2000年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2000年全国高中数学联赛试题及答案
2000年全国高中数学联赛试题一、 选择题1.设全集是实数，若{}{}2201010x x A B x −=≤==，，则B A 是（ ） (A){}2 (B){}1− (C){}2x x ≤ (D)∅2. 设sin 0,cos 0a a ><，且sin cos 33a a >，则3α的取值范围是（ ） (A)2,2,63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z (B)22,,3633k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z (C)52,2,6k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z (D)52,22,2,436k k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z3. 已知点A 为双曲线221x y −=的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ）(A)33(B)233 (C) (D)4. 给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p q ≠，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程220bx ax c −+=（ ）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根答案：D ．解：2≤得2x =，故{}2A =；由221010x x −=得220x x −−=，故{}12B =−，.所以A B =∅． 答案：D ． 解：由sin 0α>，cos 0α<得2,2,2k k k παπππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z 从而有22,,33633k k k αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z ………………① 又因为sin cos 33αα>，所以又有3α∈52,2,344k k k αππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭Z …………② 如上图所示，是①、②同时成立的公共部分为52,22,2,436k k k k k ππππππππ⎛⎫⎛⎫++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ． 答案：C ．解：如图所示，设BD t =，则1OD −，从而()1,B t t − 满足方程221x y −=，可以得到t 所以等边三角形，ΔABC 的面积是。
2000年全国高中数学联赛试卷及详细解析
2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 （ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅2． 设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是 （ ） (A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3． 已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ）(A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4． 给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 （ ）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301（ ） 6． 设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 （ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2000年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
5 1 a ， ∴ 2
AF
5 1 a ． 2
BF a ， 由
AB AO BO
2 2
2
2
2
5 3 2 2 2 2 a ．故有 AF AB BF |AF|2=|AB|2+|BF|2．即 ABF 90 0 . 2
2
本题也可以由 b a c
5 1 2 a ac ，解得． 2
2000 年全国高中数学联合竞赛试题 第 4 页 共 7 页
1 2
2
13 2b ． 最 小 值 为 2
a 0 矛盾．故舍．
⑶ 0 a b ．此时，最大值为 f ( a ) 2b ，最小值为 f (b) 2a ．
1 2 13 b 2 2 a ∴ 2 ．两式相减得 a b 4 ．解得 a 1, b 3 ． 1 13 a 2 2b 2 2
3 1 1 1 2 2 2
Sn 的最大值． (n 32) S n 1 n(n 1) n(n 1) ，得 f ( n) 2 (n 32)(n 1)(n 2) 1 1 =． 64 50 n 34 n
★解析：由题意得 S n
(当 n 8 时 f ( n) 取得最大值)． 2000*14、 （本题满分 20 分） 若函数 f ( x ) 求 a, b ． ★解析：⑴
∴ 符合条件的 a, b 有 1,3 或 17 ,
13 ． 4
x2 y2 2000*15、 （本题满分 20 分）已知 C 0 : x y 1 和 C1 : 2 2 1 ( a b 0 )．试问：当且仅当 a b
2 2
a, b 满足什么条件时，对 C1 上任意一点 P ，均存在以 P 为顶点，与 C 0 外切，与 C1 内接的平行四边
