2012中考数学预测专题8：平面直角坐标系中圆的综合题
2012中考数学真题及答案解析-圆
2012中考数学试题及答案分类汇编：圆一、选择题1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切2、（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于A 、30°B 、60°C 、45°D 、50°3.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为A.B. C. D.二：填空题：1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB ⊥AD ，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 。
2、（河北省3分）如图，点0为优弧ACB 所在圆的圆心，∠AOC=108°，点D 在AB 延长线上，BD=BC ，则∠D= ．3.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，直线PA 过半圆的圆心O ，交半圆于A ，B 两点，PC 切半圆与点C ，已知PC=3，PB=1，则该半圆的半径为 ．4.（内蒙古呼伦贝尔3分）已知扇形的面积为12π，半径是6，则它的圆心角是 。
三：解答题1、（内蒙古呼和浩特8分）如图所示，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DC 2DP DO 3==． （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos ∠BCA 的值．2、（内蒙古包头12分）如图，已知∠ABC=90°，AB=BC ．直线l 与以BC 为直径的圆O 相切于点C ．点F 是圆O 上异于B 、C 的动点，直线BF 与l 相交于点E ，过点F 作AF 的垂线交直线BC 与点D ．（1）如果BE=15，CE=9，求EF 的长；（2）证明：①△CDF ∽△BAF ；②CD=CE ；（3）探求动点F 在什么位置时，相应的点D 位于线段BC 的延长线上，且使，请说明你的理由．3、（内蒙古乌兰察布10分）如图，在 Rt △ABC 中,∠ACB ＝900D 是AB 边上的一点，以BD 为直径的 ⊙0与边 AC 相切于点E ，连结DE 并延长，与BC 的延长线交于点 F . ( 1 ）求证： BD = BF ;( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的长．。
中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题附详细答案
中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题附详细答案中考数学压轴题专题：圆的综合一、圆的综合1.如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E。
1) 求证：AC∥OD；2) 如果DE⊥BC，求AC的长度。
答案】(1) 证明见解析；(2) 2π。
解析】试题分析：(1) 由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；(2) BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度。
试题解析：1) 证明：因为OC=OD，所以∠OCD=∠XXX。
因为CD平分∠ACO，所以∠XXX∠ACD。
因此，∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD。
2) 因为BC切⊙XXXC，所以XXX。
因为DE⊥BC，所以OC∥DE。
因为AC∥OD，所以四边形ADOC是平行四边形。
因为OC=OD，所以平行四边形ADOC是菱形，所以OC=AC=OA。
因为△AOC是等边三角形，所以∠AOC=60°，因此弧AC的长度为2π。
点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式。
此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。
2.(类比概念) 三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切。
以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形。
性质探究) 如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系。
猜想结论：(要求用文字语言叙述)写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）性质应用)①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形(填序号)：A：平行四边形；B：菱形；C：矩形；D：正方形。
JC-九年级-数学-平面直角坐标系中的圆-圆的综合题108
11、A是半径为12cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，
以 2πcm/ s的速度沿圆周逆时针运动，当点P回到A地立
即停止运动．
（1）如果∠POA=90°，求点P运动的时间；
（2）如果点B是OA延长线上的一点，AB=OA，那么当点
P运动的时间为2s时，判断直线BP与⊙O的位置关系，
并说明理由．
Ｐ
Ｏ
Ａ
Ｂ
12、如图，P为正比例函数 y 3 x 图像上一个动点， ⊙P的半径为3，设点P的坐标为2（x，y）．
（1）求⊙P与直线x=2相切时点P的坐标；
（2）请直接写出⊙P与直线x=2相交、相离时x的取值
范围．
y
3
y= 2 x
O
x
P
x=2
13、已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点பைடு நூலகம்BP
与⊙O交于点C.
（1）如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长；
（2）如图②，若D为AP的中点，求证直线CD是⊙O的切线.
B
B
C
C
O
O
A 图①
P
A
D
P
图②
8.已知A、B两点的坐标分别为A（-2,0）、B （8,0），以AB为直径的圆P与Y轴 交与点 M，以AB为一边做正方形ABCD(1)求C, M 两点的的坐标.
y
面积的最小值. B(0,2)
D
E
C(-1,0O)
A(2,0) x
(2)连接C M，判断直线C M与⊙ P的位置关 系，并说明理由？
(3)在X轴是否存在一点Q,使得QMC的周长最
小，如存在，求其坐标？
D
C
M
A
B
人教备战中考数学压轴题专题圆的综合的经典综合题含答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．2．如图，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，点C在⊙O上，CB∥PO．（1）判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB=6，CB=4，求PC的长．【答案】（1）PC是⊙O的切线，理由见解析；（235 2【解析】试题分析：（1）要证PC是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠PCO=90°即可．（2）可以连接AC，根据已知先证明△ACB∽△PCO，再根据勾股定理和相似三角形的性质求出PC的长．试题解析：（1）结论：PC是⊙O的切线．证明：连接OC∵CB∥PO∴∠POA=∠B，∠POC=∠OCB∵OC=OB∴∠OCB=∠B∴∠POA=∠POC又∵OA=OC，OP=OP∴△APO≌△CPO∴∠OAP=∠OCP∵PA是⊙O的切线∴∠OAP=90°∴∠OCP=90°∴PC是⊙O的切线．（2）连接AC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°（6分）由（1）知∠PCO=90°，∠B=∠OCB=∠POC∵∠ACB=∠PCO∴△ACB∽△PCO∴∴．点睛：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．3．如图，AB是圆O的直径，射线AM⊥AB，点D在AM上，连接OD交圆O于点E，过点D作DC=DA交圆O于点C（A、C不重合），连接O C、BC、CE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若圆O的直径等于2，填空：①当AD=时，四边形OADC是正方形；②当AD=时，四边形OECB是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3．【解析】试题分析：（1）依据SSS证明△OAD≌△OCD，从而得到∠OCD=∠OAD=90°；（2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA；②依据菱形的性质得到OE=CE，则△EOC为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD的长．试题解析：解：∵AM⊥AB，∴∠OAD=90°．∵OA=OC，OD=OD，AD=DC，∴△OAD≌△OCD，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．4．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D 在劣弧OA上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.(1)求⊙M的半径；(2)求证：BD平分∠ABO；(3)在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．【答案】（1）M的半径r2；（2）证明见解析；（3）点E的坐标为(2632)．【解析】试题分析：根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出2，从而求出OH 的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.试题解析：（1）∵点A6，0），点B为（02）∴62∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：2∴M的半径r=122.（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO（3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴BH=BA=22∴OH=22－2=2在Rt △AOB 中，3OA OB=∴∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，HE=263=∴点E 的坐标为（26，2）考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CD ⊥AB ，垂足为D ．（1）求证：∠PCA ＝∠ABC ；（2）过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CD 于点F ，交BC 于点M ，若∠CAB ＝2∠B ，CF 3【答案】（1）详见解析；（2633π-. 【解析】【分析】（1）如图，连接OC ，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得∠PCA=∠OCB ，利用等量代换可得∠PCA=∠ABC.（2）先求出△OCA 是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC 和CF=FM,然后分别求出AM 、AC 、MO 、CD 的值，分别求出0A E S ∆、BOE S 扇形 、ABM S ∆ 的值，利用0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC，如图，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90º,∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ACO+OCB=90º∴∠PCA=∠OCB,∵OC=OB,∴∠OBC=∠OCB,∴∠PCA=∠ABC；（2）连接OE，如图，∵△ACB中，∠ACB＝90º,∠CAB＝2∠B,∴∠B＝30º,∠CAB＝60º,∴△OCA是等边三角形，∵CD⊥AB,∴∠ACD+∠CAD＝∠CAD＋∠ABC＝90º,∴∠ACD＝∠B＝30º,∵PC∥AE,∴∠PCA＝∠CAE＝30º,∴FC=FA,同理，CF＝FM,∴AM＝2CF=23,Rt△ACM中，易得AC=23×3=3＝OC,∵∠B＝∠CAE＝30º,∴∠AOC=∠COE=60º,∴∠EOB=60º,∴∠EAB=∠ABC=30º,∴MA=MB,连接OM,EG⊥AB交AB于G点，如图所示，∵OA=OB,∴MO⊥AB,∴MO＝3∵△CDO≌△EDO(AAS)，∴332∴1332ABM S AB MO ∆=⨯=, 同样，易求934AOE S ∆=， 260333602BOE S ππ⨯==扇形 ∴0A E ABM BOE S S S S ∆∆=+-阴影部分扇形=93363333424ππ-+-=. 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.6．如图，在Rt △ABC 中，点O 在斜边AB 上，以O 为圆心，OB 为半径作圆，分别与BC ，AB 相交于点D ，E ，连接AD ．已知∠CAD ＝∠B ．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）若CD ＝2，AC ＝4，BD ＝6，求⊙O 的半径．【答案】（1）详见解析；（2）35. 【解析】【分析】 (1)解答时先根据角的大小关系得到∠1＝∠3，根据直角三角形中角的大小关系得出OD ⊥AD ，从而证明AD 为圆O 的切线；(2)根据直角三角形勾股定理和两三角形相似可以得出结果【详解】（1）证明：连接OD ，∵OB ＝OD ，∴∠3＝∠B ，∵∠B ＝∠1，∴∠1＝∠3，在Rt△ACD中，∠1+∠2＝90°，∴∠4＝180°﹣（∠2+∠3）＝90°，∴OD⊥AD，则AD为圆O的切线；（2）过点O作OF⊥BC，垂足为F，∵OF⊥BD∴DF＝BF＝12BD＝3∵AC＝4，CD＝2，∠ACD＝90°∴AD＝22AC CD＝25∵∠CAD＝∠B，∠OFB＝∠ACD＝90°∴△BFO∽△ACD∴BFAC = OB AD即34=25∴OB＝352∴⊙O的半径为352．【点睛】此题重点考查学生对直线与圆的位置关系，圆的半径的求解，掌握勾股定理，两三角形相似的判定条件是解题的关键7．（问题情境）如图1，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接BE、CE．求证：BCE 1S2=S平行四边形ABCD．（说明：S表示面积）请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD的边AD为直径作⊙O，⊙O与BC边相切于点H，与BD相交于点M．若AD＝6，BD＝y，AM＝x，试求y与x之间的函数关系式．（探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F在CD上，连接AF、BF，AF与CE相交于点G，若AF＝CE，求证：BG平分∠AGC．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD中，AB：BC＝4：3，∠ABC＝120°，E是AB的中点，F在BC上，且BF：FC＝2：1，过D分别作DG⊥AF于G，DH⊥CE于H，请直接写出DG：DH的值．【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】18yx=；【探究应用2】见解析；【迁移【解析】【分析】（1）作EF⊥BC于F，则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，即可得出结论；（2）连接OH，由切线的性质得出OH⊥BC，OH＝12AD＝3，求出平行四边形ABCD的面积＝AD×OH＝18，由圆周角定理得出AM⊥BD，得出△ABD的面积＝12BD×AM＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM⊥AF于M，BN⊥CE于N，同图1得：△ABF的面积＝△BCE的面积＝12平行四边形ABCD的面积，得出12AF×BM＝12CE×BN，证出BM＝BN，即可得出BG平分∠AGC．（4）作AP⊥BC于P，EQ⊥BC于Q，由平行四边形的性质得出∠ABP＝60°，得出∠BAP＝30°，设AB＝4x，则BC＝3x，由直角三角形的性质得出BP＝12AB＝2x，BQ＝12BE，AP＝BP＝，由已知得出BE＝2x，BF＝2x，得出BQ＝x，EQ x，PF＝4x，QF＝3x，QC＝4x，由勾股定理求出AF＝x，CE，连接DF、DE，由三角形的面积关系得出AF×DG＝CE×DH，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF⊥BC于F，如图1所示：则S△BCE＝12BC×EF，S平行四边形ABCD＝BC×EF，∴12BCE ABCD S S =．（2）解：连接OH ，如图2所示：∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3， ∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠AMD ＝90°，∴AM ⊥BD ，∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x ； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ，∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ． （4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示：∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP BP ＝， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，∴BE ＝2x ，BF ＝2x ，∴BQ ＝x ， ∴EQ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理得：AF ＝x ，CE ， 连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．8．对于平面直角坐标系xoy 中的图形P ，Q ，给出如下定义：M 为图形P 上任意一点，N 为图形Q 上任意一点，如果M ，N 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P ，Q 间的“非常距离”，记作d （P ,Q ）．已知点A （4,0），B （0,4），连接AB ．（1）d （点O ，AB ）= ；（2）⊙O 半径为r ，若d （⊙O ，AB ）=0，求r 的取值范围；（3）点C （－3，－2），连接AC ，BC ，⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为2，d （⊙T ，△ABC ），且0<d <2，求t 的取值范围．【答案】（1）222）224r ≤≤；（3）25252t -<<-或6<r <8．【解析】【分析】（1）如下图所示，由题意得：过点O 作AB 的垂线，则垂线段即为所求；（2）如下图所示，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB ，交AB 于点E ，则：OB=2， OE=22，即可求解； （3）分⊙T 在△ABC 左侧、⊙T 在△ABC 右侧两种情况，求解即可．【详解】（1）过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D ，根据“非常距离”的定义可知，d （点O ，AB ）=OD=2AB =22442+=22; （2）如图，当d （⊙O ，AB ）=0时，过点O 作OE ⊥AB,则OE=22,OB=OA=4，∵⊙O 与线段AB 的“非常距离”为0，∴224r ≤≤；（3）当⊙T 在△ABC 左侧时，如图，当⊙T 与BC 相切时，d=0,BC=2236+=35,过点C 作CE ⊥y 轴，过点T 作TF ⊥BC,则△TFH ∽△BEC,∴TF TH BE BC=, 即2=635TH , ∴TH=5,∵HO ∥CE,∴△BHO ∽△BEC,∴HO=2，此时T(-5-2，0);当d=2时，如图，同理可得，此时T （252--）；∵0<d <2，∴25252t --<<--；当⊙T 在△ABC 右侧时，如图，当p=0时，t=6，当p=2时，t=8.∵0<d <2，∴6<r <8； 综上，25252t --<<--或6<r <8．【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“非常距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用．9．如图，AB 是半圆⊙O 的直径，点C 是半圆⊙O 上的点，连接AC ，BC ，点E 是AC 的中点，点F 是射线OE 上一点．（1）如图1，连接FA ，FC ，若∠AFC ＝2∠BAC ，求证：FA ⊥AB ；（2）如图2，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点G 是线段CD 上一点（不与点C 重合），连接FA ，FG ，FG 与AC 相交于点P ，且AF ＝FG ．①试猜想∠AFG 和∠B 的数量关系，并证明；②连接OG ，若OE ＝BD ，∠GOE ＝90°，⊙O 的半径为2，求EP 的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．理由见解析；②PE 3． 【解析】【分析】 （1）证明∠OFA ＝∠BAC ，由∠EAO +∠EOA ＝90°，推出∠OFA +∠AOE ＝90°，推出∠FAO ＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA ＝2∠ABC ．连接FC ．由FC ＝FG ＝FA ，以F 为圆心FC 为半径作⊙F ．因为AG AG =，推出∠GFA ＝2∠ACG ，再证明∠ACG ＝∠ABC ．②图2﹣1中，连接AG ，作FH ⊥AG 于H ．想办法证明∠GFA ＝120°，求出EF ，OF ，OG 即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC ．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD ＝OE ，∠CDB ＝∠AEO ＝90°，∠B ＝∠AOE ，∴△CDB ≌△AEO （AAS ），∴CD ＝AE ，∵EC ＝EA ，∴AC ＝2CD ．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 222213AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.10．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P在AB边上，⊙P的半径为定长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD ，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为35； （2）相似，理由见解析， 如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，∴PH 垂直平分MN ，∴PM=PN ，在Rt △AHP 中，tanA=12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2解得：y=6（取正数），∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.。
2012年全国各地中考数学压轴题专集答案圆 (NXPowerLite)
2012年全国各地中考数学压轴题专集答案圆八、圆 1．（北京模拟）在△ABC 中，分别以AB 、AC 为直径在△ABC 外作半圆O 1和半圆O 2，其中O 1和O 2分别为两个半圆的圆心．F 是边BC 的中点，点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点． （1）如图1，连接O 1F ，O 1D ，DF ，O 2F ，O 2E ，EF ，证明：△DO 1F ≌△FO 2E ；（2）如图2，过点A 分别作半圆O 1和半圆O 2的切线，交BD 的延长线和CE 的延长线于点P 和点Q ，连接PQ ，若∠ACB ＝90°，DB ＝5，CE ＝3，求线段PQ 的长；（3）如图3，过点A 作半圆O 2的切线，交CE 的延长线于点Q ，过点Q 作直线F A 的垂线，交BD 的延长线于点P ，连接P A ．求证：P A 是半圆O 1的切线．（1）证明：∵O 1，O 2，F 分别是AB ，AC ，BC 边的中点 ∴O 1F ∥AC 且O 1F ＝AO 2，O 2F ∥AB 且O 2F ＝AO 1 ∴∠BO 1F ＝∠BAC ，∠CO 2F ＝∠BAC∴∠BO 1F ＝∠CO 2F ∵点D 和点E 分别为两个半圆圆弧的中点∴O 1F ＝AO 2＝O 2E ，O 2F ＝AO 1＝O 1D ，∠BO 1D ＝90°，∠CO 2E ＝90°∴∠BO 1D ＝∠∠CO 2E ，∴∠DO 1F ＝∠FO 2E ∴△DO 1F ≌△FO 2E（2）解：延长CA 至G ，使AG ＝AQ ，连接BG 、AE∵点E 是半圆O 2圆弧的中点，∴AE ＝CE ＝3∵AC 为半圆O 2的直径，∴∠AEC ＝90° ∴∠ACE ＝∠CAE ＝45°，AC ＝3 2∵AQ 是半圆O 2的切线，∴CA ⊥AQ ，∴∠CAQ ＝90°∴∠AQE ＝∠ACE ＝45°，∠GAQ ＝90°，∴AQ ＝AC ＝AG ＝3 2 同理：∠BAP =90°，AB =AP ＝5 2 ∴CG ＝62，∠GAB ＝∠QAP ∴△AQP ≌△AGB ，∴PQ ＝BG∵∠ACB ＝90°，∴BC ＝AB 2－AC 2＝4 2∴BG ＝BC 2＋GC 2＝226，∴PQ ＝226（3）设直线F A 与PQ 的垂足为M ，过C 作CG ⊥MF 于G ，过B 作BH ⊥MF 于H ，连接DH 、AD 、DM ∵F 是BC 边的中点，∴S △ABF＝S △ACF，∴BH ＝CG 由（2）知，∠CAQ ＝90°，AC ＝AQ ，∴∠2＋∠3＝90°图1 图2 图3QQ∵FM ⊥PQ ，∴∠2＋∠1＝90°，∴∠1＝∠3 同理：∠2＝∠4∴△AMQ ≌△CGA ，∴AM ＝CG ，∴AM ＝BH 同（2）可证AD ＝BD ，∠ADB ＝∠ADP ＝90° ∴∠ADB ＝∠AHB ＝90°，∠ADP ＝∠AMP ＝90° ∴A 、D 、B 、H 四点在以AB 为直径的圆上 A 、D 、P 、M 四点在以AP 为直径的圆上 且∠DBH ＋∠DAH ＝180° ∴∠5＝∠8，∠6＝∠7 ∵∠DAM ＋∠DAH ＝180°，∴∠DBH ＝∠DAM ∴△DBH ≌△DAM ，∴∠5＝∠9 ∴∠HDM ＝90°，∴∠5＋∠7＝90° ∴∠6＋∠8＝90°，∴∠P AB ＝90°，∴P A ⊥AB 又AB 是半圆O 1的直径，∴P A 是半圆O 1的切线2．（上海）如图，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB ︵上的一个动点（不与点A 、B 重合），OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． （1）当BC ＝1时，求线段OD 的长；（2）在△DOE 中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由； （3）设BD ＝x ，△DOE 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域．解：（1）∵OD ⊥BC ，∴BD ＝1 2 BC ＝12在Rt △BOD 中，OD ＝OB 2－BD 2＝152（2）存在，长度保持不变的边为DE 连接AB∵OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝2 2 ∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∴D 是BC 中点，E 是AC 中点∴DE ＝12AB ＝ 2（3）连接OC ，过D 作DF ⊥OE 于F ∵OD ＝2，BD ＝x ，∴OD ＝4－x 2∵OA ＝OB ＝OC ，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∵∠AOB ＝90°，∴∠DOE ＝45°在Rt △DOF 中，DF ＝OF ＝4－x 22在Rt △DFE 中，EF ＝DE 2－DF 2＝2－4－x 2 2＝22xA E C DBAECDO BAECDOBF∴y＝12OE·DF＝12(4－x22＋22x)·4－x22即y＝4－x2＋x4－x24（0＜x＜2）3．（上海模拟）如图，已知在△ABC中，AB＝15，AC＝20，cot A＝2，P是边AB上的一个动点，⊙P的半径为定长．当点P与点B重合时，⊙P恰好与边AC相切；当点P与点B不重合，且⊙P与边AC相交于点M和点N时，设AP＝x，MN＝y．（1）求⊙P的半径；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当AP＝65时，试比较∠CPN与∠A的大小，并说明理由．4．（上海模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，∠B＝60°，AB＝10，AD＝4，⊙M 与∠BAD的两边相切，点N在射线AB上，⊙N与⊙M是等圆，且两圆外切．（1）设AN＝x，⊙M的半径为y，求y关于x的函数关系式；（2）当x为何值时，⊙M与CD相切？（3）直线CD被⊙M所截得的弦与直线BC被⊙N所截得的弦的长是否可能相等？如果能，求出符合要求的x 的值；如果不能，请说明理由．解：（1）连接AM 、MN ，设⊙M 与AB 相切于点E ，连接ME ∵⊙N 与⊙M 是等圆，且两圆外切∴在Rt △MNE 中，MN ＝2ME ，∴∠ANM ＝30° ∵AD ∥BC ，∠B ＝60°，∴∠BAD ＝120° ∵⊙M 与∠BAD 的两边相切 ∴∠NAM ＝60°，∴∠AMN ＝90° ∴在Rt △AMN 中AM ＝1 2 AN ＝ 1 2x∴ME ＝AM ·sin60°＝34x 即y ＝34x （x＞0） （2）设⊙M 分别与AD 、CD 相切于点F 、G ，连接MA 、MF 、则MF ＝FD ＝MG ＝y 且AF ＝MF ·cot60°＝33y ＝3 3 ·34 x ＝ 14x ∵AD ＝4，AF ＋FD ＝AD，∴1 4x ＋34x ＝4∴x ＝8(3－1)（3）作NH ⊥BC 于点H若直线CD 被⊙M 所截得的弦与直线BC 被⊙N 所截得的弦的长相等，则弦心距MG ＝NH ①当点N 在线段AB 上时 ∵AB ＝10，∴BN ＝10－x∴FD ＝MG ＝NH ＝BN ·sin60°＝32(10－x) ∵AF ＝1 4 x ，AF ＋FD ＝AD ，∴1 4x ＋32(10－x ∴x ＝104－12311②当点N 在AB 延长线上时则FD ＝MG ＝NH ＝BN ·sin60°＝32(x －10)14x ＋32(x －10)＝4 ∴x ＝104＋12311∴当x ＝104－123 11 或x ＝104＋12311时，直线CD 被⊙M 所截得的弦与直线BC 被⊙N 所截得的弦的长相等5．（上海模拟）已知：半圆O 的半径OA ＝4，P 是OA 延长线上一点，过线段OP 的中点B 作OP 的垂线交半圆O 于点C ，射线PC 交半圆O 于点D ，连接OD ．（1）当AC ︵＝CD ︵时，求弦CD 的长；（2）设P A ＝x ，CD ＝y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；（3）设CD 的中点为E ，射线BE 与射线OD 交于点F ，当DF ＝1时，求tan ∠P 的值．解：（1）连接OC 当AC ︵＝CD ︵时，∠POC ＝∠DOC ∵BC 垂直平分OP ，∴PC ＝OC ＝4 ∴∠P ＝∠POC ＝∠DOC∴△DOC ∽△DPO ，∴DODP＝CDDO即44＋CD＝CD4，解得CD ＝25－2 （2）作OE ⊥CD 于E ，则CE ＝DE ＝12y①当点C 在AD ︵上时 ∵∠PBC ＝∠PEO ＝90°，∠P ＝∠P∴△PBC ∽△PEO ，∴PBPE＝PCPO即x ＋424＋y 2＝4x ＋4，∴y ＝ 1 4x2＋2x －4显然，B 不与A 重合，∴x ＜4当D 与C 重合时，PC 是半圆O 的切线 ∴PC ⊥OC ，∠PCO ＝90°此时△PCO 是等腰直角三角形∴OP ＝2OC ，即x ＋4＝42，x ＝42－4 ∵D 不与C 重合，∴x ＞42－4 ∴42－4＜x ＜4备用图备用图∴y ＝14x2＋2x －4（42－4＜x ＜4）②当点C 在AD ︵外时同理，△PBC ∽△PEO ，∴PBPE＝PCPO即x ＋424－y 2＝4x ＋4，∴y ＝－ 1 4x2－2x ＋4（0＜x ＜42－4）（3）①当点C 在AD ︵上时，过D 作DG ∥OP 交BF 于G 则△DEG ∽△PEB ，△DEF ∽△OBF∴DEPE＝DGPB＝DGOB＝DFOF＝14＋1∴DEPE＝15，即y24＋y 2＝15，解得 y 2＝1∴CE ＝1，PE ＝5，OE ＝4 2－12＝15∴tan ∠P ＝OEPE＝155②当点C 在AD ︵外时，过D 作DG ∥OP 交BE 于G则△DEG ∽△PEB ，△DFG ∽△BFO ∴DEPE＝DGPB＝DGOB＝DFOF＝14－1∴DEPE＝13，即y24－y 2＝13，解得 y 2＝1∴CE ＝1，PE ＝3，OE ＝4 2－12＝15∴tan ∠P ＝OEPE＝1536．