2020版高考数学一轮复习课后限时集训46直线与圆圆与圆的位置关系理含解析新人教A版201907123106
限时集训(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系
限时集训(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系(限时：45分钟 满分：81分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( )A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x ＝0D ．y ＝02．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6B.π2C.2π3D.56π 3．(2012·陕西高考)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( )A ．l 与C 相交B ．l 与C 相切 C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能4．过点(1,1)的直线与圆(x －2)2＋(y －3)2＝9相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．55．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0 6．直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M ，N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM ·ON (O为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．8．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．9．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．求过点P (4，－1)且与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0切于点M (1,2)的圆的方程．11.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A ，B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．限时集训(四十八) 直线与圆、圆与圆的位置关系答 案1．C 2.D 3.A 4.B 5.A 6.A7．±33 8.(2，2) 9.3 10．解：设所求圆的圆心为A (m ，n )，半径为r ，则A ，M ，C 三点共线，且有|MA |＝|AP |＝r ，因为圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0的圆心为C (－1,3)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －1＝2－31＋1，(m －1)2＋(n －2)2＝(m －4)2＋(n ＋1)2＝r ，解得m ＝3，n ＝1，r ＝5，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.11．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34. 而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 12．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝b a＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22，即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2. 故圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧ (m －4)2＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125符合题意．。
高考数学复习知识点专题强化训练47 直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学复习知识点专题强化训练专题(四十七) 直线与圆、圆与圆的位置关系A级——夯基保分练1．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为( )A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能解析：选C 直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5＜0，∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内部，直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交．2．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0解析：选B 由题意，过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则点(3,1)在圆上，代入可得r2＝5，圆的方程为(x－1)2＋y2＝5，则过点(3,1)的切线方程为(x－1)·(3－1)＋y(1－0)＝5，即2x＋y－7＝0.3．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t,0)，B(t,0)(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则实数t的最小值为( )A．4 B．3C．2 D．1解析：选D 由∠APB＝90°得，点P在圆x2＋y2＝t2上，因此由两圆有交点得|t－1|≤|OC|≤t＋1⇒|t－1|≤2≤t＋1⇒1≤t≤3，即t的最小值为1.4．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB的长度是( )A．3 B．4C．2 3 D．8解析：选B 连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝55，∴在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝25×55＝2，∴|AB|＝2|AC|＝4.故选B.5．(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )A. 6B.5C．－ 6 D．－5解析：选BD 因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标原点)，且△AOB 为等腰直角三角形，所以O 到直线AB 的距离为1，由点到直线的距离公式可得|a |12＋－22＝1，所以a ＝±5，故选B 、D.6．(多选)已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72，若直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．10解析：选AD 圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72的圆心C 的坐标为(3,3)，半径r ＝62， 因为直线x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，所以圆心到直线的距离为22， 则有d ＝|6－m |1＋1＝22，解得m ＝2或10，故选A 、D.7．(2020·湖南长沙月考)设直线l ：(m －1)x ＋(2m ＋1)y ＋3m ＝0(m ∈R )与圆(x －1)2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，C 为圆心，且△ABC 的面积等于4，则实数m ＝________.解析：设CA ，CB 的夹角为θ，圆的半径为r .所以S △ABC ＝12r 2sin θ＝4sin θ＝4，得θ＝π2.易知圆心C 到直线l 的距离为2，所以|4m －1|m －12＋2m ＋12＝2，解得m＝－12或－72.答案：－12或－728．若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则直线l 的方程是__________________．解析：依题意，直线l ：y ＝kx ＋1过定点P (0,1)．圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0化为标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.故圆心为C (1,0)，半径为r ＝2.则易知定点P (0,1)在圆内．由圆的性质可知当PC ⊥l 时，直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短．因为k PC ＝1－00－1＝－1，所以直线l 的斜率k ＝1，即直线l 的方程是x －y ＋1＝0.答案：x －y ＋1＝09．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，圆心坐标为(a,0)(a >0)， 则由题意知⎝⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2， 解得a ＝3或－1(舍去)， 故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上， 所以3＋0＋m ＝0， 解得m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0. 答案：x ＋y －3＝010．(一题两空)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，则此时切线l 的方程为____________； (2)满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程为____________． 解析：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件． 当l 的斜率存在时，设斜率为k ， 当l 的方程为y －3＝k (x －1)， 即kx －y ＋3－k ＝0，则|－k －2＋3－k |1＋k 2＝2，解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1)，即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2 ＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4， |PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2， 整理，得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0. 答案：(1)x ＝1或3x ＋4y －15＝0 (2)2x －4y ＋1＝011．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ―→·ON ―→＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点， 所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1.解得4－73＜k ＜4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝41＋k1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k 1＋k 2＋8.由题设可得4k 1＋k 1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.12．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为坐标原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． 解：(1)证明：由题意知圆C 过原点O ，∴半径r ＝|OC |.∵|OC |2＝t 2＋4t2，∴设圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2.令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，则A (2t,0)． 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t .∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x .∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5， 圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，r ＝|OC |＝5，此时圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95>5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交． ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.B 级——提能综合练13．(多选)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0.若直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选AB 圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，则圆心为C (2,0)，半径R ＝2.设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PACB 为正方形，故有PC ＝2R ＝22，∴圆心到直线y ＝k (x ＋1)的距离小于或等于PC ＝22， 即|2k －0＋k |k 2＋1≤22，解得k 2≤8，可得－22≤k ≤22， ∴实数k 的取值可以是1,2.故选A 、B.14．(2020·河南洛阳二模)已知直线x ＋y －2＝0与圆O ：x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，C 为圆周上一点，线段OC 的中点D 在线段AB 上，且3AD ―→＝5DB ―→，则r ＝________.解析：如图，过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OA ，则|OE |＝|0＋0－2|12＋12＝2，易知|AE |＝|EB |， 不妨令|AD |＝5m (m >0)， 由3AD ―→＝5DB ―→可得 |BD |＝3 m ，|AB |＝8m ， 则|DE |＝4m －3m ＝m ，在Rt △ODE 中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12r 2＝(2)2＋m 2，①在Rt △OAE 中，有r 2＝(2)2＋(4m )2，②联立①②，解得r ＝10.答案：1015．已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .(1)求圆C 的方程； (2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2， 即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4. 则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12，所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12.(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP ―→·OQ ―→＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．当直线l 的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线l 的方程与圆C 1的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋y 2＝1，消去y ，整理得(1＋k 2)x 2＋2kmx ＋m 2－1＝0， 则Δ＝4k 2m 2－4(1＋k 2)(m 2－1)＝4(k 2－m 2＋1)＞0， 即1＋k 2＞m 2，则x 1＋x 2＝－2km 1＋k 2，x 1x 2＝m 2－11＋k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 2m 2－11＋k 2－2k 2m 21＋k2＋m 2＝m 2－k 21＋k 2， 又OP ⊥OQ ，所以OP ―→·OQ ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－11＋k 2＋m 2－k 21＋k 2＝0，故2m 2＝1＋k 2，满足Δ＞0，符合题意．因为直线l ：y ＝kx ＋m 与圆C ：x 2＋(y －4)2＝12相切，所以圆心C (0,4)到直线l 的距离d ＝|m －4|1＋k 2＝22，即m 2－8m ＋16＝1＋k22，故m 2－8m ＋16＝m 2，得m ＝2，故1＋k 2＝8，得k ＝±7.故直线l 的方程为y ＝±7x ＋2.综上，直线l 的方程为x ＝±22或y ＝±7x ＋2. C 级——拔高创新练16．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a ＞－52.则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －1得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k x 1－1x 1－t ＋k x 2－1x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，亦即2k 2－4k 2＋1－2k 2t ＋1k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系课件理
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为 高考必考内容．预测 2020 年高考将会考查： ①直线与圆位置关系的判断及应用；②直线与 圆相交时弦长问题；③利用直线与圆位置关系 求参数的取值范围问题．试题以客观题形式呈 现，难度一般不大，属中档题型．此外也不要 忽略在解答题中出现的可能性.
答案
A．相交或相切或相离 B．相交或相切
C．相交
D．相切
答案 C
答案
解析 解法一：直线 kx－y＋2－k＝0 的方程可化为 k(x－1)－(y－2)＝0， 恒过定点(1,2)，
因为 12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆 x2＋y2－2x－8＝0 的内部，所 以直线 kx－y＋2－k＝0 与圆 x2＋y2－2x－8＝0 相交．
2．小题热身 (1)直线 x－y＋1＝0 与圆 x2＋y2＝1 的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
答案 B
答案
解析
圆心(0,0)到直线
x－y＋1＝0
的距离
d＝
1＝ 2
22，而
0<
22<1.故选
B.
解析
(2)已知直线 l：y＝k(x＋ 3)和圆 C：x2＋(y－1)2＝1，若直线 l 与圆 C 相
基础知识过关
1．直线与圆的位置关系 设直线 l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的 一元二次方程的判别式为 Δ.
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题49 直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)
考点49 直线与圆、圆与圆的位置关系1．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）若直线1y mx =+与圆22:220C x y x y +++=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则m =( )A ．34B ．1-C ．12-D ．32【答案】A 【解析】圆C:()()22112x y +++= ,∵ AC BC ⊥∴圆心C 到直线的距离为11= ，解m=34故选：A ．2．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）过点()1,1P 的直线l 将圆形区域{}22(,)|4x y xy +≤分为两部分，其面积分别为12,S S ，当12S S -最大时，直线l 的方程是（ ）A ．20x y +-=B ．20x y ++=C ．20x y --=D ．10x y +-=【答案】A 【解析】因为点P 坐标满足224x y +≤，所以点P 在圆224x y +=内，因此，当OP 与过点P 的直线垂直时，12S S -最大， 此时直线OP 的斜率为10110OP k -==-， 所以直线l 的斜率为1k =-，因此，直线l 的方程是1(1)y x -=--， 整理得20x y +-=. 故选A ．3．（福建省厦门第一中学2019届高三5月市二检模拟考试数学理）圆221x y +=的一条切线与圆224x y +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，O 为坐标原点，则1212x x y y +=（ ）A．-B ．2-C ．2D．【答案】B切线与圆221x y +=切于点E ，由题干知圆心均为O 点，则根据向量点积坐标公式得到：1212OA OB x x y y ⋅=+||||cos OA OB OA OB AOB ⋅=∠，2,1OA OB OE ===12,cos 2AOB AOE AOE ∠=∠∠=21cos 2cos 1.2AOB AOE ∠=∠-=-故得到：||||cos 2.OA OB OA OB AOB ⋅=∠=- 故答案为：B.4．（2019年辽宁省大连市高三5月双基考试数学理）已知直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若3AO AB 2⋅=，则实数m=（ ）A ．1±B ．C ．D ．12±【答案】C 【解析】联立221y x mx y =+⎧⎨+=⎩ ，得2x 2+2mx+m 2-1=0， ∵直线y=x+m 和圆x 2+y 2=1交于A 、B 两点，O 为坐标原点，∴△=4m 2+8m 2-8=12m 2-8＞0，解得m ＞3或m ＜-3，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=-m ，21212m x x -= ， y 1y 2=（x 1+m ）（x 2+m ）=x 1x 2+m （x 1+x 2）+m 2，AO =（-x 1，-y 1），AB =（x 2-x 1，y 2-y 1），∵21123,2AO AB AO AB x x x ⋅=∴⋅=-+y 12-y 1y 2=1221122m m ----+m 2-m 2=2-m 2=32，解得m=±5．（2017届福建省宁德市高三第一次（3月)质量检查数学理）已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线3110x ay --=对称，则圆C 中以,44a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【解析】依题意可知直线过圆心()1,2-，即32110,4a a +-==.故(),1,144a a ⎛⎫-=-⎪⎝⎭.圆方程配方得()()22125x y -++=， ()1,1-与圆心距离为1，故弦长为4=.6．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 作圆222x y b +=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．2C ．3D 【答案】D 【解析】 如图，c =，则2b 2＝c 2，即2（a 2﹣c 2）＝c 2，则2a 2＝3c 2，∴2223c a =，即e c a ==．7．（贵州省遵义航天高级中学2019届高三第十一模）直线:2l x ay +=被圆224x y +=所截得的弦长为l 的斜率为（ ）A B ．C D ．±【答案】D 【解析】解：可得圆心（0，0）到直线:2l x ay +=的距离，由直线与圆相交可得，2232d +=，可得d=1，即=1，可得a=±y=33x ±+故斜率为 故选D.8．（四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学理）在区间[1,1]-上随机取一个数k ，使直线(3)y k x =+与圆221x y +=相交的概率为（ ）A ．12B ．13C ．4D ．3【答案】C 【解析】因为圆心(0,0)，半径1r =，直线与圆相交，所以1d =≤，解得44k -≤≤所以相交的概率22P ==,故选C.9．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）经过点(3,0)M 作圆222430x y x y +---=的切线l ，则l 的方程为（ ） A ．30x y +-= B ．30x y +-=或3x = C ．30x y --= D ．30x y --=或3x =【答案】C 【解析】22222430(1)(2)8x y x y x y +---=⇒-+-=，圆心坐标坐标为(1,2)，半径为12x x ，当过点()3,0M 的切线存在斜率k ，切线方程为(3)30y k x kx y k =-⇒--=，圆心到它的距离为12x x，所以有1k ==，当过点()3,0M 的切线不存在斜率时，即3x =，显然圆心到它的距离为2≠3x =不是圆的切线；因此切线方程为30x y --=,故本题选C ．10．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三）“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切，1,k =∴=. 所以“k =是“直线:(2)l y k x =+与圆221x y +=相切”的充分不必要条件. 故选：A ．11．（吉林省吉林大学附属中学2017届高三第七次模拟考试数学理）已知圆C ： (()2211x y +-=和两点()0A t -，， ()0(0)B t t >，，若圆C 上存在点P ，使得·0PA PB =，则t 的最小值为（ ）A ．3B ．2CD ．1【答案】D【解析】由题意可得点P 的轨迹方程是以AB 位直径的圆，当两圆外切时有：min min 11t t =+⇒=，即t 的最小值为1. 本题选择D 选项.12．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，若在以线段AB 为直径的圆上存在两点M 、N ，在直线l ：x+y+a=0上存在一点Q ，使得∠MQN=90°，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]13,3- B ．[]3,1-C ．[]3.13-D ．[]13.13-【答案】A 【解析】过点F （1，0）且斜率为1的直线方程为：1y x =-．联立2216104y x x x y x=-⎧⇒-+=⎨=⎩ ∴AB 的中点坐标为（3，2），|AB |=x 1+x 2+p=8，所以以线段AB 为直径的圆圆D ：22(3)(2)16x y -+-=，圆心D 为：（3，2），半径为r=4， ∵在圆C 上存在两点M ，N ，在直线l 上存在一点Q ，使得∠MQN =90°，∴在直线l 上存在一点Q ，使得Q 到C （3，2=，∴只需C （3，2）到直线l 的距离小于或等于133a ≤⇒-≤≤ 故选：A ．13．