为()A．3cm B．5cm C．3cm或5cm D．以上都不对6. 如图所示，菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边形的中点，连结EG与FH交于点O，则图中的菱形共有()A．4个B．5个C．6个D．7个7．如图所示，已知菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若S菱形ABCD＝24，且AE＝4，则CD等于()A．12 B．8 C．6 D．28. 如图，▱ABCD的周长为16cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm9.已知菱形的周长为16 cm，一条对角线长为4 cm，则菱形的四个角分别为()A．30°，150°，30°，150°B．60°，120°，60°，120°C．45°，135°，45°，135°D．以上都不对10. 如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为()A．20 B．24 C．25 D．2611．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形(填一个即可)．12．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F，连结EF.给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC.其中正确结论的序号是________．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20cm，则其对角线长为________，矩形的面积为________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝8cm，则这个菱形的面积是________cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为________．16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件________，使▱ABCD 是矩形．17．如图所示，在菱形ABCD中，∠C＝108°，AD的垂直平分线交对角线BD 于点P，垂足为E，连结AP，则∠APB＝________度．18．如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E，F分别是BC，CD的中点，连结AE，EF，AF，则△AEF的周长为________．19. 如图所示，将两条宽度相同的纸条交叉重叠放在一起，则重叠部分ABCD 是________形，若纸条宽DE＝4cm，CE＝3cm，则四边形ABCD的面积为________．20. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上任意一点，过点E作EF⊥BC 于点F，作EG⊥CD于点G，若正方形ABCD的周长为a，则四边形EFCG的周长为________．21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B的平分线相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．22. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别为a，b，AC，BD 相交于点O.(1) 用含a，b的代数式表示菱形ABCD的面积S；(2) 若a＝3cm，b＝4cm，求菱形ABCD的面积和周长．23. 如图所示，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD 交AD的延长线于点F.请你猜想CE与CF的大小有什么关系，并说明理由．24. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．25. 如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，BF平分∠CBE交CD于点F.求证：BE＝CF＋AE.参考答案：1---10 CCBCC BCDBB 11. ∠BAD＝90°12．①②④⑤13．40 cm4003cm214. 1615. 2616. AO＝BO17. 7218. 3319. 菱20 cm220. a 221. 证明：过点D作DG⊥AB于点G，∵∠C＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC，∴四边形DECF是矩形，∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝DG.同理：DG＝DF，∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形22. 解：(1) S＝ab(2) 菱形ABCD的面积为6 cm2，周长为10 cm23. 解：CE＝CF.理由如下：∵S菱形ABCD＝CE·AB＝CF·AD，且AD＝AB，∴CE＝CF.24. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵DE＝DF，DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°，∴△ADE≌△CDF(AAS)(2)由(1)知AD＝DC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形25. 证明：延长DC至点E′，使CE′＝AE，连结BE′，易证△ABE≌△CBE′，∴BE ＝BE′，AE＝CE′，∠CBE′＝∠ABE.再证∠BFC＝∠E′BF＝∠ABE＋∠EBF，∴BE′＝E′F，∴BE＝E′F＝CF＋CE′＝CF＋AE。

平行四边形、菱形、矩形、正方形专项练习(含部分答案)

ＡＦＣＤＢＥ第9题图平行四边形、菱形、矩形、正方形专项练习（一）班级姓名一、判断：（正确的打√，错误的打×）⑴一组邻边相等的四边形是菱形。

（） ⑵对角线互相垂直的四边形是菱形。

（） ⑶对角线互相垂直且有一组邻边相等的四边形是菱形。

（） ⑷对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形。

（） ⑸对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

（） ⑹一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

（）二、选择1. 在ABCD 中,对角线AC 与BD 交于O 如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m 的范围为（） A .1≤m ≤11 B. 111m << C. 210m ≤≤ D. 111m <≤2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等3.能够判别一个四边形是菱形的条件是（）A.对角线相等且互相平分B.对角线互相垂直且相等C.对角线互相平分D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角4.菱形的周长为100 cm ，一条对角线长为14 cm ，它的面积是（）A.168 cm 2B.336 cm 2C.672 cm 2D.84 cm 2 5.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（）A.43B.83C.103D.1236.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A.16B.22C.26D.22或267.在正方形ABCD 中，AB =12 cm ，对角线AC 、BD 相交于O ，则△ABO 的周长是（）A.12+122B.12+62C.12+2D.24+628.如图所示，将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在BC 中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是… （）A. 2B. 3C. 4D. 59．（2011年浙江仙居）如图在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形； ②如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 .（只填写序号） 10.菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =16 cm ，BD =12 cm ，则它的高为。

初三矩形菱形正方形练习题

初三矩形菱形正方形练习题题一：给定一个矩形的长和宽，求其面积。

解答：设矩形的长为L，宽为W，则矩形的面积S = L × W。

题二：已知一个矩形的周长为40cm，且长大于宽，求矩形的长和宽。

解答：设矩形的长为L，宽为W。

根据矩形的周长公式，2L + 2W = 40。

由于长大于宽，则L > W。

可以推导出L = 20 - W。

代入矩形面积公式S = L × W中，得到(20 - W) × W = S。

求解这个二次方程，可以得到矩形的长和宽。

题三：一个矩形的长比宽多3cm，且矩形的面积为60平方厘米，求矩形的长和宽。

解答：设矩形的宽为W，则矩形的长为W + 3。

根据矩形的面积公式，(W + 3) × W = 60。

将方程化简为二次方程，然后求解得到矩形的长和宽。

题四：给定一个菱形的边长，求其周长。

解答：设菱形的边长为L，则菱形的周长P = 4L。

题五：已知一个菱形的周长为32cm，求菱形的面积。

解答：设菱形的边长为L。

根据菱形的周长公式，4L = 32，可以求得L。

然后利用菱形面积公式S = L²sin(45°)求得菱形的面积。

题六：给定一个正方形的边长，求其周长。

解答：设正方形的边长为L，则正方形的周长P = 4L。

题七：已知一个正方形的周长为60cm，求正方形的面积。

解答：设正方形的边长为L。

根据正方形的周长公式，4L = 60，可以求得L。

然后利用正方形面积公式S = L²求得正方形的面积。

题八：在一块正方形纸上，用两个顶点分别连接两个相对边的中点，得到一个菱形，如图所示。

解答：首先利用刻度尺等工具在纸上量好正方形的边长，然后找到两个相对边的中点，并用铅笔将它们连接起来，注意连接线要经过两个顶点。

这样就得到了一个菱形。

题九：如何判断一个四边形是矩形？解答：一个四边形是矩形的条件是它的四个内角均为直角，即每个内角为90°。

矩形菱形正方形练习题和答案

一、性质1、下列性中.矩形具有而质平行四边形不一定具有的是（）A 、对边相等B 、对角相等C 、对角线相等D 、对边平行2 .在矩形ABCD 中.NAOD=130°.则NACB=__3 .已知矩形的一条对角线长是8cm.两条对角线的一个交角为60°.则矩形的周长为4 .矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形.如果四个小三角形的周长的和是86cm.对角线是13cm.那么矩形的周长是5 .如图所示.矩形ABCD 中.AE ，BD 于E.Nk BAE=30°.BE=1cm.那么DE 的长为 6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm.则它的面积为7、已知.在Rt△ABC 中出口为斜边AC 上的中线.若NA=35°.那么NDBC 二。

8、如图.矩形ABCD 中.AC 与8口交于。

点.BELAC 于E.CFLBD 于F.求证：BE=CF. 9 .如口图.△ABC 中.NACB=90度.点D 、E 分别为AC 、AB 矩形的习题精选AB的中点.点F在BC延长线上.且/CDF=NA.求证：四边形DECF是平行四边形；10.已知：如图.在aABC中.NBACW90°NABC=2NC.AD±AC.交BC或CB的延长线D。

试说明：DC=2AB.11、在4ABC中.NC=90O.AC=BC.AD=BD.PE^AC于点E.PFLBC于点F。

求证：DE=DF二、判定1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（C）A.测量两条对角线.是否相等B.测量两条对角线.是否互相平分他用曲尺测量门框的三个角.是否都是直角口.用曲尺测量对角线.是否互相垂直2、平行四边形ABCD.E是CD的中点.4人8£是等边三角形.求证：四边形ABCD是矩形3、在平行四边形ABCD中.对角线AC、BD相交于O.EF过点O.且AF，BC. 求证：四边形AFCE是矩形4、平行四边形ABCD中.对角线AC、8口相交于点。

矩形菱形正方形练习题

矩形菱形正方形练习题一、填空题1、在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为．2、在矩形中，如果AB=2,BC=1.,那么AC= ．3、如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，那么四边形BCFE的面积等于．4、如图，甲，乙，丙，丁四个长方形拼成正方形EFGH,中间阴影为正方形，已知，甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是32cm²，四边形ABCD的面积是20cm²．问甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和是______．5、如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是．6、如图，在矩形ABCD中，点F为边CD上一点，沿AF折叠，点D恰好落在BC边上的E点处，若AB=3，BC=5，则的值为．7、如图4，正方形ABCD的边长为2，AE＝EB，MN＝1，线段MN的两端在CB、CD上滑动，当CM＝时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似。

8、矩形中，，，边绕旋转使得点落在射线上处，那么的度数为．9、已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1 （如图所示），把线段AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为．10、如图4，边长为1的菱形ABCD的两个顶点B、C恰好落在扇形AEF的弧EF上时，弧BC 的长度等于（结果保留）．11、在矩形中，如果AB=2,BC=1,BE⊥AC,AE= .12、如图，四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH为正方形，应添加的条件是．13、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠AEB= .14、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______.15、如图，以O为顶点的两条抛物线分别经过正方形的四个顶点A、B、C、D，则阴影部分的面积为______二、选择题16、对角线互相平分且相等的四边形是（）．菱形；．矩形；．正方形；．等腰梯形．17、若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（）（A）20cm （B）18cm （C）16cm （D）12cm18、如图，将边长为12cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边CD上的E点，折痕为MN．若CE的长为8cm，则MN的长为A．12cm B．12．5cm C． cm D．13．5cm19、若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（）（A）20cm （B）18cm （C）16cm （D）12cm20、如图，顺次连结四边形ABCD各中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AB∥DC B．AB＝DC C．AC⊥BD D．AC＝BD21、已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的有（）①当AB=BC时，它是菱形②当AC⊥BD时，它是菱形③当∠ABC=90时，它是矩形④当AC=BD 时，它是正方形 A．1组 B．2组 C．3组 D．4组22、下列命题中，真命题是（）A．矩形的对角线相互垂直B．顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是矩形 C．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形23、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，过对角线交点O作OE⊥AC交AD于E，则AE的长是（）．A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.424、如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝x，△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是（）．25、如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD、BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个26、已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（）．（A）；（B）；（C）；（D）.27、菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为( )A．2 B．2C．4 D．428、已知四边形中，，如果添加一个条件，即可判定该四边形是正方形，那么所添加的这个条件可以是（）．（A）；（B）；（C）；（D）.29、在下列命题中，真命题是（）（A）两条对角线相等的四边形是矩形（B）两条对角线互相垂直的四边形是菱形（C）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（D）两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形30、如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为( ) A．2 B．2C．4 D．431、如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）. A．2＋ B．2＋2C．12 D．1832、在下列命题中，正确的是（）A．一组对边平行的四边形是平行四边形B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一组邻边相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形33、如图，在菱形ABCD中，点E、 F分别是AB、AC的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长是（）A. 24B. 18C. 12D. 634、正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点在线段上，正方形的边长为4，则的面积为（）A.10B.12C.14D.1635、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是( )A. B. C. D.36、下列四边形：①正方形、②矩形、③菱形，对角线一定相等的是A．①②③ B．①② C．①③ D．②③37、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，AE=3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2 C．D．38、一个正方形的面积等于10,则它的边长a满足A. 3＜a＜4B. 5＜a＜6C.7＜a＜8D. 9＜a＜1039、如图，矩形ABCD的对角线AC⊥OF，边CD在OE上，∠BAC＝70°，则∠EOF等于（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 70°40、如图，在正方形ABCD中，AB＝3㎝．动点M自A点出发沿AB方向以每秒1㎝的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3㎝的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（㎝2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是41、如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形三、简答题42、如图，在正方形中，为对角线上一点，联结、，延长交于点．（1）求证：；（2）当时，求证：．43、已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）44、矩形纸片中，，现将这张纸片按下列图示方式折叠，是折痕．（1）如图1，P，Q 分别为，的中点，点的对应点在上，求和的长；（2）如图2，，点的对应点在上，求的长；（3）如图3，，点的对应点在上．①直接写出的长（用含的代数式表示）；②当越来越大时，的长越来越接近于▲．45、已知：如图，菱形中，分别是上的点，且CE=CF．求证：．46、如图，⊙O 的直径AB =8，C 为圆周上一点，AC =4，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点 E ． (1) 求∠AEC 的度数；（2）求证：四边形OBEC 是菱形．47、在正方形ABCD 中，O 是AD 的中点，点P 从A 点出发沿A →B →C →D 的路线匀速运动，移动到点D 时停止。

菱形矩形正方形练习题

菱形矩形正方形练习题菱形矩形正方形练习题矩形、菱形与正方形练习题1. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm ，四边形ABCD 面积是11cm ，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（） F （A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm（D ）18cm2. 图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（A ）2n （B ）4n （C ）2n +1 （D ）2n +23. 如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为A.17B.17C.18D.19 4. 如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则折痕CE 的长为 A.2 B.3 C. 3 D.6 25. （2021浙江衢州，1,3新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡A F 、A G 分别架在墙体的点B 、点C 处，且A B =A C , 侧面四边形B D E C 为矩形，若测得∠F A G =100︒，则∠FBD =( )A. 35°B. 40°C. 55°D. 70°6. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( ) A ．2条7. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A ．18.. 如图2，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，21则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定‧是 A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．等腰梯形9.. 已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面AA ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 10. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．611 如图, 四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD, 顺次连接四边形ABCD 各边中点, 得到四边形A 1B 1C 1D 1, 再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点, 得到四边形A 2B 2C 2D 2……, 如此进行下去, 得到四边形A n B n C n D n . 下列结论正确的有( )①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形; ③四边形A 5B 5C5D 5的周长; ④四边形A n B n C n D n 的面积是A. ①②B.②③C.②③④D.①②③④ 12. 在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm 13. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∩A ＝30°，BC ＝2，AF ＝BF, 则四边形BCDE 的面积是（）A ．23B ．33C ．4D ．43 14. 下列关于矩形的说法中正确的是A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分 15．菱形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补二、填空题1. 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形。

中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)

