2019年高考数学大二轮复习专题七概率与统计第3讲概率随机变量及其分布练习理

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2019年高考数学“概率与统计”专题复习(真题+答案)

2019年高考数学“概率与统计”专题复习(名师精选重点试题+实战真题演练+答案，建议下载保存) (总计65页，涵盖所有知识点，价值很高，可以达到事半功倍的复习效果，值得下载打印练习)1 随机事件的概率基础自测1.下列说法正确的是（）A.某事件发生的频率为P(A)=1.1B.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C.小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件D.某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的答案 B2.在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为n m ，当n 很大时，P(A)与n m的关系是（）n mB. P(A)＜nm＞n mD. P(A)=nm答案3.给出下列三个命题，其中正确命题有 ( )①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是73；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率. 个B.1个C.2个D.3个答案4.已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是0.8，0.12，0.05，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为， . 答案 0.97 0.035.甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是21,乙获胜的概率是31，则乙不输的概率是 . 答案656.抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P （A ）=21，P （B ） =61，则出现奇数点或2点的概率之和为答案32例1 盒中仅有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球. （1）“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？解（1）“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0. （2）“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是94. （3）“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1. 例2 某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表所示：（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解（1）击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906. （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是0.9.例3 （12分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率.解记事件“射击一次，命中k 环”为A k （k ∈N ，k≤10），则事件A k 彼此互斥.2分（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当A 9，A 10之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式得P （A ）=P （A 9）+P （A 10）=0.32+0.28=0.60.5分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当A 8，A 9，A 10之一发生时，事件B 发生.由互斥事件概率的加法公式得P （B ）=P （A 8）+P （A 9）+P （A 10） =0.18+0.28+0.32=0.78.9分（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件：即B 表示事件“射击一次，命中不足8环”，根据对立事件的概率公式得 P （）=1-P （B ）=1-0.78=0.22.12分1.在12件瓷器中，有10件一级品，2件二级品，从中任取3件. （1）“3件都是二级品”是什么事件？（2）“3件都是一级品”是什么事件？（3）“至少有一件是一级品”是什么事件？解（1）因为12件瓷器中，只有2件二级品，取出3件都是二级品是不可能发生的，故是不可能事件. （2）“3件都是一级品”在题设条件下是可能发生也可能不发生的，故是随机事件.（3）“至少有一件是一级品”是必然事件，因为12件瓷器中只有2件二级品，取三件必有一级品. 2.某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球.日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：（1）计算表中乒乓球优等品的频率；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）解（1）依据公式p=nm，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940，0.954，0.951.（2）由（1）知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数0.950的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0.950. 3.玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中取1球. 求：（1）红或黑的概率；（2）红或黑或白的概率.解方法一记事件A 1：从12只球中任取1球得红球； A 2：从12只球中任取1球得黑球； A 3：从12只球中任取1球得白球； A 4：从12只球中任取1球得绿球，则 P （A 1）=125，P （A 2）=124，P （A 3）=122，P （A 4）=121. 根据题意，A 1、A 2、A 3、A 4彼此互斥，由互斥事件概率加法公式得（1）取出红球或黑球的概率为 P （A 1+A 2）=P （A 1）+P （A 2）=125+124=43. （2）取出红或黑或白球的概率为P （A 1+A 2+A 3）=P （A 1）+P （A 2）+P （A 3） =125+124+122=1211. 方法二（1）取出红球或黑球的对立事件为取出白球或绿球，即A 1+A 2的对立事件为A 3+A 4， ∴取出红球或黑球的概率为P （A 1+A 2）=1-P （A 3+A 4）=1-P （A 3）-P （A 4） =1-122-121=129=43.（2）A 1+A 2+A 3的对立事件为A 4. P （A 1+A 2+A 3）=1-P （A 4）=1-121=1211.一、选择题1.已知某厂的产品合格率为90%，抽出10件产品检查，则下列说法正确的是（）合格产品少于9件合格产品多于9件合格产品正好是9件D.合格产品可能是9件答案2.某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事件“至少有1次中靶”的互斥事件是（）至多有1次中靶 B.2次都中靶次都不中靶D.只有1次中靶答案3.甲:A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件，那么（）.甲是乙的充分条件但不是必要条件甲是乙的必要条件但不是充分条件甲是乙的充要条件甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案4.将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（）A.2165 B.21625C.21631D.21691答案 D5.一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.3，摸出白球的概率是0.5，则摸出黑球的概率是（）D.0.答案6.在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为（）B.0.60答案二、填空题7.中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为73，乙夺得冠军的概率为41，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为 . 答案2819 8.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为 . 答案 50% 三、解答题9.某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）不够7环的概率.解（1）设“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，由于A ，B 互斥，则 P （A+B ）=P （A ）+P （B ）=0.21+0.23=0.44. （2）设“少于7环”为事件C ，则P （C ）=1-P （C ）=1-（0.21+0.23+0.25+0.28）=0.03.10.某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：求：（1）派出医生至多2人的概率；（2）派出医生至少2人的概率. 解记事件A ：“不派出医生”，事件B ：“派出1名医生”，事件C ：“派出2名医生”，事件D ：“派出3名医生”，事件E ：“派出4名医生”，事件F ：“派出不少于5名医生”. ∵事件A ，B ，C ，D ，E ，F 彼此互斥，且P （A ）=0.1，P （B ）=0.16，P （C ）=0.3， P （D ）=0.2，P （E ）=0.2，P （F ）=0.04. （1）“派出医生至多2人”的概率为P （A+B+C ）=P （A ）+P （B ）+P （C ） =0.1+0.16+0.3=0.56.（2）“派出医生至少2人”的概率为P （C+D+E+F ）=P （C ）+P （D ）+P （E ）+P （F ） =0.3+0.2+0.2+0.04=0.74. 或1-P （A+B ）=1-0.1-0.16=0.74.11.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、5、6），事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P （A+B ）.解方法一因为A+B 的意义是事件A 发生或事件B 发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、5四个可能结果之一时，A+B 就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P （A+B ）=64=32. 方法二记事件C 为“朝上一面的数为2”，则A+B=A+C ，且A 与C 互斥. 又因为P （C ）=61，P （A ）=21，所以P （A+B ）=P （A+C ）=P （A ）+P （C ）=21+61=32. 方法三记事件D 为“朝上一面的数为4或6”，则事件D 发生时，事件A 和事件B 都不发生，即事件A+B 不发生.又事件A+B 发生即事件A 发生或事件B 发生时，事件D 不发生，所以事件A+B 与事件D 为对立事件.因为P （D ）=62=31，所以P （A+B ）=1-P （D ）=1-31=32. 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为41，得到黑球或黄球的概率是125，得到黄球或绿球的概率是21，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事件A 、B 、C 、D.由于A 、B 、C 、D 为互斥事件，根据已知得到⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+++21)()(125)()(1)()()(41D P C P C P B P D P C P B P 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===31)(61)(41)(D P C P B P . ∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是41，61，31. §2 古典概型1.