自动控制原理基本知识点和重点难点-第4章
自动控制原理-第4章 根轨迹
又 ∵ 根轨迹方程
n
n
(spi) sn( pi)sn 1L
n
m
Kim 1
i 1 m
snm( pi zj)snm 1L
(szj) sm( zj)sm 1L
i 1
j 1
j 1
j 1
n
m
∴ sn-m-1项系数对应相等
(nm)(a) pi zj
n
m
i1
j1
(2k 1) ,
nm
pi zi
闭环零、极点与开环零、极点的关系
闭环传递函数 (s) G(s)
1G(s)H(s)
开环传递函数 Gk(s)G(s)H(s)
f
l
(s zi)
(s z j)
G (s) KG
i 1 q
H
(s)
K
H
j 1 h
(s pi)
(s p j)
i 1
j 1
f
l
(szi)(szj)
Gk(s)G(s)H(s)K
如何应用根轨迹方程在[s]平面上找到闭环极点。
解： G ( s ) K 0 .5 K K * s(2 s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
K * 0.5 K 开 环 极 点 p1 0， p2 0.5 无开环零点 根据相角方程
s2
p2 4 5 o -0.5 s1
135o
p1 0
m
(s z j)
K j1 n
1
(s pi)
i1
m
n
(szj) (spi)(2k1)
j1
i1
k0,1,2,L
（1）相角条件是决定闭环根轨迹的充要条件； 在测量相角时，规定以逆
自动控制原理与应用 第4章
2) 稳态性能 由图4-2可见，开环系统在坐标原点有一个极点，所以系 统属1型系统，因而根轨迹上的K值就是静态误差系数。如果给 定了系统的稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位 置的容许范围。在一般情况下，根轨迹图上标注出来的参数不 是开环增益，而是所谓根轨迹增益。 下面将要指出，开环增益和根轨迹增益之间仅相差一个比 例常数，很容易进行换算。对于其他参数变化的根轨迹图，情 况是类似的。
图4-2 二阶系统的根轨迹
2. 根轨迹与系统性能 画出根轨迹的目的是利用根轨迹来分析系统的各种性能， 以图4-2为例进行说明。 1) 稳定性 当开环增益由零变到无穷时，图4-2上的根轨迹不会越过 虚轴进入右半s平面，因此图4-1所示系统对所有的K值都是稳 定的。在分析高阶系统的根轨迹图时，根轨迹若越过虚轴进入 s右半平面，则根轨迹与虚轴交点处的K值即为临界开环增益。
为了说明根轨迹的概念，我们以图4-1所示的二阶系统为 例，介绍根轨迹的基本概念。
图4-1 二阶系统结构图
由图4-1可知，系统的开环传递函数为
G(s) K 2K
(4-1)
s(0.5s 1) s(s 2)
开环传递函数有p1=0, p2=－2两个极点，没有零点, 式中K 为开环增益。系统的闭环传递函数为
即
m
(s zi )
i 1 n
开环有限零点到 根轨迹上点 s的矢量长度之积 开环极点到根轨迹上点 s的矢量长度之积
1
K*
(s p j )
j 1
和
(4-9)
m
n
m
n
(s zi ) (s p j ) i j
当K=∞时，s1=-1+j∞, s2=-1-j∞，沿上述直线趋于无穷远。 如图4-2所示，当K由0→∞变化时，闭环特征根在s平面上 移动的轨迹就是系统的根轨迹，直观地表示了K变化时闭环特 征根的变化，给出了K变化时对闭环特征根在s平面上分布的影 响。因此，可通过根轨迹的变化趋势来判定系统的稳定性，确 定系统的品质。这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法称 为解析法。
自动控制原理基本知识点和重点难点-第4章
《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析2011年11月第4章 根轨迹法1、内容提要闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。
根轨迹法就是这样的一种图解方法。
它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。
只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。
从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。
