高等数学自测题第12章 自测题1
高等数学 第十二章 测验题及答案
高等数学A 第十二章测试题答案概念、幂级数、收敛域、幂级数的展开、和函数（求导、求积分） 傅里叶级数展开公式、余弦级数不考一、选择题（每题3分，共15分）. 1. 设有有一任意级数1nn a∞=∑，若1n n a a +>，且lim 0n n a →∞=，则该级数___(_D_)___可能收敛可能发散发散绝对收敛条件收敛)()()()(D C B A 2. 正项级数1nn a∞=∑收敛是级数21nn a∞=∑收敛的___(B) __.非充分必要条件充分必要条件充分条件必要条件)()()()(D C B A 3. 设常数0k >，则级数21(1)n n k n n ∞=+-∑____(C )____. 的取值有关收敛或发散与条件收敛绝对收敛发散k D C B A )()()()( 4.设(1)ln(1nn u =-+，则级数_____(C) __. 221111221111())()()n nn n n n n n n n n n n n n n A u u B u u C u u D u u ∞∞∞∞====∞∞∞∞====∑∑∑∑∑∑∑∑与都收敛（与都发散收敛而发散发散而都收敛5. 设()f x 以2π为周期，在[,]ππ-上可积，且为奇函数，则()f x 的傅里叶系数为 (A) .22()0,()sin )()sin ,022()()cos ,0()0,()cos ,n n n n n n n n A a b f x nxdxB a f x nxdx bC a f x nxdx bD a b f x nxdx ππππππππ========⎰⎰⎰⎰（二、判别下列级数的敛散性（每题5分，共15分）1. 1212nn n ∞=-∑. 解：因为1211lim lim12(21)2n n n nu n u n +→∞→∞+==<-,由比值审敛法可知，原级数收敛.2.1n ∞=∑321n <，且级数3211n n∞=∑收敛，所以由比较审敛法可知，原级数收敛.3. 11(1)1(1)n n n n-∞=-+∑.解：因为11lim lim,1(1)n n n n u en→∞→∞==+所以lim 0n n u ←∞≠，所以由级数收敛的必要条件知原级数发散.三、求下列幂级数的收敛域（每题5分，共10分）1. 1(1)(1)ln nn n x n n∞=--+∑. 解：因为111ln ln lim lim lim lim 111ln(1)1ln(1)11n n n x x n a n n x x x a n n x x x+→∞→∞→+∞→+∞+++====++++++++，所以1R =. 当11x -<时，即02x <<时，原级数收敛；当0x =时，级数为11ln n n n∞=+∑，发散；当2x =时，级数为1(1)ln n n n n ∞=-+∑，收敛；所以收敛域为(0,2].2.211(1)31nn n n x ∞+=--∑. 解：此级数缺少奇次幂的项，由比值审敛法可知：121()311lim lim ()313nn n n n n u x x x u x ρ++→∞→∞-===-， 故当2113x <时，即当(x ∈时，级数收敛；当x >||x =113(1)31nn nn ∞+=--∑， 由于3lim lim 1,nn nn n u →∞→∞==-所以lim 0n n u ←∞≠，所以由级数收敛的必要条件知原级数发散； 所以收敛域为(.四、计算题（每题5分，共20分）. 1. 将 2(0)()0(0)x x f x x ππ-<≤⎧=⎨<≤⎩ 展开成为傅里叶级数.解： 当1n ≥时，0a =012xdx ππ-⎰π=-n a =012cos x nxdx ππ-⎰122(1(1))n n π++-= ， n b =012sin x nxdx ππ-⎰12(1)n n +-=()f x 在(,)ππ-上连续，(0)(0)2f f πππ-+-+=-()f π≠，所以在(,)ππ-上有 ()f x 11212(1(1))2(1)cos sin 2n n n nx nx n n ππ++∞=⎛⎫-+--=++ ⎪⎝⎭∑. 2. 将函数()2f x x π=-在[0,]π上展开成余弦级数.解：对函数()f x 作偶式周期延拓，它是按段光滑函数，因而可以展开成余弦函数，其系数0002022()020,2,1,2,221()cos (cos )|4,21,1,2,2(21)n a x dx n k k a x nxdx nx n k k n k πππππππππ=-===⎧⎪=-=⋅-=⎨=-=⎪-⎩⎰⎰由收敛定理及()f x 延拓后连续知， 在区间 [0,]π上214cos(21)()(21)n n xf x n π∞=-=-∑.3. 将函数1()23f x x =+展开成(1)x -的幂级数.解：因为111()22(1)551(1)5f x x x ==-++-， 而当2(1)15x -<时，012()(1)()(1)55n n nn f x x ∞==--∑，所以1237()(1)(1),(,)522nnn n n f x x x ∞+==--∈-∑.4. 将函数1()arctan 1xf x x+=-展开成x 的幂级数. 解：221(1)(1)()1(1)1()1x x f x x x x-++'=⋅+-+-2201(1)(11)1n n n x x x ∞===--<<+∑，20()(1)xxnnn f x dx x dx ∞='=-∑⎰⎰，21(1)()(0)21n n n f x f x n ∞+=--=+∑. 因为(0)4f π=，且1x =-时，级数1(1)21n n n +∞=-+∑收敛，所以210(1)()(11)421n n n f x x x n π∞+=-=+-≤<+∑.六、试求幂级数1112n nn x n ∞-=∑的收敛域，并求其和函数. （10分） 解：（1）由1121lim lim (1)22n n n n n na n a n ++→∞→∞==+，可知收敛半径为2R =， 当2x =时，级数为112n n ∞=∑，发散；当2x =-时，级数为111(1)2n n n ∞-=-∑，收敛， 所以原级数的收敛域为[22-，）.（2）设11()2n nn x s x n -∞==⋅∑，因为 11()2()2nn nn n x x xs x n n ∞∞====⋅∑∑ln(1)(11)22x x =---≤< 当0x ≠时，1()ln(1)2x s x x =--；当0x =时，1(0)2s =；所以1ln(1)[2,0)(0,2)2()12xxxs xx⎧--∈-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.。
高等数学习题册 第十二章 参考答案
1第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念与性质1．填空： （1）1+1(-1)n n n -．（2）__0__．（3）111+-n ， _1_． （4）11+-n a a ，1a a -．（5） 收敛 ，12-s u ．（6） 发散_． 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和：（1）解：级数的部分和为...n s +++1-．因为lim 1)n n n s →∞→∞=-=+∞，即部分和数列不存在极限，所以原级数发散． （2）解：将级数的一般项进行分解得211111()(1)(1)2111n u n n n n n ===-+--+-， 所以，级数的部分和为111111111[()+()()...()]213243511n s n n =--+-++--+1111(1)221n n =+--+． 因为11113lim lim (1)2214n n n s n n →∞→∞=+--=+， 即部分和数列存在极限，且极限值为34，根据定义可得，原级数收敛，且收敛于34．（3）解： 因为lim lim sin 6n n n n u π→∞→∞=不存在，根据收敛级数的必要性条件可知，级数的一般项极限不为零，则原级数必定发散．3．判断下列级数的敛散性，如果收敛，则求级数的和： （1）解：这是一个公比为34-的等比级数，因为314-<，所以收敛．其和为13343171()4u s q-===----． （2）解：这是公比为32-的等比级数，因为3>12-，所以发散．（3）解：因为1lim lim=0100+1100n n n n u n →∞→∞=≠，根据收敛级数的2必要性条件可知，原级数发散． （4）解：因为级数123nnn ∞=∑是公比为23的等比级数，所以收敛，而级数1131=3n n n n∞∞==∑∑是发散级数，根据收敛级数的性质可知，原级数发散．（5）解：原级数的一般项ln (1)-ln n u n n =+，所以原级数的部分和(ln 2-ln1)(ln 3-ln 2)...[(ln(1)-ln ]n s n n =++++ln(1)-ln1ln(1)n n =+=+，因为lim limln(1)n n n s n →∞→∞=+不存在，所以原级数发散．（6）解：原级数变形为111[()()]32n n n ∞=+∑，因为级数11()3nn ∞=∑和11()2n n ∞=∑均为公比1q <的等比级数，所以原级数收敛． 其和为113321121132s =+=--．（7）解：因为313lim =3lim()3lim011+(1+)(1+)n nn n n n nn n n e n n→∞→∞→∞==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．第二节 常数项级数的审敛法1．填空： （1） 收敛 ．（2） 发散 ； 收敛 ；可能收敛也可能发散 ． （3）1k <；1k >时，1k =．（4）1p >；1p ≤时．（5）发散 ． （6）可能发散也可能收敛 ． 2．选择：（1）D ．（2）C ．（3）B ．（4）C ．3．用比较审敛法及其极限形式判断下列级数的敛散性：（1）解：因为222+1++2lim lim 11+2n n n n n n n n→∞→∞==，而级数11n n∞=∑发散，根据比较审敛法的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定发散．（2）解：因为2211(1)(21)limlim 1(1)(21)2n n n n n n n n →∞→∞++==++，而3 级数211n n∞=∑收敛，根据比较审敛的极限形式（或者极限审敛法），原级数一定收敛．（3）解：因为0sin 22n n ππ≤≤，而12n n π∞=∑是公比为12的等比级数，根据比较审敛法，原级数一定收敛．（4）解：当>1a 时，110<1n na a ≤+而11n n a∞=∑是公比为1<1a 的等比级数，根据比较审敛法，级数111nn a ∞=+∑一定收敛； 当0<1a <时，因为1lim=101nn a →∞≠+，根据级数收敛的必要性条件，级数111nn a ∞=+∑发散； 当=1a 时，原级数即112n ∞=∑，发散． （5*）解：因为ln (1+)(0,1)x x x x <≠-<<+∞，所以111ln =ln(1+)n n n n +<，即原级数为正项级数； 同时，111ln =ln ln(1)111n n n n n n +-=-->+++， 则：21111110<ln 1(1)n n n n n n n n+-<-=<++， 而211n n∞=∑收敛，所以原级数也收敛． 4．用比值审敛法判断下列级数的敛散性：（1）解：2+122(1)1113lim lim(1)1333n n n nn n n →∞→∞+=+=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（2）解：135(2+1)2+1(+1)!limlim 2>1135(21)+1!n n n n n n n n →∞→∞⋅⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅⋅⋅-，根据比值审敛法，原级数发散．4（3）解：+2+2+1+1(+1)tan+1122limlim 12tan 22n n n n n n n n n n ππππ→∞→∞=⋅=<，根据比值审敛法，原级数收敛．（4）解：1+12(1)!12(+1)lim 2lim()2lim <1112!(1+)n n n n n n n nnn n n n e n n n +→∞→∞→∞+===+， 根据比值审敛法，原级数收敛．5．用根值审敛法判别下列级数的敛散性：（1）解：1lim 12+12n n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （2）解：1lim 01ln(+1)n n n →∞=<，根据根值审敛法，原级数收敛． （3）解：n b a， 当1ba<，即>a b 时，原级数收敛； 当>1ba ，即ab <时，原级数发散； 当1ba=，即=a b 时，原级数可能收敛也可能发散． 6．判别下列级数的敛散性： （1）解：10n n ==≠，根据收敛级数的必要条件可知，原级数发散．（2）解：原级数显然为正项级数，根据比较审敛法的极限形式，111lim =lim 1n n na b b aa n n→∞→∞+=+，所以原级数发散． （3）解：因为11lim 1>122nn n e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以原级数发散．7．判别级数的敛散性，若收敛，指出条件收敛还是绝对收敛： （1）解：因为11111(1)=33n n n n n n n ∞∞---==-∑∑，而1+11+113lim =lim <1333n n n n n n n n →∞→∞-=，所以级数113n n n ∞-=∑收敛，5因此原级数绝对收敛．（2）解：因为22(21)(21)cos 22n nn n n π++≤，又因为： 22+122(23)(23)12lim =lim 12(21)2(21)2n n n nn n n n →∞→∞++=<++，所以级数21(21)2nn n ∞=+∑收敛，因此原级数绝对收敛． （3）解：级数的一般项为：11(1)(1)10n n n u -=-+，因为1lim||lim(1)1010n n n n u →∞→∞=+=≠，所以原级数的一般项不趋近 于0，原级数发散． （4*）解：这是一个交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑，因为级数1n ∞=-∑发散（见第一节习题2（1）），所以原级数不是绝对收敛，又因为：0n n =，1n n u u +-=---==-，根据莱布尼兹定理可知，原级数收敛且是条件收敛．8*．解：先讨论0x >的情形． 当=1x 时，级数为112n ∞=∑，显然发散；当0<<1x 时，级数为正项级数，利用比值审敛法，1221+122221lim =lim lim 111n n n n n n n n n n nu x x x x x u x x x ++++→∞→∞→∞++⋅==<++， 所以此时级数211+n nn x x ∞=∑收敛且是绝对收敛； 当1x >时，同样利用比值审敛法，2121+12222111lim =lim lim1111n n n n n n n nn u x x x x u x x x +++→∞→∞→∞+++==<++，6 所以此时级数211+nnn x x∞=∑收敛且是绝对收敛； 再看<0x 的情形．当1x =-，级数为1(1)2nn ∞=-∑，显然发散；当10x -<<和1x <-时，级数为21()(1)1nn n n x x ∞=--+∑，这是一个交错级数，对其一般项取绝对值得到正项级数21()1nnn x x ∞=-+∑，按照同样的方法可知21()1nnn x x∞=-+∑收敛，也即原级数绝对收敛； 而当0x =时，级数显然收敛且绝对收敛；综合得，原级数在1x =±时发散，其他均为绝对收敛． 9*．证明：设111(1)n n n a S ∞-=-=∑，若∑∞=-112n n a 收敛，设2121n n aS ∞-==∑，则122121111(1)n n n n n n n a a a S S ∞∞∞--====--=-∑∑∑，即21nn a∞=∑收敛，所以22-111(+)nn n n n aa a ∞∞===∑∑收敛，与11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛矛盾，所以∑∞=-112n n a 发散．因为11(1)n n n a ∞-=-∑条件收敛，所以∑∞=1n n a 发散．10*证明：因为222||0nnn n a b a b +≥≥，所以∑∞=1n nnba 收敛；因为2220()2||n n n nn n a b a b a b ≤+≤++，所以∑∞=+12)(n n nb a收敛；令1n b n =，因为∑∞=12n n b 收敛，所以∑∞=1n n n b a 收敛，即∑∞=1n n na 收敛．第三节 幂级数1．填空：（1）绝对收敛 ； 绝对收敛 ．（2）1ρ；+∞；_0_．（3）_1_，7 (-1,1)．（4）12=R R ；(5) (),R R -．2．选择：（1）B ．（2）B ． （3）A ． （4）C ． （5*）B （提示：令=1y x -，则1111(1)n n n n n n na x na y ∞∞++==-=∑∑21211=()n n n n n n yna yy a y ∞∞-=='=∑∑）．（6）B ．（7）D ．3． 求下列幂级数的收敛域：（1）解：因为+11=lim lim 02(1)n n n na a n ρ→∞→∞==+，收敛半径为R =+∞，收敛域为(,)-∞+∞．（2）解：因为12121(1)(1)limlim 11(1)n n n n n na n a nρ++→∞→∞-+===-， 所以收敛半径1R =，收敛区间为(1,1)-；当1x =时，级数为211(1)nn n ∞=-∑，这是一个绝对收敛级数； 当1x =-时，级数为211n n∞=∑，这是一个收敛的正项级数； 综合得原级数的收敛域为[1,1]-．（3）解：121limlim 121n n n n a n a n +→∞→∞-==+1R ⇒=， 故当231x -<，即12x <<时级数绝对收敛，当1x =时，11(1)(1)12121n n n n n n ∞∞==--=--∑∑，级数发散，当2x =时， 1(1)21nn n ∞=--∑为收敛的交错级数，所以原级数的收敛域为(1,2]．（4）解：这是一个缺奇次项的幂级数，直接使用比值审敛法得：1()lim ()n n n nu x u x +→∞=2222n x x =⋅=，8 所以当22<1x，即x <<时，级数绝对收敛；当22>1x时，即x >或<x -时，原级数发散；当x =时，级数为1n ∞=∑，发散；当x =时，级数为21(1)nn ∞=--∑，发散（见第一节习题2（1））；所以，级数的收敛域为(-．（5*）解：因为+111111+231=limlim 111123n n n na n n a nρ→∞→∞+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+11lim(1)111123n n n→∞+=++++⋅⋅⋅+，因为正项级数11n n ∞=∑发散，因此111lim(1)23n n →∞+++⋅⋅⋅+=+∞，所以上述的=1ρ，即级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-．当1x =±时，级数为∑∞=+⋅⋅⋅+++1)131211(n n x n，因为 111=1()23n u n n+++⋅⋅⋅+→∞→∞， 所以发散，综合得原级数的收敛域为(1,1)-． 4．求下列幂级数的收敛域与和函数：（1）解：先求收敛域：利用比值审敛法可得454141()45lim lim =()41n n n n n nx u x n x u x x n +++→∞→∞+=+， 因此，当41x <，即||1x <时，级数收敛； 当1x =时，级数为141n n ∞=+∑，发散；当1x =-时，级数为1()41n n ∞=-+∑，发散，所以级数的收敛域为(1,1)-．9为求和函数，令410()=41n n x s x n +∞=+∑，两端同时求导得：4141440001()==,(1,1)41411-n n n n n n x x s x x x n n x ++∞∞∞===''⎛⎫⎛⎫'==∈- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑∑∑再两端同时积分得：400111+1()(0)=()==ln arctan 4121-xxx s x s s x dx dx x x x '-+-⎰⎰， 显然(0)=0s ，所以原级数的和函数为11+1()=ln arctan ,(1,1)412x s x x x x +∈--．（2）解：212121(22)lim lim 2n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞+==， 故当211x x <⇒<时级数绝对收敛，当||1x >时，级数发散． 当1x =-时，21112(1)2n n n n n ∞∞-==-=-∑∑发散，当1x =时，12n n ∞=∑发散，⇒ 收敛域为(1,1)-．令211()2(0)0n n S x nxS ∞-==⇒=∑2212211()21xxn nn n x S t dt ntdt xx ∞∞-==⇒===-∑∑⎰⎰22222()(||1)1(1)x x S x x xx '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭． （3）解：先求收敛域：因为1(+1)(+2)limlim 1(+1)n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞===， 所以收敛半径为1，明显当1x =±原级数发散，故级数的收敛域为(1,1)-；令1()(1)(0)0nn S x n n xS ∞==+⇒=∑，121111()(1)xx nn n n n n S t dt n n t dt nxxnx∞∞∞+-===⇒=+==∑∑∑⎰⎰222211(1)n n x x x x x x x ∞=''⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑ 2232()(||1)(1)(1)x x S x x x x '⎛⎫⇒==< ⎪--⎝⎭．10（4）解：212121(21)lim lim (21)n n n n n nu x n x u x n ++-→∞→∞-==+，故当211x x <⇒<时级数绝对收敛， 当||1x >时，级数发散．当1x =-时， 12111(1)(1)(1)2121n n n n n n n +∞∞-==---=--∑∑为收敛的交错级数，当1x =时， 11(1)21n n n +∞=--∑为收敛的交错级数，⇒ 收敛域为[1,1]-．令1211(1)()(0)021n n n x S x S n +-∞=-=⇒=-∑， 122211()(1)1n n n S x x x∞+-='⇒=-=+∑ 201()(0)arctan 1xS x S dt x t ⇒-==+⎰()arctan (11)S x x x ⇒=-≤≤．第四节 函数展开成幂级数1．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间：（1）解：利用间接展开法．因为=0=,(,)!nxn x e x n ∞∈-∞+∞∑，所以ln ln 00(ln )(ln ),(,)!!xn n xa x ann n x a a a eex x n n ∞∞======∈-∞+∞∑∑．（2）解：利用间接展开法．因为1(1)ln(1)=,(1,1]1n n n x x x n ∞+=-+∈-+∑，所以 ln()=ln[(1)]ln ln(1)x xa x a a a a++=++110(1)ln ,(,](1)nn n n a x x a a n a∞++=-=+∈-+∑． （3*）解：利用间接展开法．因为2(1)(1)...(1)(1)1...,||12!!m nm m m m m n x mx x x x n ---++=++++<122(1)x x -=⋅+11357113135...,(1,1]224246x x x x x ⋅⋅⋅=-+-+∈-⋅⋅⋅． 注：当1=2m -时，在右端点处收敛．（4）解：利用间接展开法．因为20(1)cos =,(,)(2)!n nn t t x n ∞=-∈-∞+∞∑，所以22100000(1)(1)cos d =[]d d (2)!(2)!n nxxx n n n n t t t t t t t t n n ∞∞+==--=∑∑⎰⎰⎰ 212200(1)(1)=d ,(,)(2)!(2)!(22)n nxn n n n t t t x n n n ∞∞++==--=∈-∞+∞+∑∑⎰． 2． 解：111(1)=,(,)!nx x x x x e ee e e x n ∞-+-=-=⋅=∈-∞+∞∑．3．解：011111(2),(0,4)2422212n n n x x x x ∞==⋅=-∈---∑． 4．解：将sin x 变形为：1sin sin[()])cos()662626x x x x ππππ=-+=-+-， 利用sin x 和cos x 的展开式可得2-121211sin ()()...221!622!6(1))(),(,)622n!6n n n x x x x x x ππππ-=+---++⋅⋅--+-∈-∞+∞⋅．5．解：211=()34154x x x x x x ----+5(5)111=()531(5)414x x x +--⋅-+-+111005111=(1)(1)(5)(1)(1)(5)3344n n nn n n n n x x ∞∞+++==---+---∑∑， 其中第一个展开式的收敛域为|5|<1x -，第二个展开式的收敛域为|5|<14x -，所以原函数的展开式的收敛域为|5|<1x -，即46x <<．第五节 函数的幂级数展开式的应用1．利用函数的幂级数的展开式求下列各数的近似值： （1）解：根据ln (1+)x 的展开式可得：35111ln2(...)(11)135x x x x x x +=+++-<<-（见教材）12令1=51x x +-，解得2(1,1)3x =∈-，带入上述展开式可得 35793579212121212ln 52(...)335793333=+⋅+⋅+⋅+⋅，如果取前五项作为其近似值，则1113151751113151712121212||=2(...)111315173333r ⋅+⋅+⋅+⋅+1123112312114114114=2(1...)111391517399⋅⋅+⋅+⋅+⋅+1123112322444(1...)119399<⋅++++ 111111112212290.00384111153319<⋅⋅=⋅⋅≈-，符合误差要求，因此取前五项作为其近似值，即35793579212121212ln 52() 1.61335793333≈+⋅+⋅+⋅+⋅≈．