中考数学真题《矩形菱形正方形》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________（39题）一、单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中连接AC BD ，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（）A ．12 B ．1 C 3D 35．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴 D ．直线AC 为线段BD 的对称轴8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（）A ．2B ．52C ．3D ．410．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折使边AB 与DC BC 与AD 分别重合展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（）A ．2B ．4C ．5D ．611．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上动点F 在线段OD 上点,E F 同时从点O 出发分别向终点,B D 运动且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中四边形1212E E F F 形状的变化依次是（）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点连接BE BE BA = 连接CE 并延长与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（）A ．2B 3C ．1D 2二解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时求证：四边形BECF 是矩形．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状并说明理由．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状并说明理由．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上且AD BC = AE BF ==．CE DF(1)求证：AE BF∥=时求证：四边形DECF是菱形．(2)若DF FC23．（2023·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形．(1)尺规作图作对角线AC的垂直平分线MN（保留作图痕迹）(2)若直线MN分别交AD BC于E F两点求证：四边形AFCE是菱形AC BD交于点O分别以点,B C为圆心24．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，ABCD的对角线,11,22AC BD 长为半径画弧两弧交于点P 连接,BP CP ．(1)试判断四边形BPCO 的形状并说明理由(2)请说明当ABCD 的对角线满足什么条件时四边形BPCO 是正方形？25．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在ABC 中 D 是BC 的中点 E 是AD 的中点过点A 作AF BC ∥交CE 的延长线于点F ．(1)求证：AF BD =(2)连接BF 若AB AC = 求证：四边形ADBF 是矩形．26．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点M 在ABCD 的边AD 上 BM CM = 请从以下三个选项中①12∠=∠ ①AM DM = ①34∠∠= 选择一个合适的选项作为已知条件使ABCD 为矩形．(1)你添加的条件是_________（填序号）(2)添加条件后请证明ABCD 为矩形．27．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中 90C ∠=︒ 点D 为AB 边上任意一点（不与点A B 重合）过点D 作DE BC ∥ DF AC ∥ 分别交AC BC 于点E F 连接EF ．(1)求证：四边形ECFD 是矩形(2)若24CF CE ==，求点C 到EF 的距离．28．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ A C ∠=∠ BD 为对角线．(1)证明：四边形ABCD 是平行四边形．(2)已知AD AB > 请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF 顶点E F 分别在边BC AD 上（保留作图痕迹不要求写作法）．三填空题29．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD 中 AD BC = AC BD ⊥于点O ．请添加一个条件：______ 使四边形ABCD 成为菱形．30．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AC BD 、为菱形的对角线60,10DBC BD ︒∠== 点F 为BC 中点，则EF 的长为_______________．31．（2023·福建·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 1060AB B ︒=∠=，，则AC 的长为___________．32．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 40DAB ∠=︒ 连接AC 以点A 为圆心 AC 长为半径作弧交直线AD 于点E 连接CE ，则AEC ∠的度数是________．33．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中 60DAB ∠=︒ BE AB ⊥ DF CD ⊥ 垂足分别为B D 若6cm AB =，则EF =________cm ．34．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在ABCD 中 BC 的垂直平分线EO 交AD 于点E 交BC 于点O 连接BE CE 过点C 作CF BE ∥ 交EO 的延长线于点F 连接BF ．若8AD = 5CE =，则四边形BFCE 的面积为______．.35．（2023·湖北十堰·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中点E F G H 分别是AB BC CD AD 上的点且BE BF CG AH === 若菱形的面积等于24 8BD =，则EF GH +=___________________．36．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形任意切成多块小图形几何图形的总面积保持不变等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一如图，在矩形ABCD 中 5AB = 12AD = 对角线AC 与BD 交于点O 点E 为BC 边上的一个动点 EF AC ⊥ EG BD ⊥ 垂足分别为点F G ，则EF EG +=___________．37．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O 点,E F 分别是线段,OB OA 上的点．若,5,1,3AE BF AB AF BE ====，则BF 的长为___________．38．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中对角线AC 与BD 相交于点O E 为BC 上一点 7CE = F 为DE 的中点若CEF △的周长为32，则OF 的长为___________．39．（2023·浙江台州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中 4AB = 6AD =．在边AD 上取一点E 使BE BC = 过点C 作CF BE ⊥ 垂足为点F ，则BF 的长为________．参考答案一单选题1．（2023·湖南·统考中考真题）如图，菱形ABCD 中连接AC BD ，若120∠=︒，则2∠的度数为（）A ．20︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】根据菱形的性质可得,BD AC AB CD ⊥∥，则1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒ 进而即可求解．【详解】解：①四边形ABCD 是菱形①,BD AC AB CD ⊥∥①1,290ACD ACD ∠=∠∠+∠=︒①120∠=︒①2902070∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查了菱形的性质熟练掌握是菱形的性质解题的关键．2．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图1 在正方形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O E F 分别为AO DO 上的一点且EF AD ∥ 连接,AF DE ．若15FAC ∠=︒，则AED ∠的度数为( )A ．80︒B ．90︒C ．105︒D ．115︒【答案】C 【分析】首先根据正方形的性质得到45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO = 然后结合EF AD ∥得到OE OF = 然后证明出()SAS AOF DOE △≌△ 最后利用三角形内角和定理求解即可．【详解】①四边形ABCD 是正方形①45OAD ODA ∠=∠=︒ AO DO =①EF AD ∥①45OEF OAD ∠=∠=︒ 45OFE ODA ∠=∠=︒①OEF OFE ∠=∠①OE OF =又①90AOF DOE ∠=∠=︒ AO DO =①()SAS AOF DOE △≌△①15ODE FAC ∠=∠=︒①30ADE ODA ODE ∠=∠-∠=︒①180105AED OAD ADE ∠=︒-∠-∠=︒故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的性质全等三角形的性质和判定等腰直角三角形三角形的性质等知识解题的关键是熟练掌握以上知识点．3．（2023·湖南常德·统考中考真题）下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A【分析】根据正方形平行四边形矩形菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．【详解】A 正方形的对角线相等且互相垂直平分描述正确B 对角互补的四边形不一定是平行四边形只是内接于圆描述错误C 矩形的对角线不一定垂直但相等描述错误D 一组邻边相等的平行四边形才构成菱形描述错误．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形矩形菱形正方形的性质和判定解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．4．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 160AB DAB =∠=︒，，则AC 的长为（）A ．12B ．1C 3D 3【答案】D 【分析】连接BD 与AC 交于O ．先证明ABD △是等边三角形由AC BD ⊥ 得到1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ 即可得到1122OB AB == 利用勾股定理求出AO 的长度即可求得AC 的长度．【详解】解：连接BD 与AC 交于O ．①四边形ABCD 是菱形①AB CD ∥ AB AD = AC BD ⊥ 12AO OC AC ==①60DAB ∠=︒ 且AB AD =①ABD △是等边三角形①AC BD ⊥ ①1302OAB BAD ∠=∠=︒ 90AOB ∠=︒ ①1122OB AB == ①2222111322AO AB OB ⎛⎫-= ⎪⎭=-⎝ ①23AC AO ==故选：D ．【点睛】此题主要考查了菱形的性质勾股定理等边三角形的判定和性质 30︒角所对直角边等于斜边的一半关键是熟练掌握菱形的性质．5．（2023·上海·统考中考真题）在四边形ABCD 中 ,AD BC AB CD =∥．下列说法能使四边形ABCD 为矩形的是（）A ．AB CD B ．AD BC = C ．A B ∠=∠D ．A D ∠=∠【答案】C【分析】结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可．【详解】A ：AB CD ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故A 不符合题意B ：AD BC = ,AD BC AB CD =∥∴ABCD 为平行四边形而非矩形故B 不符合题意C ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A B ∠=∠∴90A B ∠=∠=︒AB CD =∴ABCD 为矩形故C 符合题意D ：AD BC ∥180A B ∴∠+∠=︒A D ∠=∠180D B ∴∠+∠=︒∴ABCD 不是平行四边形也不是矩形故D 不符合题意故选：C ．【点睛】本题主要考查平行线的性质平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识熟练掌握以上知识并灵活运用是解题的关键．6．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，以钝角三角形ABC 的最长边BC 为边向外作矩形BCDE 连结,AE AD 设AED △ ABE ACD 的面积分别为12,,S S S 若要求出12S S S --的值只需知道( )A ．ABE 的面积B ．ACD 的面积C ．ABC 的面积D ．矩形BCDE 的面积【答案】C【分析】过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G 易得：,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥ 利用矩形的性质和三角形的面积公式可得1212BCDES S S +=矩形再根据1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形得到12ABC S S S S -=- 即可得出结论．【详解】解：过点A 作FG BC ∥ 交EB 的延长线于点F DC 的延长线于点G①矩形BCDE①,,BC BE BC CD BE CD ⊥⊥=①,FG BE FG CD ⊥⊥①四边形BFGC 为矩形①,,FG BC AF BE AG CD =⊥⊥①1211,22S BE AF S CD AG =⋅=⋅①()12111222BCDE BE AF AG BE B S C S S =+=⋅=+矩形又1212ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S -=+-=+矩形矩形①121122ABC ABC BCDE BCDE S S S S S S S =+---=矩形矩形 ①只需要知道ABC 的面积即可求出12S S S --的值故选C ．【点睛】本题考查矩形的性质求三角形的面积．解题的关键是得到1212BCDES S S +=矩形 7．（2023·湖南·统考中考真题）如图所示在矩形ABCD 中 AB AD > AC 与BD 相交于点O 下列说法正确的是（）A ．点O 为矩形ABCD 的对称中心B ．点O 为线段AB 的对称中心C ．直线BD 为矩形ABCD 的对称轴D ．直线AC 为线段BD 的对称轴【答案】A 【分析】由矩形ABCD 是中心对称图形对称中心是对角线的交点线段AB 的对称中心是线段AB 的中点矩形ABCD 是轴对称图形对称轴是过一组对边中点的直线从而可得答案．【详解】解：矩形ABCD 是中心对称图形对称中心是对角线的交点故A 符合题意线段AB 的对称中心是线段AB 的中点故B 不符合题意矩形ABCD 是轴对称图形对称轴是过一组对边中点的直线故C D 不符合题意故选A【点睛】本题考查的是轴对称图形与中心对称图形的含义矩形的性质熟记矩形既是中心对称图形也是轴对称图形是解本题的关键．8．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，边长为6的正方形ABCD 中 M 为对角线BD 上的一点连接AM 并延长交CD 于点P ．若PM PC =，则AM 的长为（）A ．()331B ．()3332C ．)631D ．()6332 【答案】C【分析】先根据正方形的性质三角形全等的判定证出ADM CDM ≅ 根据全等三角形的性质可得DAM DCM ∠=∠ 再根据等腰三角形的性质可得CMP DCM ∠=∠ 从而可得30DAM ∠=︒ 然后利用勾股定理含30度角的直角三角形的性质求解即可得．【详解】解：四边形ABCD 是边长为6的正方形6,90,45AD CD ADC ADM CDM ∴==∠=︒∠=∠=︒在ADM △和CDM 中 45DM DM ADM CDM AD CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()SAS ADM CDM ∴≅DAM DCM ∴∠=∠PM PC =CMP DCM ∴∠=∠22APD CMP DCM DCM DAM ∴∠=∠+∠=∠=∠又18090APD DAM ADC ∠+∠=︒-∠=︒30DAM ∴∠=︒设PD x =，则22AP PD x == 6PM PC CD PD x ==-=-2236AD AP PD x ∴=-= 解得3x =663PM x ∴=-=- 243AP x ==(()43623631AM AP PM ∴=-=-= 故选：C ．【点睛】本题考查了正方形的性质勾股定理含30度角的直角三角形的性质等腰三角形的性质等知识点熟练掌握正方形的性质是解题关键．9．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O E 为边BC 的中点连结OE ．若68AC BD ==，，则OE =（）A ．2B ．52C ．3D ．4【答案】B 【分析】先由菱形的性质得AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD ==⨯= 再由勾股定理求出5BC = 然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．【详解】解：①菱形ABCD①AC BD ⊥ 116322OC AC ==⨯= 118422OB BD === ①由勾股定理得225BC OB OC =+=①E 为边BC 的中点 ①1155222OE BC ==⨯= 故选：B ．【点睛】本考查菱形的性质勾股定理直角三角形的性质熟练掌握菱形的性质直角三角形的性质是解题的关键．10．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，将矩形ABCD 对折使边AB 与DC BC 与AD 分别重合展开后得到四边形EFGH ．若2AB = 4BC =，则四边形EFGH 的面积为（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】B 【分析】由题意可得四边形EFGH 是菱形 2FH AB == 4GE BC == 由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案．【详解】解：①将矩形ABCD 对折使边AB 与DC BC 与AD 分别重合展开后得到四边形EFGH①EF GH ⊥ EF 与GH 互相平分①四边形EFGH 是菱形①2FH AB == 4GE BC ==①菱形EFGH 的面积为1124422FH GE ⋅=⨯⨯=．