【卓顶精品】省重点高中数学不等式归纳讲解.doc

第三章 不等式

定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。

3-1 不等式的最基本性质

①对称性：如果P ＞P ，那么P ＜P ；如果P ＜P ，那么P ＞P ； ②传递性：如果P ＞P ，P ＞z ；那么P ＞z ；

③加法性质； 如果P ＞P ，而z 为任意实数，那么P ＋z ＞P ＋z ；

④乘法性质： 如果P ＞P ，z ＞0，那么Pz ＞Pz ；如果P ＞P ，z ＜0，那么Pz ＜Pz;（符号法则）

3-2 不等式的同解原理

①不等式F （P ）＜ G （P ）与不等式 G （P ）＞F （P ）同解。 ②如果不等式F （P ） ＜ G （P ）的定义域被解析式H （ P ）的定义域所包含，那么不等式 F （P ）＜G （P ）与不等式F （P ）＋H （P ）＜G （P ）＋H （P ）同解。

③如果不等式F （P ）＜G （P ） 的定义域被解析式H （P ）的定义域所包含，并且H （P ）＞0，那么不等式F(P)＜G （P ）与不等式H （P ）F （P ）＜H （ P ）G （P ） 同解；如果H （P ）＜0，那么不等式F （P ）＜G （P ）与不等式H (P)F （P ）＞H （P ）G （P ）同解。

④不等式F （P ）G （P ）＞0与不等式0)x (G 0

)x (F >>或0)x (G 0

)x (F <<同解

不等式解集表示方式

F(P)>0的解集为P 大于大的或P 小于小的

F(P)<0的解集为P 大于小的或P 小于大的

3-3 重要不等式

3-3-1 均值不等式

1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n

H n

21n +++= 2、几何平均数： n 1

n 21n

)a ...a a (G = 3、算术平均数： n

)

a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++=

这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn

a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号

3-3-1-1均值不等式的变形

(1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时

取“=”号)

(2)对非负实数a,b ，有ab 2b a ≥

+ (6)对非负数a,b ，有ab )2

b a (b a 222≥+≥+ (7) 若,,a b

c R +∈，有a b c ++

≥a b c ==时

成立）

(8)对非负数a,b,c ，有ac bc ab c b a 222++≥++ (9)对非负数a,b ， 2b a 2b a ab 22

2b

1a 1+≤+≤≤+ 3-3-1-1最值定理

当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值。

均值不等式求最值主要方法：

1.常见构造条件的变换：加项变换，系数变换，平方变换，拆项变换，常量代换，三角代换等.

2.当使用均值定理时等号不能成立时，应考虑函数的单调性（例如“对号”函数，导数法）.

3-3-2 权方和不等式 m n

3211m n 321m n 1m n m 31m 3m 21m 2m 11m 1)b ...b b (b )a ...a a a (b a ....b a b a b a ++++++++>+++++++++ a,b,n 为正整数。m 为正数。

3-4绝对值不等式

|a +b |≤|a |+|b |

||||||a b a b -≤+

3-5 不等式例题解析

3-5-1 绝对值不等式

1、求2|55|1x x -+<的解

2、右边的常数变为代数式

(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x

形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x

②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x

3、两个绝对值不等式

解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜P-2｜+｜P+3｜>5.

形如|()f x |<|()g x |型不等式

1）此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：

|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<0

2）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含

有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，

称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论

绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化。

例题．不等式|P+3|-|2P-1|<2

x +1的解集为 。 解： |P+3|-|2P-1|=⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧-≤-<<-+≥-)3(4)213(24)21(4x x x x x x 4、含参数绝对值不等式

解关于P 的不等式 34422+>+-m m mx x

［解题］原不等式等价于 3|2|+>-m m x

当03>+m 即3->m 时， )3(232+-<-+>-m m x m m x 或

∴333-<+>m x m x 或

当03=+m 即3-=m 时， 0|6|>+x ∴P ≠-6

当03<+m 即3-

方法归纳：

形如|()f x |a (a R ∈)型不等式

此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

①当a >0时，|()f x |a ⇔()f x >a 或()f x <－a ；

②当a =0时，|()f x |a ⇔()f x ≠0

③当a <0时，|()f x |a ⇔()f x 有意义。

4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题

若不等式|x －4|+|3－x |