高中数学必修5正,余弦定理应用举例

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高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)

高中数学必修5：正弦定理与余弦定理知识点及经典例题(含答案)
正弦定理、余弦定理和射影定理可以帮助我们计算三角形的边长和角度。

其中，正弦定理表达了三角形边长和角度之间的关系，余弦定理则是通过两条边和它们之间的夹角计算第三条边的长度。

射影定理则是利用三角形中某个角的正弦值或余弦值来计算三角形中某条边的长度。

二、面积公式可以用来计算三角形的面积，其中a、b、c 分别为三角形的三条边，而对应的角度则可以通过正弦定理或余弦定理来计算。

三、在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

同时，需要注意计算过程中的精度和单位。

学前诊断】
1.在△ABC中，若C=90，a=6，B=30，则c-b等于1.
2.在△ABC中，若b=2asinB，则A等于30或60.
3.在△ABC中，c-a=b-ba，且∠C=90.
经典例题】
例1.在△ABC中，若∠A=45°，a=2，c=6，则∠B=45°，b=4.
例2.已知△ABC满足条件acosA=bcosB，可以判断
△ABC是等腰三角形。

例3.在△ABC中，已知b+c=6，求a的值。

根据余弦定理可得a²=(b+c)²-4bc，代入数据得a=2.
本课总结】
本课介绍了三角形中的正弦定理、余弦定理、射影定理和面积公式，这些定理可以帮助我们计算三角形的边长、角度和面积。

在解题时，需要根据题目给出的条件选择合适的定理进行计算。

#高中数学必修五：1.1.2-1《余弦定理》(人教A版必修5)

∠B=120o，求 AC
A
B
120°
解：由余弦定理得
A 2 C A 2 B B 2 C 2 A B B cC B os C
3222232co1s2o0 19
AC 19
答：岛屿A与岛屿C的距离为 19 km.
例1、在△ABC中，已知a= 6 ,b=2,c= 3 ,1
解三角形。
cosA<0，A为钝角，△ABC为钝角三角形。练习2：在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，
求边长c的取值范围。
解：∵coCsa2b2c2 0
a2c2b2
coBs
0
2bc
2ac
3c 5
∴
余弦定理：
推论:
a2b2c22bcco As
cos
b2 A
c2 a2 2bc
b2a2c22acco BscosBc2 a2 b2
例2、已知△ABC的三边为 7 、2、1，
求它的最大内角。
解：设三角形的三边分别为a= 7 ,b=2,c=1
则最大内角为∠A
由余弦定理得coAs b2 c2 a2
2bc
22 12
2
7
221
120
练习1：在△ABC中，已知a=12,b=8,c=6, 判断△ABC的形状。
a2b2c2
设
C a B ,C b A ,A c B
由向量减法的三角形法则得
c ab
c 2 cc (a b )(a b )
﹚
aa 2a b b2b22a ab bcoCs
a2b22ac bo C s
c2a2 b 22 acbo Cs
探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，

人教版高中数学必修五正弦定理和余弦定理课件

解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径）（边换角）
在已知三边和一个角的情况下：求另一个角㈠用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。㈡用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取。
练习1：在△ABC中，已知
解：
=31+18 =49
∴b=7
练习2：
在△ABC中， a 7,b 4 3, c 13 ,求△ABC的最小角。
解：
72 （4 13）2 （ 13）2 274 3
二、可以用正弦定理解决的两类三角问题：（1）知两角及一边，求其它的边和角；（2）知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它
的边和角（注意判断解的个数）
思考：你能用正弦定理来解释为什么在三角形中越大
的角所对的边就越大吗？
分析：设△ABC的三个角所对边长分别是a、b、c，
且∠A≥∠B≥∠C，
（1）若△ABC是锐角或直角三角形 ∵正弦函数y=sinx在 [0, ]上是增函数 2
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z)
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
2
针对性练习 1、已知△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是