而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。
依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：()()*111mii njj K s z s p ==+±=±+∏∏ （4-1）这4种可能又归结为()()()*1*11,0mii njj s z KK s p ==+=±>+∏∏ （4-2）根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
2、基本内容闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
自动控制原理第4章(2)
j
1 1 1 + = ( d + 1 + j ) ( d + 1- j ) d + 2
d1 = - 3.414, d 2 = - 0.586(舍去）
2
0
5、起始角：
pi (2k 1) （所有开环零点到起始点相角之和-所有开环极点到起始点相角之和）
qp1 = 180? ? ( 2 + 1- j) - 90? 135?, qp 2 - 135
绘制系统的根轨迹，并求系统有超调响应时K*的取值范围。(P153) 解：1、一个开环零点z1=-2，两个开环极点p1=-1+j,p2=-1-j； 两条根轨迹分支；有一个无穷远处的零点。 2、实轴上根轨迹（-，-2]。 3、渐近线与负实轴重合。 4、求分离点：
j = (2k + 1)p , k = 0, j 1 = p 2- 1
• 法则4：实轴上根轨迹
在实轴上某区域右侧的实数开环零、极点个数之和为奇数， 则该区域为根轨迹。
• 法则5：根轨迹分离点
m 1 1 设分离点坐标为d,则 j 1 d p j i 1 d zi n
6、根轨迹的起始角和终止角： 根轨迹的起始角是根轨迹离开开环复数极点处切线与 正实轴的夹角：
=1
Ta = 0.8
作业
• P180 4-3(1) • P183 4-21
=0.5,cos=0.5, =60°
s1 = - 0.5+j 3 / 2 s2 = - 0.5 - j 3 / 2
等线
j
0
Ta | - 0.5 + j 3 / 2 | | - 0.5 + j 3 / 2 + 0.1+ j 0.995 || - 0.5 + j 3 / 2 + 0.1- j0.995 |
自动控制原理-第四章 线性系统的根轨迹法(4)
暂态响应呈振荡性质，其超调量主要取决于主导极点的衰
减率
1 n
d n 1 2
1 2
并与其它极点接近原点的程度有关，调整时间主要取决于主
导极点的实部
1
。
n
（4）调节时间。调节时间主要取决于最靠近虚轴的闭环复数
极点的实部绝对值 1 n 。
（5）实数零、极点影响。闭环极点的存在会增大系统的阻尼比， 使响应速度减慢，超调量减少。闭环零点的存在减小系统阻尼， 使响应速度加快，超调量增加。
4-4 系统性能的分析
系统闭环零、极点位置与暂态响应的关系：
（1）稳定性。系统的稳定性只取决于闭环极点的位置。
（2）运行形式。如果闭环系统无零点，闭环极点均为实数 极点，则系统的暂态响应为单调的；如果闭环极点均为复 数极点，则系统的暂态响应为振荡的。
（3）超调量。如果系统具有一对闭环主导极点，则系统的
4-7 线性系统根轨迹分析的MATLAB方法
1、绘制零极点分布图 ：[ p,z]=pzmap(sys);
2、绘制根轨迹图 绘制根轨迹一般步骤为： (1)先将特征方程写成 1 A P(s) 0 形式，得到等效的开 环传递函数 G A P(s) ； Q(s)
Q(s)
(2)调用rlocus命令绘制根轨迹。
Hale Waihona Puke （6）偶极子及其影响。如果系统中存在非常接近的零点和极 点，其相互距离比其本身的模值小一个数量级以上，则把这对 闭环零、极点称为偶极子。偶极子的位置距离原点非常近时， 其对暂态响应的影响一般需要考虑，但不会影响闭环主导极点 的主导作用。偶极子的位置距离原点较远时，其对暂态响应的 影响可以忽略。 （7）主导极点及高阶系统化简。在s平面上，离虚轴靠 近而附近又没有其它闭环零点的一些闭环极点 ，对系统 影响最大，称为主导极点。凡比主导极点的实部大3～6 倍以上的其他闭环零、极点，其影响均可忽略不计。对 于高阶系统，略去不十分靠近原点的偶极子，保留一个 或几个最靠近虚轴又不十分靠近闭环零点的主导极点， 将高阶系统简化为只有一、两个闭环零点和两、三个闭 环极点的二阶或三阶系统。
自动控制原理 第四章.
