2015届高考数学(理)基础知识总复习精讲课件：第11章 第4节 参数方程

高考总复习•数学（理科）
解析：(1)曲线 C
x2 y2 所以 C 的普通方程为：4 ＋ 3 ＝1. 把 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代 ρ2cos2θ ρ2sin2θ 入，得 4 ＋ 3 ＝1，即 3ρ2cos2θ＋4ρ2sin2θ＝12，即 ρ2＝ 12 2 . 3＋sin θ (2)根据对称性，不妨设直线 l 过曲线 C 的右焦点(1,0)，此时
高考总复习•数学（理科）
点评：利用直线参数方程中参数t的几何意义求直线与曲 线的交点之间的距离，体现了直线参数方程的标准形式的优 越性．直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数
才具有几何意义，即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距
离．
高考总复习•数学（理科） 变式探究
3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆锥曲线 C 的参数方程 x＝2cos α， 为 (α 为参数)． y＝ 3 sin α (1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆锥 曲线 C 的极坐标方程； (2)若直线 l 过曲线 C 的焦点且倾斜角为 60° ，求直线 l 被圆 锥曲线 C 所截得的线段的长度．
(α 是参数，0＜α＜2π)
高考总复习•数学（理科） 求直线的参数方程 【例3】 直线l：x－y－3＝0与抛物线y2＝4x交于两点A，
B，求线段AB的长和点M(0，－3)到A，B两点的距离之积． 思路点拨：充分利用直线参数方程中参数的几何意义解 题．
高考总复习•数学（理科）
π 解析：点 M(0，－3)在直线 l 上，直线 l 的倾斜角为4，所以 π x＝0＋tcos 4， 直线 l 的参数方程为 π y＝－3＋tsin 4
解析：(1)消去参数 sin t，得 y＝2x－3，因为 sin t∈[－1,1]， 所以 x∈[0,2]，所以普通方程为 y＝2x－3(0≤x≤2)． x2 y2 (2)椭圆参数方程化为普通方程为12＋18＝1，所以 c＝ 6， 故焦距为 2 6. 答案：(1)y＝2x－3(0≤x≤2) (2)2 6
高考总复习•数学（理科） 变式探究 2 ． (1)(2013· 陕西卷 ) 如图，以过原 点的直线的倾斜角θ为参数， 则圆x2＋y2 －x＝0的参数方程为__________．
(2)(2013· 新课标全国卷Ⅱ改编)已知动点 P，Q 都在曲线 C： x＝2cos t， (t 是参数)上，对应参数分别为 t＝α 与 t＝2α(0＜α y＝2sin t ＜2π)， M 为 PQ 的中点． 则 M 的轨迹的参数方程是____________．
高考总复习•数学（理科）
第十一章
第四节 参数方程
高考总复习•数学（理科）
参数方程与普通方程的互化
【例 1】 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表 示什么曲线？
x＝ t＋1， (1) y＝1－2 t x＝sin θ＋cos (2) y＝1＋sin 2θ
(t 为参数)； θ， (θ 为参数)．
高考总复习•数学（理科） 变式探究
x＝sin t＋1， 参数方程 y＝2sin t－1
1． (1)
(t 为参数)对应的普通方程为
__________．
x＝2 (2) 椭圆 y＝3
3cos θ， 2sin θ
(θ 为参数 ) 的两焦点间的距离是
________．
高考总复习•数学（理科）
高考总复习•数学（理科）
点评：通过消去参数将曲线的参数方程化为普通方程， 有利于识别曲线的类型．在参数方程与普通方程的互化中， 必须使两种方程中的x，y的取值范围保持一致．由于参数方 程中的参数多数都用角表示，消参的过程就要用到三角函数 的有关变形公式，故参数方程与三角函数关系紧密，必须熟 练掌握三角变形公式．

(t 为 参 数 ) ， 即
2 x＝ 2 t， 2 y＝－3＋ 2 t
(t 为参数)， 代入抛物线方程， 得 t2－10 2t＋18
＝0， 设该方程的两个根为 t1，t2，则 t1＋t2＝10 2，t1t2＝18. 所 以 弦 长 为 |AB| ＝ |t1 － t2| ＝ t1＋t22－4t1t2 ＝ 10 22－4×18＝8 2. 点 M 到 A，B 两点的距离之积为|MA|· |MB|＝|t1t2|＝18.
x＝1＋cos M： y＝sin θ
θ，
(θ 为参数)的圆心 F 是抛物
2 x ＝ 2 pt ， E： y＝2pt
的焦点，过焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两
点，求|AF|· |FB|的取值范围．
高考总复习•数学（理科）
解析： 曲线 所以 F(1,0)． 抛物线
x＝1＋cos M： y＝sin θ
高考总复习•数学（理科） 思路点拨： (1) 将两参数方程化为普通方程，再将 α 的值 代入，解方程组即得交点坐标；(2)在普通方程的情形下，先 求出点A的坐标，从而得点P的坐标，点P的坐标中含有参数α， 于是得到点P的轨迹的参数方程．
π 解析：(1)当 α＝3时，C1 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，C2 的普 通方程为 x ＋y
x＝2cos α， 的参数方程为 y＝ 3sin α
(α 为参数)．
直线 l 的参数方程是 3 y＝ 2 t，
1 x＝1＋2t，
代入 C 的普通方程并整理得
5t2＋4t－12＝0， 所以直线 l 被圆锥曲线 C 所截得的线段的长度为 16 48 16 2 |t1－t2|＝ t1＋t2 －4t1t2＝ 25＋ 5 ＝ 5 .