高中数学必修五：正余弦定理应用举例(必考题)含解析

第一章正余弦定理应用举例（必考题）含解析1.2第1课时基础巩固一、选择题1．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的()A．北偏西35°B．北偏东55°C．南偏西35°D．南偏西55°[答案] D[解析]根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示．α＝55°，则β＝α＝55°.所以B在A的南偏西55°.故应选D．2．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．a km B．3a kmC．2a km D．2a km[答案] B[解析]∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝3a(km)．3．一船向正北航行，看见正西方向有相距10n mlie的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是每小时()A．5n mlie B．53n mlieC．10n mlie D．103n mlie[答案] C[解析]如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，∴∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在Rt △ABC 中，求得AB ＝5， ∴这艘船的速度是50.5＝10(n mlie/h)．4．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300m 和500m ，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°，灯塔B 在观察站C 正西方向，则两灯塔A 、B 间的距离为( )A ．500mB ．600mC ．700mD ．800m[答案] C[解析] 根据题意画出图形如图．在△ABC 中，BC ＝500，AC ＝300，∠ACB ＝120°，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝3002＋5002－2×300×500×(－12)＝490 000，∴AB ＝700(m)．5．已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( )A ．10kmB ．3kmC ．105kmD ．107km[答案] D[解析] 在△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°，则由余弦定理，得 AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝100＋400－2×10×20cos120° ＝100＋400－2×10×20×(－12)＝700，∴AC ＝107，即A 、C 两地的距离为107km.6．要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120m 由此可得河宽为(精确到1m)( )A ．170mB ．98mC ．95mD ．86m[答案] C[解析] 在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45°sin60°＝40 6.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽， ∴h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406×sin75°≈95(m) 二、填空题7．如图所示，为了测量河的宽度BC ，最适宜测量的两个数据是________．[答案] AC 与∠A ．[解析] 由图可知，AB 与BC 不能直接测量．8．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km)[答案] 5.2[解析] 作出示意图如图．由题意知，则AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理6sin35°＝BS sin30°，可得BS ≈5.2(km)．三、解答题9．如图，我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 000 m ．∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面B 处时测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°.求炮兵阵地到目标的距离．(结果保留根号)[分析] 由于∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∴∠ADB 为直角．题中有多个三角形而抓住△ABD 为Rt △作为突破口可简化计算．[解析] 在△ACD 中，∠CAD ＝60°，AD ＝CD ·sin45°sin60°＝63CD ．在△BCD 中，∠CBD ＝135°，BD ＝CD ·sin30°sin135°＝22CD ，∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝426CD ＝1 00042(m)．10．一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在A 处看灯塔S 在船的北偏东20°的方向，30min 后航行到B 处，在B 处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？[解析] 在△ASB 中，∠SBA ＝115°，∠S ＝45°.由正弦定理，得SB ＝AB sin20°sin45°＝16.1sin20°sin45°≈7.787(n mile)．设点S 到直线AB 的距离为h ，则h ＝SB sin65°≈7.06(n mile)．∵h >6.5n mile ，∴此船可以继续沿正北方向航行.能力提升一、选择题1．已知船A 在灯塔C 北偏东85°且到C 的距离为2km ，船B 在灯塔C 西偏北25°且到C 的距离为3km ，则A 、B 两船的距离为( )A ．23kmB ．32kmC ．15kmD ．13km[答案] D[解析] 如图可知∠ACB ＝85°＋(90°－25°)＝150°，AC ＝2，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos150°＝13， ∴AB ＝13.2．甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3km ，甲船以8km /h 的速度向正北方向航行，同时乙船从B 岛出发，以12km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15min 时，两船的距离是( )A ．7kmB ．13kmC ．19kmD ．10－33km[答案] B[解析] 由题意知AM ＝8×1560＝2，BN ＝12×1560＝3，MB ＝AB －AM ＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN 2＝MB 2＋BN 2－2MB ·BN cos120°＝1＋9－2×1×3×(－12)＝13，所以MN ＝13km.3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68n mile 的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A ．1762n mile/hB ．346n mile/hC ．1722n mile/hD ．342n mile/h[答案] A[解析] 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×3222＝346，∴v ＝MN 4＝1762(n mile/h)．4．如图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行12 h 到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是( )A ．10kmB ．102kmC ．15kmD ．152km[答案] B[解析] 在△ABC 中，BC ＝40×12＝20(km)，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A ＝180°－(30°＋105°)＝45°. 由正弦定理，得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A ＝20·sin30°sin45°＝102(km)．二、填空题5．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90n mile.此时海盗船距观测站107n mile,20min 后测得海盗船距观测站20n mlie ，再过________min ，海盗船到达商船．[答案]403[解析] 如下图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20min 后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理，得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ×CD ＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ADC ＝60°，在△ABD 中，由已知得∠ABD ＝30°， ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(min)．6.如图，一艘船上午在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile ，则此船的航行速度是________n mile/h.[答案] 16[解析] 在△ABS 中，∠A ＝30°，∠ABS ＝105°， ∴∠ASB ＝45°，∵BS ＝42，BS sin A ＝ABsin ∠ASB ，∴AB ＝BS ·sin ∠ASBsin A ＝42×2212＝8，∵上午在A 地，在B 地，∴航行0.5小时的路程为8n mile ， ∴此船的航速为16n mile/h. 三、解答题7．海上某货轮在A 处看灯塔B ，在货轮北偏东75°，距离为126n mile ；在A 处看灯塔C ，在货轮的北偏西30°，距离为83n mile ；货轮向正北由A 处航行到D 处时看灯塔B 的方位角为120°.求：(1)A 处与D 处的距离； (2)灯塔C 与D 处之间的距离．[解析] 由题意，画出示意图，如图所示．(1)在△ABD 中，由已知∠ADB ＝60°，则B ＝45°. 由正弦定理，得AD ＝AB sin45°sin60°＝24(n mile)(2)在△ADC 中，由余弦定理，得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC cos30° ＝242＋(83)2－2×24×83×32＝(83)2， ∴CD ＝83(n mile)答：A 处与D 处之间距离为24n mile ，灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile.8．如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量，已知AB ＝50m ，BC ＝120m ，于A 处测得水深AD ＝80m ，于B 处测得水深BE ＝200m ，于C 处测得水深CF ＝110m ，求∠DEF 的余弦值．[解析] 由题意可得DE 2＝502＋1202＝1302， DF 2＝1702＋302＝29800， EF 2＝1202＋902＝1502，由余弦定理，得cos ∠DEF ＝1665.第一章 1.2 第2课时基础巩固一、选择题1．如图，从气球A 测得济南全运会东荷、西柳个场馆B 、C 的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h ，则两个场馆B 、C 间的距离为( )A ．h sin αsin βsin (α－β)B ．h sin (β－α)sin αsin βC ．h sin αsin βsin (α－β)D ．h sin βsin αsin (α－β)[答案] B[解析] 在Rt △ADC 中，AC ＝hsin β，在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝AC sin (β－α)sin α＝h sin (β－α)sin αsin β.2．某工程中要将一长为100 m 倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长( )A ．1002mB ．1003mC ．50(2＋6)mD ．200m[答案] A[解析] 如图，由条件知，AD ＝100sin75°＝100sin(45°＋30°) ＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°) ＝25(6＋2)，CD ＝100cos75°＝25(6－2)，BD ＝AD tan30°＝25(6＋2)33＝25(32＋6)．∴BC ＝BD －CD ＝25(32＋6)－25(6－2) ＝1002(m)．3．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40m ，则电视塔的高度为( )A ．102mB ．20mC ．203mD ．40m[答案] D[解析] 设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理，得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos120°， ∴x 2－20x －800＝0，∴x ＝40(m)．4．若甲船在B 岛的正南方A 处，AB ＝10km ，甲船以4km /h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是( )A ．1507minB ．157hC ．21.5minD ．2.15h [答案] A[解析] 当时间t <2.5h 时，如图．∠CBD ＝120°，BD ＝10－4t ，BC ＝6t . 在△BCD 中，利用余弦定理，得CD 2＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos120°＝28t 2－20t ＋100. 当t ＝202×28＝514(h)，即1507min 时，CD 2最小，即CD 最小为6757. 当t ≥2.5h 时，CF ＝15×32，CF 2＝6754>CD 2，故距离最近时，t <2.5h ，即t ＝1507min.5．江岸边有一炮台高30m ，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．103mB ．1003mC ．2030mD ．30m[答案] D[解析] 设炮塔顶A 、底D ，两船B 、C ，则∠ABD ＝45°，∠ACD ＝30°，∠BDC ＝30°，AD ＝30，∴DB ＝30，DC ＝303，BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC ·cos30°＝900，∴BC ＝30.6．如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( )A ．5002mB ．200mC ．1 0002mD ．1 000m[答案] D[解析] ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS 中，AB ＝AS ·sin135°sin30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin45°＝1 0002×22＝1 000(m)．二、填空题7．某海岛周围38n mile 有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30n mile 后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船________触礁危险(填“有”或“无”)．[答案] 无[解析] 如图所示，由题意在△ABC 中，AB ＝30， ∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝30sin30°sin15°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. ∴此船无触礁的危险．8．甲船在A 处发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船正以a n mile/h 的速度向北行驶．已知甲船的速度是3a n mile/h ，问甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇？[答案] 北偏东30°[解析] 如图，设经过t h 两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at ，AC ＝3at ，B ＝180°－60°＝120°，由BC sin ∠CAB ＝ACsin B，得sin ∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin120°3at ＝12.∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．三、解答题9．如图所示，两点C 、D 与烟囱底部在同一水平直线上，在点C 1、D 1，利用高为1.5 m 的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是α＝45°和β＝60°，C 、D 间的距离是12 m ，计算烟囱的高AB .(精确到0.01 m)[解析] 在△BC 1D 1中，∠BD 1C 1＝120°，∠C 1BD 1＝15°.由正弦定理C 1D 1sin ∠C 1BD 1＝BC 1sin ∠BD 1C 1，∴BC 1＝12sin120°sin15°＝182＋66，∴A 1B ＝22BC 1＝18＋63，则AB ＝A 1B ＋AA 1≈29.89(m)．10．在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)n mile 的B处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile /h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？[解析] 设缉私船用t 小时在D 处追上走私船．在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠CAB ＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos120°＝6，∴BC ＝ 6.在△BCD 中，由正弦定理，得 sin ∠ABC ＝AC BC sin ∠BAC ＝22，∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直． ∴∠CBD ＝120°.在△BCD 中，由正弦定理，得 CD sin ∠CBD ＝BD sin ∠BCD ，∴103t sin120°＝10tsin ∠BCD，∴sin ∠BCD ＝12，∴∠BCD ＝30°.故缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船.能力提升一、选择题1．飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行10 000m 到达B 处，此时测得正前下方目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为( )A ．2 500(3－1)mB ．5 0002mC ．4 000mD ．4 0002m[答案] A[解析] 示意图如图，∠BAC ＝30°，∠DBC ＝75°，∴∠ACB ＝45°，AB ＝10 000.由正弦定理，得10 000sin45°＝BC sin30°，又cos75°＝BD BC ，∴BD ＝10 000·sin30°sin45°·cos75°＝2 500(3－1)(m)．2．渡轮以15km /h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1km/h)( )A ．14.5km /hB ．15.6km/hC ．13.5km /hD ．11.3km/h[答案] C[解析] 由物理学知识，画出示意图，如图．AB ＝15，AD ＝4， ∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°，在△ADC 中，由余弦定理，得 AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ×CD ×cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C ．3．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20m ，则建筑物高度为( )A ．20mB ．30mC ．40mD ．60m[答案] C[解析] 设O 为塔顶在地面的射影，在Rt △BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203，在Rt △AOD 中，OA ＝OD ·tan60°＝60， ∴AB ＝OA －OB ＝40.4.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．156mB ．206mC ．256mD ．306m[答案] D[解析] 设建筑物的高度为h ，由题图知，P A ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ，∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得 cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为306m. 二、填空题5．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B 地测得树尖的仰角为30°，量得AB ＝AC ＝10m 树根部为C (A 、B 、C 在同一水平面上)，则∠ACB ＝________.[答案] 30°[解析] 如图，AC ＝10，∠DAC ＝45°，∴DC ＝10，∵∠DBC ＝30°，∴BC ＝103， cos ∠ACB ＝102＋(103)2－1022×10×103＝32，∴∠ACB ＝30°.6．(2014·新课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100m ，则山高MN ＝________m .[答案] 150m[解析] 本题考查解三角形中的应用举例．如图，在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°， ∴AC ＝100 2.在△AMC 中，∠CAM ＝75°，∠ACM ＝60°， ∴∠AMC ＝45°.由正弦定理知AM sin60°＝1002sin45°，∴AM ＝100 3.在Rt △AMN 中，∠NAM ＝60°， ∴MN ＝AM ·sin60°＝1003×32＝150(m)．三、解答题7.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12n mile ，渔船乙以10n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h 追上．(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．[解析] (1)在△ABC 中，∠BAC ＝180°－60°＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BAC ＝α.由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784. 解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC2＝14n mile/h.(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin120°.即sin α＝AB sin120°BC ＝12×3228＝3314.8．据气象台预报，在S 岛正东距S 岛300 km 的A 处有一台风中心形成，并以每小时30 km 的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km 以内的地区将受到台风的影响．问：S 岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S 岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．[分析] 设B 为台风中心，则B 为AB 边上动点，SB 也随之变化．S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB ，可设台风中心经过t h 到达B 点，则在△ABS 中，由余弦定理可求SB .[解析] 如图，设台风中心经过t h 到达B 点，由题意：∠SAB ＝90°－30°＝60°，在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，由余弦定理得：SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cos∠SAB＝3002＋(30t)2－2·300·30t cos60°.若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270即SB2≤2702，化简整理得t2－10t＋19≤0，解之得5－6≤t≤5＋6，所以从现在起，经过(5－6)h S岛开始受到影响，(5＋6)小时后影响结束，持续时间：(5＋6)－(5－6)＝26(h)．答：S岛从现在起经过(5－6)h受到台风影响，且持续时间为26h.。