2000年全国高中数学联赛试题和详细解析
2000年全国高中数学联赛试题和详细解析2000年，全国高中数学联赛试题公布，这是全国各地高中生为争夺荣誉和提高自己数学学科竞赛水平而努力挑战的题目。
试题分为两部分，一是选择题，二是非选择题，难度较大。
第一部分是选择题，共20道，其中15道为单选、5道为多选，总分40分。
本部分的难度不算太大，但要求考生对各个知识点的理解和掌握都比较牢固。
其中，涉及到乘法原理、排列组合、函数与导数等概念，需要考生对这些知识点的理解和应用有较好的掌握，才能更好地解决这些问题。
第二部分是非选择题，共10道，总分60分。
这部分题目比较刁钻，需要考生有较好的数学素质和思考能力，更合适优秀的数学学科竞赛选手。
在解决这些问题时，考生需要具备较强的逻辑思维能力、分析问题的能力以及发散思维能力。
在这些问题中，有一道比较经典的问题便是“巧克力问题”。
问题的具体描述是这样的：有一块长方形的巧克力，它被分成了$mn$块。
现在要求你一次一次地将其中一块巧克力烤化，然后用自己的手指挤掉。
如果你要挑战打败时间，那么你至少要挤掉多少块，才能使所有巧克力块烤化？很多考生在看到这道题目时，会陷入到一种迷惑之中，不知道该如何入手。
其实，这道题目的突破口在于看清楚题目所给的参数。
通过分析题目参数，可以得出一个结论：当$m+n$为奇数时，答案为$1$；当$m+n$为偶数时，答案为$2$。
只有深刻理解和掌握了数学知识点后，才可以顺利地从题目中发掘出一些有用的线索，进一步推导出答案。
总的来说，这份试题的题意深奥，难度大，涉及的知识面也比较广，要想在数学竞赛中获胜，考生们需要加强对数学知识的吸收和掌握，增强逻辑思维和分析问题的能力，这都需要艰苦的训练和不断的实践。
只有这样才可在以后的比赛中获得更好的成绩。
2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案佚名【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2000(000)012【摘要】选择题(本题满分36分,每小题6分)1.设全集是实数集,若A={x|x-2≤0},B={x|10x2-2=10x},则A∩B是( ). (A){2} (B){-1} (C){x|x≤2}(D)解由x-2≤0得x=2,故A={2};由10x2-2=10x得x2-x-2=0,故B={-1,2}.所以A∩B=.故选(D).2.设sinα>0,cosα<0,且sinα3>cosα3,则α3的取值范围是( ). (A)(2kπ+π6,2kπ+π3),k∈Z(B)(2kπ3+π6,2kπ3+π3),k∈Z(C)(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z(D)(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z 解由2kπ+π2<α<2kπ+π得2kπ3+π6<α3<2kπ3+π3,k∈Z.又sinα3>cosα3,所以又有2kπ+π4<α3<2kπ+5π4,k∈Z.此两式的公共部分为(2kπ+π4,2kπ+π3)∪(2kπ+5π6,2kπ+π),k∈Z.故选(D).3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是( ).(A...【总页数】4页(P)【正文语种】中文【中图分类】G63【相关文献】1.2002年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 [J],2.2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案 [J], 李名德3.2006年全国高中数学联合竞赛试题参考答案(试题见上期) [J],4.《2002年全国高中数学联合竞赛试题》参考答案 [J], 无5.《2002年全国高中数学联合竞赛加试试题》参考答案 [J], 无因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
2000年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
于是 r = O E =
= 3 2 a 8
OB 2 - B E 2 1 2 1 a = a, 4 2 2
an
2
n→∞
=
n (n 3
= 18 ( 1) nn
1
-
n
),
3 3 3 ) lim ( + + …+ a2
4 3 6
故选 (D ). 3 . 已知点A 为双曲线 x 2 - y 2 = 1 的左顶点, 点 B 和 点 C 在 双曲线 的右分 支上, △ A B C 是等 边三角 形, 则 △A BC 的面积是 ( ).
(A ) 3 (C ) 3 3 (D ) 6 3 2 解 设点B 在 x 轴上方, 由 △AB C 是 等边 三角 3 3
(B )
3
形得直线A B 的斜率 k = 点, 故方程为 y =
x2 3 3 x +
3 3
, 又直线过A (3 3
1, 0)
. 代入 双曲线方程 3 ). 同理可得,
+ isin , 则 以 Ξ, Ξ3 , Ξ7 , Ξ9 5 5 为根的 方程是 ( ). (A ) x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 = 0 (B ) x 4 - x 3 + x 2 - x + 1 = 0 (C ) x 4 - x 3 - x 2 + x + 1 = 0 (D) x 4 + x 3 + x 2 - x - 1 = 0 2Π 2Π 解 由 Ξ= cos + isin 知, Ξ, Ξ2 , Ξ3 , …, Ξ10 10 10 (= 1 ) 是 1 的 10 个 10 次方根 . (x - Ξ) (x - Ξ2 ) (x - Ξ3 ) … (x - Ξ10 ) = x 10 - 1. ① 又 Ξ2 , Ξ4 , Ξ6 , Ξ8 , Ξ10 是 1 的 5 个 5 次方根, 故 (x - Ξ2 ) (x - Ξ4 ) (x - Ξ6 ) (x - Ξ8 ) (x - Ξ10 ) = x5 - 1 . ② 6 .