高考总复习•数学（理科）
点评： 本题是利用椭圆参数方程解决问题的典型例子， 可以感受到曲线的参数方程在消元变形中具有重要作用．利 用参数方程，一方面椭圆上的点的坐标只含有一个参变量， 距离表达式得到简化；另一方面，可以用上三角变换，从而 拓广了解决问题的途径．
Biblioteka Baidu考总复习•数学（理科）
变式探究
4．已知圆 线
高考总复习•数学（理科）
12 2 12 解析： (1)将圆的方程化为x－2 ＋y ＝2 ， 得圆的半径
1 r＝2.
所以 OP＝cos θ· 2r＝cos θ，设 P(x，y)，则 x＝OP· cos θ＝cos2θ，y＝OP· sin θ＝cos θ· sin θ， 2 x＝cos θ， 所以，圆的参数方程为 (参数 θ∈R)． sin θ y＝cos θ· (2)依题意有 P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，由中点 公式得 M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．
θ，
的普通方程是(x－1)2＋y2＝1，
2 x＝2pt ， E： y＝2pt
的普通方程是 y2＝2px，
p 所以2＝1，p＝2， 抛物线方程为 y2＝4x.
高考总复习•数学（理科）
x＝1＋tcos 设过焦点 F 的直线的参数方程为 y＝tsin θ
θ，
(t 为参数)，
代入 y2＝4x，得 t2sin2θ－4tcos θ－4＝0. 4 所以|AF|· |FB|＝|t1t2|＝sin2 θ. 因为 0＜sin2 θ≤1， 所以|AF|· |FB|的取值范围是[4，＋∞)．
高考总复习•数学（理科）
1 ＝ |5cos(φ－φ0)－10|. 5 3 4 其中 φ0 满足 cos φ0＝5，sin φ0＝5. 由三角函数性质知，当 φ－φ0＝0 时，d 取最小值 5，此时， 9 8 3cos φ＝3cos φ0＝5，2sin φ＝2sin φ0＝5. 9 8 所以，当点 M 位于5，5时，点 M 到直线 x＋2y－10＝0 的 距离取得最小值 5.
高考总复习•数学（理科） 求曲线的参数方程
x＝1＋tcos C1： y＝tsin α
【例 2】 已知直线
x＝cos θ， y＝sin θ
α，
(t 为参数)，C2：
(θ 为参数)，
π (1)当 α＝3时，求 C1 与 C2 的交点坐标； (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点， 当 α 变化时，求点 P 的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
高考总复习•数学（理科） 圆锥曲线参数方程的应用
x2 y2 【例 4】 在椭圆 9 ＋ 4 ＝1 上求一点 M，使点 M 到直线 x ＋2y－10＝0 的距离最小，并求出最小距离． 思路点拨：直接用直角坐标，则点 M(x，y)到直线 x＋2y－ 10＝0 的距离的表达式中有两个变量，虽然可以借助椭圆方程转 化为一个变量，但是表达式比较复杂．因此，考虑用椭圆的参数 方程求解．
12 2 1 轨迹的普通方程为x－4 ＋y ＝16. 1 1 轨迹是圆心为 4，0 ，半径为4的圆．
高考总复习•数学（理科）
点评：参数方程和普通方程在解决问题时，各有优势，
将参数方程化为普通方程，容易判断曲线的类型，用参数方 程表示曲线，有时方程会更简洁．求曲线的参数方程关键是 选好参数，参数的选取恰当与否对曲线的参数方程的形式的 繁简有着至关重要的作用．一般来说，参数选取角度比较多， 对应的参数方程也比较简单．
2 2
y＝ 3x－1， ＝1.联立方程组 2 2 x ＋y ＝1，
解得 C1 与 C2 的
1 交点为(1,0)， 2，－
3 . 2
高考总复习•数学（理科）
(2)C1 的普通方程为 xsin α－ycos α－sin α＝0. 点 A 坐标为(sin2α，－cos αsin α)，故当 α 变化时，点 P 轨迹 1 2 x＝2sin α， 的参数方程为： 1 y＝－2sin αcos α ∴点 P 故点 P (α 为参数)．
高考总复习•数学（理科）
所以 M
x＝cos α＋cos 2α， 的轨迹的参数方程为： y＝sin α＋sin 2α
(α 是参
数，0＜α＜2π)． 2 x＝cos θ， 答案：(1) (参数 θ∈R) sin θ y＝cos θ·
x＝cos α＋cos 2α， (2) y＝sin α＋sin 2α
思路点拨：对于(1)，利用代入消元法消去 t；对于(2)，利 用 sin2θ＋cos2θ＝1 消去 θ.
高考总复习•数学（理科）
解析：(1)因为 x＝ t＋1≥1，即 t＝x－1 代入 y＝1－2 t， 得普通方程：y＝－2x＋3(x≥1)，这是以(1,1)为端点的射线(包括 端点)． π (2)因为 x＝sin θ＋cos θ＝ 2sinθ＋4， 所以 x∈[－ 2， 2]． 将 x＝sin θ＋cos θ 两边平方， 得 x2＝1＋2sin θcos θ＝1＋sin 2θ， 所以普通方程为 x2＝y(x∈[－ 2， 2])，它是抛物线的一部 分．
高考总复习•数学（理科）
x＝3cos φ， 解析：因为椭圆的参数方程为 y＝2sin φ
(φ 为参数)．
所以，可设点 M 的坐标为(3cos φ，2sin φ)． 由点到直线的距离公式，得到点 M 到直线的距离为 |3cos φ＋4sin φ－10| d＝ 5 3 4 5 cos φ＋ sin φ－10 5 5 ＝ 5