人教B版高中数学必修五《第一章解三角形 1.2 应用举例》_30

第一课时 1.2 应用举例（一）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC 中，∠C ＝60°，a ＋b ＝＋1)，c ＝，则∠A 为 .2.在△ABC 中，sin A ＝sin sin cos cos B C B C++，判断三角形的形状. 解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：① 出示例1：如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是55m ，∠BAC =51︒，∠ACB =75︒. 求A 、B 两点的距离(精确到0.1m ).分析：实际问题中已知的边与角？选用什么定理比较合适？→ 师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？ ③ 出示例2：如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD =a ，并且在C 、D 两点分别测得∠BCA =α，∠ACD =β，∠CDB =γ，∠BDA =δ.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→ 写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在∆ADC 和∆BDC 中，应用正弦定理得AC =sin()sin[180()]a γδβγδ+︒-++ =sin()sin()a γδβγδ+++， BC =sin sin[180()]a γαβγ︒-++=sin sin()a γαβγ++. 计算出AC 和BC 后，再在∆ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离AB =④ 练习：若在河岸选取相距40米的C 、D 两点，测得∠BCA =60︒，∠ACD =30︒，∠CDB =45︒，∠BDA =60︒. （答案：AB .2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 的C 、D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°. A 、B 、C 、D 在同一个平面，求两目标A 、B 间的距离. ()2. 两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东30︒，灯塔B在观察站C 南偏东60︒，则A 、B a km ）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：① 出示例1：AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.分析：测量方法→ 计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC =sin sin()a βαβ-，AB = AE +h =AC sin α+h =sin sin sin()a αβαβ-+h . ② 练习：如图，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角α=5440︒'，在塔底C 处测得A 处的俯角β=501︒'. 已知铁塔BC 部分的高为27.3 m ,求出山高CD (精确到1 m )③ 出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D 在东偏南15︒的方向上,行驶5km后到达B 处,测得此山顶在东偏南25︒的方向上,仰角为8︒,求此山的高度CD .分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？分别选用什么定理来依次解各三角形？ → 师生共同解答.解答:在∆ABC 中, ∠A =15︒,∠C = 25︒-15︒=10︒,根据正弦定理,sin BC A = sin AB C, BC =sin sin AB A C =5sin15sin10︒︒≈7.4524(km )，CD =BC ⨯tan ∠DBC ≈BC ⨯tan8︒≈1047(m ). 2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A 、B 两个目标，测得目标A 在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B 在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30︒，测得塔基B 的俯角为45︒，则塔AB 的高度为多少m ？答案：(m ) 2. 在平地上有A 、B 两点，A 在山的正东，B 在山的东南，且在A 的南25°西300米的地方，在A 侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：① 出示例1：甲、乙两船同时从B 点出发，甲船以每小时10(3＋1)km 的速度向正东航行，乙船以每小时20km 的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A 、C 两点，求A 、C 两点的距离，以及在A 点观察C 点的方向角.分析：根据题意，如何画图？ →解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→ 学生讲述解答过程（答案：630） → 小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？② 练习：已知A 、B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°，甲船自A 以50海里／小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的 →解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？ ③ 出示例2：某巡逻艇在A 处发现北偏东45︒相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？ → 寻找三角形中的已知条件和问题？ →如何解三角形.→ 师生共同解答. （答案：北偏东8331'︒方向；1.4小时）④ 练习：某渔轮在A 处测得在北45°的C 处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A 南偏西︒50相距12海里的B 处,发现敌舰正由岛沿北偏西︒10的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A 点西400千米的B 处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A 处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A 组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明. 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：∆ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为ha 、hb、h c，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=12absin C，S=1bcsin A,S=12acsinB③练习：已知在∆ABC中，∠B=30︒,b=6,c求a及∆ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm2）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边= 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在∆ABC中，求证：（1）222222sin sin;sina b A Bc C++=（2）2a+2b+2c=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若22tantanA aB b=，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20︒的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40︒. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。

