2014高考数学一轮复习精品习题附解析第八章第5讲空间向量及其运算
2014年高考数学复习第一轮专题(理) 空间向量及其运算
第二单元 空间向量及其应用第一节 空间向量及其运算一、选择题1．在以下四个式子中正确的有( )a ＋b ·c ，a ·(b ·c )，a (b ·c )，|a ·b |＝|a ||b | A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个解析：根据数量积的定义，b ·c 是一个实数，a ＋b ·c 无意义．实数与向量无数量积，故a ·(b ·c )错，|a ·b |＝|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|，只有a (b ·c )正确．答案：A2．已知a ＝(1－t,1－t ，t), b ＝(2，t ，t)，则|b －a |的最小值是( ) A.55 B. 555 C. 355 D. 115答案：C3．已知向量a ＝(1, 2, 3), b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14， 若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C4．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→ ＝a ，A 1D 1→ ＝b ，A 1A → ＝c ，则下列式子中与B 1M →相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 解析：B 1M →＝B 1B →＋BM →＝B 1B →＋ 12(BA →＋BC →)＝A 1A →－ 12A 1B 1→＋ 12A 1D 1→＝c －12a ＋12b ，故选A.答案：A5. 已知a ＝(2，－1,3 ) ，b ＝(－1,4，－2 ) ，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则λ＝( )A.627 B ．9 C.647 D.657答案：D 二、填空题6．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________. 解析：由条件知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2－15|b |2＋16a ·b ＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0.两式相减得46a ·b ＝23|b |2，∴a ·b ＝ 12|b |2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a |＝|b |.∴cos〈a ，b 〉＝a ·b ||a ||b ＝12|b |2|b |2＝12.∴〈a ，b 〉＝60°. 答案：60°7．已知a ＝ (1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 垂直，则k 的值为________． 解析：(k a ＋b )·(2a －b ) ＝ (k －1，k,2)(3,2，－2) ＝5k －7＝0，∴k＝75.答案：758．下列命题中不正确的命题是________．①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋ CD →＋DA →＝0；②|a |－|b |＝|a ＋b |是a 、b 共线的充要条件；③若a 、b 共线，则a 与b 所在直线平行；④对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x 、y 、z∈R )，则P 、A 、B 、C 四点共面．解析：易知只有①是正确的，对于④，若O ∉平面ABC ，则OA →、OB →、OC →不共面，由空间向量基本定理知，P 可为空间任一点，所以P 、A 、B 、C 四点不一定共面．答案：②③④三、解答题9．试用向量证明三垂线定理及其逆定理．已知：如右图所示，PO 、PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在α内的射影，a⊂α，求证：a⊥PA ⇔a⊥OA.证明：设直线a 上非零向量a ， 要证a⊥PA ⇔a⊥OA， 即证a ·AP → ＝0⇔a ·AO →＝0. ∵a ⊂α，a ·OP →＝0，∴a ·AP →＝a ·(AO →＋OP →)＝a ·AO →＋a ·OP →＝a ·AO →. ∴a ·AP →＝0⇔a ·AO →＝0，即a⊥PA ⇔a⊥OA.10．已知ABCD －A′B′C′D′是平行六面体． (1)化简12AA′→＋BC →＋23AB →，并在图形中标出其结果；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC′B′的对角线BC′上的点，且BN∶NC′＝3∶1，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA′→，试求α，β，γ之值．解析：(1)先在图形中标出12AA′→，为此，可取AA′→的中点E ，则12AA′→＝EA′→.∵AB →＝D′C′→，在D′C′上取点F ，使D′F＝23D′C′. ∴23AB →＝23D′C′→＝D′F →.又BC →＝A′D′→，从而有 12AA′→＋BC →＋23AB →＝EA′→＋A′D′→＋D′F′→＝EF →，如右图所示． (2) MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC′→＝12()DA →＋AB →＋34()BC →＋CC′→＝12()－AD →＋AB →＋34()AD →＋AA′→ ＝12AB →＋14AD →＋34AA′→， ∴α＝12，β＝14，γ＝34.第二节 空间角的概念及其求法和空间距离的求法一、选择题1．(2008年福建)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )A.63 B.265 C.155 D.105解析：连A 1C 1与B 1D 1交与O 点，再连BO ，则∠OBC 1为BC 1与平面BB 1D 1D 所成角. sin∠OBC 1＝OC 1BC 1，OC 1＝2，BC 1＝ 5 ∴sin∠OBC 1＝25＝105. 答案：D2．(2008年四川延考)一个正方体的展开图如右图所示，B ，C ，D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD 与AB 所成角的余弦值为 ( )A.510B.105 C.55 D.1010解析：还原正方体如下图所示，设AD ＝1，则AB ＝5，AF ＝1，BE ＝EF ＝22，AE ＝3，CD 与AB 所成角等于BE 与AB 所成角，所以余弦值为cos∠ABE＝5＋8－92×5×22＝1010，选 D.答案：D3．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴建立空间直角坐标系，并设正方体的棱长为1，则A 1(1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，C(0,1,0)．设平面A 1ECF 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则由A 1E →·n ＝0及EC →·n ＝0，可得x ＝z ＝12y ，于是可取n ＝(1,2,1).AB 1→＝DC 1→＝(0,1,1)，D 1B 1→＝DB →＝(1,1,0)，而且可计算得到这四个向量与向量n 所成的角为30°，于是这四个向量与平面A 1ECF 所成的角为60°.而其它的面对角线所在的向量均不满足条件．答案：C4．如右图所示，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22C.2λ3 D.55解析：因为A 1B 1∥EF，G 在 A 1B 1上，所以G 到平面D 1EF 的距离即是A 1到面D 1EF 的距离，即是A 1到D 1E 的距离，D 1E ＝52，由三角形面积可得所求距离为1×1252＝55，故选D.答案：D5．(2009年重庆卷)已知二面角α－l －β的大小为50°，P 为空间中任意一点，则过点P 且与平面α和平面β所成的角都是25°的直线的条数为( )A ．2B ．3C ． 4D ．5 答案：B二、填空题6．(2009年四川卷)如右图，已知正三棱柱ABC －A1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．解析：作BC 的中点N ，连接AN ，则AN⊥平面BCC 1B 1， 连接B 1N ，则B 1N 是AB 1在平面BCC 1B 1的射影， ∵B 1N⊥BM，∴AB 1⊥BM.即异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是90°.答案：90°7．(2008年四川延考)已知∠AOB＝90°，C 为空间中一点，且∠AOC＝∠BOC＝60°，则直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值为_________．解析：由对称性知点C 在平面AOB 内的射影D 必在∠AOB 的平分线上，作DE⊥OA 于E ，连结CE ，则由三垂线定理CE⊥OE，设DE ＝1⇒OE ＝1，OD ＝2，又∠COE＝60°，CE⊥OE ⇒OC ＝2，所以CD ＝OC 2－OD 2＝2，因此直线OC 与平面AOB 所成角的正弦值sin∠COD＝22. 答案：228．PA ，PB ，PC 是从P 点引出的三条射线，他们之间每两条的夹角都是60°，则直线PC 与平面PAB 所成的角的余弦值为________________．答案：33三、解答题9．如右图所示，等腰三角形△ABC 的底边AB ＝66，高CD ＝3，点E 是线段BD 上异于B 、D 的动点，点F 在BC 边上，且EF⊥AB，现沿EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置，使PE⊥AE，记BE ＝x ，V(x)表示四棱锥P －ACEF 的体积．(1)求V(x)的表达式；(2)当x 为何值时，V(x)取得最大值？(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值． 解析：(1)由折起的过程可知，PE⊥平面ABC ， S ΔABC ＝96，S △BEF ＝x 2108·S △BDC ＝612x 2，V(x)＝63x ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－112x 2(0＜x ＜36)． (2)V′(x)＝63⎝ ⎛⎭⎪⎫9－14x 2，所以x∈(0,6)时，V′(x)＞0 ，V(x)单调递增；6＜x ＜36时V′(x)＜0 ，V(x)单调递减；因此x ＝6时，V(x)取得最大值126；(3)过F 作MF∥AC 交AD 于M ，则BM AB ＝BF BC ＝BE BD ＝BE12AB ，MB ＝2BE ＝12，PM ＝62， MF ＝BF ＝PF ＝636BC ＝6354＋9＝42，在△PFM 中， cos∠PFM＝84－7242×2＝17，∴异面直线AC 与PF 所成角的余弦值为17.10．(2008年四川延考卷)如右图所示，一张平行四边形的硬纸片ABC 0D 中，AD ＝BD ＝1，AB ＝ 2.沿它的对角线BD 把△BDC 0折起，使点C 0到达平面ABC 0D 外点C 的位置．(1)证明：平面ABC 0D⊥平面CBC 0；(2)如果△ABC 为等腰三角形，求二面角A －BD －C 的大小．解析：(1)证明：因为AD ＝BC 0＝BD ＝1， AB ＝C 0D ＝2，所以∠DBC 0＝90°，∠ADB＝90°. 因为折叠过程中，∠DBC＝∠DBC 0＝90°， 所以DB⊥BC，又DB⊥BC 0，故DB⊥平面CBC 0. 又DB ⊂平面ABC 0D ，所以平面ABC 0D⊥平面CBC 0.(2)法一：如右图，延长C 0B 到E ，使BE ＝C 0B ，连结AE ，CE. 因为AD 綊BE ，BE ＝1，DB ＝1，∠DBE＝90°，所以AEBD 为正方形，AE ＝1.由于AE ，DB 都与平面CBC 0垂直，所以AE⊥CE，可知 AC ＞1.因此只有AC ＝AB ＝2时，△ABC 为等腰三角形． 在Rt△AEC 中，CE ＝AC 2－AE 2＝1，又BC ＝1， 所以△CEB 为等边三角形，∠CBE＝60°.由(1)可知，BD⊥BC，BD⊥BE，所以∠CBE 为二面角A －BD －C 的平面角，即二面角A －BD －C 的大小为60°.