从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为（）A.21 B.31 C.32答案 C2.掷一枚骰子，观察掷出的点数，则掷出奇数点的概率为（）A.31 B.41 C.21D.32答案 C3.袋中有2个白球，2个黑球，从中任意摸出2个，则至少摸出1个黑球的概率是（）A.43 B.65 C.61 D.31答案 B4.一袋中装有大小相同，编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个球，从中有放回地每次取一个球，共取2次，则取得两个球的编号之和不小于15的概率为 ( )A.321 B.641 C.323D.643答案 D5.掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：“一次正面朝上，一次反面朝上” ；事件N ：“至少一次正面朝上” .则下列结果正确的是（）A.P(M)=31,P(N)=21B.P(M)=21,P(N)=21C.P(M)=31,P(N)=43D.P(M)=21,P(N)=43答案例1 有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用（x ，y ）表示结果，其中x 表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y 表示第2颗正四面体玩具出现的点数.试写出：基础自测（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于3”；（3）事件“出现点数相等”.解（1）这个试验的基本事件为：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.（2）事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）. （3）事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）.例2 甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一题.（1）甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9=90种，即基本事件总数是90.（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A ，下面求事件A 包含的基本事件数：甲抽选择题有6种抽法，乙抽判断题有4种抽法，所以事件A 的基本事件数为6×4=24. ∴P （A ）=n m =9024=154. （2）先考虑问题的对立面：“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”的对立事件是“甲、乙两人都未抽到选择题”，即都抽到判断题.记“甲、乙两人都抽到判断题”为事件B ，“至少一人抽到选择题”为事件C ，则B 含基本事件数为4×3= ∴由古典概型概率公式，得P （B ）=9012=152, 由对立事件的性质可得 P （C ）=1-P （B ）=1-152=1513. 例3 （12分）同时抛掷两枚骰子.（1）求“点数之和为6”的概率；（2）求“至少有一个5点或6点”的概率. 解同时抛掷两枚骰子，可能的结果如下表：共有36个不同的结果.6分（1）点数之和为6的共有5个结果，所以点数之和为6的概率p=365.9分（2）方法一从表中可以得其中至少有一个5点或6点的结果有20个，所以至少有一个5点或6点的概率p=3620=95. 12分方法二至少有一个5点或6点的对立事件是既没有5点又没有6点，如上表既没有5点又没有6点的结果共有16个，则既没有5点又没有6点的概率p=3616=94，所以至少有一个5点或6点的概率为1-94=95. 12分1.某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？解（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1，2号球用（1，2）表示）： (1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (2,3),(2,4),(2,5)，(3,4), (3,5),(4,5).因此，共有10个基本事件.（2）如下图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球（记为事件A ），即（1，2），（1，3），（2，3），故P （A ）=103.故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为103. 2.（2008·山东文，18）现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1、A 2、A 3通晓日语，B 1、B 2、B 3通晓俄语，C 1、C 2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组. （1）求A 1被选中的概率；（2）求B 1和C 1不全被选中的概率.解（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2, B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 2,B 3,C 1),(A 2,B 3,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2),(A 3,B 3,C 1),(A 3,B 3,C 2)}由18个基本事件组成.由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的.用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M={(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 1,B 3,C 1),(A 1,B 3,C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而P （M ）=186=31. （2）用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N ={（A 1,B 1,C 1）,(A 2,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 1)}，事件N 有3个基本事件组成，所以P （N ）=183=61，由对立事件的概率公式得 P （N ）=1-P （N ）=1-61=65. 3.袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率: （1）A:取出的两球都是白球；（2）B ：取出的两球1个是白球，另1个是红球.解设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个.（1）从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个，即为（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.∴取出的两个球全是白球的概率为P （A ）=156=52. （2）从袋中的6个球中任取两个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8个. ∴取出的两个球1个是白球，另1个是红球的概率 P （B ）=158.一、选择题1.盒中有1个黑球和9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没有什么差别.现由10人依次摸出1个球.设第1个人摸出的1个球是黑球的概率为P 1，第10个人摸出黑球的概率是P 10，则（）10=101P 1B.P 10=91P 1 10=010=P 1答案2.采用简单随机抽样从含有n 个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，若个体a 前2次未被抽到，第3次被抽到的概率等于个体a 未被抽到的概率的31倍，则个体a 被抽到的概率为（）A.21B.31C.41D.61 答案3.有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为（）A.101B.103 C.51 D.53 答案4.从数字1，2，3中任取两个不同数字组成两位数，该数大于23的概率为（）A.31B.61 C.81D.41 答案5.设集合A={1，2}，B={1，2，3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P （a ，b ），记“点P （a,b ）落在直线x+y=n 上”为事件C n （2≤n≤5，n ∈N ），若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为（）C.2和D.3和答案6.（2008·温州模拟）若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x+y=5下方的概率是（）A.31B.41C.61D.121 答案二、填空题7.（2008·江苏，2）一个骰子连续投2次，点数和为4的概率为 . 答案121 8.（2008·上海文，8）在平面直角坐标系中，从五个点：A （0，0）、B （2，0）、C （1，1）、D （0，2）、 E （2，2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）. 答案54三、解答题9.5张奖券中有2张是中奖的，首先由甲然后由乙各抽一张，求：（1）甲中奖的概率P （A ）；（2）甲、乙都中奖的概率；（3）只有乙中奖的概率；（4）乙中奖的概率.解（1）甲有5种抽法，即基本事件总数为5.中奖的抽法只有2种，即事件“甲中奖”包含的基本事件数为2，故甲中奖的概率为P 1=52. （2）甲、乙各抽一张的事件中，甲有五种抽法，则乙有4种抽法，故所有可能的抽法共5×4=20种，甲、乙都中奖的事件中包含的基本事件只有2种，故P 2=202=101. （3）由（2）知，甲、乙各抽一张奖券，共有20种抽法，只有乙中奖的事件包含“甲未中”和“乙中”两种情况，故共有3×2=6种基本事件，∴P 3=206=103. （4）由（1）可知，总的基本事件数为5，中奖的基本事件数为2，故P 4=52. 10.箱中有a 个正品，b 个次品，从箱中随机连续抽取3次，在以下两种抽样方式下：（1）每次抽样后不放回；（2）每次抽样后放回.求取出的3个全是正品的概率解（1）若不放回抽样3次看作有顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有A 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有A 3a种方法，可以抽出3个正品的概率p=33A A ba a +.若不放回抽样3次看作无顺序，则从a+b 个产品中不放回抽样3次共有C 3b a +种方法，从a 个正品中不放回抽样3次共有C 3a 种方法，可以取出3个正品的概率p=33C C ba a +.两种方法结果一致（2）从a+b 个产品中有放回的抽取3次，每次都有a+b 种方法，所以共有(a+b)3种不同的方法，而3个全是正品的抽法共有a 3种，所以3个全是正品的概率p=333)(⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+b a a b a a . 11.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取两个球都是白球的概率为71.现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有1人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的.（1）求袋中原有白球的个数；（2）求取球2次终止的概率；（3）求甲取到白球的概率.解（1）设袋中有n 个白球，从袋中任取2个球是白球的结果数是2)1(-n n . 从袋中任取2个球的所有可能的结果数为276⨯=21. 由题意知71=212)1(-n n =42)1(-n n ， ∴n （n-1）=6，解得n=3(舍去n=-2). 故袋中原有3个白球.（2）记“取球2次终止”为事件A ，则P （A ）=6734⨯⨯=72. （3）记“甲取到白球”的事件为B ， “第i 次取到白球”为A i ，i=1，2，3，4，5，因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球. 所以P （B ）=P （A 1+A 3+A 5）. 