温州市鳌江中学高三一轮复习全能测试(文科)专题九 技术原理与概率、统计 算法初步、推理与证明
温州市鳌江中学高三一轮复习全能测试(理科)专题九 技术原理与概率、统计 算法初步、推理与证明
平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试 专题九 技术原理与概率、统计 算法初步、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）； 锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、（2012安徽理）如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 （ ）A ．3B ．4C ．5D ．82、若5)1(-ax 的展开式中3x的系数是80，则实数a 的值是（ ）A ．-2 B. 22 C. 34 D. 23、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5）1l [31．5，35．5）12 [35．5．39．5）7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A C D 4、如图给出的是计算11112462012++++L 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（ ） A ．1005i ≤ B ．1005i > C ．1006i ≤ D ．1006i >5、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有A ．30种B ．90种C ．180种D ．270种6、有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种7、如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）A.3B.5C.6D.108、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有( )A.48个B.12个C.36个D.28个9、定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln(1)h x x =+，()cos x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是：（ ）A ．γβα<<B ．βγα<<C ．βαγ<<D ．γαβ<<10、将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为A ．3B ．6C ．12D ．18非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、（2012 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取____名学生.12、（2012浙江理）若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是______________. 13、在72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3的系数是 ．14、设随机变量X 的分布列如下：若数学期望E (X )＝10，则D (X )＝ ．X 0 5 10 20 P0.1αβ0.215、某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是 ．（用数字作答）16、已知等式141422104232)21()1(x a x a x a a x x x ++++=-⋅-+Λ成立，则+++321a a a 1413a a ++Λ的值等于 .17、用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1Λ的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 种．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图4），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——随机事件的概率
第5节随机事件的概率考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别；2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1.概率与频率(1)频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A n为事件A出现的频率.(2)概率：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A).2.事件的关系与运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B A＝B并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝对立事件若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件A ∩B ＝P (A ∪B )＝13.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P (A )≤1. (2)必然事件的概率P (E )＝1. (3)不可能事件的概率P (F )＝0. (4)互斥事件概率的加法公式①如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ). ②若事件B 与事件A 互为对立事件，则P (A )＝1－P (B ).1.从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集. (2)事件A 的对立事件A －所含的结果组成的集合，是全集中由事件A 所含的结果组成的集合的补集. 2.概率加法公式的推广当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时， 要用到概率加法公式的推广，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n ).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)在大量的重复试验中，概率是频率的稳定值.( ) (3)若随机事件A 发生的概率为P (A )，则0≤P (A )≤1.( )(4)6张奖券中只有一张有奖，甲、乙先后各抽取一张，则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.下列事件中，不是随机事件的是( )A.长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形B.经过有信号灯的路口，遇上红灯C.下周六是晴天D.一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上答案 A3.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：则样本数据落在区间[10，40)的频率为()A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65答案 B解析由表知[10，40)的频数为2＋3＋4＝9，＝0.45.所以样本数据落在区间[10，40)的频率为9204.(易错题)某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”()A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件答案 C解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“两名女生”两种情况，这两种情况再加上“全是男生”构成全集，且不能同时发生，故“至少有一名女生”与“全是男生”既是互斥事件，也是对立事件.5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7解析某群体中的成员分为只用现金支付、既用现金支付也用非现金支付、不用现金支付，它们彼此是互斥事件，所以不用现金支付的概率为1－(0.15＋0.45)＝0.4.6.抛掷一枚均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为掷出向上为偶数点，事件B为掷出向上为3点，则P(A∪B)＝________.答案2 3解析事件A为掷出向上为偶数点，所以P(A)＝12.事件B为掷出向上为3点，所以P(B)＝16，又事件A，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝23.考点一随机事件的关系1.把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A.是对立事件B.是不可能事件C.是互斥但不对立事件D.不是互斥事件答案 C解析显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件.2.设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件，如：投掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件.3.对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________________，互为对立事件的是________________.答案A与B，A与C，B与C，B与D B与D解析由于事件A与B不可能同时发生，故A与B是互斥事件；同理可得，A与C，B与C，B与D也是互斥事件.综上可得，A与B，A与C，B与C，B与D都是互斥事件.在上述互斥事件中，再根据B，D还满足B∪D为必然事件，故B与D是对立事件.感悟提升判别互斥事件、对立事件要准确把握互斥事件与对立事件的概念：(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生.考点二随机事件的频率与概率例1 (2020·全国Ⅰ卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元、50元、20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？解(1)由试加工产品等级的频数分布表知，＝0.4；甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为40100＝0.28.乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为28100(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65×40＋25×20－5×20－75×20＝15.100由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70×28＋30×17＋0×34－70×21＝10.100比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加工业务.感悟提升 1.频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐步趋近于某一个常数，这个常数就是概率.训练1 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数041616 4(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，∴用频率估计相应的概率为p＝44100＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60 L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站.由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B1)＜P(B2)，∴乙应选择L2.考点三互斥事件与对立事件的概率例2 经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率.解记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥.(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.感悟提升求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A－)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.训练2 (1)某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为()A.0.95B.0.97C.0.92D.0.08(2)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________.答案(1)C(2)5 6解析(1)记“抽检的产品是甲级品”为事件A，“乙级品”为事件B，“丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而所求概率为P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－5%－3%＝92%＝0.92.(2)乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，且它们是互斥事件，所以乙不输的概率为1 2＋13＝56.1.下列说法正确的是()A.甲、乙二人比赛，甲胜的概率为35，则比赛5场，甲胜3场B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C.随机试验的频率与概率相等D.天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90% 答案 D解析 由概率的意义知D 正确.2.设事件A ，B ，已知P (A )＝15，P (B )＝13，P (A ∪B )＝815，则A ，B 之间的关系一定为( )A.两个任意事件B.互斥事件C.非互斥事件D.对立事件答案 B解析 因为P (A )＋P (B )＝15＋13＝815＝P (A ∪B )，所以A ，B 之间的关系一定为互斥事件.3.某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2，0.3，0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( ) A.0.9 B.0.3 C.0.6 D.0.4答案 D解析 设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A ，则事件A 的对立事件A －是“该射手在一次射击中不小于8环”.∵事件A －包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的， ∴P (A －)＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，∴P (A )＝1－P (A －)＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4.4.(2021·太原模拟)已知随机事件A 和B 互斥，且P (A ∪B )＝0.7，P (B )＝0.2，则P (A －)＝( )A.0.5B.0.1C.0.7D.0.8答案 A解析 ∵随机事件A 和B 互斥，且P (A ∪B )＝0.7，P (B )＝0.2，∴P (A )＝P (A ∪B )－P (B )＝0.7－0.2＝0.5，∴P (A －)＝1－P (A )＝1－0.5＝0.5.5.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率是17，都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( ) A.17 B.1235 C.1735 D.1 答案 C解析 设“从中取出2粒都是黑子”为事件A ，“从中取出2粒都是白子”为事件B ，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C ， 则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥. 由于P (A )＝17，P (B )＝1235.所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝17＋1235＝1735.6.设A 与B 是互斥事件，A ，B 的对立事件分别记为A －，B －，则下列说法正确的是( )A.A 与B －互斥B.A －与B －互斥C.P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )D.P (A －＋B －)＝1 答案 C解析 根据互斥事件的定义可知，A 与B －，A －与B －都有可能同时发生，所以A 与B －互斥，A －与B －互斥是不正确的；P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )正确；A －与B －既不一定互斥，也不一定对立，所以D 项错误.故选C.7.根据某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%.现有一血液为A 型病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( ) A.15% B.20% C.45% D.65%答案 D解析 因为某地区居民血型的分布为O 型50%，A 型15%，B 型30%，AB 型5%，现在能为A 型病人输血的有O 型和A 型，故为病人输血的概率为50%＋15%＝65%，故选D.8.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A ＋B －发生的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.56答案 C解析 掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P (A )＝26＝13，P (B )＝46＝23，所以P (B －)＝1－P (B )＝1－23＝13，因为B －表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A 与B －互斥，从而P (A ＋B －)＝P (A )＋P (B －)＝13＋13＝23.9.“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现象.某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度，若该地区有9 600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有________人. 答案 6 912解析 在随机抽取的50人中，持反对态度的频率为1－1450＝1825，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有9 600×1825＝6 912(人).10.口袋里装有1红，2白，3黄共6个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事件A ＝“取出的两个球同色”，B ＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C ＝“取出的两个球至少有一个白球”，D ＝“取出的两个球不同色”，E ＝“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为________.①A 与D 为对立事件；②B 与C 是互斥事件；③C 与E 是对立事件；④P (C ∪E )＝1.答案①④解析当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；显然A与D是对立事件，①正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确.11.某城市2021年的空气质量状况如表所示：污染指数T 3060100110130140概率p 1101613730215130其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良，100＜T≤150时，空气质量为轻微污染，则该城市2021年空气质量达到良或优的概率为________.答案3 5解析由题意可知2021年空气质量达到良或优的概率为p＝110＋16＋13＝35.12.据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0，1，2的概率分别为0.4，0.5，0.1.则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________.答案0.9解析法一记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为事件A，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为事件B，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数不超过1”为事件D，而事件D包含事件A与B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.法二记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为事件C，“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为事件D，由题意知C与D是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.13.(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A.10名 B.18名 C.24名D.32名答案 B解析 由题意，第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，即第二天确保完成新订单1 600份，减去超市每天能完成的1 200份，加上积压的500份，共有1 600－1 200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名). 14.若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且P (A )＝2－a ，P (B )＝4a －5，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫54，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32D.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，43 答案 D解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0<P （A ）<1，0<P （B ）<1，P （A ）＋P （B ）≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<2－a <1，0<4a －5<1，3a －3≤1，解得54<a ≤43. 15.(2022·太原调研)一个袋子中装有7个红玻璃球和3个绿玻璃球，从中无放回地任意摸取两次，每次只取一个，取得两个红玻璃球的概率为715，取得两个绿玻璃球的概率为115，则取得两个同色玻璃球的概率为________；至少取得一个红玻璃球的概率为________.答案 815 1415解析 由于“取得两个同色玻璃球”包含“取得两个红玻璃球”和“取得两个绿玻璃球”，故取得两个同色玻璃球的概率为715＋115＝815.由于事件“至少取得一个红玻璃球”与事件“取得两个绿玻璃球”是对立事件，故至少取得一个红玻璃球的概率为1－115＝1415.16.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员，某些队员不止参加一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，则：(1)该队员只属于一支球队的概率为________； (2)该队员最多属于两支球队的概率为________. 答案 (1)35 (2)910解析 分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A ，B ，C .由图知3支球队共有球员20名，则P (A )＝520，P (B )＝320，P (C )＝420. (1)令“抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件D . 则D ＝A ＋B ＋C ，因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P (D )＝P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝520＋320＋420＝35.(2)令“抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事件E ，则E －为“抽取一名队员，该队员属于3支球队”，所以P (E )＝1－P (E －)＝1－220＝910.。
2024年高考数学一轮复习(新高考版) 《概率、统计与其他知识的交汇问题》课件ppt
X的所有可能取值为5,6,7,8,9,10， P(X＝5)＝125＝312， P(X＝6)＝C15×121×124＝352， P(X＝7)＝C25×122×123＝1302＝156， P(X＝8)＝C35×123×122＝1302＝156， P(X＝9)＝C45×124×121＝352，P(X＝10)＝C55×125＝312.