法二：以D 为坐标原点，射线DA ，DB 分别为x 轴正半轴和y 轴正半轴，建立如右图的空间直角坐标系D －xyz ，则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,0,0)．由(1)可设点C 的坐标为(x,1，z)，其中z ＞0，则有 x 2＋z 2＝1.①因为△ABC 为等腰三角形，所以AC ＝1或AC ＝ 2. 若AC ＝1，则有(x －1)2＋1＋z 2＝1. 由此得x ＝1，z ＝0，不合题意． 若AC ＝2，则有(x －1)2＋1＋z 2＝2.②联立①和②得x ＝12，z ＝32.故点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，32.由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以DA →与BC →夹角的大小等于二面角A －BD －C 的大小． 又DA →＝(1,0,0)，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，cos 〈DA →，BC →〉＝DA →·BC →|DA →||BC →|＝12.所以〈DA →，BC →〉＝60°，即二面角A －BD －C 的大小为60°.第三节 空间向量在立体几何中的应用一、选择题1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，PQ 是异面直线A 1D 和AC 的公垂线，则直线PQ 与BD 1的关系是( )A ．异面直线B ．平行直线C ．垂直但不相交D ．垂直相交 答案：B2．已知矩形ABCD ，PA⊥平面ABCD ，则以下不等式中可能不成立的是( ) A.PA →·AB →＝0 B.PC →·BD →＝0 C.PD →·AB →＝0 D.PA →·CD →＝0 答案：B3．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD ＝a ，则三棱锥D —ABC 的体积为( )A.a 36 B.a 312C.312a 3 D.212a 3 答案：D4．如下图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM∥平面BDE.则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1 解析：∵M 在EF 上，设ME ＝x ，∴M ⎝⎛⎭⎪⎫22x ，22x ，1∵A(2，2，0)，D(2，0,0)，E(0,0,1)，B(0，2，0) ∴ED →＝(2，0，－1)，EB →＝(0，2，－1)，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x －2，22x －2，1，设平面BDE 的法向量n ＝(a ，b ，c) 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·ED →＝0n ·EB →＝0，得⎩⎨⎧c ＝2ac ＝2b.故可取一个法向量n ＝(1,1，2)，有n ·AM →＝0，∴x＝1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，故选C.答案：C5．如下图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，若E 、F 分别是BC 、DD 1中点，则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33 B.55 C.53 D.255解析：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B 1(1,1,0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，B(1,1,1)．AB →＝(0,1,0)，B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1，FA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，∵FA →·B 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1＝0.∴AF →⊥B 1E →，又AB →⊥B 1E →.∴B 1E →⊥平面ABF. 平面ABF 的法向量为B 1E →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，1，AB 1→＝(0,1，－1)．B 1到平面ABF 的距离为|AB 1→·B 1E →||B 1E →|＝255.答案：D 二、填空题6．如下图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线AC 与BC 1的夹角为____________．解析：以D 为坐标原点，建立如题图空间坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0), C(0,1,0), B(1,1,0), C 1(0,1,1)则AC →＝(－1,1,0)，BC 1→＝(－1,0,1)， ∴cos θ＝|AC →·BC 1→||AC →||BC 1→|＝12·2＝12，∴θ＝60°，即AC 与BC 1的夹角为60°. 答案：60°7．如下图所示，已知矩形ABCD 中，|AD|＝3，|AB|＝4.将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得面BCD⊥面ABD.现以D 为原点，DB 作为y 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．则A ，C 两点的坐标分别是________，A ，C 两点的距离是______.解析：由于面BCD⊥面ABD ，从面BCD 引棱DB 的垂线CF 即为面ABD 的垂线，同理可得AE 即为面BCD 的垂线，故只需求得AE ，CF ，DE ，DF 的长度即可．答案：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，95，0，C ⎝⎛⎭⎪⎫0，165，12533758．如下图所示，已知棱长为a 的正四面体ABCD 中，E 、F 在BC 上，G 在AD 上，E 是BC 的中点，CF ＝14CB ，AG ＝14AD ，给出下列四个命题：①AC⊥BD；②FG＝104a ；③侧面与底面所成二面角的余弦值为13；④AE →·CB →＜AE →·CD →.其中真命题的序号是______________ .答案：①②③ 三、解答题9．(2009年滨州模拟)如下图所示， 在四棱锥P －ABCD 中，PA⊥平面ABCD, 底面ABCD 为正方形， 且PA ＝AD ＝2, E 、F 分别为棱AD 、PC 的中点．(1)求异面直线EF 和PB 所成角的大小； (2)求证：平面PCE⊥平面PBC ； (3)求二面角E －PC －D 的大小.解析： 以直线AB 为x 轴， 直线AD 为y 轴， 直线AP 为z轴建立空间直角坐标系， 如右图，则A(0,0,0), B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．(1)∵E 为AD 的中点，∴E(0,1,0), 又F 为PC 的中点， ∴ F(1,1,1)．∴EF →＝(1,0,1)． 又PB →＝(2,0，－2)，∴cos〈EF →，PB →〉＝1×2＋1×－21＋1·4＋4＝0，∴cos〈EF →，PB →〉 ＝ 90°，异面直线EF 和PB 所成角的大小为90°. (2)证明：由(1)知EF⊥PB， 又∵BC →＝(0,2,0)，EF →＝(1,0,1) ∴EF →·BC →＝0, ∴EF⊥BC.∴ 又EF ⊂平面PCE, ∴平面PCE⊥平面PBC.(3)过点D 作DH⊥PC 于H, 在Rt△PDC 中， PD ＝22， DC ＝2, PC ＝23， 则CH ＝ 233，PH∶HC＝2∶1,又P(0,0,2)，C(2,2,0)，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，23 ∴DH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－23，23， 又EF →＝(1,0,1)，cos 〈DH →，EF →〉＝ 2263×2＝ 32，∴ 〈DH →，EF →〉＝ 30°.∴二面角E －PC －D 的大小为30°. 10．(2009年北京卷)如右图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上． (1)求证：平面AEC⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小． 解析：法一：如右图，以D 为原点建立空间直角坐标系D －xyz ， 设AB ＝a ，PD ＝h ，则A(a,0,0)，B(a ，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，P(0,0，h)， (1)∵AC →＝(－a ，a,0)，DP →＝(0,0，h)，DB →＝(a ，a,0)， ∴AC →·DP →＝0，AC →·DB →＝0，∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面AEC⊥平面PDB.(2)当PD ＝2AB 且E 为PB 的中点时，P ()0，0，2a ， E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，12a ，22a ，设AC∩BD＝O ，连接OE, 由(1)知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角，∵EA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，－12a ，－22a ，EO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，－22a ，∴cos∠AEO＝EA →·EO →|EA →|·|EO →|＝22，∴∠AOE＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°. 法二：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD ，∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB ， ∴平面AEC⊥平面PDB. (2)设AC∩BD＝O ，连接OE ， 由(1)知AC⊥平面PDB 于O ， ∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角， ∴O，E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE∥PD，OE ＝12PD ，又∵PD⊥底面ABCD ，∴OE⊥底面ABCD ，OE⊥AO，在Rt△AOE 中，OE ＝12PD ＝22AB ＝AO ，∴∠AOE＝45°，即AE 与平面PDB 所成的角的大小为45°。
2025年高考数学一轮复习 第八章 -第五节 空间向量及其运算【课件】
唯一
= +
______的有序实数对
, ,使____________.
3.空间向量基本定理
如果三个向量,,不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组 , , ,
= + +
相反
（ⅱ）当 < 0时,与的方向______.
②当 = 0或 = 时, =___.
（4）空间向量的线性运算满足如下运算律:对于实数 与 ,向量与,有
① + = + ；②( + ) = + .
四、空间向量的数量积及运算律
1.数量积
非零向量,的数量积 ⋅ = cos⟨,⟩.
边的平行六面体中,与这三个向量有共同始点的体对角线所表示的向量.
（3）给定一个实数 与任意一个空间向量,则实数 与空间向量相乘的运算称为数
乘向量,记作.其中:
①当 ≠ 0且 ≠ 时,的模为______,而且的方向如下:
相同
（ⅰ）当 > 0时,与的方向______；
第八章 立体几何与空间向量
第五பைடு நூலகம் 空间向量及其运算
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其
课 坐标表示.
标 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能用向量
解 的数量积判断向量的共线和垂直.
+ + = 1）,为空间中任意一点.
3.若 = + 且点或点不在平面内,则//平面.