因此A 1，A 3，A 5两两互斥，∴P （B ）=P （A 1）+P （A 3）+P （A 5）=73+567334⨯⨯⨯⨯+3456731234⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =73+356+351=3522. （2008·海南、宁夏文，19）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况,调查部门对某校6名学生进行问卷调查,6人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10.把这6名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数;(2)用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名,他们的得分组成一个样本.求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 解 (1)总体平均数为61(5+6+7+8+9+10)=7.5. (2)设A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”. 从总体中抽取2个个体全部可能的基本结果有：（5，6），（5，7），（5，8），（5，9），（5，10），（6，7），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），（7，10），（8，9），（8，10），（9，10），共15个基本结果.事件A 包括的基本结果有：（5，9），（5，10），（6，8），（6，9），（6，10），（7，8），（7，9），共有7个基本结果.所以所求的概率为P （A ）=157. §3 几何概型基础自测1.质点在数轴上的区间［0，2］上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间［0，1］上的概率为（）4131C.21D.以上都不对答案2.某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（）A.π2 B.π1C.32D.31答案3.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是 ( )A.53B.54 C.52 D.51答案4.设D 是半径为R 的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C ，连接CD 得一弦，若A 表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P （A ）= . 答案315.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为 . 答案 61例1 有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率有多大？解记“剪得两段都不小于3米”为事件A ，从木棍的两端各度量出3米，这样中间就有10-3-3=4（米）.在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件，所以P （A ）=103310--=104=0.4. 例2 街道旁边有一游戏：在铺满边长为9 cm 的正方形塑料板的宽广地面上，掷一枚半径为1 cm 的小圆板，规则如下：每掷一次交5角钱，若小圆板压在正方形的边，可重掷一次；若掷在正方形内，须再交5角钱可玩一次；若掷在或压在塑料板的顶点上，可获1元钱.试问：（1）小圆板压在塑料板的边上的概率是多少？（2）小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少？解（1）考虑圆心位置在中心相同且边长分别为7 cm 和9 cm 的正方形围成的区域内，所以概率为22979-=8132. （2）考虑小圆板的圆心在以塑料板顶点为圆心的41圆内，因正方形有四个顶点，所以概率为819ππ=. 例3 （12分）在1升高产小麦种子中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？解 1升=1 000毫升，2分记事件A ：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”. 4分则P （A ）=000110=0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01. 7分记事件B ：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”.9分则P （B ）=000130=0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.12分例4 在Rt △ABC 中，∠A=30°，过直角顶点C 作射线CM 交线段AB 于M ，求使|AM|＞|AC|的概率. 解设事件D“作射线CM ，使|AM|＞|AC|”.在AB 上取点C′使|AC′|=|AC|，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′=230180-=75°, A μ=90-75=15，Ωμ=90，所以，P （D ）=9015=61. 例5 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去.求两人能会面的概率.解以x 轴和y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x-y|≤15.在如图所示平面直角坐标系下，（x,y ）的所有可能结果是边长为60的正方形区域，而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：P （A ）=S S A =222604560-=600302526003-=167.所以，两人能会面的概率是167.1.如图所示，A 、B 两盏路灯之间长度是30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C 、D ，问A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米的概率是多少？解记E ：“A 与C ，B 与D 之间的距离都不小于10米”，把AB 三等分，由于中间长度为30×31=10（米），∴P （E ）=3010=31. 2.（2008·江苏，6）在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为 .答案16π 3.如图所示，有一杯2升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率.解记“小杯水中含有这个细菌”为事件A ，则事件A 的概率只与取出的水的体积有关，符合几何概型的条件.∵A μ=0.1升，Ωμ=2升， ∴由几何概型求概率的公式，得P （A ）=ΩA μμ=21.0=201=0.05. 4.在圆心角为90°的扇形AOB 中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率.解如图所示，把圆弧三等分，则∠AOF=∠BOE=30°，记A 为“在扇形AOB 内作一射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，要使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°，则OC 就落在∠EOF 内， ∴P （A ）=9030=31. 5.将长为l 的棒随机折成3段，求3段构成三角形的概率.解设A=“3段构成三角形”，x,y 分别表示其中两段的长度，则第3段的长度为l-x-y. 则试验的全部结果可构成集合Ω={（x ，y ）|0＜x ＜l,0＜y ＜l,0＜x+y ＜l},要使3段构成三角形，当且仅当任意两段之和大于第3段，即x+y>l-x-y ⇒x+y ＞2l,x+l-x-y ＞y⇒y ＜2l ,y+l-x-y ＞x ⇒x ＜2l . 故所求结果构成集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<>+2,2,2|),(l x l y l y x y x . 由图可知，所求概率为P （A ）=的面积的面积ΩA =22212l l ⎪⎭⎫ ⎝⎛∙=41.一、选择题1.在区间（15，25］内的所有实数中随机取一个实数a,则这个实数满足17＜a ＜20的概率是（）A.31 B.21 C.103 D.107答案2.在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.259 B.2516C.103D.51答案3.当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( ) A.121B.83C.161D.65答案4.如图为一半径为2的扇形（其中扇形中心角为90°），在其内部随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为()A.π2B.π1 C.21 D.1-π2答案5.在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于4S的概率是 ( ) A.41 B.21 C.43 D.32答案6.已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O,则在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.4πB.8πC.6πD.12π答案二、填空题7.已知下图所示的矩形，其长为12，宽为5.在矩形内随机地撒1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为550颗，则可以估计出阴影部分的面积约为 .答案 338.在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 . 答案2517 三、解答题9.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色的分环，从外向内白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色，金色靶心叫“黄心”，奥运会的比赛靶面直径是122 cm ，靶心直径2 cm,运动员在70米外射箭，假设都能中靶，且射中靶面内任一点是等可能的，求射中“黄心”的概率. 解记“射中黄心”为事件A ，由于中靶点随机的落在面积为π41×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点在面积为π41×22 cm 2的黄心时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率P （A ）=2212242.1241⨯⨯ππ=0.01,所以射中“黄心”的概率为0.01.10.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6∶30至7∶30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7∶00至8∶00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A ）的概率是多少？解设事件A“父亲离开家前能得到报纸”.在平面直角坐标系内，以x 和y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是x≤y,而（x,y)的所有可能结果是边长为1的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A μ=12-21×21×21=87，Ωμ =1，所以P （A ）=ΩμμA =87. 11.已知等腰Rt △ABC 中，∠C=90°.（1）在线段BC 上任取一点M ，求使∠CAM ＜30°的概率；（2）在∠CAB 内任作射线AM ，求使∠CAM ＜30°的概率. 解（1）设CM=x ，则0＜x ＜a.（不妨设BC=a ）. 若∠CAM ＜30°，则0＜x ＜33a ，故∠CAM ＜30°的概率为P （A ）=的长度区间的长度区间),0(33,0a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33. （2）设∠CAM=θ，则0°＜θ＜45°. 若∠CAM ＜30°，则0°＜θ＜30°，故∠CAM ＜30°的概率为 P （B ）=的长度的长度)45,0()30,0( =32.设关于x 的一元二次方程x 2+2ax+b 2=0.（1）若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若a 是从区间［0，3］任取的一个数，b 是从区间［0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.解设事件A 为“方程x 2+2ax+b 2=0有实根”.当a≥0,b≥0时，方程x 2+2ax+b 2=0有实根的充要条件为a≥b. （1）基本事件共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值.。