（上海模拟）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，sin B ＝35，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边BC 于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系； （2）在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图2，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．A B C P 图1解：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，sin B ＝35∴AB ＝10，BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8过点M 作MD ⊥AB 于D在Rt △MDB 中，∠MDB ＝90°，∴sin B ＝MD MB＝35∵MB ＝2，∴MD ＝3 5 ×2＝6 5＞1∴⊙M 与直线AB 相离（2）∵MD ＝65＞1＝MP ，∴OM＞MP若OP ＝MP ，易得∠MOB ＝90° ∴cos B ＝OBBM＝BCAB＝8 10 ，∴OB ＝8 5∴OA ＝10－8 5 ＝425若OM ＝OP ，过O 作OE ⊥BC 于E ∴cos B ＝EBOB＝BCAB＝8 10 ，∴OB ＝158∴OA ＝10－15 8 ＝658∴当△OMP 是等腰三角形时，OA 的长为425或658（3）连接ON ，过N 作NF ⊥AB 于F在Rt △NFB 中，∠NFB ＝90°，sin B ＝35，NB ＝y∴NF ＝3 5 y ，BF ＝45 y ，∴OF ＝10－x － 45y∵⊙N 和⊙O 外切，∴ON ＝x ＋y 在Rt △NFB 中，ON 2＝OF 2＋NF 2 ∴(x ＋y )2＝( 10－x － 4 5 y )2＋( 35y)2∴y ＝250－50xx ＋40（0＜x＜5）7．（上海模拟）如图，⊙O 的半径为6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，AC ＝4，∠BOD ＝∠A ，OB 与⊙O 相交于点E ，设OA ＝x ，CD ＝y ． （1）求BD 的长；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）当CE ⊥OD 时，求AO 的长．A B DC EO解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠OCA＝∠ODB∵∠BOD＝∠A，∴△OBD∽△AOC，∴BDOC＝ODAC∵OC＝OD＝6，AC＝4，∴BD6＝64，∴BD＝9（2）∵△OBD∽△AOC，∴∠AOC＝∠B又∵∠A＝∠A，∴△ACO∽△AOB，∴ABAO＝AOAC∵AB＝AC＋CD＋BD＝y＋13，∴y＋13x＝x4∴y＝14x2－13∵0＜y＜8，∴0＜14x2－13＜12，解得213＜x＜10∴定义域为213＜x＜10（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A∴∠AOD＝180º－∠A－∠ODC＝180º－∠COD－∠OCD＝∠ADO∴AD＝AO，∴y＋4＝x，∴14x2－13＋4＝x∴x＝2±210（舍去负值）∴AO＝2±2108．（安徽某校自主招生）如图，△ABC的内心为I，过点A作直线BI的垂线，垂足为H，且直线AH交BC于F．设D、E、G分别为内切圆I与边BC、CA、AB的切点，求证：（1）AG＝DF；（2）D、H、E三点共线．证明：（1）由题意I为△ABC的内心，所以∠ABH＝∠HBF∵AF⊥BH，∴∠AHB＝∠FHB＝90º又BH＝BH，∴△AHB≌△FHB，∴AB＝BF又由切线长定理，得BG＝BD∴AG＝DF（2）连接DE、EH、AI、EI∵∠AEI＝∠AHI＝90º，∴A、E、H、I四点在以AI为直径的圆上∴∠AEH＝∠AIB∵I为△ABC的内心，∴∠AIB＝90º＋12∠C∴∠AEH＝90º＋12∠CGEIAHFD CBGEIAHFD CBA BDCEO∵CD ＝CE ，∴∠DEC ＝180º－∠C 2 ＝90º－12∠C ∴∠AEH ＋∠DEC ＝180º∴D 、H 、E 三点共线9．（安徽某校自主招生）如图，扇形OMN 的半径为1，圆心角90°，点B 是MN ︵上一动点，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）求证：四边形EPGQ 是平行四边形；（2）探索OA 的长为何值时，四边形EPGQ 是矩形； （3）试说明3PQ 2＋OA 2是定值．（1）证明：∵∠AOC ＝90°，BA ⊥OM ，BC ⊥ON ∴四边形OABC 是矩形，∴AB ∥OC ，AB ＝OC ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点 ∴AE ∥GC ，AE ＝GC∴四边形AECG 为平行四边形，∴CE ∥AG 连接OB∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点 ∴GF ∥OB ，DE ∥OB ，∴PG ∥EQ ∴四边形EPGQ 是平行四边形 （2）当∠CED ＝90°时，□EPGQ 是矩形 此时∠AED ＋∠CEB ＝90° 又∵∠DAE ＝∠EBC ＝90°，∴∠AED ＝∠BCE ∴△AED ∽△BCE ，∴ADBE＝AEBC设OA ＝x ，AB ＝y ，则x2y2＝y2x，得y2＝2x2又OA 2＋AB 2＝OB 2，即x2＋y2＝12∴x2＋2x2＝1，解得x ＝33∴当OA 的长为33时，四边形EPGQ 是矩形 （3）连接GE 交PQ 于点O ′，则O ′P ＝O ′Q ，O ′G ＝O ′E 过P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B ′、A ′ 由△PCF ∽△PEG 得，PGPF＝PEPC＝GEFC＝2NO MB CGF DA Q E PNOM备用图NOMB C G F DA Q E PN OMBC GF DAQE PNOMB C G F DA QE PB ′ A ′ O ′∴P A ′＝2 3 A ′B ′＝ 1 3 AB ，GA ′＝ 1 3 GE ＝ 13OA∴A ′O ′＝1 2 GE －GA ′＝ 16OA在Rt △P A ′O ′ 中，PO ′ 2＝P A ′ 2＋A ′O ′ 2，即 PQ 24＝AB 29＋OA 236又AB 2＋OA 2＝12，∴3PQ 2＝AB 2＋13∴3PQ 2＋OA 2＝AB 2＋1 3＋OA 2＝1＋1 3＝4310．（浙江杭州）如图，AE 切⊙O 于点E ，AT 交⊙O 于点M 、N ，线段OE 交AT 于点C ，OB ⊥AT 于点B ，已知∠EAT ＝30°，AE ＝33，MN ＝222． （1）求∠COB 的度数； （2）求⊙O 的半径R ；（3）点F 在⊙O 上（FME ︵是劣弧），且EF ＝5，将△OBC 经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E 、F 重合．在EF 的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O 上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC 的周长之比．解：（1）∵AE 切⊙O 于点E ，∴OE ⊥AE ∵OB ⊥AT 于点B ，∴∠AEC ＝∠OBC ＝90° 又∵∠ACE ＝∠OCB ，∴△ACE ∽△OCB ∴∠COB ＝∠EAT ＝30°（2）在Rt △AEC 中，CE ＝AE ·tan30°＝3 ∠OCB ＝∠ACE ＝60°设BC ＝x ，则OB ＝3x ，OC ＝2x连接ON ，得(3x )2＋( 22 )2＝( 2x ＋3)2 解得x ＝1或x ＝－13（舍去），∴x ＝1∴R ＝2x ＋3＝5（3）这样的三角形有3个 画直径FG ，连接GE∵EF ＝OE ＝OF ＝5，∴∠EFG ＝60°＝∠BCO ∴△GEF 即为所要画出的三角形∵三种图形变换都不改变图形的形状，即变换前后的两个三角形相似 ∴变换前后两个三角形的周长之比等于它们的相似比 又∵两个直角三角形斜边长FG ＝2R ＝10，OC ＝2 ∴△GEF 与△OBC 的周长之比为5 :1(11．（浙江台州）定义：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值．．．叫做线段．．a ．与线．．段．b ．的距离．．．． 已知O （0，0），A （4，0），B （m ，n ），C （m ＋4，n ）是平面直角坐标系中四点．（1）根据上述定义，当m ＝2，n ＝2时，如图1，线段BC 与线段OA 的距离是___________；当m ＝5，n ＝2时，如图2，线段BC 与线段OA 的距离（即线段AB 长）为___________．（2）如图3，若点B 落在圆心为A ，半径为2的圆上，线段BC 与线段OA 的距离记为d ，求d 关于m 的函数解析式．（3）当m 的值变化时，动线段BC 与线段OA 的距离始终为2，线段BC 的中点为M ．①求出点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长； ②点D 的坐标为（0，2），m≥0，n≥0．作MH ⊥x 轴，垂足为H ，是否存在m 的值使以A ，M ，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由．解：（1）2（2）当4≤m≤6时，显然线段BC 与线段OA 的距离等于⊙A 半径，即d ＝2 当2≤m＜4时，作BN ⊥x 轴于点N ，线段BC 与线段OA 的距离等于BN 长∴d ＝22－(4－m )2＝ －m2＋8m －12∴d 关于m 的函数解析式为：d ＝⎩⎨⎧－m2＋8m －12（2≤m＜4）2（4≤m≤6）（3）①由题意可知，由线段PE ，EFG ，线段GK ，KNP 所围成的封闭图形就是点M 随线段BC 运动所围成的（图1）（图2）（图3）∴点M 随线段BC 运动所围成的封闭图形的周长为： 2×π×2＋2×2×4＝16＋4π②∵m≥0，n≥0，∴点M 随线段BC 运动所形成图形的是线段M 0E 和EF ︵易知△AOD 是两直角边为1 :2的直角三角形若△AMH 与△AOD 相似，则MHHA＝12或MHHA＝2当2≤m ＋2＜4时，显然M 1H 1＞H 1A ，∴M 1H 1H 1A＝2∵M 1H 1＝2，∴H 1A ＝1，∴OH 1＝3 ∴m 1＝3－2＝1当4≤m ＋2≤6即M 2在线段CE 上时，同理可求m 2＝5－2＝3当6＜m ＋2≤8即M 3在线段EF ︵上时，∵AH 3≥2≥M 3H 3，∴M 3H 3H 3A＝12设M 3H 3＝x ，则AH 3＝2x ，∴AH 3＝2x －2又∵RH 3＝2，∴(2x －2 )2＋x 2＝2 2，∴x 1＝ 85，x 2＝0（不合题意，舍去）∴OH 3＝4＋2x ＝36 5，∴m 3＝36 5 －2＝26 5综上可知，存在m 的值使以A ，M ，H 为顶点的三角形与△AOD 相似，相应m 的值为1，3，26512．（浙江某校自主招生）已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝5，点E 是AD 边上一动点，连接BE 、CE ，以BE 为直径作⊙O ，交BC 于点F ，过点F 作FH ⊥CE 于H ，直线FH 交⊙O 于点G ． （1）当直线FH 与⊙O 相切时，求AE 的长； （2）当FH ∥BE 时，求FG 的长；（3）在点E 运动过程中，△OFG 能否成为等腰直角三角形？如果能，求出此时AE 的长；如果不能，说明理由．解：（1）连接OF 、EF∵BE 是⊙O 的直径，∴∠BFE ＝90° 又∠A ＝∠ABF ＝90°，∴四边形ABFE 为矩形 ∴AE ＝BF ，∴DE ＝CF∵FH 与⊙O 相切，∴OF ⊥FH ∵FH ⊥CE ，∴OF ∥CE ∵BO ＝OE ，∴BF ＝CF ∴AE ＝DE ＝1 2 AD ＝52（2）作OM ⊥FG 于M ，连接OF∵FH ∥BE ，∴∠BEC ＝∠FHC ＝90°B DD易证△ABE∽△DEC，∴AEDC＝ABDE即AE2＝25－AE，解得AE＝1或4①当AE＝1时，BF＝1，DE＝CF＝4∴BE＝5，CE＝25，OF＝5 2由△CFH∽△CBE，得CH＝85 5∴OM＝EH＝CE－CH＝255，∴FM＝OF2－OM2＝3510∴FG＝2FM＝35 5②当AE＝4时，BF＝4，DE＝CF＝1 ∴BE＝25，CE＝5，OG＝ 5由△CFH∽△CBE，得CH＝5 5∴OM＝EH＝CE－CH＝455，∴FM＝OG2－OM2＝355∴FG＝2FM＝65 5（3）连接EF，设AE＝x则EF＝AB＝2，BF＝AE＝x，CF＝DE＝5－x若△OFG是等腰直角三角形，则∠FOG＝90°①当点G在点F上方时连接BG、EG，设BG、EF交于点K，作GM⊥EF于M 则∠FBG＝∠FEG＝45°∴△BFK和△EGK都是等腰直角三角形∴KF＝BF＝x，EK＝2－x，GM＝KM＝12EK＝1－12xFM＝x＋1－12x＝1＋12x∵∠GFM＝∠ECF＝90°－∠FEC∴Rt△GMF∽Rt△EFC，∴GMFM＝EFCF∴1－12x1＋12x＝25－x，解得x1＝9－572，x2＝9＋572＞5（舍去）②当点G在点F下方时连接BG、EG，设BC、EG交于点K，作GM⊥BF于M 则∠GBF＝∠GEF＝45°∴△BGK和△EFK都是等腰直角三角形∴KF＝EF＝2，EK＝2 2BK＝x－2，GM＝KM＝12(x－2)，FM＝2＋12(x－2)＝12(x＋2)DCDD∵∠MFG＝∠HFC＝∠FEC＝90°－∠HCF∴Rt△FMG∽Rt△EFC，∴FMGM＝EFCF∴12(x＋2)12(x－2)＝25－x，解得x1＝1＋572，x2＝1－572（舍去）综上所述，△OFG能成为等腰直角三角形，此时AE的长为9－572或1＋57213．（浙江模拟）在平面直角坐标系中，点A（10，0）、B（6，8），点P是线段OA上一动点（不与点A、点O重合），以P A为半径的⊙P与线段AB的另一个交点为C，作CD⊥OB于D（如图1）．（1）求证：CD是⊙P的切线；（2）当⊙P与OB相切时，求⊙P的半径；（3）在（2）的条件下，设⊙P与OB相切于点E，连接PB交CD于F（如图2）．①求CF的长；②在线段DE上是否存在点G使∠GPF＝45°？若存在，求出EG的长；若不存在，请说明理由．（1）证明：连接PC，过B作BN⊥x轴于N∵PC＝P A，∴∠1＝∠2∵A（10，0），B（6，8），∴OA＝10，BN＝8，ON＝6在Rt△OBN中，OB＝ON2＋BN2＝62＋82＝10∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠1∴∠OBA＝∠2，∴PC∥OB∵CD⊥OB，∴CD⊥PC∴CD是⊙P的切线（2）解：设⊙P的半径为r∵⊙P与OB相切于点E，∴OB⊥PE∴在Rt△OPE中，sin∠EOP＝PEOP＝r10－r在Rt△OBN中，sin∠BON＝BNOB＝810＝45∴r10－r＝45，解得r＝409图1 图2（3）①由（2）知r ＝409，∴OP ＝10－409＝509∴OE ＝OP 2－PE 2＝103∵∠PCD ＝∠CDE ＝∠PED ＝90° ∴四边形PCDE 是矩形∵PE ＝PC ，∴矩形PCDE 是正方形 ∴PE ＝DC ＝409∴BD ＝OB －OE －DE ＝10－103－409＝209∵∠BFD ＝∠PFC ，∠BDF ＝∠PCF ＝90° ∴△BDF ∽△PCF ，∴DFCF＝BDPC即409－CFCF ＝20940 9，解得CF ＝8027②存在在DE 延长线上截取ET ＝CF ∵四边形PCDE 是正方形 ∴∠PET ＝∠PCF ＝90°，PE ＝PC∴△PET ≌△PCF ，∴∠4＝∠3，PT ＝PF ∵∠CPE ＝90°，∠GPF ＝45° ∴∠GPE ＋∠3＝45°，∴∠GPE ＋∠4＝45° 即∠GPT ＝45°，∴∠GPT ＝∠GPF 又PG ＝PG ，∴△PGT ≌△PGF ∴GF ＝GT ＝GE ＋ET ＝GE ＋CF 设GE ＝a ，则DG ＝409－a ，GF ＝8027＋a 又DF ＝DC －CF ＝409－8027＝4027在Rt △DFG 中，DF 2＋DG 2＝GF 2 ∴(4027)2＋(409 －a )2＝(8027 ＋a )2，解得a ＝89即EG 的长为8914．（浙江模拟）如图，以△ABC 的边BC 为弦，在点A 的同侧画BC ︵交AB 于D ，且∠BDC ＝90°＋12∠A ，点P 是BC ︵上的一个动点．（1）判定△ADC 的形状，并说明理由； （2）若∠A ＝70°，当点P 运动到∠PBA ＝∠PBC ＝15°时，求∠ACB 和∠ACP 的度数；（3）当点P 在BC ︵运动时，过点P 作直线MN ⊥AP ，分别交AB 、AC 于点M 、N ，是否存在这样的点P ，使得△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似？请说明理由．解：（1）△ADC 是等腰三角形 ∵∠BDC ＝90°＋1 2∠A∴∠ADC ＝90°－1 2 ∠A ，∠ACD ＝90°＋ 1 2 ∠A －∠A ＝90°－ 12∠A∴∠ACD ＝∠ADC ，∴△ADC 是等腰三角形（2）∵∠A ＝70°，∠PBA ＝∠PBC ＝15° ∴∠ACB ＝180°－70°－2×15°＝80° ∵∠BPC ＝∠BDC ＝90°＋1 2 ∠A ＝90°＋1 2×70°＝125°∴∠PCB ＝180°－15°－125°＝40° ∴∠ACP ＝∠ACB －∠PCB ＝80°－40°＝40°（3）存在．当点P 运动至CD ︵的中点时，△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似∵P 是CD ︵的中点，∴∠ABP ＝∠CBP 设∠A ＝x °，∠ABP ＝∠CBP ＝y °则∠ACB ＝180°－x －2y ，∠PCB ＝180°－y －(90°＋1 2 x )＝90°－y － 1 2x∴∠ACP ＝∠ACB －∠PCB ＝180°－x －2y －(90°－y －1 2 x )＝90°－y － 12x∴∠PCB ＝∠ACP ，∴PC 平分∠ACB∴当点P 运动至CD ︵的中点时，点P 是△ABC 的角平分线的交点连接AP ，则AP 平分∠BAC ，∴∠BMP ＝∠CNP ＝90°＋12x ＝∠BPC∴△BMP 和△BPC 和△CPN 彼此相似15．（浙江模拟）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝4AD ＝42，∠B ＝45°．将直角三角板含45°角的顶点E 放在边BC 上移动（不与点C 重合），一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ． （1）在点E 移动过程中，当△ABE 为等腰三角形时，求CF 的长； （2）在点E 移动过程中，求△ADF 外接圆半径的最小值．BACD备用图PBACDPBACDMN（2）设△ADF 外接圆的圆心为O∵∠ADF ＝135°，∴∠AOF ＝90°，∴AF ＝2r当AF 最小时，r 也最小；又当CF 最大时，AF 最小 由（1）知CF ＝42－BE3·BE ＝－13BE 2＋423BE ＝－13(BE －22)2＋83当BE ＝22即E 为BC 中点时，CF 最大，为83此时DF ＝3－83＝13作FG ⊥AD 于G ，则FG ＝DG ＝26，AG ＝AD ＋DG ＝726∴AF 长的最小值为：AG 2＋FG 2＝53∴△ADF 外接圆半径的最小值为22AF ＝52616．（浙江模拟）已知直线y ＝x －2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，C 是x 轴上异于A 的一点，以C 为圆心的⊙C 过点A ，D 是⊙C 上的一点，如果以A 、B 、C 、D 为顶点四边形为平行四边形，求D 点的坐标．解：由题意，得A （2，0），B （0，－2） ∴OA ＝OB ＝2，AB ＝22①若CD 是平行四边形的边，则CA ＝CD ＝AB ＝22 ∴点C 的坐标为（2＋22，0）或（2－22，0）当C （2＋22，0）时，点D 的坐标为（4＋22，2）或（22，－2当C （2－22，0）时，点D 的坐标为（4－22，2）或（－22，－②若CD 是平行四边形的对角线，设AB 、CD 相交于点M 则CA ＝CD ＝2CM而点C 到直线AB 的距离为22CA ，所以CM ≥22CA ，即CA ≤2CM 故此时A 、B 、C 、D 四点不能构成平行四边形综上，若以A 、B 、C 、D 为顶点四边形为平行四边形，则D 点的坐标为：17．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A （8，0），以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连接AB 并延长AB 至点D ，使DB ＝AB ，连接OB 、DC 相交于点E，过点E 作EF ⊥OA 于F ，连接AE ．（1）如果以点A 、C 、D 为顶点的三角形为等腰三角形，求点E（2）如果以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，求点E （3）如果以点E、C 、F 为顶点的三角形与△ABE 相似，求点E解：（1）由题意，∠OBA ＝90°，OC ＝CA ＝4，CD ＞CA ①若DC ＝DA 作DH ⊥CA 于H ，则CH ＝HA ＝12CA ＝2∵∠DHA ＝∠OBA ＝90°，∠DAH ＝∠OAB ∴△DHA ∽△OBA ，∴DAHA＝OABA即2BA2 ＝8BA，∴BA ＝2 2∴OB ＝OA 2－BA 2＝214，DC ＝DA ＝42，∴DH ＝DC 2－CH 2＝27 ∵EF ⊥OA ，∴△ECF ∽△DCH∴EFCF＝DHCH＝272＝7 设CF ＝x ，则EF ＝7x ∵∠OFE ＝∠OBA ＝90°，∠EOF ＝∠AOB ∴△OEF ∽△OAB ，即EFOF＝ABOB∴7x4＋x＝22214，解得x ＝23∴OF ＝4＋x ＝14 3，EF ＝7x ＝273∴E （14 3，27 3）②若CA ＝DA则BA ＝1 2 DA ＝ 12CA ＝2，OB ＝OA 2－BA 2＝215作DH ⊥CA 于H ，则△DHA ∽△OBA ∴DAHA＝OABA，即4HA ＝82，∴HA ＝1 ∴CH ＝3，DH ＝DA 2－HA 2＝15由△ECF ∽△DCH ，得EFCF ＝DHCH ＝153设CF ＝3x ，则EF ＝15x 由△OEF ∽△OAB ，得EFOF＝ABOB∴15x4＋3x＝2215，解得x ＝13∴OF ＝4＋3x ＝5，EF ＝15x ＝153∴E （5，153） （2）①当点F 在O 、C 之间时∵∠ECF ＞∠BAO ，∴要使△ECF 与△AOB 相似，只能∠ECF ＝∠AOB 此时△OCE 为等腰三角形，点F 为OC 中点，即OF ＝2 过B 作BG ∥DC 交OA 于G∵DB ＝AB ，∴CG ＝AG ＝2，∴OG ＝6 ∵BG ∥DC ，∴△OEC ∽△OBG∴OEOB＝OCOG＝46＝23设OE ＝2x ，则OB ＝3x由△OEF ∽△OAB ，得OEOF ＝OAOB∴ 2x 2 ＝ 8 3x ，解得x ＝263∴OE ＝2x ＝ 463 ，∴EF ＝OE 2－OF 2＝2153∴E （2，2153）②当点F 在C 、A 之间时∵∠ECF ＞∠BOA ，∴要使△CEF 与△AOB 相似，只能∠ECF ＝∠OAB 此时DC ＝DA由（1）知，E （14 3，27 3） （3）①若∠FEC ＝∠BAE ，则△EFC ∽△ABE∵OB 垂直平分AD ，∴AE ＝DE∴∠D ＝∠BAE ，∴∠FEC ＝∠D∴∠ECF ＝∠DEB ＝∠OEC ，∴OE ＝OC ＝4 过B 作BG ∥DC 交OA 于G ∵DB ＝AB ，∴CG ＝AG ＝2，∴OG ＝6 由△OEC ∽△OBG，得OB ＝OG ＝6∴BE ＝2，AB ＝OA 2－OB2＝27由△OEF ∽△OAB ，得EF ＝1 2 AB ＝7，OF ＝ 12OB ＝3∴E （3，7）②若∠ECF ＝∠EAB ，则△CFE ∽△ABE ∵∠D ＝∠EAB ，∴∠ECF ＝∠D ∴CA ＝DA由（1）知，此时E （5，153） 18．（江苏南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成．如图，在⊙O 1和扇形O 2CD 中，⊙O 1与O 2C 、O 2D 分别相切于点A 、B ．已知∠CO 2D ＝60°，E 、F 是直线O 1O 2与⊙O 1、扇形O 2CD 的两个交点，EF ＝24 cm ．设⊙O 1的半径为x cm ．（1）用含x 的代数式表示扇形O 2CD 的半径；（2）若⊙O 1和扇形O 2CD 两个区域的制作成本分别为0.45元/cm 2和0.06元/cm 2，当⊙O 1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？解：（1）连接O 1A∵⊙O 1与O 2C 、O 2D 分别相切于点A 、B ∴O 1A ⊥O 2C ，O 2E 平分∠CO 2D∴∠AO 2O 1＝12∠CO 2D ＝30°在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1＝AO 1O 1O 2∴O 1O 2＝AO 1sin ∠AO 2O 1＝x sin30°＝AO 1O 1O 2＝2x∴FO 2＝EF －EO 1－O 1O 2＝24－3x ，即扇形O 2CD 的半径为(24－3x)cm （2）设该玩具的制作成本为y 元，则y ＝0.45πx2＋0.06×(360－60)×π×(24－3x)2360＝0.9πx2－7.2πx ＋28.8π ＝0.9π(x －4)2＋14.4π所以当x ＝4时，y 的值最小．答：当⊙O 1的半径为4cm 时，该玩具的制作成本最小 19．（江苏南京）如图，A 、B 为⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B 重合），我们称∠APB 是⊙O 上关于A 、B 的滑动角．（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角． ①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB ＝___________° ；②若⊙O 的半径是1，AB ＝2，求∠APB 的度数；（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 是⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线P A 、PB 分别交⊙O 2于点M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系．解：（1）①90②如图，连接AB 、OA 、OB在△AOB 中，∵OA ＝OB ＝1，AB ＝ 2 ∴OA 2＋OB 2＝AB 2，∴∠AOB ＝90°当点P 在优弧AB ︵上时，∠AP 1B ＝12∠AOB ＝45°当点P 在劣弧AB ︵上时，∠AP 2B ＝12(360°－∠AOB)＝135°（2）根据点P 在⊙O 1上的位置分为以下四种情况第一种情况：点P 在⊙O 2外，且点A 在点P 与点M 之间，点B 在点P 与点N 之间，如图① ∵∠MAN ＝∠APB ＋∠ANB ，∴∠APB ＝∠MAN －∠ANB第二种情况：点P 在⊙O 2外，且点A 在点P 与点M 之间，点N 在点P 与点B 之间，如图② ∵∠MAN ＝∠APB ＋∠ANB ＝∠APB ＋(180°－∠ANB) ∴∠APB ＝∠MAN ＋∠ANB －180°第三种情况：点P 在⊙O 2外，且点M 在点P 与点A 之间，点B 在点P 与点N 之间，如图③ ∵∠APB ＋∠ANB ＋∠MAN ＝180° ∴∠APB ＝180°－∠ANB －∠MAN 第四种情况：点P 在⊙O 2内，如图④ ∠APB ＝∠MAN ＋∠ANB2②①③④20．（江苏泰州）如图，已知直线l 与⊙O 相离，OA ⊥l 于点A ，OA ＝5，OA 与⊙O 相交于点P ，AB 与⊙O 相切于点B ，BP 的延长线交直线l 于点C ．（1）试判断线段AB 与AC 的数量关系，并说明理由；（2）若PC ＝25，求⊙O 的半径和线段PB 的长；（3）若在⊙O 上存在点Q ，使△QAC 是以AC 为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r 的取值范围．（1）AB ＝AC ．理由如下： 连接OB∵AB 与⊙O 相切于点B ，OA ⊥AC ，∴∠OBA ＝∠OAC ＝90° ∴∠OBP ＋∠ABP ＝90°，∠ACP ＋∠APC ＝90° ∵OP ＝OB ，∴∠OBP ＝∠OPB∵∠OPB ＝∠APC ，∴∠ABP ＝∠ACP ∴AB ＝AC（2）设⊙O 的半径为r ，则OP ＝OB ＝r ，P A ＝5－r∴AB 2＝OA 2－OB 2＝52－r 2AC 2＝PC 2－P A 2＝(25 )2－( 5－r)2∵AB ＝AC ，∴5 2－r 2＝( 25 )2－( 5－r)2 解得r ＝3∴AB ＝5 2－3 2＝4，∴sin ∠BOP ＝ABOA＝4 5 ，cos ∠BOP ＝OBOA ＝3 5过B 作BD ⊥OP 于D则DB ＝OB ·sin ∠BOP ＝3×4 5＝12 5 ，OD ＝OB ·cos ∠BOP ＝3× 3 5 ＝95∴DP ＝OP －OD ＝3－9 5 ＝65∴PB ＝DB 2＋DP 2＝655 （3）作线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN 则OE ＝1 2 AC ＝ 1 2 AB ＝1252－r2由题意，⊙O 与直线MN 有交点 ∴OE ≤r ，即1252－r2≤r ，∴r≥ 5又∵直线l 与⊙O 相离，∴r＜5 ∴5≤r＜5（备用图）21．（江苏常州）在平面直角坐标系xO y 中，已知动点P 在正比例函数y ＝x 的图象上，点P 的横坐标为m （m ＞0）．以点P 为圆心，5m 为半径的圆交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 、D 两点（点D 在点C 的上方），点E 为平行四边形DOPE 的顶点（如图）． （1）写出点B 、E 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）连接DB 、BE ，设△BDE 的外接圆交y 轴于点Q （点Q 异于点D ），连接EQ 、BQ ．试问线段BQ 与线段EQ 的长是否相等？为什么？（3）连接BC ，求∠DBC －∠DBE 的度数．解：（1）B （3m ，0），E （m ，4m ） （2）BQ 与EQ 相等，理由如下： 易得D （0，3m ），作EK ⊥y 轴于K则得OB ＝OD ，EK ＝DK∴△BOD 和△EKD 均为等腰直角三角形 ∴∠EDB ＝90° ∴BE 为△EDB 外接圆的直径 ∴∠EQB ＝90°，∴∠QDB ＝∠QEB ＝45° ∴∠QBE ＝45°，∴∠QEB ＝∠QBE ∴BQ ＝EQ（3）由（2）知，△BDE 为直角三角形易得DE ＝2m ，BD ＝32m 在Rt △BOC 中，BO ＝3CO ＝3m在△BDE 和△BOC 中∠BDE ＝∠BOC ＝90°，且DEBD＝COBO＝13∴△BDE ∽△BOC ，∴∠DBE ＝∠OBC∴∠∠DBC －∠DBE ＝∠DBC －∠OBC ＝45° 22．（江苏扬州）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，且OA ＝2，OC ＝1，矩形对角线AC 、OB 相交于点E ，过点E 的直线与边OA 、BC 分别相交于点G 、H ．（1）①直接写出点E 的坐标：____________；②求证：AG ＝CH ；（2）如图2，以O 为圆心、OC 为半径画弧交OA 于点D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数关系式；（3）在（2）的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG 、GA 、AB 都相切时，求⊙P 的半径．