例1 “每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”.某公 司组织全员每天进行体育锻炼，订制了主题为“百年风云”的系列纪 念币奖励员工，该系列纪念币有A1，A2，A3，A4四种.每个员工每天自 主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后员工将随机 等可能地获得一枚纪念币. (1)某员工活动前两天获得A1，A4，则前四天恰好能集齐“百年风云” 系列纪念币的概率是多少？
所以选择“田径”的人数的均值为800.
即经过足够多天后，估计该公司接下来每天有600名员工参加球类
运动，800名员工参加田径运动.
思维升华
高考有时将概率、统计等问题与数列交汇在一起进行考查，此类问题 常常以概率、统计为命题情景，同时考查等差数列、等比数列的判定 及其前n项和，解题时要准确把握题中所涉及的事件，明确其所属的 事件类型.
②设抽检5箱产品恰有3箱被记为B的概率 为f(p)，求当n为何值时，f(p)取得最大值， 并求出最大值.
由题意，一箱产品抽检被记为B的概率为 p(0<p<1)，则5箱产品恰有3箱被记为B的 概率为 f(p)＝C35p3(1－p)2＝10p3(1－2p＋p2)
＝10(p3－2p4＋p5)， ∴f′(p)＝10(3p2－8p3＋5p4)＝10p2(3－8p＋5p2)＝10p2(p－1)(5p－3)， ∴当 p∈0，35时，f′(p)>0，函数 f(p)单调递增；
高考数学一轮复习第九章计数原理概率随机变量及其分布列第一节计数原理与排列组合课时规范练理含解析新人
第一节计数原理与排列组合〖A组基础对点练〗1．一个学习小组有6个人，从中选正、副组长各一个，则不同的选法种数为()A．C26B．A26C．62D．26〖解析〗问题可转化为从6个元素中任选两个元素的排列问题，共有A26种不同的选法．〖答案〗B2．已知集合P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，其中x，y∈{1，2，3，…，9}，且P⊆Q.把满足上述条件的一对有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，则这样的点的个数是() A．9 B．14C．15 D．21〖解析〗因为P＝{x，1}，Q＝{y，1，2}，且P⊆Q，所以x∈{y，2}，所以当x＝2时，y＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况；当x＝y时，x＝3，4，5，6，7，8，9，共有7种情况．故共有7＋7＝14(种)情况，即这样的点的个数为14.〖答案〗B3．教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有()A．10种B．25种C．52种D．24种〖解析〗共分4步：一层到二层有2种，二层到三层有2种，三层到四层有2种，四层到五层有2种，一共有24种．〖答案〗D4．把标号为1，2，3，4，5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为()A．36B．20C．12 D．10〖解析〗依题意，满足题意的放法种数为A22·A33＝12.〖答案〗C5．有2名男生，3名女生，排成一排照相，甲既不在中间也不在两端的不同排法种数为()A．36 B．48C．60 D．120〖解析〗先排甲，有2种排法，再排其余4人，有A44种排法，故共有2A44＝48(种)不同的排法．〖答案〗B6．市内某公共汽车站有6个候车位(成一排)，现有3名乘客随机坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是()A．48 B．54C．72 D．84〖解析〗根据题意，先把3名乘客进行全排列，有A33＝6(种)排法，排好后有4个空，再将2个连续的空座位“捆绑”和余下的1个空座位插入形成的4个空中，则有A24＝12(种)排法，所以共有6×12＝72(种)候车方式．〖答案〗C7．(2021·河南洛阳模拟)从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A．72 B．56C．49 D．28〖解析〗分两类：甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选，计算可得所求选法种数为C12C27＋C22C17＝49.〖答案〗C8．如图所示，在五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有()A．24种B．48种C．72种D．96种〖解析〗分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2×1＝24(种)；②A，C同色，先涂A，C有4种，再涂E有3种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)，故不同的涂色方法有48＋24＝72(种).〖答案〗C9．某学校获得5个高校自主招生推荐名额，其中甲大学2名，乙大学2名，丙大学1名，并且甲大学和乙大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有()A．36种B．24种C．22种D．20种〖解析〗第一类：男生分为1，1，1，女生全排，男生全排有A33·A22＝12(种)，第二类：男生分为2，1，所以男生两队全排后女生全排有C23A22·A22＝12(种)，不同的推荐方法共有12＋12＝24(种).〖答案〗B10．(2020·河南郑州模拟)《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有()A．240种B．188种C．156种D．120种〖解析〗因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．当A在第一位时，有A44A22＝48(种)；当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有C13A3 3A22＝36(种)；当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有A22A33(种)，②E，F在A之后，此时应有A23A22A22(种)，故而A在第三位时有A22A33＋A23A22A22＝36(种).综上，共有48＋36＋36＝120(种)不同的安排方案．〖答案〗D11．如图所示，要让电路从A处到B处接通(只考虑每个小并联单元只有一个开关闭合的情况)，可有________条不同的路径．〖解析〗分以下三种情况计数：①第一层有3×2＝6条路径；②第二层有1条路径；③第三层有2条路径．由分类加法计数原理知，共有6＋1＋2＝9条路径．〖答案〗912．在一次8名运动员参加的百米成绩测试中，甲、乙、丙三人要求在第三、四、五跑道上，其他人随意安排，则安排这8人进行百米成绩测试的方法的种数为________．〖解析〗分两步安排这8名运动员：第一步：安排甲、乙、丙三人，共有三、四、五三条跑道可安排，所以安排方式有3×2×1＝6(种)；第二步：安排另外5人，可在余下的5条跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种).所以安排这8名运动员的方式有6×120＝720(种). 〖答 案〗720〖B 组 素养提升练〗1．(2020·安徽合肥模拟)某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有( )A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种〖解 析〗由题意知任务A 、E 必须相邻，且只能安排为AE ，分三类：①当A ，E 分别排在第一、二位置时，有A 22 A 23 ＝12(种)执行方案；②当A ，E 分別排在第二、三位置时，有A 12 A 33 ＋A 12 A 22 ＝12＋4＝16(种)执行方案； ③当A ，E 分别排在第三、四位置时，有C 12 C 12 A 22 A 22 ＝16(种)执行方案．根据分类加法计数原理得不同的执行方案有12＋16＋16＝44(种). 〖答 案〗B2．(2021·河北武邑中学模拟)在高三下学期初，某校开展教师对学生的家庭学习问卷调查活动，已知现有3名教师对4名学生进行家庭问卷调查．若这3名教师每名至少到一名学生家中进行问卷调查，这4名学生的家庭都能且只能得到一名教师的问卷调查，那么不同的问卷调查方案的种数为( )A ．36B ．72C ．24D ．48〖解 析〗根据题意，分2步进行分析：①先把4名学生分成3组，其中1组2人，其余2组每组各1人，有C 24 C 12 C 11 A 22＝6(种)分组方法；②将分好的3组对应3名教师，有A 33 ＝6种情况，则一共有6×6＝36(种)不同的问卷调查方案．〖答 案〗A3．现有12张不同的扑克牌，其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张，现从中任取3张，要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多—张，则不同的取法种数为________．〖解析〗分类完成，含有一张黑桃的不同取法有C13C29＝108(种)；不含黑桃时，有C39－3C33＝81(种)不同的取法．故共有108＋81＝189(种)不同的取法．〖答案〗1894．现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人，每人一张．若甲、乙分得的电影票连号，则共有________种不同的分法．(用数字作答)〖解析〗电影票号码相邻只有4种情况，则甲、乙两人在这4种情况中选一种，共C14种选法，2张票分给甲、乙，共有A22种分法，其余3张票分给其他3个人，共有A33种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有C14A22A33＝48(种)不同的分法．〖答案〗48。
高三数学第一轮复习测试及详细解答(10)—《排列、组合、二项式、概率与统计》
n nnn高三数学第一轮复习单元测试（9）—《排列、组合、二项式、概率与统计》一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的． 1．(理)下列随机变量中，不是离散型随机变量的是（）A ．从 10 只编号的球(0 号到 9 号)中任取一只，被取出的球的号码ξB ．抛掷两个骰子，所得的最大点数ξC ．[0，10]区间内任一实数与它四舍五人取整后的整数的差值ξD ．一电信局在未来某日内接到的电话呼叫次数ξ(文)现有 10 张奖票，只有 1 张可中奖，第一人与第十人抽中奖的概率为（ ）1 1 A ． ，1021 1B ． ，2 1011C ．，10 1019D ．，10 102．为了让人们感知丢弃塑料袋对环境造成的影响，某班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢的塑料袋的数量，结果如下(单位：个)：33、25、28、26、25、31．如果该班有 45 名学生，那么根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃塑料袋 （ ） A ．900 个 B ．1080 个 C ．1260 个 D ．1800 个3．假定有一排蜂房，形状如图，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了点伤，只能爬，不能飞，而且只能永远向右方(包括右上，右下)爬行，从一间蜂房爬到与之相邻的右方蜂房中去，从最初位置爬到 4 号蜂房中，则不同的爬法有 （ ） A ．4 种B ．6 种C ．8 种D ．10 种2n +1 与 A 3 的大小关系是（）2n +1 > A 3 2n +1 < A 3 2n +1 = A 3 D ．大小关系不定niilog 2 f (3) 5．(理)若 f (m )=∑ m Cn ，则i =01 A ．2 B ．2等于（）2 f (1) C ．1 D ．3（文）某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种 A ．1320B ．288C ．1530D ．6706．(理)在二项式( x - i )6 的展开式中(其中i 2=－1)，各项系数的和为（）A ．64 iB ．－64 iC ．64D ．－643 4．A A ．A B ．A C ．A log（文）已知(2a3+ 1)n 的展开式的常数项是第7 项，则正整数n 的值为（）aA．7 B．8 C ．9 D．10 7．右图中有一个信号源和五个接收器。
学海导航人教版高三第一轮复习课件文科数学第65讲 随机事件的概率
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
点评：对互斥事件要把握住不能同时发生，而对立事 件除不能同时发生外，其并事件应是必然事件．这些可类 比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出 来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件 的关系．
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
【变式探究】
1．在上题条件下，判断下列每对事件是不是互斥事 件；如果是，再判断它们是不是对立事件． (1)B与C; (2)C与E.