【精品】备战2019高考数学(理科)大二轮复习课件：专题七概率与统计7.2

= �� −
^
��=43-6×4=19,故 y 关于 x 的线性回归方程为��=6x+19. (2)①当车流量为 8 万辆,即 x=8 时,��=6×8+19=67.故当车流量为 8 万辆时,PM2.5 的浓度为 67 微克/立方米. ②根据题意得 6x+19≤100,即 x≤13.5,故要使该市某日空气质量为优或良,应控制当天车流量在 13 万辆以内.
^ ^ ^ ∑ (�� -�� )(�� -�� )
�� =1 8
∑ (�� -�� )
2
=
108.8 1.6
=68,
�� = �� − �� =563- 68×6.8= 100.6, 所以 y 关于 w 的线性回归方程为��=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为��=100.6+ 68 �� .
题型
复习策略抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是互斥事件的概率、古典概型、几何概型、用样本估计总体、回归分析、独立性检验等.
核心归纳
仅供学习交流！！！
-22命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四命题热点五
解： (1)由散点图可以判断 ,y=c+d �� 适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型. (2)令 w= �� ,先建立 y 关于 w 的线性回归方程. 由于�� = i=1 8
7.2
概率、统计与统计案例

2019年高考必备必考-统计与概率大题汇总_(理科解答含答案)

一对一个性化辅导教学设计任课老师：关sir统计与概率解答题好比数学题中阅读理解，文字多，需要有一定的文字理解能力和结合实际进行数据分析的能力。

文档题目分三档，A 组是必须要掌握题目，因为这道题目在高考大题中是处于基础性的地位，所以要多做，争取拿满分。

A组1、（本小题满分12分）（F37，2017全国2卷理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）,其频率分布直方图如下：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对求新养殖法产量的中位数的估计值（精确到0.01）. 附：（1）0.4092；（2）有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）52.352、（本小题满分12分）（B06理）传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化，是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征. 教育部考试中心确定了2017年普通高考部分更注重传统文化考核. 某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果，进行了一次阶段检测，并从中随机抽取80名同学的成绩，然后就其成绩分为E D C B A ,,,,五个等级进行数据统计如下：根据以上抽样调查数据，视频率为概率.（1）若该校高二年级共有1000名学生，试估算该校高二年级学生获得成绩为B 的人数；（2）若等级E D C B A ,,,,分别对应100分、80分、60分、40分、20分，学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”，请问该校高二年级此阶段教学是否达标？（3）为更深入了解教学情况，将成绩等级为B A ,的学生中，按分层抽样抽取7人，再从中任意抽取3名，求抽到成绩为A 的人数X 的分布列与数学期望.（1）150（2）59，未达标（3）9/7随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；4、（本小题满分12分）（F32，2015全国2卷理科）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，根据用户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（1）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）（1）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立。

2019-2020年备战高考数学大二轮复习课件：专题七概率与统计 7.3

高频考点
-6-
命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四
解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:
通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.
高频考点
-7-
命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因
此只需考虑200≤n≤500. 当300≤n≤500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;
若最高气温位于区间[20,25),
则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;
若最高气温低于20,
则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=6400.4n.
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
高频考点
-4-
命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);
记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A,则 P(A)=C43
1 3 · 1 4-3 ·1 = 1.
2
2
28
高频考点
-20-
命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四