解：（1）①（1，12）②证明：在矩形OABC 中，∵EA ＝EC ，OA ∥BC ∴∠GAE ＝∠HCE又∵∠GEA ＝∠HEC ，∴△AGE ≌△CHE ∴AG ＝CH（2）连接ED 、OF 、OB∵D 为OA 中点，E 为OB 中点 ∴ED ＝1 2 AB ＝ 12，且ED ∥AB∴∠EDO ＝∠BAO ＝90°，∴ED 切⊙O 于D 又直线GH 切⊙O 于F ，∴EF ＝ED ＝12又∵HC 是⊙O 的切线，∴HF ＝HC设AG ＝m ，则HC ＝HF ＝AG ＝m ，OG ＝2－m 由（1）可知，EH ＝EG ，∴EG ＝12＋m ，FG ＝1＋m在Rt △OFG 中，OG 2＝OF 2＋FG 2 ∴(2－m )2＝1 2＋( 1＋m )2，解得m ＝13∴OG ＝2－m ＝5 3，∴点G 坐标为（53，0）设直线GH 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，将点E （1，1 2 ）、G （53，0）代入得 ⎩⎨⎧1 2＝k ＋b 0＝ 5 3 k ＋b 解得⎩⎨⎧k ＝－34b ＝5 4∴直线GH 的函数关系式为y ＝－3 4x ＋5 4（3）连接BG ，作∠BAO 的平分线交BC 于点M ，交BG 于点P 由（2）知，BH ＝5 3，GH ＝53，∴BH ＝GH ，∴∠HBG ＝∠HGB∵BC ∥OA ，∴∠HBG ＝∠AGB ，∴∠HGB ＝∠AGB即GB 平分∠HGA ，∴点P 即为所求圆的圆心图1图2备用图∴MB ＝AB ＝1，∴MC ＝1，∴M （1，1） 设直线AM 的函数关系式为y ＝k 1x ＋b 1则⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k 1＋b 11＝k 1＋b 1 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－1b 1＝2 ∴y ＝－x ＋2设直线BG 的函数关系式为y ＝k 2x ＋b 2 ∵B （2，1）、G （53，0）∴⎩⎪⎨⎪⎧1＝2k 2＋b 20＝53k 2＋b 2 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝3b 1＝－5 ∴y ＝3x －5由 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝3x －5解得 ⎩⎨⎧x ＝74y ＝1 4∴点P 坐标为（7 4，14）∴⊙P 的半径为 1423．（江苏连云港）如图，⊙O 的圆心在坐标原点，半径为2，直线y ＝x ＋b （b ＞0）与⊙O 交于A ，B 两点，点O 关于直线y ＝x ＋b 的对称点为点O ′．（1）求证：四边形OAO ′B 是菱形；（2）当点O ′ 落在⊙O 上时，求b 的值．（1）证明：∵点O 与点O ′ 关于直线y ＝x ＋b 对称 ∴直线y ＝x ＋b 是线段OO ′ 的垂直平分线∴AO ＝AO ′，BO ＝BO ′又∵OA ，OB 都是⊙O 的半径，∴OA ＝OB ∴AO ＝AO ′＝BO ＝BO ′ ∴四边形OAO ′B 是菱形 （2）解：如图，连接OO ′ 交直线y ＝x ＋b 于点M 当点O ′ 落在⊙O 上时，有OM ＝12OO ′＝1∵直线y ＝x ＋b 与x 轴、y 轴的交点坐标分别是N （－b ，0）、P∴△ONP 为等腰直角三角形，∴∠ONP ＝45° 又∵OM ＝1，∴OP ＝2，即b ＝ 224．（江苏盐城）如图所示，AC ⊥AB ，AB ＝23，AC ＝2，点D 是以AB 为直径的半圆O 上一动点，DE ⊥CD 交直线AB 于点E ，设∠DAB ＝α（0°＜α＜90°）．（1）当α＝18°时，求BD ︵的长； （2）当α＝30°时，求线段BE 的长；（3）若要使点E 在线段BA 的延长线上，则α的取值范围是______________．（直接写出答案）解：（1）连接OD 在⊙O 中，∵α＝18°，∴∠DOB ＝2α＝36°∵AB ＝23，∴BD ︵的长为 36π×3 180＝3π 5（2）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90° ∵α＝30°，AB ＝23，∴BD ＝3，AD ＝AB ·cos30°＝3 ∵AC ⊥AB ，∴∠CAB ＝90°，∴∠CAD ＋α＝90°∵∠ADB ＝90°，∴α＋∠B ＝90°，∴∠CAD ＝∠B ∵DE ⊥CD ，∴∠CDE ＝90°，∴∠CDA ＋∠ADE ＝90° ∵∠ADE ＋∠EDB ＝90°，∴∠CDA ＝∠EDB∴△CDA ∽△EDB ，∴ AC BE ＝ADBD∴ 2 BE＝ 33，∴BE ＝23 3（3）60°＜α＜90°∴α＝∠DAB ＝90°－∠ABC ＝60°当E ′ 在BA 的延长线上时，有∠D ′AB ＞∠DAB ∴α＞60° 又∵0°＜α＜90°，∴60°＜α＜90° 25．（江苏宿迁）如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，CD 与以AB 为直径的半圆相切于点E ，EF ⊥AB 于点F ，EF 交BD 于点G ．设AD ＝a ，BC ＝b ．（1）求CD 的长度（用a 、b 表示）；（2）求EG 的长度（用a 、b 表示）；（3）试判断EG 与FG 是否相等，并说明理由．B C B解：（1）∵∠DAB ＝90°，∴DA 为⊙O 的切线 又∵CD 为⊙O 的切线，∴DA ＝DE 同理，CE ＝CB又∵AD ＝a ，BC ＝b ，∴CD ＝CE ＋ED ＝BC ＋AD ＝b ＋a ＝a ＋b （2）∵EF ⊥AB ，∴∠AFE ＝90° 又∵∠ABC ＝90°，∴∠AFE ＝∠ABC ＝90° ∴EF ∥CB ，∴△DGE ∽△DBC ∴EGCB＝DEDC，即EGb＝aa ＋b∴EG ＝aba ＋b（3）EG ＝FG理由：∵△DGE ∽△DBC ，∴DGDB＝DEDC＝aa ＋b∴DBDG＝a ＋ba，∴DBDG－1＝a ＋ba－1，即BGDG＝ba∴DGBG＝ab，∴DGBG＋1＝ab＋1，即BDBG＝a ＋bb∴BGBD＝ba ＋b由（2）同理可得，△BFG ∽△BAD ， ∴FGAD＝BGBD，即FGa＝ba ＋b，∴FG ＝aba ＋b又EG ＝aba ＋b，∴EG ＝FG 26．（江苏模拟）用一块边长为20cm 的正方形铁皮可以制成一个圆锥体模型，方法是在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面，为此设计了四种方案（如图所示）．（1）试说明方案一、方案四不可行；（2）判断方案二、方案三是否可行？如果可行，试求出当铁皮的利用率最大时圆锥的母线长及其底面圆的半径；如果不可行，请说明理由．解：（1）设圆的半径为r方案一：∵扇形的弧长＝20×π2＝10π，∴圆的半径应为5cm又∵r ＋2r ＋20＝202，∴r ＝(60－402)cm方案一方案二 方案三方案四CB方案四：∵扇形的弧长＝20×π 3＝20 3 π，∴圆的半径应为 103cm又∵1 2 ×10×r ＋1 2 ×103×r ＋1 2 ×20×r ＝12×10×103，∴r ＝(53－5)cm∵103＜53－5，∴方案四不可行 （2）方案二、方案三可行 显然，方案二铁皮的利用率最大设圆锥的母线长为l cm ，底面圆的半径为r cm ，则：⎩⎪⎨⎪⎧r ＋2r ＋l ＝2a ①2πr ＝90πl 180② 由①②得：l ＝4002－160 23 ，r ＝1002－4023故所求圆锥的母线长为4002－16023，底面圆的半径为 1002－4023··························· 10分27．（江苏模拟）某种规格小纸杯的侧面是由一半径为18cm 、圆心角是60°的扇形OAB 剪去一半径为12cm 的同心圆扇形OCD 所围成的（不计接缝）． （1）求纸杯的底面半径和侧面积（结果保留π）；（2）要制作这样的纸杯侧面，如果按照图2所示的方式剪裁（不允许有拼接），至少要用多大的矩形纸片？ （3）如图3，若在一张半径为18cm 的圆形纸片上剪裁这样的纸杯侧面，最多能裁出多少个？解：（1）设纸杯底面半径为r依题意，2πr ＝60×2π×12360，∴r ＝2（cm ）S 侧＝60×π 360 (OA 2－OB 2 )＝ π6( 18 2－12 2)＝30π（cm 2） （2）连接AB ，过O 作OE ⊥CD ，交弧AB 于F ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝60°∴△AOB 是等边三角形，∴AB ＝OA ＝18 同理，△COD 也是等边三角形 ∴∠DCO ＝∠BAO ，∴AB ∥CD图2图1（1） （2）图3。
中考数学平面直角坐标系专题训练题
中考复习数学专题训练：《平面直角坐标系》解答题专项培优（三）1．已知平面直角坐标系中有一点P（2m+1，m﹣3）．（1）若点P在第四象限，求m的取值范围；（2）若点P到y轴的距离为3，求点P的坐标．2．已知：点P（2﹣a，3），且点P到x轴、y轴的距离相等．求：点P的坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），则称点Q是点P的“a级关联点”（其中a为常数，且a≠0），例如，点P（1，4）的“2级关联点”为Q（2×1+4，1+2×4），即Q（6，9）．（1）若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为；（2）若点P的“5级关联点”的坐标为（9，﹣3），求点P的坐标；（3）若点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”P′位于坐标轴上．求点P′的坐标．4．已知点P（8﹣2m，m﹣1）．（1）若点P在x轴上，求m的值．（2）若点P到两坐标轴的距离相等，求P点的坐标．5．在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）（1）若点M在y轴上，求m的值．（2）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．6．在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右……的方向依次不断移动，每次移动一个单位长度，其行走路线如图．（1）填写下列各点的坐标：A1（，），A3（，），A12（，）；（2）写出点A n的坐标（n是4的倍数）；（3）写出A 2016和点A 2017的坐标，并指出蚂蚁从点A 2016到点A 2017的移动方向．7．综合与实践问题背景：（1）已知A （1，2），B （3，2），C （1，﹣1），D （﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出这几个点，并分别找到线段AB 和CD 中点P 1、P 2，然后写出它们的坐标，则P 1 ，P 2 ．探究发现：（2）结合上述计算结果，你能发现若线段的两个端点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），则线段的中点坐标为 ．拓展应用：（3）利用上述规律解决下列问题：已知三点E （﹣1，2），F （3，1），G （1，4），第四个点H （x ，y ）与点E 、点F 、点G 中的一个点构成的线段的中点与另外两个端点构成的线段的中点重合，求点H 的坐标．8．如图，学校植物园的护栏是由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中，已知小正方形的边长为1米，则A 1的坐标为（2，2）、A 2的坐标为（5，2）（1）A 3的坐标为 ，A n 的坐标（用n 的代数式表示）为 ．（2）2020米长的护栏，需要两种正方形各多少个？9．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．（1）填写下列各点的坐标：A 4 ，A 8 ；（2）写出点A 4n 的坐标（n 为正整数） ；（3）蚂蚁从点A 2014到点A 2017的移动方向 ．10．如图，在直角坐标系的坐标轴上按如下规律取点：A 1在x 轴正半轴上，A 2在y 轴正半轴上，A 3在x 轴负半轴上，A 4在y 轴负半轴上，A 5在x 轴正半轴上，…，且OA 1+1＝OA 2，OA 2+1＝OA 3，OA 3+1＝OA 4…，设A 1，A 2，A 3，A 4…，有坐标分别为（a 1，0），（0，a 2），（a 3，0），（0，a 4）…，s n ＝a 1+a 2+a 3+…+a n ．（1）当a 1＝1时，求a 5的值；（2）若s 7＝1，求a 1的值；（3）当a 1＝1时，直接写出用含k （k 为正整数）的式子表示x 轴负半轴上所取点坐标．11．如图，方格纸中每个小方格都是长为1个单位的正方形，若学校位置坐标为A （1，2），解答以下问题：（1）请在图中建立适当的直角坐标系，并写出图书馆（B ）位置的坐标；（2）若体育馆位置坐标为C （﹣3，3），请在坐标系中标出体育馆的位置，并顺次连接学校、图书馆、体育馆，得到△ABC ，求△ABC 的面积．12．国庆假期期间，笑笑所在的学习小组组织了到方特梦幻王国的游园活动，笑笑和乐乐对着景区示意图（如图所示）讨论景点位置：（图中小正方形边长代表100m）笑笑说：“西游传说坐标（300，300）．”乐乐说：“华夏五千年坐标（﹣100，﹣400）．”若他们二人所说的位置都正确（1）在图中建立适当的平面直角坐标系xOy；（2）用坐标描述其他地点的位置．13．如图所示的是某市市政府周边的一些建筑，以市政府为坐标原点，建立平面直角坐标系（每个小方格的边长为1）．（1）请写出商会大厦和医院的坐标；（2）王老师在市政府办完事情后，沿（2，0）→（2，﹣1）→（2，﹣3）→（0，﹣3）→（0，﹣1）→（﹣2，﹣1）的路线逛了一下，然后到汽车站坐车回家，写出他路上经过的地方．14．如图（小方格的边长为1），这是某市部分简图．（1）请你根据下列条件建立平面直角坐标系（在图中直接画出）：①火车站为原点；②宾馆的坐标为（2，2）．（2）市场、超市的坐标分别为、；（3）请将体育场、宾馆和火车站看作三点，用线段连起来，得△ABC，然后将此三角形向下平移4个单位长度，再画出平移后的△A′B′C′（在图中直接画出）；（4）根据坐标情况，求△ABC的面积．15．如图，这是某市部分简图，为了确定各建筑物的位置：（图中小正方形的边长代表100m 长）（1）请你以火车站为原点建立平面直角坐标系．（2）写出市场、超市、医院的坐标．16．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是；②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为；（2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值．17．在平面直角坐标系xOy中，对任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），如果|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝d，则称P1与P2互为“d﹣距点”．例如：点P1（3，6），p2（1，7），由d＝|3﹣1|+|6﹣7|＝3，可得P1与P2互为“3﹣距点”．（1）在点D（﹣2，﹣2），E（5，﹣1），F（0，4）中，原点O的“4﹣距点”是（填字母）；（2）已知点A（2，1），点B（0，b），过点B平行于x轴的直线l．①当b＝3时，直线l上的点A的“2﹣距点”的坐标为；②若直线l上存在点A的“2﹣距点”，在坐标系中画出这些A的“2﹣距点”组成的图形，并写出b的取值范围．18．已知M（3|a|﹣9，4﹣2a）在y轴负半轴上，直线MN∥x轴，且线段MN长度为4．（1）求点M的坐标；（2）求（2﹣a）2020+1的值；（3）求N点坐标．19．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C、D均在坐标轴上，AB∥CD．（1）求证：∠ABO+∠CDO＝90°；（2）如图2，BM平分∠ABO交x轴于点M，DN平分∠CDO交y轴于点N，求∠BMO+∠OND 的值．20．在平面直角坐标系中，已知点M （m ﹣1，2m +3）．（1）若点M 在y 轴上，求m 的值．（2）若点N （﹣3，2），且直线MN ∥y 轴，求线段MN 的长．21．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），则该两点间距离公式为P 1P 2＝，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x 轴、平行于y 轴时，两点间的距离公式可化简成|x 1﹣x 2|和|y 1﹣y 2|（1）若已知两点A （3，3），B （﹣2，﹣1），试求A ，B 两点间的距离；（2）已知点M ，N 在平行于y 轴的直线上，点M 的纵坐标为7，点N 的纵坐标为﹣2，试求M ，N 两点间的距离；（3）已知一个三角形各顶点的坐标为A （﹣1，），B （，），C （，），你能判定这三点是否共线？若共线请说明理由，若不共线请求出图形的面积．22．先阅读下列一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），其两点间的距离P 1P 2＝，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x 2﹣x 1|或|y 2﹣y |．（1）已知A （1，3），B （﹣3，﹣5），试求A ，B 两点间的距离；（2）已知线段MN ∥y 轴，MN ＝4，若点M 的坐标为（2，﹣1），试求点N 的坐标；（3）已知一个三角形各顶点坐标为D （0，6），E （﹣3，2），F （3，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．23．在平面直角坐标系中，有A （﹣2，a +1），B （a ﹣1，4），C （b ﹣2，b ）三点．（1）当AB ∥x 轴时，求A 、B 两点间的距离；（2）当CD ⊥x 轴于点D ，且CD ＝1时，求点C 的坐标．24．在平面直角坐标系中，有A （﹣2，a +2），B （a ﹣3，4）C （b ﹣4，b ）三点．（1）当AB ∥x 轴时，求A 、B 两点间的距离；（2）当CD ⊥x 轴于点D ，且CD ＝3时，求点C 的坐标．25．如图①，我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：要找AB 或DE 的长度，显然是转化为求Rt △ABC 或Rt △DEF 的斜边长．下面：以求DE 为例来说明如何解决：从坐标系中发现：D （﹣7，5），E （4，﹣3）．所以DF ＝|5﹣（﹣3）|＝8，EF ＝|4﹣（﹣7）|＝11，所以由勾股定理可得：DE ＝＝． 下面请你参与：（1）在图①中：AC ＝ ，BC ＝ ，AB ＝ ．（2）在图②中：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），试用x 1，x 2，y 1，y 2表示AC ＝ ，BC ＝ ，AB ＝ ．（3）（2）中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”，请用此公式解决如下题目：已知：A （2，1），B （4，3），C 为坐标轴上的点，且使得△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形．请求出C 点的坐标．参考答案1．解：（1）由题知，解得：﹣＜m ＜3；（2）由题知|2m +1|＝3，解得m ＝1或m ＝﹣2．当m ＝1时，得P （3，﹣2）；当m ＝﹣2时，得P （﹣3，﹣5）．综上，点P 的坐标为（3，﹣2）或（﹣3，﹣5）．2．解：∵点P（2﹣a，3）到x轴、y轴的距离相等．∴|2﹣a|＝3，∴2﹣a＝±3，∴a＝5或a＝﹣1，∴点P的坐标（﹣3，3）或（3，3）．3．解：（1）3×（﹣1）+5＝2；﹣1+3×5＝14，∴若点P的坐标为（﹣1，5），则它的“3级关联点”的坐标为（2，14）．故答案为：（2，14）；（2）设点P的坐标为（a，b），由题意可知，解得：，∴点P的坐标为（2，﹣1）；（3）∵点P（m﹣1，2m）的“﹣3级关联点”为P′（﹣3（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣3）×2m），①P′位于x轴上，∴m﹣1+（﹣3）×2m＝0，解得：m＝，∴﹣3（m﹣1）+2m＝4，∴P′（4，0）．②P′位于y轴上，∴﹣3（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝3∴m﹣1+（﹣3）×2m＝﹣16，∴P′（0，﹣16）．综上所述，点P′的坐标为（4，0）或（0，﹣16）．4．解：（1）∵点P（8﹣2m，m﹣1）在x轴上，∴m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵点P 到两坐标轴的距离相等，∴|8﹣2m |＝|m ﹣1|，∴8﹣2m ＝m ﹣1或8﹣2m ＝1﹣m ，解得：m ＝3或m ＝7，∴P （2，2）或（﹣6，6）．5．解：（1）由题意得：m ﹣1＝0，解得：m ＝1；（2）由题意得：m ﹣1＝2m +3，解得：m ＝﹣4．6．解：（1）∵蚂蚁每次移动1个单位，∴OA 1＝1，OA 3＝1，OA 12＝6，∴A 1（0，1），A 3（1，0），A 12（6，0）；故答案为：0，1；1，0，6，0；（2）根据（1）OA n ＝n ÷2＝，∴点A 4n 的坐标（，0）；（3）∵2016÷4＝504，∴从点A 2016到点A 2018的移动方向：点A 2016在x 轴上，向上移动一个到A 2017，∴A 2016（1008，0），A 2017（1008，1）．7．解：（1）如图：A （1，2），B （3，2），C （1，﹣1），D （﹣3，﹣3）．在平面直角坐标系中描出它们如下：线段AB 和CD 中点P 1、P 2的坐标分别为（2，2）、（﹣1，﹣2）故答案为：（2，2）、（﹣1，﹣2）．（2）若线段的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则线段的中点坐标为．故答案为：．（3）∵E（﹣1，2），F（3，1），G（1，4），∴EF、FG、EG的中点分别为：（1，）、（2，）、（0，3）∴①HG过EF中点（1，）时，＝1，＝解得：x＝1，y＝﹣1，故H（1，﹣1）；②EH过FG中点（2，）时，＝2，＝解得：x＝5，y＝3，故H（5，3）；③FH过EG的中点（0，3）时，＝0，＝3解得：x＝﹣3，y＝5，故H（﹣3，5）．∴点H的坐标为：（1，﹣1），（5，3），（﹣3，5）．8．解：（1）∵A1的坐标为（2，2）、A2的坐标为（5，2），∴A1，A2，A3，…，A n各点的纵坐标均为2，∵小正方形的边长为1，∴A1，A2，A3，…，A n各点的横坐标依次大3，∴A3（5+3，2），A n（，2），即A3（8，2），A n（3n﹣1，2），故答案为（8，2）；（3n﹣1，2）；（2）∵2020÷3＝673…1，∴需要小正方形674个，大正方形673个．9．解：（1）由图可知，A4，A8，A12都在x轴上，∵小蚂蚁每次移动1个单位，∴OA4＝2，OA8＝4，∴A 4（2，0），A 8（4，0），故答案为：（2，0）；（4，0）；（2）根据（1）OA 4n ＝4n ÷2＝2n ，∴点A 4n 的坐标（2n ，0）；故答案为：（2n ，0）；（3）∵2014÷4＝503…2，∴2014除以4余数为2，∴从点A 2014到点A 2017的移动方向与从点A 2到A 5的方向一致为：向下，向右，再向上． 故答案为：向下，向右，再向上．10．解：（1）当a 1＝1时，a 2＝1+1＝2，a 3＝﹣（2+1）＝﹣3，a 4＝﹣（3+1）＝﹣4，a 5＝4+1＝5；（2）∵a 2＝a 1+1，a 3＝﹣（a 1+2），a 4＝﹣（a 1+3），a 5＝a 1+4，a 6＝a 1+5，a 7＝﹣（a 1+6）， ∴s 7＝a 1+a 2+…+a 7＝a 1﹣1，当s 7＝1时，则a 1﹣1＝1，∴a 1＝2；（3）∵当a 1＝1时，则a 3＝﹣3，a 7＝﹣7，a 11＝﹣11，…∴a 4k ﹣1＝﹣（4k ﹣1）＝﹣4k +1∴A 4k ﹣1（﹣4k +1，0）．11．解：（1）建立直角坐标系如图所示：图书馆（B）位置的坐标为（﹣3，﹣2）；（2）标出体育馆位置C如图所示，观察可得，△ABC中BC边长为5，BC边上的高为4，所以△ABC的面积为＝＝10．12．解：（1）如图所示：（2）太空飞梭（0，0），秦岭历险（0，400），魔幻城堡（400，﹣200），南门（0，﹣500），丛林飞龙（﹣200，﹣100）．13．解：（1）由图可得：商会大厦的坐标为（﹣1，2），医院的坐标为（3，1）．（2）路上经过的地方为：大剧院，体育公园，购物广场．14．解：（1）如图，（2）市场的坐标为（4，3），超市的坐标为（2，﹣3）；（3）如图；（4）△ABC面积＝3×6﹣×2×2﹣×4×3﹣×1×6＝18﹣2﹣6﹣3＝7．故答案为（4，3），（2，﹣3）．15．解：（1）建立平面直角坐标系如图所示；（2）市场（400，300），医院（﹣200，﹣200），超市（200，﹣300）．16．解：（1）①∵点A （﹣3，1）到x 、y 轴的距离中最大值为3，∴与A 点是“等距点”的点是E 、F ．②当点B 坐标中到x 、y 轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A 符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E 、F ；②（﹣3，3）；（2）T 1（﹣1，﹣k ﹣3），T 2（4，4k ﹣3）两点为“等距点”，①若|4k ﹣3|≤4时，则4＝﹣k ﹣3或﹣4＝﹣k ﹣3解得k ＝﹣7（舍去）或k ＝1．②若|4k ﹣3|＞4时，则|4k ﹣3|＝|﹣k ﹣3|解得k ＝2或k ＝0（舍去）．根据“等距点”的定义知，k ＝1或k ＝2符合题意．即k 的值是1或2．17．解：（1）∵|﹣2﹣0|+|﹣2﹣0|＝4，|5﹣0|+|﹣1﹣0|＝6，|0﹣0|+|4﹣0|＝4， ∴原点O 的“4﹣距点”是点D 、点F ．故答案为：D 、F ；（2）①∵点B （0，b ），l 为过点B 平行于x 轴的直线，∴当b ＝3时，l 为直线y ＝3，设直线l 上的点A （2，1）的“2﹣距点”的坐标为（x ，3），则有：|2﹣x |+|1﹣3|＝2，解得：x ＝2，∴直线l 上的点A （2，1）的“2﹣距点”的坐标为（2，3）；故答案为：（2，3）；②由①知当直线l经过点（2，3）时，b＝3；∵A（2，1），l为过点B平行于x轴的直线，∴当直线l经过点（2，﹣1）时，b＝﹣1，∴若直线l上存在点A的“2﹣距点”，则b的取值范围是﹣1≤b≤3．如图所示：18．解：（1）∵M在y轴负半轴上，∴3|a|﹣9＝0，且4﹣2a＜0，∴a＝±3，且a＞2，∴a＝3．∴4﹣2a＝﹣2，M（0，﹣2）；（2）∵a＝3，∴（2﹣a）2020+1＝（2﹣3）2020+1＝1+1＝2；（3）∵直线MN∥x轴，M（0，﹣2），∴设N（x，﹣2），又∵线段MN长度为4，∴MN＝|x﹣0|＝|x|＝4，∴x＝±4，∴N（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．19．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠DCO，∵∠DCO+∠CDO＝90°；∴∠ABO+∠CDO＝90°；（2）∵BM平分∠ABO，DN平分∠CDO，∴∠MBO＝∠ABO，∠NDO＝∠CDO，∴∠MBO+∠NDO＝（∠ABO+∠CDO）＝45°，∴∠BMO+∠OND＝135°．20．解：（1）由题意得：m﹣1＝0，解得：m＝1；（2）∵点N（﹣3，2），且直线MN∥y轴，∴m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2．∴M（﹣3，﹣1），∴MN＝2﹣（﹣1）＝3．21．解：（1）∵点A（3，3），B（﹣2，﹣1），∴AB＝＝，即A，B两点间的距离是；（2）∵点M，N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为﹣2，∴MN＝|﹣2﹣7|＝9，即M，N两点间的距离是9；（3）这三点不共线，该三角形为直角三角形．理由：∵一个三角形各顶点的坐标为A（﹣1，），B（，），C（，），∴AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝，∵AB2+AC2＝（）2+（）2＝（）2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，＝AB•AC＝××＝．∴S△ABC22．解：（1）A，B两点间的距离＝＝4；（2）∵线段MN∥y轴，∴M、N的横坐标相同，设N（2，t），∴|t+1|＝4，解得t＝3或﹣5，∴N点坐标为（2，3）或（2，﹣5）；（3）△DEF为等腰三角形．理由如下：∵D（0，6），E（﹣3，2），F（3，2），∴DE＝＝5，DF＝＝5，EF＝＝6，∴DE＝DF，∴△DEF为等腰三角形．23．解：（1）∵AB∥x轴，∴A、B两点的纵坐标相同．∴a+1＝4，解得a＝3．∴A、B两点间的距离是|（a﹣1）+2|＝|3﹣1+2|＝4．（2）∵CD⊥x轴，∴C、D两点的横坐标相同．∴D（b﹣2，0）．∵CD＝1，∴|b|＝1，解得b＝±1．当b＝1时，点C的坐标是（﹣1，1）．当b＝﹣1时，点C的坐标是（﹣3，﹣1）．24．解：（1）∵AB∥x轴，∴A点和B的纵坐标相等，即a+2＝4，解得a＝2，∴A（﹣2，4），B（﹣1，4），∴A、B两点间的距离为﹣1﹣（﹣2）＝1；（2）∵当CD⊥x轴于点D，CD＝3，∴|b|＝3，解得b＝3或b＝﹣3，∴当b＝3时，b﹣4＝﹣1；当b＝﹣3时，b﹣4＝﹣7，∴C点坐标为（﹣1，3）或（﹣7，﹣3）．25．解：（1）AC＝4，BC＝3，AB＝＝5；（2）结合图形可得：AC＝y1﹣y2，BC＝x1﹣x2，AB＝．（3）若点C在x轴上，设点C的坐标为（x，0），则AC＝BC，即＝，解得：x＝5，即点C的坐标为（5，0）；若点C在y轴上，设点C的坐标为（0，y），则AC＝BC，即＝，解得：y＝5，即点C的坐标为（0，5）．综上可得点C的坐标为（5，0）或（0，5）．故答案为：4，3，5；y1﹣y2，x1﹣x2，A．。
中考数学复习《圆的综合》专项综合练习附详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B两点的坐标分别为（0，6），（0，3），点P为x轴正半轴上一动点，过点A作AP的垂线，过点B作BP的垂线，两垂线交于点Q，连接PQ，M为线段PQ的中点．（1）求证：A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上；（2）当⊙M与x轴相切时，求点Q的坐标；（3）当点P从点（2，0）运动到点（3，0）时，请直接写出线段QM扫过图形的面积．【答案】(1)见解析;(2) Q的坐标为（32，9）;(3)63 8.【解析】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= 12 PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
（2）解：作MG⊥y轴于G，MC⊥x轴于C，∵AM＝BM∴G是AB的中点，由A（0，6），B（0，3）可得MC＝OG＝4.5∴在点P运动的过程中，点M到x轴的距离始终为4.5则点Q到x轴的距离始终为9，即点Q的纵坐标始终为9，当⊙M与x轴相切时则PQ⊥x轴，作QH⊥y轴于H，HB＝9－3＝6，设OP＝HQ＝x由△BOP∽△QHB，得x2＝3×6＝8，x＝2∴点Q的坐标为（2，9）（3）解：由相似可得：当点P在P1（2，0）时，Q1（4，9）则M1（3，4.5）当点P在P2（3，0）时，Q2（6，9），则M2（4.5，4.5）∴M1M2＝92－3＝32， Q1Q2＝6－4＝2线段QM扫过的图形为梯形M1M2Q2Q1其面积为：12×(32＋2)×4.5＝638.【解析】【分析】根据已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形，再根据这个条件结合题意直接解答此题.【详解】（1）解：连接AM、BM，∵AQ⊥AP，BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形，M是斜边PQ的中点∴AM＝BM＝PM=QM= PQ，∴A、B、P、Q四点在以M为圆心的同一个圆上。
中考数学专题复习圆的综合的综合题含详细答案