故选：B【点睛】此题考查了矩形的折叠菱形的判定和性质等知识熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．11．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，在矩形ABCD 中 O 为对角线BD 的中点 60ABD ∠=︒．动点E 在线段OB 上动点F 在线段OD 上点,E F 同时从点O 出发分别向终点,B D 运动且始终保持OE OF =．点E 关于,AD AB 的对称点为12,E E 点F 关于,BC CD 的对称点为12,F F ．在整个过程中四边形1212E E F F 形状的变化依次是（）A ．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B ．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C ．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D ．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形【答案】A【分析】根据题意分别证明四边形1212E E F F 是菱形平行四边形矩形即可求解．【详解】①四边形ABCD 是矩形①AB CD ∥ 90BAD ABC ∠=∠=︒①60BDC ABD ∠=∠=︒ 906030ADB CBD ∠=∠=︒-︒=︒①OE OF = OB OD =①DF EB =①对称①21DF DF BF BF ==， 21,BE BE DE DE ==①1221E F E F =①对称①260F DC CDF ∠=∠=︒ 130EDA E DA ∠=∠=︒①160E DB ∠=︒同理160F BD ∠=︒①11DE BF ∥①1221E F E F ∥①四边形1212E E F F 是平行四边形如图所示当,,E F O 三点重合时 DO BO =①1212DE DF AE AE ===即1212E E E F =①四边形1212E E F F 是菱形如图所示当,E F 分别为,OD OB 的中点时设4DB =，则21DF DF == 13DE DE ==在Rt △ABD 中 2,23AB AD ==连接AE AO①602ABO BO AB ∠=︒==，①ABO 是等边三角形①E 为OB 中点①AE OB ⊥ 1BE = ①22213AE - 根据对称性可得13AE AE =①2221112,9,3AD DE AE ===①22211AD AE DE =+①1DE A 是直角三角形且190E ∠=︒①四边形1212E E F F 是矩形当,F E 分别与,D B 重合时 11,BE D BDF 都是等边三角形，则四边形1212E E F F 是菱形①在整个过程中四边形1212E E F F 形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形故选：A ．【点睛】本题考查了菱形的性质与判定平行四边形的性质与判定矩形的性质与判定勾股定理与勾股定理的逆定理轴对称的性质含30度角的直角三角形的性质熟练掌握以上知识是解题的关键． 12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正方形ABCD 中 O 为对角线AC 的中点 E 为正方形内一点连接BE BE BA = 连接CE 并延长与ABE ∠的平分线交于点F 连接OF 若2AB =，则OF 的长度为（）A ．2B 3C ．1D 2【答案】D 【分析】连接AF 根据正方形ABCD 得到AB BC BE == 90ABC ∠=︒ 根据角平分线的性质和等腰三角形的性质求得45BFE ∠=︒ 再证明ABF EBF ≌ 求得90AFC ∠=︒ 最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半即可求出OF 的长度．【详解】解：如图，连接AF四边形ABCD 是正方形AB BE BC ∴== 90ABC ∠=︒ 222AC ==BEC BCE ∴∠=∠1802EBC BEC ∴∠=︒-∠290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠-∠=∠-︒ BF 平分ABE ∠1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠-︒45BFE BEC EBF ∴∠=∠-∠=︒在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS BAF BEF ∴△≌△45BFE BFA ∴∠=∠=︒90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=︒O 为对角线AC 的中点122OF AC ∴= 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质三角形内角和定理正方形的性质直角三角形特征作出正确的辅助线求得45BFE ∠=︒是解题的关键．二解答题13．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，矩形ABCD 中过对角线BD 的中点O 作BD 的垂线EF 分别交AD BC 于点E F ．(1)证明：BOF DOE ≌△△(2)连接BE DF 证明：四边形EBFD 是菱形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）根据矩形的性质得出AD BC ∥，则12,34∠=∠∠=∠ 根据O 是BD 的中点可得BO DO = 即可证明()AAS BOF DOE ≌△△（2）根据BOF DOE ≌△△可得ED BF = 进而可得四边形EBFD 是平行四边形根据对角线互相垂直的四边形是菱形即可得证．【详解】（1）证明：如图所示①四边形ABCD 是矩形①AD BC ∥①12,34∠=∠∠=∠①O 是BD 的中点①BO DO =在BOF 与DOE 中1234BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS BOF DOE ≌△△（2）①BOF DOE ≌△△①ED BF =又①ED BF ∥①四边形EBFD 是平行四边形①EF BD ⊥①四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题考查了矩形的性质全等三角形的性质与判定菱形的判定熟练掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．14．（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，矩形ABCD 的对角线AC BD 相交于点O ,DE AC CE BD ．(1)求证：四边形OCED 是菱形(2)若32BC DC ==, 求四边形OCED 的面积．【答案】(1)见解析 (2)3【分析】（1）先根据矩形的性质求得OC OD = 然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理（2）根据矩形的性质求得OCD 的面积然后结合菱形的性质求解．【详解】（1）解：①DE AC CE BD ∥,∥ ①四边形OCED 是平行四边形又①矩形ABCD 中 OC OD =①平行四边形OCED 是菱形（2）解：矩形ABCD 的面积为326BC DC ⋅=⨯=①OCD 的面积为13642⨯= ①菱形OCED 的面积为3232⨯=．【点睛】本题考查矩形的性质菱形的判定属于中考基础题掌握矩形的性质和菱形的判定方法正确推理论证是解题关键．15．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形其对角线相交于点O 3,8,5OA BD AB ===．(1)AOB 是直角三角形吗？请说明理由(2)求证：四边形ABCD 是菱形．【答案】(1)AOB 是直角三角形理由见解析．(2)见解析【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得142BO BD == 再根据勾股定理的逆定理即可得出结论（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可求证．【详解】（1）解：AOB 是直角三角形理由如下：①四边形ABCD 是平行四边形 ①142BO BD ==①222222345OA OB AB +=+==①AOB 是直角三角形．（2）证明：由（1）可得：AOB 是直角三角形①90AOB ∠=︒即AC BD ⊥①四边形ABCD 是平行四边形①四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质勾股定理的逆定理菱形的判定解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分对角线互相垂直的平行四边形是菱形．16．（2023·新疆·统考中考真题）如图，AD 和BC 相交于点O 90ABO DCO ∠=∠=︒ OB OC =．点E F 分别是AO DO 的中点．(1)求证：OE OF =(2)当30A ∠=︒时求证：四边形BECF 是矩形．【答案】(1)见解析 (2)见解析【分析】（1）直接证明()ASA AOB DOC ≌△△ 得出OA OD = 根据E F 分别是AO DO 的中点即可得证（2）证明四边形BECF 是平行四边形进而根据30A ∠=︒ 推导出BOE △是等边三角形进而可得BC EF = 即可证明四边形BECF 是矩形．【详解】（1）证明：在AOB 与DOC △中90ABO DCO OB OCAOB DOC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩①()ASA AOB DOC ≌△△①OA OD =又①E F 分别是AO DO 的中点①OE OF =（2）①OB OC OF OE ==，①四边形BECF 是平行四边形 22BC OB EF OE ==，①E 为AO 的中点 90∠=︒ABO①EB EO EA ==①30A ∠=︒①60BOE ∠=︒①BOE △是等边三角形①OB OE =①BC EF =①四边形BECF 是矩形．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定等边三角形的性质与判定矩形判定熟练掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·云南·统考中考真题）如图，平行四边形ABCD 中 AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线且E F 、分别在边BC AD 、上 AE AF =．(1)求证：四边形AECF 是菱形(2)若60ABC ∠=︒ ABE 的面积等于3 求平行线AB 与DC 间的距离．【答案】(1)证明见解析 (2)3【分析】（1）先证AD BC ∥ 再证AE FC 从而四边形AECF 是平行四边形又AE AF = 于是四边形AECF 是菱形（2）连接AC 先求得60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒ 再证AC AB ⊥9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒= 3AB AC= 得3AB AC = 再证AE BE CE == 从而根据面积公式即可求得AC =43 【详解】（1）证明：①四边形ABCD 是平行四边形①AD BC ∥ BAD BCD ∠∠=①BEA DAE ∠∠=①AE CF 、分别是BAD BCD ∠∠、的平分线①BAE DAE ∠∠==12BAD ∠ BCF ∠=12BCD ∠①DAE BCF BEA ∠∠∠==①AE FC①四边形AECF 是平行四边形①AE AF =①四边形AECF 是菱形（2）解：连接AC①AD BC ∥ 60ABC ∠=︒①180120BAD ABC ∠∠=︒-=︒①60BAE DAE ABC ∠∠∠===︒①四边形AECF 是菱形①EAC ∠=1230DAE ∠=︒①90BAC BAE EAC ∠∠∠=+=︒①AC AB ⊥ 9030ACB ABC EAC ∠∠∠=︒-=︒=①AE CE = tan 30tan AB ACB AC ︒=∠=3AB AC= ①3AB AC = ①BAE ABC ∠∠=①AE BE CE ==①ABE 的面积等于43 ①211338322ABC S AC AB AC AC AC =⋅=== ①平行线AB 与DC 间的距离AC =43【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质菱形的判定角平分线的定义等腰三角形的判定三角函数的应用以及平行线间的距离熟练掌握平行四边形的判定及性质菱形的判定角平分线的定义等腰三角形的判定三角函数的应用以及平行线间的距离等知识是解题的关键．18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，四边形ABCD 中 AD BC ∥ 点O 为对角线BD 的中点过点O 的直线l 分别与AD BC 所在的直线相交于点E F ．（点E 不与点D 重合）(1)求证：DOE BOF ≌(2)当直线l BD ⊥时连接BE DF 试判断四边形EBFD 的形状并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形EBFD 为菱形理由见解析【分析】（1）根据AAS 证明DOE BOF ≌即可（2）连接EB FD 根据DOE BOF ≌ 得出ED BF = 根据ED BF ∥ 证明四边形EBFD 为平行四边形根据EF BD ⊥ 证明四边形EBFD 为菱形即可．【详解】（1）证明：①点O 为对角线BD 的中点①BO DO =①AD BC ∥①ODE OBF ∠=∠ OED OFB ∠=∠在DOE 和BOF 中ODE OBF OED OFB BO DO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS DOE BOF ≌（2）解：四边形EBFD 为菱形理由如下：连接EB FD 如图所示：根据解析（1）可知 DOE BOF ≌①ED BF =①ED BF ∥①四边形EBFD 为平行四边形①l BD ⊥ 即EF BD ⊥①四边形EBFD 为菱形．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质菱形的判定平行线的性质解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．19．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在菱形ABCD 中 AE BC ⊥于点E AF CD ⊥于点F 连接EF(1)求证：AE AF =(2)若=60B ∠︒ 求AEF ∠的度数．【答案】(1)证明见解析 (2)60︒【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明AE AF =．（2）根据菱形的性质和已知条件可推出BAD ∠度数再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出BAE ∠和DAF ∠度数从而求出EAF ∠度数证明了等边三角形AEF 即可求出AEF ∠的度数．【详解】（1）证明：菱形ABCD,AB AD B D ∴=∠=∠又,AE BC AF CD ⊥⊥90AEB AFD ∴∠=∠=︒．在AEB △和AFD △中AEB AFD B DAB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(AAS)ABE ADF ∴≌．AE AF ∴=．（2）解：菱形ABCD180B BAD ∴∠+∠=︒=60B ∠︒120BAD ∴∠=︒．又90,60AEB B ∠=︒∠=︒30BAE =∴∠︒．由（1）知ABE ADF ≌30BAE DAF ∴∠=∠=︒．120303060EAF ∴∠=︒-︒-︒=︒． =AE AFAEF ∴等边三角形．60AEF ∴∠=︒．【点睛】本题考查了三角形全等菱形的性质等边三角形的性质解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质．20．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上的一点且AE AD =．(1)尺规作图（请用2B 铅笔）：作DAE ∠的平分线AF 交BC 的延长线于点F 连接DF ．（保留作图痕迹不写作法）(2)试判断四边形AEFD 的形状并说明理由．【答案】(1)见解析 (2)四边形AEFD 是菱形理由见解析【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出DAF AFE ∠=∠ 结合角平分线的定义可得EFA EAF ∠=∠，则AE EF = 然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论．【详解】（1）解：如图所示：（2）四边形AEFD 是菱形理由：①矩形ABCD 中 AD BC ∥①DAF AFE ∠=∠①AF 平分DAE ∠①DAF EAF ∠=∠①EFA EAF ∠=∠①AE EF =①AE AD =①AD EF =①AD EF ∥①四边形AEFD 是平行四边形又①AE AD =①平行四边形AEFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线矩形的性质平行线的性质等腰三角形的判定平行四边形的判定以及菱形的判定等知识熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．21．（2023·吉林长春·统考中考真题）将两个完全相同的含有30︒角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A E B D 依次在同一直线上连结AF CD ．(1)求证：四边形AFDC 是平行四边形(2)己知6cm BC 当四边形AFDC 是菱形时．AD 的长为__________cm ．【答案】(1)见解析 (2)18【分析】（1）由题意可知ACB DFE △≌△易得AC DF = 30CAB FDE ∠=∠=︒即AC DF ∥ 依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明（2）如图，在Rt ACB △中由30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得212cm AB BC == 60ABC ∠=︒ 由菱形得对角线平分对角得30CDA FDA ∠=∠=︒ 再由三角形外角和易证BCD CDA ∠=∠即可得6cm BC BD 最后由AD AB BD =+求解即可．【详解】（1）证明：由题意可知ACB DFE △≌△AC DF =∴ 30CAB FDE ∠=∠=︒AC DF ∥∴四边形AFDC 地平行四边形（2）如图，在Rt ACB △中 90ACB ∠=︒ 30CAB ∠=︒ 6cm BC212cm AB BC ∴== 60ABC ∠=︒四边形AFDC 是菱形AD ∴平分CDF ∠30CDA FDA ∴∠=∠=︒ABC CDA BCD ∠=∠+∠603030BCD ABC CDA ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒BCD CDA ∴∠=∠6cm BC BD ∴==18cm AD AB BD ∴=+=故答案为：18．【点睛】本题考查了全等三角形的性质平行四边形的判定菱形的性质 30︒角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余三角形外角及等角对等边解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 22．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，已知点A D C B 在同一条直线上且AD BC = AE BF = CE DF =．。

