高中各种函数图像画法与函数性质44514

一次函数

二次函数

反比例函数

1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

2、性质：

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|

5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

指数函数y=a x (a＞0，a≠1)

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质

规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；

当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数；

当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数

比较幂式大小的方法：

1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；

2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；

4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=a x 在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数， 我们把指数函数y=a x (a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1).

因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=log a x(a ＞0，a ≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

y=log 2x ，y=log 10x ，y=log 10x,y=log 2

1x,y=log 10

1x 的草图

图

象

a＞1 a＜1

性质(1)x＞0

(2)当x=1时，y=0

(3)当x＞1时，y＞0

0＜x＜1时，y＜0

(3)当x＞1时，y＜0

0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数

补充性质

设y1=log a x y2=log b x其中a＞1，b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2

比较对数大小的常用方法有：

(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

幂函数

幂函数n y x =随着n 的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1）点

① 11

,,1,2,332a =

时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数． ② 1

,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．

③ 任何两个幂函数最多有三个公共点．

幂函数y x α

=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是： ①所有幂函数y x α

=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；

②当

21

,

3,2,1=α时函数y x α

=的图像都过原点)0,0(；

③当1=α时，y x α

=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；

④当3,2=α时，y x α

=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）

④

21

=

α时，y x α

=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c

⑤ 1-=α时，y x α

=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如

4c ）

当0>α时，幂函数y x α

=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。 当0<α时，幂函数y x α

=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近；

（4）在第一象限内，过点)1,1(后，

α

越大，图象下落的速度越快。无论α取任

何实数，幂函数y x α

=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。