)
①每个试验结果出现的频数之和等于试验次数； ②每个试验结果出现的频率之和不一定等于1； ③概率就是频率； ④频率和概率都可以用来度量随机事件发生的可能性大 小． A．① C．①④
解：只有①④正确，选C.
答案：C
B．①②④ D．③④
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
4．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事 件．那么( ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的必要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结
m 2．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为 n ， 若试验次数n很大时，则P(A)满足( m A．P(A)≈ n m C．P(A)> n ) m B．P(A)< n m D．P(A)＝ n
答案：A
复பைடு நூலகம்目标
课前预习
高频考点
课时小结
3．下列说法中正确的是(
复习目标
课前预习
高频考点
课时小结
考点二· 随机事件的频率与概率
答案：Ｄ
复习目标
2024届高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第四讲随机事件与概率课件
行随机事件的并、交运算 件的有关概念和频率很少直接考查
1.频率与概率
(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出 现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称 事件 A 出现的比例 fn(A)＝nnA为事件 A 出现的频率.
(2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着 试验次数的增加会逐渐稳定于概率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来 估计概率 P(A).
最高气温 [10，15) [15，20) [20，25) [25，30) [30，35) [35，40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的
概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月
0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温低于 20 ℃，则 Y＝200×6＋(450－200)×2－450× 4＝－100； 若最高气温位于区间[20，25)，则 Y＝300×6＋(450－300)× 2－450×4＝300； 若最高气温不低于 25 ℃， 则 Y＝450×(6－4)＝900，
份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并
估计 Y 大于零的概率.
解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高 气温低于 25 ℃，由表中数据可知，最高气温低于 25 ℃的频率为
2＋1960＋36＝0.6. 所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为
比值.
高考数学(文)一轮复习精练：第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课时作业 53 Word含解析
[
一、选择题
1．同时抛掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为4的概率是()
A. B.
C. D.
解析：同时抛掷两个骰子，基本事件总数为36，记“向上的点数之差的绝对值为4”为事件A，则事件A包含的基本事件有(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)，共4个，故P(A)＝ ＝ .
答案：C
2．[2019·广东茂名一模]在{1,3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是()
答案：
7．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一个兴趣小组的概率为________．
解析：本题考查古典概型．甲、乙两名学生参加兴趣小组的结果共有9种，其中甲、乙不在同一个兴趣小组的结果有6种，故所求的概率为 ＝ .
答案：
8．[2019·太原市高三模拟]某人在微信群中发了一个7元的“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是________．
答案：2
13．[2019·宿迁市模拟]已知k∈Z， ＝(k,1)， ＝(2,4)，若| |≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．
解析：因为| |＝ ≤4，所以－ ≤k≤ ，
因为k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，
当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由 · ＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因为 ＝ － ＝(2－k,3)，由 · ＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3，
A. B.
C. D.
解析：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法．红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率计算公式，所求的概率为 ＝ ，故选C.
近年届高考数学一轮复习第九章统计、统计案例课堂达标52随机事件的概率文新人教版(2021年整理)
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课堂达标（五十二）随机事件的概率［A基础巩固练]1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f（n),则随着n的逐渐增加，有（)A．f(n）与某个常数相等B．f（n)与某个常数的差逐渐减小C．f（n）与某个常数差的绝对值逐渐减小D．f(n）在某个常数附近摆动并趋于稳定［解析］随着n的增大，频率f（n)会在概率附近摆动并趋于稳定,这也是频率与概率的关系．[答案］D2．掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”,则这次试验中，事件A∪错误!发生的概率为（）A.错误!B.错误!C.错误!D.错误![解析］由于事件总数为6，故P（A)＝错误!＝错误!。
P(B）＝错误!＝错误!，从而P（B)＝1－P(B）＝1－错误!＝错误!，且A与错误!互斥，故P（A＋错误!）＝P(A)＋P(错误!)＝错误!＋错误!＝错误!。
故选C.［答案]C3．从装有红球和绿球的口袋内任取2球(已知口袋中的红球、绿球数都大于2），那么互斥而不对立的两个事件是（)A．至少有一个是红球，至少有一个是绿球B．恰有一个红球，恰有两个绿球C．至少有一个红球，都是红球D．至少有一个红球，都是绿球［解析]选项A、C中两事件可以同时发生，故不是互斥事件；选项B 中两事件不可能同时发生，因此是互斥的，但两事件不对立；选项D中的两事件是对立事件．[答案］B4．下列四个命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件,则P（A∪B)＝P(A）＋P(B）；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A）＋P(B）＋P（C)＝1；④若事件A,B满足P（A）＋P(B）＝1，则A,B是对立事件．其中错误命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3[解析］①正确；②公式成立的条件是A，B互斥，故错误;③A∪B∪C 不一定为全部事件，故错误；④A，B不一定为互斥事件，故错误．[答案]D5．（2018·襄阳模拟）有一个游戏,其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南"是( )A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对[解析]由于每人一个方向,故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件,故选A.[答案］A6．从3个红球、2个白球中随机取出2个球,则取出的2个球不全是红球的概率是（）A。
精编2018版高考一轮总复习数学文科模拟演练第9章统计统计案例及算法初步91和答案
(时间：40分钟)1．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )A．p1＝p2<p3B．p2＝p3<p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3答案 D解析随机抽样包括：简单随机抽样，系统随机抽样和分层随机抽样．随机抽样的特点就是每个个体被抽到的概率相等．2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝( )A．54 B．90C．45 D．126答案 B解析依题意得33＋5＋7×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.3．某工厂平均每天生产某种机器零件10000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，将零件编号为0000,0001,0002，…，9999，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为( )A．0210 B．0410C．0610 D．0810答案 B解析将零件分成50段，分段间隔为200，因此，第三组抽取的号码为0010＋2×200＝0410，选B.4．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A，B，C三所中学抽取60名教师进行调查，已知A，B，C三所学校中分别有180,270,90名教师，则从C学校中应抽取的人数为( )A．10 B．12C．18 D．24答案 A解析根据分层抽样的特征，从C学校中应抽取的人数为90180＋270＋90×60＝10.5．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间的人做问卷A，编号落入区间的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为( )A．7 B．9C．10 D．15答案 C解析采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即l＝30，则k组的号码为30(k－1)＋9，令451≤30(k－1)＋9≤750，而k∈Z，解得16≤k≤25，则满足16≤k≤25的整数k有10个，故答案应选C.6．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．答案25解析设男生抽取x人，则有45900＝x900－400，解得x＝25.7．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．答案37 20解析将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则40＝x100，解得x＝20.8．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，选取方法是从随机数表第12行第5列、第6列、第7列数字开始由左到右依次选取三个数字(下面摘取了随机数表中的第11行至第12行)，根据下表，读出的第3个数是________．18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 0526 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71答案114解析最先读到的数据的编号是389，向右读下一个数是775,775大于499，故舍去，再下一个数是841，舍去，再下一个数是607，舍去，再下一个数是449，再下一个数是983，舍去，再下一个数是114.故读出的第3个数是114.9．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2，所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2，则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝4，即这2件商品来自相同地区的概率为4.10．某校进入高中数学竞赛复赛的学生中，高一年级有6人，高二年级有12人，高三年级有24人，现采用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人进行采访．(1)求应从各年级分别抽取的人数；(2)若从抽取的7人中再随机抽取2人做进一步了解．①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2人均为高三年级学生的概率．解(1)因为高一，高二，高三的人数比为6∶12∶24＝1∶2∶4，用分层抽样的方法从这些学生中抽取7人，则高一，高二，高三抽取的人数分别为1,2,4.(2)①若抽取的7人中高一学生记为a，高二的两个学生记为b，c，高三的四个学生记为A，B，C，D，则抽取2人的结果是(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(a，D)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(b，D)，(c，A)，(c，B)，(c，C)，(c，D)，(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共21种．②抽取的2人均为高三年级学生的有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)，共6种．则抽取的2人均为高三年级学生的概率P＝621＝27.(时间：20分钟)11．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )C．02 D．17答案 C解析从随机数表第1行的第10列和第11列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.12．从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为( )A．480 B．481C．482 D．483答案 C解析根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.13．一个总体中有100个个体，随机编号为0,1,2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1,2，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同．若m＝6，则在第7组中抽的号码是________．答案63解析由题设知，若m＝6，则在第7组中抽取的号码个位数字与13的个位数字相同，而第7组中数字编号顺次为60,61,62,63，…，69，故在第7组中抽取的号码是63.14．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.解总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为36n，分层抽样的比例是n36，抽取的工程师人数为n36×6＝n6，技术员人数为n36×12＝n3，技工人数为n36×18＝n2，所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.当样本容量为(n＋1)时，总体容量剔除以后是35人，系统抽样的间隔为35n＋1，35因为n＋1必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n＝6.。
