高等数学下册 第九章 习题课

U ( P0 , ) P | PP | 0
( x, y) |

2

( x x0 ) ( y y0 ) .
2

P0
（2）区域 连通的开集称为区域或开区域．
2
（3）聚点
设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多 个 点 属 于 点 集 E， 则 称 P 为 E 的 聚 点 .
8
7、偏导数概念
定义 设 函 数 z f ( x , y ) 在 点 ( x0 , y0 ) 的 某 一 邻
域 内 有 定 义 ， 当 y 固 定 在 y0 而x 在 x 0 处 有 增 量
x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )，
如 果 lim
dz dt

z du u dt

z dv v dt
dz dt
．
以上公式中的导数
称为全导数.
15
如果 u ( x , y ) 及 v ( x , y ) 都在点( x , y ) 具有对 x 和 y 的偏导数，且函数 z f ( u , v ) 在对应 点( u , v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x , y ), ( x , y )] 在对应点( x , y ) 的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z x z
y


z u u x z u
u y


z v v x z v
v y
， .
16
11、全微分形式不变性
无论 z 是自变量 u 、 v 的函数或中间变量 u 、 v 的函数，它的全微分形式是一样的.
5
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的； （2）二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x , y );
x x0 y y0
（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．
4、极限的运算
设 P P0 时， f ( P ) A , f ( P ) B , 则 ( 1 ). f ( P ) g ( P ) A B ; ( 2 ). f ( P ) g ( P ) A B ; ( 3 ). f ( P ) g ( P ) A B ( B 0 ).
z x
，
f x
， z x 或 f x ( x , y ).
同 理 可 以 定 义 函 数 z f ( x , y ) 对 自 变 量y 的 偏 导 数，记作
z y
，
f y
， z y 或 f y ( x , y ).
11
８、高阶偏导数
函 数 z f ( x , y )的 二 阶 偏 导 数 为
G ( x, y,u,v ) 0
在 点 P ( x 0 , y0 , u0 , v 0 ) 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一 组 单 值 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数 u u( x , y ) ，
v v ( x , y ) ， 它 们 满 足 条 件 u 0 u ( x 0 , y 0 ) ,v 0 v
dz z u du z v dv .
17
12、隐函数的求导法则
(1 ) F ( x, y) 0
设 函 数 F ( x , y ) 在 点 P ( x0 , y0 ) 的
隐函数存在定理 1
某 一 邻 域 内 具 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 F ( x0 , y0 ) 0 ，

的 一 切
点 ， 都 有 | f ( x , y ) A | 成 立 ， 则 称 A 为 函 数
z f ( x, y)当 x x0， y y0时 的 极 限 ， lim f ( x , y ) A 记为
x x0 y y0
（或 f (x, y) A
( 0 ) 这 里 | PP 0 | ） .
第九章 多元函数微分法及其应用
• 主要内容 • 典型例题
1
1、区域
（1）邻域
一 正 数 ， 与 点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 距 离 小 于 的 点 P ( x , y ) 的 全 体 ， 称 为 点 P 0 的 邻 域 ， 记 为 U ( P 0 , ) ，
设 P 0 ( x 0 , y 0 ) 是 xoy 平 面 上 的 一 个 点 ， 是 某
F y ( x0 , y0 ) 0 ， 则 方 程 F ( x , y ) 0 在 点 P ( x0 , y0 ) 的
某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导 数 的 函 数 y f ( x ) ， 它 满 足 条 件 y0 f ( x0 ) ， 并 有
dy dx