（2）解：根据cos x 的幂级数展开式可得246111cos18cos1()()() (10)2!104!106!10ππππ==-+-+， 6-61() 1.335106!10π≈⨯，所以取前四项作为近似值，即 246111cos181()()()0.950992!104!106!10πππ=-+-≈．（3）解：根据cos x 的幂级数展开式可得2621cos 111...2!4!6!x x x x -=-++， 于是可得0.50.5262001cos 111d =(...)d 2!4!6!x x x x x x--++⎰⎰ 3511111111=()()...0.123272!24!326!52⋅-⋅⋅+⋅⋅+≈． 2．解：因为sin arctan x x 、的展开式分为可以写为：33sin ()3!x x x o x =-+，33arctan ()3x x x o x =-+，所以3333001()sin arctan 16lim lim 6x x x o x x x x x→→+-==．第七节 傅里叶级数1．填空：（1）其中的任何两个不同函数的乘积在区间[,]ππ-上的积分为130，相同函数的乘积在此区间上积分不为0 ． （2）1()d f x x πππ-⎰，1()cos d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰，1()sin d (1,2,...)f x nx x n πππ-=⎰． （3）02=0,()sin d n n a b f x nx x ππ=⎰．（4）1+π．（5）在一个周期内连续或者只有有限个第一类间断点 ， 在一个周期内至多有有限个极值点 ， 收敛 ，()f x ， 左右极限均值．2．下列函数以π2为周期，且在[,)ππ-上取值如下，试将其展开成傅里叶级数：（1）解：先利用系数公式得出傅里叶级数．2220111()d d ()2x xx a f x x e x e e πππππππ---===-⎰⎰， 22212()(1)()cos ,( 1.2 (4)n e ea f x nxdx n n ππππππ----==⋅=+⎰， 2-2121(1)()sin ,(n=1,2...)4n n e e nb f x nxdx nππππππ+---==⋅+⎰， 所以，函数的傅里叶级数为2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---+-+∑． 再考虑其收敛性．易知函数满足收敛性定理的条件，其不连续点为(21)(0,1,2,...)x k k π=+=±±，在这些点处，上述的傅里叶级数收敛于左右极限的均值，即22(0)(0)22f x f x e e ππ-++-+=，在连续点处，傅里叶级数收敛于函数2()=xf x e ，因此2-22221(1)()(2cos sin )44nn e e e e f x nx n nx nππππππ-∞=---=+-+∑(,),(21)(0,1,2,...)x x k k π∈-∞+∞≠+=±±．（2）解：先根据系数公式求傅里叶级数．40113()d sin d 4a f x x x x ππππππ--===⎰⎰， 41131sin cos (2cos2cos4)cos 422n a x nxdx x x nxdx ππππππ--==-+⎰⎰， 根据三角函数系的正交性，仅当=2,=4n n 时，0n a ≠，易得142411,28a a =-=，由于4()sin f x x =是[,]ππ-的偶函数，故0n b =； 又因为函数4()sin f x x =是连续函数，所以可得：311()cos 2cos 4,<<828f x x x x =-+-∞∞．3．解：(1) ()()f x x x ππ=-<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，，，所以 11sin ()2(1)()n n nxf x x xππ∞+==--<<∑，为所求． （2）()(02)f x x x π=<<作周期延拓的图象如下：其分段光滑，故可展开为傅里叶级数． 由系数公式得．当时，011()d d 0a f x x x x ππππππ--===⎰⎰1n ≥11cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππππ--==⎰⎰11sin sin d 0|x nx nx x n n ππππππ--=-=⎰11sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππππ---==⎰⎰1112cos cos d (1)|n x nx nx x n n n ππππππ+---=+=-⎰220011()d d 2a f x x x x πππππ===⎰⎰1n ≥22011cos d d(sin )n a x nx x x nx n ππππ==⎰⎰15 ，，所以1sin ()2(02)n nxf x x x ππ∞==-<<∑，为所求． 4．解：要展开为余弦级数，需对函数进行偶延拓，即定义函数1cos 02()cos ,02x x f x x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，，并将1()f x 以2π周期延拓到整个数轴，得到偶函数()g x ． 对()g x 进行傅里叶展开，显然有0n b =，且0024cos d 2x a x πππ==⎰，2024(1)cos cos d ()(=1,2,...)241nn x a nx x n n πππ-==--⎰，根据上述系数即可得到()g x 在整个数轴上的傅里叶展开式，由于()g x 连续，所以其傅里叶均收敛于()g x ，最后将展开式限制在[0,]π，既得()cos2xf x =的傅里叶展开式 2124(1)()cos ,[0,]41nn f x nx x n πππ∞=-=--∈-∑．4．解：将函数进行奇延拓，并求傅里叶系数：0(0,1,2,...)n a n ==，021sin [(1)1](1,2,...)42n n b nxdx n nπππ==---=⎰，因此函数()4f x π=的正弦级数展开式为11sin +sin 3sin 5...(0,)435x x x x ππ=++∈， 根据收敛性定理，在端点=0,=x x π处傅里叶级数收敛于零．令上式中的=2x π，即可得到1111 (4357)π=-+-+．第八节 一般周期函数的傅里叶级数1．填空：220011sin sin d 0|x nx nx x n n ππππ=-=⎰220011sin d d(cos )n b x nx x x nx n ππππ-==⎰⎰2200112cos cos d |x nx nx x n n n ππππ--=+=⎰16（1）-1()cos (0,1,2...)l n l n xa f x dx n l lπ==⎰-1()sin (1,2...)l n l n x b f x dx n l l π==⎰．（2）02()sin(n=1,2...)l n xf x dx l lπ⎰． 2．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 做奇延拓，其傅里叶系数为0(0,1,2,...)n a n ==；20222sin +(-)sin ll l n n x n xb x dx l x dx l l l lππ=⎰⎰224=sin2l n n ππ， 所以1()=sinn n n xf x b lπ∞=∑ 22224131517=(sin sin +sin sin +...)357l x x x xl l l l πππππ--， 由于()f x 连续，上述展开式对于任意的[0,]x l ∈均成立． 3．解：()2+||f x x =为偶函数，所以展为余弦级数，其系数为0(1,2,...)n b n ==，1002(2)d 5a x x =+=⎰，1222(cos 1)2(2)cos()(1,2,...)n n a x n x dx n n πππ-=+==⎰， 因为函数()2+||f x x =满足狄氏收敛定理，所以22152(cos 1)2||cos 2n n x n x n πππ∞=-+=+∑ 2225411(cos cos3cos5...)()235x x x x ππππ=-+++-∞≤≤∞． 令上式中的=0x ，可得2222111 (8135)π+++=，又2222222=11111111(...)(...)135246n n ∞=+++++++∑ 2222221111111(...)(...)4135123=+++++++所以22222=114111=(...)=36135n nπ∞+++∑．第十二章 自测题1．填空：17 （1）仍收敛于原来的和s ．（2） 均收敛 ； 均发散 ． （3）_1_；_2__．（4）34， 12， 34． 2．选择：（1）C ．（2）A （提示：使用阿贝尔定理）．（3）D （提示：ln ln ln 2ln ln 2ln 22()n n n e e n λλλλ--⋅--===）． （4）B ．（5）A ． （6）C ．3．判别下列级数的敛散性，若收敛指出绝对收敛或条件收敛： （1）解：根据正项级数的根值审敛法，有(!)lim n n n n →∞=+∞， 所以，原级数发散．（2）解：因为2211sin 4n n n π≤，而211n n∞=∑收敛， 所以原级数收敛且绝对收敛．（3）解：这是一个交错级数，由于(1)11=-ln -ln n n n n n n-≥，所以不是绝对收敛．因为111ln(1)ln n n n n-+-+-1ln(1)10(ln )[1ln(1)]n n n n n +-=<-+-+，且1lim=0ln n n n→∞-，根据莱布尼兹定理，级数收敛，即原级数条件收敛．（4*）解：根据比值审敛法，有1(1)lim ||lim ||1n pp n n n pa n n a a n a n +→∞→∞+⎛⎫== ⎪+⎝⎭， 所以，当||<1a 时，即11a -<<时，级数绝对收敛； 当||1a >，根据罗比达法则可知212+++ln (ln )lim lim lim(1)x x x p p p x x x a a a a a x px p p x --→∞→∞→∞=-， 因为p 是常数，有限次使用罗比达法则，可求出上述极限为无穷，因此lim np n a n→∞=∞，所以原级数发散；当1a =时，级数既为11pn n∞=∑，此时若01p <≤时，原级数18 发散，若1p >原级数收敛且绝对收敛；当1a =-时，级数既为1(1)npn n∞=-∑，此时，若01p <≤时，根据莱布尼兹定理可知，原级数条件收敛，若1p >时，根据比较审敛法可知，原级数绝对收敛．4．解：因为11113+(2)[3+(2)]1lim lim 3+(2)(1)[3+(2)]n n n n n nn n n n n n n n++++→∞→∞--+=-+-12[1+()]3lim 3112(1)[1+()]33n n nn +→∞-==+⋅⋅-，所以，级数的收敛半径为13，收敛区间为42(,)33--；在端点4=3x -处，级数为12(1)+()3nnn n ∞=-∑，因为级数11(1)21,()3n n n n n n ∞∞==-⋅∑∑均收敛，所以在此点处，原级数收敛； 在端点2=3x -处，级数为121+()3nn n ∞=-∑，因为级数11,n n ∞=∑发散，而121()3nn n∞=-⋅∑收敛，所以在此端点处，原级数发散； 综合得，原级数的收敛域为42[,)33--． 5．解：先利用比值审敛法求幂级数的收敛域．因为2+222(2+2)!lim =lim (2+2)(2+1)(2)!n n n n x x n n n xn →∞→∞=+∞， 所以级数的收敛域为(,)-∞+∞；令22420()1......(2)!2!4!(2)!n nn x x x x s x n n ∞===+++++∑， 则3521()+......3!5!(21)!n x x x s x x n -'=++++-，所以 234()()1......2!3!4!!nx x x x x s x s x x e n '+=+++++++=，19 即()()x s x s x e '+=，这是一个一阶线性微分方程，解之得1()+2x x s x ce e -=．又因为(0)1s =，带入求得常数12c =，所以幂级数的和函数为11()(,)22x xs x e e x -=+∈-∞+∞，．6．解：因为2ln(12)ln(1)ln(12)x x x x +-=-++，而11(1)ln(1)(11)n nn x x x n -∞=-+=-<≤∑，所以，=1ln(1)(11)nn x x x n∞-=--≤<∑，1=1(1)211ln(12)()22n n n n x x x n -∞-+=-<≤∑，于是得出原函数的展开式为12=1(1)2111ln(12)=()22n n n n x x x x n -∞--+--<≤∑．7．解：为展开为正弦级数，先将函数()f x 在[,0)π-上做奇延拓,再延拓到整个数轴，并求傅里叶系数0(0,1,2...)n a n ==， 02()sin d n b f x nx x ππ=⎰202sin d x nx x ππ=⎰221sincos (1,2,...)22n n n n n πππ=-=， 因此可得函数()f x 在[0,)π的傅里叶级数2=121()(sincos )sin ([0,),)222n n n f x nx x x n n πππππ∞=-∈≠∑， 由于3=2x π-为函数的不连续点，根据狄氏收敛性定理，和函数在3=2x π-处的值3()2s π-为左右极限的均值，即31()=24s ππ-，而5=4x π是函数的连续点，在此点处，收敛于（延拓后的）函数()f x ，即5()=04s π．8．考研题练练看：（1）C ．解析：幂级数1(1)k kk ax ∞=-∑的收敛域中心为1x =，而20 =1(1,2,...)n n k k S a n ==∑无界表明1(1)k k k a x ∞=-∑在2x =发散，因此幂级数的收敛半径1R ≤，同时，根据莱布尼兹定理，数列{}n a 单减且收敛于0，表明1(1)kkk ax ∞=-∑在0x =收敛，因此幂级数的收敛半径1R ≥，综合得收敛半径为=1R ，因此选C ． （2）A ．解析：若1n n u ∞=∑收敛，则对其任意项加括号后仍收敛，其逆命题不一定成立，所以选A ． （3）D ．解析：=11(1)a n n ∞-∑绝对收敛，即1=121a n n∞-∑收敛，所以32α>，又由2=1(1)n a n n ∞--∑条件收敛可知12α≤<，所以选D ．（4）C ．解析：根据题意，将函数在[]1,1-展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1,(0,1)2()1,(1,0)2x x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-+∈-⎪⎩，其傅里叶级数以2为周期，则当()1,1x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =，所以 91111()()()()44444S S S f -=-=-=-=-．（5）D ．解析：因为1P >时，=11P n n ∞∑收敛，且lim =lim 1Pn n n n Pa n a n →∞→∞存在，所以=1nn a∞∑收敛．（6）解：先求收敛域．222212(1)212+1lim lim 12+1(1)21n n n n n nxn n x x n x n +-→∞→∞--==<--，即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为1=1(1)21n n n -∞--∑，根据莱布尼兹定理，可知21此级数收敛，因此原级数的收敛域为[1,1]-．为求和函数，设112211=1(1)(1)()2121n n n n n n s x x x xn n --∞∞-=--==--∑∑， 令1211=1(1)()21n n n s x xn -∞--=-∑，则 1212112=1=1(1)1()=() (11)211n n n n n s x x x x n x -∞∞--'⎛⎫-'=-=-<< ⎪-+⎝⎭∑∑， 两端同时积分，得11201()(0)d arctan (11)1xs x s x x x x -==-<<+⎰，明显1(0)0s =，所以1()arctan (11)s x x x =-<<，既得()arctan (11)s x x x x =-<<，又因为=1x ±时，()arctan s x x x ，都有定义，且连续，所以()arctan (11)s x x x x =-≤≤．（7）B.（8）解：先求收敛域．22224(+1)4(+1)321lim 12(1)1443n n n n x x n n n →∞+++⋅⋅=<++++， 即11x -<<时级数绝对收敛；当=1x ±时，级数为2=044321n n n n ∞+++∑，发散，因此幂级数的收敛域为11x -<<．为求和函数，设2222=0=0443(21)2()==2121n nn n n n n S x x x n n ∞∞++++++∑∑，所以22=0=02()=(21)21nn n n S x n xx n ∞∞+++∑∑，令2212=0=02()=(21)()21nn n n S x n x S x x n ∞∞+=+∑∑，，对1()S x 两端积分得210=0()d =(21)d xx nn S x x n x x ∞+∑⎰⎰212=0= (11)1n n xx x x∞+=-<<-∑， 两端求导得212221()= (11)1(1)xx S x x xx '+⎛⎫=-<< ⎪--⎝⎭；22因为212=02()21n n xS x x n ∞+=+∑，两边求导得 222=02[()]2 (11)1n n xS x x x x ∞'==-<<-∑， 再对两端积分得22021()0(0) ln (11)11xxxS x S dx x xx +-⋅==-<<--⎰，所以211()ln((1,0)(0,1))1xS x x x x+=∈-⋃-， 又因为=0x 时，12(0) 1.(0)2S S ==，综合可得和函数为222111ln ,(1,0)(0,1)()1(1)3, 0x xx S x x xx x ⎧+++∈-⋃⎪=--⎨⎪=⎩． （9）(i)证明：由题意得1=1()n nn S x na x∞-'=∑，22=2=0()(1)(1)(2)n nn n n n S x n n a xn n a x ∞∞-+''=-=++∑∑，2(1)0n n a n n a ---=，2=(1)(2)(0,1,2...)n n a n n a n +∴++=， ()=()S x S x ''∴，即()()0S x S x ''-=．(ii) 解：()()0S x S x ''-=为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210λ-=,从而特征根为1λ=±，于是其通解为12()x xS x C e C e -=+，由0(0)3S a ==，1(0)1S a '==得1212123121C C C C C C +=⎧⇒==⎨-+=⎩，,所以()2x x S x e e -=+． （10）解：（1）证明：由cos cos n n n a a b -=，及0,022n n a b ππ<<<<可得0cos cos 2n n n a a b π<=-<，所以02n n a b π<<<，由于级数1nn b∞=∑收敛，所以级数1nn a∞=∑也收敛，由收敛的必要条件可得lim 0n n a →∞=．（2）证明：由于0,022n n a b ππ<<<<，23 所以sin ,sin 2222n n n n n n n na b a b b a b a ++--≤≤2222sin sin cos cos 22222222n n nnn n n n n nn n n nn n n nn n n a b b a a a b b b b a b b a b a b b b b b +--==+--≤=<=由于级数1nn b∞=∑收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数1nn na b ∞=∑收敛． （11）解：由于1lim1n n na a +→∞=，所以得到收敛半径1R =． 当1x =±时，级数的一般项不趋于零，是发散的，所以收敛域为()1,1-．令和函数)(x S =0(1)(3)n n n n x ∞=++∑，则2111()(43)(2)(1)(1)nn n nn n S x n n x n n x n x ∞=∞∞===++=++++∑∑∑211123"'3"'11(1)n n n n x x x x x x x x ∞∞++==⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-⎛⎫=+= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭∑∑。
高等数学课后习题及参考答案(第十二章)
高等数学课后习题及参考答案（第十二章）习题12-1 1试说出下列各微分方程的阶数(1)x (y ')2-2yy '+x =0 解 一阶 (2)x 2y '-xy '+y =0 解 一阶 (3)xy '''+2y '+x 2y =0解 三阶(4)(7x -6y )dx +(x +y )dy =0解 一阶(5)022=++C Qdt dQ RdtQ d L解 二阶(6)θρθρ2sin =+d d解 一阶 2 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解(1)xy '=2y y =5x 2解 y '=10x因为xy '=10x 2=2(5x 2)=2y 所以y =5x 2是所给微分方程的解(2)y '+y =0y =3sin x -4cos x解 y '=3cos x +4sin x因为y '+y =3cos x +4sin x +3sin x -4cos x =7sin x -cos x ≠0所以y =3sin x -4cos x 不是所给微分方程的解(3)y ''-2y '+y =0 y =x 2e x解 y '=2xe x +x 2e xy ''=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x因为y ''-2y '+y =2e x +4xe x +x 2e x -2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解(4)y ''-(1+2)y '+12y =0xx e C e C y 2121λλ+= 解 x x e C e C y 212211λλλλ+=' xx e C e C y 21222211λλλλ+=''因为y y y 2121)(λλλλ+'+-'')())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++-+= =0所以x x e C e C y 2121λλ+=是所给微分方程的解3 在下列各题中验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解(1)(x -2y )y '=2x -yx 2-xy +y 2=C解 将x 2-xy +y 2=C 的两边对x 求导得 2x -y -xy '+2y y '=0即 (x -2y )y '=2x -y所以由x 2-xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解(2)(xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0 y =ln(xy )解 将y =ln(xy )的两边对x 求导得y y x y '+='11 即x xy yy -='再次求导得)(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y '+'-'-⋅-=-+-'-=--'+--'=''注意到由y y x y '+='11可得1-'='y x y yx 所以)2(1])1([12y y y y x x xy y y y y y x x xy y '+'-'-⋅-='+'-'-'-⋅-=''从而 (xy -x )y ''+xy '2+yy '-2y '=0即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解4 在下列各题中确定函数关系式中所含的参数 使函数满足所给的初始条件 (1)x 2-y 2=Cy |x =0=5解 由y |x =0=0得02-52=C C =-25 故x 2-y 2=-25(2)y =(C 1+C 2x )e 2x y |x =0=0y '|x =0=1解 y '=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x由y |x =0=0y '|x =0=1得⎩⎨⎧=+=1121C C C解之得C 1=0 C 2=1故y =xe 2x(3)y =C 1sin(x -C 2) y |x ==1 y '|x ==0解 y '=C 1cos(x -C 2) 由y |x ==1y '|x ==0得⎩⎨⎧=-=-0)cos(1)sin(2121C C C C ππ 即⎩⎨⎧=-=0cos 1sin 2121C C C C解之得C 1=1 22π=C 故)2sin(π-=x y 即y =-cos x5写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程(1)曲线在点(x y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方解 设曲线为y =y (x ) 则曲线上点(xy )处的切线斜率为y '由条件y '=x 2 这便是所求微分方程(2)曲线上点P (xy )处的法线与x 轴的交点为Q 且线段PQ 被y 轴平分解 设曲线为y =y (x ) 则曲线上点P (xy )处的法线斜率为y '-1 由条件第PQ 中点的横坐标为0 所以Q 点的坐标为(-x0) 从而有y x x y '-=+-10即yy '+2x =0 6用微分方程表示一物理命题某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比 所温度的平方成反比解 2T P k dT dP = 其中k 为比例系数习题12-21 求下列微分方程的通解 (1)xy '-y ln y =0 解 分离变量得dx xdy y y 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx xdy y y 1ln 1即 ln(ln y )=ln x +ln C , 故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x -5y '=0 解 分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx 两边积分得⎰⎰+=dxx x dy )53(52即 123255C x x y ++=故通解为C x x y ++=232151 其中151C C =为任意常数(3)2211y y x -='-解 分离变量得2211x dx y dy-=-两边积分得⎰⎰-=-2211x dx y dy即 arcsin y =arcsin x +C故通解为y =sin(arcsin x +C ) (4)y '-xy '=a (y 2+y ')解 方程变形为(1-x -a )y '=ay 2分离变量得dx x a a dy y--=112两边积分得⎰⎰--=dx x a a dy y112即 1)1ln(1C x a a y----=-故通解为)1ln(1x a a C y --+= 其中C =aC 1为任意常数(5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0 解 分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22-=两边积分得⎰⎰-=dx xx y y y tan sec tan sec 22 即 ln(tan y )=-ln(tan x )+ln C故通解为tan x tan y =C(6)y x dxdy+=10解 分离变量得10-y dy =10x dx 两边积分得⎰⎰=-dxdy x y 1010即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=-- 或 10-y =10x +C 故通解为y =-lg(C -10x )(7)(e x +y -e x )dx +(e x +y +e y )dy =0解 方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1-e y )dx分离变量得dxe e dy e e xx y y +=-11两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy e e xx y y 11 即 -ln(e y )=ln(e x +1)-ln C 故通解为(e x +1)(e y -1)=C(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0 解 分离变量得dx xx dy y ysin cos sin cos -= 两边积分得⎰⎰-=dx xx dy y ysin cos sin cos 即 ln(sin y )=-ln(sin x )+ln C 故通解为sin x sin y =C(9)0)1(32=++x dxdyy解 分离变量得(y +1)2dy =-x 3dx 两边积分得⎰⎰-=+dxx dy y 32)1(即 14341)1(31C x y +-=+故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1) (10)ydx +(x 2-4x )dy =0 解 分离变量得dx xx dy y )411(4-+=两边积分得⎰⎰-+=dx xx dy y )411(4即 ln y 4=ln x -ln(4-x )+ln C 故通解为y 4(4-x )=Cx2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解(1)y '=e 2x -y y |x =0=0 解 分离变量得 e y dy =e 2x dx 两边积分得⎰⎰=dxe dy e x y 2即 C e e x y +=221或 )21ln(2C e y x +=由y |x =0=0得0)21ln(=+C 21=C所以特解)2121ln(2+=x e y(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx 4|0π==x y解 分离变量得 tan y dy =tan x dx 两边积分得⎰⎰=xdxydy tan tan即 -ln(cos y )=-ln(cos x )-ln C 或 cos y =C cos x 由4|0π==x y 得CC ==0cos 4cos π 21=C所以特解为x y cos cos 2=(3)y 'sin x =y ln yey x ==2π解 分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=两边积分得⎰⎰=dx x dy y y sin 1ln 1即 Cx y ln )2ln(tan )ln(ln +=或2tan x C e y =由e y x ==2π得4tan πC e e = C =1所以特解为2tan x e y =(4)cos ydx +(1+e -x )sin ydy =0 4|0π==x y解 分离变量得dx e e dy y y xx +=-1cos sin两边积分得⎰⎰+=-dx e e dy y y xx 1cos sin即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |或 cos y =C (e x +1)由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C 42=C 所以特解为)1(42cos +=x e y(5)xdy +2ydx =0 y |x =2=1 解 分离变量得 dx xdy y 21-=两边积分得⎰⎰-=dx xdy y 21即 ln y =-2ln x +ln C 或 y =Cx -2由y |x =2=1得C ⋅2-2=1 C =4 所以特解为24xy =3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60︒, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解 设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x 则由水力学有 x dtdV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=, 即dt x dV )9802(5.062.0⨯⨯⨯=. 又因为330tan x x r =︒=,故 dx x dx r V 223ππ-=-=,从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π-=⨯⨯⨯,即 dx x dt 2398025.062.03⨯⨯⨯=π,因此 C x t +⨯⨯⨯-=2598025.062.032π.又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053⨯⨯⨯⨯=πC ,故水从小孔流出的规律为645.90305.0)10(98025.062.0532252525+-=-⨯⨯⨯⨯=x x t π.令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解 已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=.又由牛顿定律, F =ma , 即vt dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=.由初始条件有C +⨯=⨯2210105021, C =250. 因此500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+⨯=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解 由题设知,R dt dR λ-=, 即dt RdR λ-=,两边积分得ln R =-λt +C 1, 从而 )( 1C t e C Ce R ==-λ.因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e -λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021-=e R R , 从而16002ln =λ.因此t te R e R R 000433.0010002ln 0--==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解 设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为x yx y -=--2002,故曲线满足微分方程:xy dx dy -=, 即dx x dy y 11-=,从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2⨯3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解 建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dtdx v -==, 故dx =ky (h -y )dt . 又由已知, y =at , 代入上式得 dx =kat (h -at )dt , 积分得C t ka kaht x +-=3223121.由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x -=.因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x -=.习题12-31 求下列齐次方程的通解 (1)022=---'x y y y x解 原方程变为1)(2--=xy x y dx dy令xyu =则原方程化为12-+=+u u dxdu x u 即dxx du u 1112=-两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=-+ 即Cx u u =-+12将xyu =代入上式得原方程的通解 Cx xyx y =-+1)(2 即222Cx x y y =-+(2)xy y dx dy xln =解 原方程变为xyx y dx dy ln =令xy u =则原方程化为u u dxdu x u ln =+ 即dx x du u u 1)1(ln 1=-两边积分得ln(ln u -1)=ln x +ln C 即u =e Cx +1将xyu =代入上式得原方程的通解y =xe Cx +1(3)(x 2+y 2)dx -xydy =0 解 这是齐次方程令xy u =即y =xu 则原方程化为(x 2+x 2u 2)dx -x 2u (udx +xdu )=0即dxxudu 1=两边积分得u 2=ln x 2+C将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=x 2(ln x 2+C )(4)(x 3+y 3)dx -3xy 2dy =0解 这是齐次方程 令x yu = 即y =xu则原方程化为(x 3+x 3u 3)dx -3x 3u 2(udx +xdu )=0即dx x du u u 121332=-两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=-- 即2312x Cu -= 将xyu =代入上式得原方程的通解x 3-2y 3=Cx(5)0ch 3)ch 3sh 2(=-+dy xyx dx x y y x y x解 原方程变为xyx y dx dy +=th 32令xyu = 则原方程化为u u dx du x u +=+th 32 即dx xdu u u 2sh ch 3=两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C 即sh 3u =Cx 2将xyu =代入上式得原方程的通解22sh Cx xy=(6)0)1(2)21(=-++dy yx e dx e y xy x解 原方程变为yx y xe e yx dydx 21)1(2+-=令yx u = 则原方程化为uu e e u dy du y u 21)1(2+-=+ 即uue e u dy du y 212++-=分离变量得dyy du eu e u u1221-=++两边积分得ln(u +2e u )=-ln y +ln C 即y (u +2e u )=C将y x u =代入上式得原方程的通解Ce yx y y x=+)2(即C ye x yx=+22 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 (1)(y 2-3x 2)dy +2xydx =0 y |x =0=1解 这是齐次方程 令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2u 2-3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0即 dx x du u u u 1332=-- 或dx xdu u u u 1)11113(=-+++-两边积分得-3ln |u |+ln|u +1|+ln|u -1|=ln|x |+ln|C | 即u 2-1=Cxu 3将xyu =代入上式得原方程的通解y 2-x 2=Cy 3由y |x =0=1得C =1 故所求特解为y 2-x 2=y 3(2)xyy x y +=' y |x =1=2解 令xyu =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1 即dx xudu 1=两边积分得C x u +=ln 212将xyu =代入上式得原方程的通解y 2=2x 2(ln x +C )由y |x =1=2得C =2 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2)(3)(x 2+2xy -y 2)dx +(y 2+2xy -x 2)dy =0 y |x =1=1解 这是齐次方程 令xyu =, 即y =xu 则原方程化为(x 2+2x 2u -x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u -x 2)(udx +xdu )=0即 dxx du u u u u u 1112232-=+++-+或 dx xdu u u u 1)1211(2=+-+ 两边积分得ln|u +1|-ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C | 即u +1=Cx (u 2+1)将xyu =代入上式得原方程的通解x +y =C (x 2+y 2)由y |x =1=1得C =1 故所求特解为x +y =(x 2+y 2)3设有连结点O (00)和A (11)的一段向上凸的曲线弧A O对于A O上任一点P (xy ) 曲线弧P O与直线段OP 所围图形的面积为x 2 求曲线弧A O的方程解 设曲线弧A O的方程为y =y (x ) 由题意得20)(21)(x x xy dx x y x=-⎰两边求导得x x y x x y x y 2)(21)(21)(='--即 4-='x yy令xy u = 则有4-=+u dx du x u 即dx xdu u 41-=两边积分得u =-4ln x +C将xyu =代入上式得方程的通解y =-4x ln x +Cx 由于A (1 1)在曲线上 即y (1)=1 因而C =1 从则所求方程为y =-4x ln x +x习题12-41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy-=+;解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dxx dx +=+⋅=+⎰⋅⎰=-----⎰⎰.(2)xy '+y =x 2+3x +2;解 原方程变为x x y x y 231++=+'.])23([11C dx e xx e y dx x dxx +⎰⋅++⎰=⎰- ])23([1])23([12C dx x x xC xdx x x x +++=+++=⎰⎰xC x x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y '+y cos x =e -sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdxx dx +⎰⋅⎰=⎰--)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=---⎰.(4)y '+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +⎰⋅⎰=⎰- )2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=⎰- ⎰+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx xx x x=cos x (-2cos x +C )=C cos x -2cos 2x . (5)(x 2-1)y '+2xy -cos x =0;解 原方程变形为1cos 1222-=-+'x x y x x y .)1cos (1221222C dx e x x e y dx x xdx x x +⎰⋅-⎰=⎰--- )(sin 11])1(1cos[112222C x x C dx x x x x +-=+-⋅--=⎰. (6)23=+ρθρd d ;解 )2(33C d e e d d +⎰⋅⎰=⎰-θρθθ)2(33C d e e +=⎰-θθθ θθθ33332)32(--+=+=Ce C e e .(7)x xy dxdy42=+;解 )4(22C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅⎰=⎰-)4(22C dx e x e x x +⋅=⎰- 2222)2(x x x Ce C e e --+=+=. (8)y ln ydx +(x -ln y )dy =0;解 原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+.)1(ln 1ln 1C dy e ye x dy y y dyy y +⎰⋅⎰=⎰-)ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=⎰yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=.(9)3)2(2)2(-+=-x y dxdyx ; 解 原方程变形为2)2(221-=--x y x dx dy.])2(2[21221C dx e x e y dxx dx x +⎰⋅-⎰=⎰---⎰+-⋅--=]21)2(2)[2(2C dx x x x=(x -2)[(x -2)2+C ]=(x -2)3+C (x -2).(10)02)6(2=+-y dxdyx y .解 原方程变形为y x y dy dx 213-=-.])21([33C dy e y e x dy y dy y +⎰⋅-⎰=⎰- )121(33C dy yy y +⋅-=⎰32321)21(Cy y C y y +=+=.2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dx dysec tan =-, y |x =0=0;解 )sec (tan tan C dx e x e y xdxxdx+⎰⋅⎰=⎰-)(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=⎰. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)x x x ydx dy sin =+, y |x =π=1;解)sin (11C dx e xx e y dx x dx x +⎰⋅⎰=⎰-)cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +-=+⋅=⎰.由y |x =π=1, 得C =π-1, 故所求特解为)cos 1(1x x y --=π.(3)x e x y dx dycos 5cot =+, 4|2-==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +⎰⋅⎰=⎰-)5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +-=+⋅=⎰. 由4|2-==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +-=x e x y .(4)83=+y dxdy, y |x =0=2; 解 )8(33C dx e e y dxdx +⎰⋅⎰=⎰-x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(---+=+=+=⎰.由y |x =0=2, 得32-=C , 故所求特解为)4(323x e y --=.(5)13232=-+y x x dx dy , y |x =1=0. 解)1(32323232C dx e e y dxx x dx x x +⎰⋅⎰=⎰---)21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=--⎰. 由y |x =1=0, 得eC 21-=, 故所求特解为)1(211132--=x e x y .3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y .解 由题意知y '=2x +y , 并且y |x =0=0. 由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dxdx +=+⎰⎰=⎰⎰--=e x (-2xe -x -2e -x +C )=Ce x -2x -2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x -x -1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解 由牛顿定律F =ma , 得v k t k dtdv m 21-=, 即t m kv m k dt dv 12=+.由通解公式得 )()(222211C dt e t m k e C dt e t m k ev t m kt m k dt mk dt m k +⋅=+⎰⋅⎰=⎰⎰--)(22222121C e k m k te k k et m kt mk tmk +-=-. 由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k mk C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k ev t m k t m k t m k +-=-即 )1(222121t m ke k mk t k k v ---=.5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系. 解 由回路电压定律知01025sin 20=--i dt di t , 即t i dtdi 5sin 105=+.由通解公式得t dtdt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(--+-=+⎰⋅⎰=⎰.因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π-+=+-=--t e e t t i t t (A).6. 设曲dy x x xf dx x yf L])(2[)(2-+⎰在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).解 因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以 ])(2[)]([2x x xf xx yf y -∂∂=∂∂,即 f (x )=2f (x )+2xf '(x )-2x , 或 1)(21)(=+'x f x x f .因此xC x C dx x x C dx e e x f dx x dxx +=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰-32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故x x x f 3132)(+=.7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy-=+;解 原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 112-=+, 即x x y dx y d cos sin )(11-=---. ])cos sin ([1C dx e x x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [-=+-=⎰-, 原方程的通解为x Ce yx sin 1-=.(2)23xy xy dxdy=-; 解 原方程可变形为 x y x dxdy y =-1312, 即x xy dx y d -=+--113)(. ])([331C dx e x e y xdxxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)(222323C dx xe e x x +-=⎰-31)31(222232323-=+-=--x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223-=-x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy -=+; 解 原方程可变形为 )21(31131134x y dx dy y -=+, 即12)(33-=---x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=--⎰x x x Ce x C dx e x e +--=+-=⎰-12])12([, 原方程的通解为1213--=x Ce yx .(4)5xy y dxdy=-; 解 原方程可变形为 x ydx dy y =-4511, 即x y dx y d 44)(44-=+--. ])4([444C dx e x e y dxdx +⎰⋅-⎰=⎰--)4(44C dx xe e x +-=⎰- x Ce x 441-++-=,原方程的通解为x Ce x y 44411-++-=.(5)xdy -[y +xy 3(1+ln x )]dx =0. 解 原方程可变形为)ln 1(11123x y x dx dy y +=⋅-⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +-=+--.])ln 1(2[222C dx e x e ydx x dx x +⎰⋅+-⎰=⎰-- ])ln 1(2[122C dx x x x++-=⎰ x x x x C 94ln 322--=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122--=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解. 