中考数学专题复习圆的综合的综合题含详细答案一、圆的综合1．如图1，已知扇形MON 的半径为2，∠MON=90°，点B 在弧MN 上移动，联结BM ，作OD ⊥BM ，垂足为点D ，C 为线段OD 上一点，且OC=BM ，联结BC 并延长交半径OM 于点A ，设OA=x ，∠COM 的正切值为y.（1）如图2，当AB ⊥OM 时，求证：AM=AC ；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC 为等腰三角形时，求x 的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 1422=x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°．∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ．∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ， ∴AC =AM ．（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ． ∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ． ∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =122x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD ==， ∴22DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜（3）（i）当OA=OC时．∵111222DM BM OC x===．在Rt△ODM中，222124OD OM DM x=-=-．∵2121224xDM xyOD xx=∴=+-，．解得1422x-=，或1422x--=（舍）．（ii）当AO=AC时，则∠AOC=∠ACO．∵∠ACO＞∠COB，∠COB=∠AOC，∴∠ACO＞∠AOC，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为1422-．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．2．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：如答图1，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．（2）证明：如答图2，连接BG，∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴»».∴∠AGF=∠ABG.AC AD∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.∴AG：AB=AF：AG. ∴AG2=AF•AB.（3）如答图3，连接BD ，∵AD 是直径，∴∠ABD=90°.∵AG 2=AF•AB ，AG=AC=25，AB=45，∴AF=5.∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°.∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AF AB AD =，即545=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE =-=. ∵224EG AG AE =-=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322AFG S FG AE ∆=⋅⋅=⨯⨯=．考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.3．如图，已知在△ABC 中，AB=15，AC=20，tanA=12，点P 在AB 边上，⊙P 的半径为定长.当点P 与点B 重合时，⊙P 恰好与AC 边相切；当点P 与点B 不重合时，⊙P 与AC 边相交于点M和点N．（1）求⊙P的半径；（2）当AP=65时，试探究△APM与△PCN是否相似，并说明理由．【答案】（1）半径为35；（2）相似，理由见解析.【解析】【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的长，然后求出AMMP、PNNC的值，得出AMMP=PNNC，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.【详解】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，∵⊙P与边AC相切，∴BD就是⊙P的半径，在Rt△ABD中，tanA= 1BD2AD =，设BD=x，则AD=2x，∴x2+(2x)2=152，解得：5∴半径为5（2）相似，理由见解析，如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，∴PH垂直平分MN，∴PM=PN，在Rt△AHP中，tanA=12PHAH =，设PH=y ，AH=2y ，y 2+（2y ）2=（65）2 解得：y=6（取正数）， ∴PH=6，AH=12，在Rt △MPH 中，MH=()22356-=3，∴MN=2MH=6，∴AM=AH-MH=12-3=9，NC=AC-MN-AM=20-6-9=5，∴3535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC， 又∵PM=PN ，∴∠PMN=∠PNM ，∴∠AMP=∠PNC ，∴△AMP ∽△PNC.【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.4．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动．（1）当t =0时，点F 的坐标为 ；（2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离；（3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离；（4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标；（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论； （3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论；（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°，∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t =，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．5．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC =24=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．6．在Oe中，AB为直径，C为Oe上一点.（Ⅰ）如图①，过点C作Oe的切线，与AB的延长线相交于点P，若28CAB∠=︒，求P∠的大小；（Ⅱ）如图②，D为弧AC的中点，连接OD交AC于点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若12CAB∠=︒，求P∠的大小.【答案】（1）∠P＝34°；（2）∠P＝27°【解析】【分析】（1）首先连接OC，由OA=OC，即可求得∠A的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC的度数，继而求得答案；（2）因为D为弧AC的中点，OD为半径，所以OD⊥AC，继而求得答案．【详解】（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝28°，∴∠POC＝56°，∵CP是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠P＝34°；（2）∵D为弧AC的中点，OD为半径，∴OD⊥AC，∵∠CAB＝12°，∴∠AOE＝78°，∴∠DCA＝39°，∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，∴∠P＝27°．【点睛】本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．7．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD 交圆的切线BE于点E(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．【详解】（1）直线PD为⊙O的切线，理由如下：如图1，连接OD，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO+∠BDO=90°，又∵DO=BO，∴∠BDO=∠PBD，∵∠PDA=∠PBD，∴∠BDO=∠PDA，∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，∵点D在⊙O上，∴直线PD为⊙O的切线；（2）∵BE是⊙O的切线，∴∠EBA=90°，∵∠BED=60°，∴∠P=30°，∵PD为⊙O的切线，∴∠PDO=90°，在Rt△PDO中，∠P=30°，3∴0 tan30ODPD，解得OD=1，∴22=+=2，PO PD OD∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；（3）如图2，依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，∵四边形AFBD内接于⊙O，∴∠DAF+∠DBF=180°，即90°+x+2x=180°，解得x=30°，∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，∵BE、ED是⊙O的切线，∴DE=BE，∠EBA=90°，∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，∴BD=DE=BE，又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，∴△BDF是等边三角形，∴BD=DF=BF，∴DE=BE=DF=BF，∴四边形DFBE为菱形.【点睛】本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．8．如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E 是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．（1）求证：AC平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE的度数；②若⊙O的半径为22，求线段EF的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =23-2.【解析】【试题分析】（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD.又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO.（2）①因为 AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°.∠EOC=∠DAO=105°，在OCE②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG，因为OC=22，∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜边是腰长的2倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=23，则EF=GE-FG=23-2.【试题解析】（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD，∴AD//OC.∴∠DAC=∠OCA.又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.∴∠DAC=∠OAC.∴AC平分∠DAO.（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG∵OC=22，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.∴FG=2.∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=23.∴EF=GE-FG=23-2.【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.9．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果以P为端点的任意一条射线与图形W最多只有一个公共点，那么称点P独立于图形W．（1）如图1，已知点A（-2，0），以原点O为圆心，OA长为半径画弧交x轴正半轴于点 B．在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于»AB的点是；（2）如图2，已知点C（-3，0），D（0，3），E（3，0），点P是直线l：y=2x+8上的一个动点．若点P独立于折线CD-DE，求点P的横坐标x p的取值范围；（3）如图3，⊙H是以点H（0，4）为圆心，半径为1的圆．点T（0，t）在y轴上且t＞-3，以点T为中心的正方形KLMN的顶点K的坐标为（0，t+3），将正方形KLMN在x轴及x轴上方的部分记为图形W．若⊙H上的所有点都独立于图形W，直接写出t的取值范围．【答案】（1）P2，P3；（2）x P＜-5或x P＞-53．（3）-3＜t＜2或2＜t＜2【解析】【分析】（1）根据点P独立于图形W的定义即可判断；（2）求出直线DE，直线CD与直线y=2x+8的交点坐标即可判断；（3）求出三种特殊位置时t的值，结合图象即可解决问题.【详解】（1）由题意可知：在P1（0，4），P2（0，1），P3（0，-3），P4（4，0）这四个点中，独立于»AB的点是P2，P3．（2）∵C（-3，0），D（0，3），E（3，0），∴直线CD的解析式为y=x+3，直线DE的解析式为y=-x+3，由283y xy x+⎧⎨+⎩＝＝，解得52xy-⎧⎨-⎩＝＝，可得直线l与直线CD的交点的横坐标为-5，由283y xy x+⎧⎨-+⎩＝＝，解得53143xy⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，可得直线l与直线DE的交点的横坐标为-53，∴满足条件的点P的横坐标x p的取值范围为：x P＜-5或x P＞-53．（3）如图3-1中，当直线KN与⊙H相切于点E时，连接EH，则EH=EK=1，HK=2，∴OT=KT+HK-OH=3+2-4=2-1，∴T（0，1-2），此时t=1-2，∴当-3＜t＜1-2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．如图3-2中，当线段KN与⊙H相切于点E时，连接EH．22∴T（0，22如图3-3中，当线段MN与⊙H相切于点E时，连接EH．OT=OM+TM=4-2+3=7-2，∴T（0，7-2），此时t=7-2，∴当1+2＜t＜7-2时，⊙H上的所有点都独立于图形W．综上所述，满足条件的t的值为-3＜t＜1-2或1+2＜t＜7-2．【点睛】本题属于圆综合题，考查了切线的性质，一次函数的应用，点P独立于图形W的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决实际问题.10．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．（1）求证：直线EF是⊙O的切线；（2）若CF=3，cosA=25，求出⊙O的半径和BE的长；（3）连接CG，在（2）的条件下，求CGEF的值．【答案】(1)见解析；（2）2，65（3）CG:EF＝4：7【解析】试题分析：（1）连结OD．先证明OD是△ABC的中位线，根据中位线的性质得到OD∥AB，再由DE⊥AB，得出OD⊥EF，根据切线的判定即可得出直线EF是⊙O的切线；（2）先由OD∥AB，得出∠COD=∠A，再解Rt△DOF，根据余弦函数的定义得到cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，解方程=，求出R=，那么AB=2OD=，解Rt△AEF，根据余弦函数的定义得到cosA==，求出AE=，然后由BE=AB﹣AE即可求解．试题解析：（1）证明：如图，连结OD．∵CD=DB，CO=OA，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AB，AB=2OD，∵DE⊥AB，∴DE⊥OD，即OD⊥EF，∴直线EF是⊙O的切线；（2）解：∵OD∥AB，∴∠COD=∠A．在Rt△DOF中，∵∠ODF=90°，∴cos∠FOD==，设⊙O的半径为R，则=，解得R=，∴AB=2OD=．在Rt△AEF中，∵∠AEF=90°，∴cosA===，∴AE=，∴BE=AB﹣AE=﹣=2．【点睛】本题考查了切线的判定，解直角三角形，三角形中位线的性质知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连结圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．11．如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE＝∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC＝23，AC＝2，求AD的长．【答案】（1）证明见解析；（2）23【解析】【分析】（1）根据题目中已出现切点可确定用“连半径，证垂直”的方法证明切线，连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，根据同弧所对的圆周角相等，则可得到∠BAE＝∠F，既而得到AE与⊙O相切于点A．（2））连接OC，先由平行和已知可得∠ACB＝∠ABC，所以AC＝AB，则∠AOC＝∠AOB，从而利用垂径定理可得AH＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，利用勾股定理解得r＝2，在Rt△ABD中，即可求得AD的长为3【详解】解：（1）连接AO并延长交⊙O于点F，连接BF，则AF为直径，∠ABF＝90°，∵»»，AB AB∴∠ACB＝∠F，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠BAE＝∠F，∵∠FAB+∠F＝90°，∴∠FAB+∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE与⊙O相切于点A．（2）连接OC，∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC，∵∠BAE＝∠ACB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AC＝AB＝2，∴∠AOC＝∠AOB，∵OC＝OB，∴OA⊥BC，∴CH＝BH＝12BC＝3，在Rt△ABH中，AH＝22AB BH-＝1，在Rt△OBH中，设OB＝r，∵OH2+BH2＝OB2，∴（r﹣1）2+（3）2＝r2，解得：r＝2，∴DB＝2r＝4，在Rt△ABD中，AD＝22BD AB-＝2242-＝23，∴AD的长为23．【点睛】本题考查了圆的综合问题，恰当的添加辅助线是解题关键.12．如图，直角坐标系中，直线y kx b=+分别交x,y轴于点A(-8，0)，B(0，6)，C（m,0）是射线AO上一动点，⊙P过B，O，C三点，交直线AB于点D（B，D不重合）.（1）求直线AB的函数表达式.（2）若点D在第一象限，且tan∠ODC=53，求点D的坐标.【答案】（1）364y x =+；（2）D （8825，21625）. 【解析】【分析】 （1）把A 、B 两点坐标代入y=kx+b 求出k 、b 的值即可；（2）连结BC ，作DE ⊥OC 于点E ，根据圆周角定理可得∠OBC=∠ODC ，由tan ∠ODC=53可求出OC 的长，进而可得AC 的长，利用∠DAC 的三角函数值可求出DE 的长，即可得D 点纵坐标，代入直线AB 解析式求出D 点横坐标即可得答案.【详解】（1）∵A （-8，0）、B （0，6）在y=kx+b 上，∴086k b b =-+⎧⎨=⎩， 解得346k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AB 的函数表达式为y=34x+6. (2)连结BC ，作DE ⊥OC 于点E ，∵∠BOC=90°，∴BC 为⊙P 的直径，∴∠ADC=90°，∵∠OBC=∠ODC ，tan ∠ODC=53， ∴OC 5OB 3=， ∵OB=6，OA=8，∴OC=10，AC=18，AB=10， ∵cos ∠DAC=OA AB =45，sin ∠DAC=OB AB =35， 472AD AC cos DAC 1855∠=⋅=⨯=,723216DE AD sin DAC 5525∠=⋅=⨯=， ∵D 点在直线AB 上，∴2163x 6254=+， 解得：88x 25=， ∴D （8825，21625）【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理及锐角三角函数的定义，熟练掌握直径所对的圆周角等于90°及正切、正弦、余弦等三角函数的定义是解题关键.13．如图，AB 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的弦，点F 是DA 延长线上的一点，过⊙O 上一点C 作⊙O 的切线交DF 于点E ，CE ⊥DF ．(1)求证：AC 平分∠FAB ；(2)若AE ＝1，CE ＝2，求⊙O 的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）52【解析】 试题分析：（1）连接OC ，根据切线的性质和圆周角定理，得出∠OCA =∠OAC 与∠CAE =∠OCA ，然后根据角平分线的定义可证明；（2）由圆周角定理得到∠BCA=90°，由垂直的定义，可求出∠CEA=90°，从而根据两角对应相等的两三角形相似可证明△ACB ∽△AEC ，再根据相似三角形的对应边成比例求得AB 的长，从而得到圆的半径.试题解析：(1)证明：连接OC .∵CE 是⊙O 的切线，∴∠OCE =90°∵CE⊥DF，∴∠CEA=90°，∴∠ACE+∠CAE=∠ACE+∠OCA=90°，∴∠CAE=∠OCA ∵OC＝OA，∴∠OCA=∠OAC.∴∠CAE=∠OAC，即AC平分∠FAB(2)连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB =∠AEC =90°.又∵∠CAE=∠OAC，∴△ACB∽△AEC,∴AB AC AC AE=.∵AE＝1，CE＝2，∠AEC =90°，∴2222125AC AE CE=+=+=∴()22551ACABAE===，∴⊙O的半径为52．14．如图1，⊙O的直径AB=12，P是弦BC上一动点（与点B，C不重合），∠ABC=30°，过点P作PD⊥OP交⊙O于点D．（1）如图2，当PD∥AB时，求PD的长；（2）如图3，当弧DC=弧AC时，延长AB至点E，使BE=12AB，连接DE．①求证：DE是⊙O的切线；②求PC的长．【答案】（1）6；（2）①证明见解析；33．【解析】试题分析：（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角三角函数关系得出OP，PD的长；（2）①首先得出△OBD是等边三角形，进而得出∠ODE=∠OFB=90°，求出答案即可；②首先求出CF的长，进而利用直角三角形的性质得出PF的长，进而得出答案．试题解析：（1）如图2，连接OD，∵OP⊥PD，PD∥AB，∴∠POB=90°，∵⊙O的直径AB=12，∴OB=OD=6，在Rt△POB中，∠ABC=30°，∴OP=OB•tan30°=6×=2，在Rt△POD中，PD===；（2）①如图3，连接OD，交CB于点F，连接BD，∵，∴∠DBC=∠ABC=30°，∴∠ABD=60°，∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴OD⊥FB，∵BE=AB，∴OB=BE，∴BF∥ED，∴∠ODE=∠OFB=90°，∴DE是⊙O的切线；②由①知，OD⊥BC，∴CF=FB=OB•cos30°=6×=3，在Rt△POD中，OF=DF，∴PF=DO=3（直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），∴CP=CF﹣PF=3﹣3．考点：圆的综合题15．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上.(1)如图1，若AC＝3，∠CAB＝30°，求半圆O 的半径；(2)如图2，M 是»BC的中点，E 是直径AB 上一点，AM 分别交CE，BC 于点F，D. 过点F 作FG∥AB 交边BC 于点G，若△ACE 与△CEB 相似，请探究以点D 为圆心，GB 长为半径的⊙D 与直线AC 的位置关系，并说明理由.【答案】（1）半圆O的半径为3；（2）⊙D与直线AC相切，理由见解析【解析】试题分析：(1)依据直径所对的圆周角是直角可得∠C＝90°,2再依据三角函数即可求解;(2) 依据△ACE与△CEB相似证出∠AEC＝∠CEB＝90°, 再依据M是»BC的中点,证明CF＝CD, 过点F作FP∥GB交于AB于点P, 证出△ACF≌△APF,得出CF=FP,再证四边形FPBG是平行四边形,得到 FP＝GB从而CD＝GB,点D到直线AC的距离为线段CD的长.试题解析：（1）∵ AB是半圆O的直径，∴∠C＝90°．在Rt△ACB中，AB＝cos AC CAB ∠＝3 cos30︒＝23．∴ OA＝3（2）⊙D与直线AC相切.理由如下：由（1）得∠ACB＝90°．∵∠AEC＝∠ECB＋∠6，∴∠AEC＞∠ECB，∠AEC＞∠6．∵△ACE与△CEB相似，∴∠AEC＝∠CEB＝90°．在Rt△ACD，Rt△AEF中分别有∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠4＝90°．∵ M是»BC的中点，∴∠COM＝∠BOM．∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5．∴ CF＝CD．过点F作FP∥GB交于AB于点P，则∠FPE＝∠6．在Rt△AEC，Rt△ACB中分别有∠CAE＋∠ACE＝90°，∠CAE＋∠6＝90°．∴∠ACE＝∠6＝∠FPE．又∵∠1＝∠2，AF＝AF，∴△ACF≌△APF．∴ CF＝FP．∵ FP∥GB，FG∥AB，∴四边形FPBG是平行四边形．∴ FP＝GB．∴ CD＝GB．∵ CD⊥AC，∴点D到直线AC的距离为线段CD的长∴⊙D与直线AC相切.。
2012中考数学试题和答案分类汇编：圆
2012中考数学试题及答案分类汇编：圆一、选择题1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是(A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切【答案】D 。
【考点】圆与圆位置关系的判定。
【分析】两圆半径之和3+4=7，等于两圆圆心距12O O =7，根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。
2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是A 、相交B 、外切C 、外离D 、内含【答案】B 。
【考点】两圆的位置关系。
【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。
∵两圆的直径分别是2厘米与4厘米，∴两圆的半径分别是1厘米与2厘米。
∵圆心距是1+2=3厘米，∴这两个圆的位置关系是外切。
故选B 。
3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于A 、30°B 、60°C 、45°D 、50°【答案】【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。
【分析】连接OC ，∵OC=OA ，，PD 平分∠APC ，∴∠CPD=∠DPA ，∠CAP=∠ACO 。
∵PC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥PC 。
∵∠CPD+∠DPA+∠CAP +∠ACO=90°，∴∠DPA+∠CAP =45°，即∠CDP=45°。
故选C 。
4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD 的长为A. 14B. 15C. 32D. 23【答案】B 。
（完整版）中考数学圆综合题（含答案）
1 / 17一.圆地概念集合形式地概念： 1. 圆可以看作是到定点地距离等于定长地点地集合； 2.2.圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合；圆地外部：可以看作是到定点地距离大于定长地点地集合； 3.3.圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合圆地内部：可以看作是到定点地距离小于定长地点地集合 轨迹形式地概念：1.1.圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心圆：到定点地距离等于定长地点地轨迹就是以定点为圆心,,定长为半径地圆；（补充）2.2.垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）垂直平分线：到线段两端距离相等地点地轨迹是这条线段地垂直平分线（也叫中垂线）； 3.3.角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；角地平分线：到角两边距离相等地点地轨迹是这个角地平分线；4.4.到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；到直线地距离相等地点地轨迹是：平行于这条直线且到这条直线地距离等于定长地两条直线；5.5.到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线到两条平行线距离相等地点地轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等地一条直线. .二.点与圆地位置关系1.1.点在圆内点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内；2.2.点在圆上点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上；3.3.点在圆外点在圆外 ⇒ d r > ⇒点A 在圆外；三.直线与圆地位置关系1.1.直线与圆相离直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点；2.2.直线与圆相切直线与圆相切⇒ d r = ⇒ 有一个交点； 3.3.直线与圆相交直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒有两个交点； drd=rrd四圆与圆地位置关系外离（图1）⇒ 无交点⇒ d R r >+； r dd CBAO外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒d R r <-； 图1rRd图3rR d五.垂径定理垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧垂径定理：垂直于弦地直径平分弦且平分弦所对地弧. .推论1：（1）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦）平分弦（不是直径）地直径垂直于弦,,并且平分弦所对地两条弧； （2）弦地垂直平分线经过圆心）弦地垂直平分线经过圆心,,并且平分弦所对地两条弧；（3）平分弦所对地一条弧地直径）平分弦所对地一条弧地直径,,垂直平分弦垂直平分弦,,并且平分弦所对地另一条弧以上共4个定理个定理,,简称2推3定理：此定理中共5个结论中个结论中,,只要知道其中2个即可推出其它3个结论个结论,,即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论个结论. . 推论2：圆地两条平行弦所夹地弧相等：圆地两条平行弦所夹地弧相等. .即：在⊙O 中,∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD六.圆心角定理图2r Rd 图4rRd图5r RdO EDCBAOCDAB圆心角定理：同圆或等圆中同圆或等圆中,,相等地圆心角所对地弦相等相等地圆心角所对地弦相等,,所对地弧相等相等,,弦心距相等弦心距相等. . 此定理也称1推3定理定理,,即上述四个结论中即上述四个结论中,,只要知道其中地1个相等个相等,,则可以推出其它地3个结论个结论, , 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七.圆周角定理1.1.圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半圆周角定理：同弧所对地圆周角等于它所对地圆心地角地一半. . 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对地圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2.2.圆周角定理地推论：圆周角定理地推论：推论1：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中：同弧或等弧所对地圆周角相等；同圆或等圆中,,相等地圆周角所对地弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠D ∠都是所对地圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对地圆周角是直角；圆周角是直角所对地弧是半圆是半圆,,所对地弦是直径所对地弦是直径. .即：在⊙O 中,∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径推论3：若三角形一边上地中线等于这边地一半：若三角形一边上地中线等于这边地一半,,那么这个三角形是直角三角形角三角形. .即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理注：此推论实是初二年级几何中矩形地推论：在直角三角形中斜边上地中线等于斜边地一半地逆定理. .八.圆内接四边形F E DCBAOCBAODCB AOCBAOC BAO圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补圆地内接四边形定理：圆地内接四边形地对角互补,,外角等于它地内对角外角等于它地内对角. . 即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠九.切线地性质与判定定理（1）切线地判定定理：过半径外端且垂直于半径地直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径两个条件：过半径外端且垂直半径,,二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 地切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点地半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线地直线必过切点：过圆心垂直于切线地直线必过切点. . 