s1.2 1 1 K1 1 1 2 K
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
s1 0 ① K 0 s 2 2
j
2
② K 0.5 s1 s2 1 ③ K 1 s1 , 2 1 j ④ K 2.5 s1 , 2 1 j 2 p2
由于实际控制系统闭环特征方程的系数或为已知
实数，或为根轨迹增益Kg 的函数，所以当Kg 由0→∞
连续变化时，闭环特征根的变化必然也是连续的，所
以根轨迹具有连续性。 系统闭环特征方程的系数仅与系统的参数有关。
对于实际控制系统而言，这些参数都是实数。具有实
系数的闭环特征方程的根为共轭复数的形式，必然对
称于实轴。因而，根轨迹也必然பைடு நூலகம்于实轴对称。
s pi s zj
j 1
n
而 ( s z j ) ( s pi ) ( 2 K 1) ——相角方程
j 1 i 1
m
n
第 4章
根轨迹
根轨迹的基本概念(续)
若s平面上的点是闭环极点，则它与zj 、pi所组成
的相量必定满足上述两方程，而且模值方程与Kg有
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹的基本概念 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 §4-3 广义根轨迹
主要内容
1．根轨迹基本概念和根轨迹方程
2．绘制常规根轨迹的九大法则
3．参量根轨迹与零度根轨迹
第 4章
根轨迹
重点与难点
重 点
1、绘制常规根轨迹的九大法则 2、参量根轨迹与零度根轨迹 3、控制系统根轨迹法分析
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
自动控制原理第4章根轨迹法精
m
( zj )
K K*
J 1 n
( pi )
i 1
zj
1
j
(j
1,2,, m);
pi
1 Ti
(i
1,2,, n)
可写出幅值方程与相角方程，即
G(s)H (s) 1
G(s)H(s) 1
开环零点: z1 1.5; z2,3 2 j
（1）实轴（0~1.5）和（ 2.5 ~ ）有根轨迹。
（2）渐近线n=4 m=3，故只有一条根轨迹趋向无穷远。由实根
轨迹可知 180 。
（3）根轨迹出射角与入射角。
出射角
3
4
p2 ( 2K 1) ( p2 zi ) ( p2 pi )
d= -3.7
s2 4s 1 0
解法2 用公式有
1 1 1
d 1 j 2 d 1 j 2 d 2
解此方程 d1 3.7, d2 0.3
d1在根轨迹上，即为所求的分离点，d2不在根轨迹上舍去。 因为
z1 2, p1,2 1 j 2 n=2,m=1
系统有两条根轨迹，一条消失于零点，另一条趋于负无穷远 在实轴（－2，－∞）区段有根轨迹。 出射角
4.1根轨迹与根轨迹方程
什么是时域分析? 指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时
域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
4.1.1 根轨迹 4.1.2 根轨迹方程
4.1.1 根轨迹
[根轨迹定义]：系统开环传递函数增益K（或某一参数）由零到 无穷大变化时，闭环系统特征根在S平面上移动的轨迹。
例：如图所示二阶系统，
自动控制原理第四章
K
*
s p sz
j 1 i 1 m
n
i
j
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件。 当需要确定根轨迹上各点的值时，才使用模值条件。
• 知道了根轨迹上的点满足的基本条件， 仍实际上还是不能绘制出根轨迹。
• 要比较快捷的绘制根轨迹，需要找 出根轨迹的一些基本规律。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
渐近线包括两个内容：
渐近线与实轴的夹角和渐近线与实轴的交点。
规则4：渐近线与实轴的交点为
sa
pi z j
i 1 j1
n
m
nm
渐近线与实轴的夹角为
180 0 90 (2k 1)180 a nm 180 ,60 45 ,135 n m 1 nm 2 nm 3 nm 4
第四章 系统的根轨迹法
系统的性能
稳定性
动态性能
闭 环即 特闭 征环 方极 程点 的 根
开环放大倍数 开环积分环节个数
稳态误差
困
难!
困难1：系统闭环特征方程的根如何求取！
困难2：讨论或预测当系统中的某一参数发生
变化时系统闭环特征方程的根如何变 化!