解 原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy -=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x -=-, 即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=-, 积分得 C x du v f v g v v g +=-⎰ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然 后求出通解:(1)2)(y x dxdy+=;解 令u =x +y , 则原方程化为 21u dx du =-, 即21udu dx +=.两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =-x +tan(x -C ).(2)11+-=yx dx dy;解 令u =x -y , 则原方程化为111+=-udx du , 即dx =-udu .两边积分得1221C u x +-=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +--=, 即(x -y )2=-2x +C (C =2C 1).(3)xy '+y =y (ln x +ln y );解 令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+-, 即du uu dx x ln 11=.两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx . 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy =e Cx , 即Cx e xy 1=.(4)y '=y 2+2(sin x -1)y +sin 2x -2sin x -cos x +1; 解 原方程变形为y '=(y +sin x -1)2-cos x . 令u =y +sin x -1, 则原方程化为 x u x dx du cos cos 2-=-, 即dx du u =21. 两边积分得C x u+=-1.将u =y +sin x -1代入上式得原方程的通解C x x y +=-+-1sin 1, 即Cx x y +--=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解 原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++-=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++-=-, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得u uu C x ln 121ln 21+--=+.将u =xy 代入上式得原方程的通解xy xy y x C x ln 121ln 221+--=+, 即 2x 2y 2ln y -2xy -1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12-5 1判别下列方程中哪些是全微分方程并求全微分方程的通解(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0解 这里P =3x 2+6xy 2 Q =6x 2y +4y 2因为x Qxy y P ∂∂==∂∂12所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y y x dx x yx=++⎰⎰02202)46(3即 Cy y x x =++3223343(2)(a 2-2xy -y 2)dx -(x +y )2dy =0解 这里P =a 2-2xy -y 2Q =-(x +y )2 因为x Qy x y P ∂∂=--=∂∂22所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y x dx a yx=+-⎰⎰0202)(即 a 2x -x 2y -xy 2=C(3)e y dx +(xe y -2y )dy =0解 这里P =e y Q =xe y -2y因为x Qe y P y ∂∂==∂∂所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy y xe dx e yy x =-+⎰⎰000)2(即 xe y -y 2=C(4)(x cos y +cos x )y '-y sin x +sin y =0解 原方程变形为(x cos y +cos x )dy -(y sin x +sin y )dx =0这里P =-(y sin x +sin y ) Q =x cos y +cos x因为x Qx y y P ∂∂=-=∂∂sin cos所以此方程是全微分方程 其通解为Cdy x y x dx yx=++⎰⎰00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C 解(5)(x 2-y )dx -xdy =0 解 这里P =x 2-yQ =-x 因为xQy P ∂∂=-=∂∂1所以此方程是全微分方程 其通解为Cxdy dx x yx=-⎰⎰002即 C xy x =-331(6)y (x -2y )dx -x 2dy =0解 这里P =y (x -2y ) Q =-x 2 因为yx y P 4-=∂∂ x x Q 2-=∂∂所以此方程不是全微分方程 (7)(1+e 2)d+2e 2d=0解 这里P =1+e 2 Q =2e 2因为x Qe y P ∂∂==∂∂θ22所以此方程是全微分方程 其通解为Cd e d =+⎰⎰θθρθρρ02022即(e 2+1)=C(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0解 这里P =x 2+y 2 Q =xy 因为y y P 2=∂∂ y x Q=∂∂所以此方程不是全微分方程2利用观察法求出下列方程的积分因子并求其通解(1)(x +y )(dx -dy )=dx +dy解 方程两边同时乘以yx +1得yx dydx dy dx ++=- 即d (x -y )=d ln(x +y )所以y x +1为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为x -y =ln(x +y )+C(2)ydx -xdy +y 2xdx =0解 方程两边同时乘以21y 得02=+-xdx yxdyydx 即0)2()(2=+x d y x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C x y x =+22(3)y 2(x -3y )dx +(1-3y 2x )dy =0解 原方程变形为xy 2dx -3y 3dx +dy -3x 2dy =0两边同时乘以21y并整理得)33(2=+-+xdy ydx ydyxdx 即0)(3)1()2(2=--xy d yd x d所以21y为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为C xy yx =--3122 (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx解 方程两边同时乘以221y x +得 022=-++dx y x ydyxdx 即0)]ln(21[22=-+dx y x d所以221y x +为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为x 2+y 2=Ce 2x(5)(x -y 2)dx +2xydy =0 解 原方程变形为 xdx -y 2dx +2xydy =0两边同时乘以21x得0222=-+x dx y xydy x dx 即0)()(ln 2=+x y d x d 所以21x为原方程的一个积分因子 并且原方程的通解为C xy x =+2ln 即x ln x +y 2=Cx(6)2ydx -3xy 2dx -xdy =0 解 方程两边同时乘以x 得 2xydx -x 2dy -3x 2y 2dx =0 即yd (x 2)-x 2dy -3x 2y 2dx =0再除以y 2得03)(2222=--dx x ydyx x yd 即0)(32=-x y x d所以2yx 为原方程的一个积分因子并且原方程的通解为032=-x yx3 验证)]()([1xy g xy f xy -是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子并求下列方程的通解解 方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy -得0])()([)]()([1=+-dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P -= )]()([)(xy g xy f y xy g Q -=因为x Qxy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=-'-'=∂∂2)]()([)()()()( 所以)]()([1xy g xy f xy -是原方程的一个积分因子(1)y (x 2y 2+2)dx +x (2-2x 2y 2)dy =0解 这里f (xy )=x 2y 2+2 g (xy )=2-2x 2y 2所以3331)]()([1y x xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=-++dy y x y x dx y x x其通解为Cdy y x y x dx x x y x=-++⎰⎰132221323232即 Cy x y x =-+-)11ln (ln 31222或2212yx e Cy x =(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy -x 3y 3)dy =0解 这里f (x y )=2x y +1 g (x y )=1+2x y -x 3 y 3 , 所以441)]()([1yx xy g xy f xy =- 是方程的一个积分因子 方程两边同乘以441yx 得全微分方程2112433334=-+++dy y x y x xy dx y x xy其通解为 C dy y x y x xy dx x x y x =-+++⎰⎰14333142112即 C y y x y x =++||ln 31133224用积分因子法解下列一阶线性方程(1)xy '+2y =4ln x解 原方程变为xxy x y ln 42=+' 其积分因子为22)(x e x dxx =⎰=μ在方程x x y x y ln 42=+'的两边乘以x 2得x 2y '+2xy =4x ln x 即(x 2y )'=4x ln x两边积分得C x x x xdx x y x +-==⎰222ln 2ln 4原方程的通解为21ln 2x Cx y +-=(2)y '-tan x ⋅y =x解 积分因子为x e x xdxcos )(tan =⎰=-μ在方程的两边乘以cos x 得 cos x ⋅y '-sin x ⋅y =x cos x 即(cos x ⋅y )'=x cos x两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅⎰cos sin cos cos方程的通解为xCx x y cos 1tan ++=习题12-61 求下列各微分方程的通解 (1)y ''=x +sin x解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +-=+='⎰21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++-=+-=⎰原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++-=(2)y '''=xe x解 12C e xe dx xe y x x x +-==''⎰21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++-=+-='⎰3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++-=++-=⎰原方程的通解为32213C x C x C e xe y x x +++-=(3)211xy +=''解 12arctan 11C x dx xy +=+='⎰x C dx xx x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++-=+=⎰⎰212)1ln(21arctan C x C x x x +++-=原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++-=(4)y ''=1+y '2解 令p =y ' 则原方程化为p '=1+p 2 即dx dp p=+211两边积分得arctan p =x +C 1 即y '=p =tan(x +C 1) 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++-=+=⎰原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++-=(5)y ''=y '+x解 令p =y ' 则原方程化为 p '-p =x由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111--=+=+⎰⋅⎰=⎰⎰--x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dxdx即 y '=C 1e x -x -1于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +--=--=⎰原方程的通解为22121C x x e C y x +--=(6)xy ''+y '=0解 令p =y ' 则原方程化为 x p '+p =0 即01=+'p xp由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p xdxx 1ln 111==⎰=--即 x C y 1=' 于是 211ln C x C dx xCy +==⎰原方程的通解为 y =C 1ln x +C 2(7)yy ''+'=y '2 解 令p =y ' 则dydppdx dy dy dp y =⋅='' 原方程化为 21p dydpyp=+ 即dy y dp p p 112=-两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=- 即22121y C p ±-当|y '|=|p |>1时 方程变为 2211y C y +±=' 即dxdy y C ±=+21)(11两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=当|y '|=|p |<1时方程变为2211y C y -±=' 即dxdy y C ±=-21)(11两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2 即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=(8)y 3y ''-1=0 解 令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为013=-dydppy 即pdp =y -3dy两边积分得122212121C y p +-=- 即p 2=-y -2+C 1故 21--±='y C y 即dx dy yC ±=--211两边积分得)(12121C x C y C +±=-即原方程的通解为 C 1y 2=(C 1x +C 2)2(9)y y 1=''解 令p =y ' 则dydp py ='' 原方程化为y dy dp p1= 即dyypdp 1=两边积分得122221C y p += 即1244C y p += 故 12C y y +±=' 即dx dy C y ±=+11两边积分得原方程的通 211231]2)(32[C C y C C y x ++-+±=(10)y ''=y '3+y ' 解 令p =y '则dydppy ='' 原方程化为 p p dy dp p +=3 即0)]1([2=+-p dydpp由p =0得y =C 这是原方程的一个解由0)1(2=+-p dydp得arctan p =y -C 1 即y '=p =tan(y -C 1)从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x -=-=+⎰ 故原方程的通解为12arcsin C e y C x +=+2 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解(1)y 3 y ''+1=0 y |x =1=1 y '|x =1=0解 令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为013=+dy dppy , 即dy ypdp 31-=, 两边积分得1221C yp +=, 即y y C y 211+±='.由y |x =1=1, y '|x =1=0得C 1=-1, 从而y y y 21-±=',分离变量得 dx dy yy=-±21, 两边积分得221C x y +=-± 即22)(1C x y +-±=由y |x =1=1得C 2=-1, 2)1(1--=x y 从而原方程的通解为22x x y -=.(2)y ''-ay '2=0 y |x =0=0 y '|x =0=-1解 令p =y ', 则原方程化为02=-ap dxdp即adxdp p=21两边积分得11C ax p+=- 即11C ax y +-='由y '|x =0=-1得C 1=111+-='ax y 两边积分得2)1ln(1C ax a y ++-=由y |x =0=0得C 2=0故所求特解为)1ln(1+-=ax ay(3)y '''=e ax y |x =1=y '|x =1=y ''|x =1=0 解 11C e adx e y ax ax +==''⎰由y ''|x =1=0得a e aC 11-=2211)11(C x e a e a dx e a e a y a ax a ax +-=-='⎰由y '|x =1=0得a a e ae a C 2211-=dx e a e a x e a e a y a a a ax )1111(22⎰-+-= 322311211C x e a x e a x e a e a a a a ax +-+-= 由y |x =1=0得a a a a e a e a e a e a C 32312111-+-= 故所求特解为 322232)22()1(2a a a e a x a e a x e a e y a a a ax ----+-=(4)y ''=e 2y y |x =0=y '|x =0=0解 令p =y ', 则dydpp y ='', 原方程化为y e dydpp 2= 即pdp =e 2y dy积分得p 2=e 2y +C 1即12C e y y +±='由y |x =0=y '|x =0=0得C 1=-1 故12-±='y e y 从而dx dy e y±=-112 积分得-arcsin e -y =±x +C 2 由y |x =0=0得22π-=C 故x x e y cos )2sin(=-=-π从而所求特解为y =-lncos x (5)yy 3='' y |x =0=1y '|x =0=2解 令p =y ', 则dydppy ='', 原方程化为 y dydpp 3= 即dy y pdp 3=两边积分得12322221C y p += 即1232C y y +±=' 由y |x =0=1 y '|x =0=2得C 1=0432y y =' 从而dxdy y 243=-两边积分得24124C x y += 即42)4121(C x y +=由y |x =0=1得C 2=4故原方程的特解为4)121(+=x y(6)y ''+y '2=1 y |x =0=0 y '|x =0=0解 令p =y ', 则dy dpp y ='', 原方程化为12=+p dydpp 即2222=+p dydp于是 1)2(211222+=+⎰⋅⎰=--⎰y dydy e C C dy e e p即 121+±='-y e C y由y |x =0=0 y '|x =0=0得C 1=-1ye y 21--±='故dx dy ey ±=--211两边积分得22)1ln(C x e e y y +±=-+由y |x =0=0得C 2=0xe e y y ±=-+)1ln(2从而得原方程的特解y =lnch x3 试求y ''=x 的经过点M (01)且在此点与直线121+=x y 相切的积分曲线解 1221C x y +='21361C x C x y ++=由题意得y |x =0=121|0='=x y由21|0='=x y 得211=C 再由y |x =0=1得C 2=1 因此所求曲线为121613++=x x y4 设有一质量为m 的物体 在空中由静止开始下落 如果空气阻力为R =c 2v 2(其中c 为常数 v 为物体运动的速度) 试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系解 以t =0对应的物体位置为原点 垂直向下的直线为s 正轴 建立坐标系由题设得⎪⎩⎪⎨⎧==-===0| |0022t t v s v c mg dt dv m将方程分离变量得 dt vc mg mdv =-22两边积分得 1||ln C kt mgcv mgcv +=-+(其中m g c k 2=) 由v |t =0=0得C 1=0ktmgcv mg cv =-+||ln 即ktem gcv m g cv =-+。
高数第十二章习题答案
y 2 x 2 0 （ y y 2 x 2 Cx 2 ）
2
2. x y x xy y
（ y x tan(ln x C ) ）
3.
( xy y ) cos 2
y
y 1 2y y x0 sin C ln x 2 （ x 2 ） x x
3 x2
D. 是特解
4. y 3 xy, y Ce 2 A. 是解
（ C ） C. 是通解 D. 是特解
B. 不是解
四、求下列可分离变量的微分方程解： 1. ( xy x)dx ( y x y )dy 0 （ y 1 C ( x 1) ）
2 2 2 2
2. y e
2
（ D ） C. 是通解 D. 是特解
B. 不是解
2. y y 0, y 3sin x 4 cos x （ B ） A. 是解 B. 不是解
2 x
C. 是通解 （ B ） C. 是通解
D. 是特解
3. y 2 y y 0, y x e A. 是解 B. 不是解
2
二、指出下列微分方程的阶，同时指出它是线性的，还是非线性的： 1. x( y) 2 yy x 1 （一n x
2
（二阶线性微分方程）
1 y2 dy 3. dx 1 x 2 （一阶非线性微分方程）
4. (7 x 3 y ) dx ( x y ) dy 0 （一阶非线性微分方程） 三、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解，如果是解，是通解，还是特解？ 1. xy 2 y, y 5 x A. 是解
x y
5. (e
e x )dx (e x y e y )dy 0 （ (e x 1)(e y 1) C ）
金融学 第12章自测题(形考计分)答案
金融学第12章自测题(形考计分)答案1.利率越高，持币的机会成本越大，这是从货币需求方面看的。
2.强制储蓄是通货膨胀的社会经济效应。
3.当发生“流动性陷阱”极端情况时，利率水平低到不能再低，就会出现投机性货币需求无限大的现象。
4.___货币需求函数中的收入是指持久性收入。
5.基础货币主要由流通中现金和存款准备金构成。
6.通货紧缩的“两个下降”和“一个伴随”是指物价持续下降、信贷和货币供给量下降，伴随着经济衰退。
7.经济活动中能影响通货-存款比率与准备-存款比率的经济主体行为有居民的经济行为、企业的经济行为、金融机构的经济行为和政府的经济行为。
8.货币供应量由货币乘数和基础货币决定，提现率越高，货币供应量越小，这是关于货币供应量的正确表述。
9.货币供给的主体是___和商业银行，___创造现金通货，商业银行创造存款货币，这是货币供给过程的主要特点。
10.国际收支失衡的原因有经济发展状况、货币性因素、经济结构影响、外汇投机与国际资本流动、经济周期影响。
11.高低法定准备金率与商业银行创造存款货币的能力之间不呈正相关关系。
12.治理通货紧缩通常采用扩张性的货币政策和财政政策，这是关于治理通货紧缩的错误表述。
13.存款扩张倍数或存款乘数并不等同于货币乘数，这是错的。
14.对货币需求者来说，重要的是货币具有的购买力高低而非货币数量的多寡，因而比较关心实际货币需求，这是正确的。
15.工资-价格螺旋上涨引起的通货膨胀是成本推动型通货膨胀，不是需求拉上型通货膨胀。
1.交易方程式指的是MV＝PT，是货币需求模型中的一种。
2.用外汇储备购买国外资产不会引起基础货币的增加，这是中央银行的一项业务。
3.按照凯恩斯的观点，利率低于“正常”水平时，人们预期债券价格下降，货币需求量增加。
4.在高通胀的经济环境中，已从银行获得贷款的债务人受益最多。
5.通货-存款比率主要取决于公众的行为。
6.商业银行创造存款货币的主要制约因素是法定存款准备金率、提现率（现金漏损率）和超额准备金率。
微分方程自测题12
一 选择题 1. 设 y 1 ( x ), y 2 ( x )为常微分方程
y P ( x) y Q ( x)
的两个
相异解，下面不是此方程的通解的是（ ） （A）c ( y 1 y 2 ) y 1 （B） c ( y 1 y 2 ) y 2 （C）cy 1 y 1 2. 满足初始条件 y |t 0 2 的常微分方程 y 2 ty 的解为
x
f ( 0 ) 1,
求 f ( x ).
六 在第一象限上，有一单调减少曲线过点 ( 4 , 1) ， 从曲线上任意一点 M ( x , y ) 处分别作 x , y 轴的垂线，
相应垂足分别为 Q , P , 又在点 M 处作曲线的切线，
其与 x 轴的交点为 T , 如果长方形 OQMP 与三角形
5. 微分方程
y 2 y 8 y x e
的特解形式为
三 求解微分方程 1. 2.
x ( y 1) dx y ( x 1) dy 0
2 2
x y y (1 ln x ln y )
3.