2000年全国高中数学联赛试题
第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 【答】（ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅ 2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos3α,则3α的取值范围是 【答】（ ）(A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 【答】（ ） (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（ ） 6．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 【答】（ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2000年全国高中数学联赛试题及解答
2000年全国高中数学联合竞赛试卷第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x |x －2≤0}，B={x |10x 2－2=10x }，则A ∩∁R B 是( ) (A ){2} (B ){-1} (C ){x |x ≤2} (D ) ∅2．设sin α＞0，cos α＜0，且sin α3＞cos α3，则α3的取值范围是( )(A )(2k π+π6，2k π+π3)， k ∈Z (B )( 2kπ3+ π6，2kπ3+π3)，k ∈ Z(C )(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z (D )(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈ Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( )(A ) 33 (B ) 332(C )3 3 (D )6 34．给定正数p ，q ，a ，b ，c ，其中p ≠q ，若p ，a ，q 是等比数列，p ，b ，c ，q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c=0( )(A )无实根 (B )有两个相等实根 (C )有两个同号相异实根 (D )有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=53x +45的距离中的最小值是( )(A ) 34170 (B ) 3485 (C ) 120 (D ) 1306．设ω=cos π5+i sin π5，则以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是( )(A )x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B ) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C ) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D ) x 4+x 3+x 2-x -1=0 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．arcsin(sin2000︒)=__________．2．设a n 是(3-x )n的展开式中x 项的系数(n=2，3，4，…)，则lim n →∞(32a 2+33a 3+ (3)a n ))=________.3．等比数列a +log 23，a +log 43，a +log 83的公比是____________.4．在椭圆x 2a 2+y 2b2=1 (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是5－12，则∠ABF=_________.5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________. 6．如果：(1)a ，b ，c ，d 都属于{1，2，3，4}； (2)a ≠b ，b ≠c ，c ≠d ，d ≠a ；(3)a 是a ，b ，c ，d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数____abcd 的个数是_________三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．设S n =1+2+3+…+n ，n ∈N *，求f (n )=S n(n +32)S n +1的最大值．2．若函数f (x )=－12x 2+132在区间[a ，b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ，b ]．3．已知C 0：x 2+y 2=1和C 1：x 2a 2+y 2a2=1 (a ＞b ＞0)．试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形？并证明你的结论．第二试（10月15日上午10∶00-12∶00）一、（本题满分50分）如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE=∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．二、（本题满分50分）设数列{a n }和{b n }满足a 0=1，a 1=4，a 2=49，且 ⎩⎨⎧a n +1=7a n +6b n －3，b n +1=8a n +7b n －4．n=0，1，2，…… 证明a n （n=0，1，2，…）是完全平方数． 三、（本题满分50分）有n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n －2个人之间通电话的次数相等，都是3 k 次，其中k 是自然数，求n 的所有可能值．AB C D E FMN2000年全国高中数学联合竞赛试题解答第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．A={2}，B={2，－1}，故选D ．2．满足sin α＞0，cos α＜0的α的范围是(2k π+π2，2k π+π)，于是α3的取值范围是(2kπ3+π6，2kπ3+π3)，满足sin α3＞cos α3的α3的取值范围为(2k π+π4，2k π+5π4)．故所求范围是(2k π+π4，2k π+π3)∪(2k π+5π6，2k π+π)，k ∈Z ．选D ．3．A (－1，0)，AB 方程：y=33(x +1)，代入双曲线方程，解得B (2，3)，∴ S=33．选C ．4．a 2=pq ，b +c=p +q ．b=2p +q 3，c=p +2q 3；14△=a 2－bc=pq －19(2p +q )(p +2q )=－29(p －q )2<0．选A ． 5.直线即25x －15y +12=0．平面上点(x ，y )到直线的距离=|25x －15y +12|534=|5(5x －3y +2)+2|534．∵5x －3y +2为整数，故|5(5x －3y +2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B ．6．ω5+1=0，故ω，ω3，ω7，ω9 都是方程x 5+1=0的根．