参数改变，系统性能如何改变！
开环传递函数(开环零极点+开环增益)
根轨迹法的任务就是由已知的开环零极点的分布及 根轨迹增益，通过图解法找出闭环极点。 根轨迹是系统所有闭环极点的集合。
闭环极点与开环零、极点之间的关系
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点
闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
开环零极点和根轨迹增益
根轨迹图
闭环极点
分析系统
4、根轨迹方程
自动控制原理第4章
p 26.6
3
自动控制理论
14
4-2 根轨迹绘制的基本法则
八、根之和 若 n-m2 ，闭环极点之和 = 开环极点之和 = 常数
p ,
i 1 i i 1 i
n
n
nm2
表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而 另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能 维持闭环极点之和为常数。
1 G ( s) H ( s) 0 Q( s) AP( s), P( s) 1 A 0 1 G1 ( s) H1 ( s) Q( s ) P( s ) 等效开环传递函数 G1 ( s ) H1 ( s ) A Q( s)
注意：此等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相 同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。
180o根轨迹
( s z ) ( s p ) (2k 1)
j 1 i 1
(2k 1)180, (k 0,1,2,)
一、根轨迹的起点和终点 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
简要证明如下：
由模值条件
1 * K
(s z
j 1 n i 1
解：开环传递函数有二个极点，一个零点，此类有零点的二 阶系统的根轨迹其复数部分为一个圆，圆心在开环零点处， 半径为零点到分离点的距离。
自动控制理论 21
4-4 系统的性能分析
此系统的分离点：
d1 1.17, d1 6.83
K 2
*
j
利用幅值条件可求得两个分离 点处的根轨迹增益
j 1 j i 1 i
(k 0,1,2,)
K*
s p sz
j 1 i 1 m
n
自动控制原理PrinciplesofAutomaticControl
第4章 根轨迹法
由上述两式可见，幅值条件与k有关，而 相角条件与k无关。因此，把满足相角条件 的值代入到幅值条件中，一定能求得一个 与之相对应的k值。这就是说，相角条件是 确定s平面上的根轨迹的充分必要条件。换 言之,凡是满足相角条件的点必然也同时满 足幅值条件,反之,满足幅值条件的点未必都 能满足相角条件.
n
m
(s pl ) K (s zi ) 0
l 1
i 1
1
K
n
(s pl )
l 1
m
(s zi ) 0
i 1
当 K 时，它将蜕化成为m次方程，而m≤n。
m
(s zi ) 0
i 1
通常m < n , 还有n-m 条根轨迹终止在什么地方？
自动控制原理
第4章 根轨迹法
我们在上式中做置换，令 s 1
自动控制原理
第4章 根轨迹法
规则2 根轨迹的分支数、起点和终点
根轨迹的分支数等于开环极点数目与开环零点数目 大者。
系统的开环传递函数
G(s)H (s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s p1 )(s p2 )(s pn )
系统的闭环传递函数
n
m
(s pl ) K(s zi ) 0
根据上式，用试探法寻求s平面上满足相角条件的点。
1) 在正实轴上任取一试验点 s1，如图4-4(a)所示，由 于 arg s1 0，arg(s1 1) 0 ，因 而该点不满足根轨迹的相角 条件。由此可知，在正实轴 上不存在系统的根轨迹。
自动控制原理
2)在(0,–1)间的实轴上
任取一试验点s2，如图4-
！绘制注意点 1）实轴、虚轴相同的刻度
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
自控第四章
（4-7）
K 式中：
* H
为反馈通道的根轨迹增益。
* * G ( s) H ( s) K G K H
( s z ) ( s z
i 1 q i j 1 l i 1 i i 1
f
l
j
) )
（4-8）
( s p ) ( s p
j
j
K*
( s z ) ( s z
• 闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11） 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征 根。 • 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12） 式中G(s)H(s)是系统开环传递函数，该式明确表 示出开环传递函数与闭环极点的关系。