（天津市北辰区2019届高考模拟考试数学理）已知双曲线：的焦距为，直线与双曲线的一条斜率为负值的渐近线垂直且在轴上的截距为，以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】双曲线斜率为负值的渐近线方程为：则直线方程为：，即由题意可知：圆的圆心，半径则圆心到直线的距离：整理可得：，即解得：或双曲线离心率本题正确选项：14．（四川省百校2019年高三模拟冲刺卷理）在平面直角坐标系中，两动圆均过定点，它们的圆心分别为，且与轴正半轴分别交于.若，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题圆方程为两动圆均过定点故,得同理又即（）（）=1整理得,故故选：C ．15．（吉林省长春市2019届高三质量监测（四)数学理）圆：被直线截得的线段长为（ ） A ．2 B ．C ．1D ．【答案】C 【解析】 解：圆：的圆心为，半径为1圆心到直线的距离为，弦长为，故选C ．16．（安徽省濉溪二中2018-2019学年高二下学期4月联考）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2222:1y x C a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线与圆22(2)(1)1x y -+-=相切，则b a =（ ）A ．43B ．34C ．169D ．916【答案】B 【解析】双曲线C 的渐近线方程为0by ax ±=，与圆相切的只可能是0by ax -=，所以圆心到直线的距离1r ==，得34a b =，所以34b a =，故选B ． 17．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试理）过坐标轴上一点()0M x ,0作圆221C :x y 12⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的两条切线，切点分别为A 、B .若||AB ≥0x 的取值范围是（ ）A．,,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭B．(),-∞⋃+∞C．,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．][(),22,-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】根据题意，画出图形，如图所示，由圆221:()12C x y +-=，可得圆心坐标1(0,)2C ，半径1R =， 过点M 作圆C 的两条切线MA 和MB ，切点分别为A 和B ， 分别连接CA 、CB 、CM 、AB ，根据圆的性质可得,,CA AM CB BM CM AB ⊥⊥⊥，当||AB =因为1CA CB ==，所以ABC ∆为等腰直角三角形，所以22CN AN BN ===, 又由ANC AMN ∆∆，所以1AN CN MN AN ==，所以MN AN ==，所以CM CN NM =+=要使得||AB ≥CM ≥≥整理得274x ≥，解得0x ≤0x ≥0x的取值范围是,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭， 故选C.18．（广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学理）设过点()20P －，的直线l 与圆22:4210C x y x y +--+=的两个交点为A B ，，若85PA AB =，则AB =（ ）A B C ．5D 【答案】A 【解析】由题意，设()()1122A x y B x y ，，，，直线AB 的方程为2x my =-，由2242102x y x y x my ⎧+--+=⎨=-⎩得()()22182130m y m y +-++=，则121222821311m y y y y m m ++==++，，又85PA AB =，所以()()112121825x y x x y y +=--，，， 故()12185y y y =-，即21135y y =，代入122131y y m =+得：21251y m =+，故2221695251y m =⨯+， 又()22122821m y y m +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，即222121222219452682225111m y y y y m m m +⎛⎫++=⨯+= ⎪+++⎝⎭， 整理得：240760m m -+=，解得2m =或38m =，又AB ==当2m =时，5AB =；当38m =时，AB =；综上AB =. 故选A19．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，且过双曲线的右焦点2F 与x 轴垂直的直线l 与双曲线交于点A ，B ，OAB ∆的面积为 ） A ．18 B．C．D．【答案】C 【解析】设双曲线的渐近线为y kx =，1=，所以k =，渐近线为y x =，将x c =代入双曲线方程得2b y a =±，所以22b AB a =，2122OAB b S c a ∆=⋅⋅=b a =a =，b =所以双曲线实轴长为2a =故选C.20．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）已知,x y 满足约束条件20220x y x y x y +-≤⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，若20x y k ++≥恒成立，则直线20x y k ++=被圆()()221125x y +++=截得的弦长的最大值为______．【答案】【解析】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：若20x y k ++≥恒成立，则()min 20x y k ++≥平移直线20x y +=可知，当直线过B 点时，2x y k ++最小由202x y x y -=⎧⎨-=-⎩得：()4,2B --即440k --+≥ 8k ∴≥则圆心()1,1--到直线20x y k ++=的距离为：d =≥=∴弦长≤=本题正确结果：21．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线l 的参数方程为34x ty t m =⎧⎨=+⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=若直线l 与圆C ，则m 的值为________________. 【来源】)试题 【答案】12m =-或136m =-. 【解析】由参数方程可得：3344x t y m t ==-, 整理可得直线l 的直角坐标方程为4330x y m -+=，圆C 的极坐标方程即222222cos ,2,(1)1x y x x y ρρθ=+=-+=, 设圆心到直线的距离为d ，由弦长公式可得：=解得：12d =， 结合点到直线距离公式可得：403152m -+=,解得：12m =-或136m =-. 22．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），若l 与圆22430x y x +-+=交于A, B 两点，且AB =，则直线l 的斜率为_________.【答案】 【解析】 由x tcos y tsin αα=⎧⎨=⎩，得tan y x α=，设tan k α=，得直线y kx =，由22430x y x +-+=，得()2221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，∴圆心到直线y kx =12==，得k =±故答案为15±. 23．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______． 【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】解：椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ， 过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43．所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 24．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知点()1,2P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是______【答案】( 【解析】因为222:20C x y kx y k ++++=为圆，所以22440k k +->，解得k <<, 又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故21440k k ++++>，解得k ∈R ,综上可知33k -<<.故k 的取值范围是(33-.25．（天津市和平区2018-2019学年第二学期高三年级第二次质量调查数学理）若直线2y x =-+与曲线1222x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数)交于两点,A B ，则AB =_________.【解析】 曲线12(22x cos y sin θθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数)消去参数θ可得：()()22124x y ++-=，表示圆心为()1,2-，半径为2r =的圆，圆心到直线20x y +-=的距离：2d ==，由弦长公式可得弦长为：2==26．（河北省武邑中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学理）如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线22y x =-围成的平面区域的直径为_____．【答案】4 【解析】曲线22y x =-围成的平面区域如下图所示：该平面区域与y 轴的交点为()0,2A ，()0,2B -，4AB =， 平面区域内的任意一个点都在以原点为圆心，半径为2的圆上或圆内， 所以平面区域内任意两点间的距离都小于等于4， 因此，该平面区域的直径为4.。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训48直线与椭圆的位置关系理(含解析)北师大版
课后限时集训(四十八) 直线与椭圆的位置关系(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0,3)∪(3，＋∞)B [由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1，得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝4m 2－4m 3＋m ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m ＜0或m ＞1，又m ＞0，且m ≠3，∴m ＞1且m ≠3.故选B ．]2．中心为(0,0)，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( ) A.2x 275＋2y225＝1 B ．x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D ．2x 225＋2y275＝1C [由题意可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2－b 2＝50.(*)设直线y ＝3x －2与椭圆的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b2＝1， ①y 22a 2＋x 22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2y 1＋y 2a2＋x 1－x 2x 1＋x 2b2＝0，又由题意可知，弦中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，故x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－1.又k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝3， 故－3a2＋1b2＝0，∴a 2＝3b 2，结合(*)得a 2＝75，b 2＝25，即该椭圆的方程为y 275＋x 225＝1，故选C.]3．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B ．33C.23D ．13A [由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2aba 2＋b 2＝a ，解得a ＝3b ，∴b a＝13，∴e ＝c a ＝a 2－b2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. 故选A.]4．(2018·石家庄二模)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF →＝2FB →，则该椭圆的离心率为( )A.32 B ．23 C.22D ．33B [由题意可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x －c ，∴(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又AF →＝2FB →，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b2，∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23，故选B ．] 5.(2019·合肥模拟)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( )A ．20B ．10C ．2 5D ．45D [由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y24＝1，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，4a ，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－2a .把点M 的坐标代入椭圆方程得4c2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D ．]二、填空题6．过椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左焦点F 作倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，则1|AF |＋1|BF |等于________． 43 [由题意可知F (－1,0)，故l 的方程为y ＝3(x ＋1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ＋1，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0，∴x ＝0或－85.∴A (0，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，－335.又F (－1,0)，∴|AF |＝2，|BF |＝65，∴1|AF |＋1|BF |＝43.] 7．已知椭圆C ：9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，则直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为________．－9 [设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2，得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2－m 2＝0， 得x M ＝x 1＋x 22＝－kbk 2＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9bk 2＋9， 故直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－9k，即k OM ·k ＝－9，所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为－9.]8．(2018·铜川一模)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆交于点A ，B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________．3 [如图，设椭圆的右焦点为E ，连接AE ，BE .由椭圆的定义得，△FAB 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |＝|AB |＋(2a －|AE |)＋(2a －|BE |)＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |.∵|AE |＋|BE |≥|AB |，∴|AB |－|AE |－|BE |≤0，∴|AB |＋|AF |＋|BF |＝4a ＋|AB |－|AE |－|BE |≤4a .当直线AB 过点E 时取等号，此时直线x ＝m ＝c ＝1，把x ＝1代入椭圆x 24＋y 23＝1得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是12×3×|EF |＝12×3×2＝3.]三、解答题9.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．[解] (1)由已知|AB |＝52|BF |，即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴3a 2＝4c 2， ∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 直线l 的方程为y －2＝2(x －0)， 即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b2＝1，消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0， 即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)＞0，解得b ＞21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而516－4b 217－12817＋4＝0， 解得b ＝1，满足b ＞21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.综上可知，直线l 的方程为2x －y ＋2＝0， 椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.10．已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7 .(1)求椭圆C 的离心率；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值．[解] (1)由|AB |＝a 2＋b 2＝7，ab a 2＋b2＝2217，a ＞b ＞0， 计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12. (2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m消去y得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ＞0，即48(3k 2－m 2＋4)＞0，且x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4.又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切， 则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1)．而|MN |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2·483k 2－m 2＋43k 2＋4＝1＋k 2·48k 2＋23k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4， 又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227， 即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ＞0，故k 的值为±1.B 组 能力提升1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 A [根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋－42≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝ca ＝1－b 2a2＝1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32.]2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，且弦的中点是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B ．22 C.32D ．55C [设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点是M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.因为⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，所以两式相减可得x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32，故选C.] 3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与直线y ＝x ＋3只有一个公共点，且椭圆的离心率为55，则椭圆C 的方程为________． x 25＋y 24＝1 [将直线方程y ＝x ＋3代入C 的方程并整理得(a 2＋b 2)x 2＋6a 2x ＋9a 2－a 2b 2＝0，由椭圆与直线只有一个公共点得，Δ＝(6a 2)2－4(a 2＋b 2)(9a 2－a 2b 2)＝0，化简得a 2＋b 2＝9.又由椭圆的离心率为55，所以c a ＝a 2－b 2a ＝55，则b 2a 2＝45，解得a 2＝5，b 2＝4，所以椭圆方程为x 25＋y 24＝1.]4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 1F 2为直径的圆与直线ax ＋2by －3ab ＝0相切．(1)求椭圆C 的离心率；(2)如图，过F 1作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若△PQF 2的周长为42，求F 2P →·F 2Q →的最大值．[解] (1)由题意得|－3ab |a 2＋4b 2＝c ，即3a 2b 2＝c 2(a 2＋4b 2)＝(a 2－b 2)(a 2＋4b 2)， 所以a 2＝2b 2，所以椭圆C 的离心率e ＝22. (2)因为△PQF 2的周长为42， 所以4a ＝42，所以a ＝2，由(1)易知b ＝1，则椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，且焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，①若直线l 斜率不存在，则可得l ⊥x 轴， 方程为x ＝－1，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－22， F 2P →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，22，F 2Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－22，故F 2P →·F 2Q →＝72；②若直线l 斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 2＋2y 2＝2消去y 得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，F 2P →·F 2Q →＝(x 1－1，y 1)(x 2－1，y 2)＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2， 则F 2P →·F 2Q →＝(k 2＋1)x 1x 2＋(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝(k 2＋1)2k 2－22k 2＋1＋(k 2－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 22k 2＋1＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝72－922k 2＋1，由k 2＞0可得F 2P →·F 2Q →∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，72，结合当k 不存在时的情况，得F 2P →·F 2Q →∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，72，所以F 2P →·F 2Q →的最大值是72.。
2020年浙江高考数学一轮复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
返回
解：因为两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11， (x－5)2＋(y－6)2＝61－m， 所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为 11， 61－m， (1)当两圆外切时，由 5－12＋6－32 ＝ 11 ＋ 61－m ，得m＝ 25＋10 11. (2)当两圆内切时，因为定圆半径 11 小于两圆圆心之间的距离
返回
解析：∵过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有 一条，∴点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上， 1－0 1 ∵圆心与切点连线的斜率k＝ ＝ ， 3－1 2 ∴切线的斜率为－2， ∴圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
答案：B
返回
角度二：求弦长 2．(2018· 全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0 交于A，B两点，则|AB|＝________.
返回
考点三 圆与圆的位置关系
重点保分型考点——师生共研
[典例引领] (2018· 浙江五校联考)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0，x2＋y2－ 10x－12y＋m＝0. (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？ (3)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
答案：B
3．(2018· 宁波调研)点P在圆C1：x ＋y －8x－4y＋11＝0上， 点Q 在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ |的最小值 是________；|PQ |的最大值是________．
2
2
返回
解析：把圆C1、圆C2的方程都化成标准形式，分别为 (x－4)2＋(y－2)2＝9，(x＋2)2＋(y＋1)2＝4. 圆C1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C2的圆心坐标是 (－2，－1)，半径是2. 圆心距d＝ 4＋22＋2＋12＝3 5. 所以|PQ |的最小值是3 5－5，|PQ |的最大值为3 5＋5.