第7节余弦定理、正弦定理应用举例--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第七节余弦定理、正弦定理应用举例测量中的几个有关术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线01上方的叫做仰角，目标视线在水平视线02下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α(1)北偏东α：(2)南偏西α：坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i ＝hl＝tan θ解三角形应用问题的步骤：1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同．()(2)若从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系．()(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其范围为0，π2.()(5)在方向角中，始边一定是南或北，旋转方向一定是顺时针．()答案(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2．小题热身(1)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点间的距离为()A．502m B．503m C．252m D．2522m 答案A解析在△ABC中，由正弦定理得ABsin∠ACB＝ACsin∠CBA，又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，所以AB＝AC sin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝502(m)．故选A.(2)(人教A必修第二册6.4.3例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()A．(303＋30)m B．(153＋30)m C．(303＋15)m D．(153＋15)m 答案A解析在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB＝AB sin30°sin∠APB＝60×126－24＝30(6＋2)，所以该树的高度为30(6＋2)sin45°＝303＋30(m)．故选A.(3)如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2min，从D沿着DC走到C用了3min.若此人步行的速度为每分钟50m，则该扇形的半径为________m.答案507解析连接OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，解得OC ＝507.则该扇形的半径为507m.考点探究——提素养考点一测量距离问题例1(2024·重庆模拟)一个骑行爱好者从A 地出发，向西骑行了2km 到达B 地，然后再由B地向北偏西60°骑行了23km 到达C 地，再从C 地向南偏西30°骑行了5km 到达D 地，则A 地到D 地的直线距离是()A ．8kmB ．37kmC ．33kmD ．5km答案B解析如图，在△ABC 中，∠ABC ＝150°，AB ＝2，BC ＝23，依题意，∠BCD ＝90°，在△ABC中，由余弦定理得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝4＋12＋83×32＝27，由正弦定理得sin ∠ACB ＝AB sin ∠ABC AC＝714，在△ACD 中，cos ∠ACD ＝cos(90°＋∠ACB )＝－sin ∠ACB ＝－714，由余弦定理得AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos ∠ACD ＝28＋25＋2×27×5×714＝37.所以A 地到D 地的直线距离是37km.故选B.【通性通法】距离问题的类型及解法(1)类型：①两点间既不可达也不可视；②两点间可视但不可达；③两点都不可达．(2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．【巩固迁移】1．已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处出现险情，此时在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情况通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．(1)计算渔政船C与渔港O的距离；(2)若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？(参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，sin63.43°≈0.89，tan63.43°≈2.00，11≈3.32，13≈3.61)解(1)∵AO⊥OB，∠OBA＝68.20°，OB＝160，∴AO＝OB tan∠OBA≈160×2.50＝400，∵AO⊥OC，∠OCA＝63.43°，∴OC＝OAtan63.43°≈4002.00＝200.即渔政船C与渔港O的距离为200海里．(2)由题意知∠OBC＝60°＋60°＝120°，在△OBC中，由余弦定理得OC2＝OB2＋BC2－2OB·BC cos∠OBC，即40000＝25600＋BC2＋160BC，解得BC＝－80－4013(舍去)或BC＝－80＋4013，即BC≈－80＋40×3.61＝64.4，∵64.425＝2.576<3，∴渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能在3小时内赶到出事地点．考点二测量高度问题例2(1)(2024·江苏南通调研)湖北宜昌三峡大瀑布是国家4A 级景区，也是神农架探秘的必经之地，为了测量湖北宜昌三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A 点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32，沿山道继续走20m ，抵达B 点位置测得瀑布顶端的仰角为π3.已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为π3，则该瀑布的高度约为()A ．60mB ．90mC ．108mD ．120m答案A解析根据题意作出示意图，其中tan α＝32，β＝θ＝π3，AB ＝20，在Rt △AOH 中，tan α＝OHOA，所以OA ＝23OH .在Rt △BOH 中，tan β＝OH OB ，所以OB ＝33OH .在△AOB 中，由余弦定理，得OB 2＝OA 2＋AB 2－2OA ·AB cos θ，即13OH 2＝49OH 2＋202－2×23OH ×20×12，解得OH ＝60.所以该瀑布的高度约为60m ．故选A.(2)(2023·辽宁协作校联考)山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海五路以西，南环路以北．整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮．如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB ，选取了与楼底B 在同一水平面内的两个测量基点C ，D ，现测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝95°，CD ＝116m ，在点D 处测得黄河楼顶A 的仰角为45°，求黄河楼的实际高度．(结果精确到0.1m ，取sin55°＝0.82)解由题知，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝55°，在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，则BD ＝CD sin ∠BCD sin ∠CBD＝116×sin30°sin55°＝580.82≈70.7m ，在△ABD 中，AB ⊥BD ，∠ADB ＝45°，所以AB ＝BD tan ∠ADB ＝BD ≈70.7m.故黄河楼的实际高度约为70.7m.【通性通法】(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角．(2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．(4)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．【巩固迁移】2．(2023·安徽蚌埠模拟)圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午阳光照射在表上时，影子就会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市(北纬32.92°)的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角(即∠ABC )约为33.65°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC )约为80.51°.圭面上冬至线和夏至线之间的距离(即BD 的长)为7米，则表高(即AC 的长)约为()A ．cos80.51°7tan46.86°B ．7tan46.86°sin33.65°C ．7sin33.65°sin80.51°sin46.86°D ．sin33.65°7sin80.51°答案C解析由图可知∠BAD ＝∠ADC －∠ABC ＝80.51°－33.65°＝46.86°.在△ABD 中，BDsin ∠BAD＝AD sin ∠ABC ，得AD ＝7sin33.65°sin46.86°.在△ACD 中，AC ＝AD sin ∠ADC ＝7sin33.65°sin80.51°sin46.86°.故选C.考点三测量角度问题例3已知在岛A 南偏西38°方向，距岛A 3海里的B 处有一艘缉私艇．岛A 处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛A 北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5sin38°≈5314，解如图，设缉私艇在C 处截住走私船，D 为岛A 正南方向上一点，缉私艇的速度为x 海里/小时，则BC ＝0.5x ，AC ＝5，依题意，∠BAC ＝180°－38°－22°＝120°，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos120°，所以BC 2＝49，所以BC ＝0.5x ＝7，解得x ＝14.又由正弦定理得sin ∠ABC ＝AC sin ∠BAC BC ＝5×327＝5314，所以∠ABC ＝38°，又∠BAD ＝38°，所以BC ∥AD .故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船．【通性通法】(1)测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．(2)方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角．【巩固迁移】3.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝()A ．33B ．6－2C ．3－1D ．2－1答案C解析由题意知，∠CAD ＝15°，∠CBD ＝45°，所以∠ACB ＝30°，∠ABC ＝135°.在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin30°＝ACsin135°，又AB ＝100m ，所以AC ＝1002m ．在△ADC 中，∠ADC ＝90°＋θ，CD ＝50m ，由正弦定理，得AC sin （θ＋90°）＝CDsin15°，所以cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC sin15°CD＝3－1.故选C.课时作业一、单项选择题1.如图，两座相距60m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20m ，50m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案B解析由已知，得AD ＝2010m ，AC ＝305m ，又CD ＝50m ，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝（305）2＋（2010）2－5022×305×2010＝600060002＝22，又0°＜∠CAD ＜180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.故选B.2.如图，设A ，B 两点在河的两岸，在A 所在河岸边选一定点C ，测量AC 的距离为50m ，∠ACB ＝30°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点间的距离是()A ．252mB ．502mC ．253mD ．503m答案A解析在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠CAB ＝105°，所以∠ABC ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝AB sin ∠ACB ，得AB ＝AC sin ∠ACB sin ∠ABC ＝50sin30°sin45°＝50×1222＝252(m)．故选A.3．(2023·山东济南模拟)如图，一架飞机从A 地飞往B 地，两地相距500km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从A 点起飞以后，就沿与原来的飞行方向AB 成12°角的方向飞行，飞行到中途C 点，再沿与原来的飞行方向AB 成18°角的方向继续飞行到终点B 点．这样飞机的飞行路程比原来的路程500km 大约多飞了(sin12°≈0.21，sin18°≈0.31)()A ．10kmB ．20kmC ．30kmD ．40km 答案B 解析在△ABC 中，由A ＝12°，B ＝18°，得C ＝150°，由正弦定理，得500sin150°＝BC sin12°＝AC sin18°，所以50012≈BC 0.21≈AC 0.31，所以AC ≈310km ，BC ≈210km ，所以AC ＋BC －AB ≈20(km)．故选B.4.(2023·安徽六安一中校考模拟预测)《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书．”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清澈，表现力强．如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A ，B 处分别作切线相交于点C ，测得AC ＝100cm ，BC ＝100cm ，AB ＝180cm ，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为()A ．0.62B ．0.56C ．－0.56D ．－0.62答案A 解析如图所示，设弧AB 对应的圆心是O ，根据题意可知，OA ⊥AC ，OB ⊥BC ，则∠AOB＋∠ACB ＝π，因为AC ＝100，BC ＝100，AB ＝180，则在△ACB 中，cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝1002＋1002－18022×100×100＝－0.62，所以cos ∠AOB ＝cos(π－∠ACB )＝－cos ∠ACB ＝0.62.