设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假 定n≥m，这时式（4－12）又可以写成：
最后绘制出根轨迹如图4－7所示。
图4－7
例4－3根轨迹
五、根轨迹的渐近线
渐近线与实轴正方向的夹角为
(2k 1) π a nm
渐近线与实轴相交点的坐标为
a
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
例4-4 已知系统的开环传递函数
K * ( s 1) G ( s) H ( s) s ( s 4)( s 2 2 s 2)
•根轨迹法可以在已知开环零、极点时，迅速求
出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环 特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹。
4－2 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数
分支数＝开环极点数 ＝开环特征方程的阶数
即为max(n,m)条。
二、根轨迹的连续性与对称性 根轨迹是连续曲线，对称于实轴
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
自动控制原理-第四章-根轨迹
snm 1 p1 1 pn
s
s
0
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s
s
s pi i 1, 2, n
K*
s p1 s pn
snm 1 p1 1 pn
s
s
s z1 s zm
1 z1 1 zm
s(0.5s 1) s(s 2)
通过系统的根轨迹图，可以很方便地对系统的动态性能和稳态性能进行 分析。不足之处是用直接解闭环特征方程根的办法，来绘出系统的根轨 迹图，这对高阶系统将是很繁重的和不现实的。
为了解决这个问题，依据反馈系统中开环、闭环传递函数的确定关系，通过开环传递函 数直接寻找闭环根轨迹正是我们下面要研究的内容。
① (s1 p2 ) 、(s1 p3 ) 两向量对称于实轴，引起的相角大小 相等、方向相反； (s1 z2 ) 、(s1 z3 ) 两向量也对称于实轴，引起的相角大 小相等、方向相反;
∴ 判断 s1是否落在根轨迹上，共轭零、极点不考虑。
② 位于s1左边的实数零、极点：(s1 z1) 、(s1 p4) 向量引起的相
GK
(s)
kg s(s 1)
解：判断某点是否在根轨迹上，应使用相角条件。求某点对应的根轨迹增益值，应使用 幅值条件。
s1 ： m (s zi ) n (s p j ) 0 (s1 p1) (s1 p2 )
i 1
j 1
s1 (s1 1) 135 90 225
s2： 0 (s2 p1) (s2 p2) (116.6 ) (63.4 ) 180
自动控制原理 第4章
我们知道，一个闭环系统开环传递函数的分子加分母就是该 系统闭环传递函数的特征方程，这样，由已知闭环系统的开 环传递函数确定其闭环极点分布，实际上就是解决系统特征 方程的求根问题。 1948 年，伊文思( W.R.Evans )根据反馈 系统中开、闭环传递函数间的内在联系，提出了求解闭环特 征方程根的比较简易的图解方法，称之为根轨迹法。因为根 轨迹法直观形象，使用简单，所以在控制工程中获得了广泛 应用。
当 K =0.5 时，两个闭环极点均为 -1 ，闭环特征根为二 重实根，系统为临界阻尼，单位阶跃响应仍为单调上升的非 周期过程，但比上述情况稍快；
当 K >0.5 时，闭环极点为共轭复数，系统为欠阻尼振 荡，阶跃响应为衰减振荡过程，且超调量正比于 K 值。
分析表明，根轨迹与系统性能之间有着密切的联系，利 用根轨迹可以分析当系统参数增大时系统动态性能的变化趋 势。然而，对于高阶系统，用解析方法绘制系统根轨迹图显 然是不适用的，我们希望能有简便的图解方法。因为开环传 递函数相对容易得到，因此要求能够根据已知的开环传递函 数迅速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究开环零、极 点与闭环系统的根轨迹之间的关系。
第四章 控制系统的根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 常规根轨迹的绘制法则 4.3 广义根轨迹 4.4 根轨迹系统性能分析 习题四
本章主要讲述根轨迹的概念、 绘制常规根轨迹的基本 法则、 广义根轨迹以及根轨迹系统性能分析等。
4. 1 根轨迹的基本概念
从第三章分析可知，一个系统可以通过找出其闭环极点 来分析系统的稳定性情况，而系统的稳态性能和动态性能又 与闭环零、极点在 s 平面上的位置密切相关。但对于高阶系 统，采用解析法求取系统的闭环特征方程根(闭环极点)通常 很困难，特别是在系统参数(如开环增益)发生变化时求根， 每变化一次都需要重新计算一次，因此解析法就显得很不 方便。
自动控制原理第4章
z2 ) p2 )
m
sm z j n1
i 1
(s zm )
(s pn )
m
(zj)
j 1
n
( pi )
i 1