x 5+1=(x +1)(x 4－x 3+x 2－x +1)=0．选B ． 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．2000°=180°×12－160°．故填－20°或－π9．2．a n =3n －2C 2n ．∴ 3k a k =2·323k －2n (n －1)=18n (n －1)，故填18．3．q=a +log 43a +log 23=a +log 83a +log 43=(a +log 43)－(a +log 83)(a +log 23)－(a +log 43)=log 43－log 83log 23－log 43=13．填13．4．c=5－12a ，∴|AF |=5+12a ．|BF |=a ，|AB |2=|AO |2+|OB |2=5+32a 2．故有|AF |2=|AB |2+|BF |2．即∠ABF=90°．填90°．或由b 2=a 2－c 2=5－12a 2=ac ，得解．5．取球心O 与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=32a ，AG=63a ，AO=64a ，BG=33a ，AB ∶AO=BG ∶OH ．OH=AO ·BG AB =24a ．V=43πr 3=224πa 3．填224πa 3．．6．a 、c 可以相等，b 、d 也可以相等． ⑴ 当a 、c 相等，b 、d 也相等时，有C 24=6种； ⑵ 当a 、c 相等，b 、d 不相等时，有A 23+A 22=8种； ⑶ 当a 、c 不相等，b 、d 相等时，有C 13C 12+C 12=8种；⑷ 当a 、c 不相等，b 、d 也不相等时，有A 33=6种；共28种．填28．A CB yx OF A BO xyG A DCBE OH三、解答题(本题满分60分，每小题20分)1．S n =12n (n +1)，f (n )= n (n +1)(n +32)(n +1)(n +2)=1n +64n+34≤150错误！未指定书签。
2000年全国高中数学联赛试题及答案
2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是 【答】（ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅ 2．设sin α＞0,cos α＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是 【答】（ ） (A) (2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B) (32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z(C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π) (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z3．已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ）(A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 4．给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0 【答】（ ）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（ ） 6．设5sin5cosππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是 【答】（ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0 (C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
全国高中数学联赛试题汇编
2000年全国高中数学联合竞赛试卷及参考答案（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）1． 设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A I 是( )(A){2} (B){-1} (C){x |x ≤2}(D)∅2． 设sin α＞0,cos α＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是( ) (A)(2k π+6π,2k π+3π), k ∈Z (B)(32πk +6π,32πk +3π),k ∈Z (C)(2k π+65π,2k π+π),k ∈Z (D)(2k π+4π,2k π+3π)Y (2k π+65π,2k π+π),k ∈Z 3． 已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是( ) (A)33 (B)233 (C)33 (D)634． 给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ≠q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2-2ax +c =0( )(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根5． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是( ) (A)17034 (B)8534 (C)201 (D)301 6． 设5sin 5cos ππωi +=，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( )(A)x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4-x 3+x 2-x +1=0(C) x 4-x 3-x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2-x -1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7． arcsin(sin2000︒)=__________.8． 设a n 是(3-n x )的展开式中x 项的系数(n =2,3,4,…)，则nnn a a a 333(lim 3322+++∞→Λ)=________. 9． 等比数列a +log 23,a +log 43,a +log 83的公比是____________.10． 在椭圆12222=+by a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若该椭圆的离心率是215-，则∠ABF =_________. 11． 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是________.12． 如果：(1)a ,b ,c ,d 都属于{1,2,3,4};(2)a ≠b ,b ≠c ,c ≠d ,d ≠a ;(3)a 是a ,b ,c ,d 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N ，求f (n )=1)32(++n n S n S 的最大值.14． 若函数21321)(2+-=x x f 在区间[a ,b ]上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[a ,b ].15． 已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:12222=+b y a x (a ＞b ＞0)。