2 x ( ye 1) dx e dy 0 y (0) 1
1 x
（D）ax e
2
x
y x 的通解为
2 的常微分方程 y ( 2 x 1) y 0 2. 满足初始条件 y ( 0 ) 1
的解为
3. 微分方程 y 4. 通解为 y c1 e
x
2 x
y 2
的通解为
c 2 xe
x
的二阶常系数线性方程为
2 4 x
x
2
x
2
4. y
《高等数学》章节自测题答案
《高等数学》章节自测题答案第1部分函数、极限与连续（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ A ）（ B ）（ D ）（ D ）（ B ）时有（ D ）二．填空题（共15分）的连续区间是三．判断下列各组极限运算的正误（8分）1．２．；；３．；；；四．求下列极限（20分）答案：2答案：答案：答案：1五．求函数的间断点，并判断类型（10分）答案：为第一类（可去）间断点；为第二类（无穷）间断点六．已知是连续函数，求的值（9分）答案：七．用零点定理证明方程在内有两个实根（20分）答案：两次利用零点定理即可．第2部分导数与微分（单元自测题）一．单项选择题（共10分）（ D ）表示（ B ）（ C ）（ D ）,函数的导数是（ C ）二．填空题（共22分）将适当的函数填入括号内(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)三．求下列函数的导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：四．求下列函数的二阶导数（16分）1．答案：２．答案：３．答案：4．答案：五．设，求（16分）答案：六．已知曲线的方程是，求曲线在点处的切线方程（10分）答案：七．已知曲线的参数方程是，求曲线在处的切线方程和法线方程．答案：切线方程；法线方程．第3部分导数的应用（单元自测题）一．单项选择题（共10分）在区间（ B ）上满足罗尔定理条件（ D ）（ D ）（ A ）极限（ C ）二．填空题（共15分）,最小值是的单调减少区间是三．求下列极限（20分）答案：答案：答案：答案：答案：四．求函数的极值和单调区间（10分）答案：五．证明曲线总是凹的（10分）答案：六．曲线弧上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半径．（10分）答案：七．求函数的四阶麦克劳林公式（10分）答案：．八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？答案：第4部分不定积分（单元自测题）一．单项选择题（共15分）（ B ）（ B ）（ B ）（ C ）；；不定积分（ D ）二．填空题（共15分），称为的不定积分三．求下列不定积分（55分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．试用三种方法求不定积分（15分）答案：方法一：令；方法二：分子；方法三：令第5部分定积分（单元自测题）一．单项选择题（共18分）（ C ）（ A ）（ C ）（ B ）；；；（ D ）（ B ）二．填空题（共15分）原函数三．计算下列定积分（24分）答案：答案：答案：答案：答案：答案：四．下列积分中，使用的变换是否正确?如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）答案：不正确，直接法，答案：正确，答案：不正确，几何意义或者令，五．已知有连续的二阶导数，求（10分）答案：六．判断下列广义积分的收敛性（12分）答案：答案：发散答案：答案：发散七．研究函数的单调性，并求其极值（9分）答案：第6部分定积分的应用（单元自测题）一．单项选择题（共20分）（ A ）而成的立体体积为（ B ）（ A ）4 （ C ）（ D ）二．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：三．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：四．求曲线轴所围图形的面积（10分）答案：五．求曲线所围成的图形绕轴旋转而成的立体体积（10分）答案：六．半径为10m的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）答案：七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m，深6m，求当水面在闸门顶上8m的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线分圆盘为两部分，求这两部分面积的比（10分）答案：第7部分常微分方程（单元自测题）一．解下列可分离变量方程（共12分）答案：答案：答案：二．解下列齐次方程（8分）答案：答案：三．解下列一阶线性方程（25分）答案：答案：答案：答案：答案：四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）答案：答案：答案：五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）答案：答案：答案：答案：．答案：六．已知某厂的纯利润对广告费的变化率为,与常数和纯利润之差成正比，当时，,试求纯利润与广告费之间的函数关系.（1０分）答案：第8部分空间解析几何与向量代数（单元自测题）一．各类计算题（共30分）在坐标面上求与三已知点等距离的点答案：已知向量的方向角且，求答案：求过点且与平面垂直的直线方程答案：求同时垂直于向量和向量的单位向量答案：5．求过直线的平面方程答案：已知垂直，求答案：二．求以为顶点的四边形面积(10分)答案：三．求两平面，的夹角（10分）答案：四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）答案：互相垂直答案：重合答案：平行答案：直线在平面上五．求点到直线的距离（10分）答案：六．求平面曲线绕轴旋转所得曲面的方程（10分）答案：七．求曲线在面上的投影（10分）答案：第9部分多元函数微积分（单元自测题）一．关于一阶偏导数（共16分）若，求答案：若，求答案：若，求答案：若，求答案：二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）若，求答案：若，求答案：三．关于复合函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：四．关于隐函数的偏导数（10分）若，求答案：若，求答案：五．关于极值问题（12分）求的极值答案：设，求在条件下的极小值答案：六．交换下列积分次序（16分）答案：答案：答案：答案：七．计算下列二重积分（24分），答案：答案：，答案：，答案：第10部分无穷级数（单元自测题）一．判断下列级数的敛散性（共30分）答案：收敛答案：发散答案：收敛答案：发散5．答案：条件收敛答案：绝对收敛答案：绝对收敛答案：时绝对收敛；时发散答案：收敛答案：收敛二．证明（6分）答案：利用级数收敛的必要条件三．求下列级数的收敛域（12分）答案：答案：答案：答案：四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）答案：答案：五．将下列函数展开成的幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：答案：六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）答案：答案：七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）答案：答案：第11部分概率（单元自测题）一．单项选择题（共24分）（ B ）设为随机事件，,则必有（ A ）设互为对立事件，且,则下列各式中错误的是（ A ）抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是（ C ）设随机变量的分布函数为，下列结论中不一定成立的是（ D ）下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）如果函数是某连续型随机变量的概率密度，则区间可以是（ C ）设随机变量的概率密度为，令,则的概率密度为（ D ）二．填空题（15分）设与互相独立，则某射手命中率为，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为设为连续型随机变量，是一个常数，则= 0设∽，则= 0.5设∽，则的概率密度=三．设（8分）答案：0.4四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分）五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个次品被误判为合格品的概率为0.03，求：（10分）(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率．答案：(1)0.9325；(2)0.9984六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分）答案：0 1 2七．设的概率密度为, 求：（10分）(1) 的分布函数；(2) ．答案：(1) ；(2)0.625，0.625八．已知某种类型电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。
高等数学微分方程试题(可编辑修改word版)
1 21 2 1 2 第十二章 微分方程§12-1 微分方程的基本概念一、判断题1.y=ce 2x (c 的任意常数)是 y ' =2x 的特解。
() 2.y=( y ') 3 是二阶微分方程。
() 3.微分方程的通解包含了所有特解。
( )4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。
（ ）5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。
（）二、填空题1.微分方程.(7x-6y)dx+dy=0 的阶数是 。
2. 函数 y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线 y=(c +c x)e 2x 中满足 y x=0=0,y 'x=0=1 的曲线是 。
三、选择题 1. 下列方程中是常微分方程2 2 2darctan x∂ 2a ∂ 2a' 2 2（A ）、x +y =a(B)、 y+(e) = 0(C)、+=0 （D ）、 y =x +ydx2. 下列方程中是二阶微分方程∂x 2∂y 2（A ）（ y ' ）+x 2 y ' +x 2=0(B) ( y ' ) 2+3x 2y=x 3 (C) y '' +3 y ' +y=0(D) y ' -y 2=sinx3. 微分方程 d 2 y dx 2+w 2y=0 的通解是其中 c.c 1.c 2 均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx(D)y=c coswx+c sinwx2 4. C 是任意常数，则微分方程 y ' = 3y 3的一个特解是（A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1. y = Cx 2 + C 2 （其中C 为任意常数）2. y = C e 2x+ C e 3x （其中C , C 为任意常数）五、质量为 m 的物体自液面上方高为 h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。
高等数学自测题第12章 自测题2
第12章自测题2 一．选择题1．函数f(x,y)在有界闭域D上连续是二重积分⎰⎰Dyxyxf dd),(存在的(A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件；(C)必要条件，但非充分条件； (D)既非充分条件，又非必要条件。
答 ( )2．设f(x,y)为连续函数，则二次积分可交换积分次序为答 ( ) 3．设，其中D是由直线x=0,y=0,及x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序为(A)I3＜I2＜I1 ； (B)I1＜I2＜I3 ;(C)I1＜I3＜I2 ； (D)I3＜I1＜I2。
答( )4．若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则(A) e ； (B) 1-e； (C) 0 ； (D)π。
答( )二．填空题1．二重积分⎰⎰Dyxxy dd=_______________，其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1。
2．设D：x2+y2≤4，y≥0，则二重积分⎰⎰Dyxyx d)dsin(23=_____________________。
3．二次积分dyyxfdxx⎰⎰-211),(在极坐标系下先对r积分的二次积分为___________。
4．（280090）曲面z2=x2+y2包含在圆柱面x2+y2=2x内部的那部分曲面∑的面积S=________________。
三．变换下列二次积分的次序1．设f(x,y)为连续函数，交换二次积分xyxfyyyrrrd),(d22⎰⎰--的积分次序。
2．设f(x,y)是连续函数，交换二次积分yyxfxxxd),(d22422⎰⎰--的积分次序。
3．设f(x,y)是连续函数，交换积分的积分次序。
4．设f(x,y)是连续函数，交换积分的积分次序。
四．计算下列二重积分1．计算二重积分⎰⎰Dyxxy dd81，其中D：y≤x≤,0≤y≤，y≥0。
2．计算二重积分⎰⎰Dyxx dyd，其中D为由y=x，y=2x,x=4所围成的区域。
3．计算二重积分，其中区域D为x2+y2≤1在第一象限部分。
高等数学1-6章单元自测题
《高等数学》单元自测题第一章 函数与极限专业 班级 姓名 学号一、 填空题：1．设，则=_________________。
2. =+-∞→nn nn n 3232lim _________________。
3. =-∞→x x x 2)11(lim _________________。
4． ___________________。
5． 已知时与是等价无穷小，则__________。
6． 函数的连续区间是_____ _____。
二、 选择题：1．函数)12arcsin(412-+-=x x y 的定义域是（ ）。
（A ）)2,0[； （B ）)2,2(-； （C ）]4,0[； (D) ]4,2(-。
2．已知极限，则常数（ ）。
(A) ； (B) 0 ；(C) 1； (D) 2 。
3．若，则下面选项中不正确的是（ ）。
(A) ，其中为无穷小； (B)在点可以无意义；(C) ； (D) 若，则在的某一去心邻域内。
()xx x f +-=11()[]x f f =++∞→xx x x 1sin 2332lim 20→x ()11312-+ax1cos -x =a ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<=0,1sin ,0, 0 ,0, e 1x x x x x x f x 0)2(lim 2=++∞→kn nn n =k 1-()A x f x x =→0lim α+=A x f )(α)(x f 0x )(0x f A =0>A 0x 0)(>x f4． 当时，下列哪一个函数不是其他函数的等价无穷小（ ）。
(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。
5．设函数在点处连续，则常数的值为（ ）。
(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。
6． 已知函数在上单调增加，则方程必有一个根的区间是（ ）。
(A) )0,1(-； (B) )1,0(； (C) ； (D) 。
三、 计算下列各题：1．求函数的反函数，并求反函数的定义域。
工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案
工科类本科《高等数学》第11,12章自测题参考答案1. 若L 是抛物线 x y =2上从点A )1,1(-到点B )1,1(的一段弧，则()Lx y dx +=⎰43；(3)Lx y dy -=⎰ 2 . 解：L 的方程为2,x y y =从-1变到1，而2dx ydy =，于是()1111232211104()222043Lx y dx yy ydy y dy y dy y dy ---+=+⋅=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰.()1111222111(3)33602Lx y dy y y dy y dy ydy y dy ----=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰.注意：定积分的积分区间关于原点对称，考虑被积函数的奇偶性可以简化计算. 2.已知L 为圆周 122=+y x 沿逆时针方向，则曲线积分()(sin )xLey dx y x dy -++⎰=2π.解：计算封闭曲线积分，一般考虑用格林公式，这里(),sin ,112x Q P P e y Q y x x y ∂∂=-=+-=--=∂∂.于是()222211(sin )222xLx y x y ey dx y x dy dxdy dxdy π+≤+≤-++===⎰⎰⎰⎰⎰.注意：221x y dxdy +≤⎰⎰等于圆域221x y+≤的面积.3.若曲线积分()3222(cos )1sin 30Laxy y x dx ay x x y dy -+-+=⎰，则a =__2___.解：依题意，有Q P x y∂∂=∂∂，这里3222cos ,1sin 3,P axy y x Q ay x x y =-=-+2232cos ,cos 6.P Q axy y x ay x xy y x ∂∂=-=-+∂∂比较可得2a =. 4.若22xdy aydxx y-+在右半平面0x >内是某个函数的全微分，则a =__1__. 解：依题意，有Q P x y∂∂=∂∂，这里2222,,ay xP Q x y x y -==++ ()()()()()()2222222222222222222222,.a x y ay y x y x x P ax ay Q x y y x x y x y x y x y -++⋅+-⋅∂-+∂-+====∂∂++++ 比较可得1a =. 5.将()1x f x x +＝展开为x 的幂级数1xx=+()1231, 1.n n x x x x x --+-+-+<或1xx=+()111,1n n n x x ∞-=-<∑.解：当1x <时，()()11x x f x x x =+--＝为首项是x 公比为x -的等比级数，所以()()1123111, 1.1n n nn n xx x x x x x x∞--==-+-+-+=-<+∑6. 幂级数∑∞=1n 3n n x n的收敛半径R= 13，收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.解：n n 113311,lim lim 33n n n n n n a n a R n a n +→∞→∞++===⋅=收敛半径，收敛区间是11-33⎛⎫⎪⎝⎭，，而当13x =-时，级数n 1131(1)n n n n x n n ∞∞===-∑∑是条件收敛的交错级数；当13x =时，级数n 1131n n n x n n∞∞===∑∑是发散的调和级数.故收敛域是11-33⎡⎫⎪⎢⎣⎭，.7.下列级数发散的是（ A ）.A.11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑; B. 211n n∞=∑； C. 115n n ∞=∑； D. 111(1)2n nn ∞-=-∑. 解：A.1ln 1n u n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，取1n v n =，由lim 1n n nu v →∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故11ln 1n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑发散.B 选项是p 级数，21p =>，故211n n∞=∑收敛.C 选项是公比为15q =的等比级数，由115q =<知115n n ∞=∑收敛.D选项是交错级数，而正项级数11111(1)22n n n n n ∞∞-==-=∑∑115q ⎛⎫=< ⎪⎝⎭是收敛的等比级数，故111(1)2n n n ∞-=-∑绝对收敛.8.下列级数收敛的是（ C ）. A.11sin n n ∞=∑; B. 1n ∞= C. 115n n ∞=∑；D. n ∞=解：A 选项1sin n u n =，取1n v n =，由lim 1n n nu v →∞=，而调和级数11n n ∞=∑发散，故11sin n n ∞=∑发散.B选项15nn u -==，由0lim 510n n u →∞==≠知级数n ∞=. C 选项是公比为15q =的等比级数，由115q =<知115n n ∞=∑收敛. D选项1151n n n∞∞===∑是p 级数，115p =<，故n ∞=. 9.计算曲线积分22(3)(3),Lx y dx y x dy +++⎰其中L 是从O(0, 0)沿上半圆224(0)x y x y +=≥到A(4,0)的曲线段.解：已知22(,)3,(,)3P x y x y Q x y y x =+=+，则3,3P Qy x∂∂==∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂，所以曲线积分与路径无关.选取x 轴上直线段OA 路径，此时0,y x =从0 到4，0dy =，于是44222300164(3)(3)33Lx y dx y x dy x dx x +++===⎰⎰. 10.计算曲线积分3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰其中L 是从A(2, 0)沿上半圆222(0)x y x y +=≥到O(0,0)的曲线段.解： 已知3(,)(2),(,)2P x y x y Q x y y x =-+=+，则2,2,4P Q Q P y x x y∂∂∂∂=-=-=∂∂∂∂. 为了使用格林公式，添加辅助直线段OA ,记它与L 所围成的区域为D,D 是上半圆域222,0x y x y +≤≥，且边界封闭曲线方向是规定的正向. 而直线段OA 方程为：0,y x =从0到2，此时0dy =.则 3(2)(2)Ly x dy x y dx +-+⎰33(2)(2)(2)(2)L OAOAy x dy x y dx y x dy x y dx +=+-+-+-+⎰⎰()2342001444D Ddxdy x dx dxdy x =--=+⎰⎰⎰⎰⎰1442 4.2ππ=⋅+=+（注Ddxdy ⎰⎰等于上半圆域D 的面积）11.设dy y xy x dx y xy x du )32()23(2222+--+-=，求原函数),(y x u . 解法一：已知2222(,)32,(,)(23)P x y x xy y Q x y x xy y =-+=--+， 而22,22P Q x y x y y x ∂∂=-+=-+∂∂.因为P Qy x∂∂=∂∂，所以曲线积分L Pdx Qdy +⎰与路径无关.取折线路线0AB ：(0,0)(,0)(,)O A x B x y →→.其中直线段OA 方程为：0,y x =从0到x ，此时0dy =；直线段AB 方程为：,x x y =从0到y ，此时0dx =.则原函数 (,)OAB OAABu x y Pdx Qdy C Pdx Qdy Pdx Qdy C =++=++++⎰⎰⎰22203(23)xy x dx x xy y dy C =+--++⎰⎰3223x x y xy y C =-+-+解法二：已知2222(32),(23)u ux xy y x xy y x y∂∂=-+=--+∂∂，两式子分别对,x y 两边积分，有 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰，22223(,)(23)()u x y x xy y dy x y xy y x ψ=--+=-+-+⎰.从而，有 322223()()x x y xy y x y xy y x ϕψ-++=-+-+， 比较上式两边，有 33(),()y y C x x C ϕψ=-+=+.故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 解法三：依题意，知2232u x xy y x ∂=-+∂（1）， 22(23)ux xy y y∂=--+∂（2）.