2020年高考数学(文科)一轮复习 第47讲直线与圆 圆与圆的位置关系
听课手册第47讲直线与圆圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系设圆C的半径为r(r>0),圆心到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相离无实数解(续表)位置关系图示公共点个数几何特征代数特征(直线与圆的方程组成的方程组的解的情况)相切d=r相交22.两圆的位置关系设两圆的半径分别为R,r(R>r),两圆圆心间的距离为d,则两圆的位置关系可用下表表示:位置关系图示(R>r)公共点个数几何特征(|O1O2|=d)代数特征(两个圆的方程组成的方程组的解的情况)外离0无实数解外切1两组相同实数解相交2两组不同实数解内切1 两组相同实数解内含0 无实数解常用结论 1.圆的切线(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是x 0x+y 0y=r 2;(2)过圆(x-a )2+(y-b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是(x 0-a )(x-a )+(y 0-b )(y-b )=r 2;(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x+y 0y=r 2.2.直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长a 的一半12a 及圆的半径r 构成直角三角形,且有r 2=d 2+(12a)2.3.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条. (2)当两圆相交时,两圆方程(x 2,y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.题组一 常识题1.[教材改编] 若直线x-y+1=0与圆(x-a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是 . 2.[教材改编] 圆x 2+y 2-4=0与圆x 2+y 2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线的方程为 ,弦长为 .3.[教材改编] 已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax+by=1与圆O 的位置关系是 .4.[教材改编] 圆x 2+y 2-4x=0在点P (1,√3)处的切线方程为 .5.[教材改编] 过坐标原点O 作圆x 2+y 2-6x-8y+20=0的切线,则切点到O 的距离为 .题组二 常错题◆索引:求圆的切线或弦长时易忽视切线斜率不存在的情况;两圆相切时易忽视有内切与外切两种情况.6.已知圆C 1:(x-a )2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+b )2+(y+2)2=1相切,则(a+b )2= . 7.过点A (3,5)作圆C :x 2+y 2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为 .8.设圆x2+y2-2x-2y-2=0的圆心为C,直线l过(0,3)与圆C交于A,B两点,若|AB|=2√3,则直线l 的方程为.探究点一直线与圆的位置关系例1(1)[2018·云南昆明二模]已知直线l:y=√3x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2√2,则实数m的值等于()A. -7或-1B. 1或7C. -1或7D. -7或1(2)[2019·河北唐山二中月考]在△ABC中,若a sin A+b sin B-c sin C=0,则圆C:x2+y2=2与直线l:ax+by+√2c=0的位置关系是()A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定[总结反思]判断直线与圆的位置关系的一般方法:(1)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断.若d>r,则直线与圆相离;若d=r,则直线与圆相切;若d<r,则直线与圆相交.(2)代数法:联立直线与圆的方程,消元后得到关于x(或y)的一元二次方程,根据一元二次方程的解的个数来判断.变式题(1)圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为()A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能(2)已知圆C:x2+y2-6x+5=0,则圆心C的坐标为;若直线y=kx与圆C相切,且切点在第四象限,则k的值为.探究点二圆的切线与弦长问题角度1过圆上一点的切线问题例2(1)已知圆的方程是x2+y2=1,则经过圆上一点M(1,0)的圆的切线方程是()A. x=1B. y=1C. x+y=1D. x-y=1(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程是()A. x+2y-5=0B. x-2y+3=0C. 2x+y-4=0D. 2x-y=0[总结反思]过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法:若切线斜率存在,先求切点与圆心连线,再由点斜式方程可求出切线方程;若切线斜率不的斜率k(k≠0),由垂直关系知切线斜率为-1k存在,则由图形得出切线方程x=x0.变式题已知点P(√2+1,2-√2),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4,则过点P的圆C的切线方程为.角度2过圆外一点的切线问题例3(1)[2018·茂名一模]从坐标原点O向圆C:x2+y2-12y+27=0作两条切线,则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为.(2)若直线y=k(x+3)与圆x2+y2-2x=3相切,则k= .[总结反思]处理切线、弦长问题的策略:(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径建立关系解决问题.(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长一半、弦心距、半径构成直角三角形.变式题 [2018·重庆三诊] 已知圆O 的方程为x 2+y 2=1,过第一象限内的点P (a ,b )作圆O 的两条切线PA ,PB ,切点分别为A ,B ,若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =8,则a+b 的最大值为 ( ) A. 3 B. 3√2 C. 4√2 D. 6角度3 有关弦长问题例4 (1)[2018·全国卷Ⅰ] 直线y=x+1与圆x 2+y 2+2y-3=0交于A ,B 两点,则|AB|= . (2)[2018·湖南益阳4月调研] 已知斜率为1,且在y 轴上的截距b 为正的直线l 与圆C :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,O 为坐标原点,若△AOB 的面积为√3,则b= .[总结反思] 解有关弦长问题的两种方法:(1)几何法:直线被圆截得的半弦长 l2、弦心距d 和圆的半径r 构成直角三角形,且r 2=(l 2)2+d 2.(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x 或y 的一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长|AB|=√1+k 2·|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2-4y 1y 2(k ≠0).变式题 已知直线l :kx-y-3=0与圆O :x 2+y 2=4交于A ,B 两点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则k=( )A. 2B. ±√2C. ±2D. √2探究点三 圆与圆的位置关系例5 (1)[2018·四川绵阳三诊] 已知圆C 1:x 2+y 2=r 2,圆C 2:(x-a )2+(y-b )2=r 2(r>0)交于不同的A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,给出以下结论:①a (x 1-x 2)+b (y 1-y 2)=0;②2ax 1+2by 1=a 2+b 2;③x 1+x 2=a ,y 1+y 2=b.其中正确结论的个数是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(2)[2018·辽宁丹东二模] 圆心坐标为(2,0)的圆C 与圆x 2+y 2+4x-6y+4=0相外切,则C 的方程为( )A. x 2+y 2+4x+2=0 B. x 2+y 2-4x+2=0C. x2+y2+4x=0D. x2+y2-4x=0[总结反思](1)判断两圆的位置关系,有两种方法:一是代数法,联立两圆方程,消去其中一个未知数,通过对所得方程的根进行判断,从而可得两圆关系;二是几何法,通过计算两圆的圆心距与两圆的半径和或差进行比较,从而可得两圆的位置关系.(2)当两圆相交时,公共弦所在直线的方程可由两个圆的方程相减得到,而且在解决圆的有关问题时,注意合理利用圆的几何性质简化计算.变式题(1)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2√2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离(2)过两圆x2+y2+4x+y=-1和x2+y2+2x+2y+1=0的交点的圆中面积最小的圆的方程为.(3)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是.完成课时作业(四十七)。
2020高考数学大一轮复习第八章解析几何课下层级训练44直线与圆圆与圆的位置关系含解析文新人教A
课下层级训练(四十四) 直线与圆、圆与圆的位置关系[A 级 基础强化训练]1．已知点(a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ≠0)的外部，则ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离 C ．内含D ．相交D [由已知a 2＋b 2>r 2，且圆心到直线ax ＋by ＝r 2的距离为d ＝r 2a 2＋b 2，则d <r ，故直线ax ＋by ＝r 2与C 的位置关系是相交．]2．在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切，则圆O 的方程为( )A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝3 C ．x 2＋y 2＝2D ．x 2＋y 2＝1A [依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y －4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2，得圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.]3．(2019·福建福州模拟)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝－2＋－2－2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]4．(2019· 辽宁葫芦岛月考)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A ． 3B ．2C ． 6D ．2 3D [过原点且倾斜角为60°的直线方程为3x －y ＝0，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心(0,2)到直线3x －y ＝0的距离为d ＝|3×0－2|3＋1＝1，因此弦长为2R 2－d 2＝24－1＝2 3.]5．(2019· 河北邯郸模拟)由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2C ．7D ．3C [切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.]6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则实数t 的最小值为__________．1 [由∠APB ＝90°得，点P 在圆x 2＋y 2＝t 2上，因此由两圆有交点得|t －1|≤|OC |≤t ＋1⇒|t －1|≤2≤t ＋1⇒1≤t ≤3，即t 的最小值为1.]7．圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦的长度为________． 2 5 [两圆的公共弦长即两圆交点间的距离，将两圆方程联立，可求得弦所在直线为2x ＋y －15＝0，原点到该直线的距离为d ＝|－15|22＋1＝35，则公共弦的长度为2r 2－d 2＝250－52＝2 5.]8．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是__________．35－5 [把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝＋2＋＋2＝3 5. 所以|PQ |的最小值是35－5.]9．已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求圆C 的方程．解 设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C (m ，n )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 2＝－2＋m2＋1，n －1m ＋2·1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1.故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB |24＝18．故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18．10．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． 解 (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则a －2＋－2a ＋2＝|a －2a －1|2．化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1． ∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝－2＋－2＋2＝2．∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2．(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， ∴直线l 的方程为y ＝－34x ，即3x ＋4y ＝0．综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0．[B 级 能力提升训练]11．(2019·河南信阳模拟)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0,2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5A [由题意得，点(a,1)到两条直线的距离相等，且为圆的半径． ∴|2a －1＋4|22＋－2＝|2a －1－6|22＋－2，解得a ＝1．∴r ＝|2×1－1＋4|22＋－2＝5，∴所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.]12．已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离C [∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2．∵圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b，∵直线l的斜率为k l ＝－a b ＝k m ，圆心O 到直线l 的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离. ]13．(2018·山东临沂模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与x 2＋y 2＝4交于不同的两点A 、B ，O 为坐标原点，且|OA →＋OB →|≥33|AB →|，则k 的取值范围是__________． [2，22) [由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |2＜2，又k ＞0，故0＜k ＜2 2. ①如图，作平行四边形OACB ，连接OC 交AB 于M ，由|OA →＋OB →|≥33|AB →|得|OM →|≥33|BM →|，即∠MBO ≥π6，因为|OB |＝2，所以|OM |≥1，故|k |2≥1，k ≥ 2. ②综合①②得，2≤k ＜2 2.]14．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________．4 [如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°． 在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2．取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ， ∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4.]15．(2019·山西大同月考)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且圆心C 在直线x ＋y －1＝0上．(1)求圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)∵P (4，－2)，Q (－1,3)，∴线段PQ 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， 12，斜率k PQ ＝－1， 则PQ 的垂直平分线方程为y －12＝1×(x －32)，即x －y －1＝0． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，∴圆心C (1,0)，半径r ＝－2＋－2－2＝13．故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13． (2)由l ∥PQ ，设l 的方程为y ＝－x ＋m ． 代入圆C 的方程，得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 22－6． 故y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2＋x 1x 2－m (x 1＋x 2)， 依题意知OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0． ∴(x 1，y 1)·(x 2，y 2)＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，于是m 2＋2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＝0，即m 2－m －12＝0． ∴m ＝4或m ＝－3，经检验，满足Δ>0． 故直线l 的方程为y ＝－x ＋4或y ＝－x －3．16．(2019·湖南东部六校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4．(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4y ＝k x －得，(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1．若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－x 1－t＋k x 2－x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．。
2020版高考数学一轮复习课后限时集训43直线与圆圆与圆的位置关系含解析