故选A.5．(2023·山西太原模拟)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度BC 为60m ，则此时气球的高度为()A ．15(3－1)mB ．15(3＋1)mC ．30(3－1)mD ．30(3＋1)m 答案B 解析在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝75°－30°＝45°，BC ＝60m ，则∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°.又sin105°＝sin(60°＋45°)＝32×22＋12×22＝6＋24，BC sin ∠BAC ＝AC sin ∠ABC ，所以AC ＝60×6＋2422＝30(3＋1)m ，所以气球的高度为AC sin ∠ACB ＝30(3＋1)×12＝15(3＋1)m ．故选B.6.(2023·福州模拟)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面B ，C 两受灾点的视角为∠BPC ，且tan ∠BPC ＝13.已知地面上三处受灾点B ，C ，D 共线，且∠ADB ＝90°，BC ＝CD ＝DA ＝1km ，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是()A ．2kmB ．2kmC ．3kmD ．4km 答案B 解析解法一：由题意得BD ⊥平面PAD ，∴BD ⊥PD .设PD ＝x ，∠PBD ＝α，∠PCD ＝β，则tanα＝x2，tanβ＝x，∴tan∠BPC＝tan(β－α)＝x－x21＋x·x2＝xx2＋2＝13，解得x＝1或x＝2，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.故选B.解法二：由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.由tan∠BPC＝13，可得cos∠BPC＝31010，在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2x2＋5·x2＋2·31010，解得x2＝3，进而PD＝x2＋1＝2.故选B.7.大型城雕“商”字坐落在商丘市睢阳区神火大道与南京路交汇处，“商”字城雕有着厚重悠久的历史和文化，它时刻撬动着人们认识商丘、走进商丘的欲望．吴斌同学在今年国庆期间到商丘去旅游，经过“商”字城雕时，他想利用解三角形的知识测量一下该雕塑的高度(即图中线段AB的长度)．他在该雕塑塔的正东C处沿着南偏西60°的方向前进72米后到达D处(A，C，D三点在同一个水平面内)，测得图中线段AB在东北方向，且测得点B的仰角为71.565°，则该雕塑的高度大约是(参考数据：tan71.565°≈3)()A．19米B．20米C．21米D．22米答案C解析在△ACD中，∠CAD＝135°，∠ACD＝30°，CD＝72，由正弦定理得ADsin∠ACD＝CDsin∠CAD，所以AD＝CD sin∠ACDsin∠CAD＝7(米)，在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，所以AB＝AD tan71.565°≈7×3＝21(米)．故选C.8．(2023·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000m，速度为50m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为(2≈1.4，3≈1.7)()A．7350m B．2650mC．3650m D．4650m答案B解析如图，设飞机的初始位置为点A，经过420s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D，则∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，则BC＝2100012×sin15°＝10500(6－2)(m)，因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin45°＝10500(6－2)×22＝10500(3－1)≈7350(m)，所以山顶的海拔高度大约为10000－7350＝2650(m)．故选B.二、多项选择题9．某人向正东走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3km，结果离出发点恰好3km，那么x的值是()A．3B．23C．3D．6答案AB解析如图，AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°.由余弦定理，得3＝x2＋9－2×3×x×cos30°，解得x＝23或x＝ 3.故选AB.10．某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°，则下列说法正确的是()A．A处与D处之间的距离是24n mileB ．灯塔C 与D 处之间的距离是83n mileC ．灯塔C 在D 处的南偏西30°D ．D 处在灯塔B 的北偏西30°答案ABC 解析在△ABD 中，由已知，得∠ADB ＝60°，∠DAB ＝75°，则∠B ＝45°.由正弦定理，得AD＝AB sin B sin ∠ADB ＝126×2232＝24，所以A 处与D 处之间的距离为24n mile ，故A 正确；在△ADC中，由余弦定理，得CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC cos30°，又AC ＝83，所以CD ＝8 3.所以灯塔C 与D 处之间的距离为83n mile ，故B 正确；因为AC ＝CD ＝83，所以∠CDA ＝∠CAD ＝30°，所以灯塔C 在D 处的南偏西30°，故C正确；因为灯塔B 在D 处的南偏东60°，所以D 处在灯塔B 的北偏西60°，故D 错误．故选ABC.三、填空题11．神舟载人飞船返回舱成功着陆，标志着返回任务取得圆满成功．假设返回舱D 垂直下落于点C ，某时刻地面上A ，B 两个观测点，观测到点D 的仰角分别为45°，75°，若点A ，B间的距离为10千米(其中向量CA →与CB →同向)，估算该时刻返回舱距离地面的距离CD 约为________千米．(结果保留整数，参考数据：3≈1.732)答案14解析在△ABD 中，A ＝45°，∠ABD ＝180°－75°＝105°，∠ADB ＝30°，由正弦定理得AB sin30°＝AD sin105°，AD ＝20sin105°＝20sin(60°＋45°)＝5(6＋2)，所以CD ＝AD sin A ＝5(6＋2)×22＝53＋5≈14(千米)．12.魏晋南北朝时期，数学在测量学取得了长足进展．刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，通过多次观测，测量山高谷深等数值，进而使中国的测量学达到登峰造极的地步．关于重差术的注文在唐代成书，因其第一题为测量海岛的高和远的问题，故将《重差》更名为《海岛算经》．受此启发，小明同学依照此法测量泾阳县崇文塔的高度(示意图如图所示)，测得以下数据(单位：米)：前表却行DG ＝1，表高CD ＝EF ＝2，后表却行FH ＝3，表间DF ＝85.则塔高AB ＝________米．答案87解析由题意可知，△EFH ∽△ABH ，△CDG ∽△ABG ，所以EF AB ＝FH BH ，CD AB ＝DG BG，又EF ＝CD ＝2，DG ＝1，FH ＝3，DF ＝85，所以2AB ＝3BD ＋88，2AB ＝1BD ＋1，则3BD ＋88＝1BD ＋1，解得BD ＝852，所以AB ＝2BD ＋2＝87.13．海面上有相距10n mile 的A ，B 两个小岛，从A 岛望C 岛，和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛，和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离为________n mile.答案56解析由题意，知C ＝45°，A ＝60°，AB ＝10.由BC sin A ＝AB sin C，得BC ＝56n mile.14．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和无限的科技创新．如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°，60°(A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内)，则A ，B 两点之间的距离为________米．答案10015解析由题意，∠DCB ＝30°，∠CDB ＝60°，所以∠CBD ＝90°，所以在Rt △CBD 中，BD ＝12CD ＝300，BC ＝32CD ＝3003，又∠DCA ＝75°，∠CDA ＝45°，所以∠CAD ＝60°，在△ACD 中，由正弦定理，得AC sin45°＝CD sin60°，所以AC ＝60032×22＝2006，在△ABC 中，∠ACB ＝∠ACD －∠BCD ＝75°－30°＝45°，由余弦定理得，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ＝(2006)2＋(3003)2－2×2006×3003×22＝150000，所以AB ＝10015.四、解答题15．某市广场有一块不规则的绿地，如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ，△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用更低(请说明理由)?解(1)在△ABC 中，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，①在△ABD 中，由余弦定理得cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D 得cos C ＝cos D ，解得AB ＝7，所以AB 的长度为7米．(2)小李的设计使建造费用更低．理由如下：易知S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD ＞AC ·BC ，且∠C ＝∠D ，所以S △ABD ＞S △ABC .故选择△ABC 的形状建造环境标志费用更低．16．一颗人造地球卫星在地球上空1600km 处沿着圆形的轨道运行，每2h 沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站点A 的正上空，地球半径约为6400km.(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离；(2)如果此时卫星跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？(参考数据：cos9°≈0.988，sin9°≈0.156)解(1)如图所示，设人造卫星在12：03时位于点C ，其中∠AOC ＝β，则β＝360°×3120＝9°，在△ACO 中，OA ＝6400km ，OC ＝6400＋1600＝8000(km)，β＝9°，由余弦定理得AC 2＝64002＋80002－2×6400×8000cos9°≈3.79×106，解得AC ≈1.95×103，因此在12：03时，人造卫星与卫星跟踪站相距约1950km.(2)如图所示，设此时天线瞄准的方向与水平线的夹角为γ，则∠CAO ＝γ＋90°，由正弦定理得1950sin9°＝8000sin （γ＋90°），故sin(γ＋90°)＝80001950·sin9°≈0.64，即cos γ≈0.64，因此，天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64.17．近年来临夏州深入实施生态环境保护和流域综合治理，城区面貌焕然一新．某片水域，如图，OA ，OB 为直线型岸线，OA ＝200米，OB ＝400米，∠AOB ＝π3，该水域的水面边界是某圆的一段弧AB ︵，过弧AB ︵上一点P 按线段PA 和PB 修建垃圾过滤网，已知∠APB ＝3π4(1)求岸线上点A 与点B 之间的距离；(2)如果线段PA 上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约50元的经济效益，线段PB 上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约402元的经济效益，则这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为多少元？(参考数据：102≈10.1，170≈13.04)解(1)由题意，OA ＝200米，OB ＝400米，∠AOB ＝π3，故AB ＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB cos ∠AOB＝2002＋4002－2×200×400×12＝2003(米)．(2)设∠PAB ＝θ，θ则在△PAB 中，ABsin ∠APB ＝PA ＝PB sin θ，即2003sin 3π4＝PA ＝PB sin θ，故PA ＝2006sin PB ＝2006sin θ，设这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益为y 元，则y ＝50PA ＋402PB ＝100006160003sin θ＝100006θ－22sin 160003sin θ＝60003sin θ＋100003cos θ＝20003(3sin θ＋5cos θ)＝2000102sin(θ＋φ)，其中φ为辅助角，不妨取其为锐角，tan φ＝53<3，则φ当θ＋φ＝π2，即θ＝π2－φ时，y 取到最大值2000102，故经济总效益的最大值为2000102≈2000×10.1＝20200(元)，即这两段垃圾过滤网可为环卫公司节约的经济总效益最高约为20200元．18.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 处沿直线步行到C 处，另一种是先从A 处沿索道乘缆车到B 处，然后从B 处沿直线步行到C 处．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min ，在甲出发2min 后，乙从A 处乘缆车到B 处，在B 处停留1min 后，再从B 处匀速步行到C 处．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min ，山路AC 的长为1260m ，经测量，cos A ＝1213，cos C ＝35.(1)求索道AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？解(1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45，从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理得AB ＝AC sin B ·sin C ＝12606365×45＝1040(m)，所以索道AB 的长为1040m.(2)假设乙出发t min 后，甲、乙两游客的距离为d m ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)＝＋6251369.因为0≤t ≤1040130，即0≤t ≤8，所以当t ＝3537时，甲、乙两游客距离最短，即乙出发3537min 后，乙在缆车上与甲的距离最短．。