矩形、菱形、正方形例题

矩形：1．在矩形中，对角线具有的性质是（） A ．相等且互相垂直B ．相等且互相平分C ．互相垂直且互相平分D ．互相垂直且平分内角2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（）。

A ．4B ．3C ．2D ．13.如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，602AOB AB ∠==°，，则矩形的对角线AC 的长是（） A ．2B ．4C．D．4.（2008山西太原）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知0120AOD ∠=，AB=2.5，则AC 的长为。

5．如果矩形两条对角线所成的钝角为120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（） A ．3∶2B ．2∶1C ．4∶3D ．1∶16．已知矩形的周长是40cm ，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差是8cm ，则较大的边长为 cm ．7．如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，E 为BC 中点，F 在AB 上，且BF ＝2AF ，则四边形AFEC 的面积为．8．如图10，在矩形ABCD 中，AD ＝30，AB ＝20，E 、F 三等分对角线AC ，则△ABE 的面积等于（） A ．60B ．100C ．150D ．2009．如图7，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于点E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形面积的（） A ．15B ．14C ．13D ．31010.如图4，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE =（） A ．2B ．3C．D．ABCDO DCA B第14题11.(2008黑龙江黑河)如图，矩形ABCD 中，3AB =cm ，6AD =cm ，点E 为AB 边上的任意一点，四边形EFGB 也是矩形，且2E F B E=，则AFC S =△ 2cm ． 12.（2008桂林市）如图，矩形1111ＡＢＣＤ的面积为４，顺次连结各边中点得到四边形2222ＡＢＣＤ，再顺次连结四边形2222ＡＢＣＤ四边中点得到四边形3333ＡＢＣＤ，依此类推，求四边形n n n n ＡＢＣＤ的面积是。

2024学年八年级数学经典好题专项(矩形、菱形、正方形)练习(附答案)