（1）式两边对x 积分，得 22322(,)(32)()u x y x xy y dx x x y xy y ϕ=-+=-++⎰（3）（3）式两边对y 求偏导，得22()ux xy y yϕ∂'=-++∂ （4）. 比较（2）、（4）式，得 2()3y y ϕ'=-，两边对y 积分，得 3()y y C ϕ=-+. 故 3223(,)u x y x x y xy y C =-+-+. 12.判别下列正项级数的敛散性：（1）12sin 3nn n π∞=∑；（2）2121n n n n ∞=+-∑；（3）13!n nn n n ∞=⋅∑；（4）121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑. 解：（1）()22sin2333nnn n nn u n πππ⎛⎫=⋅=→∞ ⎪⎝⎭，取23nn v ⎛⎫= ⎪⎝⎭.由23lim lim 23nn n n n nu v ππ→∞→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，又已知等比级数122133n n q ∞=⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑收敛. 因此根据正项级数的比较判别法知 级数2sin3n nπ∑收敛.（2）221n n u n n =+-，取1n v n =. 由22lim lim 121n n n nu n v n n →∞→∞==+-，又已知调和级数1n ∑发散.因此根据正项级数的比较判别法知 级数221nn n +-∑发散.（3）13!n nn n n∞=⋅∑ 解：3!n n n n u n ⋅=，因为 ()()11131!13lim lim 3lim 3lim 13!1111nn n n n n n n n n n nn u n n u n n e n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+⎛⎫=⋅===> ⎪⋅+⎝⎭+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以根据正项级数的比值判别法知 级数3!n nn n ⋅∑发散.（4）21n n n ⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 解：21nn n u n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，因为1lim 1212n n n n →∞==<+， 所以根据正项级数的根值判别法知 级数21nn n ⎛⎫⎪+⎝⎭∑收敛.13.求下列幂级数的和函数：（1）111n n x n -∞=+∑；（2）11n n nx ∞-=∑. 解：（1）此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-.设幂级数的和函数为()s x ，则11()1n n x s x n -∞==+∑ （1x <）， 1(0)2s =对121()1n n x x s x n +∞==+∑逐项求导，得()1211()11n n n n x x x s x x n x +∞∞=='⎛⎫'=== ⎪+-⎝⎭∑∑ ()11x -<< 对上式从0到x 积分，得 ()[]2000111()1ln(1).111xx x t t x s x dt dt dt x x t t t --⎛⎫⎛⎫==-=--=-+- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ 于是当0x ≠时，有 2ln(1)()x x s x x +-=-.从而 和函数2ln(1),01;()1,0.2x x x xs x x +-⎧-<<⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.特殊的，当1x =-时，级数()()112111n nn n n n-∞∞==--=+∑∑收敛.所以2ln(1)()x x s x x +-=-在1x =-也成立.（2）此幂级数的收敛半径为1，收敛区间为(1,1)-.设和函数为()s x ，则11()n n s x nx∞-==∑ （1x <）.对上式从0到x 逐项积分，得111()1x xn n n n xs t dt nt dt x x∞∞-=====-∑∑⎰⎰ 对上式求导，得22(1)(1)1()1(1)(1)x x x s x x x x '--⋅-⎛⎫=== ⎪---⎝⎭，1x <.。
高等数学》专升本自测试题1(含答案)
高等数学》专升本自测试题1(含答案)1、若 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有 $F'(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 为$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的原函数。
2、下列函数中，是 $f(x)=e^{-x}$ 的原函数的是 $B$，即$e^{-x}+1$。
3、$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C$。
4、设 $f(x)=\int e^xdx$，则 $f'(0)=e^0=1$。
5、设 $f(x)=\int \sin^2xdx=\frac{1}{2}\int (1-\cos2x)dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin2x)+C$，所以$f'(\frac{\pi}{2})=0$。
6、若 $\int f(x)dx=2x^2+x+C$，则 $f(x)=4x+1$。
7、若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $a\neq 0$，$b$ 是常数，则 $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$。
8、$\int \frac{2x-3}{x^2-3x-10}dx=\int \frac{2x-3}{(x-5)(x+2)}dx=\int (\frac{3}{x-5}-\frac{1}{x+2})dx=\ln|x-5|-\ln|x+2|+C$。
9、$\int \frac{\sin x}{2-\cos x}dx=-\int \frac{d(2-\cos x)}{2-\cos x}=-\ln|2-\cos x|+C$。
10、$\int \frac{x-3}{x-2}dx=\int (1-\frac{1}{x-2})dx=x-\ln|x-2|+C$。
11、若 $f(x)$ 的原函数为 $F(x)$，则 $\intf[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。
数学分析第十二章反常积分自测题解答
数学分析第十二章反常积分自测题解答一、判断题 (每小题2分,共12分) ( √ )1. 若无穷积分()d af x x +∞⎰收敛, 则无穷积分()d af x x +∞⎰也收敛.( × )2.a xx a1d 2=⎰+∞)0(≠a . ( √ )3. 无穷积分1sin d xx x+∞⎰发散. ( × )4. 设a 是非负函数)(x f 的瑕点,且+∞<=+→d x f x ax )(lim λ,1<λ,则瑕积分⎰bax x f d )(收敛.( √ )5．在[()()] d af xg x x +∞+⎰收敛的条件下，()d af x x +∞⎰可能发散. ( × )6. 若无穷积分()d af x x +∞⎰收敛，则无穷积分2()d af x x +∞⎰也收敛.注：2. 当0<a 时，0是被积函数21)(x x f =的瑕点，且瑕积分⎰0 2d a xx 发散. 4. 当a 是)(x f 的瑕点时,判别瑕积分的敛散性要考虑极限)()(lim x f a x ax λ-+→.二、选择题 (每小题2分, 共10分) １.下列结论或运算正确的是（ C ）.A.2311d d x x x x +∞+∞<⎰⎰B. 由于21x x +是奇函数,故2d 01x x x+∞-∞=+⎰. C. 4d 01x x x +∞-∞=+⎰ D. 由于arctan x x 是偶函数,故0arctan arctan d 2d x x x x x x+∞+∞-∞=⎰⎰.注：无穷积分 2 1d x x +∞⎰，31d x x +∞⎰，2d 1x x x +∞-∞+⎰， 0arctan d x x x +∞⎰均发散； 而24 001πd arctan 124x x x x +∞+∞==+⎰， 00241πd arctan 124x x x x -∞-∞==-+⎰. ２.()d f x x +∞-∞⎰收敛是0()d f x x +∞⎰与0()d f x x -∞⎰都收敛的( A ).A.充要条件B.必要条件C.充分条件D.无关条件 ３.下列广义积分中发散的是( D ). A.211d x x +∞⎰B. 10x ⎰C. 10x ⎰D. 101d 1x x -⎰ 4.2211d x x -=⎰( D ).A. 32-B. 12C. 12- D. 不存在5.1x +∞=⎰( B ).A. 0B.2π C. 4πD. 不存在 注:1111)x x x +∞+∞+∞==⎰⎰⎰11πarcsin 2x +∞=-=. 三、填空题 (每小题2分,共10分)1. a 是函数)(x f 的瑕点⇔)(x f 在点a 的任意邻域无界.2. 无穷积分()d f x x +∞-∞⎰发散⇔∃R C ∈, ()d cf x x +∞⎰与 ()d cf x x -∞⎰之一发散.3. 瑕积分⎰-21)2(d λx x当 λ满足1<λ时收敛. 4. 当1≤λ时, 无穷积分x x d )1(12⎰+∞-λ发散.5. 无穷积分x x xd sin 1⎰+∞λ当 λ满足10≤<λ时条件收敛, 当 λ满足1>λ时绝对收敛. 四、求下列反常积分(每小题5分,共30分) 1.21d 93x x+∞-∞+⎰. 解: 由定义22 0011d lim d lim 9393pp p p x x x x +∞→+∞→+∞===++⎰⎰022 11πd lim d lim 9393992q q q qx x x x -∞→-∞→-∞===++⎰⎰, 故0222 0111d d d π9393939x x x x x x +∞+∞-∞-∞=+=+++⎰⎰⎰. 2.211d (1)x x x +∞+⎰.解:222 111111d ()d ln ln(1)(1)12x x x x x x x x x +∞+∞+∞⎡⎤=-=-+==⎢⎥++⎣⎦⎰⎰3． d 1xx ex e-+∞--∞+⎰.解: 00 0d d ln(1)ln 211xx x xx e e x x e e e---∞-∞-∞==+=++⎰⎰, 0 00d d ln(1)ln 211xxx xx e e x x e e e--+∞+∞+∞---==-+=++⎰⎰, 故d 2ln 21x x ex e-+∞--∞=+⎰. 4．20x ⎰. 解: 1=x 是被积函数31)(-=x xx f 的瑕点,分别考虑瑕积分10x ⎰与 2 1x ⎰,有11 1 0 000lim lim x x x ηηηη++--→→==⎰⎰⎰ 152330 03321lim[(1)(1)]5210x x ηη+-→=-+-=,21x⎰210lim x ηη++→=⎰ 252330 13321lim[(1)(1)]5210x x ηη+→+=-+-=,故20x⎰1x =+⎰ 21215x =⎰.5.1x ⎰.解: 0=a 是被积函数xx x f -=2)(的瑕点,有111 0 0103x x ===⎰⎰.6.1x ⎰.解: 0=a 是被积函数)1(1)(x x x f +=的瑕点,有1 11 00 00lim lim 2ln(12ln 2x ηηηη+++→→===⎰⎰.五、判断下列反常积分的敛散性(每小题5分,共30分) 1．1x ⎰.解: 1=b 是被积函数21)(xx x f -=的瑕点.由 1122111lim(1)()lim(1)x x x x f x x ---→→→-=-==, 有112λ=<,d =,故瑕积分 1 0x ⎰收敛. 2．222 11sin d x x xππ-⎰. 解: 0=x 是被积函数x x x f 1sin 1)(2=的瑕点. 由于22201111limsin d lim (sin )d()x x x x x ππηηηη++→→=-⎰⎰π20011lim cos lim[cos π-cos ]x ηηηη++→→== 不存在，故瑕积分22 011 sin d x x x π⎰发散,从而瑕积分22 2 11 sin d x x xππ-⎰发散.3．22ln d (1)x xx x +∞+⎰. 解: 由4222222ln ln lim ()lim lim 0(1)(1)x x x x x x xx f x xx x x→+∞→+∞→+∞===++, 有21λ=>,0d =,故无穷积分22ln d (1)x xx x +∞+⎰收敛. 注:由于22220000ln 1lim ()limlim lim ln 0(1)(1)x x x x x x f x x x x x →→→→==⋅=++,故0=x 不是)(x f 的瑕点.补充定义0)0(=f ,则被积函数)(x f 在区间[0,)+∞连续.4.2x +∞⎰.解:2=x 是被积函数)2)(1(1)(--=x x x x f 的瑕点,分别考虑瑕积分32x ⎰与无穷积分 3x +∞⎰,由 1122222lim(2)()lim(2)limx x x x f x x +++→→→-=-==, 有112λ=<, d =, 故瑕积分 3 2x ⎰收敛；由3322lim ()lim lim 1x x x x f x x→+∞→+∞===, 有312λ=>, 1d =, 故无穷积分 3x +∞⎰收敛. 综上, 反常积分2x +∞⎰收敛.5.21d (0)(ln )pxp x x +∞>⎰. 解: 1=x 是被积函数21()(ln )pf x x x =(0p >)的瑕点，分别考虑瑕积分22 11d (ln )p x x x ⎰与无穷积分2 21d (ln )p x x x +∞⎰. （１）由 21111lim(1)()lim 1ln ppx x x x f x x x ++→→-⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 即有p λ=,1d =． 于是，当1p ≥时,瑕积分22 11d (ln )p x x x ⎰发散；当01p <<时,瑕积分22 11d (ln )p x x x ⎰收敛.（２）由22211lim ()lim lim 0(ln )(ln )p p x x x x f x xx x x →+∞→+∞→+∞===, 有21λ=>,0d =,于是，无穷积分2 21d (ln )px x x +∞⎰收敛. 综上, 反常积分211d (ln )px x x +∞⎰当01p <<时收敛， 当1p ≥时发散．6.1d (0)(ln )pxp x x +∞>⎰. 解: 1=x 是被积函数1()(ln )pf x x x =(0p >)的瑕点，分别考虑瑕积分211d (ln )px x x ⎰与无穷积分 21d (ln )p x x x +∞⎰. （１）由 1111lim(1)()lim 1ln ppx x x x f x x x ++→→-⎛⎫-== ⎪⎝⎭, 即有p λ=,1d =． 于是，瑕积分211d (ln )p x x x ⎰当1p ≥时发散；当01p <<时收敛.（２）2d (ln )p x x x +∞⎰2+1 212ln(ln ), 1dln 1, 11(ln )(1)(ln 2)(1)(ln ), 1p p p x p x p x p p x p +∞∞+∞--⎧=+∞=⎪⎪⎧==>⎨⎪-=⎨⎪-⎪⎪+∞<⎩⎩⎰, 于是，无穷积分2 21d (ln )px x x +∞⎰当1p ≤时发散；当1p >时收敛. 综上, 反常积分211d (ln )px x x +∞⎰发散．六、证明:反常积分sin d xx xλ+∞⎰（1）当01λ<≤时条件收敛(注:此时0不是被积函数的瑕点)； （2）当12λ<<时绝对收敛； （3）当2λ≥时发散. (8分) 证：(1) 当01λ<≤时, 由1000, 1sin sin lim lim 1, 1x x x x x x x λλλλ++-→→<⎧=⋅=⎨=⎩,知0=x 不是被积函数 sin xx λ的瑕点，所以 0sin d x x xλ+∞⎰为无穷积分． 首先，证明无穷积分 1sin d x x x λ+∞⎰收敛．取1()f x x λ=，()sin g x x=，有１）1()f x x λ=在 区间[1,)+∞单调减少且1lim 0x xλ→+∞=；２）1()sin d cos1cos 2A F A x x A ==-≤⎰，即有界．由狄利克雷判别法，无穷积分 1sin d x x x λ+∞⎰收敛，从而无穷积分0sin d xx xλ+∞⎰收敛． 其次，证明无穷积分1sin d xx xλ+∞⎰发散．已知1x ∀≥，有2sin sin x x ≥，从而 2sin sin 1cos 21cos 2222x x x xx x x x xλλλλλ-≥==-．无穷积分1cos 2d 2xx x λ+∞⎰收敛，但无穷积分11d 2x x λ+∞⎰发散，故无穷积分11cos 2d 2x x x λ+∞-⎰发 散，从而无穷积分sin d xx xλ+∞⎰发散． 于是，当01λ<≤时，无穷积分0sin d xx x λ+∞⎰条件收敛．（２）（３） 当1λ>时, 由1000sin 1sin lim ()lim lim x x x x xf x x x xλλ+++-→→→==⋅=+∞,知0=x 是被积 函数λxxx f sin )(=的瑕点,所以要分别考虑无穷积分 1sin d x x x λ+∞⎰与瑕积分 1 0sin d x x x λ⎰.由于sin 1()x f x x x λλ=≤, 已知无穷积分 11d x x λ+∞⎰收敛(1λ>),故当1λ>时,无穷积分 1sin d xx x λ+∞⎰绝对收敛. 在区间(0,1]，被积函数sin ()0x f x x λ=>，且有100sin sin lim lim 1x x x x x x xλλ++-→→==,故当11λ-<,即12λ<<时,瑕积分1x ⎰绝对收敛；当11λ-≥,即2λ≥时,瑕积分1x ⎰发散．于是，反常积分sin d xx xλ+∞⎰当12λ<<时绝对收敛，当2λ≥时发散.。
高等数学(经济类)课后习题及答案第十二章 微分方程答案
习题12—1（A ）1. 指出下列各微分方程的阶数：（1）y y x 3='； （2）0d 2d )(3=--y x x x y ； （3）y y x y x '='+''+2)2(； （4）22()yy y y ''''''=-；（5）(5)(3)242cos y yy y x ''+-+=； （6）232d d 2d d P P tt t t+=； （7）0222)4(=+'-''+'''-y y y y y；答案：（1）一阶；（2）一阶；（3）二阶；（4）三阶；（5）五阶；（6）二阶；（7）四阶. 2. 验证下列各函数是否为所给微分方程的解. 如果是解，请指出是通解，还是特解？（1）函数3y x =，微分方程y y x 3='；（2）函数sin 3y C x =，微分方程90y y ''+=；（3）由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =，微分方程(1)()0y dx x y dy +++=； （4）函数xy λe =（其中λ是给定的实数），微分方程0=+'''y y ．解：（1）因为23y x '=，左式233=xy x x y '==⋅=右式，所以函数3y x =是微分方程y y x 3='解．又因为函数3y x =不包含任意常数，所以是特解．（2）因为9sin39y C x y ''=-=-，即90y y ''+=，所以函数sin 3y C x =是微分方程90y y ''+=解，但是由于sin 3y C x =中只有一个任意常数，又因为微分方程是二阶的，所以sin 3y C x =既不是微分方程90y y ''+=的通解，也不是特解，只是解．（3）等式C x y xy =++22两边同时对x 求导，有d d 10d d y y y x y x x+++=，整理得(1)()0y dx x y dy +++=，所以由C x y xy =++22确定的函数)(x y y =是(1)()0y dx x y dy +++=的解，又C x y xy =++22中含有一个任意常数，而(1)()0y dx x y dy +++=是一阶微分方程，所以Cx y xy =++22是(1)()0y dx x y dy +++=通解．（4）因为x y λe =，则有3e xy λλ'''=，所以33ee (1)e xx x y y λλλλλ'''+=+=+．当1λ=-时，3(1)e 0x y y λλ'''+=+=，则x y λe =是微分方程0=+'''y y 的解，并且是特解；当1λ≠-时，3(1)e0xy y λλ'''+=+≠，则x y λe =不是微分方程0=+'''y y 的解．3. 若函数e xy α=是微分方程0y y ''''-=的解，求的α值．解：由e x y α=得，e x y αα'=，3e xy αα'''=，将它们代入微分方程0y y ''''-=，得32e e (1)=0x x x y y e ααααααα''''-=-=-，所以1α=-，0或1．4．验证下列所给的各函数是微分方程的通解，并求满足初始条件的特解.（1）函数21y Cx =+，微分方程22xy y '=-，初始条件(1)2y =； （2）函数22x y C +=，微分方程0yy x '+=，初始条件1)1(=y ；（3）函数12()xy C C x e =+，微分方程20y y y '''-+=，初始条件(0)0y =，(0)1y '=.解：（1）因为2y Cx '=，所以222(1)222xy x Cx Cx y '=⋅=+-=-．又2Cx y =中含有一个任意常数，22xy y '=-是一阶微分方程，所以函数21y Cx =+是微分方程22xy y '=-的通解．由(1)2y =，可得1C =，所以微分方程22xy y '=-满足初始条件(1)2y =的特解是2+1y x =．（2）对隐函数22x y C +=的两边求关于x 的导数，得220x yy '+=，即0yy x '+=．又22x y C +=中含有一个任意常数，0yy x '+=是一阶微分方程，所以隐函数22x y C +=是微分方程0yy x '+=的通解．由1)1(=y ，可得2C =，所以微分方程0yy x '+=满足初始条件1)1(=y 的特解是222x y +=．（3）因为212()e x y C C C x '=++，212(2)e xy C C C x ''=++，所以2y y y '''-+21221212(2222)e 0x C C C x C C C x C C x =++---++=．又因为函数12()x y C C x e =+中含有两个独立的任意常数，而20y y y '''-+=是二阶微分方程，所以12()xy C C x e =+是微分方程20y y y '''-+=的通解．由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有12101C C C =⎧⎨+=⎩，，得01=C ，12=C ，所以微分方程20y y y '''-+=满足初始条件(0)0y =，(0)1y '=的特解是e xy x =．习题12—1（B ）1．给定微分方程21y x '=+， （1）求过点(1,3)的积分曲线方程；（2）求出与直线13+=x y 相切的积分曲线方程．解：易验证2y x x C =++是微分方程21y x '=+的通解．（1）由曲线2y x x C =++过点(1,3)，有311C =++，得1C =，所求积分曲线为21y x x =++．（2）若曲线2y x x C =++与直线13+=x y 相切，则有213x +=（斜率相等），得1x =． 当1=x 时，4=y ，所以切点为(1,4)，将其代入2y x x C =++，有411C =++，得2C =，所求曲线为22y x x =++．2．将积分方程2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰（其中)(x f 是连续函数）转化为微分方程，给出初始条件，并求函数)(x f ． 解：将2()()sin cos xf t dt xf x x x x π=--⎰两边同时对x 求导，有()()()sin cos sin f x f x xf x x x x x '=+--+， 即()cos f x x '=，这就是所求的微分方程，容易得到其通解为()cos sin f x xdx x C ==+⎰．将2x π=代入到原方程2()()sin cos x f t dt xf x x x x π=--⎰中，有0()12f π=-，得初始条件为()12f π=，所以有11C =+，得0C =，所求函数为()sin f x x =．习题12—2（A ）1. 求下列可分离变量的微分方程的通解：（1）32yy x '=； （2）e yy x -'=；（3）y '=； （4）2(3)0ydx x x dy +-=．