高中数学必修五-正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C 变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin Acos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A为钝角或直角时，a ≤b ，无解．2、三角形常用面积公式1．S ＝a •h a （h a 表示边a 上的高）；2．S ＝ab sin C ＝ac sin B ＝bc sin A ．3．S ＝r （a +b +c ）（r 为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1C．2D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin B =b sin A ，则a =（）A．B ．C ．1D ．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R 是△ABC 外接圆半径）a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ，b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B ，c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C变形形式①a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；②sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝；③a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C ；④a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A cos A ＝，cos B ＝，cos C ＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC 中，已知a ，b 和角A 时，解的情况A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba≥ba ＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A 为锐角时，a ＜b sin A ，无解．当A 为钝角或直角时，a ≤b ，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且（a +b ）2=c 2+ab ，B =30°，a =4，则△ABC 的面积为（）A ．4B ．3C ．4D ．6例2.设△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A ．B ．C ．或D ．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；的最大值．（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。

必修5_第一章_正弦定理和余弦定理_知识点及典型例题全新

正弦定理和余弦定理要点梳理1．正弦定理其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ； (2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ； (3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题． 2．三角形面积公式S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c)·r(r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、r.3．余弦定理：222222222a b c 2bccos A b a c 2accos B c a b 2abcos C ＝＋－，＝＋－，＝＋－.余弦定理可以变形为：cos A ＝222b c a2bc+-，cos B ＝222a c b 2ac +-，cos C ＝222a b c 2ab+-.4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题．基础自测1．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ 1 .2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.3．在△AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝ 4或5 . 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( C )A ．2 2B ．8 2 C. 2 D.222sin sin sin a b cR A B C===题型分类深度剖析题型一利用正弦定理求解三角形例1 在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°.求角A 、C 和边c .思维启迪已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的判断．解: 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，3sin A ＝2sin 45°，∴sin A ＝32.∵a >b ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，c ＝bsin C sin B ＝6＋22；当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，c ＝bsin Csin B ＝6－22.探究提高 (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．变式训练1 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则A ＝6π解析 ∵A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3. 由正弦定理知sin A ＝a sin B b ＝12.题型二利用余弦定理求解三角形例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且cos B cos C ＝b2a c-+.（1）求角B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由余弦定理知：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab .将上式代入cos B cos C ＝－b2a ＋c 得：a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b 2a ＋c，整理得：a 2＋c 2－b 2＝－ac . ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12.∵B 为三角形的内角，∴B ＝23π.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝23π代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ，∴13＝16－2ac ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，∴ac ＝3.∴S △ABC ＝12ac sin B ＝334.探究提高 (1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练2已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2A2cos+cos A=02. (1)求角A 的值； (2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解 (1)由2A 2cos+cos A=02，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12. ∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3，则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4，有12＝42－bc ，则bc ＝4，故S △ABC ＝12bcsin A ＝ 3.题型三正、余弦定理的综合应用例3. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边22sin )()sin ,A C a b B -=-已知△ABC 外接圆半径为（1）求角C 的大小；（2）求△ABC 面积的最大值.解: （1）∵△ABC 22sin )()sin ,A C a b B -=-且22))(,A C a b B -=-即∴由正弦定理得：22(),a c a b b -=-即222,a b c ab +-=由余弦定理得：222cos 2a b c C ab +-=2ab ab =12=，(0,)C π∈Q ，.3C π∴=（2）max 2S =+探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．变式训练3在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c . (1)若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，试判断△ABC 的形状．解 (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 得a 2＋b 2－ab ＝4.又∵△ABC 的面积为3，∴12ab sin C ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由sin C ＋sin(B －A )＝sin 2A ，得sin(A ＋B )＋sin(B －A )＝2sin A cos A ，即2sin B cos A ＝2sin A cos A ，∴cos A ·(sin A －sin B )＝0， ∴cos A ＝0或sin A －sin B ＝0，当cos A ＝0时，∵0<A <π，∴A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sin A －sin B ＝0时，得sin B ＝sin A ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．思想方法感悟提高方法与技巧1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的重点，利用三角形内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题．2．应熟练掌握和运用内角和定理：A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数．3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C －2sin B ·sin C ·cos A ，可以进行化简或证明．4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．过关精练一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 2．△ABC 中，若a 4＋b 4＋c 4＝2c 2(a 2＋b 2)，则角C 的度数是( )A ．60°B ．45°或135°C ．120°D ．30°3．在ABC ∆中，ABC S bc ABC ∆∆,35,20==的外接圆半径为3，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．234．在ABC ∆中，已知,45,1,2ο===B c b 则a 等于（）A ．226- B ．226+ C1 D ．23-5．在ABC ∆中2,3,3,AB AC BA AC ==⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r则A ∠等于（）A ．120°B ．60°C ．30°D ．150° 6．在ABC ∆中，7:5:3::=c b a ，则这个三角形的最大角为（）A ．ο30 B ．ο90 C ．ο120 D ．ο60 7．在△ABC 中,已知三边之比4:3:2::=cb a ，则=-CB A 2sin sin 2sin （）A ．1B ．2C ．2-D ．21 8．ABC ∆中，边c b a ,,的对角分别为A 、B 、C ，且A=2B ，32a b =，cos B =（）A ．21B ．31C ．32D ．43二、填空题9．在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是三角形10．在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ，则角C ＝________. 11．在△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A 、B 、C ，且B C A C A 222sin sin sin sin sin =⋅-+。

必修5第二章第1节正弦定理与余弦定理(理)

【本讲教育信息】一. 教学内容：必修5 正弦定理、余弦定理二、教学目标〔1〕熟练的掌握正弦定理、余弦定理及其简单的应用。

〔2〕在正、余弦定理应用过程中，体会利用函数与方程的数学思想处理已知量与未知量的关系。

利用等价转化的数学思想、分类讨论的数学思想应用正弦定理、余弦定理解题。

三、知识要点分析1、正弦定理的有关知识〔设△ABC 的,,A B C ∠∠∠所对的边是a ，b ，c ，外接圆半径是R 〕正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===，由正弦定理得〔i 〕2sin sin sin sin sin sin a b c a b cR A B C A B C++====++〔ii 〕::sin :sin :sin a b c A B C =。

正弦定理应用：〔1〕已知一边和两角求其余的边和角。

2、三角形的面积公式〔1〕1,(2a a S a h h a =⋅是边上高）〔h a是a 边上的高〕〔2〕111S sin sin sin 222ab C bc A ac B ===。

〔3〕 1(),(2S a b c r r =++⋅是内切圆半径）3、余弦定理的有关知识。

〔设△A, B, C ABC ∠∠∠的三个角所对的边是a,b,c 〕余弦定理：22222222cos )2(1cos )cos 2b c a b c bc A b c bc A A bc+-=+-=+-+⇒=a （22222222cos ()2(1cos )cos 2a c b b a c ac B a c ac B B ac+-=+-=+-+⇒=22222222cos ()2(1cos )cos 2a b c c a b ab C a b ab C C ab+-=+-=+-+⇒=余弦定理应用：〔1〕已知三边求角，〔2〕已知两边及其夹角求其余的边和角。

【典型例题】考点一：利用正弦定理、余弦定理求三角形的边和角例1、在△03,2,45c ABC a b B ===中，已知，求A,C 和B=45°，求A ，C 和。

高二数学必修5 正弦定理、余弦定理(二)

高二数学必修5正弦定理、余弦定理（二）
教学目标：
熟练掌握正、余弦定理应用，进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质，综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化.
Ⅱ.讲授新课
［例1］在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长.
分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的.
解：设三角形的三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又设最小角为α，则
［例2］如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积.
分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S△ABC＝ AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面积可以转化为S△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝ AC·ADsin ，S△ADB＝ AB·AD·sin ，因此通过S△ABC＝S△ADC＋S△ADB建立关于含有sinA，sin 的方程，而sinA＝2sin cos ，sin2 ＋cos2 ＝1，故sinA可求，从而三角形面积可求.
2.在△ABC中，已知角B＝45°，D是BC边上一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，求AB.
解：在△ADC中，
cosC＝＝＝，
又0＜C＜180°，∴sinC＝
在△ABC中，＝
∴AB＝ AC＝ · ·7＝ .
评述：此题在求解过程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求边，要求学生注意正、余弦定理的综合运用.

人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)

1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1．在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。

2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。

3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。

4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。

5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。

三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1．在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。

人教版高中数学必修5《正、余弦定理的应用举例》教案

人教版高中数学必修5《正、余弦定理的应用举例》教案1、正、金抵定理的疹用举例要测量对岸A、B两点Z间的距离，选取相距的仙7?的C、D两点并测得ZACB=75,ZBCD二45。

，ZADC=30,ZADB=45,求A、B之间的距离.參2沿一条小路前进，从A到B,方位角〔从正北方向顺时针转到AB方向所成的角〕是50。

，距离是3km,从B到C,方位角是110,距离是3km,从C到D,方位角是140,距离是〔9+3巧〕km.试画出示意图，并计算出从A到D的方位角和距离〔结果保辭根号〕.Wr3如下图，已知半圆的直径AB=2,点C在AB的延长线上，BC=1,点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD,且点D与圆心0分别在PC的两侧，求四边2、形OPDC面积的最大值.^4某观测站C在A城的南偏西20。

的方向.由A 城出发的一条公路，走向是南偏东40,在C处测得公路上B处有一人距C为31千米正沿公路向A城走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少「米才能到达A城?C如下图，测量河对岸的塔高AB时，可以选打塔底B在同一水平面内的两个测点C」jD,现测得ZBCDn,ZBDC二0,CD 二s,并在点C测得塔顶A的仰角为0,求塔高AB.A/繆匕为了竖一块广告牌，要制造三角形支架.三角形支架如下图，要求ZACB=60,BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米.为了使广告牌稳固，要求AC的长度越短越3、好，求AC最短为多少米？且当AC最短吋，BC长度为多少米？7在Z^ABC 中，、b、c分别为角A、B、C的对边，设f(x)=a2x2~(a2—b2)x—4c2.(1)/(1)=0且B—C二彳，求角C的大小；(2)若/(2)=0,求角C的取值范围.*、8在厶ABC 中,a,b,c分别为角A,B,C的对边.已知gl,b=2,cosC=-.4(1)求c的值;⑵求sin(C-A)的值.@9如下图，扇形AOB,圆心角AOB等于60。

正余弦定理地应用举例教案设计

天津职业技术师范大学人教A版数学必修51.2正弦定理余弦定理的应用举例理学院数学0701田承恩一、教材分析本课是人教A版数学必修5 第一章解三角形中1.2的应用举例中测量长度问题。

因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。

本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。

同学们在学习时可以考虑，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件？要注意的是在某种特殊的实际问题下哪些条件可以测量，哪些不能。