推论2：过切点垂直于切线地直线必过圆心：过切点垂直于切线地直线必过圆心. . 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个. .十.切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆地两条切线从圆外一点引圆地两条切线,,它们地切线长相等它们地切线长相等,,这点和圆心地连线平分两条切线地夹角切线地夹角. .即：∵PA .PB 是地两条切线 ∴PA PB =PO 平分BPA ∠EDCBANMAOPBAO十一十一..圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交：圆内两弦相交,,交点分得地两条线段地乘积相等交点分得地两条线段地乘积相等. . 即：在⊙O 中,∵弦AB .CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅（2）推论：如果弦与直径垂直相交）推论：如果弦与直径垂直相交,,那么弦地一半是它分直径所成地两条线段地比例中项条线段地比例中项. .即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅（3）切割线定理：从圆外一点引圆地切线和割线：从圆外一点引圆地切线和割线,,切线长是这点到割线与圆交点地两条线段长地比例中项点地两条线段长地比例中项. .即：在⊙O 中,∵PA 是切线是切线,,PB 是割线 ∴2PA PC PB =⋅ （4）割线定理：从圆外一点引圆地两条割线：从圆外一点引圆地两条割线,,这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）这一点到每条割线与圆地交点地两条线段长地积相等（如上图）. . 即：在⊙O 中,∵PB .PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二十二..两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心地连线垂直并且平分这两个圆地地公共弦共弦. .如图：12O O 垂直平分AB 即：∵⊙1O .⊙2O 相交于A .B 两点 ∴12O O 垂直平分AB 十三十三..圆地公切线两圆公切线长地计算公式：PO DCBAO EDCBA DEC BPAOBA O1O2C O2O1B A（1）公切线长：12Rt O O C ∆中,22221122AB CO O O CO ==-； （2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和是半径之和 . . 十四十四..圆内正多边形地计算 （1）正三角形在⊙O 中△ABC 是正三角形,有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；（2）正四边形同理同理,,四边形地有关计算在Rt OAE ∆中进行中进行,,::1:1:2OE AE OA =：（3）正六边形同理同理,,六边形地有关计算在Rt OAB ∆中进行中进行,,::1:3:2AB OB OA =十五十五..扇形扇形..圆柱和圆锥地相关计算公式1.1.扇形：扇形：（1）弧长公式：180n R l π=；（2）扇形面积公式：213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应地圆地半径l ：扇形弧长 S ：扇形面积2012数学中考圆综合题数学中考圆综合题1．如图,△ABC 中,以BC 为直径地圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC ． （1）求证：CA 是圆地切线；是圆地切线；DCBAOECBADOBAOS lBAO（2）若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC =32,tan ∠AEC =35,求圆地直径．求圆地直径．2如图,已知AB 是⊙O 地弦,OB ＝2,∠B ＝30°,C 是弦AB 上地任意一点（不与点A.B 重合）,连接CO 并延长CO 交于⊙O 于点D,连接AD ．(1)弦长AB 等于等于▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时,求∠BOD 地度数；地度数；(3)当AC 地长度为多少时,以A.C.D 为顶点地三角形与以B.C.O 为顶点地三角形相似？请写出解答过程．为顶点地三角形相似？请写出解答过程．3. 如图右如图右,,已知直线PA 交⊙交⊙00于A.B 两点两点,AE ,AE 是⊙是⊙00地直径．点C 为⊙为⊙00上一点上一点,,且AC 平分∠分∠PAE,PAE,PAE,过过C 作CD CD⊥⊥PA,PA,垂足为垂足为D. (1)(1)求证：求证：求证：CD CD 为⊙为⊙00地切线；地切线；(2)(2)若若DC+DA=6,DC+DA=6,⊙⊙0地直径为l0,l0,求求AB 地长度地长度. . 1. (1)证明：连接证明：连接OC, ∵点C 在⊙在⊙00上,0A=OC,,0A=OC,∴∠∴∠∴∠OCA=OCA=OCA=∠∠OAC,OAC,∵∵CD CD⊥⊥PA,PA,∴∠∴∠∴∠CDA=90CDA=90CDA=90°°,有∠有∠CAD+CAD+CAD+∠∠DCA=90DCA=90°°,∵AC 平分∠平分∠PAE,PAE,PAE,∴∠∴∠∴∠DAC=DAC=DAC=∠∠CAO. ∴∠∴∠DC0=DC0=DC0=∠∠DCA+DCA+∠∠ACO=ACO=∠∠DCA+DCA+∠∠CAO=CAO=∠∠DCA+DCA+∠∠DAC=90DAC=90°°. 又∵点C 在⊙在⊙O O 上,OC 为⊙为⊙00地半径地半径,,∴CD 为⊙为⊙00地切线．地切线． (2)(2)解：过解：过0作0F 0F⊥⊥AB,AB,垂足为垂足为F,F,∴∠∴∠∴∠OCA=OCA=OCA=∠∠CDA=CDA=∠∠OFD=90OFD=90°°, ∴四边形OCDF 为矩形为矩形,,∴0C=FD,OF=CD. ∵DC+DA=6,DC+DA=6,设设AD=x,AD=x,则则OF=CD=6-x,OF=CD=6-x,∵⊙∵⊙∵⊙O O 地直径为10,10,∴∴DF=OC=5,DF=OC=5,∴∴AF=5-x,在Rt Rt△△AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得：211180x x -+= 解得2x =或9x =.由AD<DF,AD<DF,知知05x <<,故2x =. 从而AD=2, AF=5-2=3.∵OF OF⊥⊥AB,AB,由垂径定理知由垂径定理知由垂径定理知,F ,F 为AB 地中点地中点,,∴AB=2AF=6.4．（已知四边形ABCD 是边长为4地正方形,以AB 为直径在正方形内作半圆,P 是半圆上地动点（不与点A.B 重合）,连接PA.PB.PC.PD ．(1)如图①,当PA 地长度等于地长度等于 ▲ 时,∠PAB ＝60°；°； 当PA 地长度等于地长度等于 ▲ 时,△PAD 是等腰三角形；是等腰三角形；(2)如图②,以AB 边所在直线为x 轴.AD 边所在直线为y 轴,建立如图所示地直角坐标系示地直角坐标系（点（点A 即为原点O ）,把△PAD.△PAB.△PBC 地面积分别记为S 1.S 2.S 3．坐标为（a ,b ）,试求2 S 1 S 3－S 22地最大值,并求出此时a ,b 地值．地值．5.6.6.（（11金华）如图,射线PG 平分∠EPF ,O 为射线PG 上一点,以O 为圆心,10为半径作⊙O ,分别与∠EPF地两边相交于A .B 和C .D ,连结OA ,此时有OA//PE ． （1）求证：AP =AO ； （2）若tan ∠OPB =12,求弦AB 地长；地长；（3）若以图中已标明地点（即P .A .B .C .D .O ）构造四边形,则能构成菱形地四个点为则能构成菱形地四个点为 ▲ ,能构成等腰梯形地四个点为能构成等腰梯形地四个点为▲ 或 ▲ 或 ▲ .（1）∵PG 平分∠EPF ,∴∠DPO =∠BPO ,∵OA//PE ,∴∠DPO =∠POA ,∴∠BPO =∠POA ,∴P A =OA ； ……2分 （2）过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则AH =HB =12AB ,……1分 ∵ tan ∠OPB =12OH PH=,∴PH =2OH ,…………1分 设OH =x ,则PH =2x ,由（1）可知P A =OA = 10 ,∴AH =PH －P A =2x －10,∵222222AH OH OA +=, ∴222222(210)10x x -+=, ……1分 解得10x =（不合题意,舍去）,28x =, ∴AH =6, ∴AB=2AH=12； ……1分 （3）P A O C ；A B.D.C 或 P .A.O.D或P .C.O.B . 7．（芜湖市）（本小题满分12分）分）如图,BD 是⊙O 地直径,OA ⊥OB ,M 是劣弧AB ⌒上一点,过点M 点作⊙O 地切线MP 交OA 地延长线于P 点,MD 与OA 交于N 点．点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）若BD ＝4,P A ＝ 32AO ,过点B 作BC ∥MP 交⊙O 于C 点,求BC 地长．地长．8．（黄冈市）（6分）如图如图,,点P 为△为△ABC ABC 地内心地内心,,延长AP 交△交△ABC ABC 地外接圆于D,D,在在AC 延长线上有一点E,E,满足满足AD 2＝AB AB··AE,求证：求证：DE DE 是⊙是⊙O O 地切线地切线. .PABCO D EFG第21题图题图H PABCO DEF G（证明：连结DO,DO,∵∵AD 2＝AB AB··AE,AE,∠∠BAD BAD＝∠＝∠＝∠DAE,DAE,DAE,∴△∴△∴△BAD BAD BAD∽△∽△∽△DAE, DAE, ∴∠∴∠ADB ADB ADB＝∠＝∠＝∠E. E. E. 又∵∠又∵∠又∵∠ADB ADB ADB＝∠＝∠＝∠ACB,ACB,ACB,∴∠∴∠∴∠ACB ACB ACB＝∠＝∠＝∠E,BC E,BC E,BC∥∥DE, 又∵又∵OD OD OD⊥⊥BC,BC,∴∴OD OD⊥⊥DE,DE,故故DE 是⊙是⊙O O 地切线）地切线）9．（义乌市）如图,以线段AB 为直径地⊙O 交线段AC 于点E ,点M 是»AE 地中点,OM 交AC 于点D ,60BOE ∠=°,1cos 2C =,23BC =．（1）求A ∠地度数；地度数；（2）求证：BC 是⊙O 地切线；地切线；（3）求¼MD 地长度．地长度． （解：（1）∵∠BOE =60=60°° ∴∠A ＝12∠BOE ＝ 30° （2）在△ABC 中 ∵1cos 2C = ∴∠C =60=60°…°…°…11分 又∵∠A ＝3030°°∴∠ABC =90=90°∴°∴AB BC ⊥…………22分 ∴BC 是⊙O 地切线地切线 （3）∵点M 是»AE 地中点地中点 ∴OM ⊥AE 在Rt Rt△△ABC 中∵23BC = ∴AB =tan 60233BC ︒=⨯=g 6 ∴OA =32AB = ∴OD =12OA =32∴MD =32） 10. （兰州市）（本题满分10分）如图如图,,已知AB 是⊙是⊙O O 地直径地直径,,点C 在⊙在⊙O O 上,过点C 地直线与AB 地延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2COB=2∠∠PCB.（1）求证：）求证：PC PC 是⊙是⊙O O 地切线；地切线； （2）求证：）求证：BC=BC=21AB AB；；（3）点M 是弧AB 地中点地中点,CM ,CM 交AB 于点N,N,若若AB=4,AB=4,求求MN MN··MC 地值地值. . 解：（1）∵）∵OA=OC,OA=OC,OA=OC,∴∠∴∠∴∠A=A=A=∠∠ACO ∵∠∵∠COB=2COB=2COB=2∠∠A ,∠COB=2COB=2∠∠PCB ∴∠∴∠A=A=A=∠∠ACO=ACO=∠∠PCB∵AB 是⊙是⊙O O 地直径地直径 ∴∠∴∠ACO+ACO+ACO+∠∠OCB=90OCB=90°° ∴∠∴∠PCB+PCB+PCB+∠∠OCB=90OCB=90°°,即OC OC⊥⊥CP ∵OC 是⊙是⊙O O 地半径地半径 ∴PC 是⊙是⊙O O 地切线地切线（2）∵）∵PC=AC PC=AC ∴∠∴∠∴∠A=A=A=∠∠P ∴∠∴∠A=A=A=∠∠ACO=ACO=∠∠PCB=PCB=∠∠P ∵∠∵∠COB=COB=COB=∠∠A+A+∠∠ACO,ACO,∠∠CBO=CBO=∠∠P+P+∠∠PCB ∴∠∴∠CBO=CBO=CBO=∠∠COB∴BC=OC ∴BC=21AB(3)连接MA,MB∵点M 是弧AB 地中点地中点 ∴弧∴弧AM=AM=弧弧BM ∴∠∴∠∴∠ACM=ACM=ACM=∠∠BCM∵∠∵∠ACM=ACM=ACM=∠∠ABM ∴∠∴∠∴∠BCM=BCM=BCM=∠∠ABM∵∠∵∠BMC=BMC=BMC=∠∠BMN ∴△∴△MBN MBN MBN∽△∽△∽△MCB MCB∴BM MNMC BM = ∴BM 2=MC =MC··MN∵AB 是⊙是⊙O O 地直径地直径,,弧AM=AM=弧弧BM ∴∠∴∠AMB=90AMB=90AMB=90°°,AM=BM∵AB=4 ∴BM=22 ∴MC MC··MN=BM 2=811．（本题满分14分） OB ACE M D如图（1）,两半径为r 地等圆1O e 和2O e 相交于M N ，两点,且2O e 过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ,分别交1O e 和2O e 于A B ，两点,连结NA NB ，．（1）猜想点2O 与1O e 有什么位置关系,并给出证明；并给出证明；（2）猜想NAB △地形状,并给出证明；并给出证明； （3）如图（2）,若过M 地点所在地直线AB 不垂直于MN ,且点A B ，在点M 地两侧,那么（2）中地结论是否成立,若成立请给出证明．若成立请给出证明．4. （1）2O 在1O e 上证明：2O Q e 过点1O ,12O O r ∴=．又1O Q e 地半径也是r ,∴点2O 在1O e 上．上． （2）NAB △是等边三角形是等边三角形 证明：MN AB ⊥Q ,90NMB NMA ∴∠=∠=o o． BN ∴是2O e 地直径,AN 是1O e 地直径,即2BN AN r ==,2O 在BN 上,1O 在AN 上．上．连结12O O ,则12O O 是NAB △地中位线．1222AB O O r ∴==． AB BN AN ∴==,则NAB △是等边三角形．是等边三角形．（3）仍然成立．证明：由（2）得在1O e 中¼MN 所对地圆周角为60o．在2O e 中¼MN 所对地圆周角为60o． ∴当点A B ，在点M 地两侧时,在1O e 中¼MN 所对地圆周角60MAN ∠=o ,在2O e 中¼MN 所对地圆周角60MBN ∠=o,NAB ∴△是等边三角形．是等边三角形．12．如图12,已知：边长为1地圆内接正方形ABCD 中,P 为边CD 地中点,直线AP 交圆于E 点．点．O 2O 1NMBA 图（1） O 2O 1NMBA图（2）（1）求弦DE 地长．地长．（2）若Q 是线段BC 上一动点,当BQ 长为何值时,三角形ADP 与以Q C P ，，为顶点地三角形相似．为顶点地三角形相似． 1）如图1．过D 点作DF AE ⊥于F 点．在Rt ADP △中,2252AP AD DP =+=又1122ADP S AD DP AP DF ==Q g g △ 55DF ∴=»AD Q 地度数为90o 45DEA ∴∠=o 1025DE DF ∴==（2）如图2．当Rt Rt ADP QCP △∽△时有AD DP QCCP=得：1QC =．即点Q 与点B 重合,0BQ ∴=如图3,当Rt Rt ADP PCQ △∽△时,有AD PD PC QC =得14QC =,即334BQ BC CQ =-=∴当0BQ =或34BQ =时,三角形ADP 与以点Q C P ，，为顶点地三角形相似．为顶点地三角形相似．13.．（本小题满分10分）如图,⊙O 是Rt △ABC 地外接圆,AB 为直径,∠ABC =30°=30°,,CD 是⊙O 地切线,ED ⊥AB 于F , (1)判断△DCE 地形状；(2)设⊙O 地半径为1,且OF =213-,求证△DCE ≌△OCB ． 6. 解：(1)∵∠ABC =30°=30°,,∴∠BAC =60°．又∵OA =OC , ∴△AOC 是正三角形．是正三角形．又∵CD 是切线,∴∠OCD =90°=90°,,∴∠DCE =180°=180°-60°-60°-60°-90°-90°-90°=30°=30°． 而ED ⊥AB 于F ,∴∠CED =90°=90°--∠BAC =30°．故△CDE 为等腰三角形．为等腰三角形．(2)证明：在△ABC 中,∵AB =2,AC =AO =1,∴BC =2212-=3．OF =213-,∴AF =AO +OF =213+． 又∵∠AEF =30°=30°,,∴AE =2AF =3+1． ∴CE =AE -AC =3=BC ．而∠OCB =∠ACB -∠ACO =90°=90°--60°=30°=∠ABC ,故△CDE ≌△COB .14（08湖北襄樊24题）8．（本小题满分10分）分） BADE PC图12第6题图题图A B DEOF C B A D E P C5题图1FB A D E P C5题图2Q BA D EPC5题图3（Q如图14,直线AB 经过O e 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O e 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是O e 地切线；地切线；（2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系,并加以证明；并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=,O e 地半径为3,求OA 地长．地长．（1）证明：如图3,连接OC ． OA OB =Q ,CA CB =,OC AB ∴⊥．AB ∴是O e 地切线．地切线．（2）2BC BD BE =g ． ED Q 是直径,90ECD ∴∠=o o． 90E EDC ∴∠+∠=o o． 又90BCD OCD ∠+∠=o oQ ,OCD ODC ∠=∠, BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠Q ,BCD BEC ∴△∽△ BC BD BE BC∴=．2BC BD BE ∴=g ． （3）1tan 2CED ∠=Q ,12CDEC ∴=．BCD BEC Q △∽△,12BD CD BC EC ∴==．设BD x =,则2BC x =． 又2BC BD BE =g ,2(2)(6)x x x ∴=+g ．解之,得10x =,22x =．0BD x =>Q ,2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．15 如图如图14,14,直线直线AB 经过O e 上地点C ,并且OA OB =,CA CB =,O e 交直线OB 于E D ，,连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是O e 地切线；地切线； （2）试猜想BC BD BE ，，三者之间地等量关系三者之间地等量关系,,并加以证明；并加以证明； （3）若1tan 2CED ∠=,O e 地半径为3,3,求求OA 地长．地长． 4 解：解：（1）证明：如图3,3,连接连接OC ． OA OB =Q ,CA CB =,OC AB ∴⊥．AB ∴是O e 地切线．地切线．（2）2BC BD BE =g ． ED Q 是直径是直径,,90ECD ∴∠=o．90E EDC ∴∠+∠=o． 又90BCD OCD ∠+∠=o oQ ,OCD ODC ∠=∠,BCD E ∴∠=∠．又CBD EBC ∠=∠Q ,BCD BEC ∴△∽△．BC BD BE BC∴=．2BC BD BE ∴=g ． （3）1tan 2CED ∠=Q ,12CD EC ∴=．BCD BEC Q △∽△,12BD CD BC EC ∴==．设BD x =,则2BC x =．又2BC BD BE =g ,2(2)(6)x x x ∴=+g ．解之解之,,得10x =,22x =．0BD x =>Q ,2BD ∴=．325OA OB BD OD ∴==+=+=．5 ⊙O 地半径OD 经过弦AB (不是直径不是直径))地中点C ,过AB 地延长线上一点P 作⊙O 地切线PE ,E 为切点为切点,,PE ∥OD ；延长直径(5题) PEDKHGC A B F OAG 交PE 于点H ；直线DG 交OE 于点F ,交PE 于点K ． （1）求证：四边形OCPE 是矩形；（2）求证：HK ＝HG ； （3）若EF ＝2,FO ＝1,1,求求KE 地长．地长．5解：(1)∵AC ＝BC ,AB 不是直径,∴OD ⊥AB ,∠PCO ＝90°90°(1(1分) ∵PE ∥OD ,∴∠P ＝90°90°,,∵PE 是切线,∴∠PEO ＝90°90°,(2,(2分) ∴四边形OCPE 是矩形.(3分)(2)∵OG ＝OD ,∴∠OGD ＝∠ODG .∵PE ∥OD ,∴∠K ＝∠ODG .(4分) ∵∠OGD ＝∠HGK ,∴∠K ＝∠HGK ,∴HK ＝HG .(5分)(3)∵EF ＝2,OF ＝1,∴EO ＝DO ＝3.(6分)∵PE ∥OD ,∴∠KEO ＝∠DOE ,∠K ＝∠ODG .∴△OFD ∽△EFK ,(7分)∴EF ∶OF ＝KE ∶OD ＝2∶1,∴KE ＝6.(8分) 6 如图如图如图,,直角坐标系中直角坐标系中,,已知两点O(0,0) A(2,0),A(2,0),点点B 在第一象限且△在第一象限且△OAB OAB 为正三角形为正三角形,,△OAB 地外接圆交y 轴地正半轴于点C,C,过点过点C 地圆地切线交X 轴于点D ． （1）求B C ，两点地坐标；（2）求直线CD 地函数解析式；地函数解析式； （3）设E F ，分别是线段AB AD ，上地两个动点上地两个动点,,且EF 平分四边形ABCD 地周长．地周长． 试探究：AEF △地最大面积？地最大面积？6 （1）(20)A Q ，,2OA ∴=．作BG OA ⊥于G ,OAB Q △为正三角形, 1OG ∴=,3BG =．(13)B ∴，．连AC ,90AOC ∠=oQ ,60ACO ABO ∠=∠=o ,23tan 303OC OA ∴==o．2303C ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，．（2）90AOC ∠=oQ ,AC ∴是圆地直径,又CD Q 是圆地切线,CD AC ∴⊥．30OCD ∴∠=o ,2tan 303OD OC ==o ．203D ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． 设直线CD 地函数解析式为(0)y kx b k =+≠,则233203b k b⎧=⎪⎨⎪=-+⎪⎩,解得3233k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．∴直线CD 地函数解析式为2333y x =+． （3）2AB OA ==Q ,23OD =,423CD OD ==,233BC OC ==,∴四边形ABCD 地周长2363+．设AE t =,AEF △地面积为S ,则333AF t =+-,133sin 603243S AF AE t t ⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭og ． 233393733434632St t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎢⎥=+-=--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q ．∴当936t +=时,max 733128S =+． Q 点E F ，分别在线段AB AD ，上,023203233t t ⎧⎪∴⎨+-+⎪⎩≤≤≤≤,解得1323t +≤≤． 936t +=Q 满足1323t +≤≤,AEF ∴△地最大面积为733128+． 7 如图（1818））,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,,ABC △地边AB 在x 轴上轴上,,且OA OB >,以AB 为直径地圆过点C ．若点C 地坐6题（第6题）题）标为(02)，,5AB =,A.B 两点地横坐标A x ,B x 是关于x 地方程2(2)10x m x n -++-=地两根．地两根． （1）求m .n 地值；地值；（2）若ACB ∠平分线所在地直线l 交x 轴于点D ,试求直线l 对应地一次函数解析式；对应地一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA .CB （点C 除外）于点M .N ．则11CM CN+地是否为定值？若是地是否为定值？若是,,求出该定值；若不是该定值；若不是,,请说明理由．请说明理由．7 解：（1）Q 以AB 为直径地圆过点C ,90ACB ∴∠=o ,而点C 地坐标为(02)，, 由CO AB ⊥易知AOC COB △∽△,2CO AO BO ∴=g ,即：4(5)AO AO =-g ,解之得：4AO =或1AO =．OA OB >Q ,4AO ∴=,即41A B x x =-=，．由根与系数关系有：21A B A B x x m x x n +=+⎧⎨=-⎩g ,解之5m =-,3n =-． （2）如图（）如图（33）,过点D 作DE BC ∥,交AC 于点E ,易知DE AC ⊥,且45ECD EDC ∠=∠=o ,在ABC △中,易得255AC BC ==，,AD AE DE BC DB EC∴=Q ∥，,AD AE DE EC BD DE =∴=Q ，, 又AED ACB △∽△,有AE AC ED BC =,2AD ACDB BC∴==,553AB DB ==Q ，,则23OD =,即203D ⎛⎫-⎪⎝⎭，,易求得直线l 对应地一次函数解析式为：32y x =+． 解法二：过D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ,由ACD BCD ABC S S S +=△△△,求得253DE = 又1122BCD S BD CO BC DF ==g g △求得5233BD DO ==，．即203D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,易求直线l 解析式为：32y x =+．（3）过点D 作DE AC ⊥于E ,DF CN ⊥于F ．CD Q 为ACB ∠地平分线地平分线,,DE DF ∴=． 由MDE MNC △∽△,有DE MDCN MN=由DNF MNC △∽△, 有DF DN CM MN =1DE DF MD DNCN CM MN MN ∴+=+=, 即1113510CMCNDE+==8 如图如图如图,,在ABC △中90ACB ∠=o,D 是AB 地中点地中点,,以DC 为直径地O e 交 ABC △地三边地三边,,交点分别是G F E ，，点．GE CD ，地交点为M ,且46ME =, :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O e 地直径CD 地长．地长．8 （1）连接DF CD Q 是圆直径是圆直径,,90CFD ∴∠=o,即DF BC ⊥90ACB ∠=o Q ,DF AC ∴∥． BDF A ∴∠=∠．Q 在O e 中BDF GEF ∠=∠,GEF A ∴∠=∠． 2分（2）D Q 是Rt ABC △斜边AB 地中点地中点,,DC DA ∴=,DCA A ∴∠=∠, 又由（又由（11）知GEF A ∠=∠,DCA GEF ∴∠=∠．y x图（3）NB AC O DM EE F (0，2) l l 'EADGBFCOM第25题图题图又OME EMC ∠=∠Q ,OME ∴△与EMC △相似OM MEME MC∴=2ME OM MC ∴=⨯4分 又46ME =Q ,2(46)96OM MC ∴⨯==:2:5MD CO =Q ,:3:2OM MD ∴=,:3:8OM MC ∴=设3OM x =,8MC x =,3896x x ∴⨯=,2x ∴= ∴直径1020CD x ==．。
中考数学专题题库∶圆的综合的综合题附答案
-＞圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图，在OO中，直径&3丄弦CD于点&连接力C, 3C,点F是弘延长线上的一点, 且Z FCA = Z B.⑴求证：CF是00的切线：（2）若处=4. tanZ ACD=-,求AB和FC的长.4 ----- /40【答案】⑴见解析;⑵（2）AB=20 , CF = —【解析】分析：（1）连接0C,根据圆周角建理证明0C丄CF即可：（2）通过正切值和圆周角泄理，以及Z FCA = Z B求岀CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出0E的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影左理）证明△ 0CE-ACFE,即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结0C•・• AB是OO的直径・•・Z ACB=90°・•・Z B+Z BAC=90°•・・0A=0C・•・ Z BAC=Z OCA•・• Z B=Z FCA・•・Z FCA+Z OCA=90°即Z OCF二90°・.・c在00上・•・CF是00的切线（2）TAEM, tanZ ACD —=-EC 2 ・・・CE=8・・直径AB丄弦CD于点E•・ AD = AC:Z FCA=Z B•・ Z B=Z ACD=Z FCA•・ Z EOC=Z ECACE 1\ tanZ B=tanZ ACD= --- =—BE 2•・ BE=16•・ AB=20•・ OE=AB4-2-AE=6・• CE±AB•・ Z CEO=Z FCE二90°•・△ OCE- △ CFEOC OE•__ —_• CF " CE10 _6CF = S:.CF = ——3点睛：此题主要考査了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判左与性质，结合相似三角形的判左与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.2.已知A （2,0） , B （6,0） , CB丄x轴于点B,连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得ZAPB二ZACB （尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（2）的条件下,① 若tanZ APB = |,求点P 的坐标2② 当点P 的坐标为 ______ 时，z APB 最大拓展延伸：4（3）若在直线y =^x+4上存在点P,使得Z APB 最大，求点P 的坐标【答案】（1）图形见解析（2） （0,2）, （0,4） （0, 2.5）（3）込 5【解析】试题分析：（1）以&C 为直径画圆交y 轴于P,连接必、PB, ZPAB 即为所求：（2）①由题意&C 的中点K （4, 4）,以K 为圆心4K 为半径画圆，交）/轴于P 和易 知 P （0, 2） , P' （0, 6）:②当OK 与y 轴相切时，ZAPB 的值最大，（3）如图3中，当经过的园与直线相切 时，乙APB 最大.想办法求出点P 坐标即可解决问题；试题解析：解：（1） ZAPB 如图所示；1(2)①如图 2 中，•・• Z&P3二Z&CB, ・・・tan Z ACB=tanZ APB=- =-—・ T A (2, 0) , B2 BC(6, 0),・・・&B 二4, 8C=8, ・・・C(6, 8) , :.AC 的中点K (4, 4),以K 为圆心AK 为半径 画圆，交y 轴于P 和匕易知P (O, 2),卩(0, 6)・②当OK 与y 轴相切时,ZAPB 的值最大，此时AK 二PKM,心8,(9®・•・ BC二J AC? _ 血二4 屁:.C (6, 4书)，・・・K (4, 2旋),:.P (0. 2^3)・故答案为：<0, 2^3)•4(3)如图3中，当经过的园与直线相切时，ZAPB最大・・・•直线尸亍x+4交x轴于M (-3, 0),交 y 轴于/V (0, 4)・J MP是切线,二 MP?二MP=3 厉，作（1） 根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得ZDGE 的度 数：（2） 过点F 作FH 丄AB 于点H 设CF=1,则0F=2, 0C=0B = 3,根据勾股立理求出BF 的BF长度，再证得△ FGO-厶FCB,进而求得——的值：GFON OM NM 丄-丄-丄 -PK~i2^ PK MK 3>/55 点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质.切线的判左和 性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学 会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题.3.如图，AB 是OO 的直径，弦BC=OB,点D 是AC 上一动点，点E 是CD 中点，连接BD 分别交OC, OE 于点F, G.(1) (2) 求Z DGE 的度数：卄CF 1 + BF 心心若——=一，求——的值:OF 2 GFCF 记ACFB, △ DGO 的而积分别为S 】，S2,若亦 —的值.(用含k 的式子表7 S.以 £ i【答案】(l)ZDGE = 60°： (2)-； (3)-L = ------2 S? £ + ]【解析】【分析】 PK 丄 OA 于 K. •・•O/VII PK,:. (3)（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股左理可以用含k的式子表示出寻的值.【详解】解：⑴・・• BC = OB = OC,・•・ Z COB = 60%1・•・ Z CDB=-Z COB=30\2TOC=OD,点E为CD中点，・•・OE丄CD,・•・Z GED = 90°,・•・Z DGE = 60°；⑵过点F作FH丄AB于点H设 CF=1,则 OF=2, OC=OB=3•・・Z COB = 60°1・•・ OH=-OF = 1,2・・・HF=7^OH=0 HB = OB-OH = 2,在 RtA BHF 中，BF = 5/HB2+HF2 =>/7 »由 OC=OB・Z COB = 60°得：Z OCB = 60\又•・•Z OGB=Z DGE=60°,・•・ Z OGB=Z OCB,•・• Z OFG = Z CFB,・•・△ FGO〜A FCB,OF GF■■~BF~CF'2心了‘BF 7•— _•••GF 2⑶过点F作FH丄AB于点H,设 OF=1,则 CF = k, OB=OC=k+l,•・• Z COB = 60°,1 1・•・ OH=-OF 二一,2 2I/. HF= J30H = —, HB = OB-OH = k+-,2 2在 RtA BHF 中，BF= VHB 2 + HF 2 =屁 + 1< + 1，由(2)得：△ FGO- △ FCB,GO OF H[i GO_ = 1 ~CB~~BF ' I <+\ Jft + i _ k + 1・•・ G0=-7==,yjlr+k + i 过点C 作CP 丄BD 于点P•・• Z CDB = 30°1・•・ PC=-CD>2•・•点E 是CD 中点，1・•・ DE= — CD,2・•・ PC=DE,••• DE 丄 OE,圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，找岀所求问题需要的条件，利用三角形相似和 勾股上理、数形结合的思想解答.4. 如图,已知在A ABC 中，Z A=90°, k 2 +k +\（1）请用圆规和直尺作出OP,使圆心p在AC边上，且与AB, BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）.（2）若Z B=60°, AB=3,求OP 的而积.【答案】（1）作图见解析；（2）【解析】【分析】（1）与AB、BC两边都相切.根据角平分线的性质可知要作ZABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位苣.（2）根据角平分线的性质和30。