2022版高考数学一轮复习考案9理 9文第九章算法初步统计统计案例综合过关规范限时检测含解析新人教版
第九章 综合过关规范限时检测(时间：120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2021·贵州黔东南州模拟)某市教体局将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全省100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩(单位：秒)的平均数与方差制成如下表格：甲 乙 丙 丁 平均数 59 57 59 57 方差12121010A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁[解析] 100米仰泳比赛的成绩是时间越短越好的，方差越小发挥水平越稳定，故丁是最佳人选，故答案为D.2．(2019·课标Ⅱ，5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( A )A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差[解析] 根据中位数特征可知，去掉最高分和最低分后，只有中位数一定不会变化．故选A ．3．(2020·江西省赣州市期末)下图是相关变量x 、y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：y ^＝b 1x ＋a 1，相关系数为r 1； 方案二：剔除点(10,32)，根据剩下数据，得到线性回归方程：y ^＝b 2x ＋a 2，相关系数为r 2；则( A )A ．0<r 1<r 2<1B ．0<r 2<r 1<1C ．－1<r 1<r 2<0D ．－1<r 2<r 1<04．(2021·河南郑州名校联考)总体由编号为01,02，…，39,40的40个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表(如表)第1行的第4列和第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( B )60 64 66 44 2166 06 58 05 6261 65 54 35 0242 35 48 96 3214 52 41 52 4892 66 22 15 8676 63 75 41 9958 42 36 72 24A．23 B．21C．35 D．32[解析]随机数表第1行的第4列和第5列数字为4和6，所以从这两个数字开始，由左向右依次选取两个数字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21，…其中落在编号01,02，…，39,40内的有：16,26,16,24,23,21，…依次不重复的第5个编号为21.故选B.5．(2021·甘肃天水模拟)甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，标准差分别为σ甲，σ乙，则( C )A．x甲<x乙，σ甲<σ乙B．x甲<x乙，σ甲>σ乙C.x甲>x乙，σ甲<σ乙D．x甲>x乙，σ甲>σ乙[解析]由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知x甲>x乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σ甲<σ乙．故选C.6．(2020·吉林省示范性高中模拟)2020年西部某县一个生态果园公司根据当地的特产开发生产了A，B两种不同口味的果汁饮料．现随机抽取了两种果汁饮料各10瓶(均是500 mL)组成的一个样本进行了检测，得到某种添加剂指标(毫克/升)的茎叶图如图，则对这种添加剂指标的分析正确的是( D )A ．A 种果汁饮料添加剂指标的平均值高于B 种果汁饮料添加剂指标的平均值 B ．A 种果汁饮料添加剂指标的中位数高于B 种果汁饮料添加剂指标的中位数C ．A 种果汁饮料添加剂指标的方差高于B 种果汁饮料添加剂指标的方差D ．A 种果汁饮料添加剂指标的最小值高于B 种果汁饮料添加剂指标的最小值 [解析] A ．B 种果汁饮料添加剂指标集中在以4为茎的叶上，A 种果汁饮料添加剂指标集中在以2为茎的叶上，A 错误；B.A 种果汁饮料添加剂指标的中位数为23.5，B 种果汁饮料添加剂指标的中位数为31.5，B 错误；C.A 种果汁饮料添加剂指标数据比较集中，而B 种果汁饮料添加剂指标数据比较分散，所以B 种果汁饮料添加剂指标的方差要大一些，C 错误；故D 正确，故选D.7．(2021·广西北海模拟)蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x (每分钟鸣叫的次数)与气温y (单位：℃)存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程y ^＝0.25x ＋k ，则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为( B )x (次数/分钟)20 30 40 50 60 y (℃)2527.52932.536A ．33 ℃ C ．35 ℃D ．35.5 ℃[解析] 由题意，得x ＝ 40，y ＝30，则k ＝y －0.25x ＝ 30－0.25×40＝20；当x ＝56时，y ＝34，故选B.8．(2020·山东德州期末改编)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男、女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有( )人．( C )附表：P (K 2≥k 0)0.050 0.010 k3.8416.635附：K 2＝n 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋dA ．25B ．35C ．45D ．70[解析] 设男生的人数为5n (n ∈N *)，根据题意列出2×2列联表如下表所示：男生 女生 合计 喜欢抖音 4n3n 7n 不喜欢抖音 n2n 3n 合计5n5n10n则K 2＝10n ×4n ×2n －3n ×n 25n ×5n ×7n ×3n＝10n 21， 由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关， 则3.841≤K 2<6.635，即3.841≤10n21<6.635，得8.066 1≤n <13.933 5，∵n ∈N *，则n 的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或50或55或60.故选C.9．(理)(2021·广西模拟)如图是一个计算：2 019－2 017＋2 015－2 013＋…－5＋3的算法流程图，若输入n ＝2 019，则由上到下的两个空白内分别应该填入( A )A ．S ＝S －(－1)n －12·n ，n ＝n －2B ．S ＝S －(－1)n －1·n ，n ＝n －1 C ．S ＝S ＋(－1)n －1·n ，n ＝n －2 D ．S ＝S ＋(－1)n －1·n ，n ＝n －1(文)(2021·云南昆明一中检测)执行如图所示的程序框图，[x ]表示不超过x 的最大整数，若输出的S 的值为7，则图中判断框内应该填入( B )A ．i >4？B ．i >6?C ．i >8？D ．i >10?[解析] (理)将4个选择支分别代入检验得，由上到下的两个空白内依次填入S ＝S －(－1)n －12·n ，n ＝n －2，才可以计算出2 019－2 017＋2 015－2 013＋…－5＋3，所以选A ．(文)因为S ＝[0]＋[2]＋[4]＋[6]＋[8]＝7时输出，此时i ＝8，结合选项，选B.10．(原创)在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．据此绘制了如下图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的个数为( D )①成绩在[80,90)中的学生有40名 ②a ＝0.02③成绩的中位数约为74 ④成绩的众数约为75 A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由题知，成绩在[80,90)内的学生所占的频率为1－(0.005×2＋0.025＋0.045)×10＝0.2，所以这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有200×0.2＝40名，①正确；由(0.01＋0.025＋0.045＋a )×10＝1得a ＝0.02，②正确；由(0.005＋0.025)×10＋0.045×(x －70)＝12，得x ＝74，③正确；④显然正确．故选D.11．(2021·江苏无锡、江阴检测)给出下列命题，其中正确命题的个数为( B ) ①若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为4 ②回归方程为y ^＝0.6－0.45x 时，变量x 与y 具有负的线性相关关系 ③随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，P (X ≤4)＝0.64，则P (2≤X ≤3)＝0.07 ④相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①若样本数据x 1，x 2，…，x 10的方差为2，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22×2＝8，故①错误；②回归方程为y ^＝0.6－0.45x ，可知b ^＝－0.45<0，则变量x与y 具有负的线性相关关系，②正确；③随机变量X 服从正态分布N (3，σ2)，P (X ≤4)＝0.64，根据正态分布的对称性P (3<X ≤4)＝0.64－0.5＝0.14，所以P (2≤X ≤3)＝0.14，∴③错误；④相关指数R 2来刻画回归的效果，R 2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此④正确．故选B.12．(2021·河北石家庄质检)2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某大型超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好的提高服务质量，收集并整理了本超市2020年1月份到8月份的人们线上收入和线下收入的数据，并绘制如下的折线图．根据折线图，下列结论不正确．．．的是( C )A ．该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B ．该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C ．该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D ．从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费[解析] 由图易知月份12345678线上收入 3.510.51211.510.599.5 5.5线下收入12.534 5.5 6.5710.512总收入1613.5161717162017.5 显然ABD正确、C错误，故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2021·广东惠州模拟)已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为 20 .[解析]分层抽样抽取的比例为2%，高中生抽取的学生数为40，抽取的高中生近视人数为40×50%＝20，故填20.14．(2021·四川南充模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入k的值为3，则输出S 的值为 15 .[解析]n＝1，S＝1，S<3，是；n＝2，S＝3，S<6，是；n＝3，S＝6，S<9，是；n＝4，S＝10，S<12，是；n＝5，S＝15，S<15否；输出S＝15.15．某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2 000名顾客的消费金额(单位：元)，并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知a，b，c成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为 600 .[解析] 由题意可知(0.006＋0.002＋3b )×50＝1， ∴50b ＝0.2，∴(b ＋0.002)×50×2 000＝600(人)．16．(理)某单位员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为541，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C 组中甲、乙二人均被抽到的概率是145，则C 组员工数为 10 ；该单位员工总数为 100 .(第一空3分，第二空2分)(文)(2021·江苏镇江期中)已知由样本数据点集合{(x i ，y i )|i ＝1,2,3，…，n }，求得的回归直线方程为y ＝1.5x ＋0.5，且x －＝3，现发现两个数据点(1.2,2.2)和(4.8,7.8)误差较大，去除后重新求得的回归直线l 的斜率为1.2，则下列结论正确的有 ①③④ .①变量x 与y 具有正相关关系 ②去除后y 的估计值增加速度变快 ③去除后与去除前均值x －，y －不变 ④去除后的回归方程为y ＝1.2x ＋1.4[解析] (理)∵员工按年龄分为A ，B ，C 三组，其人数之比为541，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C 组人数为11＋4＋5×20＝110×20＝2，设C 组员工总数为m ，则甲、乙二人均被抽到的概率为C 22C 2m ＝2m m －1＝145，即m (m －1)＝90，解得m ＝10.设员工总数为x ，则由10x＝15＋4＋1＝110，可得x ＝100.(文)由回归直线方程知k ＝1.5>0，变量x 与y 正相关，①正确；去除后回归直线斜率k ′＝1.2<k ，∴去除后y 的估计值增加速度变慢，②错；将x －＝3代入y ＝1.5x ＋0.5得y －＝5，又1.2＋4.82＝3，7.8＋2.22＝5，故③正确；将x －＝3，y －＝5，代入y ＝1.2x ＋b 得b ＝1.4，即去除后的回归方程为y ＝1.2x ＋1.4，④正确．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2019·高考全国Ⅱ卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.[解析] (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y ＝1100(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30， s 2＝1100∑5i ＝1n i (y i －y )2＝1100[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7] ＝0.029 6，s ＝0.029 6＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.18．(本小题满分12分)(2021·河北石家庄质检)中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的意见》，这是中共中央、国务院印发的第一个聚焦义务教育阶段教育教学改革的重要文件，是新时代我国深化教育教学改革、全面提高义务教育质量的纲领性文件《意见》强调，坚持“五育”并举，全面发展素质教育．其中特别指出强化体育锻炼，坚持健康第一．某校为贯彻落实《意见》精神，打造本校体育大课堂，开设了体育运动兴趣班．为了解学生对开设课程的满意程度，设置了满分为10分的满意度调查表，统计了1 000名学生的调查结果，得到如下频率分布直方图：(1)求这1 000名学生满意度打分的平均数x －(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(2)如果认为打分6分及以上为满意，6分以下为不满意，为了解满意度与学生性别是否有关，现从上述1 000名学生的满意度打分中按照“打分组别”用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，得到如下2×2列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99%的把握认为满意度与学生性别有关.