数学-随机变量及其分布试题版

第七章随机变量及其分布目录第七章随机变量及其分布 27.1条件概率与全概率公式 27.1.1条件概率 27.1.2全概率公式 3习题7.1 47.2离散型随机变量及其分布列 5习题7.2 67.3离散型随机变量的数字特征 77.3.1离散型随机变量的均值 77.3.2离散型随机变量的方差 9习题7.3 107.4二项分布与超几何分布 117.4.1二项分布 117.4.2超几何分布 13习题7.4 147.5正态分布 15习题7.5 16复习参考题7 17随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率思考原理一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B∣A)=P(AB) P(A)为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率(conditional probability ).思考原理由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B∣A)我们称上式为概率的乘法公式(multiplication formula).1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求：(1)第1次抽到代数题目第2次抽到几何题的概率；(2)在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.练习1.设A⊆B，且P(A)=0.3，P(B)=0.6.根据事件包含关系的意义及条件概率的意义，直接写出P(B∣A)和P(A∣B)的值再由条件概率公式进行验证.2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：(1)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率；(2)两次都摸到白球的概率.7.1.2全概率公式探究公式一般地,设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,有P (B )=ni =1 P A i P B ∣A i .我们称上面的公式为全概率公式(t otalprobability formula ).4某学校有A ，B 两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.6；如果第1天去B 餐厅，那么第2天去A 餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A 餐厅用餐的概率.5有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算它是第式£=1，2，3)台车床加工的概率.探究公式贝叶斯公式(Bayes formula )：设A 1,A 2,⋯,A n 是一组两两互斥的事件,A 1∪A 2∪⋯∪A n =Ω,且P A i >0,i =1,2,⋯,n ,则对任意的事件B ⊆Ω,贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(T .Bayes ,1702-1761)发现的,它用来描述两个条件概率之间的关系.P (B )>0,有P A i ∣B =P A i P B ∣A iP (B )=P A i P B ∣A ink =1P A k P B ∣A k,i =1,2,⋯,n6在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的.(1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率.练习1.现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率.2.两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%.将两批产品混合，从混合产品中任取1件.(1)求这件产品是合格品的概率；(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率.习题7.1复习巩固1.为了研究不同性别学生患色盲的比例，调查了某学校2000名学生，数据如下表所示.男女合计色盲60262非色盲11407981938合计12008002000从这2000人中随机选择1个人.(1)已知选到的是男生，求他患色盲的概率；(2)已知选到的学生患色盲，求他是男生的概率.2.从人群中随机选出1人，设B=“选出的人患有心脏病”，C=“选出的人是年龄大于50岁的心脏病患者”，请你判断P(B)和P(C)的大小，并说明理由.3.甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率.4.甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率.5.在A、B、C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有6%、5%、4%的人患了流感假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一个人.(1)求这个人患流感的概率；(2)如果此人患流感，求此人选自A地区的概率.6.已知P(A)>0，P(B)>0，P(B∣A)=P(B)，证明：P(A∣B)=P(A).综合运用7.一批产品共有100件，其中5件为不合格品.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第1件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第1件产品合格，则再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.求这批产品被拒绝的概率.8.在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为DD、Dd、dd，其中D为显性基因，d为隐性基因，且这三种基因型的比为1:2:1.如果在子二代中任意选取2颗豌豆作为父本杂交，那么子三代中基因型为dd的概率是多大？9.证明条件概率的性质(1)和(2).拓广探索10.证明：当P(AB)>0时，P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB).据此你能发现计算P A1A2⋅⋅⋅A n的公式吗？7.2离散型随机变量及其分布列思考原理一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X (ω)与之对应,我们称X 为随机变量(random var iable ).思考原理可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量(discrete random var iable ).通常用大写英文字母表示随机变量,例如X ,Y ,Z ;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x ,y ,z .思考原理一般地,设离散型随机变量X 的可能取值为x 1,x 2,⋯,x n ,我们称X 取每一个值x i 的概率P X =x i =p i ,i =1,2,⋯,n为X 的概率分布列(list of probability distribution ),简称分布列.探究公式对于只有两个可能结果的随机试验,用A 表示“成功”,A表示“失败”,定义X =1,A 发生,0,A发生.如果P (A )=p ,则P (A)=1-p ,那么X 的分布列如表7.2-3所示.表7.2-3X 01P1-pp我们称X 服从两点分布(two -po int distribution )或0-1分布.1一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义X =1,抽到次品,0,抽到正品. 求X 的分布列.2某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表7.2-4所示.表7.2-4等级不及格及格中等良优分数12345人数2050604030从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X 的分布列，以及P (X ≥4).3一批笔记本电脑共有10台，其中A 品牌3台，B 品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A 品牌台数的分布列.练习1.举出两个离散型随机变量的例子．2.下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)抛掷2枚骰子，所得点数之和；(2)某足球队在5次点球中射进的球数；(3)任意抽取一瓶标有1500mL的饮料，其实际含量与规定含量之差．3.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列．4.抛掷一枚质地均匀的硬币2次，写出正面向上次数X的分布列．习题7.2复习巩固1.张同学从学校回家要经过4个红绿灯路口，每个路口可能遇到红灯或绿灯．(1)写出随机试验的样本空间；(2)设他可能遇到红灯的次数为X，写出X的可能取值，并说明这些值所表示的随机事件．2.某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为：X0123P0.20.30.150.45试说明该同学的计算结果是否正确．3.在某项体能测试中，跑1km时间不超过4min为优秀．某位同学跑1km所花费的时间X是离散型随机变量吗？如果只关心该同学是否能够取得优秀成绩，应该如何定义随机变量？4.某位射箭运动员命中目标的环数X的分布列为：X678910P0.050.150.250.350.20如果命中9环或10环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是多少？综合运用5.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(2)他能及格的概率．6.某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：(1)李明在一年内参加考试次数X的分布列；(2)李明在一年内领到资格证书的概率．7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值探究公式一般地,若离散型随机变量X的分布列如表7.3-2所示,表7.3-2X x1x2⋯x nP p1p2⋯p n则称E(X)=x1p1+x2p2+⋯+x n p nn=x i p ii=1为随机变量X的均值(m ean)或数学期望(mathematical exp ectation),数学期望简称期望.1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.8．那么他罚球1次的得分X的均值是多少？2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值．3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7.3-3所示．表7.3-3歌曲A B：C 猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首．求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值．探究公式一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b.4根据天气预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60600元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：方案1运走设备，搬运费为3800元；方案2建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3不采取措施．工地的领导该如何决策呢？练习1.已知随机变量X的分布列为：X12345P0.10.30.40.10.1(1)求E(X)；(2)求E(3X+2)．2.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分X的均值．3.甲、乙两台机床生产同一种零件，它们生产的产量相同，在1h内生产出的次品数分别为X1，X2其分布列分别为：甲机床次品数的分布列X10123P0.40.30.20.1乙机床次品数的分布列X2012P0.30.50.2哪台机床更好？请解释你所得出结论的实际含义？7.3.2离散型随机变量的方差探究公式我们称D (X )=x 1-E (X ) 2p 1+x 2-E (X ) 2p 2+⋯+x n -E (X ) 2p n=ni =1 x i -E (X ) 2p i为随机变量X 的方差(va r iance ),有时也记为V ar (X ),并称D (X )为随机变量X 的标准差(s ta n dard deviation ),记为σ(X ).探究公式在方差的计算中,利用下面的结论经常可以使计算简化.D (X )=ni =1 x i -E (X ) 2p i=n i =1 x 2i -2E (X )x i +(E (X ))2p i=ni =1x 2i p i -2E (X )ni =1x i p i +(E (X ))2ni =1p i=ni =1x 2i p i -(E (X ))2.5抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数X 的方差．6投资A ，B 两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示．表7.3-9股票A 收益的分布列收益X /元-102概率0.10.30.6表7.3-10股票B 收益的分布列收益Y /元012概率0.30.40.3(1)投资哪种股票的期望收益大？