备战中考数学专题复习圆的综合的综合题含详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。
（1）如图1，如果点M是线段AB的中点，且⊙M的半径等于4，试判断直线OB与⊙M 的位置关系，并说明理由；（2）如图2，⊙M与x轴，y轴都相切，切点分别为E，F，试求出点M的坐标；（3）如图3，⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，切点分别为E，F，G，试求出点M的坐标（直接写出答案）【答案】（1）OB与⊙M相切；（2）M（－247，247）；（3）M（－2，2）【解析】分析：（1）设线段OB的中点为D，连结MD，根据三角形的中位线求出MD，根据直线和圆的位置关系得出即可；（2）求出过点A、B的一次函数关系式是y=34x+6，设M（a，﹣a），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6得出关于a的方程，求出即可．（3）连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，设ME=MF=MG=r，根据S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO求得r=2，据此可得答案．详解：（1）直线OB与⊙M相切．理由如下：设线段OB的中点为D，如图1，连结MD，∵点M是线段AB的中点，所以MD∥AO，MD=4，∴∠AOB=∠MDB=90°，∴MD⊥OB，点D在⊙M上．又∵点D在直线OB上，∴直线OB与⊙M相切；（2）如图2，连接ME，MF，∵A（﹣8，0），B（0，6），∴设直线AB的解析式是y=kx+b，∴806k bb-+=⎧⎨=⎩，解得：k=34，b=6，即直线AB的函数关系式是y=34x+6．∵⊙M与x轴、y轴都相切，∴点M到x轴、y轴的距离都相等，即ME=MF，设M（a，﹣a）（﹣8＜a＜0），把x=a，y=﹣a代入y=34x+6，得：﹣a=34a+6，得：a=﹣24 7，∴点M的坐标为（﹣242477，）．（3）如图3，连接ME、MF、MG、MA、MB、MO，∵⊙M与x轴，y轴，线段AB都相切，∴ME⊥AO、MF⊥BO、MG⊥AB，设ME=MF=MG=r，则S△ABC=12AO•ME+12BO•MF+12AB•MG=12AO•BO．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴AO=8、BO=6，AB=22AO BO=10，∴12r•8+12r•6+12r•10=12×6×8，解得：r=2，即ME=MF=2，∴点M的坐标为（﹣2，2）．点睛：本题考查了圆的综合问题，掌握直线和圆的位置关系，用待定系数法求一次函数的解析式的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解答此题的关键，注意：直线和圆有三种位置关系：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d=r时，直线l和⊙O 相切．2．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线交AD的延长线于F．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线；（2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值．试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB 为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE 是⊙O的切线；（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DC DB，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且DE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=84=2，∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．3．已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB．（1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°；（2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．【答案】（1）证明见解析；（2）PA=PB+PC．理由见解析；（3）若∠BAC=120°时，（2）3 PA=PB+PC．【解析】试题分析：（1）如图①，连接PC．根据“内接四边形的对角互补的性质”即可证得结论；（2）如图②，通过作辅助线BC、PE、CE（连接BC，延长BP至E，使PE=PC，连接CE）构建等边△PCE和全等三角形△BEC≌△APC；然后利用全等三角形的对应边相等和线段间的和差关系可以求得PA=PB+PC；（3）如图③，在线段PC上截取PQ，使PQ=PB，过点A作AG⊥PC于点G．利用全等三角形△ABP ≌△AQP （SAS ）的对应边相等推知AB=AQ ，PB=PG ，将PA 、PB 、PC 的数量关系转化到△APC 中来求即可． 试题解析：（1）如图①，连接PC ．∵△ACQ 是由△ABP 绕点A 逆时针旋转得到的， ∴∠ABP=∠ACQ ．由图①知，点A 、B 、P 、C 四点共圆，∴∠ACP+∠ABP=180°（圆内接四边形的对角互补）， ∴∠ACP+∠ACQ=180°（等量代换）； （2）PA=PB+PC ．理由如下：如图②，连接BC ，延长BP 至E ，使PE=PC ，连接CE ． ∵弦AB=弦AC ，∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形（有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形）． ∵A 、B 、P 、C 四点共圆，∴∠BAC+∠BPC=180°（圆内接四边形的对角互补）， ∵∠BPC+∠EPC=180°，∴∠BAC=∠CPE=60°，∵PE=PC ，∴△PCE 是等边三角形，∴CE=PC ，∠E=∠ECP=∠EPC=60°； 又∵∠BCE=60°+∠BCP ，∠ACP=60°+∠BCP ，∴∠BCE=∠ACP （等量代换）,在△BEC 和△APC 中，CE PC BCE ACP AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△APC （SAS ），∴BE=PA ，∴PA=BE=PB+PC ；（3）若∠BAC=120°时，（2．理由如下： 如图③，在线段PC 上截取PQ ，使PQ=PB ，过点A 作AG ⊥PC 于点G ． ∵∠BAC=120°，∠BAC+∠BPC=180°，∴∠BPC=60°． ∵弦AB=弦AC ，∴∠APB=∠APQ=30°．在△ABP 和△AQP 中，PB PQ APB APQ AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP ≌△AQP （SAS ），∴AB=AQ ，PB=PQ （全等三角形的对应边相等），∴AQ=AC （等量代换）． 在等腰△AQC 中，QG=CG ．在Rt △APG 中，∠APG=30°，则AP=2AG ，AG, ∴PB+PC=PG ﹣QG+PG+CG=PG ﹣，∴PA=PB+PC ．【点睛】本题考查了圆的综合题，解题的关键要能掌握和灵活运用圆心角、弧、弦间的关系，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等.4．已知P 是O 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝． （1）当m=6时，求线段CD 的长；（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．【答案】(1)CD=2523812n n;(3) n 9559155 【解析】分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt △POH ，得到Rt 3mOH OCH ＝．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．在Rt △1sin 63POH P PO =中，＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝． 由勾股定理得： 5CH = ∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==．（2）在Rt △1sin 3POH P PO m 中，＝，＝，∴3m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． 在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． 可得： 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -：＝．（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况： ① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝，解得9n ：＝．即圆心距等于O 、1O 的半径的和，就有O 、1O 外切不合题意舍去．ii ）11O P OO ＝22233m m n m -+-（）（）n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 23812n n-＝，解得9155n ：＝②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132nn n-＝，解得955n ：＝ 综上所述：n 9559155点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．5．定义：数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”.理解：⑴如图，已知是⊙上两点，请在圆上找出满足条件的点，使为“智慧三角形”（画出点的位置，保留作图痕迹）；⑵如图，在正方形中，是的中点，是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由；运用：⑶如图，在平面直角坐标系中，⊙的半径为，点是直线上的一点，若在⊙上存在一点，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点的坐标.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）P的坐标（223，13），（223，13）．【解析】试题分析：（1）连结AO并且延长交圆于C1，连结BO并且延长交圆于C2，即可求解；（2）设正方形的边长为4a，表示出DF=CF以及EC、BE的长，然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”；（3）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，根据勾股定理可求另一条直角边，再根据三角形面积可求斜边的高，即点P的横坐标，再根据勾股定理可求点P的纵坐标，从而求解．试题解析：（1）如图1所示：（2）△AEF是否为“智慧三角形”，理由如下：设正方形的边长为4a，∵E是DC的中点，∴DE=CE=2a，∵BC：FC=4：1，∴FC=a，BF=4a﹣a=3a，在Rt△ADE中，AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，在Rt△ECF中，EF2=（2a）2+a2=5a2，在Rt△ABF中，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，∴AE2+EF2=AF2，∴△AEF是直角三角形，∵斜边AF上的中线等于AF的一半，∴△AEF为“智慧三角形”；（3）如图3所示：由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，由勾股定理可得PQ=，PM=1×2÷3=，由勾股定理可求得OM=，故点P的坐标（﹣，），（，）．考点：圆的综合题．6．如图，AB为⊙O的直径，且AB＝m（m为常数），点C为AB的中点，点D为圆上一动点，过A点作⊙O的切线交BD的延长线于点P，弦CD交AB于点E．（1）当DC⊥AB时，则DA DBDC+＝；（2）①当点D在AB上移动时，试探究线段DA，DB，DC之间的数量关系；并说明理由；②设CD长为t，求△ADB的面积S与t的函数关系式；（3）当9220PDAC=时，求DEOA的值．【答案】（12；（2）①DA+DB2DC，②S＝12t2﹣14m2；（3）24235DEOA=.【解析】【分析】（1）首先证明当DC⊥AB时，DC也为圆的直径，且△ADB为等腰直角三角形，即可求出结果；（2）①分别过点A，B作CD的垂线，连接AC，BC，分别构造△ADM和△BDN两个等腰直角三形及△NBC和△MCA两个全等的三角形，容易证出线段DA，DB，DC之间的数量关系；②通过完全平方公式（DA+DB）2＝DA2+DB2+2DA•DB的变形及将已知条件AB＝m代入即可求出结果；（3）通过设特殊值法，设出PD的长度，再通过相似及面积法求出相关线段的长度，即可求出结果．【详解】解：（1）如图1，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵C为AB的中点，∴AC BC=，∴∠ADC＝∠BDC＝45°，∵DC⊥AB，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，∴∠DAE＝∠DBE＝45°，∴AE＝BE，∴点E与点O重合，∴DC为⊙O的直径，∴DC＝AB，在等腰直角三角形DAB中，DA＝DB＝2 AB，∴DA+DB＝2AB＝2CD，∴DA DBDC+＝2；（2）①如图2，过点A作AM⊥DC于M，过点B作BN⊥CD于N，连接AC，BC，由（1）知AC BC=，∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝∠BNC＝∠CMA＝90°，∴∠NBC+∠BCN＝90°，∠BCN+∠MCA＝90°，∴∠NBC＝∠MCA，在△NBC和△MCA中，BNC CMANBC MCABC CA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△NBC≌△MCA（AAS），∴CN＝AM，由（1）知∠DAE＝∠DBE＝45°，AM ＝2DA ，DN ＝2DB ， ∴DC ＝DN+NC ＝2DB+2DA ＝2（DB+DA ）， 即DA+DB ＝2DC ；②在Rt △DAB 中，DA 2+DB 2＝AB 2＝m 2，∵（DA+DB ）2＝DA 2+DB 2+2DA•DB ，且由①知DA+DB 2DC 2t ，∴2t ）2＝m 2+2DA•DB ，∴DA•DB ＝t 2﹣12m 2， ∴S △ADB ＝12DA•DB ＝12t 2﹣14m 2， ∴△ADB 的面积S 与t 的函数关系式S ＝12t 2﹣14m 2； （3）如图3，过点E 作EH ⊥AD 于H ，EG ⊥DB 于G ，则NE ＝ME ，四边形DHEG 为正方形， 由（1）知AC BC =，∴AC ＝BC ，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴AB 2AC ， ∵92PD AC =， 设PD ＝2，则AC ＝20，AB ＝2，∵∠DBA ＝∠DBA ，∠PAB ＝∠ADB ，∴△ABD ∽△PBA ，∴AB BD AD PB AB PA ==， ∴20292202DB =+， ∴DB ＝2，∴AD ＝22AB DB -＝122， 设NE ＝ME ＝x ， ∵S △ABD ＝12AD•BD ＝12AD•NE+12BD•ME ， ∴12×122×162＝12×122•x+12×162•x ， ∴x ＝4827， ∴DE ＝2HE ＝2x ＝967， 又∵AO ＝12AB ＝102， ∴96242735102DE OA =⨯=．【点睛】本题考查了圆的相关性质，等腰直三角形的性质，相似的性质等，还考查了面积法及特殊值法的运用，解题的关键是认清图形，抽象出各几何图形的特殊位置关系．7．如图，⊙O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，AC ＝4，过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点E ．（1）求∠AEC 的度数；（2）求证：四边形OBEC 是菱形．【答案】（1）30°；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）易得△AOC 是等边三角形，则∠AOC ＝60°，根据圆周角定理得到∠AEC ＝30°； （2）根据切线的性质得到OC ⊥l ，则有OC ∥BD ，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，则∠EAB＝30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBE C为平行四边形，再由OB ＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形．【详解】（1）解：在△AOC中，AC＝4，∵AO＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠AEC＝30°；（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴OC∥BD．∴∠ABD＝∠AOC＝60°．∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴△AEB为直角三角形，∠EAB＝30°．∴∠EAB＝∠AEC．∴CE∥OB，又∵CO∥EB∴四边形OBEC为平行四边形．又∵OB＝OC＝4．∴四边形OBEC是菱形．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．8．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝2，BC＝2，求⊙O的半径．【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O的半径为6 4【解析】【分析】（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；（2）首先易证得△CDE ∽△CBA ，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE 的长，又由勾股定理即可求得AC 的长，然后设OA 为x ，即可得方程222(3)(6)x x -=-，解此方程即可求得⊙O 的半径．【详解】解：（1）直线CE 与⊙O 相切．…理由：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°，BC ∥AD ，CD ＝AB ，∴∠DCE +∠DEC ＝90°，∠ACB ＝∠DAC ，又∠DCE ＝∠ACB ，∴∠DEC +∠DAC ＝90°，∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠DAC ，∴∠DEC +∠OEA ＝90°，∴∠OEC ＝90°，∴OE ⊥EC ，∵OE 为圆O 半径，∴直线CE 与⊙O 相切；…（2）∵∠B ＝∠D ，∠DCE ＝∠ACB ，∴△CDE ∽△CBA ，∴ BCABDC DE =，又CD ＝AB ＝2，BC ＝2，∴DE ＝1根据勾股定理得EC ＝3，又226AC AB BC =+=，…设OA 为x ，则222(3)(6)x x +=-，解得6x =，∴⊙O 的半径为64．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．9．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）52 BE=【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF ＝3，在Rt△AFD中求得DF＝1，所以AB＝AD＝10，CD= CF+DF=4，再证明△ABE∽△CDA，得出BE ABDA CD=，即可求出BE的长度；试题解析：（1）证明：连结OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB= 90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵∠BAE=45°，∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，∴OA⊥AE．∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．（2）解：过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFC=∠AFD=90°．∵AB=AD，∴AB =AD∴∠ACD =∠ACB =45°，在Rt △AFC 中，∵AC =32，∠ACF =45°， ∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1， ∴223110AB AD ==+=，且CD = CF +DF =4，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABE =∠CDA ，∵∠BAE =∠DCA ，∴△ABE ∽△CDA ，∴BE AB DA CD =， ∴1010=， ∴52BE =．10．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠DAB ＝120°，BC ＝CD ，AD ＝4，AC ＝7，求AB 的长度．【答案】AB ＝3．【解析】【分析】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD =，进而得到∠DAC ＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝23，AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可.【详解】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∵BC ＝CD ，∴BC CD =，∴∠CAB ＝∠DAC ，∵∠DAB ＝120°，∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°，∴sin60°＝4DE ，cos60°＝4AE ， ∴DE ＝3AE ＝2，∵AC ＝7，∴CE ＝5，∴DC ()2223537+=∴BC 37，∵BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°，∴tan60°＝BF AF，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF 3，∴()2223737AF +-=， ∴AF ＝2或AF ＝32，∵cos60°＝AFAB，∴AB＝2AF，当AF＝2时，AB＝2AF＝4，∴AB＝AD，∵DC＝BC，AC＝AC，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠ADC＝∠ABC，∵ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，但AC2＝49，2222453 AD DC+=+=，AC2≠AD2+DC2，∴AB＝4（不合题意，舍去），当AF＝32时，AB＝2AF＝3，∴AB＝3．【点睛】此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.。
2012届中考数学圆的认识专题复习试题及答案
2012届中考数学圆的认识专题复习试题及答案（备战中考）江苏省2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）圆的认识◆考点聚焦 1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、•弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点． 3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、•四边形等结合的题型也是中考热点．◆备考兵法“垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题．◆识记巩固 1．到定点的距离等于______的点的轨迹叫做圆，其中________叫圆心，______叫半径． 2．圆既是________图形，又是_______图形，圆心是_________，•任意一条直径所在的直线是________． 3．垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且_______这条弦所对的两条弧；平分________的直径垂直于弦，并且平分_______．如图：①AB为圆心；②AB⊥CD； ③CE=DE；④ ；⑤ ．其中，任意满足两个结论，均可推出其余三个结论成立． 4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角，_______，_______（或_______）中有一组量相等，那么它所对应的其余各组量都分别相等． 5．圆圆角及定理：顶点在______，角的两边都与_____相交的角叫圆周角．在同圆或等圆中，________所对的圆周角相等，都等于它所对的_______；相等的圆周角所对的________•相等；••_________•所对的圆周角是直角； 90 °的圆周角所对的弦是________．识记巩固参考答案： 1．定长定点定长2．轴对称中心对称对称中心对称轴 3．平分平分非直径弦这条弦所对的两条弦4．两条弧两条弦弦心距 5．圆上圆•同弧或等弧圆心角的一半弧直径直径◆典例解析例1（2011浙江金华，21，8分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA∥PE. （1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝12，求tan∠OPB的值；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为，能构成等腰梯形的四个点为或或 . 证明：（1）∵PG 平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；……2分解：（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB= AB，……1分∵tan∠OPB= ，∴PH=2OH，……1分设OH= ，则PH=2 ，由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH－PA=2 －10，∵ ，∴ ，……1分解得（不合题意，舍去），，∴AH=6，∴AB=2AH=12；……1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.……2分(写对1个、2个、3个得1分，写对4个得2分) 例2如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC•交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由．解析（1）AB=AC，理由如下：（方法一）连结DO，则OD是△ABC的中位线，∴OD∥CA．∵∠ODB=∠C，∴DO=BO．∴∠OBD=∠ODB，∴∠OBD=∠ACB，∴AB=AC．（方法二）连结AD，∵AB是⊙O的直径，∴AD⊥BC．又∵BD=CD，∴AB=AC．（方法三）连结DO，则OD是△ABC的中位线，∴OD= AC，OB=OD= AB，∴AB=AC．（2）连结BF．∵AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°，∴∠B<∠ADC=90°，∠C<∠ADB=90°．∴∠B，∠C为锐角．又∵∠A<∠BFC=90°．∴△ABC为锐角三角形．点评一题多解是培养我们发散思维的极好方式，•我们应在习题中加以运用与发展．例3（2011浙江金华，24，12分）如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x 轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF. （1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；（2）当DE＝8时，求线段EF的长；（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由. 解：（1）连结BC, ∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5, ∵∠AOB=30°, ∴∠ACB=2∠AOB=60°, ∴弧AB的长= ;……4分（2）连结OD, ∵OA 是⊙C直径,∴∠OBA=90°, 又∵AB=BD, ∴OB是AD的垂直平分线,∴OD=OA=10, 在R t△ODE中，OE= , ∴AE=AO－OE=10-6=4, 由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，得△OEF∽△DEA, ∴ ,即，∴EF=3；……4分（3）设OE=x，①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE= ，∴E1（，0）；当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x,AE=10-x，∴CF∥AB,有CF= , ∵△ECF∽△EAD, ∴ ,即 ,解得：, ∴E2（，0）; ②当交点E在点C的右侧时，∵∠ECF＞∠BOA，∴要使△ECF 与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，连结BE，∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，∴BE=AB=BD, ∴∠BEA=∠BAO, ∴∠BEA=∠ECF,∴CF∥BE,∴ , ∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴ , 而AD=2BE,∴ , 即 ,解得 , ＜0（舍去），∴E3（，0）; ③当交点E在点O的左侧时，∵∠BOA=∠E OF＞∠ECF. ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO 连结BE，得BE= =AB，∠BEA=∠BAO ∴∠ECF=∠BEA, ∴CF∥BE, ∴ , 又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，∴△CEF∽△AED,∴ ，而AD=2BE,∴ , ∴ ,解得 , ＜0（舍去）, ∵点E在x轴负半轴上,∴E4（，0）, 综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：（，0）、（，0）、（，0）、（，0）． (4)分圆的有关性质一、选择题 1.（2011广东湛江16,4分）如图，是上的三点，，则度．【答案】60 2.（2011安徽，7，4分）如图，⊙O的半径是1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧⌒BC 的长是（） A．π5 B．25π C．35π D．45π【答案】B 3.（2011福建福州，9，4分）如图2,以为圆心的两个同心圆中,大圆的弦切小圆于点 ,若 ,则大圆半径与小圆半径之间满足（）A ． B． C． D．【答案】C 4.（2011山东泰安，10，3分）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=6，则⊙O的半径为（）A.2B.22C.22D.62 【答案】A 5.（2011四川南充市，9，3分）在圆柱形油槽内装有一些油。