打分 性别 不满意 满意 总计 男生100 女生 60总计200附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d， P (K 2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828[解析] (1)x －＝1×0.03＋3×0.11＋5×0.16＋7×0.39＋9×0.31＝6.68.(2)根据题意，补充完整的列联表如下：不满意 满意 总计 男生 20 80 100 女生 40 60 100 总计60140200则K 2＝2100×100×60×140≈9.524，经查表，得K 2≈9.524>6.635，所以有99%的把握认为满意度与性别有关．19．(本小题满分12分)(2021·云、贵、桂、川四省联考)为了解生猪市场与当地居民人均收入水平的关系，农业农村部对160个城镇当月的猪肉价格(元/千克)与居民人均收入(元/月)进行了随机调研，得到如下表格：猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月)(0,40] (40,50] (50,60] (0,3 000] 6 15 0 (3 000,4 000] 2 27 5 (4 000,5 000] 9 45 16 (5 000,6 000]1619(2)估计这160个城镇的居民人均收入(元/月)的中位数(计算结果保留整数)； (3)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表，判断是否有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．附：K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k )0.05 0.010 0.005 k3.8416.6357.879猪肉价格(元/千克) 人均收入(元/月)(0,50] (50,60]合计 (0,4 000] (4 000,6 000]合计[解析] (1)因为这160个城镇的猪肉价格在(50,60](元/千克)内的频率为19160＝14， 所以据此得全国各地猪肉价格在(50,60](元/千克)内的概率约为14.(2)因为居民人均收入(元/月)在(0,4 000]内的频率为6＋15＋2＋27＋5160＝1132<12.居民人均收入(元/月)在(0,5 000]内的频率为55＋9＋45＋16160＝2532>12.所以居民人均收入(元/月)的中位数在(4 000,5 000]之间，因为4000＋12－11322532－1132×1 000＝305 007≈4 357，所以中位数约为4 357. (3)列联表如下：猪肉价格(元/千克)人均收入(元/月)(0,50] (50,60] 合计 (0,4 000] 50 5 55 (4 000,6 000]70 35 105 合计12040160因为K 2＝160×50×35－70×5255×105×120×40＝1 12099≈11.313>7.879.所以有99.5%的把握认为当月的猪肉价格与当地居民人均收入水平有关．20．(本小题满分12分)(2021·安徽“皖南八校”摸底)影响消费水平的原因很多，其中重要的一项是工资收入．研究这两个变量的关系的一个方法是通过随机抽样的方法，在一定范围内收集被调查者的工资收入和他们的消费状况，下面的数据是某机构收集的某一年内上海、江苏、浙江、安徽、福建五个地区的职工平均工资与城镇居民消费水平(单位：万元).地区 上海 江苏 浙江 安徽 福建 职工平均工资x 9.8 6.9 6.4 6.2 5.6 城镇居民消费水平y6.64.64.43.93.8(1)方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x －y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^x －；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过1万，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？(b ^的结果保留两位小数)(参考数据：6.9×4.6＋6.4×4.4＋6.2×3.9＝84.08， 6．92＋6.42＋6.22＝127.01)[解析] (1)x －＝6.9＋6.4＋6.23＝6.5，y －＝4.6＋4.4＋3.93＝4.3.b ^＝84.08－3×6.5×4.3127.01－3×6.52＝0.230.26≈0.88， a ^＝4.3－0.88×6.5＝－1.42，∴所求线性回归方程为y ^＝0.88x －1.42. (2)当x ＝9.8时，y ^＝0.88×9.8－1.42＝7.204， 7．204－6.6＝0.604<1，当x ＝5.6时，y ^＝0.88×5.6－1.42＝3.508， 3．8－3.508＝0.292<1，所以得到的线性回归方程是可靠的．21．(本小题满分12分)(2021·四川乐山调研)网购是当前民众购物的新方式，某公司为改进营销方式，随机调查了100名市民，统计其周平均网购的次数，并整理得到如下的频数分布直方图，这100名市民中，年龄不超过40岁的有65人，将所抽样本中周平均网购次数不小于4次的市民称为网购迷，且已知其中有5名市民的年龄超过40岁．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关？网购迷 非网购迷合计 年龄不超过40岁 年龄超过40岁合计(2)若将所抽取样本中周平均网购次数为6次的市民称为超级网购迷，且已知超级网购迷中有2名年龄超过40岁，若从超级网购迷中任意挑选2名，求至少有一名市民年龄超过40岁的概率．⎝⎛⎭⎪⎫附：k 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋dP (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.01 k 02.0722.7063.8416.635[解析] (1) 网购迷 非网购迷 合计年龄不超过40岁20 45 65 年龄超过40岁5 30 35 合计2575100根据列联表中的数据可得， k ＝100×20×30－45×5265×35×25×75＝100×313×7≈3.297>2.706 所以可以在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为网购迷与年龄不超过40岁有关． (2)由频率分布直方图可知，超级网购迷共有4名，记其中年龄超过40岁的2名市民为A 、B ，其余2名市民记为c 、d ，现从4人中任取2人，基本事件是AB 、Ac 、Ad 、Bc 、Bd 、cd 共有6种，至少有1名市民年龄超过40岁的基本事件是AB 、Ac 、Ad 、Bc 、Bd 共有5种，故所求的概率为P ＝56.22．(本小题满分12分)(2021·河南开封模拟)配速是马拉松运动中常使用的一个概念，是速度的一种，是指每公里所需要的时间，相比配速，把心率控制在一个合理水平是安全理性跑马拉松的一个重要策略．图1是一个马拉松跑者的心率y (单位：次/分钟)和配速x (单位：分钟/公里)的散点图，图2是一次马拉松比赛(全程约42公里)前3 000名跑者成绩(单位：分钟)的频率分布直方图．(1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 与x 的线性回归方程； (2)该跑者如果参加本次比赛，将心率控制在160左右跑完全程，估计他跑完全程花费的时间，并估计他能获得的名次．参考公式：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝i ＝1nx i －xy i －y∑nx i －x2，a ^＝y －b ^x参考数据：y －＝135.[解析] (1)由散点图中数据和参考数据得x －＝4.5＋5＋6＋7＋7.55＝6，y －＝100＋109＋130＋165＋1715＝135，b ^＝∑i ＝15x i －x －y i －y－∑i ＝15x i －x－2＝－1.5×36＋－1×30＋0×－5＋1×－26＋1.5×－35－1.52＋－12＋02＋12＋1.52＝－25， a ^＝y －－b ^x －＝135－(－25)×6＝285，所以y 与x 的线性回归方程为y ^＝－25x ＋285. (2)将y ＝160代入回归方程得x ＝5，所以该跑者跑完马拉松全程所花的时间为42×5＝210分钟． 从马拉松比赛的频率分布直方图可知成绩好于210分钟的累积频率为 0．000 8×50＋0.002 4×(210－200)＝0.064，有6.4%的跑者成绩超过该跑者，则该跑者在本次比赛获得的名次大约是0.064×3 000＝192名．。
高三数学一轮复习高效测评卷算法初步统计统计案例计数原理概率随机变量
卜人入州八九几市潮王学校金新学案高三一轮总复习[B师大]数学理科高效测评卷(九)算法初步统计、统计案例计数原理、概率、随机变量及其分布—————————————————————————————————【说明】本套试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两局部，请将第一卷选择题之答案填入答题格内，第二卷可在各题后直接答题，一共150分，考试时间是是120分钟．第一卷(选择题一共60分)有一项为哪一项哪一项符合题目要求的)1．在一个盒子里有10个大小一样的球，其中5个红球，5个白球，那么第1个人摸出一个红球，紧接着第2个人摸出一个白球的概率为()A. B.C. D.)A．56分B．57分C．58分D．59分3．将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，那么不同分法的种数为()A．18 B．24C．30 D．364．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上〞为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，那么事件A，B中至少有一件发生的概率是()A. B.C. D.5．某县农民的月均收入ξ服从正态分布，即ξ～N(1000,402)，那么此县农民月均收入在1000元到1080元间人数的百分比为()A．47% B．94%C．42% D．80%6．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以Z表示取出球的最大号码，令a＝P(Z＝6)，那么函数y＝x2－2ax的单调递增区间是()A. B.C．(－∞，1) D．(1，＋∞)7．一个算法的程序框图如下列图，假设该程序输出的结果为，那么判断框中应填入的条件是()A．i≥5B．i≥6C．i＜5 D．i＜68．在n展开式中，只有第六项的二项式系数最大，那么展开式中的常数项是()A．180 B．90C．45 D．3609．某地举行一次民歌大奖赛，六个各有一对歌手参加决赛，现要选出4名优胜者，那么选出的4名选手中恰有且只有两个人是同一份的歌手的概率为()A. B.C. D.10．如图，假设依次输入的x分别为π、，相应输出的y分别为y1、y2，那么y1、y2的大小关系是()A．y1＝y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．无法确定11．平面区域Ω＝，M＝，向区域Ω内随机投一点P，点P落在区域M内的概率为()A. B.C. D.12．假设有两个分类变量X与Y的2×2列联表如下表：Xy1y2Yx1 a bx2 c d对于以下数据，对同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为()A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2 B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 D．a＝2，b＝3，c＝5，d＝4第二卷(非选择题一共90分)二、填空题(本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．x，y的取值如下表所示：x 013 4y从散点图分析，y与x线性相关，且yx＋a，那么a＝______.14．6展开式中常数项为240，其中a是小于零的常数，那么展开式中各项的系数之和是________．15．在100,101,102，…，999这些数中，各位数字按严格递增(如“145”)或者严格递减(如“321”)顺序排列的数的个数是______个．把符合条件的所有数按从小到大的顺序排列，那么321是第________个数．(用数字答题)16．如图，正方形OABC的边长为2.(1)在其四边或者内部取点P(x，y)，且x，y∈Z，那么事件“|OP|＞1”的概率是________．(2)在其内部取点P(x，y)，且x，y∈R，那么事件“△POA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于〞的概率是________．三、解答题(本大题一一共6小题，一共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)17．(12分)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到如下局部频率分布直方图．观察图形的信息，答复以下问题：(1)求分数在[120,130)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分．18．(12分)如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或者B或者C.小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进展促销活动，假设投入的小球落到A，B，C，那么分别设为1,2,3等奖．(1)获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量ξ为获得k(k＝1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；(2)假设有3人次(投入1球为1人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或者2等奖的人次，求P(η＝2)．【解析方法代码108001156】19．(12分)复数z＝x＋y i(x，y∈R)在复平面上对应的点为M.(1)设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；(2)设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：所表示的平面区域内的概率．20．(12分)射击运发动在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，击中两个飞靶得2分，击中一个飞靶得1分，不击中飞靶得0分，某射击运发动在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为，该运发动进展2轮比赛．(1)求该运发动得4分的概率为多少？ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解析方法代码108001157】21．(12分)高三年级某班学生在数本课程选课过程中，第一小组与第二小组各有6位同学．每位同学都只选了一个科目，第一小组选近世代数的有1人，选矩阵代数的有5人，第二小组选近世代数的有2人，选矩阵代数的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析选课情况．(1)求选出的4人均选矩阵代数的概率；(2)设ξ为选出的4个人中选近世代数的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解析方法代码108001158】22．(14分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间的假设干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8281797895889384乙：9295807583809085(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加适宜？