高考数学一轮复习专题八立体几何5空间向量及其在立体几何中的应用应用篇课件新人教A版
设直线MN与平面PAB所成角为θ, DN =λ DC(λ∈[0,1]),
则 MN
= MA
+ AD
+ DN
=(λ+1,2λ-1,-1),
又平面PAB的一个法向量为n=(1,0,0),
| λ 1|
则sin θ=|cos< MN ,n>|=
( λ 1)2 (2 λ 1) 2 1
( λ 1) 2
=
,
2
5λ 2 λ 3
1
( λ 1)2
t2
5
令λ+1=t(t∈[1,2]),则 2
= 2
=
≤ ,
2
7
5 λ 2 λ 3 5t 12t 10 10 1 12 1 5
5
∴sin θ≤ 35 ,当t= ,即λ= 2 时,等号成立,
7
3
系有关的存在性问题;(2)与空间角有关的存在性问题.解决方案有两种:①
根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想,找出点或线的位置,然后
加以证明,得出结论;②假设所求的点或线存在,并设定参数表达已知条
件,根据题目进行求解,若能求出参数的值且符合已知限定的范围,则存在
这样的点或线,否则不存在.向量法是解决此类问题的常用方法,它可以将
(2)因为DE⊥平面ABCD,
所以∠EBD就是BE与平面ABCD所成的角,
即∠EBD=60°,所以 ED = 3 .
BD
由AD=3,四边形ABCD是正方形,得BD=3 2 ,
则DE=3 6 ,所以AF= 6 .
如图,分别以DA,DC,DE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
高考一轮复习 空间向量运算 知识点+例题+练习
1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O 有，OP →＝________________或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOM →，其中x ＋y ＋z ＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝________________________，把{e 1，e 2，e 3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝__________________________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，若b ≠0，则a ∥b ⇔________⇔__________，________，______________，a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝________________________________，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝______________________________________________________. 若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB →|＝______________________________.3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l ，l 1，l 2的方向向量分别为v ，v 1，v 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下： 平行 垂直直线 与直线 l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ为非零实数)l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0 直线 与平面 ①l ∥α⇔v ⊥n 1⇔v ·n 1＝0②l ∥α⇔v ＝x v 1＋y v 2其中v 1，v 2为平面α内不共线向量，x ， y 均为实数l ⊥α⇔v ∥n 1⇔v ＝λn 1(λ为非零实数)平面 与平面 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ为非零实数)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0自我检测1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则x ＝______________________，y ＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →用a ，b ，c 表示为________．3．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.4．下列4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题是________(填序号)．5．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一 空间基向量的应用例1 已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．探究点三 利用向量法求二面角例3 如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．变式迁移3 如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A —SC —B 的余弦值．探究点四综合应用例4如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式迁移4 (2011·山东，19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．1、如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.2、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．3、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．4、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B－AD－F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．。
高考数学(理)一轮复习课后作业：第八章第五节空间向量及其运算和空间位置关系含解析.doc
［全盘巩固］一、选择题1.点M(—8,6,1)关于x轴的对称点的坐标是()A. (—8, —6, —1)B. (8, —6, —1)C. (8, -6,1)D. (-8, -6,1)2・O为空间任意一点•若OP = -^OA + +yOC，则A・B,C,P四点( )A. 一定不共而B. 一定共而C.不一定共面D. 无法判断3.已知a=(2,3, —4), &=(—4, 3, 2), ^~2X 2a，则兀一()A. (0,3, —6)B. (0,6, -20)C. (0,6, —6)D. (6,6, —6)4.已知°=(2,1, -3),方=(—1,2,3), c=(7,6, x),若a, b, c 三向量共面，则人=( )A. 9B. -9C. -3D. 35.若平而a, ”的法向量分别为山=(2, —3,5), /“ = ( —3,1, -4),贝U()A. a//p B・ a丄〃C. g 0相交但不垂直D.以上均不止确二、填空题6.在空间直角坐标系中，点P(l,迈，迈)，过点P作平面jQz的垂线尸0,则垂足08.已知点>1(1,2,1), 〃(一1,3,4), 0(1,1,1),若AP = 2 PB,则庁山的值是 ________________三、解答题9.如图,在棱长为。
的正方体Ch4BC・O\A\B\C\中,E、F分别是棱的、BC上的动点, 且AE=BF=x,其中OWxWa,以O为原点建立空间直角处标系O -xyz.(1) 写出点E 、F 的坐标;(2) 求证:丄 C|E ；10.如图，在底而是矩形的四棱锥P-ABCD 屮，刃丄底ABCD, E, F 分别是PC, PD的中点，PA=AB=\, BC=2.(1)求证：EF 〃平而丹B ； (2)求证：平面丹D 丄平面FDC.［冲击名校］1. 平行六面体ABCDA ］ B| G D|中，向HAB.AD.AA^两两的夹角均为 60°,且 | AB|=1,|AD|=2,|AA ；|=3,则1伉；丨等于 ( )A. 5B. 6C. 4D. 82. 如图，在大小为45啲二面角A-EF-D 中，四边形4BFE, CDEF 都是边长为1的止方 形，则3, D 两点间的距离是()(3)若你E 、F 、G 四点共面, 求证:A萌 B.迈C. 1 D .^3-^/2JT3.如图所示，已知空间四边形OABC, OB = OC,且ZAOB= ZAOC =),则cos<OA 9 EC〉的值为4.在四棱锥中，PD丄底而ABCD，底而MCD为正方形，PD=DC, E, F 分别是川5, 的屮点.⑴求证：EF丄CD；(2)在平面内是否存在一点G,使GF丄平面PCB.若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由.［全盘巩固］一、选择题1.解析：选A 点P(a , b , c)关于兀轴的对称点为P (a,・b,・c)・2.解析：选B询=孕丙+ *西+*处，fi| + | + |= 1，:.P ,A,B, C四点共面.3.解析：选B 由b = ^x・ 2a ,得x = 4a + 2〃二(8,12 ,・ 16) + ( - 8 ,・6,・ 4)二(0,6, -20)・4.解析：选B 由题意知c = xa+yb，即(7,6 , 2) = x(2,l ,・ 3)+尹(・1,2,3) , A '2x -y=l , x + 2y = 6 ,角军得久二・9..-3x + 3y = X ,5.解析：选C vnr/i2 = 2X( - 3) +(- 3)X1 +5X( - 4)^0 , :.n x与血不垂直，:・a 与0相交但不垂直・二、填空题6.解析：由题意知点。
2014届高考一轮数学(理)：《空间向量及其运算》
助学微博 考点自测
考向一 空间向量的线性运算
【例1】 【训练1】
突破3个考向
考向二 共线、共面向量定理的【例2】 【训练2】
应用 考向三 空间向量数量积的应用【例3】 【训练3】
揭秘3年高考
客观题中空间向量的应用
1、 选择题 A级 填空题 2、 3、 解答题
限时规范训练
B级
1、 选择题 填空题 2、 3、 解答题
考向二共线、共面向量定理的应用
【例 2】►已知 E、F、G、H 分别是空间四 边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中 点， (1)求证：E、F、G、H 四点共面； (2)求证：BD∥平面 EFGH； (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点，求证：对空 → 1 → → → → 间任一点 O，有OM＝ (OA＋OB＋OC＋OD)． 4 证明 (1)连接 BG，则 → → → → 1 → → EG＝EB＋BG＝EB＋ (BC＋BD) 2 → → → → → ＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH， 由共面向量定理的推论知：E、F、G、H 四点共面． → → → 1→ 1→ 1 → → 1→ (2)因为EH＝AH－AE＝ AD－ AB＝ (AD－AB)＝ BD， 2 2 2 2 所以 EH∥BD. 又 EH⊂平面 EFGH，BD⊄平面 EFGH， 所以 BD∥平面 EFGH.
[审题视点]
考向二共线、共面向量定理的应用
(3)找一点 O，并连接 OM，OA，OB，OC， OD，OE，OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH＝ BD，同理FG＝ BD， 2 2 → → 所以EH＝FG，即 EH ∥ = FG， 所以四边形 EFGH 是平行四边形． 所以 EG，FH 交于一点 M 且被 M 平分． 1→ 1→ → 1 → → 故OM＝ (OE＋OG)＝ OE＋ OG 2 2 2 1 1 → → 1 → 1 → ＝ OA＋OB＋ OC＋OD 22 22 1 → → → → ＝ (OA＋OB＋OC＋OD)． 4
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第5讲 空间向量及
最新考纲 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定 理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2.掌 握空间向量的线性运算及其坐标表示；3.掌握空间向量的数 量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和 垂直.