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
如果开环零、极点的数目满足n-m 2，则 闭环特征方程为
snnp isn 1 n( p i)K *m( zj) 0
证明：系统的闭环特征方程
n
m
D(s) (spi)K* (szj)0
i1
j1
根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重
根。因此，
n
m
(s pi ) K* (s zj ) 0
i1
j1
d
ds
n i1
(s
pi )
K*
m j1
(s zj )
0
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
将上面两式相除，整理得
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念
一、根轨迹的定义
根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数 (如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征 根在s平面上移动所画出的轨迹。
常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时 所对应的根轨迹。
广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函 数中其它参数时所对应的根轨迹。
自动控制原理
第四章 复域分析法－根轨迹法
证明： 由根轨迹方程，得
m
(s
j 1
n
(s
zj) pi )
1 K*
i1
令K* =0，得
m
j 1 n
(s (s
zj) pi )
1 K*
精品文档-自动控制原理(李素玲)-第4章
定满足幅值条件方程。因此，相角条件方程是决定闭环根轨
迹的充分必要条件，而幅值条件方程只用来确定根轨迹上各
点的Kg值。
16 【例4-2】 设单位反馈系统的开环传递函数为
Gk (s)
Kg (s 4) s(s 2)(s 6.6)
试检验复平面上一点s1＝－1.5＋j2.5是否在根轨迹上。若在， 则确定与它对应的Kg值。
的方法。
14
由于Gk(s)是关于复数s的函数，故式(4-2)为一矢量方程。 可由矢量的模值运算和相角运算分别得到
m
Kg s zj
j1 n
1
s pi
i1
(4-3)
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1) π
(k 0,1,2,)
(4-4)
j1
i1
式(4-3)称为根轨迹的幅值条件方程；式(4-4)称为根轨迹的
Φ(s)
s2
Kg 2s
Kg
7
闭环特征方程为 D(s)＝s2＋2s＋Kg＝0
系统的两个闭环特征根为
s1,2 1 1 Kg 两个闭环特征根将随着Kg取值的变化而变化。例如，当Kg ＝0时， s1＝0，s2＝－2；当Kg＝1时，s1＝s2＝－1；当Kg＝2 时，s1，2＝－1±j；当Kg＝5时，s1，2＝－1±j2；当Kg＝∞时， s1，2＝－1±j∞。
解 系统有3个开环极点p1＝0，p2＝－2，p3＝－6.6；有1 个开环零点z1＝－4。
将这些零、极点及s1＝－1.5＋j2.5标注在复平面上。绘 制从各零、极点到s1的向量，如图4-4所示。
17 图4-4 例4-2开环零、极点位置
18
可以测得：
∠(s1－z1)－∠(s1－p1)－∠(s1＋p2)－∠(s1＋p3) ＝45°－120°－79°－26°＝－180°
自动控制原理基本知识点和重点难点第4章
《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析20XX年11月第4章 根轨迹法1、内容提要闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。
根轨迹法就是这样的一种图解方法。
它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。
只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。
从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180根轨迹、0根轨迹等。
而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。
依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：()()*111mii njj K s z s p ==+±=±+∏∏ （4-1）这4种可能又归结为()()()*1*11,0mii njj s z KK s p ==+=±>+∏∏ （4-2）根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
2、基本内容闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