2024学年八年级数学经典好题专项（矩形、菱形、正方形）练习一、选择题1、菱形不具备的性质是( )A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2、如图，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝( )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°（2题）（3题）（4题）3、如图，在▱ABCD 中，AB ＝BC ，下列结论错误的是( )A ．四边形ABCD 是菱形B ．AB ＝ADC ．AO ＝OC ，BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠ABC4、如图所示，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．35、如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D 两点之间的距离为（）A．15 B．3215 C．7.5 D．315（5题）（7题）（8题）（9题）6、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm 和cm B．4cm 和cm C．8cm 和cm D．4cm 和cm7、如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为( )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm8、如图，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为点E ，连接DF ，则∠CDF 等于( )A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD ,AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180º10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC ＝60°，则对角线交点E 的坐标为( )A ．(2， 3 )B ．( 3 ，2)C ．( 3 ，3)D ．(3， 3 )（10题）（11题）（12题）（13题）二、填空题11、如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形，小聪的说法．(填“正确”或“不正确”)12、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若∠ABC ＝140°，则∠BAD ＝________°，∠ABD ＝________°，∠BCA ＝________°；13、如图，菱形ABCD 的边长为2 cm ，E 是BC 的中点，且AE ⊥BC ，则菱形ABCD 的面积为_____.14、如图，P 是菱形ABCD 的对角线AC 上一点，PE ⊥AD 于点E ，且PE ＝3 cm ，则点P 到AB 的距离为__ __ cm.（14题）（15题）（17题）（20题）15、如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AO ＝3，点E 在BC 的延长线上，∠E ＝12∠ABC ，DE ＝16、菱形ABCD 的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．17、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，则该菱形的面积为________cm 2，周长为________cm.18、已知菱形ABCD 的面积为24 cm 2，若对角线AC ＝6 cm ，则这个菱形的边长为____ cm.19、四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝6，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在AC 上，若OE ＝3，则CE 的长为_________20、如图，点P 是边长为1的菱形ABCD 对角线AC 上的一个动点，点M ，N 分别是AB ，BC 边的中点，则MP ＋PN 的最小值是______.三、解答题21、已知：如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，DE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交AC于点F. 四边形DECF 是菱形吗？为什么？22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH⊥AB于H.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DH的长．23、如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm.求菱形的周长．24、已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD.（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE的面积.25、如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.26、已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.(1)若CE＝1，求BC的长；(2)求证：AM＝DF＋ME.参考答案一、选择题1、菱形不具备的性质是( B )A ．四条边都相等B ．对角线一定相等C ．是轴对称图形D ．是中心对称图形2、如图，菱形ABCD 中，∠D ＝150°，则∠1＝( D )A ．30°B ．25°C ．20°D ．15°3、如图，在▱ABCD 中，AB ＝BC ，下列结论错误的是( D )A ．四边形ABCD 是菱形B ．AB ＝ADC ．AO ＝OC ，BO ＝OD D ．∠BAD ＝∠ABC4、如图所示，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为( B )A ．2 3B ．3 3C ．4 3D ．35、如图，菱形ABCD 中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D 两点之间的距离为（ A ）A．15 B．3215 C．7.5 D．3156、菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（C ）A．8cm 和cm B．4cm 和cm C．8cm 和cm D．4cm 和cm7、如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6 cm ，8 cm ，则这个菱形的周长为(D )A ．5 cmB ．10 cmC ．14 cmD ．20 cm8、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF，则∠CDF等于( B )A．50° B．60° C．70° D．80°9、如图．剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）A．∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠BCD B．AB=BC C．AB=CD ,AD=BC D．∠DAB+∠BCD=180º解析：∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠放在一起而组成的图形，∴AB∥CD，AD∥BC, ∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）．过点A分别作BC，CD边上的高为AE，AF，连接AC，则AE=AF(两纸条相同，纸条宽度相同)，∴在平行四边形ABCD中．S△ABC=S△ACD，即BC•AE=CD•AF，∴BC=CD，AB=BC．故B中结论成立；∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A中结论成立；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C中结论成立：当四边形ABCD是矩形时，有∠DAB+∠BCD=180º．故D中结论不一定成立，故选D．10、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O(0，0)，A(4，0)，∠AOC＝60°，则对角线交点E的坐标为( D )A．(2， 3 ) B．( 3 ，2) C．( 3 ，3) D．(3， 3 )二、填空题11、如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法正确．(填“正确”或“不正确”)12、在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ABC＝140°，则∠BAD＝________°，∠ABD＝________°，∠BCA＝________°；答案：40，70，2013、如图，菱形ABCD的边长为2 cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为__2 3 cm2 ____.14、如图，P是菱形ABCD的对角线AC上一点，PE⊥AD于点E，且PE＝3 cm，则点P到AB的距离为__3 __ cm.15、如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AO＝3，点E在BC的延长线上，∠E＝12∠ABC，DE＝816、菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD：∠ABC=1：2，则BD=_____，菱形的面积是______．217、如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝8 cm，BD＝6 cm，则该菱形的面积为________cm2，周长为________cm.答案：24，2018、已知菱形ABCD的面积为24 cm2，若对角线AC＝6 cm，则这个菱形的边长为__5 __ cm.19、四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝3，则CE的长为___43或23______20、如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边的中点，则MP＋PN的最小值是__1 ____.三、解答题21、已知：如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F. 四边形DECF是菱形吗？为什么？解：四边形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四边形DECF为平行四边形．由AC∥DE，知∠2＝∠3. ∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四边形DECF为菱形．22、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝8 cm，BD＝6 cm，DH⊥AB于H.(1)求菱形ABCD的面积；(2)求DH的长．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，AC ＝8 cm ，BD ＝6 cm ，∴S 菱形ABCD ＝12ACꞏBD ＝12×6×8＝24(cm 2)．(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝OC ＝12＝4 cm ，OB ＝OD ＝3 cm ，∴在直角三角形AOB 中，AB ＝OB 2＋OA 2＝32＋42＝5 cm ，∴DH ＝S 菱形ABCD AB ＝4.8 cm.23、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，BD ＝12 cm ，AC ＝6 cm.求菱形的周长．解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝12AC ，BO ＝12 BD.∵AC ＝6 cm ，BD ＝12 cm ， ∴AO ＝3 cm ，BO ＝6 cm.在Rt △ABO 中，由勾股定理，得AB ＝AO 2＋BO 2＝32＋62＝3 5 cm ，∴菱形的周长＝4AB=4×3 5 =12 5 cm.24、已知：如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，DE ∥AC ，AE ∥BD.（1）求证：四边形AODE 是矩形；（2）若AB=6，∠BCD=120°，求四边形AODE 的面积.解答：（1）证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，∵在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，∴ AOD=90 , ∴平行四边形AODE 是是矩形；（2）∵∠BCD=120°，AB ∥CD ，∴∠ABC=180°‐120°=60°，∵AB=BC ，∴△ABC 是等边三角形，∴OA=21×6=3, OD=OB=6×23=33,∴四边形AODE 的面积=OA ∙OD=9325、如图，在菱形ABCD 中，点P 是BC 边上一点，连接AP ，点E ，F 是AP 上的两点，连接DE ，BF ，使得∠AED ＝∠ABC ，∠ABF ＝∠BPF .求证：(1)△ABF ≌△DAE ；(2)DE ＝BF ＋EF .证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC . ∴∠BP A ＝∠DAE .∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE .∵∠ABF ＝∠BPF ，∠BP A ＝∠DAE ，∴∠ABF ＝∠DAE .∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE (ASA)．(2)∵△ABF ≌△DAE ， ∴BF ＝AE ，AF ＝DE .∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF .26、已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1＝∠2.(1)若CE ＝1，求BC 的长；(2)求证：AM ＝DF ＋ME.(1)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，∴∠1＝∠ACD ，∵∠1＝∠2，∴∠ACD ＝∠2，∴MC ＝MD ，∵ME ⊥CD ，∴CD ＝2CE ， ∵CE ＝1，∴CD ＝2，∴BC ＝CD ＝2(2)证明：如图，∵F 为边BC 的中点，∴BF ＝CF ＝12BC ，∴CF ＝CE ，在菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ，∴∠ACB ＝∠ACD ，在△CEM 和△CFM 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF ，∠ACB ＝∠ACD ，CM ＝CM ，∴△CEM ≌△CFM(SAS)，∴ME ＝MF ，延长AB 交DF 的延长线于点G ， ∵AB ∥CD ，∴∠G ＝∠2， ∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠G ，∴AM ＝MG ，在△CDF 和△BGF 中，∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠FC FB DFC GFB G 2,∴△CDF ≌△BGF(AAS)，∴GF ＝DF ，由图形可知，GM ＝GF ＋MF ，∴AM ＝DF ＋ME。

矩形、菱形、正方形(选择、填空题)专题练习

矩形、菱形、正方形（选择、填空题）一．选择题1．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．43．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A ．4.8B ．5C ．6D ．7.27．如图，矩形ABCD 与菱形EFGH 的对角线均交于点O ，且EG ∥BC ，将矩形折叠，使点C 与点O 重合，折痕MN 恰好过点G 若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN 的长为（）A ．B ．C ．﹣D ．2﹣8．如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个9．如图，在矩形ABCD 中，AD=6，AE ⊥BD ，垂足为E ，ED=3BE ，点P 、Q 分别在BD ，AD 上，则AP +PQ 的最小值为（）A ．2B ．C ．2D ．310．有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S 1，S 2，则S 1：S 2等于（）A ．1：B ．1：2C ．2：3D ．4：911．如图，正方形ABCD 的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC 边上的点E 处，折痕为GH ．若BE ：EC=2：1，则线段CH 的长是（） A ．3B ．4C ．5D ．612．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或613．如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD 上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对14．如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．7515．如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（）A．B．C．D．16．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：=13S ①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH，其中结论正确的有（）△DHCA．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题17．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．18．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为．19．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．20．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF 与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为．21．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=度．22．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=度．23．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=．24．如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为．25．如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为cm．26．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是．27．如图，在平面内，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG：DF：CE=．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．29．如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为．30．如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．答案与解析一．选择题1．（2016•莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等B．对角相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则可求得答案．【解答】解：∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D．【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．2．（2016•枣庄）如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH等于（）A．B．C．5 D．4【分析】根据菱形性质求出AO=4，OB=3，∠AOB=90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵AC=8，DB=6，∴AO=4，OB=3，∠AOB=90°，由勾股定理得：AB==5，=，∵S菱形ABCD∴，∴DH=，故选A．【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱=是解此题的关键．形ABCD3．（2016•苏州）矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A．（3，1）B．（3，）C．（3，）D．（3，2）【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y=，∴点E坐标（3，）故选：B．【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．4．（2016•威海）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【分析】连接BF，根据三角形的面积公式求出BH，得到BF，根据直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根据勾股定理求出答案．【解答】解：连接BF，∵BC=6，点E为BC的中点，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE==5，∴BH=，则BF=，∵FE=BE=EC，∴∠BFC=90°，∴CF==．故选：D．【点评】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．5．（2016•海南）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．【解答】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C．【点评】此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．6．（2016•宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A．4.8 B．5 C．6 D．7.2【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案．【解答】解：连接OP，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴S矩形ABCD∴OA=OD=5，=S矩形ABCD=24，∴S△ACD=S△ACD=12，∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，∵S△AOD解得：PE+PF=4.8．故选：A．【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法以及掌握整体数学思想的运用是解题的关键．7．（2016•资阳）如图，矩形ABCD与菱形EFGH的对角线均交于点O，且EG∥BC，将矩形折叠，使点C与点O重合，折痕MN恰好过点G若AB=，EF=2，∠H=120°，则DN的长为（）A．B．C．﹣ D．2﹣【分析】延长EG交DC于P点，连接GC、FH，则△GCP为直角三角形，证明四边形OGCM为菱形，则可证CG=OM=CM=OG=，由勾股定理求得GP的值，再由梯形的中位线定理CM+DN=2GP，即可得出答案．【解答】解：延长EG交DC于P点，连接GC、FH；如图所示：则CP=DP=CD=，△GCP为直角三角形，∵四边形EFGH是菱形，∠EHG=120°，∴GH=EF=2，∠OHG=60°，EG⊥FH，∴OG=GH•sin60°=2×=，由折叠的性质得：CG=OG=，OM=CM，∠MOG=∠MCG，∴PG==，∵OG∥CM，∴∠MOG+∠OMC=180°，∴∠MCG+∠OMC=180°，∴OM∥CG，∴四边形OGCM为平行四边形，∵OM=CM，∴四边形OGCM为菱形，∴CM=OG=，根据题意得：PG 是梯形MCDN 的中位线，∴DN +CM=2PG=，∴DN=﹣；故选：C ．【点评】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、梯形中位线定理、三角函数等知识；熟练掌握菱形和矩形的性质，由梯形中位线定理得出结果是解决问题的关键．8．（2016•眉山）如图，矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB 、CD 交于点E 、F ，连结BF 交AC 于点M ，连结DE 、BO ．若∠COB=60°，FO=FC ，则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②△EOB ≌△CMB ；③DE=EF ；④S △AOE ：S △BCM =2：3．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；②在△EOB 和△CMB 中，对应直角边不相等；③可证明∠CDE=∠DFE ；④可通过面积转化进行解答．【解答】解：①∵矩形ABCD 中，O 为AC 中点，∴OB=OC ，∵∠COB=60°，∴△OBC 是等边三角形，∴OB=BC ，∵FO=FC ，∴FB 垂直平分OC ，故①正确；②∵△BOC 为等边三角形，FO=FC ，∴BO ⊥EF ，BF ⊥OC ，∴∠CMB=∠EOB=90°，但BO ≠BM ，故②错误；③易知△ADE ≌△CBF ，∠1=∠2=∠3=30°，∴∠ADE=∠CBF=30°，∠BEO=60°，∴∠CDE=60°，∠DFE=∠BEO=60°，∴∠CDE=∠DFE ，∴DE=EF ，故③正确；④易知△AOE ≌△COF ，∴S △AOE =S △COF ，∵S △COF =2S △CMF ，∴S △AOE ：S △BCM =2S △CMF ：S △BCM =， ∵∠FCO=30°，∴FM=，BM=CM ，∴=，∴S △AOE ：S △BCM =2：3，故④正确；所以其中正确结论的个数为3个；故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．9．（2016•雅安）如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（）A．2 B．C．2 D．3【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD 的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案..【解答】解：设BE=x，则DE=3x，∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD，∴△ABE∽△DAE，∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2，∴AE=x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=，∴AE=3，DE=3，如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′，则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6，∴△AA′D是等边三角形，∵PA=PA′，∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小，又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小，∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=3，故选D．【点评】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算．10．（2016•南宁）有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1：S2等于（）A．1：B．1：2 C．2：3 D．4：9【分析】设小正方形的边长为x，再根据相似的性质求出S1、S2与正方形面积的关系，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长为x，根据图形可得：∵=，∴=，∴=，∴S1=S正方形ABCD，∴S1=x2，∵=，∴=，∴S2=S正方形ABCD，∴S2=x2，∴S1：S2=x2：x2=4：9；故选D．【点评】此题考查了正方形的性质，用到的知识点是正方形的性质、相似三角形的性质、正方形的面积公式，关键是根据题意求出S1、S2与正方形面积的关系．11．（2016•毕节市）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D 落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9﹣x，根据BE：EC=2：1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．【解答】解：设CH=x，则DH=EH=9﹣x，∵BE：EC=2：1，BC=9，∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4．故选（B）．【点评】本题主要考查正方形的性质以及翻折变换，折叠问题其实质是轴对称变换．在直角三角形中，利用勾股定理列出方程进行求解是解决本题的关键．12．（2016•徐州）如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6【分析】根据题意列方程，即可得到结论．【解答】解：如图，∵若直线AB将它分成面积相等的两部分，∴（6+9+x）×9﹣x•（9﹣x）=×（62+92+x2）﹣6×3，解得x=3，或x=6，故选D．【点评】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确分识别图形是解题的关键．13．（2016•陕西）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于两点M′、N′，则图中的全等三角形共有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对【分析】可以判断△ABD≌△BCD，△MDO≌△M′BO，△NOD≌△N′OB，△MON ≌△M′ON′．由此即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=CB=AD，∠A=∠C=∠ABC=∠ADC=90°，AD∥BC，在△ABD和△BCD中，，∴△ABD≌△BCD，∵AD∥BC，∴∠MDO=∠M′BO，在△MOD和△M′OB中，，∴△MDO≌△M′BO，同理可证△NOD≌△N′OB，∴△MON≌△M′ON′，∴全等三角形一共有4对．故选C．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题，中考常考题型．14．（2016•台湾）如图，有一平行四边形ABCD与一正方形CEFG，其中E点在AD上．若∠ECD=35°，∠AEF=15°，则∠B的度数为何？（）A．50 B．55 C．70 D．75【分析】由平角的定义求出∠CED的度数，由三角形内角和定理求出∠D的度数，再由平行四边形的对角相等即可得出结果．【解答】解：∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF=90°，∵∠CED=180°﹣∠AEF﹣∠CEF=180°﹣15°﹣90°=75°，∴∠D=180°﹣∠CED﹣∠ECD=180°﹣75°﹣35°=70°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B=∠D=70°（平行四边形对角相等）．故选C．【点评】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出∠D的度数是解决问题的关键．15．（2016•呼和浩特）如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（）A．B．C．D．【分析】先利用勾股定理求出DF，再根据△BEF∽△CFD，得=求出EF即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，∴BC=CD=2，∠B=∠C=90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠EFG=90°，∵∠EFB+∠DFC=90°，∠BEF+∠EFB=90°，∴∠BEF=∠DFC，∵∠EBF=∠C=90°，∴△BEF∽△CFD，∴=，∵BF=，CF=，DF==，∴=，∴EF=，∴正方形EFGH的周长为．故选C．【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．16．（2016•昆明）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，与AC、DC分别交于点G，F，H为CG的中点，连接DE，EH，DH，FH．下列结论：①EG=DF；②∠AEH+∠ADH=180°；③△EHF≌△DHC；④若=，则3S△EDH=13S △DHC，其中结论正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①根据题意可知∠ACD=45°，则GF=FC，则EG=EF﹣GF=CD﹣FC=DF；②由SAS证明△EHF≌△DHC，得到∠HEF=∠HDC，从而∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=180°；③同②证明△EHF≌△DHC即可；④若=，则AE=2BE，可以证明△EGH≌△DFH，则∠EHG=∠DHF且EH=DH，则∠DHE=90°，△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，则S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2．【解答】解：①∵四边形ABCD为正方形，EF∥AD，∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，∴△CFG为等腰直角三角形，∴GF=FC，∵EG=EF﹣GF，DF=CD﹣FC，∴EG=DF，故①正确；②∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），∴∠HEF=∠HDC，∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF﹣∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故②正确；③∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，在△EHF和△DHC中，，∴△EHF≌△DHC（SAS），故③正确；④∵=，∴AE=2BE，∵△CFG为等腰直角三角形，H为CG的中点，∴FH=GH，∠FHG=90°，∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，在△EGH和△DFH中，，∴△EGH≌△DFH（SAS），∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，∴△EHD为等腰直角三角形，过H点作HM垂直于CD于M点，如图所示：设HM=x，则DM=5x，DH=x，CD=6x，=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，则S△DHC=13S△DHC，故④正确；∴3S△EDH故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．二．填空题（共14小题）17．（2016•内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE=．【分析】先根据菱形的性质得AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，再在Rt△OBC中利用勾股定理计算出BC=5，然后利用面积法计算OE的长．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，∴BC==5，∵OE⊥BC，∴OE•BC=OB•OC，∴OE==．故答案为．【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了勾股定理和三角形面积公式．18．（2016•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为24．【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，∴△AOD为直角三角形．∵OE=3，且点E为线段AD的中点，∴AD=2OE=6．C菱形ABCD=4AD=4×6=24．故答案为：24．【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．19．（2016•盐城）如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【分析】延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，由菱形的性质和已知条件得出∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，得出MG=x+1，由勾股定理得出（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解方程得出DF=0.6，AF=1.4，求出AH=AF=0.7，FH=，证明△DCB是等边三角形，得出BG⊥CD，由勾股定理求出BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，由勾股定理得出（）2+y2=（2﹣y）2，解方程求出y=0.25，得出AE、EH，再由勾股定理求出EF即可．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．【点评】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，运用勾股定理得出方程是解决问题的关键．20．（2016•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为3．【分析】首先证明△ABC，△ADC都是等边三角形，再证明FG是菱形的高，根=BC•FG即可解决问题．据2•S△ABC【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AB=BC=CD=AD，∠CAB=∠CAD=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，∵EG⊥AC，∴∠AEG=∠AGE=30°，∵∠B=∠EGF=60°，∴∠AGF=90°，∴FG⊥BC，=BC•FG，∴2•S△ABC∴2××（6）2=6•FG，∴FG=3．故答案为3．【点评】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、翻折变换、菱形的面积等知识，记住菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半，属于中考常考题型．21．（2016•巴中）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=30°，则∠E=15度．【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=30°，可得∠E度数．【解答】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=30°，即∠E=15°，故答案为：15．【点评】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键．22．（2016•包头）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=22.5度．【分析】首先证明△AEO是等腰直角三角形，求出∠OAB，∠OAE即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∴OA=OB═OC，∴∠OAD=∠ODA，∠OAB=∠OBA，∴∠AOE=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，∵∠EAC=2∠CAD，∴∠EAO=∠AOE，∵AE⊥BD，∴∠AEO=90°，∴∠AOE=45°，∴∠OAB=∠OBA==67.5°，∴∠BAE=∠OAB﹣∠OAE=22.5°．故答案为22.5°．【点评】本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是发现△AEO是等腰直角三角形这个突破口，属于中考常考题型．23．（2016•黄冈）如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，且DC=3DE=3a．将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=2a．【分析】作FM⊥AD于M，则MF=DC=3a，由矩形的性质得出∠C=∠D=90°．由折叠的性质得出PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，求出∠DPE=30°，得出∠MPF=60°，在Rt△MPF中，由三角函数求出FP即可．【解答】解：作FM⊥AD于M，如图所示：则MF=DC=3a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=∠D=90°．∵DC=3DE=3a，∴CE=2a，由折叠的性质得：PE=CE=2a=2DE，∠EPF=∠C=90°，∴∠DPE=30°，∴∠MPF=180°﹣90°﹣30°=60°，在Rt△MPF中，∵sin∠MPF=，∴FP===2a；故答案为：2a．【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、三角函数等知识；熟练掌握折叠和矩形的性质，求出∠DPE=30°是解决问题的关键．24．（2016•湖北襄阳）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为．【分析】先根据ASA判定△AFO≌△BEO，并根据勾股定理求得BE的长，再判定△BFM∽△BEO，最后根据对应边成比例，列出比例式求解即可．【解答】解：∵正方形ABCD∴AO=BO，∠AOF=∠BOE=90°∵AM⊥BE，∠AFO=∠BFM∴∠FAO=∠EBO在△AFO和△BEO中∴△AFO≌△BEO（ASA）∴FO=EO∵正方形ABCD的边长为2，E是OC的中点∴FO=EO=1=BF，BO=2∴直角三角形BOE中，BE==由∠FBM=∠EBO，∠FMB=∠EOB，可得△BFM∽△BEO∴，即∴FM=故答案为：【点评】本题主要考查了正方形，解决问题的关键的掌握全等三角形和相似三角形的判定与性质．解题时注意：正方形的对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．25．（2016•南京）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为13cm．【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【解答】解：因为正方形AECF的面积为50cm2，所以AC=cm，因为菱形ABCD的面积为120cm2，所以BD=cm，所以菱形的边长=cm．故答案为：13．【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．26．（2016•聊城）如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…、则正方形OB2015B2016C2016的顶点B2016的坐标是（21008，0）．【分析】首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2016的坐标．【解答】解：∵正方形OA1B1C1边长为1，∴OB1=，∵正方形OB1B2C2是正方形OA1B1C1的对角线OB1为边，∴OB2=2，∴B2点坐标为（0，2），同理可知OB3=2，∴B3点坐标为（﹣2，2），同理可知OB4=4，B4点坐标为（﹣4，0），B5点坐标为（﹣4，﹣4），B6点坐标为（0，﹣8），B7（8，﹣8），B8（16，0）B9（16，16），B10（0，32），由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2016÷8=252∴B2016的纵横坐标符号与点B8的相同，横坐标为正值，纵坐标是0，∴B2016的坐标为（21008，0）．故答案为：（21008，0）．【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍．27．（2016•安徽自主招生）如图，在平面内，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AG：DF：CE=1：：1．【分析】连接BD、BF，可证明△ABG∽△DBF，可求得AG：DF，连接CE，可证明△ABG≌△CBE，可求得AG=CE，可求得答案．【解答】解：连接BD、BF和CE，∵四边形ABCD和BEFG均为正方形，∴==，且∠ABD=∠GBF=45°，∴∠ABG+∠GBD=∠GBD+∠DBF，∴∠ABG=∠GBD，∴△ABG∽△DBF，∴，又∴AB=BC，BG=BE，∠ABC=∠GBE=90°，∴∠AGB+∠GBC=∠GBC+∠CBE，∴∠AGB=∠CBE，在△ABG和△CBE中∴△ABG≌△CBE（SAS），∴AG=CE，∴AG：CE=1：1，∴AG：DF：CE=1：：1，故答案为：1：：1．【点评】本题主要考查相似三角形和全等三角形的判定和性质，构造全等或相似三角形是解题的关键．28．（2016•湖北校级自主招生）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，M为斜边AB上一动点，过M作MD⊥AC，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为．【分析】连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．【解答】解：连接CM，如图所示：∵MD⊥AC，ME⊥CB，∴∠MDC=∠MEC=90°，∵∠C=90°，∴四边形CDME是矩形，∴DE=CM，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB===5，当CM⊥AB时，CM最短，此时△ABC的面积=AB•CM=BC•A C，∴CM的最小值==，∴线段DE的最小值为；故答案为：．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．29．（2016•丹东）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为6．【分析】利用正方形的性质和勾股定理可得AC的长，由角平分线的性质和平行线的性质可得∠CAE=∠E，易得CE=CA，由FA⊥AE，可得∠FAC=∠F，易得CF=AC，可得EF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为3，∴AC=3，∵AE平分∠CAD，∴∠CAE=∠DAE，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠E，∴∠CAE=∠E，∴CE=CA=3，∵FA⊥AE，∴∠FAC+∠CAE=90°，∠F+∠E=90°，∴∠FAC=∠F，∴CF=AC=3，∴EF=CF+CE=3=6，故答案为：6．【点评】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质等，利用等角对等边是解答此题的关键．30．（2016•天津）如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于．【分析】根据辅助线的性质得到∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，即可得到结论．【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=AB，BM=MN=QM。