2000年全国高中数学联赛试题
2000年全国高中数学联赛试题第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．设全集是实数，若A={x|√(x-2)≤0}，B={x|10x2 - 2= 10x},则A∩B是()(A){2}(B){-1}(C){x|x≤2}(D)空集[注：√表示根号]2．设sina＞0,cosa＜0,且sin(a/3)＞cos(a/3),则a/3的取值范围是()(A)(2kπ+π/6,2kπ+π/3),k∈Z(B)(2kπ+π/6,2kπ－π/3),k∈Z(C)(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z(D)(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是()(A)√3/3(B)3√3/2(C)3√3(D)6√34．给定正数p,q,a,b,c，其中p≠q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0()(A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=(5/3)x+4/5的距离中的最小值是()(A)√34/170(B)√34/85(C)1/20(D)1/306．设ω = cos(π/5)+isin(π/5)，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是()(A)x4+x3+x2+x+1=0(B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0(D) x4+x3+x2-x-1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7．arcsin(sin2000°)=__________.8．设an是(3-√x)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则(32/a2+33/a3+…+3n/an)的极限=________.9．等比数列a + log23,a + log43,a + log83的公比是____________.10．在椭圆x2/a2+y2/b2(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是(√5- 1)/2，则∠ABF=____.11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.12．如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13．设Sn=1+2+3+…+n，求f(n)=Sn/((n+32)Sn+1)的最大值.14．若函数f(x)=(-1/2)x2+13/2在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].15．已知C0:x2+y2=1和C1:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)。
2000年全国高中数学联赛试题2
二○○二年全国高中数学联赛试卷（10月13日上午8:00-9:40）一、 选择题(本题满分36分，每小题6分) 1． 函数f(x)＝21log (x 2－2x －3)的单调递增区间是(A)（－∞,－1) (B)(－∞,1) (C)(1,＋∞) (D)(3,＋∞) 2． 若实数x,y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为(A)2 (B)1 (C)3 (D)2 3． 函数f(x)＝221xx x -- (A)是偶函数但不是奇函数 (B)是奇函数但不是偶函数 (C)既是偶函数又是奇函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数4． 直线34yx +＝1与椭圆191622=+y x 相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△PAB 面积等于3，这样的点P 共有(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个5． 已知两个实数集合A ＝{a 1,a 2,…,a 100}与B ＝{b 1,b 2,…,b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中每个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100) 则这样的映射共有(A)50100C (B) 5099C (C) 49100C (D) 4999C6． 由曲线x 2＝4y, x 2＝-4y, x ＝4, x ＝-4围成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 1，满足x 2＋y 2≤16, x 2＋(y -2)2≥4, x 2＋(y ＋2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则 (A)V 1＝21V 2 (B)V 1＝32V 2 (C)V 1＝V 2 (D)V 1＝2V 2 二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7． 已知复数Z 1、Z 2满足|Z 1|＝2，|Z 2|＝3，若它们对应的向量的夹角为60︒, 则||||2121Z Z Z Z -+＝_____.8． 将二项式n xx )21(4+的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的幂指数是整数的项共有_______个.9． 如图，点P 1、P 2、…、P 10分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组(P 1、P i 、P j 、P k )(1<i<j<k ≤10)有_______个.10． 已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)＝1且对任意x ∈R都有f(x ＋5)≥f(x)＋5 f(x ＋1)≤f(x)＋1 若g(x)＝f(x)＋1-x, 则g(2002)＝__________.11． 若log 4(x ＋2y)＋log 4(x -2y)＝1，则|x|-|y|的最小值是__________.12． 使不等式sin 2x ＋acosx ＋a 2≥1＋cosx 对一切x ∈R 恒成立的负数a 的取值范围是________． 三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13． 已知点A(0,2)和抛物线y 2＝x ＋4上两点B 、C 使得AB⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．14． 如图，有一列曲线P 0，P 1，P 2，……．