知识梳理
1.空间向量的有关概念
名称 空间向量
定义 在空间中，具有大小和__方__向___的量
3.两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
2.(人教 A 选修 2－1P97 习题 A 组 T2 改编)
如图所示，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若A→B＝a， A→D＝b，A→A1＝c，则下列向量中与B→M相等的向量是( )
A.－12a＋12b＋c
B.12a＋12b＋c
C.－12a－12b＋c
解析 显然①，②正确，对于③，若a＋b，a－b，c不是空 间的一个基底，则c＝x(a＋b)＋y(a－b)＝a(x＋y)＋b(x－y)， ∴c与a，b共面，与向量a，b，c是空间的一个基底矛盾，因 此③正确.④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则＝x ＋y不正确. 答案 ①②③
考点一 空间向量的线性运算 【例 1】 如图所示，在空间几何体 ABCD－A1B1C1D1 中，各
相等向量
方向___相__同___且模_相__等___的向量
表示空间向量的有向线段所在的直线互 共线向量 相_平__行__或___重__合____
数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第八章 立体几何 空间向量及其运算和空间位置关系
§8.6 空间向量及其运算和空间位置关系考纲展示►1。
了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2．会推导空间两点间的距离公式．3．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5．掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．6．理解直线的方向向量与平面的法向量．7．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．8．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理（包括三垂线定理)．考点1 空间向量的线性运算空间向量的有关概念（1）空间向量:在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．（2）相等向量：方向________且模________的向量．（3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相____________的向量．（4)共面向量：________________的向量．答案：(1）大小方向(2）相同相等（3)平行或重合(4）平行于同一个平面(1）［教材习题改编]已知在空间四边形ABCD中，G为CD的中点，则化简错误!＋错误!(错误!＋错误!)＝________。
→答案:AG解析：错误!＋错误!（错误!＋错误!)＝错误!＋错误!＝错误!。
(2)[教材习题改编］如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若错误!＝a，错误!＝b,错误!＝c，则错误!可用a，b，c表示为________．答案:－错误!a＋错误!b＋c解析：由图可知，错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!(错误!－错误!)＝c＋错误!（b－c)＝－错误!a＋错误!b＋c.[典题1] （1）[2017·河南郑州模拟]如图所示,已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别为OA，BC的中点，点G 在线段MN上,且错误!＝2错误!，若错误!＝x错误!＋y错误!＋z错误!，则x＋y＋z ＝________。
【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库：8.6 空间向量及其运算
8.6 空间向量及其运算一、选择题1．若{a ，b ，c }为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．A ．{a ，a ＋b ，a －b }B ．{b ，a ＋b ，a －b }C ．{c ，a ＋b ，a －b }D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b }解析 若c 、a ＋b 、a －b 共面，则c ＝λ(a ＋b )＋m (a －b )＝(λ＋m )a ＋(λ－m )b ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量的一组基底矛盾，故c ，a ＋b ，a －b 可构成空间向量的一组基底． 答案 C2．以下四个命题中正确的是( )．A ．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B ．若{a ，b ，c }为空间向量的一组基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间向量的另一组基底C ．△ABC 为直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 D ．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析 若a ＋b 、b ＋c 、c ＋a 为共面向量，则a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，(1－μ)a ＝(λ－1)b ＋(λ＋μ)c ，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a ＝λ－11－μb＋λ＋μ1－μc ，则a 、b 、c 为共面向量，此与{a ，b ，c }为空间向量基底矛盾． 答案 B 3．有下列命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面； ②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面；④若P ，M ，A ，B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 解析 其中①③为正确命题． 答案 B4. 如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD的交点，若AB ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c 则下列向量中与1B M 相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 解析 1B M ＝1B A ＋AM ＝1B B ＋BA ＋AM ＝－12a ＋12b ＋c .答案 A5．如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )．A ．0 B.12C.32 D.22解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 答案 A6．如图，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A. 3B. 2 C ．1 D.3－ 2解析 ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2. 答案 D 7．下列命题中①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②不等式|a ＋b |＜|a |＋|b |的充要条件是a 与b 不共线；③若非零向量c 垂直于不共线的向量a 和b ，d ＝λa ＋μb (λ、μ∈R ，且λμ≠0)，则c ⊥d . 正确命题的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 解析 只有命题③是正确命题． 答案 B 二、填空题8．如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________________．解析 ∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23ON →－23OM → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.答案16，13，139. 设,x y ∈R ，向量()()()4,2,,1,1,-===c y b x a ，且c b c a //,⊥，则_______=+b a解析 2402,//(3,1)10242x x a c b c a b y y -==⎧⎧⊥⇔⇔⇒+=-=⎨⎨=-=-⎩⎩. 答案 1010．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD －A′B′C′D′中，AB ＝1，AD ＝2，AA′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．解析 如图，AC′→＝AB →＋BC →＋CC′→＝AB →＋AD →＋AA′→，所以|AC′|＝|AC′→|＝|AB →＋AD →＋AA′→| ＝AB →2＋AD →2＋AA′→2＋2AB →·AD →＋AB →·AA′→＋AD →·AA ′→＝1＋4＋9＋21×3×cos60°＋2×3×cos60°＝23.答案 2311．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(11A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －11A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________． 解析 由1AA ⊥11A D ，1AA ⊥11A B ，11A D ⊥11A B ⊥11A B ，得(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝3(11A B )2，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确． 答案 ①②12．如图，空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝45°，∠OAB ＝60°，则OA 与BC 所成角的余弦值等于________．X解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .OA 与BC 所成的角为θ， OA →·BC →＝a (c －b )＝a ·c －a ·b ＝a ·(a ＋AC →)－a ·(a ＋AB →)＝a 2＋a ·AC →－a 2－a ·AB →＝24－16 2.∴cos θ＝|OA →·BC →||OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225.答案3－225三、解答题13．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB ＝e 1＋e 2，AC ＝2e 1＋8e 2，AD ＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0. ∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＋2μ＋3v ＝0，λ＋8μ－3v ＝0.易知⎩⎨⎧λ＝－5，μ＝1，v ＝1，是其中一组解，则－5AB ＋AC ＋AD ＝0. ∴A 、B 、C 、D 共面．14．如右图，在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，G 为△BC 1D 的重心， (1)试证A 1、G 、C 三点共线； (2)试证A 1C ⊥平面BC 1D ； (3)求点C 到平面BC 1D 的距离．解析 (1)证明 CA 1→＝CB →＋BA →＋AA 1→＝CB →＋CD →＋CC 1→，可以证明：CG →＝13(CB →＋CD →＋CC 1→)＝13CA 1→，∴CG →∥CA 1→即A 1、G 、C 三点共线．(2)证明 设CB →＝a ，CD →＝b ，CC 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ， 且a·b ＝b·c ＝c·a ＝0， ∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，BC 1→＝c －a ，∴CA 1→·BC 1→＝(a ＋b ＋c )·(c －a )＝c 2－a 2＝0， ∴CA 1→⊥BC 1→，即CA 1⊥BC 1，同理可证：CA 1→⊥BD →， 因此A 1C ⊥平面BC 1D .(3) ∵CA 1→＝a ＋b ＋c ，∴CA 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＝3a 2，即|CA 1→|＝3a ，因此|CG →|＝33a .即C 到平面BC 1D 的距离为33a .15．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求： (1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小．解析 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A （0，－22a,0）， B （22a,0,0），C （0，22a,0），D （0,0，22a ），E （0，－24a ，24a ），F （24a ，24a,0）.(1)|EF →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a －02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ＋24a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－24a 2＝34a 2，∴|EF |＝32a .(2)OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－24a ，24a ，OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ，24a ，0，OE →·OF →＝0×24a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－24a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫24a ＋24a ×0＝－a 28，|OE →|＝a 2，|OF →|＝a2，cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF→|OE →||OF →|＝－12，∴∠EOF ＝120°.16．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·DC →；(3)EG 的长； (4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解析 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， (2)EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a·c ＝14，EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c )＝12(b·c －a ·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE→|AG →||CE →|＝－23， 由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。
(名师伴你行)2014高考数学一轮复习课件 第八章 空间向量及其运算
●两个定理 (1)共线向量定理还可以有以下几种形式：①a＝λb⇒a∥ b； ②空间任意两个向量共线的充要条件是存在 λ， μ∈R 使 λa → → ＝μb.③若OA，OB不共线，则 P，A，B 三点共线的充要条件 → → → 是OP＝λOA＋μOB且 λ＋μ＝1.
(2)对于共面向量定理和空间向量基本定理可对比共线向 量定理进行学习理解．空间向量基本定理是适当选取基底的 依据，共线向量定理和共面向量定理是证明三点共线、线线 平行、四点共面、线面平行的工具，三个定理保证了由向量 作为桥梁由实数运算方法完成了几何证明问题的完美 “ 嫁 接”.
(3)模、夹角和距离公式：设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2， a· b 27 28 b3)，则|a|＝ a· a＝□____________，cos〈a，b〉＝ ＝□ |a||b| ________________________. → 29 若 A(a1 ， b1 ， c1) ， B(a2 ， b2 ， c2) ，则 dAB ＝ | AB | ＝ □ ______________________.