矩形、菱形、正方形(解答题)专练(详细答案)

9.4 矩形、菱形、正方形〔解答题〕1．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．2．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD 的延长线于点F，求证：DF=BE．3．如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，假设平移开始后点D′未到达点B 时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．4．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．〔1〕证明：四边形ACDE是平行四边形；〔2〕假设AC=8，BD=6，求△ADE的周长．6．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．〔1〕求∠EPF的大小；〔2〕假设AP=10，求AE+AF的值；〔3〕假设△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE 的延长线于点F．〔1〕求证：四边形ECBF是平行四边形；〔2〕当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．8．如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD〔1〕求∠AOD的度数；〔2〕求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：〔1〕∠CEB=∠CBE；〔2〕四边形BCED是菱形．10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．11．如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E 关于AC所在直线的对称点．〔1〕证明：四边形CFAE为菱形；〔2〕连接EF交AC于点O，假设BC=10，求线段OF的长．12．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．〔1〕四边形ABEF是；〔选填矩形、菱形、正方形、无法确定〕〔直接填写结果〕〔2〕AE，BF相交于点O，假设四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为，∠ABC=°．〔直接填写结果〕13．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．〔1〕求证：四边形AECF是菱形；〔2〕假设AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．〔结果保留根号〕14．如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．〔1〕用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F〔保留作图痕迹，不写作法和证明〕．〔2〕连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．15．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．〔1〕求证：四边形AECF是平行四边形；〔2〕假设AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．16．如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．〔1〕求证：CP=AQ；〔2〕假设BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．17．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，假设AB=AO，求∠ABD的度数．18．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．19．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．〔1〕当AN平分∠MAB时，求DM的长；〔2〕连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；〔3〕当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．20．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．21．如图，将平行四边形ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．〔1〕求证：△BEF≌△CDF；〔2〕连接BD、CE，假设∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．22．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答〔1〕假设只改变图1中四边形ABCD的形状〔如图2〕，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：〔2〕如图2，在〔1〕的条件下，假设连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．23．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．〔1〕求证：△PHC≌△CFP；〔2〕证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．24．已知，如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．25．如图，在正方形ABCD中，点E〔与点B、C不重合〕是BC边上一点，将线段EA绕点E顺时针旋转90°到EF，过点F作BC的垂线交BC的延长线于点G，连接CF．〔1〕求证：△ABE≌△EGF；=2S△ECF，求BE．〔2〕假设AB=2，S△ABE26．已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ 于点P．〔1〕求证：AP=BQ；〔2〕在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．27．在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为〔﹣6，0〕．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．〔1〕如图2，假设α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．〔2〕假设α为锐角，tanα=，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．〔3〕当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？假设能，求点P的坐标；假设不能，试说明理由28．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．〔1〕已知EO=，求正方形ABCD的边长；〔2〕猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．29．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF=90°，EF交正方形外角的平分线CF于F．求证：AE=EF．30．如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连结CE、DF．求证：CE=DF．答案与解析1．〔2016•安顺〕如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．〔1〕求证：△ABE≌△CDF；〔2〕当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．【分析】第〔1〕问要证明三角形全等，由平行四边形的性质，很容易用SAS证全等．第〔2〕要求菱形的面积，在第〔1〕问的基础上很快知道△ABE为等边三角形．这样菱形的高就可求了，用面积公式可求得．【解答】〔1〕证明：∵在▱ABCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．〔2〕解：∵四边形AECF为菱形，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．【点评】考查了全等三角形，四边形的知识以及逻辑推理能力．〔1〕用SAS证全等；〔2〕假设四边形AECF为菱形，则AE=EC=BE=AB，所以△ABE为等边三角形．2．〔2016•广安〕如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【分析】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【解答】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE〔HL〕，∴DF=BE．【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．3．〔2016•荆州〕如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，假设平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．【分析】当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=DA=DB，∴∠DAC=∠DCA，∵A′C′∥AC，∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，∴∠DA′E=∠DEA′，∴DA′=DE，∴△A′DE是等腰三角形．∵四边形DEFD′是菱形，∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，∴∠C′EF=∠DA′E，∠EFC′=∠C′D′A′，∵CD∥C′D′，∴∠A′DE=∠A′D′C′=∠EFC′，在△A′DE和△EFC′中，，∴△A′DE≌△EFC′．【点评】此题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．4．〔2016•淮安〕已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD的中点，连接AE，CF，求证：△ADE≌△CDF．【分析】由菱形的性质得出AD=CD，由中点的定义证出DE=DF，由SAS证明△ADE ≌△CDF即可．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD，∵点E、F分别为边CD、AD的中点，∴AD=2DF，CD=2DE，∴DE=DF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF〔SAS〕．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．5．〔2016•苏州〕如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D 作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E．〔1〕证明：四边形ACDE是平行四边形；〔2〕假设AC=8，BD=6，求△ADE的周长．【分析】〔1〕根据平行四边形的判定证明即可；〔2〕利用平行四边形的性质得出平行四边形的周长即可．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB=90°，∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB，∴DE∥AC，∴四边形ACDE是平行四边形；〔2〕解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AO=4，DO=3，AD=CD=5，∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE=CD=5，DE=AC=8，∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18．【点评】此题考查平行四边形的性质和判定问题，关键是根据平行四边形的判定解答即可．6．〔2016•枣庄〕如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP=FP=6，EF=6，∠BAD=60°，且AB＞6．〔1〕求∠EPF的大小；〔2〕假设AP=10，求AE+AF的值；〔3〕假设△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．【分析】〔1〕根据锐角三角函数求出∠FPG，最后求出∠EPF．〔2〕先判断出Rt△PME≌Rt△PNF，再根据锐角三角函数求解即可，〔3〕根据运动情况及菱形的性质判断求出AP最大和最小值．【解答】解：〔1〕过点P作PG⊥EF于点G，如图1所示．∵PE=PF=6，EF=6，∴FG=EG=3，∠FPG=∠EPG=∠EPF．在Rt△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=120°．〔2〕过点P作PM⊥AB于点M，作PN⊥AD于点N，如图2所示．∵AC为菱形ABCD的对角线，∴∠DAC=∠BAC，AM=AN，PM=PN．在Rt△PME和Rt△PNF中，PM=PN，PE=PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF，∴ME=NF．又AP=10，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AN=APcos30°=10×=5，∴AE+AF=〔AM+ME〕+〔AN﹣NF〕=AM+AN=10．〔3〕如图，当△EFP的三个顶点分别在AB，AD，AC上运动，点P在P′，P之间运动，∴P′O=PO=3，AO=9，∴AP的最大值为12，AP的最小值为6，【点评】此题是菱形的性质题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数，解此题的关键是作出辅助线．7．〔2016•三明〕如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F．〔1〕求证：四边形ECBF是平行四边形；〔2〕当∠A=30°时，求证：四边形ECBF是菱形．【分析】〔1〕利用平行四边形的判定证明即可；〔2〕利用菱形的判定证明即可．【解答】证明：〔1〕∵D，E分别为边AC，AB的中点，∴DE∥BC，即EF∥BC．又∵BF∥CE，∴四边形ECBF是平行四边形．〔2〕∵∠ACB=90°，∠A=30°，E为AB的中点，∴CB=AB，CE=AB．∴CB=CE．又由〔1〕知，四边形ECBF是平行四边形，∴四边形ECBF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱形的判定是解题关键．8．〔2016•抚顺〕如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，AC与BD相交于点O，连接CD〔1〕求∠AOD的度数；〔2〕求证：四边形ABCD是菱形．【分析】〔1〕首先根据角平分线的性质得到∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，然后根据平行线的性质得到∠DAB+∠CBA=180°，从而得到∠BAC+∠ABD=〔∠DAB+∠ABC〕=×180°=90°，得到答案∠AOD=90°；〔2〕根据平行线的性质得出∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，求出∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB=BC=AD，根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，即可得出答案．【解答】解：〔1〕∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∵AE∥BF，∴∠DAB+∠CBA，=180°，∴∠BAC+∠ABD=〔∠DAB+∠ABC〕=×180°=90°，∴∠AOD=90°；〔2〕证明：∵AE∥BF，∴∠ADB=∠DBC，∠DAC=∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC=∠BAC，∠ABD=∠DBC，∴∠BAC=∠ACB，∠ABD=∠ADB，∴AB=BC，AB=AD∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，能得出四边形ABCD是平行四边形是解此题的关键．9．〔2016•沈阳〕如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE．求证：〔1〕∠CEB=∠CBE；〔2〕四边形BCED是菱形．【分析】〔1〕欲证明∠CEB=∠CBE，只要证明∠CEB=∠ABD，∠CBE=∠ABD即可．〔2〕先证明四边形CEDB是平行四边形，再根据BC=BD即可判定．【解答】证明；〔1〕∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC=∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB=∠DBE，∴∠CEB=∠CBE．〔2〕〕∵△ABC≌△ABD，∴BC=BD，∵∠CEB=∠CBE，∴CE=CB，∵CE∥BD，∴四边形CEDB是平行四边形，∵BC=BD，∴四边形CEDB是菱形．【点评】此题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型．10．〔2016•聊城〕如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点E是AC的中点，AC=2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC．求证：四边形ADCF是菱形．【分析】先证明△AEF≌△CED，推出四边形ADCF是平行四边形，再证明△AED ≌△ABD，推出DF⊥AC，由此即可证明．【解答】证明：∵AF∥CD，∴∠AFE=∠CDE，在△AFE和△CDE中，，∴△AEF≌△CED．∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．由题意知，AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD，∴△AED≌△ABD．∴∠AED=∠B=90°，即DF⊥AC．∴四边形ADCF是菱形．【点评】此题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题，中考常考题型．11．〔2016•德阳〕如图，在四边形ABCF中，∠ACB=90°，点E是AB边的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．〔1〕证明：四边形CFAE为菱形；〔2〕连接EF交AC于点O，假设BC=10，求线段OF的长．【分析】〔1〕根据直角三角形的性质得到CE=AB=EA，根据轴对称的性质得到AE=AF，CE=CF，得到CE=EA=AF=CF，根据菱形的判定定理证明结论；〔2〕根据菱形的性质得到OA=OC，OE=OF，根据三角形中位线定理求出OE，得到答案．【解答】〔1〕证明：∵∠ACB=90°，点E是AB边的中点，∴CE=AB=EA，∵点F是点E关于AC所在直线的对称点，∴AE=AF，CE=CF，∴CE=EA=AF=CF，∴四边形CFAE为菱形；〔2〕解：∵四边形CFAE为菱形；∴OA=OC，OE=OF，∴OE=BC=5，∴OF=5．【点评】此题考查的是菱形的判定和性质、轴对称的性质，掌握四条边相等的四边形是菱形、菱形的对角线垂直且互相平分是解题的关键．12．〔2016•梅州〕如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF．〔1〕四边形ABEF是菱形；〔选填矩形、菱形、正方形、无法确定〕〔直接填写结果〕〔2〕AE，BF相交于点O，假设四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为10，∠ABC=120°．〔直接填写结果〕【分析】〔1〕先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．〔2〕根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．【解答】解：〔1〕在△AEB和△AEF中，，∴△AEB≌△AEF，∴∠EAB=∠EAF，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，∴BE=AB=AF．∵AF∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．故答案为菱形．〔2〕∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，∵AB=10，∴AB=2BO，∵∠AOB=90°∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，∴AO=BO=5，∠ABC=2∠ABO=120°．故答案为，120．【点评】此题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．13．〔2016•贺州〕如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．〔1〕求证：四边形AECF是菱形；〔2〕假设AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．〔结果保留根号〕【分析】〔1〕由过AC的中点O作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形ABCD是矩形，易证得△AOF≌△COE，则可得AF=CE，继而证得结论；〔2〕由四边形ABCD是矩形，易求得CD的长，然后利用三角函数求得CF的长，继而求得答案．【解答】〔1〕证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE〔AAS〕，∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；〔2〕解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识．注意证得△AOF≌△COE是关键．14．〔2016•衢州〕如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．〔1〕用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于E、F〔保留作图痕迹，不写作法和证明〕．〔2〕连结BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．【分析】〔1〕分别以B、D为圆心，比BD的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可；〔2〕连接BE，DF，四边形BEDF为菱形，理由为：由EF垂直平分BD，得到BE=DE，∠DEF=∠BEF，再由AD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=BF，再由BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证．【解答】解：〔1〕如下图，EF为所求直线；〔2〕四边形BEDF为菱形，理由为：证明：∵EF垂直平分BD，∴BE=DE，∠DEF=∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠BFE，∴∠BEF=∠BFE，∴BE=BF，∵BF=DF，∴BE=ED=DF=BF，∴四边形BEDF为菱形．【点评】此题考查了矩形的性质，菱形的判定，以及作图﹣基本作图，熟练掌握性质及判定是解此题的关键．15．〔2016•扬州〕如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．〔1〕求证：四边形AECF是平行四边形；〔2〕假设AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．【分析】〔1〕首先由矩形的性质和折叠的性质证得AB=CD，AD∥BC，∠ANF=90°，∠CME=90°，易得AN=CM，可得△ANF≌△CME〔ASA〕，由平行四边形的判定定理可得结论；〔2〕由AB=6，AC=10，可得BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt △CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．【解答】〔1〕证明：∵折叠，∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD∥BC，∴AM=CN，∴AM﹣MN=CN﹣MN，即AN=CM，在△ANF和△CME中，，∴△ANF≌△CME〔ASA〕，∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；〔2〕解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，在Rt△CEM中，〔8﹣x〕2+42=x2，解得：x=5，∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．【点评】此题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．16．〔2016•遵义〕如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．〔1〕求证：CP=AQ；〔2〕假设BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．【分析】〔1〕由矩形的性质得出∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，证出∠E=∠F，AE=CF，由ASA证明△CFP≌△AEQ，即可得出结论；〔2〕证明△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，得出BE=BP=1，AQ=AE，求出PE=BP=，得出EQ=PE+PQ=3，由等腰直角三角形的性质和勾股定理得出AQ=AE=3，求出AB=AE﹣BE=2，DQ=BP=1，得出AD=AQ+DQ=4，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ〔ASA〕，∴CP=AQ；〔2〕解：∵AD∥BC，∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．【点评】此题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．17．〔2016•广州〕如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，假设AB=AO，求∠ABD的度数．【分析】首先证明OA=OB，再证明△ABO是等边三角形即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AO=OB，∵AB=AO，∴AB=AO=BO，∴△ABO是等边三角形，∴∠ABD=60°．【点评】此题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．18．〔2016•岳阳〕已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：BF=CD．【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD=90°，∴∠EFB+∠CFD=90°，∵∠EFB+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠CFD，在△BEF和△CFD中，，∴△BEF≌△CFD〔ASA〕，∴BF=CD．【点评】此题考查了矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解此题的关键．19．〔2016•福州〕如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．〔1〕当AN平分∠MAB时，求DM的长；〔2〕连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；〔3〕当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．【分析】〔1〕由折叠性质得∠MAN=∠DAM，证出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函数得出DM=AD•tan∠DAM=即可；〔2〕延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面积；〔3〕过点A作AH⊥BF于点H，证明△ABH∽△BFC，得出对应边成比例=，得出当点N、H重合〔即AH=AN〕时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，由折叠性质得：AD=AH，由AAS证明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出结果．【解答】解：〔1〕由折叠性质得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×=；〔2〕延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ ，由折叠性质得：△ANM ≌△ADM ，∴∠DMA=∠AMQ ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ ，∴MQ=AQ ，设NQ=x ，则AQ=MQ=1+x ，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt △ANQ 中，由勾股定理得：AQ 2=AN 2+NQ 2，∴〔x +1〕2=32+x 2，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S △NAB =S △NAQ =×AN•NQ=××3×4=；〔3〕过点A 作AH ⊥BF 于点H ，如图2所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥DC ，∴∠HBA=∠BFC ，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH ∽△BFC ， ∴=， ∵AH ≤AN=3，AB=4，∴当点N 、H 重合〔即AH=AN 〕时，AH 最大，BH 最小，CF 最小，DF 最大，此时点M 、F 重合，B 、N 、M 三点共线，如图3所示：由折叠性质得：AD=AH ，∵AD=BC ，∴AH=BC ，在△ABH 和△BFC 中，，∴△ABH≌△BFC〔AAS〕，∴CF=BH，由勾股定理得：BH===，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣．【点评】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；此题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．20．〔2016•吉林〕如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE为平行四边形，∴四边形AODE是矩形．【点评】此题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．21．〔2016•南通〕如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE=AB，连接DE，交边BC于点F．〔1〕求证：△BEF≌△CDF；〔2〕连接BD、CE，假设∠BFD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【分析】〔1〕先根据平行四边形的性质得出AB=CD，AB∥CD，再由BE=AB得出BE=CD，根据平行线的性质得出∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，进而可得出结论；〔2〕根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，再由AB=BE，可得CD=EB，进而可判定四边形BECD是平行四边形，然后再证明BC=DE即可得到四边形BECD是矩形【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB=CD，AB∥CD．∵BE=AB，∴BE=CD．∵AB∥CD，∴∠BEF=∠CDF，∠EBF=∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF〔ASA〕；〔2〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∠A=∠DCB，∵AB=BE，∴CD=EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF=CF，EF=DF，∵∠BFD=2∠A，∴∠BFD=2∠DCF，∴∠DCF=∠FDC，∴DF=CF，∴DE=BC，∴四边形BECD是矩形．【点评】此题主要考查的值矩形的判定及平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边相等；对角相等；对角线互相平分．22．〔2016•兰州〕阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．结合小敏的思路作答〔1〕假设只改变图1中四边形ABCD的形状〔如图2〕，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：〔2〕如图2，在〔1〕的条件下，假设连接AC，BD．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．【分析】〔1〕如图2，连接AC，根据三角形中位线的性质得到EF∥AC，EF=AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论；〔2〕由〔1〕知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，于是得到当AC=BD时，FG=HG，即可得到结论；〔3〕根据平行线的性质得到GH⊥BD，GH⊥GF，于是得到∠HGF=90°，根据矩形的判定定理即可得到结论．【解答】解：〔1〕是平行四边形，证明：如图2，连接AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF=AC，同理HG∥AC，HG=AC，综上可得：EF∥HG，EF=HG，故四边形EFGH是平行四边形；〔2〕AC=BD．理由如下：由〔1〕知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，∴当AC=BD时，FG=HG，∴平行四边形EFGH是菱形，〔3〕当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；理由如下：同〔2〕得：四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF=90°，∴四边形EFGH为矩形．【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．23．〔2016•台州〕如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．〔1〕求证：△PHC≌△CFP；〔2〕证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．【分析】〔1〕由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；〔2〕由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH 和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．【解答】证明：〔1〕∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．。

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题(含答案)

中考复习《矩形、菱形、正方形》测试题（含答案）一、选择题(每题4分，共24分)1．[2015·泸州]菱形具有而平行四边形不具有的性质是(D) A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．[2015·衢州]如图28－1，已知某菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝120°，则花坛对角线AC的长是(B)A．6 3 m B．6 m图28－1 C．3 3 m D．3 m【解析】易知△ABC为等边三角形，所以AC＝AB＝6 m.3．[2015·益阳]如图28－2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D) A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD图28－2 图28－34．[2014·福州]如图28－3，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为(C) A．45°B．55°C．60°D．75°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE ＝AD ＝DE ，∠DAE ＝60°， ∴AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ，∠BAE ＝90°＋60°＝150°， ∴∠ABE ＝(180°－150°)÷2＝15°，又∵∠BAC ＝45°， ∴∠BFC ＝45°＋15°＝60°.5．[2015·临沂]如图28－4，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连结EB ，EC ，DB .添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是 (B) A ．AB ＝BEB ．BE ⊥DCC ．∠ADB ＝90°D ．CE ⊥DE【解析】因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AD 綊BC ，因为DE ＝AD ，所以DE 綊BC所以四边形EDBC 为平行四边形，A ．假若AB ＝BE ，因为AB ＝BE ，AD ＝DE ，BD ＝BD ，所以△ADB ≌△EDB ，所以∠BDE ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形； B ．假若BE ⊥DC ，可得四边形EDBC 为菱形；C ．假若∠ADB ＝90°，所以∠EDB ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形；D ．假若CE ⊥DE ，所以∠DEC ＝90°，所以四边形EDBC 为矩形，故选B. 6．[2015·日照]小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①AB ＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为正方形(如图28－5)现有下列四种选法，你图28－4图28－5认为其中错误的是(B)A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】此题考查正方形的判定，即在▱ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征．①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征．而B中都是矩形的特征，故选B.二、填空题(每题4分，共20分)7．[2015·铜仁]已知一个菱形的两条对角线长分别为6 cm和8 cm，则这个菱形的面积为__24__cm2.8．[2014·衡阳]如图28－6，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为__10__．9．[2015·上海]已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，图28－6 AE＝AD，过点E作AC的垂线，交边CD于点F，那么∠F AD＝__22.5__度．10．[2014·淄博]已知▱ABCD，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD成为一个菱形．你添加的条件是__AB＝BC或AC⊥BD等__．11．[2014·资阳]如图28－7，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为__6__．图28－7【解析】如答图，连结BD，DE，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与点D关于直线AC对称，∴DE的长即为BQ＋QE的最小值，∵DE＝BQ＋QE＝5，∴△BEQ周长的最小值＝DE＋BE＝5＋1＝6.三、解答题(共20分)12．(10分)[2015·安顺]如图28－8，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于图28－8F.(1)求证：AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．证明：(1)∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE＝DF；(2)若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠F AD，∵AE∥DF，∴∠EAD＝ADF，∠DAF＝∠FDA，∴AF＝DF，∴平行四边形AEDF为菱形．13．(10分)[2015·青岛]已知：如图28－9，在△ABC中，AB ＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE；图28－9(2)连结DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．解：(1)证明：∵AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，BD ＝CD . ∵AE ∥BC ，CE ⊥AE ， ∴四边形ADCE 是矩形， ∴AD ＝CE .在Rt △ABD 与Rt △CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CE ，AB ＝CA ，∴△ABD ≌△CAE (HL )；(2)DE ∥AB ，DE ＝AB .证明如下：如答图所示，∵四边形ADCE 是矩形， ∴AE ＝CD ＝BD ，AE ∥BD ， ∴四边形ABDE 是平行四边形， ∴DE ∥AB ，DE ＝AB .14．(10分)[2014·扬州]如图28－10，已知Rt △ABC ，∠ABC ＝90°，先把△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后至△DBE ，再把△ABC 沿射线AB 平移至△FEG ，DE ，FG 相交于点H .(1)判断线段DE ，FG 的位置关系，并说明理由； (2)连结CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．解：(1)DE ⊥FG ，理由如下：由题意得∠A ＝∠EDB ＝∠GFE ，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，第13题答图图28－10∴∠BDE＋∠BED＝90°.∴∠GFE＋∠BED＝90°，∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG；(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG，∴CB∥GE，CB＝GE.∴四边形CBEG是平行四边形．∵∠ABC＝∠GEF＝90°，∴四边形CBEG是矩形．∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形．15．(10分)[2015·南京]如图28－11，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，∠AEF，∠CFE的平分线交于点G，∠BEF，∠DFE的平分线交于点H.(1)求证：四边形EGFH是矩形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD交于点P，Q，得到四边形MNQP.此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框图中补全他的证明思路．小明的证明思路由AB∥CD，MN∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证▱MNQP是菱形，只要证MN＝NQ.由已知条件__FG平分∠CFE__，MN∥EF，可证NG＝NF，故只要证GM＝FQ，即证△MEG≌△QFH，易证__GE＝FH__，__∠GME ＝∠FQH__.故只要证∠MGE＝∠QFH.易证∠MGE＝∠GEF，∠QFH＝∠EFH，__∠GEF＝∠EFH__，即可得证．图28－11解：(1)证明：∵EH平分∠BEF.∴∠FEH＝12∠BEF，∵FH平分∠DFE，∴∠EFH＝12∠DFE，∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°，∴∠FEH＋∠EFH＝12(∠BEF＋∠DFE)＝12×180°＝90°，又∵∠FEH＋∠EFH＋∠EHF＝180°，∴∠EHF＝180°－(∠FEH＋∠EFH)＝180°－90°＝90°，同理可证，∠EGF＝90°，∵EG平分∠AEF，∴∠FEG＝12∠AEF，∵EH平分∠BEF，∴∠FEH＝12∠BEF，∵点A，E，B在同一条直线上．∴∠AEB＝180°，即∠AEF＋∠BEF＝180°.∴∠FEG＋∠FEH＝12(∠AEF＋∠BEF)＝12×180°＝90°，即∠GEH＝90°.∴四边形EGFH是矩形；(2)本题答案不唯一，下列解法供参考．例如，FG平分∠CFE；GE＝FH；∠GME ＝∠FQH；∠GEF＝∠EFH.16．(6分)[2015·资阳]若顺次连结四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则四边形ABCD一定是(D) A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形17．(10分)如图28－12，在菱形ABCD中，边长为10，∠A＝60°.顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；…；按此规律继续下去，则四边形A2B2C2D2的周长是__20__；四边形A2 016B2 016C2 016D2 016的周长是__521 005__．图28－12。