已知P 0所围成的图形是面积为1的正三角形，P k ＋1是对P k 进行如下操作得到：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k ＝0,1,2,…）. 记S n 为曲线P n 所围成图形的面积． (1)求数列{S n }的通项公式； (2)求∞→n lim S n ．…………P 0 P 1 P 2 15． 设二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足条件：P 8P P 9((1)当x∈R时，f(x-4)＝f(2-x), 且f(x)≥x;(2)当x∈(0,2)时, f(x)≤221⎪⎭⎫⎝⎛+x;(3)f(x)在R上的最小值为0；求最大的m(m＞1)，使得存在t∈R，只要x∈[1, m]，就有f(x＋t)≤x．二○○二年全国高中数学联赛加试试卷（10月13日上午10：00－12：00）考生注意：1、本试卷共三大题，全卷满分150分．2、卷面的第1页、第3页、第5页印有试题， 第2页、第4页、第6页是空白页，留作答题用．3、用圆珠笔或钢笔作答．4、解题书写不要超出装订线．一．（本题满分50分）如图，在△ABC 中，∠A ＝60︒, AB ＞AC, 点O 是外心，两条高BE 、CF 交于H 点．点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM ＝CN ．求OHNHMH +的值．二．（本题满分50分）实数a,b,c 和正数λ使得f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个实根x 1,x 2,x 3, 且满足 （1）x 2-x 1＝λ （2）x 3＞21(x 1＋x 2) 求339272λabc a -+的最大值．三．（本题满分50分）在世界杯足球赛前，F 国教练为了考察A 1,A 2,…,A 7这七名队员，准备让他们在三场训练比赛（每场90分钟）都上场．假设在比赛的任何时刻，这些BC队员中有且仅有一人在场上，并且A1,A2,A3,A4每人上场的总时间（以分钟为单位）均被7整除，A5,A6,A7每人上场的总时间（以分钟为单位）均被13整除．如果每场换人次数不限，那么按每名队员上场的总时间计算，共有多少种不同的情况．出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
十全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:009:40）一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A I 是 【答】（ ）2． (A) {2} (B) {1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅3． 设sin ＞0,cos ＜0,且sin3α＞cos 3α,则3α的取值范围是 【答】（ ） 4． (A) (2k +6π,2k +3π), kZ (B) (32πk +6π,32πk +3π),kZ5． (C)(2k +65π,2k +),kZ (D)(2k +4π,2k +3π)Y (2k +65π,2k +),kZ6． 已知点A 为双曲线x 2y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ）7． (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 63 8． 给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中pq ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 22ax +c =0 【答】（ ）9． (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根10． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是11． (A)17034 (B) 8534 (C) 201 (D) 301【答】（ ） 12．设5sin5cosππωi +=，则以,3,7,9为根的方程是 【答】（ ）(A) x 4+x 3+x 2+x +1=0 (B) x 4x 3+x 2x +1=0 (C) x 4x 3x 2+x +1=0 (D) x 4+x 3+x 2x 1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2000年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2000年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共68个小题，每小题6分，共36分。
2000*1、设全集是实数，若{}02|≤-=x x A ，{}x xx B 1010|22==-，则B C A R 是( )A.{}2B.{}1-C. {}2|≤x xD.φ ◆答案：D★解析：由题意得：A={2}，B={2，－1}，故选D ． 2000*2、设0sin >α，0cos <α，且3cos3sin αα>，则3α的取值范围是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛++32,62ππππk k ，Z k ∈ B. ⎪⎭⎫⎝⎛++332,632ππππk k ，Z k ∈ C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛++ππππk k 2,652，Z k ∈ D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛++32,42ππππk k ⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk k 2,652 Z k ∈ ◆答案：D★解析：满足0sin >α，0cos <α的α的范围是⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk k 2,22，于是3α的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛++332,632ππππk k ，满足3cos 3sin αα>的3α的取值范围为⎪⎭⎫ ⎝⎛++452,42ππππk k ．故所求范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛++32,42ππππk k ⎪⎭⎫⎝⎛++ππππk k 2,652 ，Z k ∈．选D ．2000*3、已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，若ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积是( ) A.33 B. 233 C. 33 D. 36 ◆答案：C★解析：由题意得()0,1-A ，AB 方程：()133+=x y ，代入双曲线方程，解得()3,2B ，33=S ,选C ．2000*4、给定正数c b a q p ,,,,，其中q p ≠，若q a p ,,是等比数列，q c b p ,,,是等差数列，则一元二次方程022=+-c ax bx ( )A.无实根B.有两个相等实根C.有两个同号相异实根D.