这节课我们就跟同学们共同研究这个问题。

(一)重点1.正弦定理、余弦定理各自的公式记忆。

2.解斜三角形问题的实际应用以及全章知识点的总结归纳。

(二)难点1.根据已知条件如何找出最简单的解题方法。

2.用应用数学的思想解决实际问题。

(三)关键让学生灵活运用所学正弦定理、余弦定理。

并具备解决一些基本实际问题的能力。

二、学情分析学生已经学习了高中数学大部分内容，已经有了必要的数学知识储备和一定的数学思维能力；作为高中高年级学生，也已经具有了必要的生活经验。

因此，可以通过生活中的例子引入如何用正弦定理、余弦定理解决实际问题。

让学生自然而然地接受一些固定解法，这样，学生既学习了知识又培养了能力。

三、学习目标(一)知识与技能1.熟练掌握正弦定理、余弦定理的公式2.掌握应用正弦定理、余弦定理解题的基本分析方法和步骤(二)过程与方法1.通过应用举例的教学，培养学生的推理能力，优化学生的思维品质2.通过教学中的不断设问，引导学生经历探索、解决问题的过程(三)情感、态度与价值观让同学找到学习数学的乐趣，让同学们感受到数学在现实中应用的广泛性。

四、教学手段计算机，ppt，黑板板书。

五、教学过程（设计）65.7()m ≈新课讲解答：A、B两点间的距离为65.7m。

（值得注意的是在解决实际问题中某些角度和长度我们是可以通过测角仪器和米尺测量的，这些条件通常默认为是已知条件）例二：如图,A.B点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A,B两点间距离的方法。

高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.1正弦定理

§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理思考1 如图，在Rt △ABC 中，a sin A ，b sin B ，csin C分别等于什么？答案a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 还成立吗？答案在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立．梳理在任意△ABC 中，都有a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这就是正弦定理．特别提醒：正弦定理的特点(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．知识点二解三角形一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．1．对任意△ABC ，都有a sin A ＝b sin B ＝csin C.(√)2．任意给出三角形的三个元素，都能求出其余元素．(×) 3．在△ABC 中，已知a ，b ，A ，则三角形有唯一解．(×)类型一正弦定理的证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知，CD b ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ，CD a ＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝bsin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 反思与感悟 (1)用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．跟踪训练1 如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：asin A＝2R .考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的理解证明连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°， ∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二已知两角及一边解三角形例2 在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝10sin 60°sin 30°＝10 3. 又C ＝180°－(30°＋60°)＝90°. ∴c ＝a sin C sin A ＝10sin 90°sin 30°＝20.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝csin C ，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．(2)因为三角形内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解根据三角形内角和定理，得A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三已知两边及其中一边的对角解三角形例3 在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解三角形．考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin C ＝c sin A a ＝6sin 45°2＝32，∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，B ＝75°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 75°sin 60°＝3＋1；当C ＝120°时，B ＝15°，b ＝c sin B sin C ＝6sin 15°sin 120°＝3－1. ∴b ＝3＋1，B ＝75°，C ＝60°或b ＝3－1，B ＝15°，C ＝120°. 引申探究若把本例中的条件“A ＝45°”改为“C ＝45°”，则角A 有几个值？解 ∵a sin A ＝c sin C ，∴sin A ＝a sin C c ＝2·226＝33.∵c ＝6>2＝a ，∴C >A .∴A 为小于45°的锐角，且正弦值为33，这样的角A 只有一个．反思与感悟已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边．跟踪训练3 在△ABC 中，若a ＝2，b ＝2，A ＝30°，则C ＝________. 考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 105°或15°解析由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin 30°2＝22.∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝45°或135°，∴C ＝180°－45°－30°＝105°或C ＝180°－135°－30°＝15°.1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 C解析由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得a sin B ＝b sin A ，故选C.2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 B解析由sin A ＝sin C 及正弦定理，知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形．3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6D ．4考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 C解析易知A ＝45°，由a sin A ＝b sin B 得b ＝a sin B sin A＝8×3222＝4 6. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 π3或2π3解析由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb＝3×222＝32，又A ∈(0，π)，a >b ，∴A >B ，∴A ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，已知a ＝5，sin C ＝2sin A ，则c ＝________. 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 2 5解析由正弦定理，得c ＝a sin Csin A＝2a ＝2 5.1. 正弦定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)． 2. 正弦定理的应用范围(1)已知两角和任一边，求其他两边和其余一角． (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其余两角．3. 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．(2)如果已知的角为大边所对的角，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求唯一锐角．(3)如果已知的角为小边所对的角，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求得两个角，要分类讨论．一、选择题1．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( ) A.53 B.35 C.37 D.57 考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理进行边角互化解三角形答案 A解析根据正弦定理，得sin A sin B ＝a b ＝53.2．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由题意有a sin A ＝b ＝bsin B，则sin B ＝1，又B ∈(0，π)，故角B 为直角，故△ABC 是直角三角形． 3．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 考点正弦定理及其变形应用题点正弦定理的变形应用答案 B解析由正弦定理知sin A a ＝sin Cc ，∴sin C c ＝cos Cc，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1，又∵C ∈(0°，180°)，∴C ＝45°，故选B.4．在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A ．1 B ．2 C. 2 D. 3 考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析 ∵A ＝105°，B ＝45°，∴C ＝30°. 由正弦定理，得c ＝b sin C sin B ＝22sin 30°sin 45°＝2.5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 D解析由正弦定理，得15sin 60°＝10sin B ，∴sin B ＝10sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a >b ，∴A >B ，又∵A ＝60°，∴B 为锐角． ∴cos B ＝1－sin 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫332＝63. 6．在△ABC 中，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 B解析由正弦定理a sin A ＝bsin B，可得3sinπ3＝1sin B ，∴sin B ＝12，由a >b ，得A >B ，∴B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∴B ＝π6. 故C ＝π2，由勾股定理得c ＝2.7．在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则sin A 等于( )A.310B.1010C.55D.31010 考点用正弦定理解三角形题点正弦定理解三角形综合答案 D解析如图，设BC 边上的高为AD ，不妨令AD ＝1.由B ＝π4，知BD ＝1.又AD ＝13BC ＝BD ，∴DC ＝2，AC ＝12＋22＝ 5.由正弦定理知，sin ∠BAC ＝sin B ·BC AC ＝225·3＝31010.8．在△ABC 中，若A ＝60°，B ＝45°，BC ＝32，则AC 等于( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案 B解析由正弦定理得，BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232×22＝23，故选B.二、填空题9．在△ABC 中，若C ＝2B ，则cb的取值范围为________．考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 (1,2)解析因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝_____.考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形答案2113解析在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513，可得sin A ＝35，sin C ＝1213，sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A ·sin C ＝6365，又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.11．锐角三角形的内角分别是A ，B ，C ，并且A >B .则下列三个不等式中成立的是______． ①sin A >sin B ； ②cos A <cos B ；③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 考点用正弦定理解三角形题点利用正弦定理、三角变换解三角形答案 ①②③解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立．函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立．在锐角三角形中，∵A ＋B >π2，∴0<π2－B <A <π2，函数y ＝sin x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是增函数，则有sin A >sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ，即sin A >cos B ，同理sin B >cos A ，故③成立．三、解答题12．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .考点用正弦定理解三角形题点已知两角及一边解三角形解 ∵a sin A ＝c sin C， ∴a ＝c sin A sin C ＝10sin 45°sin 30°＝10 2. B ＝180°－(A ＋C )＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sin B ＝c sin C， ∴b ＝c sin B sin C ＝10sin 105°sin 30°＝20sin 75° ＝20×6＋24＝5(6＋2)． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求B .考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝22， ∵a >b ，∴A >B .∴B 只有一解，∴B ＝45°.四、探究与拓展14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°.若△ABC 有两解，则x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(2,22)D ．(2，2)考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形答案 C解析因为△ABC 有两解，所以a sin B <b <a ，即x sin 45°<2<x ，所以2<x <22，故选C.15．已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．(1)a ＝10，b ＝20，A ＝80°；(2)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.考点用正弦定理解三角形题点已知两边及其中一边对角解三角形解 (1)a ＝10，b ＝20，a <b ，A ＝80°<90°，讨论如下：∵b sin A ＝20sin 80°>20sin 60°＝103，∴a <b sin A ，∴本题无解．(2)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，∵b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，∴b sin A <a <b ，∴本题有两解．由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，又∵B ∈(0°，180°)，∴B ＝60°或B ＝120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 90°sin 30°＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin 30°sin 30°＝2 3. ∴当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝2 3.。