请说明理由；(3)假设将频率视为概率，对甲同学在今后的3次数学竞赛成绩进展预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.答案卷(九)一、选择题1．C记“第1个人摸出红球〞为事件A，“第2个人摸出白球〞为事件B，那么P(AB)＝P(B|A)P(A)＝×＝.2．B由图可知甲的中位数为32，乙的中位数为25，故和为57.应选B.3．C将4个学生分成3份，再分到3个班，即C42A33种方法，甲、乙两人分到同一个班的情况为A33种方法，故所求的不同方法有：C42A33－A33＝30(种)．应选C.4．C∵P(A)＝，P(B)＝，∴P()＝，P()＝.又A、B为互相HY的事件，∴P(·)＝P()·P()＝×＝.∴A，B中至少有一件发生的概率为1－P(·)＝1－＝.5．C P(1000<ξ≤1080)＝P(920<ξ≤1080)＝P(1000－80<ξ≤1000＋80)＝×0.9544＝0.4772.6．A P(Z＝6)＝＝，y＝x2－x在上单调递增，应选A.7．D由框图知S＝0＋1－＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.∴i＝5，∴应填入i＜6.8．A因只有第六项的二项式系数最大，故n＝10.T r＋1＝C10r()10－rr＝2r C10r x5－r，令5－r＝0，∴r＝2，∴T3＝22C102＝180.故应选A.9．A选出4名优胜者一共有C124种不同的方法．对其中恰有且只有两人是同一份的歌手，首先从六个份中选出一个的一对歌手有C61种不同的方法，再从剩下的五个中选出两个有C52种方法，再从选中的两个中每个选出1个歌手有C21·C21＝4(种)，∴一共有C61·C52·C21·C21＝240(种)，所以所求概率为P＝＝.应选A.10．C由程序框图可知，当输入的x为时，sin＞cos成立，所以输出的y1＝sin＝；当输入的x为时，sin＞cos不成立，所以输出的y2＝cos＝，所以y1＜y2，应选C.11．C如图，平面区域Ω表示△ABC及其内部区域，区域M表示△ABD及其内部区域，设A表示“P落在区域M内〞，那么由几何概型知识得：P(A)＝＝，应选C.12．D运用HY性检验，分别计算2的观测值，2的值越大，说明X与Y有关系的可能性越大，因为D项的2值最大，应选D.二、填空题13．解析：由yx＋a过点(，)，可求a的值．14．解析：T r＋1＝C6r(x2)6－r·r＝a r C6r x12－3r，令12－3r＝0，即r＝4，常数项a4C64＝240，又a＜0，∴ax＝1，即得展开式中的各项系数之和为1.答案：115．解析：不含0的此类三位数有2C93个，含0的此类三位数有C92个，故此类三位数一共有2C93＋C92＝204(个)；百位为1的此类数一共有C82＝28(个)，百位为2的此类数一共有C72＋1＝22(个)，百位为3的数从小到大排列为310,320,321，…，故321是第53个数．答案：2045316．解析：(1)在正方形的四边和内部取点P(x，y)且x，y∈Z，所有可能的事件是(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，其中满足|OP|＞1的事件是(0,2)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，2,2)，所以满足|OP|＞1的概率为.(2)在正方形内部取点，其总的事件的包含的区域面积为4，由于各边长为2，所以要使△OPA，△PAB，△PBC，△PCO的面积均大于，应该三角形的高大于，所以这个区域为每个边长从两端各去掉后剩余的正方形，其面积为×＝，所以满足条件的概率为＝.答案：(1)(2)三、解答题17．解析：(1)分数在[120,130)内的频率为1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3，＝＝0.03，补全后的直方图如下．(2)平均分为＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121.18．解析：(1)由题意得ξ的分布列为ξ50%70%90%那么Eξ(2)由(1)可知，获得1等奖或者2等奖的概率为＋＝.由题意得η～B，那么P(η＝2)＝C322＝.19．解析：(1)记“复数z为纯虚数〞为事件A.∵组成复数z的所有情况一共有12个：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A包含的根本领件一共2个：i,2i，∴所求事件的概率为P(A)＝＝.(2)依条件可知，点M均匀地分布在平面区域内，属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域，面积为S，其图形如图中的△OAD(阴影局部)．又直线x＋2y－3＝0与x轴、y轴的交点分别为A(3,0)、D，∴△OAD的面积为S1＝×3×＝.∴所求事件的概率为P＝＝＝.20．解析：(1)记“运发动得4分〞为事件A，那么P(A)＝×××＝.(2)设“运发动得i分〞为事件A i，ξ的可能取值为0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝P(ξ＝4)＝P(A0)＝P(A4)＝，P(ξ＝1)＝P(ξ＝3)＝P(A1)＝P(A3)＝C21··3＋C21··3＝，P(ξ＝2)＝P(A2)＝4＋4＋422＝.∴ξ的分布列为数学期望Eξ21．解析：(1)设“从第一小组选出的2人选矩阵代数〞为事件A，“从第二小组选出的2人选矩阵代数〞为事件B.由于事件A、B互相HY，且P(A)＝＝，P(B)＝＝.所以选出的4人均选矩阵代数的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝.(2)由题知ξ可能的取值为0,1,2,3，得P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝·＋·＝，P(ξ＝3)＝·＝，P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝.ξ的分布列为∴ξ的数学期望Eξ＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.22．解析：(1)作出茎叶图如下：(2)派甲参赛比较适宜．理由如下：甲＝×(70×2＋80×4＋90×2＋8＋9＋1＋2＋4＋8＋3＋5)＝85.乙＝×(70×1＋80×4＋90×3＋5＋0＋0＋3＋5＋0＋2＋5)＝85，s甲2＝×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝3，s乙2＝×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵甲＝乙，s甲2＜s乙2，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较适宜．注：本小题的结论及理由均不唯一，假设能从统计学的角度分析，给出其他合理答复，同样给分．如派乙参赛比较适宜．理由如下：从统计的角度看，甲获得85分以上(含85分)的概率P1＝，乙获得85分以上(含85分)的概率P2＝＝.∵P2＞P1，∴派乙参赛比较适宜．(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分〞为事件A，那么P(A)＝＝.随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3，且ξ服从B∴P(ξ＝k)＝C3kk·3－k，k＝0,1,2,3.所以变量ξ的分布列为Eξ享用全国话费用，畅听名师专家指导——金新学案“互动教辅平台〞倾情奉献超值效劳。
2020年浙江省温州市鳌江中学高三数学文下学期期末试卷含解析
2020年浙江省温州市鳌江中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设集合，，则=（）A． B． C．D．参考答案：B略2. 已知为原点，双曲线上有一点，过作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：3. （10）将函数的图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为（A）（B）（C）（D）参考答案：C4. 全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ( )A.B.C.D.参考答案：答案：A解析：先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.5. （5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f （x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）参考答案：B【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B【点评】：本题主要考查不等式的求解，利用条件构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．6. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A=A．B．C．D．参考答案：D7. 已知双曲线的两个焦点分别为，，P是双曲线上的一点，且，则双曲线方程是（）A. B. C. D.参考答案：B8. 已知，则函数的值域为（）A． B． C．D．参考答案：试题分析：设在区间上单调递减故答案选考点：三角函数值域.【名师点睛】此题为三角函数求值域的典型问题，令，并得，换元之后得到关于的函数，对此函数进行求导判断函数在区间单调性，继而求得函数的值域.9. 已知函数的两个极值点分别为，且点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数的图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）A. B. C.D.参考答案：C10. 已知正数组成的等比数列，若，那么的最小值为A.20 B．25 C. 50 D．不存在参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （理）已知随机变量服从正态分布，且，则_______参考答案：理0.312. 函数的定义域是 .参考答案：答案：{x|3<x<4或2≤x<3}13. 设是曲线上的一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程为 .参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/曲线与方程概念.【试题分析】设，,因为M是线段的中点，则有，所以，即，故答案为.14. 文：已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线上，则 .参考答案：15. 学校为了调查学生的学习情况，决定用分层抽样的方法从高一、高二、高三三个年级的相关学生中抽取若干人，相关数据如下表：则抽取的总人数为_________.1616. 某展室有9个展台，现有件展品需要展出，要求每件展品独自占用个展台，并且件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.参考答案：60,48略17. 如图，已知A．B两点分别是椭圆C：的左顶点和上顶点，而F是椭圆C的右焦点，若，则椭圆C的离心率e= ；参考答案：答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
高三数学(理)一轮总复习(人教通用)试题：第九章计数原理与概率、随机变量及其分布Word版含解析
1．分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．[小题体验]1．(教材习题改编)某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为()A．504B．210C．336D．120解析：选A分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法．故共有7×8×9＝504种不同的插法．2．(教材习题改编)若给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G，或U～Z，后两个要求用数字1～9.则最多可以给________个程序模块命名．答案：1 0533．(教材习题改编)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是________．答案：91．分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的．2．分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的．[小题纠偏]1．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有() A．30B．20C．10 D．6解析：选D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．2．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为()A．243 B．252C．261 D．279解析：选B0,1，2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．考点一分类加法计数原理(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)(2016·铜梁第一中学月考)如果把个位数是1，且恰好有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有() A．9个B．3个C．12个D．6个解析：选C当重复数字是1时，有C13·C13；当重复数字不是1时，有C13种．由分类加法计数原理，得满足条件的“好数”有C13·C13＋C13＝12个．2．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有()A．30种B．31种C．35种D．40种解析：选B分类：第一类，两人拿对：2×C25＝20种；第二类，三人拿对：C35＝10种；第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种．故共有20＋10＋1＝31种．3．如图，从A到O有________种不同的走法(不重复过一点)．解析：分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O 2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O 2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．答案：5[谨记通法]利用分类加法计数原理解题时2个注意点(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．考点二分步乘法计数原理(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，则：(1)P可表示平面上________个不同的点．(2)P可表示平面上________个第二象限的点．解析：(1)确定平面上的点P(a，b)可分两步完成：第1步，确定a的值，共有6种方法；第2步，确定b的值，也有6种方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上的点的个数是6×6＝36.(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第1步，确定a，由于a<0，所以有3种方法；第2步，确定b，由于b>0，所以有2种方法．由分步乘法计数原理，得到第二象限的点的个数是3×2＝6.答案：(1)36(2)6[由题悟法]利用分步乘法计数原理解题时3个注意点(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．[即时应用]1．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是() A．2 160B．720C．240 D．120解析：选B分步来完成此事．第1张有10种分法；第2张有9种分法；第3张有8种分法，共有10×9×8＝720种分法．2．