有两个异号实根 ◆答案：A★解析：由题意得：pq a =2，q p c b +=+．32q p b +=，32q p c +=；0)(982<--=∆q p ，选A ．2000*5、平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是( ) A.17034 B. 8534 C. 201 D. 301◆答案：B★解析：直线即0121525=+-y x ．平面上点()y x ,到直线的距离()34522355345121525++-=+-=y x y x d ．235+-y x 为整数，故()222355≥++-y x ．且当1-==y x 时即可取到2．选B ．2000*6、设5sin5cosππωi +=，则以973,,,ωωωω为根的方程是( )A.01234=++++x x x x B. 01234=+-+-x x x x C. 01234=++--x x x x D. 01234=--++x x x x◆答案：B★解析：由于015=+ω，故973,,,ωωωω都是方程015=+x 的根．又()()01112345=+-+-+=+x x x x x x ．选B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题9分，共54分。
2000-2012年十年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案
2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00?9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1． 设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x =x 10},则B A 是【答】（ ）2． (A){2}(B){?1}(C){x |x ≤2}(D)∅3． 设sin ?＞0,cos ?＜0,且sin 3α＞cos 3α,则3α的取值范围是【答】（ ）4． (A)(2k ?+6π,2k ?+3π),k ?Z (B)(32πk +6π,32πk +3π),k ?Z5．(C)(2k ?+65π,2k ?+?),k ?Z (D)(2k ?+4π,2k ?+3π) (2k ?+65π,2k ?+?),k ?Z6． 已知点A 为双曲线x 2?y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是【答】（ ） 7．(A)33(B)233(C)33(D)638． 给定正数p ,q ,a ,b ,c ，其中p ?q ，若p ,a ,q 是等比数列，p ,b ,c ,q 是等差数列，则一元二次方程bx 2?2ax +c =0【答】（ ）9． (A)无实根(B)有两个相等实根(C)有两个同号相异实根(D)有两个异号实根10． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 11． (A)17034(B)8534(C)201(D)301【答】（ ）12． 设5sin 5cos ππωi +=，则以?,?3,?7,?9为根的方程是【答】（ ）(A)x 4+x 3+x 2+x +1=0(B)x 4?x 3+x 2?x +1=0(C)x 4?x 3?x 2+x +1=0(D)x 4+x 3+x 2?x ?1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2000年全国联赛一道试题的简单解法
2000年全国联赛一道试题的简单解法肖雯【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2001(000)003【摘要】2000年全国高中数学竞赛二试第三题为一道组合数学试题：rn 有n 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意n-2个人之间通电话的总次数相等，都是3k次，其中k是自然数，求n的所有可能值.rn 标准答案先证明任一人的通话总次数均为n-1次，即人均通话一次，然后求得n，论证过程较难较繁.若从n个人总通话数出发进行讨论，可较快得到结论.rn n个人共可取Cn-2n个n-2人的组，而n-2个人间通话总次数为3k，所以若不计重复度，n个人总通话数为Cn-2n*3k次.而每通话的两人，与其余n-2人中的任意n-4个人，可一起组成一个n-2人组，所以两人间的一次通话，被重复计算Cn-4n-2次，因此n个人间的正确总通话次数应为rn(Cn-2n*3k)/(Cn-4n-2)=(C2n*3k)/(C2n-2)=(n(n-1)*3k)/((n-2)(n-3)).rn 因为(n-2,n-3)=1,所以n-2与n-3中至多只能有一个被3整除.rn (1)若3n-2,则(n-2,3k)=1,而通话总次数(n(n-1)*3k)/((n-2)(n-3))为正整数，所以n-2|n(n-1),(n-2,n-1)=1,n-2|n,即(n)/(n-2)=1+(2)/(n-2)为正整数,n=4.rn (2)若3n-3,则(n-3,3k)=1,n-3|n(n-1),(n(n-1))/(n-3)=n+2+(6)/(n-3)为正整数，n=4,5,6,9.由于3n-3,n≠6,9.rn综上满足题设条件的n，只可能为4和5.rn n=5每两人均通话，则n-2=3人间总通话数均为3=31次，n=5为本题的解.rn n=4每两人均通话，则n-2=2人间通话数均为1=30次，若0不计入自然数，则n=4不是解；若自然数新概念包含0，则n=4亦为解.【总页数】1页(P23)【作者】肖雯【作者单位】中国计量学院310034【正文语种】中文【中图分类】G633.6【相关文献】1.2000年全国高中数学联赛试题解答 [J],2.2003年全国联赛一道加试题的简单解法 [J], 张洪杰3.2000年全国初中数学联赛试题及略解 [J],4.2000年全国高中数学联赛一道加试题的别解 [J], 曲陆5.一道源于教材的竞赛题——八九年全国高中数学联赛一道试题的剖析 [J], 何鼎潮;边学平因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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若 ，故 ，易得 ，( 舍去)此时 ．
由 ， ，( 为自然数，且 )，此时
，即 ．
∴ ．当 时， (舍去)，当 时， ．
又： 时，每两个人通话次数一样，可为 次(任何两人都通话 次)；
★解析：⑴若 ，则 的最大值为 ．最小值为 ．即 是方程 的两个根，而此方程两根异号．故不可能．
⑵若 ，当 时， 取最大值，故 ，得 ．
当 或 时 取最小值，① 时． ，但 ，故取 ．此时 ，从而 是最小值．② ，显然 ．与 矛盾．故舍．
⑶ ．此时，最大值为 ，最小值为 ．
∴ ．两式相减得 ．解得 ．
则在 中有 (利用等面积法)．
即 ．
又 ，得 ，
同理， ，两式相加得 ．
反之，若 成立，则对于椭圆上任一点 ，取椭圆上点 ，则 ， ，于是 ，此时 与 相切．即存在满足条件的平行四边形．故证．
2000年全国高中数学联合竞赛二试
2000*一、（本题满分50分）
如图，在锐角三角形 的 边上有两点 ，满足 ，作 ， （ 、 是垂足），延长 交三角形 的外接圆于 ．证明：四边形 与三角形 的面积相等．
2000年全国高中数学联合竞赛一试
一、选择题：本大题共68个小题，每小题6分，共36分。
2000*1、设全集是实数，若 ， ，则 是( )