高中数学必修五第一章《正弦定理和余弦定理》1.1.2 第1课时余弦定理及其直接应用

1.1.2 余弦定理第1课时余弦定理及其直接应用学习目标 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.知识点一余弦定理思考1 根据勾股定理，在△ABC 中，C ＝90°，则c 2＝a 2＋b 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .① 试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？答案当a ＝b ＝c 时，C ＝60°，a 2＋b 2－2ab cos C ＝c 2＋c 2－2c ·c cos 60°＝c 2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC ，都有c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .思考2 在c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 中，ab cos C 能解释为哪两个向量的数量积？你能由此证明思考1的猜想吗？答案 ab cos C ＝|CB →||CA→CB →，CA →＝CB →·CA →.∴a 2＋b 2－2ab cos C ＝CB →2＋CA →2－2CB →·CA →＝(CB →－CA →)2＝AB →2＝c 2. 猜想得证.梳理余弦定理的公式表达及语言叙述特别提醒：余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量. 知识点二适宜用余弦定理解决的两类基本的解三角形问题思考1 观察知识点一梳理表格第一行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案每个公式右边都涉及三个量，两边及其夹角.故如果已知三角形的两边及其夹角，可用余弦定理解三角形.思考2 观察知识点一梳理表格第三行中的公式结构，其中等号右边涉及几个量？你认为可用来解哪类三角形？答案每个公式右边都涉及三个量，即三角形的三条边，故如果已知三角形的三边，也可用余弦定理解三角形.梳理余弦定理适合解决的问题：(1)已知两边及其夹角，解三角形；(2)已知三边，解三角形.1.勾股定理是余弦定理的特例.(√)2.余弦定理每个公式中均涉及三角形的四个元素.(√)3.在△ABC 中，已知两边及夹角时，△ABC 不一定唯一.(×)类型一余弦定理的证明例1 已知△ABC ，BC ＝a ，AC ＝b 和角C ，求c 的值. 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的理解解如图，设CB →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，由AB →＝CB →－CA →，知c ＝a －b ，则|c |2＝c ·c ＝(a －b )·(a －b ) ＝a ·a ＋b ·b －2a ·b ＝a 2＋b 2－2|a ||b |cos C . 所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即c ＝a 2＋b 2－2ab cos C .反思与感悟所谓证明，就是在新旧知识间架起一座桥梁.桥梁架在哪儿，要勘探地形，证明一个公式，要观察公式两边的结构特征，联系已经学过的知识，看有没有相似的地方. 跟踪训练1 例1涉及线段长度，能不能用解析几何的两点间距离公式来研究这个问题？考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的理解解如图，以A 为原点，边AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则A (0,0)，B (c ,0)， C (b cos A ，b sin A )，∴BC 2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A ，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A . 同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C . 类型二用余弦定理解三角形命题角度1 已知两边及其夹角例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c 等于( ) A.4 B.15 C.3D.17考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 D解析由三角形内角和定理可知 cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13，又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝⎛⎭⎫－13＝17，所以c ＝17.反思与感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边，再利用正弦定理求其余的角.跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A . 考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形解由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8－43，所以c ＝6－ 2.由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ＝12，因为b >a ，所以B >A ，所以A 为锐角，所以A ＝30°. 命题角度2 已知三边例3 在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C . 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三解形解根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×(43)＝32. ∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22， ∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝7π12，∴A ＝π6，B ＝7π12，C ＝π4.反思与感悟已知三边求三角，可利用余弦定理的变形cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝b 2＋a 2－c 22ba 先求一个角，求其余角时，可用余弦定理也可用正弦定理.跟踪训练3 在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，判断三角形的形状. 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形解因为a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶4∶5，所以可令a ＝2k ，b ＝4k ，c ＝5k (k >0). c 最大，cos C ＝(2k )2＋(4k )2－(5k )22×2k ×4k <0，所以C 为钝角，从而三角形为钝角三角形.1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的第三边长为( )A.52B.213C.16D.4 考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 B解析设第三边长为x ，则x 2＝52＋32－2×5×3×⎝⎛⎭⎫－35＝52，∴x ＝213. 2.在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π12考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 B解析 ∵a >b >c ，∴C 为最小角且C 为锐角，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32. 又∵C 为锐角，∴C ＝π6.3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 D解析设顶角为C ，周长为l ，因为l ＝5c ，所以a ＝b ＝2c ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4c 2＋4c 2－c 22×2c ×2c ＝78.4.在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则c 2＝ .考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 30－4 6解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(32)2＋(23)2－2×32×23×13＝30－4 6.5.在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案 1解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴(3)2＝a 2＋12－2a ×1×cos 2π3，∴a 2＋a －2＝0，即(a ＋2)(a －1)＝0.∴a ＝1或a ＝－2(舍去).∴a ＝1.1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角，解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角.2.余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例.(1)如果一个三角形两边的平方和大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角. (2)如果一个三角形两边的平方和小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角. (3)如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角.一、选择题1.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·c 2＋a 2－b 22ca ＝2a 22a ＝a ＝2.2.在△ABC 中，已知B ＝120°，a ＝3，c ＝5，则b 等于( ) A.4 3 B.7 C.7 D.5 考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 C解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴b ＝7. 3.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A.90° B.120° C.135° D.150° 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 B解析设中间角为θ，则θ为锐角，cos θ＝52＋82－722×5×8＝12，θ＝60°，180°－60°＝120°为所求.4.在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.23 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 B解析 ∵b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b 2＝2a 2， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ×2a＝34.5.若△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( ) A.19 B.14 C.－18 D.－19 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 D解析设三角形的三边分别为a ，b ，c ，依题意得，a ＝5，b ＝6，c ＝7.∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝－ac ·cos B . 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ，∴－ac ·cos B ＝12(b 2－a 2－c 2)＝12(62－52－72)＝－19，∴AB →·BC →＝－19.6.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2A sin C 等于( )A.1B.2C.12D.34考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 A解析由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2a cos Ac＝4cos A3＝1.7.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从点O 沿OD 走到点D 用了2 min ，从点D 沿DC 走到点C 用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min ，则该扇形的半径为( ) A.50 m B.45 m C.507 m D.47 m 考点用余弦定理解三角形题点已知两边及其夹角解三角形答案 C解析依题意得OD ＝100 m ， CD ＝150 m ，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ×CD ×cos ∠ODC ，即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12，解得OC ＝507(m).8.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B.8－4 3C.1D.23 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用答案 A解析 (a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，又c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，∴3ab ＝4，∴ab ＝43.二、填空题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2<c 2，且sin C ＝32，则C ＝ .考点余弦定理及其变形应用题点用余弦定理求边或角的取值范围答案2π3解析因为a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，所以三角形是钝角三角形，且C >π2.又因为sin C ＝32，所以C ＝2π3. 10.在△ABC 中，A ＝60°，最大边长与最小边长是方程x 2－9x ＋8＝0的两个实根，则边BC 的长为 .考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理与一元二次方程结合问题答案57解析设内角B ，C 所对的边分别为b ，c .∵A ＝60°，∴可设最大边与最小边分别为b ，c .由条件可知b ＋c ＝9，bc ＝8，∴BC 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ＝92－2×8－2×8×cos 60°＝57，∴BC ＝57.11.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝6，BC ＝1＋3，AD 为边BC 上的高，则AD 的长是 . 考点余弦定理解三解形题点已知三边解三角形答案3解析 ∵cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22×BC ×AC＝22，∵C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin C ＝22.∴AD ＝AC ·sin C ＝3. 三、解答题12.在△ABC 中，已知A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c . 考点余弦定理及其变形应用题点余弦定理的变形应用解由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )，所以49＝64－2bc ⎝⎛⎭⎫1－12，即bc ＝15, 由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝8，bc ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝3，c ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝5，c ＝3. 13.在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.考点用余弦定理解三角形题点余弦定理解三角形综合问题解 (1)由a 2＋c 2＝b 2＋2ac 得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22. 又0<B <π，所以B ＝π4. (2)A ＋C ＝π－B ＝π－π4＝3π4，所以C ＝3π4－A,0<A <3π4. 所以2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A＝2cos A ＋cos3π4cos A ＋sin 3π4sin A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22sin A ＋22cos A ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. ∵0<A <3π4，∴π4<A ＋π4<π，故当A ＋π4＝π2，即A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1. 四、探究与拓展14.已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，则△ABC 的形状是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定考点判断三角形形状题点利用余弦定理判断三角形形状答案 B解析 ∵直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1无公共点，∴圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2>1，即a 2＋b 2－c 2<0，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab <0，又C ∈(0，π)，∴C 为钝角.故△ABC 为钝角三角形.15.在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，则AC 边上的中线长为 . 考点用余弦定理解三角形题点已知三边解三角形答案 7解析由条件知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理，知x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，所以x ＝7.所以AC 边上的中线长为7.。

新人教A版高中数学(必修5)1.1《正弦定理和余弦定理》

数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。

通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。

（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。

本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。

在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。

教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。

”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。

本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。