(2)投资哪种股票的风险较高？练习1.已知随机变量X 的分布列为：X 1234P0.20.30.40.1求D (X )和σ(2X +7)．2.若随机变量X 满足P (X =c )=1，其中c 为常数，求D (X )．3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差(精确到1cm )X 和Y 的分布列如下：甲班的目测误差分布列X-2-1012P0.10.20.40.20.1乙班的目测误差分布列Y-2-1012P0.050.150.60.150.05先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断．!习题7.3复习巩固1.某品牌手机投放市场，每部手机可能发生按定价售出、打折后售出、没有售出而收回三种情况．按定价售出每部利润100元，打折后售出每部利润0元，没有售出而收回每部利润-300元．据市场分析，发生这三种情况的概率分别为0.6，0.3，0.1.求每部手机获利的均值和方差．2.现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？3.随机变量X的分布列为P(X=0)=0.2，P(X=1)=a，P(X=2)=b，若E(X)=1，求a和b．4.在单项选择题中，每道题有4个选项，其中仅有一个选项正确．如果从四个选项中随机选一个，选对的概率为0.25．请给选对和选错分别赋予合适的分值，使得随机选择时得分的均值为0．5.证明：D(aX+b)=a2D(X)．综合运用6.有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，他应该选择先猜哪一道谜语？7.甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为：甲品牌的走时误差分布列X-101P0.10.80.1乙品牌的走时误差分布列Y-2-1012P0.10.20.40.20.1试比较甲、乙两种品牌手表的性能．拓广探索8.设E(X)=μ，a是不等于μ的常数，探究X相对于μ的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说明结论的意义．7.4二项分布与超几何分布7.4.1二项分布思考原理我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials ).思考原理我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.显然,n 重伯努利试验具有如下共同特征：(1)同一个伯努利试验重复做n 次;(2)各次试验的结果相互独立.探究公式一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为P (X =k )=C k n p k (1-p )n -k ,k =0,1,2,⋯,n如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量X 服从二项分布(binomialdistribution ),记作X ∼B (n ,p ).1将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：(1)恰好出现5次正面朝上的概率；(2)正面朝上出现的频率在0.4,0.6 内的概率.2如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，⋯，10，用X 表示小球最后落入格子的号码，求X 的分布列.3甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更看利？归纳一般地,确定一个二项分布模型的步骤如下:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X∼B(n,p).探究公式一般地,可以证明:如果X∼B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).练习1.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数.(1)求X的分布列；(2)E(X)=，D(X)=.2.鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求：(1)没有鸡感染病毒的概率；(2)恰好有1只鸡感染病毒的概率.3.判断下列表述正确与否，并说明理由：(1)12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数X~B(12,0.25)；(2)100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数Y~B(6,0.1).4.举出两个服从二项分布的随机变量的例子.7.4.2超几何分布探究公式一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X 表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=C k M C n-k N-kC n N,k=m,m+1,m+2,⋯,r其中n,N,M∈N∗,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布(hypergeometric distribution).探究公式随机变量X服从超几何分布，则E(X)=nM N4从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.5一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.6一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用X表示样本中黄球的个数.(1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列；(2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率：练习1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率.3.举出两个服从超几何分布的随机变量的例子.习题7.4复习巩固1.抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X的均值和方差.2.若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大.3.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率.(1)质点回到原点；(2)质点位于4的位置.4.从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A牌的概率(精确到0.00001).综合运用5.某射手每次射击击中目标的概率为0.8，共进行10次射击，求(精确到0.01)：(1)恰有8次击中目标的概率；(2)至少有8次击中目标的概率.6.有一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同，一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖.求中奖的概率(精确到0.001).7.一个车间有3台车床，它们各自独立工作.设同时发生故障的车床数为X，在下列两种情形下分别求X的分布列.(1)假设这3台车床型号相同，它们发生故障的概率都是20%；(2)这3台车床中有A型号2台，B型号1台，A型车床发生故障的概率为10%，B型车床发生故障的概率为20%.拓广探索8.某药厂研制一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为90%.随机选择了10个病人，经过使用该药治疗后，治愈的人数不超过6人，你是否怀疑药厂的宣传.7.5正态分布思考原理取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量(continuous random var iable).思考原理对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如图7.5-4所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normal distribution ),记为X∼Nμ,σ2.特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.思考原理由X的密度函数及图象可以发现,正态曲线还有以下特点:(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(2)曲线在x=μ处达到峰值1;σ2π(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.探究公式若X∼Nμ,σ2,则E(X)=μ,D(X)=σ2.1李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布．(1)估计X，Y的分布中的参数；(2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线；(3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天只有34min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由．练习1.设随机变量X~N(0,1)，则X的密度函数为，P X≤0≈，P X ≤1≈，P X≤1≈，P(X>1)≈．(精确到0.0001．)2.设随机变量X~N0,22，随机变量Y~N0,32，画出分布密度曲线草图，并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系，以及P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系．3.举出两个服从正态分布的随机变量的例子．习题7.5复习巩固1.对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩X服从正态分布N72,82，女生成绩Y服从正态分布N74,62．请你从不同角度比较男、女生的考试成绩．2.某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N170,52，随机选择一名本市高二年级的男生，求下列事件的概率：(1)165<X≤175；(2)X≤165；(3)X>175．3.若X~Nμ,σ2，则X位于区域[μ,μ+σ]内的概率是多少？综合运用4.袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4．请你估计这批袋装食盐的合格率．复习参考题7复习巩固1.举例说明P(B)与P(B∣A)没有确定的大小关系．2.抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1)两个点数都出现偶数的概率；(2)已知第一枚骰子的点数是偶数的条件下，第二枚骰子的点数也是偶数的概率．3.假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中有2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品．现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件．(1)求取出的零件是次品的概率；(2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率．4.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示：X012P0.361-2q q2求：(1)常数q的值；(2)E(X)和D(X)．5.已知随机变量X取可能的值1，2，⋯，n是等可能的，且E(X)=10，求n的值．6.已知每门大炮击中目标的概率都是0.3，现存n门大炮同时对某一目标各射击一次．(1)当n=10时，求恰好击中目标3次的概率(精确到0.001)；(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过95%，至少需要多少门大炮？综合运用7.长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率．8.某商场要在国庆节开展促销活动，促销活动可以在商场内举行，也可以在商场外举行．统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得利润2万元；商场外的促销活动，如果不遇到有雨天气可获得利润8万元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3万元．9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？9.一份某种意外伤害保险费为20元，保险金额为50万元．某城市的一家保险公司一年能销售10万份保单，而需要赔付的概率为10-5．利用计算工具求(精确到0.0001)：(1)这家保险公司亏本的概率；(2)这家保险公司一年内获利不少于100万元的概率．拓广探索10.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，求n次传球后球在甲手中的概率．11.某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛查乙肝病毒携带者．假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次.统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就。