解：（1）分离变量32d 4d y y x x =，两边积分32d 4d y y x x =⎰⎰，整理得通解为24y x C =+．（2）分离变量e d d yy x x =，两边积分e d d y y x x =⎰⎰，整理得通解为21e 2y x C =+，或写作2ln()2x y C =+．（3）分离变量d y y =，两边积分d y y =⎰，整理得通解为1ln y C =，进而原方程通解为：y Ce =（4）分离变量有2d d 3y x y x x =--，整理得d 111()d 33y x y x x=---，两边积分d 111()d 33y x y x x ==---⎰⎰，整理得通解为11ln (ln 3ln )d 3y x x x C =---+，进而原方程通解为：3(3)x y Cx -=．2. 求下列齐次方程的通解：（1）2xy x y '=+； （2）(2)x y y y '-=；（3）22()d d 0x y x xy y -+=； （4）d (1ln)d 0yx y y x x-+=． 解：（1）将方程改写为2y y x '=+，令u xy=，则x u x u x y y d d d d +=='，于是原方程化为d 2d u u xu x +=+，即2d d x u x =，积分得2ln ln u x C =+，即2ln yCx x=，所以原方程通解为2ln y x Cx =．（2）将方程改写为2d d -=y x y x ，令v yx =则y vy v y x d d d d +=，于是原方程化为2d d -=+v y v yv ，即y y v d 2d -=，积分得C y v ln ln 2+-=，即2ln yCy x =，所以原方程通解为2lny Cy x =．（3）将方程改写为d d y y x x x y =-，令u xy=，则x u x u x y d d d d +=，于是原方程化为d 1d u u x u x u +=-，即d d xu u x=-，积分得2ln 22u C x =-+，即222ln y C x x =-，所以原方程通解为2y 2x =2(ln )C x -．（4）将方程改写为(1ln )dy y y dx x x =+，令y u x =，则xu x u x y y d d d d +=='，于是原方程化为(1ln )du u xu u dx +=+，即ln du dxu u x=，积分得1ln ln ln u x C =+，即ln u Cx =（其中1)C C e =±，所以原方程通解为lnyCx x=，或写作e Cx y x =． 3. 求下列一阶线性微分方程的通解：（1）2y xy x '-=； （2）d 2e d x yy x+=； （3）sin cos e x y y x -'+=； （4）2(2cos )d (+1)d 0xy x x x y -+=．解：（1）法一：相应齐次方程为0y xy '-=，即d d y x x y =，积分得211ln 2y x C =+，即22e x y C =（其中1)C C e =±．令22()ex y u x =，代入原方程，有222222ee e2x x x u xu xu x '+-=，即222ex u x -'=，得2222()2ed 2e x x u x x x C --==-+⎰，所以原方程通解为222222(2e )e e 2x x x y C C -=-+=-．法二：()P x x =-、()2Q x x =，方程通解为 ()d ()d [()e d ]e P x xP x x y Q x x C -⎰⎰=+⎰d d (2e d )e x x x xx x C -⎰⎰=+⎰2222(2ed )e x x x x C -=+⎰2222(2e)e x x C -=-+22e 2x C =-．（2）()1P x =、()2e xQ x =，方程通解为 ()d ()d d d [()e d ]e (2e e d )e P x xP x x x xx y Q x x C x C --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰22(2e d )e (e )e e e x x x x x x x C C C ---=+=+=+⎰．（3）()cos P x x =、sin ()exQ x -=，方程通解为()d ()d cos d cos d sin [()e d ]e (e e d )e P x xP x x x x x x x y Q x x C x C ---⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰sin sin (d )e ()e x x x C x C --=+=+⎰．（4）方程化为222cos 11x x y y x x '+=++，则有22()1x P x x =+、2cos ()1xQ x x =+，方程通解为 2222d d ()d ()d 112cos [()e d ]e (e d )e 1xxxx P x xP x xx x x y Q x x C x C x --++⎰⎰⎰⎰=+=++⎰⎰221sin (cos d )+1+1x Cx x C x x +=+=⎰． 4．求下微分方程满足所给初始条件的特解： （1）d 1d 2y x x y -=，(3)1y =； （2）sec y xy x y x '+=，2)1(π=y ； （3）2e xy y x '-=，(0)2y =； （4）ln ln xy x y x '+=，(e)1y =．解：（1）这是可分离变量方程，分离变量为2d (1)d y y x x =-，积分得22(1)2x y C -=-+，即方程通解为22(1)2x y C -+=．由(3)1y =，有3C =，方程特解为22(1)32x y -+=． （2）这是齐次方程secy y y x x '+=，令u xy=，则x u xu x y d d d d +=，于是原方程化为d sec d u u xu u x ++=，即d cos d xu u x=-，积分得1sin ln u x C =-+，即方程的通解为sin eyxx C =（其中1)C C e =±．由2)1(π=y ，可得1C e=，所以方程特解为sin 1e yx x -=．（3）这是一阶线性方程，2()1()e xP x Q x x =-=、，因此，方程通解为d d 2(e e d )e (e d )e [(1)e )]e x xx x x x x y x x C x x C x C -⎰⎰=+=+=-+⎰⎰． 由(0)2y =，有21C =-+，得3=C ，方程特解为xx x y 2e )1(2e 3-+=．（4）原方程可化为11ln y y x x x '+=，这是一阶线性方程，1()ln P x x x =、1()Q x x=，方程通解为11d d 2ln ln 1111[e d ]e (ln )ln 2ln 2ln x x x x x xC y x C x C x x x x-⎰⎰=+=+=+⎰．由(e)1y =，有1121C =+，得12C =，所以方程特解为11(ln )2ln y x x =+．习题12—2（B ）1．求下列伯努利微分方程的通解： （1）yx xy y =-'； （2）2xy y y =-'． 解：（1）1-=n ，令21y y z n==-（21=-n ），则原方程化为x n xz n x z )1()1(d d -=--，即x xz xz22d d =-，该方程通解为 222222d 2d (2e d )e (2e d )e (e )e e 1x x x xx x x x x z x x C x x C C C ---⎰⎰=+=+=-=-⎰⎰．所以，原方程通解为1e 22-=x C y ． （2）2=n ，令yyz n11==-（11-=-n ）， 则原方程化为x n z n x z )1()1(d d -=--，即x z xz-=+d d ，该方程通解为 1e e )e e (e )d e (e )d e (d d +-=+-=-=⎰+⎰-=----⎰⎰x C x C x x C C x x z x x x x x x xx ．所以，原方程通解为1e 1+-=-x C yx ． 2．用适当的变量代换求下列微分方程的通解： （1）22x y x y +=+'； （2）1+-='y x y ；（3）)ln (ln y x y y y x +=+'； （4）xy x y y xy 22tan 2+='．解：（1）令u x y =+2，则x u x x y d d 2d d =+，于是u x u=d d ，分离变量有x uu d d =，积分得C x u +=2，原方程通解为C x x y +=+22． （2）令1x y u -+=，则x u x y d d d d 1=-，于是u x u =-d d 1，即u xu-=1d d ，分离变量得x u u u u d )1(d -=-，或x u u d d )111(2-=-+，积分得x C u u -=-+)1ln (2，所以原方程通解为x C y x y x -=+--++-)11ln 1(2．（3）令u xy =，则x u x y xy d d d d =+，于是u x u x u ln d d =，分离变量得xxu u u d ln d =，积分得Cx u ln ln ln =，即Cx u e =，所以原方程通解为Cxxy e 1=．（4）u x y =2，即xu y =2，则x u x u y y d d 2+='，原方程化为u x xu xu x xu tan d d 2+=+，分离变量有xxu u d d cot =，该方程通解为Cx u ln sin ln =，即Cx u =sin ，所以原方程通解为Cx xy =2sin ．3．求微分方程(0(0)ydx x dy y -=>的通解．解：将方程改写为222)(1d d yxy x y y x x y x ++=++=这是以)(y x x =为未知函数的齐次方程，为此令yv x =，则y v y v y x d d d d +=，于是方程化为21d d v yvy +=，分离变量有yyv v d 1d 2=+，积分得C y v v ln ln )1ln(2+=++，即Cy v v =++21，进而原方程通解为Cx Cy 211+=． 4．求微分方程2d d yx yx y +=的通解． 解：方程改写为y y x y x +=d d ，即y yxy x =-d d ，这是一阶线性微分方程，通解为 2d d )d ()d e(ey Cy y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-．５．设函数)(x f 连续，且不恒为零，若⎰⎰+=120d )(2d )()(t t tf t t f x f x ，求函数)(x f ．解：方程两边同时对x 求导，有)()(x f x f ='，分离变量有x ffd d =，得通解为x C x fe )(=．记a t t tf =⎰12d )(，则a t t f x f x2d )()(0+=⎰，令0=x ，得初始条件a f 2)0(=．用0=x 代入到x C x f e )(=之中，有a C 2=，所以x a x f e 2)(=．由)e 21e (2)d e e(2d e 4d )(102221021221022102t t t t a t t a t t at t tf a -=-===⎰⎰⎰)1e ()e 21e (22210222+=-=a a t ， 得1e 12+=a ，所以1e e 2)(2+=x x f ．６．设连续函数)(x f 满足1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x ，求函数)(x f ． 解：方程1)(d )()(12-=+⎰x f t t t f t f x 两边同时对x 求导，有)()()(2x f xx f x f '=+，令)(x f y =，则方程可以改写为y x y y x +=2d d ，即y yxy x =-d d ，这是一阶线性微分方程，通解为 )()d ()d e(ed d y C y y C y y y C x yy yy+=+=⎰+⎰=⎰⎰-．用1=x 代入到方程1)(d )()(12-=+⎰x f t tt f t f x 之中，得初始条件1)1(=f ，于是11+=C ，故0=C ，于是2y x =，即所以函数为x x f =)(（注：根据初始条件1)1(=f ，所以不能取x x f -=)(）．习题12—3（A ）1. 求下列各微分方程的通解：（1）2+1y x ''=； （2）2cos e x y x '''=+； （3）20y xy '''-=； （4）2e xy y '''-=；（5）201y y y'''+=-． 解：（1）2311(1)3y x dx x x C '=+=++⎰， 342112111()d 3122y x x C x x x C x C =++=+++⎰．（2）2211(cos e )d sin e 22x xy x x x C ''=+=++⎰， 2211211(sin e 2)d cos e 224x x y x C x x C x C '=++=-+++⎰， 2121(cos e 2)d 4x y x C x C x =-+++⎰221231sin e 8x x C x C x C =-++++． （3）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是d 20d pxp x-=，分离变量为d 2d p x x p =，积分得2ln p x C =+，即213p C x =（其中13)C C e =±，于是原方程降阶为213y C x '=，原方程通解为23121d 3C x C x x C y +==⎰．（4）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是2e xp p '-=，这是一阶线性微分方程，其通解为d d 2111(e e d )e (e d )e (e )e x x x x x x xp x C x C C -⎰⎰=+=+=+⎰⎰，于是原方程降阶为21e e x x y C '=+，所以原方程的通解为221121(e e )d e e 2x x xx y C x C C =+=++⎰． （5）方程不显含x ，令()y q y '=，则y qq '''=，于是2d 0d 1q q q y y +=-，即d 0d 1q q y y+=-，这是可分离变量的方程，先分离变量d d 1q y q y=--，再两边积分，并整理可得1(1)q C y =-．所以1d (1)d yC y x=-，解得12e 1C x y C =+，这就是原方程的通解． 2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解： （1）311y x '''=+，(1)1y =，(1)1y '=，1(1)2y ''=；（2）2y y x '''-=，(0)1y =，(0)0y '=； （3）2eyy ''=，(0)0y =，(0)1y '=．解：（1）13211(1)d 2y x x C x x ''=+=-++⎰，由1(1)2y ''=，得10C =，所以212y x x''=-+； 222111()d 222y x x x C x x '=-+=++⎰，由(1)1y '=，得02=C ，所以21122y x x '=+； 2331111()d ln 2226y x x x x C x =+=++⎰，由1)1(=y ，得356C =，所以方程满足初始条件的特解为3115ln 266y x x =++． （2）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，原方程化为2p p x '-=，此方程通解为d d 1111(2e d )e (2e d )e (2e 2e )e e 22x xx x x x x x p x x C x x C C x C x ----⎰⎰=+=+=--=--⎰⎰，即1e 22xy C x '=--，由(0)0y '=，得12C =，从而2(e 1)x y x '=--，此方程通解为222(e 1)d 2e 2x x y x x x x C =--=--+⎰，由(0)1y =，得21C =-，所以方程满足初始条件的特解为22e 21x y x x =---．（3）方程不显含x ，令()y q y '=，则y qq '''=，于是2e y qq '=，分离变量有2d e d yq q y =，积分得221e yp C =+，即y '=由1)0(='y ，可知道0>'y ，所以y '=再由(0)0y =，(0)1y '=，得01=C ，所以e y y '=．分离变量有e d d yy x -=，积分得2e y x C --=+，由0)0(=y ，得21C =-，于是e 1y x --=-，化简为ln (1)y x =--，这就是方程满足初始条件的特解．习题12—3（B ）1. 求下列各微分方程的通解： （1）()e n ax b yx =+（a ，b 为常数）； （2）0ln=''-''xy y y x ；（3）2)(y y '=''． 解：（1）由于1e d e axax x a =⎰，11d 1t t x x x t +=+⎰，故原方程的通解为 1121211e [()(1)(1)]axb n n n n n n y b n b n b x C x C x C x C a-+---=+++-++++++．（２）方程不显含y ，令)(x p y ='，则p y '=''，于是x p p p x ln='，即xpx p p ln ='，这是齐次方程，令u x p =，则x u x u x p p d d d d +=='，原方程化为u u xux u ln d d =+，分离变量有x x u u u d )1(ln d =-，积分得x C u 1ln )1ln(ln =-，即11e +==x C u xp ，原方程降阶为11e +='x C x y ，原方程通解为⎰⎰+++-==x x C x x y x C x C x C )d e e (1d e 11111112111)1(e 11C C x C x C +-=+． （３）方程既不显含y ，也不显含x ．（方法1）令)(x p y ='，则p y '=''，则2p p ='，分离变量有x ppd d 2=，积分得11C x p -=-，即xC p -=11，原方程降阶为x C y -='11，所以原方程的通解为)ln(d 121x C C x C xy --=-=⎰．（方法2）令()y q y '=，则y qq '''=，于是2d d q qq y =，分离变量有2d d q q q y=，积分得2ln q y C =-，即原方程降阶为2e d d C y xy-=，分离变量为x y y C d d e 2=-，积分得12e C x y C -=--，化简为)ln(12x C C y --=，这就是原方程的通解．2. 求下列各微分方程满足初始条件的特解： （1）2)(1y y '+=''，(0)1y =，(0)0y '=；（2）3()y y y ''''=+，(0)0y =，(0)1y '=；（3）)(22y y y y '-'=''，(0)1y =，(0)2y '=．解：（1）按不显含y 的方程求解，（注：本题按不显含x 方程求解困难）．令)(x p y ='，则p y '=''，于是21p p +='，分离变量有x ppd 1d 2=+，积分得1arctan C x p +=，即1arctan C x y +='，由(0)0y '=，得01=C ，于是x y tan ='，积分得2tan d ln cos y x x C x ==-⎰，由(0)1y =，得12=C ，所以方程满足初始条件的特解为1ln cos y x =-．（2）令()y q y '=，则y qq '''=，得3d d qqq q y=+，因为0q =不满足初始条件(0)1y '=，所以0q ≠，分离变量有2d d 1qy q =+，积分得1arctan q y C =-，即1tan ()y q y C '==-． 由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有11tan (0C =+），得14C π=，故tan ()4y y π'=-． 分离变量d d tan ()4y x y π=-，积分并整理得2sin ()e 4xy C π-=．再由初始条件(0)0y =，得22C =-arcsin 24x y =+π． （3）这是不含x 的二阶可降阶微分方程，令()y q y '=，则y qq '''=，则方程化为22()yqq q q '=-．因为0q =不满足初始条件2)0(='y ，所以0q ≠，分离变量有d d 21q yq y=-，积分得21ln(1)ln q C y -=，解得211y q C y '==+．由初始条件(0)1y =，(0)2y '=，有121+=C ，得11=C ，故12+='y y ，分离变量有x y y d 1d 2=+，积分得1arctan C x y +=，再由初始条件1)0(=y ，得42π=C ，所以原方程满足初始条件的特解为4arctan π+=x y ，即xxx y tan 1tan 1)4tan(-+=+=π．习题12—4（A ）1．指出下列各对函数在其定义区间内的线性相关性：（1）3x 与2x ； （2）e x 与e xx ； （3）e x-与2ex-； （4）x e 与5e x；（5）sin x 与x 2sin ； （6）x x cos sin 与x 2sin ； （7）e sec x x 与e tan xx ； （8）x ln 与ln x μ（0μ>）．解：（1）因为233x xx =不恒为常数，所以3x 与2x 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （2）因为e ex x x x =不恒为常数，所以e x与e x x 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （3）因为2e e e x xx ---=不恒为常数，所以e x -与2e x -在区间)(∞+-∞，内线性无关． （4）因为5e 5ex x =恒为常数，所以xe 与5e x 在区间)(∞+-∞，内线性相关． （5）因为sin 22cos sin xx x=不恒为常数，所以sin x 与x 2sin 在区间)(∞+-∞，内线性无关． （6）因为sin 22sin cos xx x=恒为常数，所以x x cos sin 与x 2sin 在区间)(∞+-∞，内线性相关．（7）因为e tan sin e sec x x xx x=不恒为常数，所以e sec x x 与e tan x x 在区间)(∞+-∞，内线性无关．（8）因为ln 0ln x xμμ=>恒为常数，所以x ln 与ln x μ在区间)0(∞+，内线性相关． 2．验证函数21e x y =，22e xy x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解，并写出该方程的通解．解：因为21e xy =，所以22112e =4e x xy y '''=，，因此 222111444e 8e 4e 0xx x y y y '''-+=-+=，所以21e xy =是440y y y '''-+=的解；同理，22e xy x =是440y y y '''-+=的解．又因为2221e exx y x x y ==不恒为常数，所以函数21e x y =，22e x y x =是微分方程440y y y '''-+=的两个线性无关的解．因此二阶线性齐次微分方程440y y y '''-+=通解为2112212()e x y C y C y C C x =+=+．3．通过观察给出微分方程0y y ''+=的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解． 解：0y y ''+=是二阶线性齐次微分方程，改写为y y ''=-，二阶导数与自身呈相反数的函数有1sin y x =，2cos y x =，它们是0y y ''+=的两个解，又21cos cot sin y x x y x==不恒为常数，于是1sin y x =，2cos y x =线性无关，所以方程0y y ''+=的通解为12sin cos y C x C x =+．4．写出下列各二阶常系数线性齐次微分方程的通解：（1）320y y y '''-+=； （2）10250y y y '''-+=；（3）2100y y y '''-+=； （4）02d d 22=-x tx．解：（1）特征方程为2320r r -+=，即(1)(2)0r r --=，特征根为11=r 、22r =（不相等实根），所以方程320y y y '''-+=的通解是212e e x x y C C =+．（２）特征方程为210250r r -+=，即2(5)0r -=，特征根为125r r ==（两个相等实根），所以方程10250y y y '''-+=的通解是512()e xy C C x =+．