初中数学菱形、矩形、正方形综合题(含答案)

初中数学菱形、矩形、正方形综合题一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，在矩形ABCD中，已知AD=12，AB=5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，那么PE+PF的值为（）A. B.3C. D.4答案：C试题难度：三颗星知识点：矩形的性质与计算2.如图，在宽为20m，长为30m的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地.根据图中数据，计算耕地的面积为（__）A.600m2B.551m2C.550m2D.500m2答案：B试题难度：三颗星知识点：矩形面积3.下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（__）A.∠A+∠B=90°B.AB∥CD，AB=CD，AC=BDC.AB∥CD，AD=BC，AC=BDD.AC=BD，∠A=90°答案：B试题难度：三颗星知识点：矩形的判定4.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，DB=6cm，DH⊥AB于点H，求DH的长（）A. B.C. D.5答案：C试题难度：三颗星知识点：菱形的性质与计算5.如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G.若AG⊥AD，则四边形DEBF是（）A.菱形B.长方形C.平行四边形D.正方形答案：A试题难度：三颗星知识点：菱形的判定6.下列命题正确的是（__）A.邻角相等的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形答案：D试题难度：三颗星知识点：菱形的判定7.将4个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A4分别是正方形的中心，则这4个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为（__）cm2.A.2B.1C.4D.答案：B试题难度：三颗星知识点：正方形的性质与计算18.已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（__）A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BC=CD答案：D试题难度：三颗星知识点：正方形的判定9.如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，则BF等于（__）A. B.C.3D.4答案：A试题难度：三颗星知识点：特殊平行四边形折叠10.连接菱形各边中点得到的是（）A.菱形B.矩形C.正方形D.平行四边形答案：B试题难度：三颗星知识点：中点四边形。

中考数学专项训练矩形、菱形与正方形(含解析)

矩形、菱形与正方形一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．矩形、菱形与正方形参考答案与试题解析一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形【考点】旋转的性质；矩形的判定．【分析】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．【解答】解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．【解答】解：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．故选：C．【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm【考点】菱形的性质；勾股定理；解直角三角形．【分析】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，∴AO=4cm，BO=3cm，在Rt△AOB中，AB==5cm，∵BD×AC=AB×DH，∴DH=cm，在Rt△DHB中，BH==cm，则AH=AB﹣BH=cm，∵tan∠HAG===，∴GH=AH=cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正方形的性质．【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE 和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴AE=BF（故①正确），S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA∵S△AOB=S△BAF﹣S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE﹣S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF（故④正确），∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠D EA=90°∴∠AFB+∠EAF=90°∴AE⊥BF一定成立（故②正确）．假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，∴，假设不成立，AO≠OE（故③错误）；故错误的只有一个．故选：A．【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 3 ．【考点】菱形的性质．【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．【解答】解：由题意，知：S菱形=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= 5 ．【考点】含30度角的直角三角形；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB又∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形．∴AB=OA=AC=5，故答案是：5．【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= 20°．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，∴AF=PM，BE=NQ，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；∴MP=NQ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【分析】（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC，在Rt△ABE中，AE==，∵sin∠BAE==sin∠FEC=，∴=，解法二：由上得∠BAE=∠FEC，∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠DCB，∴△ABE∽△ECF，∴=，（2）证明：在BA边上截取BK=BE，连接KE，∵∠B=90°，BK=BE，∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°，∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，∵AB=CB，BK=BE，∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，由第一问得∠KAE=∠CEP，∵在△AKE和△ECP中，，∴△AKE≌△ECP（ASA），∴AE=EP；（3）答：存在．证明：作DM⊥AE交AB于点M，则有：DM∥EP，连接ME、DP，∵在△ADM与△BAE中，，∴△ADM≌△BAE（ASA），∴MD=AE，∵AE=EP，∴MD=EP，∴MD EP，∴四边形DMEP为平行四边形．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．。

初中数学矩形、菱形与正方形单元测试题

ABCDO图19-3矩形、菱形与正方形单元测试题一、填空题1．如图19-1，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A （平方米）与拉开长度b （米）的关系式是：．2．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图19-2所示的规律，拼成若干个图形：（1）第4个图形中有白色地面砖块；（2）第n 个图形中有白色地面砖块．3．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是___________________． 4．在正方形ABCD 所在的平面内,到正方形三边所在直线距离相等的点有__个．5．四边形ABCD 为菱形,∠A =60°, 对角线BD 长度为10c m ，则此菱形的周长 c m ． 6．已知正方形的一条对角线长为8c m ，则其面积是__________c m 2．7．平行四边形ABCD 中，AB =6c m ，AC +BD =14c m ，则△AOC 的周长为_______． 8．在平行四边形ABCD 中，∠A =70°，∠D =_________, ∠B =__________．9．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =120°，两底分别是15c m 和49c m ，则等腰梯形的腰长为______． 10．用一块面积为450c m 2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好互相垂直，那么至少需要竹条 c m ．11．已知在平行四边形ABCE 中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .12．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是形,再说明（只需填写一种方法）13．如图19-3,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有个等腰直角三角形.14．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.（1）正方形可以由两个能够完全重合的拼合而成; （2）菱形可以由两个能够完全重合的拼合而成; （3）矩形可以由两个能够完全重合的拼合而成. 15．矩形的两条对角线的夹角为 60,较短的边长为12cm ,则对角线长为 cm .16．若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的图19-2图19-1度数分别为和 .17．平行四边形的周长为24cm ,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为___________cm .18．如图19-4，根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 m .19．已知菱形的两条对角线长为12cm 和6cm ,那么这个菱形的面积为 2cm .20．如图19-5,l 是四边形ABCD 的对称轴,如果AD ∥BC ,有下列结论: （1）AB ∥CD ;（2）AB=CD ;（3）AB BC ;（4）AO=OC .其中正确的结论是 . （把你认为正确的结论的序号都填上）二、选择题21．给出五种图形：①矩形； ②菱形； ③等腰三角形（腰与底边不相等）； ④等边三角形； ⑤平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（） A ．②③ B ．②③④ C ．①③④⑤ D ．①②③④⑤22．如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）23．四边形ABCD 中，∠A ︰∠B ︰∠C ︰∠D =2︰2︰1︰3，则这个四边形是（） A ．梯形 B ．等腰梯形C ．直角梯形D ．任意四边形 24．要从一张长40c m ，宽20c m 的矩形纸片中剪出长为18c m ，宽为12c m 的矩形纸片则最多能剪出（）A ．1张B ．2张C ．3张D ．4张25．如图19-7，在平行四边形ABCD 中，CE 是∠DCB 的平分线，F 是AB 的中点，AB ＝6，BC ＝4，则AE ︰EF ︰FB 为（）A ．1︰2︰3B ． 2︰1︰3C ． 3︰2︰1D ． 3︰1︰2 26．下列说法中错误的是（）A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；D ．两条对角线相等的菱形是正方形．A B C D图19-6 A D B F E 图19-7 · 1m1m图19-4 A BCOl 图19-527．下列说法正确的是（）A ．任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形；B ．角既是轴对称图形又是中心对称图形；C ．线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；D ．正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条．28．点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB //CD ；②AB ＝CD ；③BC //AD ；④BC ＝AD 四个条件中任意选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（） A ．①② B ．②③ C ． ①③ D ． ③④29．已知ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A ．AB =CD B ．AC =BD C ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 D ．当∠ABC =90°时，它是矩形 30．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（）A ．大于2，B ．小于14C ．大于2且小于14D ．大于2或小于1231．在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有（） A ．4种 B ．5种 C ．7种 D ．8种32．下列说法中,错误的是（） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．菱形的对角线互相垂直 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形33．给出四个特征（1）两条对角线相等;（2）任一组对角互补;（3）任一组邻角互补;（4）是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个34．如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是（） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．菱形、矩形或正方形35．如图19-8,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面积（） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．无法确定36．如图19-10,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于（）A ． 15B ． 30C ． 45D ． 6037．如图19-11,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F ,那么四边形AFDE 的周长是（） A ．5 B ．10 C ．15 D ．2038．已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行四边形,给出以下四种说法:（1）如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（2）如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;A BC D E F a b图19-9 图19-10 图19-11（3）如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;（4）如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形其中正确的说法是（） A ．（1）（2） B ．（1）（3）（4） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4）三、解答题39．如图19-12，已知四边形ABCD 是等腰梯形， CD //BA ,四边形AEBC 是平行四边形．请说明：∠ABD ＝∠ABE ．40．如图19-13，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一动点，过点O 作直线MN //BC , 设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）说明EO ＝FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？说明你的结论．41．如图19-14，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于F ．试确定AD 与EF 的位置关系，并说明理由．D AEC图19-12A EBC F O N M D图19-13 A EB DC F1 图19-142 O42．如图19-15，在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过点C 作CN ⊥DM 交AB 于N ，设正方形对角线交点为O ，试确定OM 与ON 之间的关系，并说明理由．43．如图19-16，等腰梯形ABCD 中，E 为CD 的中点，EF ⊥AB 于F ，如果AB =6，EF =5，求梯形ABCD的面积．44．如图19-17，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方 14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：①画出的圆应符合比例要求； ②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．）图19-15 A BN M C D O 图19-16A FB C ED图19-1745．如图19-18, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．试说明：MD =MN ．46．如图中,DB=CD , 70=∠C ,AE ⊥BD 于E .试求DAE ∠的度数.47．如图中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE . （1）试说明DF=BG ; （2）试求AFD ∠的度数.48．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21①）,使AB=CD,EF=GH ;（2）摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是形,根据的数学道理是: ;D A B C ME N图19-18 AB CD E图19-19A B C D FE G图19-20（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）,说明窗框合格,这时窗框是形,根据的数学道理是:.（图①）（图②）（图③）（图④）图19-2149．如图19-22，已知平行四边形ABCD，AE平分∠DAB交DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC=6c m，AD=2c m，求DE、EF、FC的长．图19-2250．如图19-23，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE＝15°，试求∠COE的度数。