从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．解析：一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c 的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18个二次函数．若二次函数为偶函数，则b ＝0，同上可知共有3×2＝6个偶函数．答案：18 6考点三两个原理的应用(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]两个原理的常见命题角度有：(1)涂色问题；(2)几何问题；(3)集合问题．[题点全练]角度一：涂色问题涂色问题大致有两种解答方案：(1)选择正确的涂色顺序，按步骤逐一涂色，这时用分步乘法计数原理进行计数；(2)根据涂色时所用颜色数的多少，进行分类处理，这时用分类加法计数原理进行计数．1．(1)如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种(用数字作答)．(2)如图，矩形的对角线把矩形分成A，B，C，D四部分，现用5种不同颜色给四部分涂色，每部分涂1种颜色，要求共边的两部分颜色互异，则共有________种不同的涂色方法．解析：(1)从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480种涂色方法．(2)区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A 涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260种涂色方法．答案：(1)480(2)260角度二：几何问题主要与立体几何、解析几何相结合考查．2．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A．40 B．16C．13 D．10解析：选C分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13个不同的平面．角度三：集合问题a1，a2，a3，…，a n 解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有{}的子集有2n个，真子集有2n－1个．3．(2015·保定调研)已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．解析：当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．答案：17[方法归纳]两个原理综合应用的1个关键点解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．a，b，c，d，e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长，不同选法的种数是()A．20B．16C．10 D．6解析：选B当a当组长时，则共有1×4＝4种选法；当a不当组长时，又因为a也不能当副组长，则共有4×3＝12种选法．因此共有4＋12＝16种选法．2．某电话局的电话号码为139××××××××，若前六位固定，最后五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码的个数为()A．20 B．25C．32 D．60解析：选C依据题意知，后五位数字由6或8组成，可分5步完成，每一步有2种方法，根据分步乘法计数原理，符合题意的电话号码的个数为25＝32.3．某班班干部有5名男生、4名女生，从9人中选1人参加某项活动，则不同选法的种数为() A．9 B．5C．4 D．72解析：选A分两类：一类从男生中选1人，有5种方法；另一类是从女生中选1人，有4种方法．因此，共有5＋4＝9种不同的选法．4．从0,1,2,3,4这5个数字中任取3个组成三位数，其中奇数的个数是________．解析：从1,3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法．故所求奇数的个数为3×3×2＝18.答案：185．如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．解析：把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)．第二类，有两条公共边的三角形共有8个．由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．答案：40二保高考，全练题型做到高考达标1．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()A．180种B．360种C．720种D．960种解析：选D按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．2．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形(个人输赢局次的不同视为不同情形)共有()A．6种B．12种C．18种D．20种解析：选D分三种情况：恰好打3局(一人赢3局)，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2C23＝6(种)情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2C24＝12(种)情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20(种)．3．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B依题意知，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4,0,0组成3个数，分别为400,040,004；由3,1,0组成6个数，分别为310,301,130,103,013,031；由2,2,0组成3个数，分别为220,202,022；由2,1,1组成3个数，分别为211,121,112，共计3＋6＋3＋3＝15(个)．4．从2,3,4,5,6,7,8,9这8个数中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则可以组成不同对数值的个数为()A．56 B．54C．53 D．52解析：选D在8个数中任取2个不同的数共有8×7＝56个对数值；但在这56个对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，即满足条件的对数值共有56－4＝52(个)．5．从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有()A．32个B．34个C．36个D．38个解析：选A先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可．故共可组成2×2×2×2×2＝32(个)．6．如图所示，用五种不同的颜色分别给A，B，C，D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种．解析：按区域分四步：第一步，A区域有5种颜色可选；第二步，B区域有4种颜色可选；第三步，C区域有3种颜色可选；第四步，D区域也有3种颜色可选．由分步乘法计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)不同的涂色方法．答案：1807．在2014年南京青奥会百米决赛上，8名男运动员参加100米决赛．其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．解析：分两步安排这8名运动员．第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排．∴安排方式有4×3×2＝24种．第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120种．∴安排这8人的方式有24×120＝2 880种．答案：2 8808．8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3,4名，大师赛共有________场比赛．解析：小组赛共有2C24场比赛；半决赛和决赛共有2＋2＝4场比赛；根据分类加法计数原理共有2C24＋4＝16场比赛．答案：169．集合N＝{a，b，c}⊆{－5，－4，－2,1,4}，若关于x的不等式ax2＋bx＋c<0恒有实数解，则满足条件的集合N的个数是________．解析：依题意知，集合N最多有C35＝10(个)，其中对于不等式ax2＋bx＋c<0没有实数解的情况可转化为需要满足a>0，且Δ＝b2－4ac≤0，因此只有当a，c同号时才有可能，共有2种情况，因此满足条件的集合N的个数是10－2＝8.答案：810．电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果？解：幸运之星在甲箱中抽取，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有30×29×20＝17 400种；幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30＝11 400种．共有不同结果17 400＋11 400＝28 800种．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．安排6名歌手演出顺序时，要求歌手乙、丙都排在歌手甲的前面或者后面，则不同排法的种数共有()A．180种B．240种C．360种D．480种解析：选D依题意，歌手乙、丙都排在歌手甲的前面的排法共有A22×4×5×6＝240种，因此满足题意的不同排法共有240×2＝480种．2．如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，今发现A，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．解析：四个焊点共有24种情况，其中使线路通的情况有：1,4都通，2和3至少有一个通时线路才通，共有3种可能．故不通的情况有24－3＝13(种)可能．答案：133．为参加2014年云南昭通地震救灾，某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？解：在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C17种抽调方法；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A27种抽调方法；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C37种抽调方法．故共有C17＋A27＋C37＝84种抽调方法．第二节排列与组合1．排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m 个元素的排列数，记作A m n.2．组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C m n.3．排列数、组合数的公式及性质[小题体验]1. (教材习题改编)A ，B ，C ，D ，E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边(A ，B 可以不相邻)，那么不同的排法共有( )A ．24种B ．60种C ．90种D ．120种解析：选B 可先排C ，D ，E 三人，共A 35种排法，剩余A ，B 两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A 35＝60(种)．2．(教材习题改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有( )A ．12种B ．16种C ．24种D ．48种解析：选C 依题意得知，满足题意的选法共有C 14·C 13·C 12＝24种． 3．(教材习题改编)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，则C m8＝________. 解析：由已知得m 的取值范围为{}m |0≤m ≤5，m ∈Z ，m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，整理可得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2.故C m 8＝C 28＝28.答案：281．易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．2．计算A mn 时易错算为n (n －1)(n －2)…(n －m )．3．易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．[小题纠偏]1．方程3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x 的解为________．解析：由排列数公式可知3x (x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x (x －1)， ∵x ≥3且x ∈N *，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23(舍去)，∴x ＝5.答案：52．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为________．(用数字作答)解析：法一：依题意可得C 12×C 34＋C 22×C 24＝8＋6＝14，故满足要求的方案有14种．法二：6人中选4人的方案有C 46＝15种，没有女生的方案只有1种，所以满足要求的方案有14种．答案：14考点一 排列问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2015·山西模拟)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐在最北面的椅子上，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有( )A ．60种B ．48种C ．30种D ．24种解析：选B 由题知，不同的座次有A 22A 44＝48种．2．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( ) A ．324 B ．648 C ．328D ．360解析：选C首先应考虑“0”，当0排在个位时，有A29＝9×8＝72(个)，当0排在十位时，有A14A18＝4×8＝32(个)．当不含0时，有A14·A28＝4×8×7＝224(个)，由分类加法计数原理，得符合题意的偶数共有72＋32＋224＝328(个)．3．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的个数为________．解析：(捆绑法)首先排两个奇数1,3有A22种排法，再在2,4中取一个数放在1,3排列之间，有C12种方法，然后把这3个数作为一个整体与剩下的另一个偶数全排列，有A22种排法，即满足条件的四位数的个数为A22C12A22＝8.答案：8[谨记通法]1．解决排列问题的4种方法2．解决排列类应用题的3种策略(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．(2)分排问题直排法处理．(3)“小集团”排列问题采用先集中后局部的处理方法．考点二组合问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2016·山师大附中摸底)某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A．360B．520C．600 D．720解析：选C根据题意，分2种情况讨论：若只有甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480种情况；若甲、乙两人都参加，有C22·C25·A44＝240种情况，其中甲、乙相邻的有C22·C25·A33·A22＝120种情况．则不同的发言顺序的种数为480＋240－120＝600.2．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．解析：第一类，含有1张红色卡片，不同的取法C14C212＝264种．