16 ②两向量的数量积：已知空间两个非零向量 a，b，则□ 17 ________________ 叫 做 向 量 a ， b 的 数 量 积 ， 记 作 □ 18 ______________________. ______________，即 a· b＝□
(2)空间向量数量积的运算律． 19 ________________； ①结合律：λ(a· b)＝□ 20 ______________； ②交换律：a· b＝□ 21 ________________. ③分配律：a· (b＋c)＝□
〈a，b〉
17 a· 18 |a||b|cos〈a，b〉 □ 19 (λa)· 20 b· 21 a· □ b □ b □ a □ b ＋a· c 22 a1b1＋a2b2＋a3b3 □ 23 a＝λb □ 24 a1＝λb1， □ a2＝λb2， 25 a· 26 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 □ b □ 28 □ a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 2 2 2 a2 ＋ a ＋ a b ＋ b ＋ b 1 2 3 1 2 3
高考数学一轮复习讲义(新高考版) 第8章 第5讲 空间向量及其运算
第5讲 空间向量及其运算一、知识梳理1．空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间任意两个向量a ,b (b ≠0),a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ,使得a ＝λb ．(2)共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p 与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ,y ),使p ＝x a ＋y b ．(3)空间向量基本定理:如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在有序实数组{x ,y ,z },使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ,b ,c }叫做空间的一个基底．2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a ,b ,在空间中任取一点O ,作OA →＝a ,OB →＝b ,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作〈a ,b 〉．通常规定0≤〈a ,b 〉≤π．若〈a ,b 〉＝π2,则称向量a ,b互相垂直,记作a ⊥b .(2)两向量的数量积两个非零向量a ,b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ,b 〉． (3)向量的数量积的性质①a ·e ＝|a |cos 〈a ,e 〉(其中e 为单位向量); ②a ⊥b ⇔a ·b ＝0; ③|a |2＝a ·a ＝a 2; ④|a ·b |≤|a ||b |.(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b ); ②a ·b ＝b ·a (交换律);③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算 (1)设a ＝(a 1,a 2,a 3),b ＝(b 1,b 2,b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1,a 2＋b 2,a 3＋b 3), a －b ＝(a 1－b 1,a 2－b 2,a 3－b 3),λa ＝(λa 1,λa 2,λa 3),a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3, a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0,a ∥b ⇔a 1＝λb 1,a 2＝λb 2,a 3＝λb 3(λ∈R ), cos 〈a ,b 〉＝a ·b|a |·|b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23. (2)设A (x 1,y 1,z 1),B (x 2,y 2,z 2),则AB →＝OB →－OA →＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量:l 是空间一直线,A ,B 是直线l 上任意两点,则称AB →为直线l 的方向向量,与AB →平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量,显然一条直线的方向向量可以有无数个．(2)平面的法向量①定义:与平面垂直的向量,称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个,任意两个都是共线向量．②确定:设a ,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n·a ＝0n·b ＝0. 5．空间位置关系的向量表示1．向量三点共线定理在平面中A ,B ,C 三点共线的充要条件是:OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1),O 为平面内任意一点．2．向量四点共面定理在空间中P ,A ,B ,C 四点共面的充要条件是:OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1),O 为空间任意一点．二、教材衍化1．如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则BM →＝________(用a ,b ,c 表示)．解析:BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .答案:－12a ＋12b ＋c2．正四面体ABCD 的棱长为2,E ,F 分别为BC ,AD 的中点,则EF 的长为________． 解析:|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →)2＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2,所以|EF →|＝2,所以EF 的长为 2. 答案: 23.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,O 是底面正方形ABCD 的中心,M 是D 1D 的中点,N 是A 1B 1的中点,则直线ON ,AM 的位置关系是________．解析:以D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设DA ＝2,则A (2,0,0),M (0,0,1),O (1,1,0),N (2,1,2),所以AM →＝(－2,0,1),ON →＝(1,0,2),AM →·ON →＝－2＋0＋2＝0,所以AM ⊥ON .答案:垂直一、思考辨析判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ,b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ,由a ·b ＝b ·c ,则a ＝c .( )(4)若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则a ,b ,c 中至多有一个零向量．( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( ) (6)若A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√二、易错纠偏复习指导| (1)忽视向量共线与共面的区别; (2)使用数量积公式出错．1．在空间直角坐标系中,已知A (1,2,3),B (－2,－1,6),C (3,2,1),D (4,3,0),则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直解析:选B ．由题意得,AB →＝(－3,－3,3),CD →＝(1,1,－1), 所以AB →＝－3CD →,所以AB →与CD →共线, 又AB 与CD 没有公共点,所以AB ∥CD .2．O 为空间中任意一点,A ,B ,C 三点不共线,且OP →＝34OA →＋18OB →＋t OC →,若P ,A ,B ,C 四点共面,则实数t ＝________．解析:因为P ,A ,B ,C 四点共面,所以34＋18＋t ＝1,所以t ＝18.答案:18考点一 空间向量的线性运算(基础型)复习指导| 了解空间向量的概念,掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 核心素养:数学运算、数学抽象1.如图所示,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则下列向量中与BM →相等的向量是 ( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c解析:选A ．由题意,根据向量运算的几何运算法则,BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .2．在空间四边形ABCD 中,若AB →＝(－3,5,2),CD →＝(－7,－1,－4),点E ,F 分别为线段BC ,AD的中点,则EF →的坐标为( )A ．(2,3,3)B ．(－2,－3,－3)C ．(5,－2,1)D ．(－5,2,－1)解析:选B ．因为点E ,F 分别为线段BC ,AD 的中点,O 为坐标原点,所以EF →＝OF →－OE →,OF →＝12(OA →＋OD →),OE →＝12(OB →＋OC →)．所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →)＝12[(3,－5,－2)＋(－7,－1,－4)]＝12(－4,－6,－6)＝(－2,－3,－3)． 3.在三棱锥O -ABC 中,M ,N 分别是OA ,BC 的中点,G 是△ABC 的重心,用基向量OA →,OB →,OC →表示(1)MG →;(2)OG →.解:(1)MG →＝MA →＋AG → ＝12OA →＋23AN → ＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.(2)OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC → ＝13OA →＋13OB →＋13OC →.用已知向量表示未知向量的解题策略(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．考点二 共线、共面向量定理的应用(基础型)复习指导| 了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．核心素养:数学运算如图所示,已知斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1,点M ,N 分别在AC 1和BC 上,且满足AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．(1)向量MN →是否与向量AB →,AA 1→共面？ (2)直线MN 是否与平面ABB 1A 1平行？ 【解】 (1)因为AM →＝kAC 1→,BN →＝kBC →, 所以MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A →＋AB →＋kBC → ＝k (C 1A →＋BC →)＋AB → ＝k (C 1A →＋B 1C 1→)＋AB → ＝kB 1A →＋AB →＝AB →－kAB 1→＝AB →－k (AA 1→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1→,所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →,AA 1→共面．(2)当k ＝0时,点M ,A 重合,点N ,B 重合,MN 在平面ABB 1A 1内,当0＜k ≤1时,MN 不在平面ABB 1A 1内,又由(1)知MN →与AB →,AA 1→共面,所以MN ∥平面ABB 1A 1.三点P ,A ,B 共线空间四点M ,P ,A ,B 共面 P A →＝λPB →MP →＝xMA →＋yMB →对空间任一点O ,＝OA →＋tAB →对空间任一点O ,OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →对空间任一点O ,OP →＝xOA →＋(1－x )OB →对空间任一点O ,OP →＝xOM →＋yOA →＋(1－x －y )OB →1．若A (－1,2,3),B (2,1,4),C (m ,n ,1)三点共线,则m ＋n ＝________． 解析:AB →＝(3,－1,1),AC →＝(m ＋1,n －2,－2)． 因为A ,B ,C 三点共线,所以存在实数λ, 使得AC →＝λAB →.即(m ＋1,n －2,－2)＝λ(3,－1,1)＝(3λ,－λ,λ), 所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1＝3λn －2＝－λ－2＝λ,解得λ＝－2,m ＝－7,n ＝4.所以m ＋n ＝－3. 答案:－32．如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是平行四边形,E ,F ,G 分别是A 1D 1,D 1D ,D 1C 1的中点．(1)试用向量AB →,AD →,AA 1→表示AG →;(2)用向量方法证明平面EFG ∥平面AB 1C . 解:(1)设AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c . 由题图得AG →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1G →＝c ＋b ＋12AB →＝12a ＋b ＋c＝12AB →＋AD →＋AA 1→. (2)证明:由题图,得AC →＝AB →＋BC →＝a ＋b , EG →＝ED 1→＋D 1G →＝12b ＋12a ＝12AC →,因为EG 与AC 无公共点,所以EG ∥AC ,因为EG ⊄平面AB 1C ,AC ⊂平面AB 1C , 所以EG ∥平面AB 1C . 又因为AB 1→＝AB →＋BB 1→＝a ＋c , FG →＝FD 1→＋D 1G →＝12c ＋12a ＝12AB 1→,因为FG 与AB 1无公共点,所以FG ∥AB 1,因为FG ⊄平面AB 1C ,AB 1⊂平面AB 1C , 所以FG ∥平面AB 1C ,又因为FG ∩EG ＝G ,FG ,EG ⊂平面EFG , 所以平面EFG ∥平面AB 1C .考点三 空间向量数量积的应用(基础型)复习指导| 掌握空间向量的数量积及其坐标表示． 核心素养:数学运算如图所示,已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1,点E ,F ,G 分别是AB ,AD ,CD 的中点,计算:(1)EF →·BA →;(2)EG →·BD →.