矩形、菱形、正方形及梯形练习题

矩形、菱形、正方形及梯形练习题一、单选题(注释)1.如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，则∠COE的度数为（）A．75° B．85° C．90° D．65°2、如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（）A． B． C． D．不确定3、如图，正方形ABCD以AD为边向外作等边三角形ADE，则∠BEC的度数为（）A．30° B．15° C．20° D．45°4、在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD 的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB=AB；③CF⊥DP；④FC=EF 其中正确的是（）A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④5、如图，在正方形ABCD的对角线上取点E，使得∠BAE=15°，连接AE，CE．延长CE到F，连接BF，使得BC=BF．若AB=1，则下列结论：①AE=CE；②F到BC的距离为；③BE+EC=EF；④；⑤．其中正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平��线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（）A．2 B．4 C．2 D．47、如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=10cm，且tan∠EFC=，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cm D．16cm8、小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米 B．100米 C．90米 D．120米9、不能判定一个梯形是等腰梯形的条件是（）A．对角线相等 B．底边中点到两腰的距离相等 C．同一边上的两邻角相等 D．一组对角互补10、在数学活动课上，小明提出一个问题：“如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，∠CMD=35°，则∠MAB是多少度”大家经过了一番热烈的讨论交流之后，小雨第一个得出了正确结论，你知道他说的是（）A．20°B．35°C．55°D．70°11、下列说法中不正确的是（）A．平行四边形对角线互相平分B．矩形各内角平分线围成正方形 C．菱形对角线互相垂直平分D．﹣组对边平行另一组对边相等的四边形是梯形12、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF13、如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（）A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.514、如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四个判断中，不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形D．如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形15、在△MNB中，BN=6，点A，C，D分别在MB，NB，MN上，四边形ABCD为平行四边形，且∠NDC=∠MDA，则四边形ABCD的周长是（）A．24 B．18 C．16 D．1216、如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF为梯形ABCD的中位线，DH为梯形的高，且交EF于G点，下列结论正确的有（）①G为EF的中点；②△EFH为等边三角形；③四边形EHCF为菱形；④S△BEH =S△FCH．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17、如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（）A． B． C． D．18、哈尔滨市为迎接第24届世界大学生冬季运动会，正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形地砖铺设地面．下列正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是（）A ．B ．C ．D ．19、黑色正三角形与白色正六边形的边长相等，用它们镶嵌图案，方法如下：白色正六边形分上下两行，上面一行的正六边形个数比下面一行少一个，正六边形之间的空隙用黑色的正三角形嵌满．按第1，2，3个图案（如图）所示规律依次下去，则第n 个图案中，黑色正三角形和白色正六边形的个数分别是（）A ．n 2+n+2，2n+1B ．2n+2，2n+1C ．4n ，n 2﹣n+3D ．4n ，2n+120、分别剪一些边长相同的①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，可以镶嵌成一个平面图案的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④都可以二、填空题21、如图，矩形ABCD 的两条线段交于点O ，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，连接CE ，已知△CDE 的周长为24cm ，则矩形ABCD 的周长是_______cm ．22、如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB ，AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB ，AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，…，依此类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为_______．23、如图，正方形A 1B 1B 2C 1，A 2B 2B 3C 2，A 3B 3B 4C 3，…，A n B n B n+1C n ，按如图所示放置，使点A 1、A 2、A 3、A 4、…、A n 在射线OA 上，点B 1、B 2、B 3、B 4、…、B n 在射线OB 上．若∠AOB=45°，OB 1=1，图中阴影部分三角形的面积由小到大依次记作S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n = ．24、以边长为2的正方形的中心O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A 、B 两点，则线段AB 的最小值是．25、如图，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数为_____．26、如图所示，分别以n 边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为个平方单位．27.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AF∥DC，M是CD的中点，延长AM交BC的延长线于E，AF⊥BE，∠B=45°，AF=3cm，EF=5cm，则AD+BC= ．28、如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠A与∠B互余，DC=2，AB=6，E、F分别为AB、DC中点，则EF= ．29、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=，BC=4，则DC的长是．30、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=30°，∠BCD=60°，AD=2，AC平分∠BCD（1）CD= ；（2）若DE∥AB交BC于点E，则∠CDE=．31、已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，∠BEA=∠DEA，连接AE、BD相交于点F，BD⊥CD．则四边形ABED是什么形状的四边形：．32、若等腰梯形的三边长分别为2，3，10，则这个等腰梯形的周长为．33、如图，在△ABC中，∠ACB=90°．D是AC的中点，DE⊥AC，AE∥BD，若BC=4，AE=5，则四边形ACBE的周长是______．34、如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE、AF、CE、CF，添加 __________条件，可以判定四边形AECF是平行四边形．（填一个符合要求的条件即可）35.如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，AC+BD=18，BC=6，则△AOD的周长为_______．36、在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F=_______度．37.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，四边形ABCD应具备的条件是 .1)一组对边平行而另一组对边不平行 2）对角线相等3）对角线互相垂直 4）对角线互相平分38、如图，在▱ABCD中，E，F是对角线AC上的两点且AE=CF，在①BE=DF；②BE∥DF；③AB=DE；④四边形EBFD为平行四边形⑤S△ADE =S△ABE；⑥AF=CE这些结论中正确的是______．39、在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=10，BD=6，则该梯形的面积是______．40、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠BAC=90°，AB=2，CD=，E是BC的中点，则DE的长为______．三、解答题41、已知：如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE，CF．（1）求证：AF=CE；（2）若AC=EF，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论．42、已知，正方形ABCD的边长为1，直线l1∥直线l2，l1与l2之间的距离为1，l1、l2与正方形ABCD的边总有交点．（1）如图1，当l1⊥AC于点A，l2⊥AC交边DC、BC分别于E、F时，求△EFC的周长；（2）把图1中的l1与l2同时向右平移x，得到图2，问△EFC与△AMN的周长的和是否随x的变化而变化，若不变，求出△EFC与△AMN的周长的和；若变化，请说明理由；（3）把图2中的正方形饶点A逆时针旋转α，得到图3，问△EFC与△AMN的周长的和是否随α的变化而变化？若不变，求出△EFC与△AMN的周长的和；若变化，请说明理由．43、以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC=α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE=HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．44、已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC 运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．45、如图（*），四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题．（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取AB的中点M，连接EM．∵∠AEF=90°∴∠FEC+∠AEB=90°又∵∠EAM+∠AEB=90°∴∠EAM=∠FEC∵点E，M分别为正方形的边BC和AB的中点∴AM=EC又可知△BME是等腰直角三角形∴∠AME=135°又∵CF是正方形外角的平分线∴∠ECF=135°∴△AEM≌△EFC（ASA）∴AE=EF（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立，请你证明这一结论．（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E 是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由．46、一个多边形少一个内角的度数和为2300°．（1）求它的边数；（2）求少的那个内角的度数．47、（1）我们知道三角形的内角和是180°，请猜测四边形的内角和是多少度？解：四边形的四个内角和等于_______°．（2）利用下面两种方法验证你的猜想，请说明理由：解法一：如图1，连接四边形ABCD��对角线AC．解法二：如图2，延长CB、DA相交于点E．48、如图，四边形ABCD中，∠A+∠D=210°，∠ABC与∠BCD的平分线交于P，求∠P的度数．49.一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和．50、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，AB=2AD=4．求梯形ABCD的周长．51、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的长．52、梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=30° AD=8c m，CD=16cm，BC=28cm，点P、Q分别是梯形某边上同时出发的一个动点，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点随之停止运动．其中，点P移动的速度是1cm/s，点Q移动的速度是2cm/s．（1）在图①中，点P从点A出发向点D移动，点Q从点C出发向点B移动，设所移动的时间为t．t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？（2）在图②中，如果点P从点A出发向点D移动，点Q从点C出发向点D移动．设所移动的时间为t，用关于t的式子表示△PQB的面积，并求出t的取值范围．53、如图，正方形ABCD的各边都平行于坐标轴，点A、C分别在直线y=2x和x轴上，若点A在直线y=2x上运动．（1）当点A运动到横坐标x=3时，写出点C的坐标．（2）写出x=1时，直线AC的函数解析式．（3）若点A横坐标为m，且满足1≤m≤3时，请你求出对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积．54、四边形ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=5，∠BCD=45°，求梯形的周长．55、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD于点0，∠CDB=∠CAB，DE⊥AB，CF⊥AB，E．F 为垂足．设DC=m，AB=n．（1）求证：△ACB≌△BDA；（2）求四边形DEFC的周长．56、探索发现：（1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的面积为S，则△ACD的面积为．探究操作：（2）在图2中，E、F分别是▱ABCD的边AB、BC的中点，若▱ABCD的面积为S，求四边形BEDF的面积？并说明理由．（3）在图3中，E、F分别是▱ABCD的边AB、BC上的点，且AE=AB，BF=BC，若▱ABCD的面积为S，则四边形BEDF的面积为．拓展延伸：（4）如图4中，矩形ABCD中，AB=nBC（n为常数，且n＞0）．E是AB边上的一个动点，F 是BC边上的一个动点．若在两点运动的过程中，四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的，请探究线段AE��BF应满足怎样的数量关系，并说明理由．57、如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点 E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．（1）求证：四边形DEBF是菱形；（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．58、如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．59、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上的一个动点（不与点A重合），延长ME交CD的延长线于点N，连接MD，AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形．（2）当AM的值为何值时，四边形AMDN是矩形？请说明理由．60、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．(1) 证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2) 若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3) 在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD=∠BCD，并说明理由．61.如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？试卷答案41.（1）证明：在△ADF 和△CDE 中， ∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD．又∵D 是AC 的中点， ∴AD=CD．∵∠ADF=∠CDE， ∴△ADF≌△CDE． ∴AF=CE．（2）解：若AC=EF ，则四边形AFCE 是矩形．证明：由（1）知：AF=CE ，AF∥CE， ∴四边形AFCE 是平行四边形．又∵AC=EF，∴平行四边形AFCE 是矩形． 42.解：（1）如图1，∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AC=．又∵直线l 1∥直线l 2，l 1与l 2之间的距离为1． ∴CG=﹣1． ∴EF=2﹣2，EC=CF=2﹣． ∴△EFC 的周长为EF+EC+CF=2；（2）△EFC 与△AMN 的周长的和不随x 的变化而变化．如图2，把l 1、l 2向左平移相同的距离，使得l 1过A 点，即l 1平移到l 4，l 2平移到l 3，过E 、F 分别做l 3的垂线，垂足为R ，G ．可证△AHM ≌△ERP ，△AHN ≌△FGQ ．∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长，由已知可计算△CPQ的周长为2，∴△EFC与△AMN的周长的和为2；（3）△EFC与△AMN的周长的和不随α的变化而变化．如图3，把l1、l2平移相同的距离，使得l1过A点，即l1平移到l4，l2平移到l3，过E、F分别做l3的垂线，垂足为R，S．过A作l1的垂线，垂足为H．可证△AHM≌△FSQ，△AHN≌△ERP，∴AM=FQ，HM=SQ，AN=EP，HN=RP．∴△EFC与△AMN的周长的和为△CPQ的周长．如图4，过A作l3的垂线，垂足为T．连接AP、AQ．可证△APT≌△APD，△AQT≌△AQB，∴DP=PT，BQ=TQ．∴△CPQ的周长为DP+PC+CQ+QB=DC+CB=2．∴△EFC与△AMN的周长的和为2．43.（1）解：四边形EFGH的形状是正方形．（2）解：①∠HAE=90°+α，在平行四边形ABCD中AB∥CD，∴∠BAD=180°﹣∠ADC=180°﹣α，∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD=∠EAB=45°，∴∠HAE=360°﹣∠HAD﹣∠EAB﹣∠BAD=360°﹣45°﹣45°﹣（180°﹣a）=90°+α，答：用含α的代数式表示∠HAE是90°+α．②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE=AB，DG=CD，在平行四边形ABCD中，AB=CD，∵△AHD和△DGC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°，∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+α=∠HAE，∵△AHD是等腰直角三角形，∴HA=HD，∴△HAE≌△HDG，∴HE=HG．③答：四边形EFGH是正方形，理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE，∴四边形EFGH是菱形，∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE，∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，∴四边形EFGH是正方形．44.（1）证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴OC=OB，DC=BC，∠DCB=∠CBA=90°，∠OCB=∠OBA=45°，∠DOC=90°，DC∥AB，∵DP⊥CN，∴∠CMD=∠DOC=90°，∴∠BCN+∠CPD=90°，∠PCN+∠DCN=90°，∴∠CPD=∠CNB，∵DC∥AB，∴∠DCN=∠CNB=∠CPD，∵在△DCP和△CBN中，∴△DCP≌△CBN（AAS），∴CP=BN，∵在△OBN和△OCP中，∴△OBN≌△OCP（SAS），∴ON=OP，∠BON=∠COP，∴∠BON+∠BOP=∠COP+∠BOP，即∠NOP=∠BOC=90°，∴ON⊥OP，即ON=OP，ON⊥OP．（2）解：∵AB=4，四边形ABCD是正方形，∴O到BC边的距离是2，图1中，S四边形OPBN =S△OBN+S△BOP=×（4﹣x）×2+×x×2=4（0＜x＜4），图2中，S四边形OBNP =S△POB+S△PBN=×x×2+×（x﹣4）×x=x2﹣x（x＞4），即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：．45.（2）探究2，证明：在AB上截取AM=EC，连接ME，由（1）知∠EAM=∠FEC，∵AM=EC，AB=BC，∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=∠ECF=135°，∵∠AEF=90°，∴∠FEC+∠AEB=90°，又∵∠EAM+∠AEB=90°，∴∠EAM=∠FEC，在△AEM和△EFC中，，∴△AEM≌△EFC（ASA），∴A E=EF；（3）探究3：成立，证明：延长BA到M，使AM=CE，连接ME，∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠BME=∠ECF=45°，又∵AD∥BE，∴∠DAE=∠BEA，又∵∠MAD=∠AEF=90°，∴∠DAE+∠MAD=∠BEA+∠AEF，即∠MAE=∠CEF，在△MAE和△CEF中，，∴△MAE≌△CEF（ASA），∴AE=EF．46.解：（1）∵2220°÷180°=12…60°，则边数是：12+1+2=15；（2）该内角应是180°-60°=120°．47.解：（1）360°；（2）证明：解法一：连接AC，∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠D+∠DAC+∠DCA=180°，∴∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=∠B+∠BAC+∠BCA+∠D+∠DAC+∠DCA=360°，∴四边形的四个内角和等于360°；解法二：延长CB、DA相交于点E，∵∠E+∠C+∠D=180°，∠E+∠EBA+∠EAB=180°，∴∠C+∠D=180°-∠E，∠EBA+∠EAB=180°-∠E，∵∠CBA+∠EBA=180°，∠DAB+∠EAB=180°，∴∠ABC+∠DAB=180°-∠EBA+180°-∠EAB=360°-（∠EBA+∠EAB）=360°-（180°-∠E）=180°+∠E，∴∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=180°+∠E+180°-∠E=360°．∴四边形的四个内角和等于360°．48.解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=360°-（∠A-∠D）=150°，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠BCD）=75°，则∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=105°．解：设这个正多边形的一个外角的度数为x，根据题意得180°-x=6x+12°，解得x=24°，所以这个正多边形边数==15，所以这个正多边形的内角和=（15-2）×180°=2340°． 50.解：∵AB=2AD=4，∴AD=2，AB=4，过D作DE⊥BC于E，则∠DEC=∠DEB=90°，∵AD∥BC，∠A=90°，∴∠B=90°，∴四边形ABED是矩形，∴AD=BE=2，AB=DE=4，∵∠C=45°，∠DEC=90°，∴∠CDE=45°=∠C，∴CE=DE=4，∴在Rt△DEC中，由勾股定理得：CD==4，即梯形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=4+2+4+4+2=12+4．51.解：如图，过点D作DF∥AB，分别交AC，BC于点E，F．∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC•sin45°=4×=2在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴C E=AC﹣AE=．在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．52.解：（1）∵AD∥BC，当DP=CQ时，四边形PQCD是平行四边形，即8﹣t=2t时，四边形PQCD是平行四边形，∴t=，答：当t为时，四边形PQCD是平行四边形．（2）过D作DF⊥BC于F，过Q作QH⊥BC于H，∵∠C=30°，CQ=2t，CD=16，∴QH=t，DF=8，∴△PQB的面积是S=S梯形ABCD ﹣S△APB﹣S△PDQ﹣S△BQC=×（8+28）×8﹣×t×8﹣×（8﹣t）×（8﹣t）﹣×28×t =﹣t2﹣10t+112，∵8÷1=8，16÷2=8，∴t的取值范围是0≤t＜8．53.解：（1）当x=3时，y=2x=6，则A（3，6）∴B（9，6）∴C（9，0）．（2）x=1时，y=2x=2，∴A（1，2），∴B（3，2），∴C（3，0），设直线AC的函数解析式为：y=kx+b，∴，解得：k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3，即AC的函数表达式为：y=﹣x+3．（3）对角线AC扫过的四边形的形状为梯形为梯形EFCA，当1≤m≤3时，由（2）得m=1∴A（1，2），即E（1，2），此时C（3，0），即F（3，0），∵直线AC的解析式为y=﹣x+3∴它与x轴的交点为C的坐标是（3，0）又由（1）知A（3，6），C（9，0）△AOC的面积=×9×6=27，△OEF的面积=×3×2=3=27﹣3=24，扫过的面积S梯形EFCA答：对角线AC在移动时所扫过的四边形的面积是24．54.解：过B作BE∥AD交DC于E，∵AB∥DC，BE∥AD，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD=BE=5，AB=DE=5，∵AD⊥DC，∴∠D=∠BEC=90°，∵∠C=45°，∴∠EBC=180°﹣90°﹣45°=45°，即：∠EBC=∠C，∴EC=BE=5，在△BEC中，由勾股定理得：BC=5，∴DC=5+5=10，∴梯形的周长是AB+BC+AD+DC=20+5．答：梯形的周长是20+5．55.（1）证明：∵AB∥CD，∠CDB=∠CAB，∴∠CDB=∠CAB=∠ABD=∠DCA，∴OA=OB，OC=OD，∴AC=BD，在△ACB与△BDA中，，∴△ACB≌△BDA．（2）解：过点C作CG∥BD，交AB延长线于G，∵DC∥AG．CG∥BD，∴四边形DBGC为平行四边形，∵△ACB≌△BDA，∴AD=BC，即梯形ABCD为等腰梯形，∵AC=BD=CG，∴AC⊥BD，即AC⊥CG，又CF⊥AG，∴∠ACG=90°，AC=BD，CF⊥FG，∴AF=FG，∴CF=AG，又AG=AB+BG=m+n，∴CF=．又∵四边形DEFC为矩形，故其周长为：2（DC+CF）=．56.解：（1）∵AD为三角形ABC的底边中线，∴DC为BC的一半，由图可知△ABC与△ADC同高，又知△ABC面积为S，∴三角形ADC面积为S，故填S；（2）连接BD，∵E，F分别为边AB，BC的中点，∴同理（1）可知△BED面积为△ABD面积的一半，△BDF面积为△BDC面积的一半，又∵▱ABCD面积为S，∴四边形BEDF面积为S；（3）连接BD，∵AE=AB，BF=BC，∴计算同理于（2），∵▱ABCD的面积为S，∴四边形BEDF为S．故填S；（4）连接BD，由题意四边形BEDF的面积始终等于矩形面积的一半，即AB•BC=2（BE•AD+BF•AB），∵AB=nBC，∴AB•BC=2（BE•AB+BF•AB）=BE•AB+BF•AB，∴BC=BE•+BF，∴AB=EB+BF，∴AE=nBF．57.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC．E，F分别为AB，CD的中点，∴BE=AB，DF=CD，∴BE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形在△ABD中，E是AB的中点，∴AE=BE=AB=AD，而∠DAB=60°，∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，故DE=BE．∴平行四边形DEBF是菱形．（2）解：四边形AGBD是矩形，理由如下：∵AD∥BC且AG∥DB，∴四边形AGBD是平行四边形．由（1）的证明知AD=DE=AE=BE，∴∠ADE=∠DEA=60°，∠EDB=∠DBE=30°．故∠ADB=90°．∴平行四边形AGBD是矩形．58.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OD=OB，∠COD=90°．∵DH⊥AB于H，∴∠DHB=90°，∴∠OHB=∠OBH．又∵AB∥CD，∴∠OBH=∠ODC，∴∠OHB=∠ODC．在RT△COD中，∠ODC+∠OCD=90°，在RT△DHB中，∠DHO+∠OHB=90°，∴∠DHO=∠DCO．59.（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴ND∥AM．∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME．又∵点E 是AD边的中点，∴DE=AE．∴ΔNDE≌ΔMAE，∴ND=MA，∴四边形AMND是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．（2）当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形．60.解：(1) ∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC =∠DAC．∵ AB=AD，∠BAF =∠DAF，AF=AF．∴△ABF≌△ADF．∴∠AFB=∠AFD．又∵∠CFE =∠AFB，∴∠AFD=∠CFE．∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．(2) ∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．又∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD．∴∠DAC=∠ACD．∴AD=CD，∵AB=AD ， CB=CD，∴AB=CB=CD=AD．∴四边形ABCD是菱形．(3)当BE⊥CD时，∠EFD=∠BCD．理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF．又∵CF为公共边，∴△BCF≌△DCF．∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC =∠DEF=90°．∴∠EFD =∠BCD．61.解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16﹣2×3﹣2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴PQ=6cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62=102，即（16﹣5x）2=64，∴16﹣5x=±8，∴=，=；∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当时，则PB=16﹣3y，∴PB•BC=12，即×（16﹣3y）×6=12，解得y=4；②当时，BP=3y﹣AB=3y﹣16，QC=2y，则BP•CQ=（3y﹣16）×2y=12，=6，=（舍去）；解得y1③时，QP=CQ﹣PQ=22﹣y，则QP•CB=（22﹣y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．。

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