全国通用高考数学大二轮专题复习专题整合突破专题七概率与统计第三讲概率随机变量及分布列课件理

P(X＝4000)＝P( A )P( B )＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2000)＝P( A )P(B)＋P(A)P( B )＝(1－0.5)×0.4＋
0.5×(1－0.4)＝0.5，
P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2，
所以 X 的分布列为：
X 4000 2000 800
解 (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg”，B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”，由题设知 P(A)＝0.5，P(B) ＝0.4，
∵利润＝产量×市场价格－成本， ∴X 所有可能的取值为 500×10－1000＝4000,500×6－1000＝2000， 300×10－1000＝2000,300×6－1000＝800.
3．条件概率在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率： P(B|A)＝PPAAB. 4．相互独立事件同时发生的概率：若 A，B 为相互独立事件，则 P(AB)＝P(A)P(B)．
5．独立重复试验如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，那么它在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率为 Pn(k)＝Cnkpk(1－p)n －k，k＝0,1,2，…，n. 6．超几何分布在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X＝k)＝CkMCCnNnN－－kM，k＝0,1,2，…，m，其中 m ＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量 X 服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是 M，N，n.
有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 300 500
概率
0.5 0.5

2019年高考数学大二轮复习专题七概率与统计第3讲概率随机变量及其分布课件理ppt版本

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◎通关题组
1．(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫
猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想
是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和，如
30＝7＋23.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同
的数，其和等于 30 的概率是
答案 C
2．(2018·广东五校诊断)从 1 至 9 共 9 个自然数中任
取七个不同的数，则这七个数的平均数是 5 的概率为
2
1
1
1
A.3
B.3
C.9
D.8
解析 1 至 9 共 9 个自然数中任取七个不同的数的取
法共有 C79＝9×2 8＝36 种，因为 1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6，所以从(1，9)，(2，8)，(3，7)，(4，6)中任选三组，则有
C34＝4，故这七个数的平均数是 5 的概率为346＝19，选 C. 答案 C
3．将一骰子向上抛掷两次，所得点数分别为 m 和
n，则函数 y＝23mx3－nx＋1 在[1，＋∞)上为增函数的概率是
1
2
3
5
A.2
B.3
C.4
D.6
解析所有事件有 6×6＝36(种)，若满足条件，则 y′＝2mx2－n≥0 对 x≥1 恒成立，又 m>0，即(2mx2－n)min＝2m－n，即 2m≥n，而 2m<n 有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2， 5)，(2，6)，共 6 种，则 2m≥n 共 30 种．∴P＝3306＝56.
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2019年高考数学大二轮复习专题七概率与统计7.2概率随机变量及其分布列课件

(2018·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世
界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，
如 30＝7＋23.在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概
率是( )
1 A.12
B．114
1 C.15
D．118
解析：不超过 30 的所有素数为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有 C210＝45 种情况，而和为 30 的有 7＋23,11＋19,13＋17 这 3 种情况．
∴所求概率为435＝115. 故选 C. 答案： C
1．求古典概型的两个关键点一是会利用排列、组合与两个基本计数原理求样本空间所含的基本事件数 n 以及事件 A 所含的基本事件数 m；二是会运用古典概型的概率公式 P(A)＝mn 求事年 A 发生的概率． 2．求解几何概型的步骤： (1)“定变量”，根据事件发生的过程确定事件中的相关变量，确定变量的取值范围；
f(1)>0 成立的概率是________．
解析： f(1)＝－1＋a－b>0，即 a－b>1，
如图，A(1,0)，B(4,0)，C(4,3)，
9 S△ABC＝92，P＝SS△正A方B形C＝4×2 4＝392.
答案：
9 32
题型二
题型二离散型随机变量的分布列、均值与方差均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； (2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b 为实数)．
◎ 变式训练
Hale Waihona Puke 1．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》

2019高考数学二轮复习专题四概率与统计第三讲大题考法——概率与统计课件理

当 300≤n≤500 时，若最高气温不低于 25，则 Y＝6n－4n＝2n；若最高气温位于区间 [20,25)，则 Y＝6× 300＋2(n－300)－4n＝1 200 －2n；若最高气温低于 20，则 Y＝6× 200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此 E(Y) ＝ 2n× 0.4 ＋ (1 200 － 2n)× 0.4 ＋ (800 － 2n)× 0.2 ＝ 640 － 0.4n. 当 200≤n<300 时，若最高气温不低于 20，则 Y＝6n－4n＝2n；若最高气温低于 20，则 Y＝6× 200＋2(n－200)－4n＝800－2n. 因此 E(Y)＝2n× (0.4＋0.4)＋(800－2n)× 0.2＝160＋1.2n. 所以 n＝300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元．
7.
(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元)，由于水库年入流量总大于 40，所以至少安装 1 台． ①安装 1 台发电机的情形：由于水库年入流量总大于 40，所以 1 台发电机运行的概率为 1，对应的年利润 Y＝5 000， E(Y) ＝5 000×1＝5 000. ②安装 2 台发电机的情形：当 40<X<80 时，1 台发电机运行，此时 Y＝5 000－800＝4 200，因此 P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝P1＝0.2.
35 7 5 1 ＝，P3＝P(X>120)＝＝ .所以在未来4年中，至多有1 50 10 50 10
0 3 年的年入流量超过120的概率：P＝C4 (1－P3)4＋C1 (1 － P ) 4 3 P3＝
9 9 1 9 47 10 000
回归分析与概率、题型(二) 统计的交汇问题