课后限时集训(四十三)(建议用时：60分钟)A 组 基础达标一、选择题1．(2019·广州模拟)若一个圆的圆心为(0,1)，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是( )A ．x 2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋y 2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．(x －1)2＋y 2＝4A [由于圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，故r ＝＝，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.故选A.]|2|222．(2019·昆明摸底调研)直线l ：x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝6相交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A ．2B ．4 C. D.26B [由题意知，圆C 的圆心为C (2,0)，半径为，圆心C 到直线l 的距离为，所以|AB |＝262＝4，故选B.]6 2－ 2 23．已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝4，圆O 2的方程为(x －a )2＋y 2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( )A ．{1，－1}B ．{3，－3}C ．{1，－1,3，－3}D ．{5，－5,3，－3}C [因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，内切时，|a |＝1；外切时，|a |＝3，所以实数a 的取值集合是{1，－1,3，－3}．]4．已知直线l ：kx －y －3＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且·＝2，则k ＝OA →OB → ( )A ．2B ．±2C ．±2 D.2B [圆O ：x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径为2，设与的夹角为θ，则OA → OB →2×2×cos θ＝2，解得cos θ＝，θ＝，12π3∴圆心到直线l 的距离为2cos ＝，π63可得＝，解得k ＝±.]|－3|1＋k 2325．已知过原点的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点坐标为D (2，)，则弦长为( )2A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A [将圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，整理得其标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆C 的圆心坐标为(3,0)，半径为2.∵线段AB 的中点坐标为D (2，)，∴|CD |＝＝，∴|AB |＝2＝2.故选A.]21＋234－3二、填空题6．(2019·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －a )2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是________．－1 [由题意知，圆C 的半径是4，△ABC 为直角三角形，则圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为2，所以＝2，解得a ＝－1.]2|a ＋a －2|a 2＋127．(2019·兰州月考)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．3－5 [把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得5(x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝＝3＞5.4＋2 2＋ 2＋1 25故圆C 1与圆C 2相离，所以|PQ |的最小值是3－5.]58．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点且两圆在点A 处切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．4 [由题意⊙O 1与⊙O 在A 处切线互相垂直，则两切线分别过另一圆圆心，∴O 1A ⊥O A.又|OA |＝，|O 1A |＝2，∴|O 1O |＝5.55又A ，B 关于O 1O 所在直线对称，∴AB 是Rt△OAO 1斜边上高的2倍．∴|AB |＝2×＝4.]5×255三、解答题9．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上．(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．[解] (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )，则＝. a －2 2＋ －2a ＋1 2|a －2a －1|2化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1.∴C (1，－2)，半径r ＝|AC |＝＝.1－2 2＋ －2＋1 22∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ，由题意得＝1，解得k ＝－，|k ＋2|1＋k 234∴直线l 的方程为y ＝－x .34综上所述，直线l 的方程为x ＝0或y ＝－x .3410．(2018·河北邢台月考)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝1，直线l 的方程为2x －y ＝0，点P 在直线l 上，过点P 作圆C 的切线PA ，PB ，切点为A ，B.(1)若∠APB ＝60°，求点P 的坐标；(2)求证：经过A ，P ，C (其中点C 为圆C 的圆心)三点的圆必经过定点，并求出所有定点的坐标．[解] (1)由条件可得圆C 的圆心坐标为(0,4)，|PC |＝2，设P (a,2a )，则＝2，解得a ＝2或a ＝，a 2＋ 2a －4 265∴点P 的坐标为(2,4)或.(65，125)(2)设P (b,2b )，过点A ，P ，C 的圆即是以PC 为直径的圆，其方程为x (x －b )＋(y －4)(y －2b )＝0，整理得x 2＋y 2－bx －4y －2by ＋8b ＝0，即(x 2＋y 2－4y )－b (x ＋2y －8)＝0.由Error!得Error!或Error!∴该圆必经过定点(0,4)和.(85，165)B 组 能力提升1．已知两点A (－m,0)和B (2＋m,0)(m ＞0)，若在直线l ：x ＋y －9＝0上存在点P ，使3得PA ⊥PB ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,4)C ．[3，＋∞)D ．[4，＋∞)C [因为A (－m,0)，B (2＋m,0)(m ＞0)，所以以AB 为直径的圆的圆心为(1,0)，半径为1＋m ，即方程为(x －1)2＋y 2＝(1＋m )2.若直线l ：x ＋y －9＝0上存在点P ，使得PA ⊥PB ，3则直线l 与圆有公共点．∴≤1＋m ，解得m ≥3.]|1－9|22．(2019·达州联考)若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．(4,6]C ．[4,6)D ．[4,6]A [由圆的标准方程得圆心坐标(3，－5)，则圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离d ＝＝＝5.|4×3－3× －5 －2|32＋42255若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则满足d －1＜r ＜d ＋1，即4＜r ＜6，故选A.]3．若直线x sin θ＋y cos θ＝1与圆x 2＋y 2－2x －2y cos θ＋cos 2θ＋＝0相切，且θ1516为锐角，则这条直线的斜率是________．－ [圆x 2＋y 2－2x －2y cos θ＋cos 2θ＋＝0化为标准方程得(x －1)2＋(y －cos 331516θ)2＝，圆心为(1，cos θ)，半径为，由题意得，圆心到直线的距离d ＝11614＝，所以|sin θ－sin 2θ|＝.因为θ为锐角，所以0＜sin 2θ＜|1×sin θ＋cos 2θ－1|cos 2θ＋sin 2θ1414sin θ＜1，sin 2θ－sin θ＋＝0，解得sin θ＝，故cos θ＝，所以直线x sin θ＋141232y cos θ＝1的斜率k ＝－＝－＝－.]sin θcos θ1232334．(2018·江苏南通模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1,2)．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，|MN |＝|AB |，求直线l 的方程；(2)在圆C 上是否存在点P ，使得|PA |2＋|PB |2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，。
2020版高考数学理科人教B版一轮温习课时标准练47直线与圆圆与圆的位置关系
课时标准练47 直线与圆、圆与圆的位置关系基础巩固组1.(2018贵州凯里一中二模,4)直线y=34x-52和圆x 2+y 2-4x+2y-20=0的位置是( ) A.相交且过圆心 B.相交但只是圆心 C.相离D.相切2.(2018陕西西安八校联考,3)假设过点A (3,0)的直线l 与曲线(x-1)2+y 2=1有公共点,那么直线l 斜率的取值范围为 ( )A.(-√3,√3)B.[-√3,√3] √33,√33D.[-√33,√33]3.(2018重庆巴蜀中学月考,7)已知直线l :y=-ax+a 是圆C :(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,过点A 4a ,1a作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB|= ( )√2 C.√38√104.与直线x-y-4=0和圆x 2+y 2+2x-2y=0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A.(x+1)2+(y+1)2=2 B .(x-1)2+(y+1)2=4 C.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=45.(2018北京,理7)在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m 转变时,d 的最大值为( )6.已知圆C :x 2+y 2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,那么圆C 中以a 4,-a4为中点的弦长为( )7.直线y=-√33x+m 与圆x 2+y 2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m 的取值范围是( ) A.(√3,2) B.(√3,3)C.√33,2√33,2√338.(2018安徽淮南一模,16)过动点P作圆:(x-3)2+(y-4)2=1的切线PQ,其中Q为切点,若|PQ|=|PO|(O为坐标原点),则|PQ|的最小值是.9.(2018福建福州质检,15)已知A(-3,0),B(0,4),点C在圆(x-m)2+y2=1上运动,若△ABC的面积的最小值为52,那么实数m的值为.10.(2018湖南长郡中学一模,14)假设过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.综合提升组11.(2018辽宁丹东模拟)圆心为(2,0)的圆C与圆x2+y2+4x-6y+4=0相外切,那么圆C的方程为()+y2+4x+2=0 +y2-4x+2=0+y2+4x=0 +y2-4x=012.(2018云南昆明一中八模,12)已知M为函数y=8a的图象上任意一点,过M作直线MA,MB别离与圆x2+y2=1相切于A,B两点,那么原点O到直线AB的距离的最大值为()A.1 8B.1 4C.√22D.√2413.已知圆C:x2+y2=4,过点A(2,3)作圆C的切线,切点别离为P,Q,那么直线PQ的方程为.14.(2018云南昆明应性检测,20)已知圆O:x2+y2=4上一动点A,过点A作AB⊥x轴,垂足为B 点,AB中点为P.(1)当A在圆O上运动时,求点P的轨迹E的方程;(2)过点F(-√3,0)的直线l与E交于M,N两点,当|MN|=2时,求线段MN的垂直平分线方程.创新应用组15.已知圆心为C的圆,知足以下条件:圆心C位于x轴正半轴上,与直线3x-4y+7=0相切,且被y轴截得的弦长为2√3,圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A,B,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.是不是存在如此的直线l,使得直线OD与MC恰好平行?若是存在,求出l的方程;假设不存在,请说明理由.16.已知圆O:x2+y2=4,点A(-√3,0),B(√3,0),以线段AP为直径的圆C1内切于圆O,记点P的轨迹为C2.(1)证明:|AP|+|BP|为定值,并求C2的方程;(2)过点O的一条直线交圆O于M,N两点,点D(-2,0),直线DM,DN与C2的另一个交点别离为S,T,的取值范围.记△DMN,△DST的面积别离为S1,S2,求a1a2课时标准练47 直线与圆、圆与圆的位置关系x 2+y 2-4x+2y-20=0可化简为(x-2)2+(y+1)2=25,故圆心为(2,-1),半径r=5.将(2,-1)代入y=34x-52中,3×2-4×(-1)-10=0,知足直线方程,故直线过圆心且与圆相交.应选A .设直线l 的方程为y=k (x-3),代入圆的方程中,整理得(k 2+1)x 2-(6k 2+2)x+9k 2=0,则Δ=4(1-3k 2)≥0,解得-√33≤k ≤√33,应选D .∵直线l :y=-ax+a 是圆C :(x-2)2+(y-1)2=4的一条对称轴,∴y=-ax+a 过圆心C (2,1),∴1=-2a+a ,解得a=-1,∴直线l 的方程为y=x-1,A 点坐标为(-4,-1),|AC|2=36+4=40,由勾股定理可得,|AB|2=|AC|2-r 2=40-4=36,|AB|=6,应选B .圆x 2+y 2+2x-2y=0的圆心坐标为(-1,1),半径为√2,过圆心(-1,1)与直线x-y-4=0垂直的直线方程为x+y=0,所求圆的圆心在此直线上,又圆心(-1,1)到直线x-y-4=0的距离为2=3√2,那么所求圆的半径为√2,设所求圆的圆心为(a ,b ),且圆心在直线x-y-4=0的左上方,则√2=√2,且a+b=0,解得a=1,b=-1(a=3,b=-3不符合题意,舍去),故所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.应选C .设P (x ,y ),则{a =cos a ,a =sin a ,x 2+y 2=1.即点P 在单位圆上,点P 到直线x-my-2=0的距离可转化为圆心(0,0)到直线x-my-2=0的距离加上(或减去)半径,因此距离最大为d=1+√1+a =1+√1+a .当m=0时,d max =3.∵圆C :x 2+y 2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,∴直线3x-ay-11=0过圆心C (1,-2),∴3+2a-11=0,解得a=4,∴a 4,-a4即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C (1,-2)的距离d=√(1-1)2+(-1+2)2=1, 圆C :x 2+y 2-2x+4y=0的半径r=12√4+16=√5,∴圆C 中以a 4,-a4为中点的弦长为2√a 2-a 2=2√5-1=4.应选D .当直线通过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,现在m=1;当直线与圆相切时,有圆心到直线的距离d=a +(33) =1,解得m=2√33(切点在第一象限),因此要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<2√33. 8.125设P (x ,y ),则x 2+y 2=(x-3)2+(y-4)2-1,即3x+4y=12,因此点P 的运动轨迹是直线3x+4y=12, 因此d min =135,则|PQ|min =√(135)2-1=125.112或-12直线AB 方程为a -3+a4=1,即4x-3y+12=0.若△ABC 的面积最小,那么点C 到直线AB 的距离d 最短,d min =|4a +12|5-1,又△ABC 的面积的最小值为52,因此12×5×|4a +12|5-1=52即|4m+12|=10,因此m=-112或-12.应选D .圆x 2+y 2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r=12√36+16-16=3,点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d=√(3-1)2+(2-1)2=√5, 因此|AB|的最小值|AB|min =2√a 2-a 2=2√9-5=4.圆x 2+y 2+4x-6y+4=0,即(x+2)2+(y-3)2=9的圆心为(-2,3),半径为3.设圆C 的半径为r.由两圆外切知,圆心距为√(2+2)2+(0-3)2=5=3+r.因此r=2,圆C 的方程为(x-2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x=0.应选D .设M (x 0,y 0),则x 0y 0=8.∴以OM 为直径的圆的方程为(a -a 02)2+(a -a 02)2=a 02+a 024,即x 2+y 2-x 0x-y 0y=0.又∵AB 为圆x 2+y 2-x 0x-y 0y=0与圆x 2+y 2=1的公共弦,∴两圆方程作差可得直线AB 的方程为x 0x+y 0y=1,∴点O到直线AB的距离为d=√a0+a0≤√200=14,当且仅当{a0a0=8,a0=a0,,即{a0=2√2,a0=2√2或{a0=-2√2,a0=-2√2时取等号.∴原点O 到直线AB 的距离的最大值为14.应选B .+3y-4=0 以O (0,0),A (2,3)为直径端点的圆的方程为x (x-2)+y (y-3)=0,即x 2+y 2-2x-3y=0,与圆C :x 2+y 2=4相减得2x+3y-4=0,故直线PQ 的方程为2x+3y-4=0.14.解 (1)设P (x ,y ),则A (x ,2y ).将A (x ,2y )代入x 2+y 2=4得点P 的轨迹E 的方程为a 24+y 2=1(y ≠0).(2)由题意可设直线l 方程为x=my-√3,由{a =aa -√3,a 24+a 2=1,得(m 2+4)y 2-2√3my-1=0.因此{a 1+a 2=2√3aa 2+4,a 1·a 2=-1a 2+4.因此|AB|=√1+a 2|y 1-y 2|=√1+a 2√(a 1+a 2)2-4a 1·a 2=4(a 2+1)a 2+4=2.因此m=±√2.当m=√2时,中点纵坐标y 0=a 1+a 22=√66,代入x=my-1得中点横坐标x 0=-2√33,斜率为k=-√2.故线段MN 的垂直平分线方程为2x+√2y+√3=0.当m=-√2时,同理可得MN 的垂直平分线方程为2x-√2y+√3=0. 因此线段MN 的垂直平分线方程为2x+√2y+√3=0或2x-√2y+√3=0. 15.解 (1)设圆C :(x-a )2+y 2=r 2(a>0),由题意知{√3+4=a ,√a 2+3=a ,解得a=1或a=138. 又S=πr 2<13,∴a=1,∴圆C 的标准方程为(x-1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时,直线l 为x=0,不知足题意. 当斜率存在时,设直线l :y=kx+3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 又l 与圆C 相交于不同的两点,联立得{a =aa +3,(a -1)2+a 2=4,消去y 得(1+k 2)x 2+(6k-2)x+6=0. ∴Δ=(6k-2)2-24(1+k 2)=12k 2-24k-20>0,解得k<1-2√63或k>1+2√63.x 1+x 2=-6a -21+a2,y 1+y 2=k (x 1+x 2)+6=2a +61+a2,aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2),aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3), 假设aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2, 解得k=34∉-∞,1-2√63∪1+2√63,+∞,假设不成立,∴不存在如此的直线l.16.解 (1)证明:设AP 的中点为E ,切点为F ,连接OE ,EF (图略),则|OE|+|EF|=|OF|=2,故|BP|+|AP|=2(|OE|+|EF|)=4.∴点P 的轨迹是以A ,B 为核心,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=√3,b=1,则C 2的方程是a 24+y 2=1. (2)设直线DM 的方程为x=my-2(m ≠0).∵MN 为圆O 的直径,∴∠MDN=90°,∴直线DN 的方程为x=-1a y-2,由{a =aa -2,a 2+a 2=4得(1+m 2)y 2-4my=0,∴y M =4a1+a 2, 由{a =aa -2,a 2+4a 2=4得(4+m 2)y 2-4my=0,∴y S =4a4+a 2, ∴a aa a=4+a 21+a2,∴a a a a =4a 2+1a 2+1.∵|DM|=√1+1a 2|y M -0|,|DS|=√1+1a 2|y S -0|,|DN|=√1+a 2|y N -0|, |DT|=√1+a 2|y T -0|,又∵△DMN ,△DST 都是有同一极点的直角三角形, ∴a 1a 2=a a a a ·a aa a=4+a 21+a2·4a 2+1a 2+1.设s=1+m 2,则s>1,0<3a <3,∴a1 a2=4-3a1+3a∈4,254.。
2020高考数学(文)一轮复习课时作业 46直线与圆圆与圆的位置关系 含解析
7．[2019·福建师大附中联考]与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2 的圆的标准方程为________．
解析：所求圆的圆心在直线y＝－2x上，所以可设所求圆的圆心为(a，－2a)(a<0)，又因为所求圆与圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0外切于原点，且半径为2 ，所以 ＝2 ，可得a2＝4，则a＝－2或a＝2(舍去)．所以所求圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝20.
答案：A
2．直线kx＋y－2＝0(k∈R)与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0的位置关系是()
A．相交B．相切
C．相离D．与k值有关
解析：圆心为(－1,1)，所以圆心到直线的距离为 ＝ ，所以直线与圆的位置关系和k值有关，故选D.
答案：D
3．圆x2＋y2＋4x＝0与圆x2＋y2－8y＝0的公共弦长为()
[
一、选择题
1．[2019·菏泽模拟]已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－ y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为()
A．1 :2B．1 :3
C．1 :4 D．1 :5
解析：(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝ ＝ ，所以较短弧所对的圆心角为 ，较长弧所对的圆心角为 ，故两弧长之比为1 :2.选A.
∴C(1，－2)，半径r＝|AC|＝ ＝ .
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由题意得 ＝1，解得k＝－ ，
∴直线l的方程为y＝－ x.
综上所述，直线l的方程为x＝0或y＝－ x.