第二类，不含有红色卡片，不同的取法C312－3C34＝220－12＝208种．由分类加法计数原理知，不同的取法共有264＋208＝472种．答案：472[由题悟法]1．解决组合应用题的2个步骤第一步，整体分类要注意分类时，不重复不遗漏，用到分类加法计数原理；第二步，局部分步用到分步乘法计数原理．2．含有附加条件的组合问题的2种方法通常用直接法或间接法，应注意“至少”“最多”“恰好”等词的含义的理解，对于涉及“至少”“至多”等词的组合问题，既可考虑反面情形即间接求解，也可以分类研究进行直接求解．[即时应用]1．(2016·大连模拟)某校开设A类选修课2门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．3种B．6种C．9种D．18种解析：选C由题知有2门A类选修课，3门B类选修课，从中选出3门的选法有C35＝10种．两类课程都有的对立事件是选了3门B类选修课，这种情况只有1种．满足题意的选法有10－1＝9种．2．四面体的一个顶点为A，从其他顶点与各棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有()A．30种B．33种C．36种D．39种解析：选B分两种情况：顶点A与各棱的中点共面的有3个侧面，每个侧面中有5个点，有C35种，3个侧面有3×C35种；3个点不在同一个表面的有3个，共有3×C35＋3＝33种取法．考点三 分组分配问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]分组分配问题是排列、组合问题的综合运用，解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配．关于分组问题，有整体均分、部分均分和不等分三种，无论分成几组，应注意只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分现象．常见的命题角度有： (1)整体均分问题； (2)部分均分问题； (3)不等分问题．[题点全练]角度一：整体均分问题1．国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教．现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法．解析：先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法． 答案：90角度二：部分均分问题2．(2016·内江模拟)某科室派出4名调研员到3个学校，调研该校高三复习备考近况，要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为( )A ．144B ．72C ．36D ．48解析：选C 分两步完成：第一步将4名调研员按2,1,1分成三组，其分法有C 24C 12C 11A 22；第二步将分好的三组分配到3个学校，其分法有A 33种，所以满足条件的分配方案有C 24C 12C 11A 22·A 33＝36种．角度三：不等分问题3．若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．解析：将6名教师分组，分三步完成：第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C16种取法；第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C25种取法；第3步，余下的3名教师作为一组，有C33种取法．根据分步乘法计数原理，共有C16C25C33＝60种取法．再将这3组教师分配到3所中学，有A33＝6种分法，故共有60×6＝360种不同的分法．答案：360[方法归纳]解决分组分配问题的3种策略(1)整体均分解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n(n为均分的组数)，避免重复计数．(2)部分均分解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3)不等分组只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．10种B．9种C．12种D．8种解析：选C依题意，满足题意的不同安排方案共有C12·C24＝12种．2．世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁共4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有()A．12种B．10种C．8种D．6种解析：选D ∵甲、乙两人被分配到同一展台，∴可以把甲与乙捆在一起，看成一个人，然后将3个人分到3个展台上进行全排列，即有A 33种，∴甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数有A 33＝6种．3．将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40解析：选B 将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有C 35C 22×2＝20种．4．从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有( )A ．9个B ．24个C ．36个D ．54个解析：选D 选出符合题意的三个数共有C 13C 23种方法，这三个数可组成C 13C 23A 33＝54个没有重复数字的三位数．5．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有( ) A ．36个 B ．24个 C ．18个 D ．6个解析：选B 各位数字之和是奇数，则这三个数字中三个都是奇数或两个偶数一个奇数，所有可能情况有A 33＋C 13A 33＝6＋18＝24(个)．二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·山西四校联考)有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为( )A ．150B ．180C ．200D ．280解析：选A 分两类：一类，3个班分派的毕业生人数分别为2,2,1，则有C 25C 23A 22·A 33＝90种分派方法；另一类，3个班分派的毕业生人数分别为1,1,3，则有C 35·A 33＝60种分派方法．所以不同分派方法种数为90＋60＝150种．2．(2016·贵阳摸底)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )。
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平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试 专题九 技术原理与概率、统计 算法初步、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）； 锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1、【2012 四川文】7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、21B 、28C 、35D 、422、【2012 天津】阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A）8 （B）18 （C）26 （D）803、执行右面的程序框图，如果输出的是341a=，那么判断框（）A．4?k<B．5?k<C．6?k<D．7?k<4、某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A．31.6岁B．32.6岁C．33.6岁D．36.6岁5、【2012高考湖北文2】容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为A 0.35B 0.45C 0.55D 0.656、现有4种不同颜色要对如图1所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）A.24种B.30种C.36种D.48种7、将甲、乙、丙、丁四名实习老师分到三个不同的班，每个班至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分到同一个班，则不同分法的种数为A、28B、24C、30D、368、【2012 江西文】观察下列事实|x|+|y|=1的不同整数解（x,y）的个数为4 ， |x|+|y|=2的不同整数解（x,y）的个数为8， |x|+|y|=3的不同整数解（x,y）的个数为12 ….则|x|+|y|=20的不同整数解（x，y）的个数为图1A.76B.80C.86D.929、若对于任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1210、如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ）A.3B.5C.6D.10非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、【2012 浙江文】某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________. 12、执行如右图所示的程序框图，其输出的结果是13、已知200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布 直方图如右图所示，求时速在[60,70]的汽车大约有____辆.14、【2012 浙江】从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则该两点间的距离为22的概率是___________。
15、在6)1(+x 的二项展开式中任取2项，若用随机变量ξ表示取出的2项中系数为奇数的项的个数，则随机变量ξ的数学期望E ξ=16、已知(),cos sin 1x x x f +=记()()()()()()x f x f x f x f x f x f n n '=⋅⋅⋅'='=-12312,,,时速（km ） 001002 003004 组距40 50 60 70 80(*Nn∈且)2≥n ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛222201221πππf f f . 17、如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、【2012 广东文】（本小题满分14分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].（1）求图中a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60) [60,70) [70,80) [80,90):x y 11: 21:34: 4:519、【2012 陕西文、】（本小题满分14分）假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；（Ⅱ）这两种品牌产品中，，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率。
20、（本小题满分14分）在某次乒乓球比赛中，甲、乙、丙三名选手进行单循环赛（即每两个比赛一场），共比赛三场.若这三人在以往的相互比赛中，甲胜乙的概率为31，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为31. （1）求甲获第一、丙获第二、乙获第三的概率；（2）若每场比赛胜者得分，负者得0分，设在此次比赛中甲得分数为X ，求EX .21、（本小题满分15分）某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .22、（本小题满分15分）甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为32，甲胜丙的概率为41，乙胜丙的概率为51 (1)求甲获第一名且丙获第二名的概率：(2)设在该次比赛中，甲得分为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
平阳县鳌江中学2013届高三一轮复习全能测试参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C B D D B B B 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分28分。
11、160 12、45-13、80 14、25 15、7816、0 17、630三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、（本小题满分14分）（1）依题意得，10(20.020.030.04)1a +++=，解得0.005a =。
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）。
（3）数学成绩在[50,60)的人数为：1000.055⨯=，数学成绩在[60,70)的人数为：11000.4202⨯⨯=， 数学成绩在[70,80)的人数为：41000.3403⨯⨯=，数学成绩在[80,90)的人数为：51000.2254⨯⨯=所以数学成绩在[50,90)之外的人数为：100520402510----=。
19、20、（本小题满分14分）解：（1）设甲获第一、丙获第二、乙获第三为事件A ，则;181324131)(=⨯⨯=A P ·····················6分 （2）X 可能的取值为.2,1,0231(0)342P X ==⨯=，13125(1)344312P X==⨯+⨯=，111(2)3412P X==⨯=，·····················14分X0 1 2p2112512115170122121212EX=⨯+⨯+⨯=21、（本小题满分15分）解：（Ⅰ）第二组的频率为1(0.040.040.030.020.01)50.3-++++⨯=，所以高为0.30.065=．频率直方图如下：-----------------2分第一组的人数为1202000.6=，频率为0.0450.2⨯=，所以20010000.2n==．由题可知，第二组的频率为0．3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p==．第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a=⨯=．-------------------------------5分（Ⅱ）因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取18人，[40,45)岁中有12人，[45,50)岁中有6人． -------------------6分随机变量X服从超几何分布．031263185(0)204C CP XC===，1212631815(1)68C CP XC===，2112631833(2)68C C P X C ===，3012631855(3)204C C P X C ===． ----------------10分 所以随机变量X 的分布列为X0 1 2 3P520415683368 55204-----------12分∴数学期望5153355012322046868204EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ------------------15分22、解：(1)甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，∴甲获第一的概率为6141.32=⋅⨯⋅ ……………2分 丙获第二，则丙胜乙，其概率为54511=- …………4分∴甲获第一名且丙获第二名的概率为1525461=⨯ ……………6分(2)ξ可能取的值为O 、3、6…………………………7分 甲两场比赛皆输的概率为 41)411)(321()0(=--==⋅ξP ……8分 甲两场只胜一场的概率为 127)321(41)411(32)3(=-⨯+-⨯==ξP ………10分 甲两场皆胜的概率为 614132)6(=⨯==ξP ……………l2分 ∴ξ的分布列为ξ 0 3 6 P41127 6.14116161273410=⨯+⨯+⨯=∴ξE (4)。