【解】 设AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1,〈a ,b 〉＝〈b ,c 〉＝〈c ,a 〉＝60°,(1)EF →＝12BD →＝12c －12a ,BA →＝－a ,EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a )＝12a 2－12a ·c ＝14.(2)EG →·BD →＝(EA →＋AD →＋DG →)·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋AD →＋AG →－AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12AB →＋12AC →＋12AD →·(AD →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫－12a ＋12b ＋12c ·(c －a )＝12(－1×1×12＋1×1×12＋1＋1－1×1×12－1×1×12) ＝12. 【迁移探究1】 (变问法)在本例条件下,求证EG ⊥AB . 证明:由例题知EG →＝12(AC →＋AD →－AB →)＝12(b ＋c －a ),所以EG →·AB →＝12(a ·b ＋a ·c －a 2)＝12⎝⎛⎭⎫1×1×12＋1×1×12－1＝0. 故EG →⊥AB →,即EG ⊥AB .【迁移探究2】 (变问法)在本例条件下,求EG 的长． 解:由例题知EG →＝－12a ＋12b ＋12c ,|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a ·b ＋12b ·c －12c ·a ＝12,则|EG →|＝22,即EG 的长为22.【迁移探究3】 (变问法)在本例条件下,求异面直线AG 与CE 所成角的余弦值． 解:由例题知AG →＝12b ＋12c ,CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ,cos 〈AG →,CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23,由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0π2.所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.空间向量数量积的三个应用求夹角 设向量a ,b 所成的角为θ,则cos θ＝a ·b|a ||b |,进而可求两异面直线所成的角求长度(距离) 运用公式|a |2＝a ·a ,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 解决垂直问题利用a ⊥b ⇔a ·b ＝0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM ＝2A 1M ,C 1N＝2B 1N .设AB →＝a ,AC →＝b ,AA 1→＝c .(1)试用a ,b ,c 表示向量MN →;(2)若∠BAC ＝90°,∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°,AB ＝AC ＝AA 1＝1,求MN 的长． 解:(1)由题图知MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→＝13(c －a )＋a ＋13(b －a )＝13a ＋13b ＋13c . (2)由题设条件知,因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5,所以|a ＋b ＋c |＝5,|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53.考点四 利用向量证明平行与垂直(应用型)复习指导| 1.理解直线的方向向量与平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．3．能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)． 核心素养:逻辑推理 角度一 证明平行问题(一题多解)如图所示,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A ＝AD ＝2,E ,F ,G 分别是线段P A ,PD ,CD 的中点．求证:(1)PB ∥平面EFG ; (2)平面EFG ∥平面PBC .【证明】 (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ,且ABCD 为正方形,所以AB ,AP ,AD 两两垂直．以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),E (0,0,1),F (0,1,1),G (1,2,0)．法一:EF →＝(0,1,0),EG →＝(1,2,－1), 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎨⎧n ·EF →＝0n ·EG →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＋2y －z ＝0令z ＝1,则n ＝(1,0,1)为平面EFG 的一个法向量, 因为PB →＝(2,0,－2), 所以PB →·n ＝0,所以n ⊥PB →,因为PB ⊄平面EFG ,所以PB ∥平面EFG .法二:PB →＝(2,0,－2),FE →＝(0,－1,0),FG →＝(1,1,－1)．设PB →＝sFE →＋tFG →, 即(2,0,－2)＝s (0,－1,0)＋t (1,1,－1),所以⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2t －s ＝0－t ＝－2解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →,又因为FE →与FG →不共线, 所以PB →,FE →与FG →共面．因为PB ⊄平面EFG ,所以PB ∥平面EFG . (2)因为EF →＝(0,1,0),BC →＝(0,2,0), 所以BC →＝2EF →, 所以BC ∥EF .又因为EF ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC , 所以EF ∥平面PBC , 同理可证GF ∥PC , 从而得出GF ∥平面PBC .又EF ∩GF ＝F ,EF ⊂平面EFG ,GF ⊂平面EFG , 所以平面EFG ∥平面PBC . 角度二 证明垂直问题如图,在三棱锥P -ABC 中,AB ＝AC ,D 为BC 的中点,PO ⊥平面ABC ,垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8,PO ＝4,AO ＝3,OD ＝2.(1)证明:AP ⊥BC ;(2)若点M 是线段AP 上一点,且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .【证明】 (1)如图所示,以O 为坐标原点,以射线DB 方向为x 轴正方向,射线OD 为y 轴正半轴,射线OP 为z 轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz .则O(0,0,0),A(0,－3,0),B(4,2,0),C(－4,2,0),P(0,0,4)．于是AP→＝(0,3,4),BC→＝(－8,0,0),所以AP→·BC→＝(0,3,4)·(－8,0,0)＝0,所以AP→⊥BC→,即AP⊥BC.(2)由(1)知AP＝5,又AM＝3,且点M在线段AP上,所以AM→＝35AP→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫095125,又BA→＝(－4,－5,0),所以BM→＝BA→＋AM→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4－165125,则AP→·BM→＝(0,3,4)·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4－165125＝0,所以AP→⊥BM→,即AP⊥BM,又根据(1)的结论知AP⊥BC,所以AP⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又AM⊂平面AMC,故平面AMC⊥平面BMC.(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤①建立空间直角坐标系,建系时,要尽可能地利用已知图形中的垂直关系;②建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素;③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系;④根据运算结果解释相关问题．(2)空间线面位置关系的坐标表示设直线l ,m 的方向向量分别为a ＝(a 1,b 1,c 1),b ＝(a 2,b 2,c 2),平面α,β的法向量分别为u ＝(a 3,b 3,c 3),v ＝(a 4,b 4,c 4)．①线线平行l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ⇔a 1＝ka 2,b 1＝kb 2,c 1＝kc 2. ②线线垂直l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ⊄α)l ∥α⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0⇔a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ⇔a 1＝ka 3,b 1＝kb 3,c 1＝kc 3. ⑤面面平行α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ⇔a 3＝ka 4,b 3＝kb 4,c 3＝kc 4. ⑥面面垂直α⊥β⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0⇔a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.如图所示,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面为平行四边形,以顶点A 为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长; (2)求证: AC 1⊥BD .解:(1)记AB →＝a ,AD →＝b ,AA 1→＝c ,则|a |＝|b |＝|c |＝1,〈a ,b 〉＝〈b ,c 〉＝〈c ,a 〉＝60°,所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6, 所以|AC 1→|＝6,即AC 1的长为 6. (2)证明:因为AC 1→＝a ＋b ＋c ,BD →＝b －a , 所以AC 1→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝b ·c －a ·c＝|b ||c |cos 60°－|a ||c |cos 60°＝0.所以AC 1→⊥BD →,所以AC 1⊥BD .[基础题组练]1．已知a ＝(2,1,－3),b ＝(－1,2,3),c ＝(7,6,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则λ＝( ) A ．9 B ．－9 C ．－3D ．3解析:选B ．由题意知c ＝x a ＋y b ,即(7,6,λ)＝x (2,1,－3)＋y (－1,2,3),所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7x ＋2y ＝6－3x ＋3y ＝λ解得λ＝－9.2．(多选)有下列四个命题,其中不正确的命题有( ) A ．已知A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0 B ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0,则AB →∥CD →C ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量不是共面向量D ．对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ,y ,z ∈R ),则P ,A ,B ,C 四点共面解析:选ACD ．对于A,已知A ,B ,C ,D 是空间任意四点,则AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0,错误;对于B,若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0,则AB →∥CD →,正确;对于C,分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线,则这两个向量可以是共面向量,不正确;对于D,对于空间的任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ,y ,z ∈R ),仅当x ＋y ＋z ＝1时,P ,A ,B ,C 四点共面,故错误．3．在空间四边形ABCD 中,AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．不确定解析:选B ．如图,令AB →＝a ,AC →＝b ,AD →＝c ,则AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝a ·(c －b )＋b·(a －c )＋c·(b －a )＝a·c －a·b ＋b·a －b·c ＋c·b －c·a ＝0.4.如图,在大小为45°的二面角A EF D 中,四边形ABFE ,四边形CDEF 都是边长为1的正方形,则B ,D 两点间的距离是( )A ． 3B ． 2C ．1D ．3－ 2解析:选D ．因为BD →＝BF →＋FE →＋ED →,所以|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2,所以|BD →|＝3－ 2.5．已知A (1,0,0),B (0,－1,1),O 为坐标原点,OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°,则λ的值为( ) A ．±66 B ．66C ．－66D ．± 6解析:选C ．OA →＋λOB →＝(1,－λ,λ),cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12,得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意,舍去,所以λ＝－66. 6.如图所示,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,O 为AC 的中点．用AB →,AD →,AA 1→表示OC 1→,则OC 1→＝________．解析:因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →),所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→＝12AB →＋12AD →＋AA 1→.