2020版高考数学新设计一轮复习浙江专版讲义：第八章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系含答案
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )相离相切相交图形量化 方程观点 Δ＜0 Δ＝0 Δ＞0 几何观点d ＞rd ＝rd ＜r12121．(2018·宁波一中月考)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选C 由题意得圆心为(a,0)，半径为 2.圆心到直线的距离为d ＝|a ＋1|2，由直线与圆有公共点可得|a ＋1|2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.∴实数a 的取值范围是[－3,1]．2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦长为4，则实数a 的值是( ) A ．－2 B ．－4 C ．－6D ．－8解析：选B 将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，又r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4.3．(2018·宁波调研)点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________；|P Q |的最大值是________．解析：把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，分别为 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝(4＋2)2＋(2＋1)2＝3 5.所以|P Q |的最小值是35－5，|P Q |的最大值为35＋5. 答案：35－5 35＋51．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k 不存在的情形． 2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形． [小题纠偏]1．过点(2,3)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________．解析：①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0，②若切线的斜率不存在，则切线方程为x ＝2，也是圆的切线， 所以直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2. 答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝02．若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则常数a ＝________. 答案：±25或0考点一 直线与圆的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( )A ．(3，2)B ．(3，3)C.⎝⎛⎭⎫33，233D.⎝⎛⎭⎫1，233解析：选D 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时圆心到直线的距离d ＝|m |1＋⎝⎛⎭⎫332＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1＜m ＜233. 2．(2018·大庆二模)已知P 是直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ＞0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形PACB 的面积最小为2，则k 的值为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选B 易知圆C 的圆心C (0,1)，半径r ＝1，∴S四边形PACB ＝PA ·AC ＝PA ＝CP 2－AC 2＝CP 2－1，∴当|CP |最小，即CP ⊥直线kx ＋y ＋4＝0时，四边形PACB 的面积最小，由四边形PACB 的面积最小为CP 2－1＝2，得|CP |min ＝5，由点到直线的距离公式得|CP |min ＝51＋k 2＝5，∵k ＞0，∴k ＝2.3．(2018·衡水中学期中考试)若圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是________________．解析：∵圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，且圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，∴22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1，∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．答案：[－3，－1]∪[1,3][谨记通法]判断直线与圆的位置关系一般有2种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．考点二 切线、弦长问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有： (1)求圆的切线方程(切线长)； (2)求弦长；(3)由弦长及切线问题求参数．[题点全练]角度一：求圆的切线方程(切线长)1．(2018·金华调研)过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝0解析：选B ∵过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，∴点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12， ∴切线的斜率为－2，∴圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 角度二：求弦长2．(2018·全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4. ∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.∵圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 2角度三：由弦长及切线问题求参数3．直线y ＝kx ＋3与圆(x －2)2＋(y －3)2＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，0 B.⎣⎡⎦⎤－33，33 C.⎣⎡⎦⎤0，33 D.⎣⎡⎦⎤－23，0 解析：选B 设圆心C (2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，若|MN |≥23， 则d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎫12|MN |2≤4－3＝1， 即|2k |2k 2＋1≤1，解得－33≤k ≤33.[通法在握]1．圆的切线方程的2种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .[提醒] 若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上，则过M 点的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．弦长的2种求法(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．(2)几何法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.[演练冲关]1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：选D 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，可知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，得d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34.2．(2018·山西三地五校联考)过原点且与直线6x －3y ＋1＝0平行的直线l 被圆x 2＋(y －3)2＝7所截得的弦长为________．解析：由题意可得l 的方程为2x －y ＝0， ∵圆心(0，3)到l 的距离d ＝33＝1， ∴所求弦长l ＝2R 2－d 2＝27－1＝2 6. 答案：2 6考点三 圆与圆的位置关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2018·浙江五校联考)已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长． 解：因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1,3)，(5,6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由(5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0.故两圆的公共弦的长为2(11)2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27.[由题悟法]解决圆与圆位置关系问题的2大通法(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．[即时应用]1．(2018·嘉兴调研)已知圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为( )A ．1B ．3 C. 6D ．9解析：选D 由题可知，圆C 1的圆心为(－2a,0)，半径为2，圆C 2的圆心为(0，b )，半径为1，因为两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以(－2a －0)2＋(0－b )2＝2－1，即4a 2＋b 2＝1.因为a ，b ∈R 且ab ≠0，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2·(4a 2＋b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b 2≥5＋2b 2a 2·4a 2b 2＝9，当且仅当b 2a2＝4a 2b 2，即a 2＝16，b 2＝13时等号成立．所以1a 2＋1b2的最小值为9，故选D. 2．(2018·嘉兴高级中学模拟)圆x 2＋y 2＝4与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交所得公共弦所在的直线方程为________；其长度为________．解析：由题可得，公共弦所在直线方程为2x ＋4y －5＝0，因为圆心(0,0)到直线的距离d ＝|5|22＋42＝52，所以公共弦长为2 4－54＝11. 答案：2x ＋4y －5＝011一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离 解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋12＝5＜6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．2．(2018·洛阳一模)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r ＞0)，设p ：0＜r ≤3，q ：圆上至多有两个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B 圆心C 到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|1＋3＝2，当0＜r ＜1时，圆上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，圆上恰有一个点到直线的距离为1；当1＜r ＜3时，圆上有两个点到直线的距离为1.∴当q 成立时，0＜r ＜3，而p ：0＜r ≤3，∴q ⇒p ，而p ⇒/ q ，∴p 是q 的必要不充分条件，故选B.3．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21 B ．19 C ．9D ．－11解析：选C 圆C 1的圆心为C 1(0,0)，半径r 1＝1，因为圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，所以圆C 2的圆心为C 2(3,4)，半径r 2＝25－m (m ＜25)．从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9.4．(2018·绍兴五校联考)已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2,1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，则当△OP Q 的面积最大时，直线l 的方程为( )A ．x －y －3＝0或7x －y －15＝0B ．x ＋y ＋3＝0或7x ＋y －15＝0C ．x ＋y －3＝0或7x －y ＋15＝0D ．x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0解析：选D 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标分别为(2，5)，(2，－5)，所以S △OP Q ＝12×2×25＝2 5.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12，则圆心O 到直线l 的距离d ＝|2k －1|1＋k2，由平面几何知识得|P Q |＝29－d 2，则S △OP Q ＝12×|P Q |·d ＝12×29－d 2×d ＝(9－d 2)d 2≤⎝⎛⎭⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25＜92，所以S △OP Q 的最大值为92，此时⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k －1|1＋k 22＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.故选D.5．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为________. 解析：设直线上一点为P ，切点为Q ，圆心为M ，则|P Q |即切线长，|M Q |为圆M 的半径，长度为1，|P Q |＝|PM |2－|M Q |2＝|PM |2－1.要使|P Q |最小，即求|PM |的最小值，此题转化为求直线y ＝x ＋1上的点到圆心M 的最小距离，设圆心到直线y ＝x ＋1的距离为d ，则d ＝|3－0＋1|12＋(－1)2＝2 2.所以|PM |的最小值为2 2.所以|P Q |＝|PM |2－1≥(22)2－1＝7，即切线长的最小值为7.答案：7二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·合肥一模)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：选B 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1 .∵d 2＋⎝⎛⎭⎫|AB |22＝r 2，∴(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.2．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2， 所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2， 因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k ＜0，所以k ＝－1， 所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3，所以直线l 与圆D 相交．3．(2018·温州调研)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：选B 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC |＝(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.4．(2018·台州调研)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1 相外切，则ab 的最大值为( )A.62B.32C.94D ．2 3解析：选C 由圆C 1与圆C 2相外切，可得(a ＋b )2＋(－2＋2)2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9， 根据基本不等式可知ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b ＝32时等号成立，即ab 的最大值为94.5．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率为( )A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：选B 由S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB＝12sin ∠AOB ， 可知当∠AOB ＝π2时，△AOB 的面积最大，为12.此时点O 到直线AB 的距离d ＝22. 设直线AB 的方程为y ＝k (x －2)(k ＜0)， 即kx －y －2k ＝0. 则d ＝|2k |k 2＋1＝22，解得k ＝－33.6．(2019·台州模拟)已知k ∈R ，点P (a ，b )是直线x ＋y ＝2k 与圆x 2＋y 2＝k 2－2k ＋3的公共点，则ab 的最大值为( )A ．15B ．9C ．1D ．－53解析：选B 由题意得|－2k |2≤k 2－2k ＋3，且k 2－2k ＋3＞0，解得－3≤k ≤1.因为2ab ＝(a＋b )2－(a 2＋b 2)＝4k 2－(k 2－2k ＋3)＝3k 2＋2k －3＝3⎝⎛⎭⎫k ＋132－103，所以当k ＝－3时，2ab 取得最大值18，即ab 取得最大值9.7．已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________．解析：由x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0得(x ＋1)2＋(y －2)2＝9， 所以圆C 的圆心坐标为C (－1,2)，半径为3，由AC ⊥BC ，可知△ABC 是直角边长为3的等腰直角三角形，故可得圆心C 到直线x －y ＋a ＝0的距离为322，由点到直线的距离公式可得|－1－2＋a |2＝322，解得a ＝0或a ＝6. 答案：0或68．(2018·衡水周测)若点P 在圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝1上，点Q 在圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4上，则|P Q |的最小值是________．解析：因为圆C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝1的圆心坐标为C 1(2,2)，半径r 1＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4的圆心坐标为C 2(－2，－1)，半径r 2＝2，则|C 1C 2|＝5＞2＋1，所以两圆的位置关系是相离．又点P 在圆C 1上，点Q 在圆C 2上，则|P Q |的最小值是|C 1C 2|－(r 1＋r 2)＝5－3＝2.答案：29．已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝12. (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长．解：(1)证明：因为不论k 为何实数，直线l 总过定点P (0,1)，而|PC |＝5＜23，所以点P (0,1)在圆C 的内部．所以不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点．(2)由平面几何知识知过圆内定点P (0,1)的弦，只有与PC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点P (0,1)为弦AB 的中点，由勾股定理，知|AB |＝212－5＝27，即直线l 被圆C 截得的最短弦长为27.10．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处，求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程．解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心为C (－1,2)，半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝1，C 到l 的距离d ＝2＝r ，满足条件．当l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0， 则|－k －2＋3－k |k 2＋1＝2，解得k ＝－34. ∴切线l 的方程为y －3＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －15＝0.综上，满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4，|PO |2＝x 2＋y 2，∵|PM |＝|PO |， ∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2，整理得2x －4y ＋1＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0 和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( ) A ．1B ．3 C.19 D.49 解析：选A x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0，化为标准形式为(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0，化为标准形式为x 2＋(y －2b )2＝1.依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2＋(2b )2＝1＋2＝3，即a 2＋4b 2＝9，所以1a 2＋1b 2＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋4b 29＝19⎝⎛⎭⎫5＋a 2b 2＋4b 2a 2 ≥19⎝⎛⎭⎫5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1， 当且仅当a 2b 2＝4b 2a2，即a ＝±2b 时取等号， 故1a 2＋1b2的最小值为1. 2．(2018·宁波十校联考)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍去)． 所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB 成立．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k (x －1)得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0， 所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1. 若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t ＝0⇒k (x 1－1)x 1－t ＋k (x 2－1)x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒2(k 2－4)k 2＋1－2k 2(t ＋1)k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，能使得∠ANM ＝∠BNM 总成立．故当点N 为(4,0)时，使得x 轴平分∠ANB .命题点一 直线的方程、两条直线的位置关系1．(2013·天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2,2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2. 2．(2018·北京高考)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 由题知点P (cos θ，sin θ)是单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．又直线x －my －2＝0恒过点(2,0)，所以当m 变化时，圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离21＋m 2的最大值为2，所以点P 到直线x －my －2＝0的距离的最大值为3，即d 的最大值为3. 3．(2016·上海高考)已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离为________． 解析：因为l 1∥l 2，所以两直线的距离d ＝|－1－1|5＝255. 答案：255 命题点二 圆的方程、直线与圆的位置关系1．(2015·北京高考)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2解析：选D 圆的半径r ＝(1－0)2＋(1－0)2＝2，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43解析：选B ∵A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，∴AB ＝BC ＝AC ＝2，△ABC 为等边三角形，故△ABC 的外接圆圆心是△ABC 的中心，又等边△ABC 的高为3，故中心为⎝⎛⎭⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝⎛⎭⎫2332＝213. 3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析：如图所示，∵直线AB 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，∴∠BPD ＝30°， 从而∠BDP ＝60°.在Rt △BOD 中，∵|OB |＝23，∴|OD |＝2.取AB 的中点H ，连接OH ，则OH ⊥AB ，∴OH 为直角梯形ABDC 的中位线，∴|OC |＝|OD |，∴|CD |＝2|OD |＝2×2＝4.答案：44．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的橫坐标为________．解析：法一：设A (a,2a )，则a ＞0.又B (5,0)，故以AB 为直径的圆的方程为(x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0.由题意知C ⎝⎛⎭⎫a ＋52，a .由⎩⎪⎨⎪⎧ (x －5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，y ＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2a .∴D (1,2)． 又AB ―→·CD ―→＝0，AB ―→＝(5－a ，－2a )，CD ―→＝⎝⎛⎭⎫1－a ＋52，2－a ， ∴(5－a ，－2a )·⎝⎛⎭⎫1－a ＋52，2－a ＝52a 2－5a －152＝0，解得a ＝3或a ＝－1. 又∵a ＞0，∴a ＝3.法二：如图，∵AB 为圆C 的直径，∴AD ⊥BD ，∴BD 为B 到直线l 的距离，且BD ＝105＝2 5. ∵CD ＝AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴AB ＝2BD ＝210，设A (a,2a )，a ＞0，则AB ＝(5－a )2＋4a 2＝210，解得a ＝－1或a ＝3.又∵a ＞0，∴a ＝3.答案：35．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．解析：圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，因为|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a ，即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝⎛⎭⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.答案：4π6．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA ―→·PB ―→≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．解析：设P (x ，y )，则PA ―→·PB ―→＝(－12－x ，－y )·(－x ，6－y )＝x (x ＋12)＋y (y －6)≤20.又x 2＋y 2＝50，所以2x －y ＋5≤0，所以点P 在直线2x －y ＋5＝0的上方(包括直线上)．又点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋5，x 2＋y 2＝50， 解得x ＝－5或x ＝1，结合图象，可得－52≤x ≤1，故点P 的横坐标的取值范围是[－52，1]．答案：[－52，1]7．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0＜m ＜4，r ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋4＝r 2，(4－m )2＝r 2，解得⎩⎨⎧ m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2548．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.解析：由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12， 解得m ＝－33. 又直线l 的斜率为－m ＝33，所以直线l 的倾斜角α＝π6.π6.在画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝Rt △CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos π6 ＝23×23＝4. 答案：4 9．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解：(1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4. 又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上． (2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4.故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP ―→·BP ―→＝0，故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12. 当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10. 当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝⎛⎭⎫94，－12，圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝⎛⎭⎫x －942＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝8516. 10．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)，当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2. 联立⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧ x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。
高考数学一轮复习 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系限
限时集训(四十九) 直线与圆、圆与圆的位置关系(限时：50分钟满分：106分)一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分)1．圆(x－1)2＋(y＋3)2＝1的切线方程中有一个是( )A．x－y＝0 B．x＋y＝0C．x＝0 D．y＝02．(2012·清远质检)已知直线l：y＝k(x－1)－3与圆x2＋y2＝1相切，则直线l的倾斜角为( )A.π6B.π2C.2π3D.56π3．(2012·陕西高考)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( ) A．l与C相交 B．l与C相切C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能4．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，那么直线l与圆O的位置关系是( )A．相离 B．相切C．相交 D．不确定5．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )A．3 3 B．2 3C. 3 D．16．过点(1,1)的直线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )A．2 3 B．4C．2 5 D．57．(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝08．(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n的取值范围是( )A ．[1－3，1＋ 3 ]B ．(－∞，1－ 3 ]∪[1＋3，＋∞)C ．[2－22，2＋2 2 ]D ．(－∞，2－2 2 ]∪[2＋22，＋∞)二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分)9．直线l ：x ＝my ＋2与圆M ：x 2＋2x ＋y 2＋2y ＝0相切，则m 的值为________． 10．(2013·朝阳模拟)设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．11．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为________．12．直线2x －y ＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝9交于A 、B 两点，则△ABC 的面积为________．13．(2012·江西高考)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．14．(2012·天津高考)设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．三、解答题(本大题共3个小题，每小题14分，共42分)15．已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，求圆C 的方程．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA u u u r ＋OB uuu r 与PQ uuu r 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．17．(2013·揭阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆C 与直线y ＝x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程；(2)试探求C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．答 案[限时集训(四十九)]1．C 2.D 3.A 4.A 5.B 6.B 7.A 8.D9．解析：由题意可知，圆M ：x 2＋2x ＋y 2＋2y ＝0的圆心(－1，－1)到直线l ：x ＝my ＋2的距离为圆的半径2，由点到直线的距离公式可知m ＝1或m ＝－7.答案：1或－710．解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x －my －1＝0的距离d ＝4－3＝1，即|1－2m －1|1＋m2＝1，解得m ＝±33. 答案：±3311.解析：如图，在Rt △PAB 中，要使切线PB 最小，只需圆心与直线y ＝x ＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP |min ＝42＝22，故|BP |min ＝222－12＝7.答案：712．解析：由题意知圆C 的圆心坐标为(2，－1)．圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|4－－1|22＋－12＝5，所以直线被圆截得的弦长|AB |＝29－5＝4，所以△ABC 的面积为S＝12|AB |·d ＝ 12×4×5＝2 5. 答案：2 513．解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有OP ＝2OM ＝2.由两点间的距离公式得OP ＝ x 20＋－x 0＋222＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．答案：(2，2)14．解析：由直线与圆相交所得弦长为2，知圆心到直线的距离为3，即1m 2＋n 2＝3，所以m 2＋n 2＝13≥2|mn |，所以|mn |≤16，又A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，所以△AOB 的面积为12|mn |≥3，最小值为3.答案：315．解：设点P 关于直线y ＝x ＋1的对称点为C (m ，n )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧1＋n 2＝－2＋m2＋1，n －1m ＋2·1＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0，n ＝－1.故圆心C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离d ＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C 的半径的平方r 2＝d 2＋|AB |24＝18.故圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.16．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝ 42(－8k 2－6k )>0， 解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则OA u u u r ＋OB uuu r＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4k －31＋k2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ uuu r＝(6，－2)，所以OA u u u r ＋OB uuu r 与PQ uuu r共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 17．解：(1)设圆心为C (a ，b )，由OC 与直线y ＝x 垂直，知O ，C 两点的斜率k OC ＝ba＝－1，故b ＝－a ，则|OC |＝22， 即a 2＋b 2＝22，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，结合点C (a ，b )位于第二象限知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝2.故圆C 的方程为 (x ＋2)2＋(y －2)2＝8.(2)假设存在Q (m ，n )符合题意，则⎩⎪⎨⎪⎧m －42＋n 2＝42，m 2＋n 2≠0，m ＋22＋n －22＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝45，n ＝125.故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，125符合题意．。
2020年高考数学一轮复习第七章解析几何第4讲直线与圆的位置关系课件理
【规律方法】(1)判断圆与圆的位置关系利用圆心距与两圆 半径之间的关系；(2)两圆相切包括内切和外切，两圆相离包括 外离和内含.