（3）特征方程为22100r r -+=，由二次代数方程求根公式，得特征根为21322b y i a -===±（一对共轭复根），所以方程2100y y y '''-+=的通解是12(cos3sin 3)e xy C x C x =+． （4）特征方程为022=-r ，特征根为21=r 、22-=r （不同实根），所以方程02d d 22=-x tx的通解是ttC C x 2221e e -+=（注意t 是自变量，x 是因变量）．5．求下列各微分方程满足初始条件的特解：（1）22d d 340d d y yy t t+-=，(0)2y =，(0)3y '=-； （2）20y y y '''-+=，(0)1y =，(0)2y '=； （3）450y y y '''-+=，(0)1y =，(0)0y '=．解：（1）特征方程为2340r r +-=，即(1)(4)0r r -+=，特征根为11=r 、24r =-，所以方程22d d 340d d y yy t t +-=的通解是412e e t t y C C -=+，且412e 4e t t dy C C dt-=-． 由初始条件(0)2y =，(0)3y '=-，有1212243C C C C +=⎧⎨-=-⎩，，得1211C C =⎧⎨=⎩，，所以方程满足初始条件(0)2y =，(0)3y '=-的特解是4e e t ty -=+．（2）特征方程为2210r r -+=，即2(1)0r -=，特征根为121r r ==，所以方程20y y y '''-+=的通解是12()e x y C C x =+，且212()e x y C C C x '=++．由初始条件(0)1y =，(0)2y '=，有12112C C C =⎧⎨+=⎩，，得1211C C =⎧⎨=⎩，，所以方程满足初始条件(0)1y =，(0)1y '=-的特解是(1)e x y x =+．（3）特征方程为2450r r -+=，由二次代数方程求根公式，得特征根为2r i ==±，所以方程450y y y '''-+=的通解是212(cos sin )e x y C x C x =+，且21221[(2)cos (2)sin ]e xy C C x C C x '=++-．由初始条件(0)1y =，(0)0y '=，有112120C C C =⎧⎨+=⎩，，得1212C C =⎧⎨=-⎩，，所以方程满足初始条件(0)1y =，(0)0y '=的特解是2(cos 2sin )e xy x x =-． 6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）x y y +=+''1； （2）xy y y -=+'+''e 22； （3）223y y y x x '''+-=+-； （4）xx y y e 4=-''.解：（1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程012=+r ，特征根为i r i r -==21、，相应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．这里x x f +=1)(，01==λ、n 不是特征根，因此设b ax y +=*，将其代入到原方程之中，有x b ax +=+1，比较系数得11==b a 、，于是原方程的一个特解为x y +=1*．原方程的通解为x x C x C y Y y +++=+=1sin cos 21*．（2）相应齐次方程为02=+'+''y y y ，特征方程0122=++r r ，即0)1(2=+r ，特征根为121-==r r ，相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e )(21．这里xx f -=e 2)(，10-==λ、n 是二重特征根，因此设x x ax a x y --=⋅=e e 22*，将其代入到原方程之中，化简有22=a ，得1=a ，于是原方程的一个特解为xx y -=e 2*，原方程的通解为212()exx y C C x x e --=++．（3）相应齐次方程为02=-'+''y y y ，特征方程0122=-+r r ，即0)1)(12(=+-r r ，特征根为2/1121=-=r r 、，相应齐次方程通解为2/21e e x x C C Y +=-．这里2()3f x x x =+-，02==λ、n 不是特征根，因此设c bx ax y ++=2*，代入到原方程之中，有224(2)()3a ax b ax bx c x x ++-++=+-，比较系数有12143a a b a b c -=-⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩，，，得112a b c ===、、，于是原方程的一个特解为*22y x x =++．所以，原方程的通解为*/2212e e 2x x y Y y C C x x -=+=++++．（4）相应齐次方程为0=-''y y ，特征方程012=-r ，特征根为1121-==r r 、，相应齐次方程通解为xx C C Y -+=e e 21．这里xx x f e 4)(=，x x P n 4)(=，11==λ、n 是单重特征根，因此设x x bx ax b ax x y e )(e )(2*+=+=，将其代入到原方程之中，化简有x b ax a 4)2(22=++，比较系数得11-==b a 、，于是原方程的一个特解为x x x y e )(2*-=，所以原方程的通解为*y Y y +=x x x x x C C e )(e e 221-++=-．7．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解： （1）261y y x '''-=-，(0)1y =，(0)3y '=；（2）xy y e 54=+''，(0)0y =，(0)1y '=；解：（1）相应齐次方程为20y y '''-=，特征方程220r r -=，特征根为10r =、22r =，相应齐次方程通解为212e xY C C =+．这里()61f x x =-，1n =、0λ=是单重特征根，因此设*2()y x ax b ax bx =+=+，代入到原方程之中，有42261ax a b x -+-=-，得32a =-，1b =-，于是原方程的一个特解为*232y x x =--． 所以，原方程的通解为*22123e 2x y Y y C C x x =+=+--． 222e 31x y C x '=--，由初始条件(0)1y =，(0)3y '=，有1221213C C C +=⎧⎨-=⎩，，得11C =-、22C =，所以方程261y y x '''-=-满足初始条件(0)1y =，(0)3y '=的特解为2232e 12x y x x =---．（2）相应齐次方程为04=+''y y ，特征方程042=+r ，特征根为i r i r 2221-==、，相应齐次方程通解为x C x C Y 2sin 2cos 21+=．这里x x f e 5)(=，10==λ、n 不是特征根，因此设xa y e *=，代入到原方程之中，有x x x a a e 5e 4e =+，得1=a 于是原方程的一个特解为xy e *=．所以，原方程的通解为xx C x C y Y y e 2sin 2cos 21*++=+=．122sin 22cos 2e x y C x C x '=-++，由初始条件(0)0y =，(0)1y '=，有1210211C C +=⎧⎨+=⎩，，得11C =-、20C =，所以方程xy y e 54=+''满足初始条件(0)0y =，(0)1y '=的特解为e cos x y x =-．8. 求常系数线性非齐次微分方程2e xy +y =x+'''的通解.解：相应齐次方程为0='+''y y ，特征方程02=+r r ，特征根为1021-==r r 、，相应齐次方程通解为x12Y C C e -=+．这里x x x f e 2)(+=，将其分为)()()(21x f x f x f +=，x x f 2)(1=、xx f e )(2=．对x y y 2='+''，这里01==λ、n 是单重特征根，因此设bx ax b ax x y +=+=2*1)(， 代入到x y y 2='+''之中，有x b ax a 2)2(2=++，比较系数得21-==b a 、，于是方程x y y 2='+''的一个特解为x x y 22*1-=；对xy y e ='+''，不难观察得一个特解2/e *2xy =．于是，原方程的一个特解为2/e 22*2*1*xx x y y y +-=+=．所以，原方程的通解为*y Y y +=2/e 2e221x xx x C C +-++=-．.习题12—4（B ）1．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是二阶线性非齐次微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的两个解，证明)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解． 证：因为)()(12x x y ϕϕ-=，所以212121()()[()()]()[()()]()[()()]y P x y Q x y x x P x x x Q x x x φφφφφφ'''++''''''=-+-+-)]()()()()([)]()()()()([111222x x Q x x P x x x Q x x P x ϕϕϕϕϕϕ+'+''-+'+''= ()()0f x f x =-=．所以)()(12x x y ϕϕ-=是相应线性齐次微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的解．2．已知函数x x x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，xx x x x y -++=e e e )(23都是微分方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的解，写出该方程的通解．解：)()()(x f y x Q y x P y =+'+''是二阶非齐次线性微分方程，由函数xx x x y 21e e )(+=，x x x x y -+=e e )(2，x x x x x y -++=e e e )(23都是它的解，根据上题，则x x y y y y 22313e e =-=--、是相应齐次线性微分方程0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解，而它们之比不恒等于常数，于是它们是线性无关的解，所以0)()(=+'+''y x Q y x P y 的通解为212x xY C e C e -=+，根据二阶非齐次线性微分方程解的结构，得方程)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的通解是 22112C e e x x x x y Y y C e e x -=+=+++．3．若二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解是2/21e ,e x x y y ==，则该二阶常系数线性齐次微分方程的特征根是21121==r r 、，于是特征方程是0)21)(1(=--r r ，即01322=+-r r ，所以微分方程为032=+'-''y y y ，通解为2/21e C e x x C y +=．4．若二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=，写出该微分微分方程及其通解．解：由二阶常系数线性齐次微分方程有一个特解xx y 21e -=，则该二阶常系数线性齐次微分方程有一个特征根2-=r ，并且是二重根，于是特征方程是0)2(2=+r ，即0442=++r r ， 所以微分方程为044=+'+''y y y ，通解为xx C y 221)e C (-+=．5．求下列各常系数线性非齐次微分方程的通解：（1）x x y y cos 4=+''； （2）xy y -=''+''e ．解： （1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．这里x x x f cos 4)(=，最高多项式次数1=n ，i i =+βα是单重特征根，为此设*22[()cos +()sin ]=()cos +()sin y x ax b x cx d x ax bx x cx dx x =++++，代入到原方程之中，有x x x c b ax x d a cx cos 4sin )224(cos )224(=+--+++，比较系数有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=+=，，，，022*******b c a d a c 得，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====，，，，0110d c b a 于是原方程的一个特解为x x x x y sin cos 2*+=． 所以，原方程的通解是x x x x x C x C y sin cos sin cos 221+++=．（2） 相应齐次方程为0=''+'''y y ，特征方程为023=+r r ，特征根为、021==r r ，13-=r 应齐次方程通解为x C x C C Y -++=e 321．对原方程xy y -=''+''e ，这里10-==λ，n 是单重特征根，为此设xax y -=e *，代入到原方程之中，有x x x x a x a ---=-+-e e )2(e)3(，即x x a --=e e ，得1=a ，于是原方程x y y -=''+''e 的一个特解为x x y -=e *．所以，原方程的通解是*y Y y +=xx x C x C C --+++=e e 321．6．求下列各二阶常系数线性非齐次微分方程满足初始条件的特解： （1）x y y sin =+''，(0)1y =，(0)0y '=；（2）x y y xcos e 5='-''，(0)0y =，(0)2y '=．解：（1）相应齐次方程为0=+''y y ，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为x C x C Y sin cos 21+=．对原方程x y y sin =+''，这里多项式最高次数i i n =+=βα，0是单重特征根，为此设x bx x ax y sin cos *+=，代入到原方程之中，有x x b x a sin cos 2sin 2=+-，比较系数有0212==-b a 、，得021=-=b a 、，于是原方程的一个特解为x x y cos 2*-=．所以，原方程的通解是x xx C x C y Y y cos 2sin cos 21*-+=+=． x xx C x C y sin 2cos )21(sin 21+-+-='，由初始条件(0)1y =，(0)0y '=，得21121==C C 、，所以方程满足初始条件的特解为x x x y sin 21cos )21(+-=． （2）相应齐次方程为0='-''y y ，特征方程为02=-r r ，特征根为1021==r r 、，应齐次方程通解为xC C Y e 21+=．对原方程x y y xcos e 5='-''，这里多项式最高次数i i n +=+=10βα，不是特征根，为此设*(cos sin )x y e a x b x =+，代入到原方程之中，有]sin )2(cos )2[(e x b a x a b x--+-x x cos e 5=，比较系数有⎩⎨⎧=--=-，，0252b a a b 得⎩⎨⎧=-=，，21b a 于是原方程的一个特解为)cos sin 2(e *x x y x -=，原方程的通解是)cos sin 2(e e 21*x x C C y Y y x x -++=+=．)cos sin 3(e e 2x x C y xx++='，由初始条件(0)0y =，(0)2y '=，有⎩⎨⎧=+=-+，，2101221C C C 得1021==C C 、，所以原方程满足初始条件的特解是x x x y e )cos sin 21(-+=．7．若连续函数()y f x =满足0()e ()()d xxf x t x f t t =+-⎰，求()y f x =的表达式．解：0()e ()d ()d xx xf x tf t t x f t t =+-⎰⎰，0()e ()d xxf x f t t '=-⎰，()e ()x f x f x ''=-，于是函数()y f x =满足微分方程e x f f ''+=，初始条件是(0)(0)1f f '==．e xf f ''+=是二阶常系数线性非齐次微分方程，相应齐次方程是0f f ''+=，特征方程为012=+r ，特征根为i r i r -==21、，应齐次方程通解为12cos sin Y C x C x =+．对原方程e xf f ''+=，这里10==λ，n 不是特征根，为此设*e xf a =，代入到原方程之中，得21=a ，于是原方程的一个特解为*1e 2x f =． 所以，原方程的通解是*121()cos sin e 2xf x Y f C x C x =+=++． 因为121()sin cos e 2xf x C x C x '=-++，由初始条件(0)(0)1f f '==，有12112112C C ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2121==C C ，所以所求函数是1()(cos sin e )2xf x x x =++．8. 证明：若()f x 满足方程()(1)f x f x '=-，则必满足方程()()0f x f x ''+=，并求方程()(1)f x f x '=-的解．解：先证()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=．由于()(1)f x f x '=-，则求导可得()(1)(1)[1(1)]()f x f x f x f x '''=--=---=-， 故证明了()f x 必满足方程()()0f x f x ''+=． 下面求解方程()(1)f x f x '=-．由于方程()()0f x f x ''+=的通解为12()cos sin f x C x C x =+，且()(1)f x f x '=-， 所以1212sin cos cos(1)sin (1)C x C x C x C x -+=-+-，令0x =可得212cos1sin1C C C =+，则112cos1(1sin1)1sin1cos1C C C +==-，从而方程()(1)f x f x '=-的解为11sin1()(cos sin )cos1f x C x x +=+．习题12—5（A ）1. 设在冷库中存储的某种新鲜水果500吨，放置一段时间之后开始腐烂，腐烂率是未腐烂数量的0.001倍，设腐烂的数量为y 吨，则显然它是时间t 的函数，求此函数的表达式． 解：由题意知0.001(500)dyy dt=⨯-， 分离变量得，0.001500dydt y=-，两边积分，并整理得0.001500e t y C -=-（C 为任意常数），再结合(0)0y =，容易求出500C =，所以水果腐烂数量与时间的函数关系式为0.001500(1e )t y -=-．2. 已知某商品的需求量Q （单位：kg ）对价格P （单位：元）的弹性为ln 2EQP EP=-，且当0P =时，需求量600Q =Kg. （1）求该商品对价格的需求函数()Q P ；（2）求当价格1P =元时，市场对该商品的需求量； （3）当+P →∞时，需求量是否趋于稳定？ 解：（1）由已知条件知，ln 2EQ P dQP EP Q dP=⋅=-， 分离变量得ln 2dQdP Q=-， 所以有()2P Q P C -=（C 为任意常数）．再由(0)600Q =得，600C =，所以()6002P Q P -=⨯．（2）由（1）可知，当1P =元时，1(1)6002300Q -=⨯=（kg ）．（3）由()6002PQ P -=⨯可知，当+P →∞时，0Q →，即随着商品价格的无限增大，。
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第12章 自测题1
一．选择题
1．二重积分的值与
（A ）函数f 及变量x ,y 有关； （B ）区域D 及变量x ,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； （D ）函数f 无关，区域D 有关。
答 ( )
2．函数f (x ,y )在有界闭域D 上连续是二重积分存在的
(A)充分必要条件； (B)充分条件，但非必要条件； (C)必要条件，但非充分条件； (D)既非充分条件，又非必要条件。
答 ( )
3．二次积分x
y x f y x y x f y y y d ),(d d ),(d 30
31
20
10
⎰
⎰
⎰
⎰
-+
变换积分次序后等于
（A ）
y
y x f x x
x
d ),(d 32
20
⎰⎰
-； （B ）y
y x f x x d ),(d 30
20
⎰
⎰
-；
（C ）y
y x f x x
d ),(d 20
20
⎰
⎰
； （D ）
y
y x f x x d ),(d 3
2
20
⎰⎰。
答（ ）
4．若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则
=
（A ）0； （B ）332
； （C ）364
； （D ）256。
答 ( )
5．设其中D是由
x=0,y =0,,x+y=1
所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是
(A)I1＜I2＜I3; (B)I3＜I2＜I1;
(C)I1＜I3＜I2; (D)I3＜I1＜I2.
答 ( ) 二．填空题
1．若D是以(0，0)，(1，0)及(0，1)
为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知
=___________。
2．设f(t)为连续函数，则由平面z=0，柱面x2+y2=1和曲面z=[f(xy)]2所围立体的体积可用二重积分表
示为___________________________________________。
3．设D：x2+y2≤4,y≥0，则二重积分
=
⎰⎰
D
d
y
xσ
)
sin(2
3
____________________。
4．设f(x,y)是连续函数，则二次积分
y
y
x
f
x
x
x
d)
,
(
d
2
1
⎰
⎰
交换积分次序后为
______________________。
三．交换下列二次积分的次序：
1．
x
y
x
f
y
x
y
x
f
y y
y
y
y
d)
,
(
d
d)
,
(
d
2
2
2
1
2
2
1
⎰
⎰
⎰
⎰+
；
2．
x
y
x
f
y
x
y
x
f
y
a
a
x
a
a
a
x
a
a
d)
,
(
d
d)
,
(
d
2
02
2⎰
⎰
⎰
⎰
-
-
+
，0
>
a；
3．
x
y
x
f
y
x
y
x
f
y
y
y
d)
,
(
d
d)
,
(
d
1
2
1
2
⎰
⎰
⎰
⎰
-
-
-
+
-
-
-
+
；
四．计算下列二重积分：
1．计算二重积分⎰⎰-
D
y
xσ
d)
sin
(
，其中D：|x|≤π,|y|≤1。
2．计算二重积分⎰⎰
D
eσ
d2x
，其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。
3．计算二重积分⎰⎰
D
σ
d
xy2
，其中D：x2+y2≤5, 2
1y
x≥
-。
4．计算二重积分⎰⎰
D
y
σ
d
x
2
2
，其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1所围成的区域。
5．利用极坐标计算二重积分⎰⎰+
D
y
x
y
x d
d)
sin(2
2
，其中D：2
2
2
24π
π≤
+
≤y
x。
6．利用极坐标计算二重积分⎰⎰
D
y
x
x d
d
，其中D：x2+y2≤2x，x2+y2≥x。
五．将积分化为在极坐标系中先对r积分的累次积分，其中D：(x2+y2)3≤4a2x2y2 (a＞0),x≥0,y≥0。
六．计算二重积分⎰⎰+
D
y
x
y
x d
d]
[
，其中D：o≤x≤2，0≤y≤2，[x+y]表示不超过x+y的最
大整数。
七．求双曲抛物面z=x2－y2包含在两椭圆抛物面z=3x2+y2－2和z=3x2+y2－4之间的那部分曲面块∑的面积S。
八．求球面x2+y2+z2=a2包含在柱面内部的那部分曲面∑的面积S，其中a、b 均为正数，且b
a>。
九．设∑是柱面x2+y2=1的处于z=－1与z=H间的一段曲面，H为正数。
若
⎰⎰∑
=
+π
12
dS
)1
(2
x
，则H为何值?
十．求面密度为1的锥面，0≤z≤h对oz轴的转动惯量，其中a,h都是正数。
十一．设p(x)是[a,b]上的非负连续函数，f(x),g(x)是[a,b]上的连续单增函数，证明
十二．设f (u )是连续函数，证明：
其中D 是由
3
x
y =，1=y 及x =－1所围成的区域。