答案:12AB →＋12AD →＋AA 1→7.已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是CD ,PC 的中点,并且P A ＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中,则MN ＝________．解析:连接PD ,因为M ,N 分别为CD ,PC 的中点,所以MN ＝12PD ,又P (0,0,1),D (0,1,0),所以PD ＝02＋(－1)2＋12＝2, 所以MN ＝22. 答案:228.如图所示,已知空间四边形OABC ,OB ＝OC ,且∠AOB ＝∠AOC ＝π3,则cos 〈OA →,BC →〉的值为________．解析:设OA →＝a ,OB →＝b ,OC →＝c ,由已知条件得〈a ,b 〉＝〈a ,c 〉＝π3,且|b |＝|c |,OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b ＝12|a ||c |－12|a ||b |＝0, 所以OA →⊥BC →,所以cos 〈OA →,BC →〉＝0. 答案:09.如图所示,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,平面AA 1C 1C 和平面AA 1B 1B 都是正方形且互相垂直,M 为AA 1的中点,N 为BC 1的中点．求证:(1)MN ∥平面A 1B 1C 1; (2)平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C ;证明:由题意知,AA 1,AB ,AC 两两垂直,则以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系．设AA 1＝2,则A (0,0,0),A 1(2,0,0),B (0,2,0),B 1(2,2,0),C (0,0,2),C 1(2,0,2),M (1,0,0),N (1,1,1)． (1)因为AA 1⊥A 1B 1,AA 1⊥A 1C 1, 且A 1B 1∩A 1C 1＝A 1, 所以AA 1⊥平面A 1B 1C 1. 因为MN →＝(0,1,1),AA 1→＝(2,0,0), 所以MN →·AA 1→＝0,即MN ⊥AA 1. 因为MN ⊄平面A 1B 1C 1, 故MN ∥平面A 1B 1C 1.(2)设平面MBC 1与平面BB 1C 1C 的法向量分别为n 1＝(x 1,y 1,z 1),n 2＝(x 2,y 2,z 2)． 因为MB →＝(－1,2,0),MC 1→＝(1,0,2), 所以⎩⎪⎨⎪⎧n 1·MB →＝0n 1·MC →1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 1－2y 1＝0x 1＋2z 1＝0令x 1＝2,则n 1＝(2,1,－1)．同理可得n 2＝(0,1,1)． 因为n 1·n 2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0, 所以平面MBC 1⊥平面BB 1C 1C .10.如图,在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,E ,F 分别是PC ,PD 的中点,P A ＝AB ＝1,BC ＝2.求证:(1)EF ∥平面P AB ; (2)平面P AD ⊥平面PDC .证明:以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,2,0),D (0,2,0),P (0,0,1),所以E⎝⎛⎭⎪⎪⎫12112,F⎝⎛⎭⎪⎫0112,EF→＝⎝⎛⎭⎪⎫－12,PB→＝(1,0,－1),PD→＝(0,2,－1),AP→＝(0,0,1),AD→＝(0,2,0),DC→＝(1,0,0),AB→＝(1,0,0)．(1)因为EF→＝－12AB→,所以EF→∥AB→,即EF∥AB.又AB⊂平面P AB,EF⊂/ 平面P AB,所以EF∥平面P AB.(2)因为AP→·DC→＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0,所以AP→⊥DC→,AD→⊥DC→,即AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD＝A,所以DC⊥平面P AD.所以平面P AD⊥平面PDC.[综合题组练]1．已知空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x,y,z∈R),则“x ＝2,y＝－3,z＝2”是“P,A,B,C四点共面”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析:选B．当x＝2,y＝－3,z＝2时,即OP→＝2OA→－3OB→＋2OC→.则AP→－AO→＝2OA→－3(AB→－AO→)＋2(AC→－AO→),即AP→＝－3AB→＋2AC→,根据共面向量定理知,P,A,B,C四点共面;反之,当P,A,B,C四点共面时,根据共面向量定理,设AP→＝mAB→＋nAC→(m,n∈R),即OP→－OA→＝m(OB→－OA→)＋n(OC→－OA→),即OP→＝(1－m－n)OA→＋mOB→＋nOC→,即x＝1－m－n,y＝m,z＝n,这组数显然不止2,－3,2.故“x＝2,y＝－3,z＝2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件．2.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB＝2,AF＝1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为()A．(1,1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23231C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22221D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫24241解析:选C ．设M 点的坐标为(x ,y ,1),因为AC ∩BD ＝O ,所以O ⎝ ⎛⎭⎪⎫22220,又E (0,0,1),A (2,2,0),所以OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－221,AM →＝(x －2,y －2,1),因为AM ∥平面BDE ,所以OE →∥AM →,所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝－22y －2＝－22⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22y ＝22 所以M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22221.3．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧棱长为2,底面边长为1,M 为BC 的中点,C 1N →＝λNC →,且AB 1⊥MN ,则λ的值为________．解析:如图所示,取B 1C 1的中点P ,连接MP ,以MC →,MA →,MP →的方向为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系,因为底面边长为1,侧棱长为2,则A⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0320,B 1(－12,0,2),C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200,C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1202,M (0,0,0),设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫120t ,因为C 1N →＝λNC →,所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1221＋λ, 所以AB 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－322,MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12021＋λ. 又因为AB 1⊥MN ,所以AB 1→·MN →＝0. 所以－14＋41＋λ＝0,所以λ＝15.答案:154.如图,四面体ABCD 中,E ,F 分别为AB ,DC 上的点,且AE ＝BE ,CF ＝2DF ,设DA →＝a ,DB →＝b ,DC →＝c .(1)以{a,b,c}为基底表示FE→,则FE→＝______;(2)若∠ADB＝∠BDC＝∠ADC＝60°,且|DA→|＝4,|DB→|＝3,|DC→|＝3,则|FE→|＝______．解析:(1)如图所示,连接DE.因为FE→＝FD→＋DE→,FD→＝－DF→＝－13DC→,DE→＝12(DA→＋DB→),所以FE→＝－13c＋12a＋12b.(2)|FE→|2＝⎝⎛⎭⎫12a＋12b－13c2＝14a2＋14b2＋19c2＋12a·b－13a·c－13b·c＝14×42＋14×32＋19×32＋12×4×3×12－13×4×3×12－13×3×3×12＝274.所以|FE→|＝332.答案:－13c＋12a＋12b3325．在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD＝DC,E,F分别是AB,PB的中点．(1)求证:EF⊥CD;(2)在平面P AD内是否存在一点G,使GF⊥平面PCB？若存在,求出点G坐标;若不存在,试说明理由．解: (1)证明:由题意知,DA,DC,DP两两垂直．如图,以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设AD＝a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E⎝⎛⎭⎪⎫aa2,P(0,0,a),F⎝⎛⎭⎪⎪⎫a2a2a2.EF→＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫－a2a2,DC→＝(0,a,0)．因为EF→·DC→＝0,所以EF→⊥DC→,从而得EF⊥CD.(2)存在．理由如下:假设存在满足条件的点G,设G (x ,0,z ),则FG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2－a 2z －a 2, 若使GF ⊥平面PCB ,则由 FG →·CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2－a 2z －a 2·(a ,0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0,得x ＝a 2; 由FG →·CP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －a 2－a 2z －a 2·(0,－a ,a )＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0,得z ＝0. 所以G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 200, 故存在满足条件的点G ,且点G 为AD 的中点．6．如图,棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2,∠ABC 和∠A 1AC 均为60°,平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证:BD ⊥AA 1;(2)在直线CC 1上是否存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,若存在,求出点P 的位置,若不存在,请说明理由．解:(1)证明:设BD 与AC 交于点O ,则BD ⊥AC ,连接A 1O ,在△AA 1O 中,AA 1＝2,AO ＝1,∠A 1AO ＝60°,所以A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3, 所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21,所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ,且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ,A 1O ⊂平面AA 1C 1C ,所以A 1O ⊥平面ABCD .以OB ,OC ,OA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,－1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (－3,0,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3)．由于BD →＝(－23,0,0),AA 1→＝(0,1,3),AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0,所以BD →⊥AA 1→,即BD ⊥AA 1.(2)存在．理由如下:假设在直线CC 1上存在点P ,使BP ∥平面DA 1C 1,设CP →＝λCC 1→,P (x ,y ,z ),则(x ,y －1,z )＝λ(0,1,3)． 从而有P (0,1＋λ,3λ),BP →＝(－3,1＋λ,3λ)．设平面DA 1C 1的法向量为n ＝(x 2,y 2,z 2),则⎩⎨⎧n ⊥A 1C 1→n ⊥DA 1→ 又A 1C 1→＝(0,2,0),DA 1→＝(3,0,3),则⎩⎪⎨⎪⎧2y 2＝03x 2＋3z 2＝0 取n ＝(1,0,－1),因为BP ∥平面DA 1C 1,则n ⊥BP →,即n ·BP →＝－3－3λ＝0,得λ＝－1,即点P 在C 1C 的延长线上,且C 1C ＝CP .。
北师版高考总复习一轮数学精品课件 第八章 立体几何与空间向量 第五节 空间向量及其运算
=2 ,则 ·=(
1
A.
6
1
B.6
)
1
C.3
1
D.
3
(2)已知 O 为空间直角坐标系的原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),
且点 Q 在直线 OP 上运动,当 ·取得最小值时,的坐标是
考点二
平面向量基本定理的应用
例题(1)如果A(1,5,-2),B(2,4,2),C(a,3,b+2)三点在同一直线上,那么
a=
,b=
.
(2)(2023·湖南师大附中模拟)已知=(-2,2,-2), =(-1,6,-8),=(x-4,-2,0),且
点 D 在平面 ABC 内,则 x=
.
(3)已知 A,B,C 三点不共线,对平面 ABC 外的任一点 O,若点 M 满足 =
OG 上一点,且 =41 ,则(
A.1 =
1
6
B.1 =
1
12
C.1 =
1
18
D.1 =
1
8
+
1
6
+
+
1
12
+
1
18
+
1
8
+
1
6
+
1
12
+
1
18
1
8
)
答案 B
解析 连接AG并延长交BC于点N,连接ON.