考点 3 直线与圆的综合应用 例 5：已知圆 C： x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝ 0 相交于 P，Q 两点，若 OP⊥OQ，求 m 的值. 思维点拨：本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关 系、根与系数的关系等知识. 解：方法一，圆的圆心为 C－12，3， 设直线与圆的交点为 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则xx＋2＋2yy2－＋3x＝－06.y＋m＝0，
【互动探究】
1.(2018年广东深圳模拟)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1
外，则直线 ax＋by＝1 与圆 O 的位置关系是( B )
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
解析：因为 M(a，b)在圆 O：x2＋y2＝1 外，所以 a2＋b2>1，
而圆心 O 到直线 ax＋by＝1 的距离 d＝|a·0＋a2b＋·0b－2 1|＝
1 a2＋b2<1
＝r.则直线与圆的位置关系是相交.故选 B.
考向 2 切线问题 例 2：过点 A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1 的切线 l，求 切线 l 的方程. 解：∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴点 A 在圆外. 方法一，当直线 l 的斜率不存在时， 直线 l 的方程是 x＝－1， 不满足题意. 设切线 l 的斜率为 k，则方程为 y－4＝k(x＋1).
4.(2015 年重庆)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则 该圆在点 P 处的切线方程为__x＋__2_y_－__5_＝__0__.
解析：由点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方 程为x2＋y2＝5，所以该圆在点P处的切线方程为1×x＋2×y ＝5，即 x＋2y－5＝0.
2020高考数学理科大一轮复习导学案《直线与圆、圆与圆的位置关系》含答案
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系知识点一直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.方法位置关系几何法代数法相交d<r Δ>0相切d＝r Δ＝0相离d>r Δ<01．已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为(D)A．±3 B．±3 3C．±32D．±1解析：将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.2．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝2 2.解析：由题意知圆的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径为2，则圆心到直线y＝x＋1的距离d＝|－1－1|2＝2，所以|AB|＝222－(2)2＝2 2.3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围为[－3,1]．解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.知识点二圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).4．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( B ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离解析：两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋12＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．5．圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为2 2.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得两圆公共弦所在直线为x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以所求弦长为2 2.1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．考向一 直线和圆的位置关系【例1】 (1)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定(2)(2019·湖南湘中名校联考)已知m >0，n >0，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．【解析】 (1)法1：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交．法2：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．法3：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．(2)因为m >0，n >0，直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，所以圆心C (1,1)到直线的距离为半径1，所以|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，即|m ＋n |＝(m ＋1)2＋(n ＋1)2.两边平方并整理得mn ＝m ＋n ＋1.由基本不等式mn ≤⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22可得m ＋n ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0， 解得m ＋n ≥2＋2 2. 当且仅当m ＝n 时等号成立． 【答案】 (1)A (2)[2＋22，＋∞)判断直线与圆的位置关系一般有两种方法(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系．由于本例(1)的直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，故可先判断该点与圆的位置关系，如果点在圆内，则一定相交；否则再利用常规方法求解．(1)圆x2＋y2－4y＋3＝0与直线kx－y＋1＝0的位置关系是(B)A．相离B．相交或相切C．相交D．相交、相切或相离(2)已知k∈R，点P(a，b)是直线x＋y＝2k与圆x2＋y2＝k2－2k＋3的公共点，则ab的最大值为(B)A．15 B．9C．1 D．－5 3解析：(1)因为直线kx－y＋1＝0过定点(0,1)，且(0,1)满足方程x2＋y2－4y＋3＝0，即点(0,1)在圆上，故直线与圆的位置关系为相交或相切．(2)由题意得，原点到直线x ＋y ＝2k 的距离d ＝|－2k |2≤k 2－2k ＋3，且k 2－2k ＋3>0，解得－3≤k <1，因为2ab ＝(a ＋b )2－(a 2＋b 2)＝4k 2－(k 2－2k ＋3)＝3k 2＋2k －3，所以当k ＝－3时，ab 取得最大值9.故选B.考向二 圆与圆的位置关系【例2】 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋y 2＋6x －8y ＋16＝0，则圆C 1和圆C 2的位置关系是( )A ．相离B ．外切C ．相交D ．内切(2)已知经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的两个圆C 1，C 2都与直线l 1：y ＝12x ，l 2：y ＝2x相切，则这两圆的圆心距C 1C 2等于________．【解析】 (1)圆C 2的方程化为(x ＋3)2＋(y －4)2＝9，圆C 1，C 2的半径分别为r 1＝2，r 2＝3，则圆C 1与C 2的圆心距为32＋42＝5＝r 1＋r 2，所以圆C 1和圆C 2外切，故选B.(2)设圆心C 1(a ，b )，C 2(c ，d )，则|a －2b |5＝|2a －b |5，所以a 2＝b 2.因为圆C 1过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以a ＝b >0，同理c ＝d >0.由|a －2b |5＝(a －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －322，得9a 2－25a ＋654＝0，同理9c 2－25c ＋654＝0，即a ，c 为方程9x 2－25x ＋654＝0的两个根，因此|C 1C 2|＝2|a －c |＝2(a ＋c )2－4ac ＝459.【答案】 (1)B (2)459(1)处理两圆的位置关系时多用圆心距与半径的和或差的关系判断，一般不采用代数法.(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到.(1)圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为(C)A．2 B．－5C．2或－5 D．不确定(2)圆C1：x2＋y2－4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦长为(A)A．2 B. 3C．3 D．4解析：(1)由题知C1(m，－2)，C2(－1，m)，圆C1的半径r1＝3，圆C2的半径r 2＝2.因为两圆外切，所以两圆心间的距离d ＝(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2，即m 2＋3m －10＝0，解得m ＝2或m ＝－5.(2)两圆联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＋1＝0，x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，解得x －y ＝0.圆C 1可写成(x －2)2＋y 2＝3，故C 1(2,0)，半径为3，圆心(2,0)到直线x －y ＝0的距离为d ＝|2|12＋12＝2，故公共弦长为2(3)2－(2)2＝2. 考向三 直线、圆的综合问题 方向1 弦长问题【例3】 (2019·陕西西安模拟考试)直线y －1＝k (x －3)被圆(x －2)2＋(y －2)2＝4所截得的最短弦长等于( )A. 3 B ．2 3 C ．2 2D. 5【解析】 圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的圆心C (2,2)，半径为2，直线y －1＝k (x －3)，∴此直线恒过定点(3,1)，当圆被直线截得的弦最短时，圆心C (2,2)与定点P (3,1)的连线垂直于弦，弦心距为(2－3)2＋(2－1)2＝2，∴所截得的最短弦长222－(2)2＝22，故选C.【答案】 C 方向2 切线问题【例4】 在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上．若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，则切线的方程为________．【解析】 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y ＝2x －4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.所以圆心C (3,2)．设切线方程为y ＝kx ＋3，可得圆心到切线的距离d ＝r ， 即|3k ＋3－2|1＋k 2＝1， 解得k ＝0或k ＝－34.故所求的切线方程为y ＝3或y ＝－34x ＋3. 【答案】 y ＝3或y ＝－34x ＋3 方向3 两圆相交问题【例5】 (2019·湖北四地七校联考)若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x ＋m )2＋y 2＝20相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是( )A ．3B ．4C ．2 3D ．8【解析】 连接O 1A 、O 2A ，由于⊙O 1与⊙O 2在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以O 1O 22＝O 1A 2＋O 2A 2，即m 2＝5＋20＝25，设AB交x 轴于点C .在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝55，∴在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝25×55＝2，∴AB＝2AC＝4.故选B.【答案】 B直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(3)处理圆与圆的问题多用几何法．1．(方向1)(2019·安徽合肥一模)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( B )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝1－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1＋3， ∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0即(x －1)2＋(y －1)2＝4，∴圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，易知圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，∴(k ＋2)2k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.故选B.2．(方向2)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：点A (－2，－3)关于y 轴的对称点为A (2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0，∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得24k 2＋50k ＋24＝0，解得k ＝－43或－34. 3．(方向3)(2019·广东佛山顺德调研)已知圆O 1的方程为x 2＋y 2＝1，圆O 2的方程为(x ＋a )2＋y 2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a 的所有取值构成的集合是( A )A ．{1，－1,3，－3}B ．{5，－5,3，－3}C ．{1，－1}D ．{3，－3}解析：两圆的圆心距d ＝r 1＋r 2＝3或d ＝|r 1－r 2|＝1，∴|a |＝1或|a |＝3，∴a ＝±1或a ＝±3，故选A.高考中与圆交汇问题赏析由于圆是基本图形，在高考试题中，常与集合、向量、函数、不等式、圆锥曲线等知识综合在一起，考查圆的方程以及直线与圆的位置关系等，难度不大，但综合性较强，需要有扎实的基本功才能顺利完成．典例 (2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．【解题思路】 (1)先写出直线l 的方程，并设出两个交点的坐标，再将直线方程与抛物线方程联立，并利用根与系数的关系与抛物线的定义建立关于斜率k 的方程，解方程即可求解；(2)先由(1)求得AB 的中点坐标，并求出AB 的垂直平分线，然后设出圆心坐标，并根据圆心在线段AB 的垂直平分线上与勾股定理建立方程组，解方程组可得圆心坐标，进而可得圆的方程．【解】 (1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k 2.由题设知4k 2＋4k 2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧ y 0＝－x 0＋5，(x 0＋1)2＝(y 0－x 0＋1)22＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. 阅卷说明 本例是课本“抛物线”一节例4的延伸题，原题是“斜率为1的直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 长．”本例与课本题相比，背景相同，把“AB 的长为8”变为条件为“|AB |＝8”，把“斜率为1的直线”变为“求直线l 的方程”，并添加了“过AB 且与C 的准线相切”．可见高考题是源于课本又高于课本．(2019·广州市调研测试)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线C 上存在一点E (2，t )到焦点F 的距离等于3.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点K (－1,0)的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点(A ，B 两点在x 轴上方)，点A 关于x 轴的对称点为D ，且F A ⊥FB ，求△ABD 的外接圆的方程．解：(1)抛物线的准线方程为x ＝－p 2，所以点E (2，t )到焦点F 的距离为2＋p 2＝3，解得p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线l 的方程为x ＝my －1(m >0)．将x ＝my －1代入y 2＝4x 并整理得y 2－4my ＋4＝0，由Δ＝(－4m )2－16>0，解得m >1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则D (x 1，－y 1)，y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，所以F A →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝(1＋m 2)y 1y 2－2m (y 1＋y 2)＋4＝8－4m 2，因为F A ⊥FB ，所以F A →·FB →＝0，即8－4m 2＝0，结合m >0，解得m ＝ 2.所以直线l 的方程为x －2y ＋1＝0.设AB 的中点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22＝2m ＝22，x 0＝my 0－1＝3，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －22＝－2(x －3)． 因为线段AD 的垂直平分线方程为y ＝0，所以△ABD 的外接圆圆心坐标为(5,0)．因为圆心(5,0)到直线l 的距离d ＝23，且|AB |＝1＋m 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝43，所以圆的半径r ＝d 2＋(|AB |2)2＝2 6. 所以△ABD 的外接圆的方程为(x －5)2＋y 2＝24.。