中考数学复习圆的综合专项综合练附详细答案
中考数学复习圆的综合专项综合练附详细答案一、圆的综合1．如图，⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（3，﹣1），点A 的坐标为（﹣2，3），点B 的坐标为（﹣3，0），点C 在x 轴上，且点D 在点A 的左侧． （1）求菱形ABCD 的周长；（2）若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD 沿x 轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t （秒），当⊙M 与BC 相切，且切点为BC 的中点时，连接BD ，求： ①t 的值； ②∠MBD 的度数；（3）在（2）的条件下，当点M 与BD 所在的直线的距离为1时，求t 的值．【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=633 【解析】分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；（2）①如图2，先根据坐标求EF 的长，由EE '﹣FE '=EF =7，列式得：3t ﹣2t =7，可得t 的值；②先求∠EBA =60°，则∠FBA =120°，再得∠MBF =45°，相加可得：∠MBD =∠MBF +∠FBD =45°+60°=105°；（3）分两种情况讨论：作出距离MN 和ME ，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD 为⊙M 的切线，由BC 是⊙M 的切线，得∠MBE =30°，列式为3t 3=2t +6，解出即可； 第二种情况：如图6，同理可得t 的值． 详解：（1）如图1，过A 作AE ⊥BC 于E ．∵点A 的坐标为（﹣23），点B 的坐标为（﹣3，0），∴AE 3，BE =3﹣2=1，∴AB 22AE BE +2231+（）=2． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD =2，∴菱形ABCD 的周长=2×4=8； （2）①如图2，⊙M 与x 轴的切点为F ，BC 的中点为E ． ∵M （3，﹣1），∴F （3，0）．∵BC =2，且E 为BC 的中点，∴E （﹣4，0），∴EF =7，即EE '﹣FE '=EF ，∴3t ﹣2t =7，t =7；②由（1）可知：BE =1，AE 3∴tan∠EBA=AEBE =31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202⨯︒=60°．∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：第一种情况：如图5．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°．∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；第二种情况：如图6．∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan︒=3，∴3t=2t+6+3，t=6+3；综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+33．点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．2．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A（2，0），B（0，23），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为；（2）若点C（1，2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O的半径为2，点P的坐标为（3，m）．若在⊙O上存在一点Q，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，23），∴OA=2，OB=23．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=22（）=4，∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．3．某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．【答案】10cm【解析】分析：先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．详解：解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，∵OC⊥AB∴BD=12AB=12×16=8cm由题意可知，CD=4cm∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm 在Rt△BOD中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2（x﹣4）2+82=x2解得：x=10．答：这个圆形截面的半径为10cm．点睛：此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．4．如图，Rt ABC ∆内接于⊙O ，AC BC =，BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连接CD ，G 是CD 的中点，连接OG .(1)判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明; (2)求证:AE BF =;(3)若3(22)OG DE =-g ，求⊙O 的面积.【答案】（1）OG ⊥CD （2）证明见解析（3）6π 【解析】试题分析：（1）根据G 是CD 的中点，利用垂径定理证明即可； （2）先证明△ACE 与△BCF 全等，再利用全等三角形的性质即可证明； （3）构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解． 试题解析：（1）解：猜想OG ⊥CD ．证明如下：如图1，连接OC 、OD ．∵OC =OD ，G 是CD 的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG ⊥CD ．（2）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，而∠CAE =∠CBF （同弧所对的圆周角相等）．在Rt △ACE 和Rt △BCF 中，∵∠ACE =∠BCF =90°，AC =BC ，∠CAE =∠CBF ，∴Rt △ACE ≌Rt △BCF （ASA ），∴AE =BF ．（3）解：如图2，过点O 作BD 的垂线，垂足为H ，则H 为BD 的中点，∴OH =12AD ，即AD =2OH ，又∠CAD =∠BAD ⇒CD =BD ，∴OH =OG ．在Rt △BDE 和Rt △ADB 中，∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ，∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ，∴BD DEAD DB=，即BD 2=AD •DE ，∴22622BD AD DE OG DE =⋅=⋅=（）．又BD =FD ，∴BF =2BD ，∴2242422BF BD ==-（）①，设AC =x ，则BC =x ，AB =2x ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠FAD =∠BAD ．在Rt △ABD 和Rt △AFD 中，∵∠ADB =∠ADF =90°，AD =AD ，∠FAD =∠BAD ，∴Rt △ABD ≌Rt △AFD （ASA ），∴AF =AB =2x ，BD =FD ，∴CF =AF ﹣AC =221x x x -=-（）．在Rt △BCF 中，由勾股定理，得：222222[21]222BF BC CF x x x =+=+-=-（）（）②，由①、②，得22222422x -=-（）（），∴x 2=12，解得：23x =或23-（舍去），∴222326AB x ==⋅=，∴⊙O 的半径长为6，∴S ⊙O =π•（6）2=6π．点睛：本题是圆的综合题．解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质．5．如图，AB 是圆O 的直径，射线AM ⊥AB ，点D 在AM 上，连接OD 交圆O 于点E ，过点D 作DC=DA 交圆O 于点C （A 、C 不重合），连接O C 、BC 、CE ． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若圆O 的直径等于2，填空： ①当AD= 时，四边形OADC 是正方形； ②当AD= 时，四边形OECB 是菱形．【答案】(1)见解析；（2）①1；②3． 【解析】试题分析：（1）依据SSS 证明△OAD ≌△OCD ，从而得到∠OCD=∠OAD=90°； （2）①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA ；②依据菱形的性质得到OE=CE ，则△EOC 为等边三角形，则∠CEO=60°，依据平行线的性质可知∠DOA=60°，利用特殊锐角三角函数可求得AD 的长． 试题解析：解：∵AM ⊥AB ， ∴∠OAD=90°．∵OA=OC ，OD=OD ，AD=DC ， ∴△OAD ≌△OCD ，∴∠OCD=∠OAD=90°．∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线．（2）①∵当四边形OADC是正方形，∴AO=AD=1．故答案为：1．②∵四边形OECB是菱形，∴OE=CE．又∵OC=OE，∴OC=OE=CE．∴∠CEO=60°．∵CE∥AB，∴∠AOD=60°．在Rt△OAD中，∠AOD=60°，AO=1，∴AD=．故答案为：．点睛：本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，特殊锐角三角函数值的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．6．如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是BC上的一点，且PB＜PC，PA交BC于E，点F 是PC延长线上的点，CF=PB，AB=13，PA=4．（1）求证：△ABP≌△ACF；（2）求证：AC2=PA•AE；（3）求PB和PC的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）PB=1，PC=3．【解析】试题分析：（1）先根据等边三角形的性质得到AB=AC，再利用圆的内接四边形的性质得∠ACF=∠ABP，于是可根据“SAS”判断△ABP≌△ACF；（2）先根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，再根据圆周角定理得∠APC=∠ABB=60°，加上∠CAE=∠PAC，于是可判断△ACE∽△APC，然后利用相似比即可得到结论；（3）先利用AC2=PA•AE计算出AE=134，则PE=AP-AE=34，再证△APF为等边三角形，得到PF=PA=4，则有PC+PB=4，接着证明△ABP∽△CEP，得到PB•PC=PE•A=3，然后根据根与系数的关系，可把PB和PC看作方程x2-4x+3=0的两实数解，再解此方程即可得到PB和PC的长． 试题解析：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°， 又∠ACP+∠ACF=180°， ∴∠ABP=∠ACF 在ABP ∆和ACF ∆中，∵AB=AC ，∠ABP=∠ACF ， CF PB = ∴ABP ∆≌ACF ∆． (2)在AEC ∆和ACP ∆中， ∵∠APC=∠ABC ，而ABC ∆是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º， ∴∠ACE =∠APC . 又∠CAE =∠PAC ， ∴AEC ∆∽ACP ∆ ∴AC AEAP AC=,即2AC PA AE =⋅. 由（1）知ABP ∆≌ACF ∆， ∴∠BAP=∠CAF ， CF PB = ∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC ＝∠ABC ＝60°. ∴APF ∆是等边三角形 ∴AP=PF∴4PB PC PC CF PF PA +=+=== 在PAB ∆与CEP ∆中， ∵∠BAP=∠ECP ， 又∠APB=∠EPC=60°， ∴PAB ∆∽CEP ∆ ∴PB PAPE PC=,即PB PC PA PE ⋅=⋅ 由（2）2AC PA AE =⋅，∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+= ∴()22AC PB PC PA AE PA PE PA AE PE PA +⋅=⋅+⋅=+=∴22222243PB PC PA AC PA AB ⋅=-=-=-=因此PB 和PC 的长是方程2430x x --=的解．解这个方程，得11x =， 23x =． ∵PB<PB ，∴PB=11x =，PC=23x =， ∴PB 和PC 的长分别是1和3。
中考数学专题复习圆的综合的综合题附详细答案
中考数学专题复习圆的综合的综合题附详细答案一、圆的综合1．如图，点A、B、C分别是⊙O上的点， CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，AP=AC．（1）若∠B=60°，求证：AP是⊙O的切线；（2）若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E，CD=4，求BE·AB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）8．【解析】（1）求出∠ADC的度数，求出∠P、∠ACO、∠OAC度数，求出∠OAP=90°，根据切线判定推出即可；（2）求出BD长，求出△DBE和△ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案．试题解析：连接AD，OA，∵∠ADC=∠B，∠B=60°，∴∠ADC=60°，∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ACO=180°-90°-60°=30°，∵AP=AC，OA=OC，∴∠OAC=∠ACD=30°，∠P=∠ACD=30°，∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°，即OA⊥AP，∵OA为半径，∴AP是⊙O切线．（2）连接AD，BD，∵CD是直径，∴∠DBC=90°，∵CD=4，B为弧CD中点，∴BD=BC=，∴∠BDC=∠BCD=45°，∴∠DAB=∠DCB=45°，即∠BDE=∠DAB，∵∠DBE=∠DBA，∴△DBE∽△ABD，∴，∴BE•AB=BD•BD=．考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质．2．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）（性质应用）①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．【答案】见解析.【解析】【分析】（1）根据切线长定理即可得出结论；（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．求证：AD+BC=AB+CD．证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．故答案为：B，D；②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40．故答案为：40；③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．3．如图1，以边长为4的正方形纸片ABCD的边AB为直径作⊙O，交对角线AC于点E．（1）图1中，线段AE=；（2）如图2，在图1的基础上，以点A为端点作∠DAM=30°，交CD于点M，沿AM将四边形ABCM剪掉，使Rt△ADM绕点A逆时针旋转（如图3），设旋转角为α（0°＜α＜150°），在旋转过程中AD与⊙O交于点F．①当α=30°时，请求出线段AF的长；②当α=60°时，求出线段AF的长；判断此时DM与⊙O的位置关系，并说明理由；③当α=°时，DM与⊙O相切．【答案】（1）2（2）①2②2，相离③当α=90°时，DM与⊙O相切【解析】（1）连接BE，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAC=45°，∴△AEB是等腰直角三角形，又∵AB=8，∴AE=4；（2）①连接OA、OF，由题意得，∠NAD=30°，∠DAM=30°，故可得∠OAM=30°，∠DAM=30°，则∠OAF=60°，又∵OA=OF，∴△OAF是等边三角形，∵OA=4，∴AF=OA=4；②连接B'F，此时∠NAD=60°，∵AB'=8，∠DAM=30°，∴AF=AB'cos∠DAM=8×=4；此时DM与⊙O的位置关系是相离；③∵AD=8，直径的长度相等，∴当DM与⊙O相切时，点D在⊙O上，故此时可得α=∠NAD=90°．点睛：此题属于圆的综合题，主要是仔细观察每一次旋转后的图形，根据含30°角的直角三角形进行计算，另外在解答最后一问时，关键是判断出点D的位置，有一定难度．4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB， DF．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若DB平分∠ADC，AB=52AD，∶DE=4∶1，求DE的长．【答案】(1)见解析;(2)5【解析】分析：（1）直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF，再求出∠FDO=∠FCO=90°，得出答案即可；（2）首先得出AB=BC即可得出它们的长，再利用△ADC～△ACE，得出AC2=AD•AE，进而得出答案．详解：（1）连接OD．∵OD=CD，∴∠ODC=∠OCD．∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠EDC=90°．∵点F为CE的中点，∴DF=CF=EF，∴∠FDC=∠FCD，∴∠FDO=∠FCO．又∵AC⊥CE，∴∠FDO=∠FCO=90°，∴DF是⊙O的切线．（2）∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=∠ABC=90°．∵DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∴¶AB=¶BC，∴BC=AB=52．在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100．又∵AC⊥CE，∴∠ACE=90°，∴△ADC～△ACE，∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD•AE．设DE为x，由AD：DE=4：1，∴AD=4x，AE=5x，∴100=4x•5x，∴x=5，∴DE=5．点睛：本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质，正确得出AC2=AD•AE是解题的关键．5．如图，在直角坐标系中，已知点A(－8，0)，B(0，6)，点M在线段AB上。
备战中考数学圆的综合综合经典题含答案解析
备战中考数学圆的综合综合经典题含答案解析一、圆的综合1．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；（3）设MBN∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析【解析】试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，∴OA旋转了45°．∴OA在旋转过程中所扫过的面积为24523602ππ⨯=．（2）∵MN∥AC，∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．又∵BA=BC，∴AM=CN．又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．∴∠AOM=∠CON=12（∠AOC-∠MON）=12（90°-45°）=22.5°．∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．证明：延长BA交y轴于E点，则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，∴∠AOE=∠CON．又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．∴△OAE≌△OCN．∴OE=ON，AE=CN．又∵∠MOE=∠MON=45°，OM=OM，∴△OME≌△OMN．∴MN=ME=AM+AE．∴MN=AM+CN，∴p=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．考点：旋转的性质.2．如图，以O为圆心，4为半径的圆与x轴交于点A，C在⊙O上，∠OAC=60°．（1）求∠AOC的度数；（2）P为x轴正半轴上一点，且PA=OA，连接PC，试判断PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）有一动点M从A点出发，在⊙O上按顺时针方向运动一周，当S△MAO=S△CAO时，求动点M所经过的弧长，并写出此时M点的坐标．【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3）．【解析】【分析】（1）由于∠OAC=60°，易证得△OAC是等边三角形，即可得∠AOC=60°．（2）由（1）的结论知：OA=AC，因此OA=AC=AP，即OP边上的中线等于OP的一半，由此可证得△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，由此可判断出PC与⊙O的位置关系．（3）此题应考虑多种情况，若△MAO、△OAC的面积相等，那么它们的高必相等，因此有四个符合条件的M点，即：C点以及C点关于x轴、y轴、原点的对称点，可据此进行求解．【详解】（1）∵OA=OC，∠OAC=60°，∴△OAC是等边三角形，故∠AOC=60°．（2）由（1）知：AC=OA，已知PA=OA，即OA=PA=AC；∴AC=1OP，因此△OCP是直角三角形，且∠OCP=90°，2而OC是⊙O的半径，故PC与⊙O的位置关系是相切．（3）如图；有三种情况：①取C点关于x轴的对称点，则此点符合M点的要求，此时M点的坐标为：M1（2，﹣3劣弧MA的长为：6044 1803ππ⨯=；②取C点关于原点的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M2（﹣2，﹣3劣弧MA的长为：12048 1803ππ⨯=；③取C点关于y轴的对称点，此点也符合M点的要求，此时M点的坐标为：M3（﹣2，3优弧MA的长为：240416 1803ππ⨯=；④当C、M重合时，C点符合M点的要求，此时M4（2，3）；优弧MA的长为：300420 1803ππ⨯=；综上可知：当S△MAO=S△CAO时，动点M所经过的弧长为481620,,,3333ππππ对应的M点坐标分别为：M1（2，﹣3M2（﹣2，﹣3）、M3（﹣2，3M4（2，3【点睛】本题考查了切线的判定以及弧长的计算方法，注意分类讨论思想的运用，不要漏解．3．如图1，已知扇形MON2，∠MON=90°，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA=x，∠COM的正切值为y.（1）如图2，当AB⊥OM时，求证：AM=AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.【答案】 (1)证明见解析;(2) 2=+y x 02<≤x 1422=x . 【解析】 分析：（1）先判断出∠ABM =∠DOM ，进而判断出△OAC ≌△BAM ，即可得出结论； （2）先判断出BD =DM ，进而得出DM ME BD AE =，进而得出AE =122x （），再判断出2OA OC DM OE OD OD==，即可得出结论； （3）分三种情况利用勾股定理或判断出不存在，即可得出结论．详解：（1）∵OD ⊥BM ，AB ⊥OM ，∴∠ODM =∠BAM =90°．∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M ，∴∠ABM =∠DOM ．∵∠OAC =∠BAM ，OC =BM ，∴△OAC ≌△BAM ，∴AC =AM ．（2）如图2，过点D 作DE ∥AB ，交OM 于点E ．∵OB =OM ，OD ⊥BM ，∴BD =DM ．∵DE ∥AB ，∴DM ME BD AE =，∴AE =EM ．∵OM 2，∴AE =122x （）． ∵DE ∥AB ，∴2OA OC DM OE OD OD ==， ∴22DM OA y OD OE x =∴=+，02x ≤＜ （3）（i ） 当OA =OC 时．∵111222DM BM OC x ===．在Rt △ODM 中，222124OD OM DM x =-=-． ∵2121224x DM y OD x x ==+-，1422x =，或1422x =（舍）． （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ．∵∠ACO ＞∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO ＞∠AOC，∴此种情况不存在．（ⅲ）当CO=CA时，则∠COA=∠CAO=α．∵∠CAO＞∠M，∠M=90°﹣α，∴α＞90°﹣α，∴α＞45°，∴∠BOA=2α＞90°．∵∠BOA≤90°，∴此种情况不存在．即：当△OAC为等腰三角形时，x的值为1422．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关性质，勾股定理，等腰三角形的性质，建立y关于x的函数关系式是解答本题的关键．4．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan A=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BDAE DE AD==．∵Rt△ABD中，tan A=BDAD=12，∴DE BEAE DE==12，∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．5．如图，点P是正方形ABCD内的一点，连接PA，PB，PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P'CB的位置.(1)设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图中阴影部分)的面积；(2)若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长.【答案】(1) S阴影=(a2-b2)；(2)PC=6.【解析】试题分析：（1）依题意，将△P′CB逆时针旋转90°可与△PAB重合，此时阴影部分面积=扇形BAC的面积-扇形BPP'的面积，根据旋转的性质可知，两个扇形的中心角都是90°，可据此求出阴影部分的面积．（2）连接PP'，根据旋转的性质可知：BP=BP'，旋转角∠PBP'=90°，则△PBP'是等腰直角三角形，∠BP'C=∠BPA=135°，∠PP'C=∠BP'C-∠BP'P=135°-45°=90°，可推出△PP'C是直角三角形，进而可根据勾股定理求出PC的长．试题解析：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB=S△P'CB，S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′=（a2-b2）；（2）连接PP′，根据旋转的性质可知：△APB≌△CP′B，∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，∴△PBP'是等腰直角三角形，P'P2=PB2+P'B2=32；又∵∠BP′C=∠BPA=135°，∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°，即△PP′C是直角三角形．PC==6．考点：1.扇形面积的计算；2.正方形的性质；3.旋转的性质．6．如图，在△ABP中,C是BP边上一点,∠PAC=∠PBA,⊙O是△ABC的外接圆,AD是⊙O的直径,且交BP于点E.（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°进而得出答案；（2）首先得出△CAG∽△BAC，进而得出AC2=AG·AB，求出AC即可.试题解析：（1）连接CD,如图,∵AD是⊙O的直径,∴∠ACD=90°,∴∠CAD+∠D=90°，∵∠PAC=∠PBA，∠D=∠PBA，∴∠CAD+∠PAC=90°，即∠PAD=90°，∴PA⊥AD，∴PA是⊙O的切线；（2）∵CF⊥AD，∴∠ACF+∠CAF=90°，∠CAD+∠D=90°，∴∠ACF=∠D，∴∠ACF=∠B，而∠CAG=∠BAC，∴△ACG∽△ABC，∴AC：AB=AG：AC，∴AC2=AG•AB=12，∴AC=23．7．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G．（1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：AG2=AF·AB；（3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积.【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3.【解析】试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切．（2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论.（3）连接BD，由AG2=AF•AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案．试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下：如答图1，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°.∴∠D+∠CAD=90°.∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D.∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA.∵点A在圆上，∴PA与⊙O相切．（2）证明：如答图2，连接BG，∵AD为⊙O的直径，CG⊥AD，∴»».∴∠AGF=∠ABG.AC AD∵∠GAF=∠BAG，∴△AGF∽△ABG.∴AG：AB=AF：AG. ∴AG2=AF•AB.（3）如答图3，连接BD，∵AD是直径，∴∠ABD=90°.