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第二篇专题七第3讲概率、随机变量及其分布[限时训练·素能提升] (限时50分钟，满分76分) 一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)1．(2018·海口二模)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：50－8：30，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：50－9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是A.15B.14C.13D.12解析他在8：50－9：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：50－9：00之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：50－9：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是1040＝14.答案 B2．(2018·湖南八校联考)甲、乙、丙三位同学上课后独立完成5道自我检测题，甲的及格概率为45，乙的及格概率为25，丙的及格概率为23，则三人中至少有一人及格的概率为A.1675 B.5975 C.125 D.2425解析设“甲及格”为事件A ，“乙及格”为事件B ，“丙及格”为事件C ，则P (A )＝45，P (B )＝25，P (C )＝23，∴P (A －)＝15，P (B －)＝35，P (C －)＝13，则P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝15×35×13＝125，∴三人中至少有一人及格的概率P ＝1－P (A －B －C －)＝2425.故选D.答案 D3．2018年高考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N (95，82)的密度曲线拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是A.16 B.13 C.12 D.38解析由题意，英语成绩超过95分的概率是12，所以在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是C24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38.答案 D4．(2018·衡水模拟)《中华好诗词》是由河北电视台创办的令广大观众喜闻乐见的节目，旨在弘扬中国古代诗词文化，观众可以选择从A ，B ，C 和河北卫视这四家视听媒体的播放平台中观看，若甲乙两人各自随机选择一家播放平台观看此节目，则甲乙二人中恰有一人选择在河北卫视观看的概率是A.12 B.38 C.14 D.316解析甲、乙两人从A ，B ，C 和河北卫视这四家播放平台随机选择一家有4×4＝16(种)等可能情况，其中甲、乙两人恰有一人选择在河北卫视观看的情况有C12×3＝6(种)，∴所求概率为616＝38.答案 B5．五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为A.516 B.1132 C.1532 D.12解析根据题意没有相邻的两个人站起来包括三种情况：5人都不站起来，或只有1人站起来，或由2人中间隔一人站起来，故没有相邻的两个人站起来的概率为C55⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋C15⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋C15⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝1132.答案 B二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)6．(2018·兰州模拟)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )等于________．解析根据题目条件，每次摸到白球的概率都是p ＝33＋m，满足二项分布，则有E (X )＝np ＝5×33＋m ＝3，解得m ＝2，那么D (X )＝np (1－p )＝5×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝65.答案657．(2018·张家界三模)已知在[0，1]内任取一个实数x ，在[0，2]内任取一个实数y ，则点(x ，y )位于y ＝e x－1上方的概率为________．解析由题意知，x ，y 满足的平面区域长为2，宽为1的矩形，面积为2，其中位于y ＝e x－1下方的点构成的区域面积为⎠⎛01(e x－1)d x ＝e －2，点(x ，y )位于y ＝e x－1上方的概率为p ＝1－e －22＝4－e 2.答案4－e 28．甲、乙两位学生进行五子棋比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲获胜的概率是12外，其余每局比赛甲获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立，则甲以3∶1获胜的概率为________．解析解法一设各局比赛甲获胜的事件分别为A ，B ，C ，D ，则所求概率P ＝P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＝13×23×23×23＋23×13×23×23＋23×23×13×23＝827.解法二设“甲以3∶1获胜”为事件A ，由各局比赛结果相互独立，得P (A )＝C23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝827. 答案827三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9．(2018·全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C220p 2(1－p )18.因此f ′(p )＝C220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝2C220p (1－p )17(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1.当p ∈(0，0.1)时，f ′(p )＞0；当p ∈(0.1，1)时，f ′(p )＜0.所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1.(2)由(1)知，p ＝0.1(ⅰ)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180，0.1)，X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y .所以EX ＝E (40＋25Y )＝40＋25EY ＝490.(ⅱ)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．由于E (X )＞400，故应该对余下的产品作检验．10．(2018·北京)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：假设所有电影是否获得好评相互独立．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk ＝1”表示第k 类电影得到人们喜欢，“ξk ＝0”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(k ＝1，2，3，4，5，6)．写出方差D (ξ1)，D (ξ2)，D (ξ3)，D (ξ4)，D (ξ5)，D (ξ6)的大小关系．解析 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部，这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A ，第四类电影中获得好评的电影为200×0.25＝50部，P (A )＝50140＋50＋300＋200＋800＋510＝502 000＝0.025.(2)设“第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”为事件B ，P (B )＝0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.(3)由题意可知，定义随机变量如下： ξk ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，第k 类电影没有得到人们喜欢1，第k 类电影得到人们喜欢则ξk 显然服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下：第一类电影：ξ1)＝1×0.4＋0×0.6＝0.4.D (ξ1)＝(1－0.4)2×0.4＋(0－0.4)2×0.6＝0.24.第二类电影：ξ2)＝1×0.2＋0×0.8＝0.2.Dξ2＝(1－0.2)2×0.2＋(0－0.2)2×0.8＝0.16.第三类电影：3)＝1×0.15＋0×0.85＝0.15Dξ3＝(1－0.15)2×0.15＋(0－0.15)2×0.85＝0.127 5.第四类电影：4＝1×0.25＋0×0.75＝0.25.Dξ1＝(1－0.25)2×0.25＋(0－0.25)2×0.75＝0.187 5.第五类电影：5)＝1×0.2＋0×0.8＝0.2，Dξ5＝(1－0.2)2×0.2＋(0－0.2)2×0.8＝0.16.第六类电影：E(ξ6)＝1×0.1＋0×0.9＝60.1＋(0－0.1)2×0.9＝0.09.综上所述，Dξ1>Dξ4>Dξ2＝Dξ5>Dξ3>Dξ6.(备注：两点分布的方差计算公式Dξ＝p(1－p)) 11．(2018·揭阳模拟)某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．如图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X(单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知X∈[0，120]，历年中日泄流量在区间[30，60)的年平均天数为156，一年按364天计．(1)请把频率分布直方图补充完整；(2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X <90时才够运行两台发电机．若运行一台发电机，每天可获利润为4 000元；若不运行，则该台发电机每天亏损500元．以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？解析 (1)在区间[30，60)的频率为156364＝37，频率组距＝37×30＝170.设在区间[0，30)上，频率组距＝a ，则⎝⎛⎭⎪⎫a ＋170＋1105＋1210×30＝1，解得a ＝1210.补充完整的频率分布直方图如图所示．(2)记水电站日利润为Y 元．由(1)知，无法运行发电机的概率为17，恰好运行一台发电机的概率为37，恰好运行两台发电机的概率为27，恰好运行三台发电机的概率为17. ①若安装一台发电机，则Y 的所有可能取值为－500，4 000，其分布列为E (Y )＝－500×17＋4 000×67＝23 5007.②若安装两台发电机，则Y 的所有可能取值为－1 000，3 500，8 000，其分布列为E (Y )＝－1 000×7＋3 500×7＋8 000×37＝33 5007.③若安装三台发电机，则Y 的所有可能取值为－1 500，3 000，7 500，12 000，其分布列为E (Y )＝－1 500×7＋3 000×7＋7 500×7＋12 000×17＝34 5007.因为34 5007>33 5007>23 5007，所以要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装三台发电机．。