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《自动控制原理》课程基本知识点及重点难点分析
2011年11月
第4章 根轨迹法
1、内容提要
闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
因此，有必要探索不解高次代数方程也能求出系统闭环特征方程的根，进而分析系统闭环特性的有效方法。
根轨迹法就是这样的一种图解方法。
它根据基本法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
利用根轨迹法分析系统时，根轨迹的绘制是前提。
只有比较准确地绘制出系统的根轨迹，利用根轨迹法及相关的已知条件，得出系统的闭环零极点在s 平面的分布，才能在此基础上运用第3章讲述的时域分析方法，判断系统的稳定性，估算动态性能指标，计算系统稳态误差等。
从不同的角度，根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（参数根轨迹）、180 根轨迹、0 根轨迹等。
而这些不同类型的根轨迹，则是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
所以，在绘制根轨迹时，首先要解决的关键问题是系统特征方程的列写。
依照系统的不同结构和性质，将系统的开环传递函数的分子和分母多项式的s 最高次项系数变为+1，其特征方程的形式有如下4种可能：
()
()
*
1
11m
i
i n
j
j K s z s p ==+±
=±+∏∏ （4-1）
这4种可能又归结为
()
()
()*
1
*
1
1,0m
i
i n
j
j s z K
K s p ==+=±
>+∏∏ （4-2）
根据式（4-2）等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；式（4-2）中的*K 为系统的根轨迹放大系数或系统的其它参数，i z -和j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
2、基本内容
闭环系统特征方程的根决定着闭环系统的稳定性及主要动态性能。
对于高阶系统而言，其特征根是很难直接求解出来的。
根轨迹法是一种图解方法。
它不用求解高次代数方程也能把系统闭环特征方程的根解出来。
因而是分析系统闭环特性的一种有效方法。
根轨迹是以开环传递函数中的某个参数（一般是根轨迹增益）为参变量而画出的闭环特征方程式的根轨迹图。
它根据基本绘制法则，利用系统的开环零、极点的分布，绘出系统闭环极点的运动轨迹，形象且直观地反映出系统参数的变化对根的分布位置的影响，并在此基础上对系统的性能进行进一步的分析。
根轨迹有几种类型划分：常义根轨迹、广义根轨迹（或称参数根轨迹）、180 根轨迹、0 根轨迹等。
这些不同类型的根轨迹，是由系统的不同结构（正反馈或负反馈）、不同性质（最小相位或非最小相位）所形成的特征方程的形式决定的。
特征方程的形式又归结为
()
()
()*
1
*1
1,0m
i
i n
j
j s z K
K
s p ==+=±
>+∏∏
上式等号右端的符号就可确定相应的根轨迹类型——“+”对应0︒根轨迹，“-”对应180︒根轨迹；
*K 为系统的根轨迹放大系数时对应常义根轨迹，*K 为系统其它参数时对应广义根轨迹；i z -和
j p -分别为等效的系统开环零点和极点。
0︒根轨迹和180︒根轨迹的绘制规则仅在辐角条件上有所不同，幅值条件是一样的。
根轨迹图不仅使我们能直观的看到参数的变化对系统性能的影响，而且还可以用它求出指定参变量或指定阻尼比ξ相对应的闭环极点。
根据确定的闭环极点和已知的闭环零点，就能计算出系统的输出响应及其性能指标，从而避免了求解高阶微分方程的麻烦。
3、重点难点
难点：
用根轨迹法设计系统。
其难点在于系统零、极点在s 平面分布对系统输出响应的影响和根轨迹的准确画法。
解决办法：
首先在一、二阶系统的时域分析时就引出极点在s 平面的分布对系统性能指标的影响，这给用极点配置设计系统打下了一定的基础。
其次在根轨迹一章里也特别强调零、极点在s 平面的分布对系统响应的影响，最后可以用MATLAB 画出准确的根轨迹。
这样就可以用根轨迹方法设计系统了。
3、作业
6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 4、补充习题
（1）设系统动态结构图如所示。
设r x at =，a 为常数。
试求i K 值，使系统稳态误差为零。
（令
()()()r c E s X s X s =-）
（2）已知单位负反馈系统的开环传递函数为
(10.5)
()(1)
K K K s W s s s -=
+
（1）试绘制相应闭环系统的根轨迹； （2）确定使该系统稳定的K K 的取值范围。
（3）已知系统的开环传递函数为2
()(1)
K K
W s s s =
+，试画出单位负反馈系统的根轨迹草图（求出关键点）；若在负实轴上加一个开环零点 -a ，即开环传递函数变为2()
()(1)
K K s a W s s s +=
+时，利用作
出的根轨迹图说明：当0 <a < 1时能使系统稳定，若a ≥ 1根轨迹有什么变化。