2020新课标高考艺术生数学复习：直线与圆、圆与圆的位置关系含解析
教课资料范本2020新课标高考艺术生数学复习：直线与圆、圆与圆的地点关系含分析编辑： __________________时间： __________________第 4节直线与圆、圆与圆的地点关系最新考纲中心修养考情聚焦本部分作为 2020年高考的1.直线与圆的地点关系判断要点内容、主要波及直线1.能依据给定直线、圆的方与圆的地点关系、弦长问、完成数学建模和数学抽象程判断直线与圆的地点关系题、最值问题等．常与椭的修养．；能依据给定两个圆的方程圆、双曲线、抛物线交汇2.直线与圆订交、相切问题判断两圆的地点关系．考察、有时也与对称性等的研究、加强数学抽象、逻2.能用直线和圆的方程解决性质联合考察．题型以选辑推理和数学运算的修养．一些简单的问题．择题、填空题为主、有时3.圆与圆的地点关系的判断3.初步认识用代数方法办理也以解答题形式出现、一、加强数学抽象、逻辑推理几何问题的思想般难度不会太大、属中低和数学运算的修养档题型、解答时要正确利用图形及性质、合理转变1．直线与圆的地点关系设圆 C： (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r 2、直线 l： Ax＋ By＋ C＝ 0、圆心 C( a、 b)到直线 l的距离为 d、x－ a 2＋ y－ b 2＝ r 2，消去 y(或x)、获得对于 x( 或y) 的一元二次方程、其鉴别式为.由Ax＋By＋ C＝ 02.圆与圆的地点关系设两个圆的半径分别为R、 r 、 R＞ r、圆心距为 d、则两圆的地点关系可用下表来表示：方法地点关系几何法代数法订交d<r>0相切d＝ r＝0相离d>r<0地点关系相离外切订交内切内含几何特点d＞ R d＝ R＋ R－ r ＜ dd＝ R－ rd＜R ＋ r r＜ R＋ r－ r代数特点无实一组实两组实一组实无实数解数解数解数解数解公切线条43210数1.直线被圆截得弦长的求法(1)几何法：利用弦心距 d、弦长一半1 2l及圆的半径 r所构成的直角三角形来求、即12. r 2＝d2＋ l2(2)代数法：利用根与系数的关系来求、即|AB|＝1＋ k2·|x A－ x B|＝2A B 2－ 4xA B1＋ k[ x＋ x x ].2．两圆订交时公共弦的方程设圆 C1： x2＋ y2＋ D1x＋ E1y＋ F1＝ 0、①圆C2： x2＋ y2＋ D2 x＋E2y＋ F 2＝ 0、②若两圆订交、则有一条公共弦、其公共弦所在直线方程由①－②所得、即： (D 1－ D2) x＋ ( E1－ E2)y＋ (F1－ F2 )＝ 0.3．两圆不一样的地点关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时、有4条公切线；(2)两圆外切时、有3条公切线；(3)两圆订交时、有2条公切线；(4)两圆内切时、有1条公切线；(5)两圆内含时、没有公切线．[思虑辨析 ]判断以下说法能否正确、正确的在它后边的括号里打“√”、错误的打“×”．(1)“ k＝ 1”是“直线 x－ y＋ k＝ 0与圆 x2＋ y2＝ 1订交”的必需不充足条件．()(2)假如两个圆的方程构成的方程组只有一组实数解、则两圆外切．()(3)假如两圆的圆心距小于两圆的半径之和、则两圆订交．()(4)从两订交圆的方程中消掉二次项后获得的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．()(5)过圆 O： x2＋ y2＝ r2上一点 P(x0、y0)的圆的切线方程是 x0x＋ y0y＝ r2.()(6)圆 C1：x2＋y2＋2x＋ 2y－ 2＝ 0与圆 C2： x2＋ y2－ 4x－ 2y＋1＝ 0的公切线有且仅有2条． ( )分析： (1) “ k＝ 1”是“直线 x－ y＋ k＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ 1 订交”的充足不用要条件．(2)除外切外、还有可能内切．(3)两圆还可能内切或内含．答案： (1) × (2)× (3)× (4) √ (5)√(6)√[小题检验 ]1．(20xx ××·市调研 )若直线 x－y＋ 1＝ 0与圆 (x－ a)2＋ y2＝ 2有公共点、则实数 a的取值范围是 () A．[－ 3、－ 1]B． [－ 1,3]C． [－ 3,1]D． (－∞、－ 3]∪ [1、＋∞ )分析： C [ 由题意可得、圆的圆心为(a,0)、半径为2、∴|a－0＋1|≤ 2、即 |a＋ 1|≤ 2、解得－ 3≤ a≤1.] 12＋－1 22．一条光芒从点(－ 2、－ 3)射出、经 y轴反射后与圆(x＋ 3)2＋ (y－ 2)2＝ 1相切、则反射光线所在直线的斜率为()A ．－5或－ 3B．－3或－23523C．－5或－ 4D．－4或－ 34534分析： D[ ∵ A(－ 2、－ 3)对于 y 轴的对称点 A′ (2、－ 3)在反射光芒上、圆心 (－ 3,2)．设反射光芒的斜率为k、则其方程为y＋ 3＝k(x－2)、即 kx－y－2k－ 3＝ 0、∵d＝|－3k－2－2k－3|、由 d＝ r、得 k＝－4或 k＝－3.] 34k2＋13．圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋ y2－4x－ 2y＋ 1＝0的公切线有且仅有 () A．1条B． 2条C． 3条D． 4条分析： B[ ⊙ C1： (x＋ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 4、圆心 C1(－ 1、－ 1)、半径 r1＝ 2.⊙ C2： (x－ 2)2＋ ( y－ 1)2＝ 4、圆心C2(2,1)、半径r 2＝ 2.∴ |C1C2|＝13、∴ |r 1－ r 2|＝ 0 ＜|C C|＜ r ＋ r ＝ 4、∴两圆订交、有两条公切线．]12124．(人教A版教材必修2P133A组第9题改编 )圆 x2＋ y2－ 4＝ 0与圆 x2＋ y2－ 4x＋ 4y－ 12＝0的公共弦所在的直线方程为_________________ _____．x2＋ y2－ 4＝ 0，分析：由得4x－4y＋8＝0、即x－y＋2＝0.x2＋ y2－ 4x＋ 4y－ 12＝ 0答案： x－ y＋ 2＝ 05．(20xx ·高考全国卷Ⅰ)直线 y＝ x＋ 1与圆 x2＋ y2＋ 2y－3＝ 0交于 A、 B两点、则 |AB|＝________.分析：圆的方程可化为x2＋ (y＋ 1)2＝ 4、∴圆心为 (0、－ 1)、半径 r＝ 2、圆心到直线x－y4/132＋ 1＝ 0 的距离 d＝＝2、∴ |AB |＝ 2 22－ d2＝ 2 4－2＝ 2 2.答案：22考点一直线与圆的地点关系(自主练透 )[ 题组集训 ]1．(20xx ·豫南九校联考 )直线 l： mx－ y＋ 1－m＝0与圆 C： x2＋ (y－ 1)2＝ 5的地点关系是()A ．订交B．相切C．相离D．不确立mx－ y＋ 1－ m＝ 0，分析： A [ 法一：由消去 y、整理得 (1＋m2)x2－ 2m2x＋m2－ 5＝0、x2＋ y－1 2＝ 5，则＝4m4－ 4(1＋m2)( m2－ 5)＝ 16m2＋ 20>0、因此直线l 与圆 C 订交．应选 A.法二：因为圆心(0,1)到直线 l 的距离 d＝|m|<1< 5、故直线 l 与圆订交、选 A. m2＋ 1法三：直线 l： mx－ y＋ 1－ m＝0 过定点 (1,1)、因为点 (1,1)在圆 C： x2＋ (y－ 1)2＝ 5 的内部、因此直线 l 与圆 C 订交．应选 A.]2．“ a＝ 3”是“直线 y＝ x＋ 4与圆 ( x－a)2＋ (y－ 3)2＝8相切”的 ()A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析： A[ 若直线 y＝ x＋4 与圆 (x－ a)2＋ (y－ 3)2＝8相切、则有|a－3＋4|＝ 2 2、即 |a＋ 1| 2＝ 4、因此 a＝ 3 或－ 5.但当 a＝ 3 时、直线 y＝ x＋ 4 与圆 (x－ a)2＋ (x－ 3)2＝ 8必定相切、故“a＝ 3”是“ 直线 y＝x＋ 4 与圆 (x－ a)2＋ (y－ 3)2＝ 8 相切”的充足不用要条件．] 3．圆 x2＋ y2＝ 1与直线 y＝ kx＋ 2没有公共点的充要条件是________________________________________________________________________ ．分析：法一：将直线方程代入圆方程、得(k2＋ 1)x2＋ 4kx＋ 3＝ 0、直线与圆没有公共点的充要条件是＝ 16k2－ 12(k2＋ 1)＜ 0、解得－3＜ k＜ 3.法二：圆心 (0,0)到直线 y＝ kx＋ 2 的距离 d＝2、直线与圆没有公共点的充要条件是k2＋ 1d＞ 1、即2＞ 1、解得－ 3＜ k＜ 3.k2＋ 1答案：－3＜ k＜3判断直线与圆的地点关系时、若双方程已知或圆心到直线的距离易表达、则用几何法；若方程中含有参数、或圆心到直线的距离的表达较繁琐、则用代数法．能用几何法、尽量不用代数法．考点二直线与圆订交、相切问题(多维研究 )[命题角度1]求弦长或由弦长求直线(圆) 的方程1．(经典高考 )过三点 A(1,3)、 B(4,2)、 C(1、－ 7) 的圆交 y轴于 M、 N两点、则 |MN|＝ () A．2 6B．8C．4 6D． 10分析： C [ 设圆的方程为x2＋ y2＋ Dx＋ Ey＋ F＝ 0、将点 A、 B、 C代入、D ＋3E＋ F＋ 10＝ 0， D ＝－ 2，得 4D＋ 2E＋ F＋ 20＝ 0，解得E＝ 4，D － 7E＋ F＋ 50＝ 0，F＝－ 20.则圆的方程为 x2＋y2－2x＋ 4y－ 20＝ 0.令x＝0、得 y2＋ 4y－ 20＝ 0、设 M(0、 y1) 、N(0、 y2)、则y1、 y2是方程 y2＋ 4y－ 20＝ 0的两根、由根与系数的关系、得 y1＋ y2＝－ 4、 y1y2＝－ 20、故|MN |＝ |y1－ y2 |＝y1＋ y22－ 4y1y2＝16＋80＝ 4 6.应选 C.]弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组、消元后获得一个一元二次方程．在鉴别式＞ 0 的前提下、利用根与系数的关系、依据弦长公式求弦长．(2)几何方法：若弦心距为d、圆的半径长为r、则弦长l ＝ 2r2－ d2.[提示 ]代数法计算量较大、我们一般采纳几何法．[命题角度2]由弦长求参数取值(范围 )2．(20xx ·××市一模 )已知直线 x－ y＋m＝ 0与圆 x2＋ y2＝ 4交于不一样的两点A、 B、 O是坐标原点．若圆周上存在一点 C、使得△ ABC为等边三角形、则实数m的值为 ________．分析：依据题意画出图形、连结OA、 OB、作 OD 垂直于 AB 于 D 点．因为△ ABC 为等边三角形、因此∠AOB ＝ 120°.由余弦定理得 |AB |＝2 3、∴|BD |＝ 3、 |OD |＝ 1、∴O(0,0)到直线 AB 的距离|m|＝ 1、解得 m＝± 2.2答案：±2解决与弦长相关参数或取值范围问题、一般是找到与弦长公式l ＝ 2 r2－ d2相关的方程或不等式、解方程或不等式即可．[命题角度3] 求切线方程 ( 切线长 )3．已知点 A(1、 a)、圆 x2＋ y2＝ 4.若过点 A的圆的切线只有一条、则切线方程为_________ _____________ ．分析：因为过点 A 的圆的切线只有一条、则点 A 在圆上、故12＋ a2＝ 4、∴ a＝± 3.当 a＝ 3时、 A(1、3)、切线方程为x＋ 3y－ 4＝ 0；当 a＝－3时、 A(1、－ 3)、切线方程为 x－3y－ 4＝0、答案： x＋3y－ 4＝0或 x－3y－ 4＝ 04．(20xx ××·市模拟)已知直线 l： mx＋ y－ 1＝ 0(m∈R )是圆 C： x2＋ y2－ 4x＋ 2y＋ 1＝ 0的对称轴、过点A(－ 2、 m)作圆 C的一条切线、切点为B、则 | AB|为 ()A ． 4B．2 5C．4 2D． 3解析：A[∵圆 C： x2＋y2－4x＋ 2y＋ 1＝0、即 (x－ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4、表示以 C(2、－ 1)为圆心、半径等于2的圆．由题意可得、直线l ：mx＋ y－ 1＝ 0经过圆 C 的圆心 (2、－ 1)、故有 2m－ 1－ 1＝ 0、∴ m＝ 1、点 A(－2,1)．∵AC ＝20、 CB＝ R＝ 2、∴切线的长 |AB|＝ 20－ 4＝ 4.应选 A.]1．求过一点的圆的切线方程时、第一要判断此点与圆的地点关系、若点在圆内、无解；若点在圆上、有一解、利用点斜式直接求解；若点在圆外、有两解．设切线的点斜式方程、用待定系数法求解、注意、需考虑无斜率的状况．2．切线长问题、利用圆心到定点的距离、半径、切线长三者之间的勾股定理来解决．[命题角度4]圆的最值问题5．在平面直角坐标系xOy中、以点 (1,0) 为圆心且与直线mx－y－ 2m－ 1＝ 0(m∈R )相切的全部圆中、半径最大的圆的标准方程为________．解析：解法一：设 A(1,0)、由 mx－y－ 2m－ 1＝ 0、得 m(x－ 2)－ (y＋1)＝ 0、则直线过定点P(2、－ 1)、即该方程表示全部过定点P的直线系方程．当直线与 AP 垂直时、所求圆的半径最大． 此时、半径为 |AP |＝ 2－1 2＋ －1－ 0 2＝ 2. 故所求圆的标准方程为 (x － 1)2 ＋y 2＝2.解法二：设圆的半径为r 、依据直线与圆相切的关系得r ＝|m ＋ 1| ＝m2＋ 2m ＋ 11＋ m2 m2＋ 1＝1＋2m、m2＋ 1当m<0时、 1＋2m2m无最大值；m2＋1<1 、故 1＋m2＋ 1当m ＝ 0时、 r ＝ 1；当m>0时、 m 2＋1≥ 2m(当且仅当 m ＝ 1时取等号 )．因此 r ≤ 1＋ 1＝ 2、即 r max ＝ 2、故半径最大的圆的方程为 (x － 1)2＋ y 2＝ 2.答案： (x － 1)2＋ y 2＝ 2对于圆的最值问题、一般是依据条件列出对于所求目标的式子 —— 函数关系式、而后根据函数关系式的特点采纳参数法、配方法、鉴别式法等、应用不等式的性质求出最值．考点三 圆与圆的地点关系 (子母变式 )[ 母题 ]已知圆 C 1： (x － a)2＋ (y ＋ 2)2＝ 4与圆 C 2： (x ＋ b)2＋( y ＋2)2 ＝1相外切、则 ab 的最大值为 ()6 3 9A. 2B.2C.4D ．2 3[分析 ] C [由圆 C 1与圆 C 2 相外切、 可得a ＋b 2＋ － 2＋ 2 2＝ 2＋ 1＝ 3、即( a ＋b)2＝9、依据基本不等式可知ab ≤a ＋b2＝9、24当且仅当 a ＝b 时等号建立．应选 C.][子题 1] 本例条件中“外切”变成“内切”、则ab 的最大值为 ________．分析：由Ca ＋b 2＋ －2＋2 2＝1.1与 C 2内切得即( a ＋b)2＝1、又 ab ≤ a ＋ b 2＝ 1、当且仅当 a ＝ b 时241等号建立、故 ab 的最大值为 4. 答案：14[子题 2]本例条件“外切”变成“订交”、则公共弦所在的直线方程为________．分析：由题意得、把圆C1、圆 C2的方程都化为一般方程．圆C1： x2＋ y2－ 2ax＋ 4y＋a2＝0、①圆 C2： x2＋ y2＋ 2bx＋4y＋ b2＋ 3＝ 0、②由②－①得 (2a＋2b)x＋ 3＋ b2－ a2＝ 0、即(2a＋2b)x＋ 3＋ b2－ a2＝0 为所求公共弦所在直线方程．答案： (2a＋ 2b)x＋3＋ b2－ a2＝ 0[子题3]本例条件“外切”变成“若两圆有四条公切线”、则直线x＋ y－ 1＝0与圆 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ 1的地点关系是________．分析：由两圆存在四条切线、故两圆外离、a＋ b 2＋－2＋ 2 2>3.∴( a＋b)2>9.即 a＋ b>3 或 a＋ b<－3.又圆心 (a、 b)到直线 x＋ y－ 1＝0 的距离|a＋ b－ 1|d＝>1、2∴直线 x＋ y－1＝ 0 与圆 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ 1 相离．答案：相离1．办理两圆地点关系多用圆心距与半径和或差的关系判断、一般不采纳代数法．2．若两圆订交、则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差获得．提示：判断两圆地点关系经常用几何法、利用两圆构成的方程组解的个数、不可以判断内切与外切、外离与内含．[追踪训练 ]1．(20xx ·高考山东卷 )已知圆 M：x2＋ y2－2ay＝ 0(a＞ 0)截直线 x＋ y＝ 0所得线段的长度是 2 2 、则圆 M与圆 N： (x － 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1的地点关系是()A ．内切B．订交C．外切D．相离分析： B[ ∵圆 M∶ x2＋ (y－ a)2＝ a2、∴圆心坐标为M(0、 a)、半径 r1为 a、圆心 M 到直线 x＋ y＝ 0 的距离 d＝|a|、2|a|2＋(22、解得 a＝ 2.由几何知识得2) ＝ a2∴M (0,2)、 r1＝ 2.又圆 N 的圆心坐标N(1,1) 、半径 r 2＝ 1、∴|MN |＝ 1－ 0 2＋ 1－2 2＝ 2、 r 1＋ r 2＝ 3、 r1－ r2＝ 1.∴r 1－ r 2＜ |MN|＜ r 1＋r 2、∴两圆订交、应选 B.]2．若圆 x2＋ y2＝ 4与圆 x2＋ y2＋ 2ay－6＝ 0(a>0) 的公共弦的长为 2 3、则 a＝ ________.分析：两圆的方程相减、得公共弦所在的直线方程为(x2＋ y2＋ 2ay－6)－ (x2＋y2)－ 4＝0?y＝1、又 a>0、联合图形、利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形、可知1 a a＝22－ 3 2＝1? a＝ 1.答案： 11．