Fx Fy
0， 且 偏 导 数 所 组 成 的 函 数 行 列 式 （或称 雅 可 比
式）
F J (F ,G ) u G (u,v ) u
F v G v
20
在 点 P ( x 0 , y0 , u0 , v 0 ) 不 等 于 零 ， 则 方 程 组
F ( x, y,u,v ) 0 、
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 )
x 此 极 限 为 函 数 z f ( x , y ) 在 点 ( x 0 , y 0 ) 处 对x 的
x 0
存在，则称
偏导数，记为
9
z x
x x0 y y0
，
f x
x x0 y y0
， zx
x x0 y y0
，zy
x x0 y y0
或 f y ( x0 , y0 ) .
10
如 果 函 数 z f ( x , y )在 区 域 D 内 任 一 点
( x , y )处 对 x 的 偏 导 数 都 存 在 ， 那 么 这 个 偏 导 数
就 是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x, y)对 自变量x 的偏导数， 记作
（4）n维空间
设 n为取定的一个自然数，我们称n元数组
( x 1 , x 2 , , x n ) 的 全 体 为 n 维 空 间 ， 而 每 个 n 百度文库 数
组 ( x 1 , x 2 , , x n ) 称 为 n 维 空 间 中 的 一 个 点 ， 数
x i 称 为 该 点 的 第i 个 坐 标 .
2
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
12
９、全微分概念
如 果 函数 z f ( x, y)在 点 ( x, y)的 全 增 量
z f ( x x, y y) f ( x, y)可 以 表 示 为 z A x B y o ( ) ， 其 中 A ,B 不 依 赖 于 x,y 而仅与 x, y 有关， (x ) (y ) ，
6
5、多元函数的连续性
定义 设 n 元 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 为 点 集 D , P0 是
P P0
其 聚 点 且 P 0 D ， 果 lim 如
f ( P ) f ( P0 ) 则 称n
元 函 数 f ( P ) 在 点 P0 处 连 续 .
设 P0 是 函 数 f ( P ) 的 定 义 域 的 聚 点 ， 如 果
.
隐函数的求导公式
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(2)
F ( x, y, z) 0
设 函 数 F ( x , y , z ) 在 点P ( x0 ,
隐函数存在定理 2
y 0 , z 0 ) 的 某 一 邻 域 内 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且F ( x 0 , y0 , z0 ) 0 ， F z ( x 0 , y0 , z0 ) 0 ， 则 方 程F ( x , y , z ) 0 在 点 P ( x0 , y0 , z0 )的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确
或 f x ( x0 , y0 ) .
同 理 可 定 义 函 数 z f ( x , y )在 点( x0 , y0 ) 处 对 的偏导数， 为
y 0
y
lim
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 ) y
记为
z y
x x0 y y0
，
f y
x x0 y y0
3
2、多元函数概念
定义 设 D 是平面上的一个点集， 如果对于每个 点P ( x . y ) D ， 变量 z 按照一定的法则总有确定 的值和它对应，则称 z 是变量 x , y 的二元函数， 记为 z f ( x , y ) （或记为 z f ( P ) ）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
定一个单值连续且具有连续偏导数的函数
z f ( x , y )， 它 满 足 条 件 z0 f ( x0 , y0 ) ， Fy z Fx z 并有 ， . x Fz y Fz
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(3)
F ( x, y, u,v ) 0 G ( x , y , u , v ) 0
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函数连续
函数可导
函数可微 偏导数连续
10、复合函数求导法则
定 理 如 果 函 数 u (t ) 及 v (t ) 都 在 点 t 可 导 ， 函 数 z f (u,v ) 在 对 应 点 (u,v )具 有 连 续 偏 导 数 ， 则 复 合 函 数 z f [ ( t ), ( t )] 在 对 应 点 t 可 导，且其导数可用下列公式计算：
当 n 2时， n元函数统称为多元函数.
4
3、多元函数的极限
定 义 设 函 数 z f ( x , y ) 的 定 义 域 为 D , P0 ( x 0 , y 0 ) 是其聚点，如果对于任意给定的正数 ，总存在 正 数

，
使
得
2
对
于
适
2
合
不
等
式
0 | PP 0 |
( x x0 ) ( y y0 )
2 z z z z f xx ( x , y ), f yy ( x , y ), 2 2 x x x y y y
2
纯偏导
2 z z z z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ). y x xy x y y x
设 F ( x , y , u, v )、G ( x , y, u, v ) 在
隐函数存在定理 3
点 P ( x 0 , y0 , u0 , v 0 ) 的 某 一 邻 域 内 有 对 各 个 变 量 的 连 续 偏 导 数 ， 且 F ( x 0 , y 0 , u0 , v 0 ) 0 ,G ( x 0 , y0 , u0 , v 0 )
f ( P ) 在 点 P0 处 不 连 续 ， 则 称 P0 是 函 数 f ( P ) 的
间断点.
7
6、多元连续函数的性质
（1）最大值和最小值定理 在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上 至少取得它的最大值和最小值各一次．
（2）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在 D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介 于这两值之间的任何值至少一次．
Fv Gv
Fu Gu
Fu Gu
Fv Gv
Fv Gv


,
v y

1 (F ,G ) J (u, y )
2 2
则 称 函 数 z f ( x, y)在 点 ( x, y)可 微 分 ，
Ax By 称为函数 z f ( x , y ) 在点( x, y)的 全 微 分 ， 记 为 dz ， 即 dz = A x B y .
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多元函数连续、可导、可微的关系 沿 任 意 方 向 的 方 向 导 数 存 在
( x0 , y0 ) ， 并 有
Fx u x 1 (F ,G ) J ( x,v) Gx Fu Gu
Fv Gv Fv Gv
21
,
v x
u y

1 (F ,G ) J (u, x )
1 (F ,G ) J ( y,v)

Fu Gu
Fy Gy
Fx Gx