∵AG2=AF•AB，55∴5∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°.∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AF AB AD =，即51045AE =，解得：AE=2. ∴221EF AF AE =-=. ∵224EG AG AE =-=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴1132322AFG S FG AE ∆=⋅⋅=⨯⨯=．考点：1. 圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3. 相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.8．在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为（x 1，y 1），点N 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”．（1）已知点A （2，0），B （0，23），则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为 ；（2）若点C （1，2），点D 在直线y=5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；（3）⊙O 的半径为2，点P 的坐标为（3，m ）．若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．【答案】（1）60°；（2）y=x+1或y=﹣x+3；（3）1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1【解析】分析：（1）根据定义建立以AB为边的“坐标菱形”，由勾股定理求边长AB=4，可得30度角，从而得最小内角为60°；（2）先确定直线CD与直线y=5的夹角是45°，得D（4，5）或（﹣2，5），易得直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3，根据等腰直角三角形的性质分别求P'B=BD=1，PB=5，写出对应P的坐标；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4，同理可得结论．详解：（1）∵点A（2，0），B（0，3∴OA=2，OB3．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB22（），∴∠ABO=30°．223∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=2∠ABO=60°．∵AB∥CD，∴∠DCB=180°﹣60°=120°，∴以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为60°．故答案为：60°；（2）如图2．∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．过点C作CE⊥DE于E，∴D（4，5）或（﹣2，5），∴直线CD的表达式为：y=x+1或y=﹣x+3；（3）分两种情况：①先作直线y=x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=x，如图3．∵⊙O2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD2OQ'=2，∴P'D=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，5），∴当1≤m≤5时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；②先作直线y=﹣x，再作圆的两条切线，且平行于直线y=﹣x，如图4．∵⊙O的半径为2，且△OQ'D是等腰直角三角形，∴OD=2OQ'=2，∴BD=3﹣2=1．∵△P'DB是等腰直角三角形，∴P'B=BD=1，∴P'（0，﹣1），同理可得：OA=2，∴AB=3+2=5．∵△ABP是等腰直角三角形，∴PB=5，∴P（0，﹣5），∴当﹣5≤m≤﹣1时，以QP为边的“坐标菱形”为正方形；综上所述：m的取值范围是1≤m≤5或﹣5≤m≤﹣1．点睛：本题是一次函数和圆的综合题，考查了菱形的性质、正方形的性质、点P，Q的“坐标菱形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考创新题目．9．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．（1）求证：△BOC≌△CDA．（2）若AB=2，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）433π-.【解析】分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O 为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=12AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到OH=3BH=3，OB=2OH=23，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB进行计算即可.详解:（1）证明：∵O是△ABC的内心，∴∠2=∠3，∠5=∠6，∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠6，∴△BOC≌△CDA（AAS）(2)由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，∴∠ABC=∠ACB∴AB=AC∴△ABC是等边三角形∴O是△ABC的内心也是外心∴OA =OB =OC设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC . 在Rt △OCE 中，CE=12AC=12AB=1，∠OCE=30°， ∴OA=OB=OC=233∵∠AOC=120°，∴=AOB AOB S S S -V 阴影扇 =21202313()23602π-⨯⨯=4339π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.10．已知A （2,0），B （6,0），CB ⊥x 轴于点B ，连接AC 画图操作：（1）在y 正半轴上求作点P ，使得∠APB=∠ACB （尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下， ①若tan ∠APB 12=，求点P 的坐标 ②当点P 的坐标为 时，∠APB 最大 拓展延伸： （3）若在直线y 43=x+4上存在点P ，使得∠APB 最大，求点P 的坐标【答案】（1）图形见解析（2）（0，2），（0，4）（0，23）（3）（953-，1255）【解析】试题分析：（1）以AC为直径画圆交y轴于P，连接PA、PB，∠PAB即为所求；（2）①由题意AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）；②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：（1）∠APB如图所示；（2）①如图2中，∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB=12=ABBC．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC22AC AB-3，∴C（6，3∴K（4，2），∴P（0，3案为：（0，3（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y=43x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4）．∵MP是切线，∴MP2=MA•MB，∴MP5PK ⊥OA 于K ．∵ON ∥PK ，∴ON PK =OM MK =NM MP ，∴4PK =3MK =535，∴PK =1255，MK =955，∴OK =955﹣3，∴P （955﹣3，1255）．点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题．11．如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，点O 在AB 上，⊙O 经过A 、D 两点，交AC 于点E ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径是2cm ，E 是弧AD 的中点，求阴影部分的面积（结果保留π和根号）【答案】（1）证明见解析 （2）233π- 【解析】 【分析】（1）连接OD ，只要证明OD ∥AC 即可解决问题；（2）连接OE ，OE 交AD 于K ．只要证明△AOE 是等边三角形即可解决问题． 【详解】 （1）连接OD ．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线．（2）连接OE，OE交AD于K．∵¶¶AE DE=，∴OE⊥AD．∵∠OAK=∠EAK，AK=AK，∠AKO=∠AKE=90°，∴△AKO≌△AKE，∴AO=AE=OE，∴△AOE是等边三角形，∴∠AOE=60°，∴S阴=S扇形OAE﹣S△AOE26023360π⋅⋅=-⨯22233π=-．【点睛】本题考查了切线的判定、扇形的面积、等边三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．如图，⊙O的直径AB＝8，C为圆周上一点，AC＝4，过点C作⊙O的切线l，过点B 作l的垂线BD，垂足为D，BD与⊙O交于点E．（1）求∠AEC的度数；（2）求证：四边形OBEC是菱形．【答案】（1）30°；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）易得△AOC是等边三角形，则∠AOC＝60°，根据圆周角定理得到∠AEC＝30°；（2）根据切线的性质得到OC⊥l，则有OC∥BD，再根据直径所对的圆周角为直角得到∠AEB＝90°，则∠EAB＝30°，可证得AB∥CE，得到四边形OBE C为平行四边形，再由OB ＝OC，即可判断四边形OBEC是菱形．【详解】（1）解：在△AOC中，AC＝4，∵AO＝OC＝4，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠AEC＝30°；（2）证明：∵OC⊥l，BD⊥l．∴OC∥BD．∴∠ABD ＝∠AOC ＝60°． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∴△AEB 为直角三角形，∠EAB ＝30°． ∴∠EAB ＝∠AEC ． ∴CE ∥OB ，又∵CO ∥EB ∴四边形OBEC 为平行四边形． 又∵OB ＝OC ＝4． ∴四边形OBEC 是菱形． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了圆周角定理及其推论以及菱形的判定方法．13．（问题情境）如图1，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 上一点，连接BE 、CE ．求证：BCE 1S 2=V S 平行四边形ABCD ．（说明：S 表示面积） 请以“问题情境”为基础，继续下面的探究（探究应用1）如图2，以平行四边形ABCD 的边AD 为直径作⊙O ，⊙O 与BC 边相切于点H ，与BD 相交于点M ．若AD ＝6，BD ＝y ，AM ＝x ，试求y 与x 之间的函数关系式． （探究应用2）如图3，在图1的基础上，点F 在CD 上，连接AF 、BF ，AF 与CE 相交于点G ，若AF ＝CE ，求证：BG 平分∠AGC ．（迁移拓展）如图4，平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°，E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1，过D 分别作DG ⊥AF 于G ，DH ⊥CE 于H ，请直接写出DG ：DH 的值．【答案】【问题情境】见解析；【探究应用1】18y x=；【探究应用2】见解析；【迁移1927 【解析】 【分析】（1）作EF ⊥BC 于F ，则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ，即可得出结论；（2）连接OH ，由切线的性质得出OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3，求出平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝18，由圆周角定理得出AM ⊥BD ，得出△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9，即可得出结果；（3）作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积，得出12AF×BM ＝12CE×BN ，证出BM ＝BN ，即可得出BG 平分∠AGC ．（4）作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，由平行四边形的性质得出∠ABP ＝60°，得出∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，由直角三角形的性质得出BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝BP ＝，由已知得出BE ＝2x ，BF ＝2x ，得出BQ ＝x ，EQ x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ，由勾股定理求出AF ＝x ，CE，连接DF 、DE ，由三角形的面积关系得出AF×DG ＝CE×DH ，即可得出结果．【详解】（1）证明：作EF ⊥BC 于F ，如图1所示： 则S △BCE ＝12BC×EF ，S 平行四边形ABCD ＝BC×EF ， ∴12BCE ABCD S S =V Y ． （2）解：连接OH ，如图2所示： ∵⊙O 与BC 边相切于点H ， ∴OH ⊥BC ，OH ＝12AD ＝3， ∴平行四边形ABCD 的面积＝AD×OH ＝6×3＝18， ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠AMD ＝90°， ∴AM ⊥BD ， ∴△ABD 的面积＝12BD×AM ＝12平行四边形的面积＝9， 即12xy ＝9， ∴y 与x 之间的函数关系式y ＝18x； （3）证明：作BM ⊥AF 于M ，BN ⊥CE 于N ，如图3所示：同图1得：△ABF 的面积＝△BCE 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴12AF×BM ＝12CE×BN ， ∵AF ＝CE ， ∴BM ＝BN ，∴BG 平分∠AGC ．（4）解：作AP ⊥BC 于P ，EQ ⊥BC 于Q ，如图4所示： ∵平行四边形ABCD 中，AB ：BC ＝4：3，∠ABC ＝120°， ∴∠ABP ＝60°，∴∠BAP ＝30°，设AB ＝4x ，则BC ＝3x ，∴BP ＝12AB ＝2x ，BQ ＝12BE ，AP ＝3BP ＝23x ， ∵E 是AB 的中点，F 在BC 上，且BF ：FC ＝2：1， ∴BE ＝2x ，BF ＝2x ， ∴BQ ＝x ，∴EQ ＝3x ，PF ＝4x ，QF ＝3x ，QC ＝4x ， 由勾股定理得：AF ＝22AP PF +＝27x ，CE ＝22EQ QC +＝19x ，连接DF 、DE ，则△CDE 的面积＝△ADF 的面积＝12平行四边形ABCD 的面积， ∴AF×DG ＝CE×DH ，∴DG ：DH ＝CE ：AF ＝19x :27x 19:27=．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、平行四边形的性质、三角形面积公式、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的判定等知识；本题综合性强，需要添加辅助线，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．14．已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠DAB ＝120°，BC ＝CD ，AD ＝4，AC ＝7，求AB 的长度．【答案】AB ＝3．【解析】【分析】 作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD =u u u r u u u r ，进而得到∠DAC ＝∠CAB ＝60°，在Rt △ADE 中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE ＝23，AE ＝2，再由Rt △DEC 中，根据勾股定理求出DC 的长，在△BFC 和△ABF 中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长，然后根据求出的两个结果，由AB ＝2AF ，分类讨论求出AB 的长即可.【详解】作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，∵BC ＝CD ，∴BC CD =u u u r u u u r ，∴∠CAB ＝∠DAC ，∵∠DAB ＝120°，∴∠DAC ＝∠CAB ＝60°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°，∴sin60°＝4DE ，cos60°＝4AE ， ∴DE ＝3AE ＝2，∵AC ＝7，∴CE ＝5，∴DC= ∴BC ，∵BF ⊥AC ，∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°，∴tan60°＝BF AF，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF，∴()2227AF +-=， ∴AF ＝2或AF ＝32， ∵cos60°＝AF AB， ∴AB ＝2AF ，当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4，∴AB ＝AD ，∵DC ＝BC ，AC ＝AC ，∴△ADC ≌△ABC （SSS ），∴∠ADC ＝∠ABC ，∵ABCD 是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC ＝180°，∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，但AC 2＝49，2222453AD DC +=+=，AC 2≠AD 2+DC 2，∴AB ＝4（不合题意，舍去）， 当AF ＝32时，AB ＝2AF ＝3， ∴AB ＝3．【点睛】 此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.15．在△ABC 中，0090,60ACB BAC ∠=∠=，AC=2，P 为△ABC 所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC ．（1）如图1,已知，APB BPC APC ∠=∠=∠，以A 为旋转中心，将APB ∆顺时针旋转60度，得到AMN ∆.①请画出图形，并求证：C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上；②求PA+PB+PC 的值.（2）如图2，如果点P 满足090BPC ∠=，设Q 为AB 边中点，求PQ 的取值范围.【答案】（1）①详见解析；②27；（2）31312PQ PQ -≤≤+≠且；【解析】【分析】（1）①欲证明C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上，只要证明∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°即可；②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN ，在Rt △CBN 中，利用勾股定理求出NC 即可； （2）如图2中，由∠BPC=90°，推出点P 在以BC 为直径的圆上（P 不与B 、C 重合），设BC 的中点为O ，作直线OQ 交⊙O 与P 和P′，可得PQ 的最小值为3-1，PQ 的最大值为3+1，PQ≠2，由此即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图，∵△APB ≌△AMN ，△APM 是等边三角形，∴∠APM=∠APM=60°，∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°，∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°，∴∠APC+∠APM=180°，∠AMN+∠AMP=180°，∴C、P、M、N四点在同一条直线上；②解：连接BN,易得ΔABN是等边三角形∴∠ABN=60°，∵∠ABC=30°，∴∠NBC=90°，∵AC=2，∴AB=BN=4，BC=23，∵PA=PM，PB=MN，∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在Rt△CBN中，CN=22+=，BC BN27∴PA+PB+PC=27．(2) 如图2中，∵∠BPC=90°，∴点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交⊙O与P和P′，可得PQ3-1，PQ3+1，PQ≠2，∴33+1且PQ≠2．∴≤≤≠的取值范围是且PQ31PQ31PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。
备战中考数学复习圆的综合专项综合练附详细答案
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．【解析】试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．试题解析：（1）连接FE，∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．∵，即．∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．（2）作图如下：P（7，7），PH是分割线．考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．2．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt △PDC 中，∵sin ∠P=23CD PD =，PC=25 ， 令CD=2x ，PD=3x ，由由勾股定理得：（3x ）2-(2x)2=(25)2，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD 的面积为6×4=24，Rt △CED 的面积为12×4×2=4， 扇形ABE 的面积为12π×42=4π， ∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.3．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧().AB ()1用直尺和圆规作出AB 所在圆的圆心O ；(要求保留作图痕迹，不写作法)()2若AB 的中点C 到弦AB 的距离为2080m AB m =，，求AB 所在圆的半径．【答案】(1)见解析；（2）50m【解析】分析：()1连结AC 、BC ，分别作AC 和BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O ，如图1；()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，根据垂径定理的推论，由C 为AB 的中点得到1OC AB AD BD AB 402⊥===，，则CD 20=，设O 的半径为r ，在Rt OAD 中利用勾股定理得到222r (r 20)40=-+，然后解方程即可．详解：()1如图1，点O 为所求；()2连接OA OC OC ，，交AB 于D ，如图2，C 为AB 的中点，OC AB ∴⊥， 1402AD BD AB ∴===， 设O 的半径为r ，则20OA r OD OD CD r ==-=-，，在Rt OAD 中，222OA OD AD =+，222(20)40r r ∴=-+，解得50r =，即AB 所在圆的半径是50m ．点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题．4．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。
专题八 平面直角坐标系中圆的综合题
专题八 平面直角坐标系中圆的综合题1．如图，⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝x 2－2上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_______．2．如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y ＝12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12x 2的图象，则阴影部分的面积是_______．3．如图，矩形ABCD 的长AB ＝6 cm ，宽AD ＝3 cm ．O 是AB 的中点，OP ⊥AB ，两半圆的直径分别为AO 与OB ．抛物线y ＝ax 2经过C 、D 两点，则图中阴影部分的面积是_______cm 2．4．如图，C 是⊙O 优弧ACB 上的中点，弦AB ＝6 cm ，E 为OC 上任意一点，动点F 从点A 出发，以每秒1 cm 的速度沿AB 方向向点B 匀速运动，若y ＝AE 2－EF 2，则y 与动点F 的运动时间x (0≤x ≤6)秒的函数关系式为_______． 5．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k x经过正方形AOBC对角线的交点，半径为 (4－22)的圆内切于△ABC ，则k 的值为_______．6．如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝33x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝_______． 7．如图，直径为5的⊙M 的圆心在x 轴正半轴上，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，且CD ＝4，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、B 、C 三点，顶点为N ． (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；(2)直线CN 与x 轴交于点E ，试判断直线CN 与⊙M 的位置关系，并说明理由；(3)设Q 是(1)中所求抛物线对称轴上的一点，试问在 (1)中所求抛物线上是否存在点P ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（0，2p ），且a c ＝14．(1)若该函数的图象经过点( 1，－1)．①求使y <0成立的x 的取值范围；②若圆心在该函数的图象上的圆与x 轴、y 轴都相切，求圆心的坐标；(2)经过A(0，p)的直线与该函数的图象相交于M ，N 两点，过M ，N 作x 轴的垂线，垂足分别为M 1，N 1，设△MAM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3，是否存在m ，使得对任意实数p ≠0都有S 22＝mS 1S 3成立，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （－94，0），点C(0，3)，B 是x 轴上一点（位于点A 右侧），以AB 为直径的圆恰好经过点C ．(1)求∠ACB 的度数；(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（0，－2）、（－2，2）、(2，2) 2．2π3．984．y＝－x2＋6x5．4 6．9 7．(1)y＝12x2－32x＋2 (2)CN是⊙M的切线(3)存在点P的坐标为(132，758)(－72，758)(32，－258)8．(1)①全体实数②（1，－1）或(－1，－1)(2)存在m＝49．(1)90°(2)y＝－13（x－4）（x＋94）(3)存在D1(2，32)、D2（45，125）。
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专题八 平面直角坐标系中圆的综合题
1．如图，⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线y ＝x 2－2上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为_______．
2．如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y ＝
12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12
x 2的图象，则阴影部分的面积是_______． 3．如图，矩形ABCD 的长AB ＝6 cm ，宽AD ＝3 cm ．O 是AB 的中点，OP ⊥AB ，两半圆的直径分别为
AO 与OB ．抛物线y ＝ax 2经过C 、D 两点，则图中阴影部分的面积是_______cm 2．
4．如图，C 是⊙O 优弧ACB 上的中点，弦AB ＝6 cm ，E 为OC 上任意一点，动点F 从点A 出发，以每
秒1 cm 的速度沿AB 方向向点B 匀速运动，若y ＝AE 2－EF 2，则y 与动点F 的运动时间x (0≤x ≤6)秒的函数关系式为_______．
5．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝
k x
经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为 (4－22)的圆内切于△ABC ，则k 的值为_______．
6．如图，三个半圆彼此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线y ＝33
x 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝_______．
7．如图，直径为5的⊙M 的圆心在x 轴正半轴上，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 、D 两点，
且CD ＝4，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、B 、C 三点，顶点为N ．
(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；
(2)直线CN 与x 轴交于点E ，试判断直线CN 与⊙M 的位置关系，并说明理由；
(3)设Q 是(1)中所求抛物线对称轴上的一点，试问在 (1)中所求抛物线上是否存在点P ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的顶点坐标为（0，
2p ），且a c ＝14． (1)若该函数的图象经过点( 1，－1)．
①求使y <0成立的x 的取值范围；
②若圆心在该函数的图象上的圆与x 轴、y 轴都相切，求圆心的坐标；
(2)经过A(0，p)的直线与该函数的图象相交于M ，N 两点，过M ，N 作x 轴的垂线，垂足分别为M 1，N 1，设△MAM 1、△AM 1N 1、△ANN 1的面积分别为S 1、S 2、S 3，是否存在m ，使得对任意实数p≠0都有S 22＝mS 1S 3成立，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点A （－
94
，0），点C(0，3)，B 是x 轴上一点（位于点A 右侧），以AB 为直径的圆恰好经过点C ．
(1)求∠ACB 的度数；
(2)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A 、B 两点，求抛物线的解析式；
(3)线段BC 上是否存在点D ，使△BOD 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．（0，－2）、（－2，2）、(2，2) 2．2π 3．9
8
4．y＝－x2＋6x5．4 6．9 7．(1)y＝
1
2
x2
－3
2
x＋2 (2)CN是⊙M的切线(3)存在点P的坐标为(
13
2
，
75
8
)(－
7
2
，
75
8
)(
3
2
，－
25
8
)8．(1)①
全体实数②（1，－1）或(－1，－1)(2)存在m＝49．(1)90°
(2)y＝－1
3
（x－4）（x＋
9
4
）(3)存在D1(2，
3
2
)、D2（
4
5
，
12
5
）。