(20xx ·××市一模 )已知直线 x＋ ay＋ 2＝ 0与圆 x2＋ y2＋ 2x－ 2y＋ 1＝ 0有公共点、则实数a的取值范围是()A ． a＞ 0B． a≥ 0C． a≤ 0D． a＜ 0分析： C [圆 x2＋ y2＋ 2x－ 2y＋ 1＝ 0、即 (x＋ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1的圆心 ( －1,1)、半径为 1、∵直线 x＋ ay＋ 2＝ 0与圆 x2＋ y2＋ 2x－ 2y＋ 1＝ 0有公共点、∴|－1＋a＋2|≤ 1、∴ a≤ 0、应选C.] 1＋ a22．(20xx ××·市模拟) 已知圆 C： (x－1)2＋( y－ 4)2＝ 10和点 M(5、 t)、若圆 C上存在两点 A、B、使得 MA⊥MB、则实数 t的取值范围为 ()A ． [－ 2,6]B． [－ 3,5]C． [2,6]D． [3,5]分析： C[由题意、 |CM|≤10× 2、∴ (5－ 1)2＋ (t －4) 2≤20、∴ 2≤ t≤ 6、应选 C.]3．(20xx ××·市模拟 )直线 ax－y＋ 3＝ 0与圆 (x－ 1)2＋ (y－2)2＝4订交于 A、 B两点且 |AB|＝22、则 a＝()A ． 1B 3C． 2D． 3分析： A[ 圆的圆心为(1,2)、半径为 2、∵|AB |＝ 22、∴圆心到直线 AB的距离 d＝4－2＝ 2、即|a＋1|＝2、解得 a＝ 1.应选： A.] a2＋ 14．(20xx·高考全国卷Ⅲ)直线 x＋ y＋2＝ 0分别与 x轴、 y轴交于 A、B两点、点 P在圆 (x－ 2)2＋ y2＝ 2上、则△ABP面积的取值范围是 ()A ． [2,6]B． [4,8]C．[ 2、3 2]D．[2 2、3 2 ]分析： A[ ∵直线 x＋ y＋ 2＝ 0分别于 x轴、 y轴交于 A、 B两点、∴ A(－ 2,0)、 B(0、－ 2)、10/13∴|AB|＝ 2 2、∵点 P在圆 (x－ 2)2＋ y2＝ 2上、∴圆心为 (2,0)、设圆心到直线的距离为d、则d＝ |2＋ 0＋ 2|2＝ 2 2.故点 P到直线 x＋ y＋ 2＝0的距离 d′的范围是 [12、 3 2]、则 S△ABP＝ |AB |d′＝ 2d′∈2[2,6] ． ]5．(20xx ××·市模拟 )过点 P(1、－ 2)作圆 C： (x－ 1)2＋ y2＝ 1的两条切线、切点分别为A、B、则 AB所在直线的方程为()31A ． y＝－4B． y＝－231C． y＝－2D． y＝－4分析：B[圆 (x－ 1)2＋ y2＝ 1的圆心为 (1,0)、半径为 1、以 |PC|＝1－1 2＋－2－0 2＝ 2为直径的圆的方程为(x－ 1)2＋ (y＋ 1)2＝ 1、1将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝ 0、即 y＝－2. 应选 B.]6．(20xx ××·市质→→ →检 )直线 ax＋ by＋ c＝ 0与圆 C： x2－ 2x＋ y2＋ 4y＝0订交于 A、 B两点、且 |AB |＝15 、则 CA ·CB ＝ ________.分析：圆 C： x2－ 2x＋ y2＋ 4y＝ 0?(x－ 1)2＋ (y＋ 2)2＝ 5、如图、过 C 作 CD⊥AB 于 D、|AB|＝ 2|AD|＝ 2|AC| ·sin∠ CAD、∴15＝ 2× 5× sin ∠ CAD 、∴∠ CAD＝ 30°、→ →°∴∠ ACB ＝ 120°、则 CA ·CB ＝ 5× 5× cos 120＝－5 . 2答案：－5 27．点 P在圆 C1： x2＋ y2－ 8x－4y＋ 11＝ 0上、点 Q在圆 C2： x2＋ y2＋ 4x＋ 2y＋ 1＝ 0上、则 |P Q|的最小值是 ________．解析：11/13把圆 C1、圆 C2的方程都化成标准形式、得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 9、 (x＋ 2)2＋ (y＋ 1)2＝ 4.圆 C1的圆心坐标是 (4,2) 、半径长是 3；圆 C2的圆心坐标是 (－ 2、－ 1)、半径是 2.圆心距 d＝4＋2 2＋ 2＋1 2＝3 5.因此、 |PQ|的最小值是 3 5－ 5.答案： 3 5－58．已知圆 O： x2＋ y2＝ 8、点 A(2,0)、动点 M在圆上、则∠ OMA 的最大值为 ________．解析：设 |MA | ＝ a 、因为 |OM | ＝ 2 2 、 |OA| ＝ 2 、由余弦定理知 cos ∠ OMA ＝|OM|2 ＋ |MA|2 － |OA|2 2 2 2＋ a2－ 2214＋ a≥1·24·a＝2、当且仅当 a＝ 2 时等2|OM| ·|MA|＝＝·2× 22a42a42a2ππ号建立．因此∠ OMA ≤、即∠ OMA 的最大值为4.4答案：π49．已知点 M(3,1)、直线 ax－ y＋ 4＝ 0及圆 (x－ 1)2＋ (y－ 2)2＝ 4.(1)求过点 M的圆的切线方程；(2)若直线 ax－ y＋ 4＝0与圆相切、求 a的值；(3)若直线 ax－ y＋ 4＝0与圆订交于 A、 B两点、且弦 AB的长为23、求 a的值．解： (1) 由题意知圆心的坐标为(1,2)、半径 r ＝2、当过点 M 的直线的斜率不存在时、方程为x＝ 3.由圆心 (1,2) 到直线 x＝ 3 的距离 d＝ 3－ 1＝2＝ r 知、此时、直线与圆相切．当过点 M 的直线的斜率存在时、设方程为 y－ 1＝ k(x－ 3)、即 kx－ y＋ 1－ 3k＝0.由题意知 |k－ 2＋ 1－ 3k|＝2、解得k＝ 3.k2＋－ 1 243∴方程为y－ 1＝4(x－ 3)、即 3x－ 4y－ 5＝0.故过点 M 的圆的切线方程为x＝ 3 或 3x－ 4y－ 5＝ 0.|a－ 2＋ 4|＝ 2、解得 a＝ 04(2)由题意有或 a＝ .a2＋－123 (3)∵圆心到直线 ax－ y＋ 4＝ 0 的距离为|a＋ 2| 、a2＋ 1∴|a＋2|2＋2 32＝4、解得a＝－3. a2＋ 12410．过平面内 M点的光芒经 x轴反射后与圆C： x2＋ (y－ 2)2＝ 2相切于 A、 B两点．(1)若 M点的坐标为 (5,1)、求反射光芒所在直线的方程；(2)若 |AB|＝314、求动点 M的轨迹方程．4解： (1) 由光的反射原理知、反射光芒所在直线必过点(5、－ 1)、设反射光芒所在直线的12/13斜率为 k、则此直线方程能够设为y＋ 1＝ k(x－ 5)、即 kx－ y－ 5k－ 1＝0(*) ．又反射光芒与圆 C： x2＋( y－ 2)2＝2 相切、因此|－2－5k－1|＝ 2、解得 k＝－ 1 或－7、k2 ＋ 123代入 (*) 化简整理、得反射光芒所在直线的方程为x＋ y－ 4＝0 或 7x＋ 23y－ 12＝0.(2)设动点 M 的坐标为 (x、y)( y≥ 0)、则反射光芒所在直线必过点M 对于 x 轴的对称点Q(x、－ y)、设动弦 AB 的中点为 P、则|AP |＝3 14、故 |CP |＝2－3142 882＝8.由射影定理 |CP| |CQ· |＝ |AC|2、得 |CQ|＝2＝ 82 、即 x2＋－ y－ 2 2＝ 8 2、即 x2＋ (y＋282)2＝128(y≥ 0)．13/13。
2020版高考数学一轮复习(四十三)直线与圆、圆与圆的位置关系文(含解析)
课时跟踪检测（四十三) 直线与圆、圆与圆的位置关系一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．（2018·扬州期末）已知直线l ：x ＋错误!y －2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，则弦AB 的长为________．解析：圆心C (0，0)到直线l 的距离d ＝错误!＝1,所以AB ＝2错误!＝2错误!，故弦AB 的长为2错误!.答案：232．(2019·南京调研）在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y ＝0与圆（x －3）2＋（y －1）2＝25相交于A ,B 两点，则线段AB 的长为________．解析:圆(x －3)2＋(y －1）2＝25的圆心坐标为（3,1)，半径为5.∵圆心（3，1）到直线x ＋2y ＝0的距离d ＝|3＋2×1｜5＝错误!, ∴线段AB 的长为2错误!＝2错误!＝4错误!.答案:453．设圆（x －3)2＋(y ＋5）2＝r 2(r ＞0）上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2，则圆半径r 的取值范围为________．解析：∵圆(x －3)2＋（y ＋5）2＝r 2（r ＞0）的圆心坐标为（3，－5），半径为r ，∴圆心（3，－5）到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|12＋15－2|5＝5，∵圆(x －3)2＋（y ＋5）2＝r 2(r ＞0）上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于2，∴｜r －5｜＜2，解得3＜r ＜7。
答案：(3,7)4．（2018·苏锡常镇调研)若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x ＋1）2＋(y －2）2＝1，故圆心到直线的距离d ＝错误!≤1。
即|m －5|≤5,解得0≤m ≤10.答案：［0，10］5．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0的圆心为C ，点A ，B 在圆C 上,且AB ＝2错误!，则S △ABC ＝________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课后限时集训(四十六) 直线与圆、圆与圆的位置关系(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2019·唐山模拟)直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为( ) A．6 B．3C．6 2 D．32A[假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB.∵圆的半径r＝10，圆心到直线的距离d＝5－2＋42＝1，∴弦长|AB|＝2×r2－d2＝210－1＝2×3＝6.故选A.]2．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条B[易得C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4.圆心距d＝|C1C2|＝＋2＋＋2＝13.∵0＜d＜4，∴圆C1与C2相交，故两圆有2条公切线．] 3．圆C：x2＋y2－ax＋2＝0与直线l相切于点A(3,1)，则直线l的方程为( )A．2x－y－5＝0 B．x－2y－1＝0C．x－y－2＝0 D．x＋y－4＝0D[由已知条件可得32＋12－3a＋2＝0，解得a＝4，此时圆x2＋y2－4x＋2＝0的圆心为C(2,0)，半径为2，所以k AC＝1，则直线l的方程为y－1＝－x＋3，即x＋y－4＝0.] 4．(2019·湘东五校联考)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0 的距离等于2的点有( )A．1个B．2个C．3个D．4个B[圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝|3×3＋4×3－11|32＋42＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.]5．(2019·福州模拟)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB所在直线的方程为( )A．y＝－34B．y＝－12C．y＝－32D．y＝－14B[圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以|PC|＝－2＋－2－2＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]二、填空题6．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________．x －y －3＝0 [记题中圆的圆心为O ，则O (1,0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为x －y －3＝0.]7．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]8．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________．35－5 [把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4,2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2. 圆心距d ＝＋2＋＋2＝35＞5.故圆C 1与圆C 2相离，所以|PQ |的最小值是35－5.] 三、解答题9．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程． [解] (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则a －2＋－2a ＋2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C 点坐标为(1，－2)， 半径r ＝|AC |＝－2＋－2＋2＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34，则直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10．圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2,1)． (1)若圆O 1与圆O 2外切，求圆O 2的方程；(2)若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程．[解] (1)因为圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心O 1(0，－1)，半径r 1＝2. 设圆O 2的半径为r 2，由两圆外切知|O 1O 2|＝r 1＋r 2. 又|O 1O 2|＝－2＋＋2＝22，所以r 2＝|O 1O 2|－r 1＝22－2.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝12－8 2. (2)设圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 22， 又圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，相减得AB 所在的直线方程为4x ＋4y ＋r 22－8＝0. 设线段AB 的中点为H ，因为r 1＝2，所以|O 1H |＝r 21－|AH |2＝ 2. 又|O 1H |＝|4×0＋－＋r 22－8|42＋42＝|r 22－12|42， 所以|r 22－12|42＝2，解得r 22＝4或r 22＝20.所以圆O 2的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4或(x －2)2＋(y －1)2＝20.B 组 能力提升1．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径r ＝1.作出点(－2，－3)关于y 轴的对称点(2，－3)．由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点(2，－3)．设反射光线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y －(－3)＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切可得|k－－2－2k －3|1＋k2＝1，即|5k ＋5|＝1＋k 2，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，即(3k ＋4)(4k ＋3)＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.故选D.]2．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125B ．[0,1]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，125D.⎝⎛⎭⎪⎫0，125A [因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1，设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋a －2≤3.由a 2＋a －2≥1得5a 2－12a ＋8≥0，解得a ∈R；由a 2＋a －2≤3得5a 2－12a ≤0，解得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.故选A.]3．(2019·唐山模拟)已知直线l ：kx －y －k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －7＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为________．26 [kx －y －k ＋2＝0.化为y －2＝k (x －1)，直线过定点E (1,2)，又E (1,2)在圆x 2＋y 2－2y －7＝0内，所以，当E 是AB 中点时，|AB |最小，由x 2＋y 2－2y －7＝0得x 2＋(y －1)2＝8，圆心C (0,1)，半径22，|AB |＝28－|EC |2＝28－2＝2 6.]4．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题： (1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解] (1)不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2. 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22.由(1)可得x 1＋x 2＝－m ， 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。