A. B. C. D.
◆答案：D
★解析：由题意得：A={2}，B={2，－1}，故选D．
2000*2、设 ， ，且 ，则 的取值范围是()
A. ， B. ，
C. ， D.
代入⑴： ．故 。
其特征方程为 ，特征方程的解为 ．
故 ,由 ， ， ．解得 ．
∴
由于 是整数，故知 是整数的平方．即为完全平方数．
2000*三、（本题满分50分）有 个人，已知他们中的任意两人至多通电话一次，他们中的任意 个人之间通电话的次数相等，都是 次，其中 是自然数，求 的所有可能值．
★解析：
★证明：连 ，则由 ， 知 四点共圆，且该圆的直径为 ．又 ，但 ，故 ．
∴ ，且由正弦定理知， ．
∴ ．
连 ，由 ， ，得 ．
∴ ，即 ．
∴
2000*二、（本题满分50分）设数列 和 满足 ， ， ，且
，
证明： （ ）是完全平方数．
★证明：记 ⑴， ⑵，于是
⑴ ： ，
⑵ ： ．
两式相减得， ，即 ．
◆答案：
★解析：由已知得： ，∴ ． ，由 ．故有 |AF|2=|AB|2+|BF|2．即 .
本题也可以由 ，解得．
2000*11、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为 ，则这个球的体积是________.
◆答案：
★解析：取球心 与任一棱的距离即为所求球的半径．如图， ， ， ， ，由 ．得 ，可得 .
综上共有 种。
三、解答题：本大题共3小题，每小题20分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2000*13、（本题满分20分）设 ， ，
求 的最大值．
★解析：由题意得 ，得 =．
(当 时 取得最大值)．
2000*14、（本题满分20分）若函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，求 ．
◆答案：D
★解析：满足 ， 的 的范围是 ，于是 的取值范围是 ，满足 的 的取值范围为 ．故所求范围是 ， ．选D．
2000*3、已知点 为双曲线 的左顶点，点 和点 在双曲线的右分支上，若 是等边三角形，则 的面积是( )
A. B. C. D.
◆答案：C
★解析：由题意得 ， 方程： ，代入双曲线方程，解得 ， ,选C．
∴符合条件的 有 或 ．
2000*15、（本题满分20分）已知 和 ( )．试问：当且仅当 满足什么条件时，对 上任意一点 ，均存在以 为顶点，与 外切，与 内接的平行四边形？并证明你的结论。
★解析：设 是与 外切且与 内接的平行四边形．易知圆的外切平行四边形是菱形．即 是菱形．于是 ．
设 ，则 ，
2000*12、如果：(1) 都属于 ；(2) ， ， ， ；(3) 是 中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数 的个数是_________
◆答案：
★解析：
．解： 可以相等， 也可以相等．
⑴当 相等， 也相等时，有 种；
⑵当 相等， 不相等时，有 种；
⑶当 不相等， 相等时，有 种；
⑷当 不相等， 也不相等时，有 种；
◆答案：B
★解析：直线即 ．平面上点 到直线的距离 ． 为整数，故 ．且当 时即可取到 ．选B．
2000*6、设 ，则以 为根的方程是( )
A. B.
C. D.
◆答案：B
★解析：由于 ，故 都是方程 的根．
又 ．选B．
为__________．
2000*4、给定正数 ，其中 ，若 是等比数列， 是等差数列，则一元二次方程 ( )
A.无实根B.有两个相等实根C.有两个同号相异实根D.有两个异号实根
◆答案：A
★解析：由题意得： ， ． ， ； ，选A．
2000*5、平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线 的距离中的最小值是( )
A. B. C. D.
◆答案：
★解析：因为 2000°．
2000*8、设 是 的展开式中 项的系数( )，则 _____.
◆答案：
★解析：由题意得 ．∴ ，于是
．
2000*9、等比数列 ， ， 的公比是____________.
◆答案：
★解析：由题意得： 。
（这里用到了合比性质，之后再用换底公式化为以 为底的对数）
2000*10、在椭圆 ( )中，记左焦点为 ，右顶点为 ，短轴上方的端点为 .若该椭圆的离心率是 ，则 _________.
当 时，任何两人都通话 次．均满足要求．
∴ 的所有可能值为 ， ．