由 G 是△ABC 的重心,可得 =
2014高考数学典型试题解析8-8空间向量的应用(理)
一、选择题1．若平面α、β的法向量分别为n 1＝(2,3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( )A ．α∥βB ．α⊥βC ．α、β相交但不垂直D ．以上均不正确 [答案] C[解析] 已知n 1与n 2既不平行也不垂直，所以平面α，β相交但不垂直．2．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23 D .63[答案] D[解析] 该题考查正方体的性质，直线与平面所成的角，考查坐标法．建立如图所示空间直角坐标系D －xyz ，设边长为1，BB 1→＝(0,0,1)平面ACD 1的一个法向量n ＝(1,1,1)，∴cos 〈BB 1→，n 〉＝13·1＝33，∴BB 1与面ACD 1所成角的余弦值为63.3．已知正四面体ABCD ，则二面角A —BC —D 的余弦值为( ) A.12 B.13 C.33 D.32 [答案] B[解析] 如右图所示，E 为BC 的中点，连接AE ，ED ，则∠AED 为二面角A —BC —D 的平面角．解△AED ，得cos ∠AED ＝13.4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成的角的余弦值是( )A.3010B.12C.3015D.1510[答案] A[解析] 建立如右图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 1⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，1，B (0，－1,0)， D 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，1， 即AF 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫12，0，1，BD 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，1. ∴cos 〈AF 1→，BD 1→〉＝AF 1→·BD 1→|AF 1→|·|BD 1→|＝3010.5．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若AB ＝2，AA 1＝1，则点A 到平面A 1BC 的距离为( )A.34 B.32 C.334 D. 3[答案] B[解析]解法一：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC，∵AB＝AC.∴AE⊥BC.∴BC⊥平面AEA1.∴BC⊥AF，又AF⊥A1E，∴AF⊥平面A1BC.∴AF的长即为所求点面距离．AA1＝1，AE＝3，∴AF＝3 2.解法二：V A 1－ABC ＝13S △ABC ·AA 1＝13×3×1＝33.又∵A 1B ＝A 1C ＝5， 在△A 1BE 中，A 1E ＝A 1B 2－BE 2＝2.∴S △A 1BC ＝12×2×2＝2. ∴V A 1－ABC ＝13×S △A 1BC ·h ＝23h .∴23h ＝33，∴h ＝32.∴点A 到平面A 1BC 距离为32.解法三：设BC 中点为O ，∵△ABC 为正三角形， ∴AO ⊥BC ，以O 为原点，直线AO ，BC 分别为x 轴、y 轴建立如图所示空间直角坐标系，则B (0，－1,0)，C (0,1,0)，A (－3，0,0)，A 1(－3，0,1)．设n ＝(x ，y,1)为平面A 1BC 的一个法向量，则⎩⎨⎧n ·OB →＝0n ·OA 1→＝0，∴⎩⎨⎧－y ＝0－3x ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0x ＝33，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，1，又AA 1→＝(0,0,1)，∴A 到平面A 1BC 的距离d ＝|AA 1→·n ||n |＝32.6．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D 是侧面BB 1C 1C 的中心，则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] C[解析] 本小题主要考查直线和平面所成角，如图所示由已知三棱柱为正三棱柱，设底面边长为a，则A1A＝a，取BC中点E，连AE，DE，则AE⊥平面B1BCC1，∴∠ADE为直线AD和平面B1BCC1所成角．∵AE＝32a，DE＝12a，∴tan∠ADE＝AEDE＝3，∴∠ADE＝60°，故选C.二、填空题7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是底面ABCD 的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与AM所成的角是________．[答案]π2[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)．设P (2，t,2)，于是AM →＝(－2,0,1)，OP →＝(1，t －1,2)． ∵AM →·OP →＝－2×1＋0×(t －1)＋1×2＝0， ∴AM →⊥OP →，直线OP 与AM 所成的角为π2.8．如图，在45°的二面角α—l —β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在平面α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．[答案] 2－ 2[解析] 由CD →＝CA →＋AB →＋BD →， cos<AC →，BD →>＝cos45°cos45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →)＝3＋2(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－2，∴|CD →|＝2－ 2.三、解答题9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求二面角Q －BP －C 的余弦值． [解析]如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线OA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz .(1)依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)． 则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1,0)． 所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC →＝0. 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC . 故PQ ⊥平面DCQ . 又PQ平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)依题意有B (1,0,1)，CB →＝(1,0,0)，BP →＝(－1,2，－1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面PBC 的法向量，则⎩⎨⎧n ·CB →＝0，n ·BP →＝0，即⎩⎨⎧x ＝0，－x ＋2y －z ＝0.因此可取n ＝(0，－1，－2)．设m 是平面PBQ 的法向量，则⎩⎨⎧m ·BP →＝0，m ·PQ →＝0.可取m ＝(1,1,1)，所以cos 〈m ，n 〉＝－155.故二面角Q －BP －C 的余弦值为－155.一、选择题1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为棱AA 1和BB 1的中点，则sin<CM →，D 1N →>的值为( )A.19B.49 5C.29 5D.23 [答案] B[解析] 设正方体棱长2，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系(如图)，可知CM →＝(2，－2,1)，D 1N →＝(2,2，－1)，cos<CM →，D 1N →>＝－19，sin<CM →，D 1N →>＝459.2．如下图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB＝2，AF ＝1.M 在EF 上，且AM ∥平面BDE .则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫24，24，1[答案] C[解析] 设BD ∩AC ＝0，连接EO ， 由题意可知EO ∥AM . ∴M 为EF 的中点．∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1，故选C.二、填空题3．设A (2,3,1)，B (4,1,2)，C (6,3,7)，D (－5，－4,8)，则D 到平面ABC 的距离为____________．[答案] 491717[解析] 过D 作DH ⊥面ABC ，垂足为H ，DH 与平面xOy 交于M ，设M (x ，y,0)，∵⎩⎨⎧DM →·AB →＝0，DM →·AC →＝0，解得⎩⎨⎧x ＝7，y ＝4.∴M (7,4,0)．设〈AD →，DM →〉＝α，则|DH →|＝|DA →|·|cos α|， ∴|DH →|＝|DA →|·|DM →·DA →||DM →||DA →|＝491717.4．如右图，若P 为正方体AC 1的棱A 1B 1的中点，则截面PC 1D 和面AA 1B 1B 所成锐二面角的余弦值是____________．[答案] 13[解析] 以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体，AC 1的棱长为2，则D (0,0,0)，C 1(0,2,2)，P (2,1,2)． ∴DC 1→＝(0,2,2)，DP →＝(2,1,2)．设截面PC 1D 的一个法向量为n ＝(1，y ，z )，则有⎩⎨⎧DC 1→·n ＝0，DP →·n ＝0，即⎩⎨⎧2y ＋2z ＝0，2＋y ＋2z ＝0，∴⎩⎨⎧y ＝2，z ＝－2.∴n ＝(1,2，－2)．又平面AA 1B 1B 的一个法向量为a ＝(1,0,0)， 设截面PC 1D 与平面AA 1B 1B 所成的锐二面角为θ， 则cos θ＝|a·n||a||n|＝13×1＝13.三、解答题5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， (1)求AC 与A 1D 所成角的大小；(2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小； (3)求BC 1与EF 所成角的大小． [解析] 方法一：(1)如图①连接B1C，AB1，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D∥B1C.从而B1C与AC所成的锐角或直角就是AC与A1C所成的角．∵AB1＝AC＝B1C.∴∠B1CA＝60°，即A1D与AC所成角为60°.(2)如图②，连接AC、BD.在正方形ABCD中，E、F为AB、AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC，又A1A⊥EF，AA1∩AC＝A，∴EF⊥面A1ACC1，∵A1C1平面AA1C1C，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.(3)如图③，连接BD ，由(2)知EF ∥BD ，∴BD 与BC 1所成的锐角或直角即为EF 与BC 1所成的角，连接C 1D ， 由BC 1＝BD ＝C 1D ， 知△BC 1D 是正三角形， ∴∠C 1BD ＝60°，即所求角为60°.方法二：以D 为坐标原点建立空间直角坐标系[D ；DA →，DC →，DD 1→]如图①，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，B 1(1,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0.(1)∵AC →＝(－1,1,0)，A 1D →＝(－1,0，－1)， ∴AC →·A 1D →＝1，|AC →|＝2，|A 1D →|＝ 2.∴cos<AC →，A 1D →>＝12·2＝12， ∴<AC →，A 1D →>＝60°， 即AC 与A 1D 所成的角为60°.(2)A 1C 1→＝(－1,1,0)，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，0，∴A 1C 1→·EF →＝12－12＝0，∴A 1C 1→⊥EF →， 即A 1C 1与EF 所成的角为90°. (3)BC 1→＝(－1,0,1)，∴BC 1→·EF →＝12，|BC 1→|＝2，|EF →|＝22， ∴cos<BC 1→，EF →>＝122·22＝12.∴<BC 1→，EF →>＝60°，即BC 1与EF 所成的角为60°.6．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，D 是棱CC 1上的一点，P 是AD 的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1∥平面BDA1.(1)求证：CD＝C1D；(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离．[解析]解法一：(1)连接AB1与BA1交于点O，连接OD.∵PB1∥平面BDA1，PB1平面AB1P，平面AB1P∩平面BDA1＝OD，∴OD∥PB1.又AO＝B1O，∴AD＝PD.又AC∥C1P，∴CD＝C1D.(2)过A作AE⊥DA1于点E，连结BE.∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC＝A，∴BA⊥平面AA1C1C.由三垂线定理可知BE⊥DA1.∴∠BEA 为二面角A －A 1D －B 的平面角． 在Rt △A 1C 1D 中，A 1D ＝(12)2＋12＝52，又S △AA 1D ＝12×1×1＝12×52·AE ， ∴AE ＝255.在Rt △BAE 中，BE ＝12＋(255)2＝355.∴cos ∠BEA ＝AE BE ＝23.故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23.(3)由题意知，点C 到平面B 1DP 的距离是点C 到平面DB 1A 的距离，设此距离为h .∵V C －DB 1A ＝V B 1－ACD ， ∴13S △DB 1A ·h ＝13S △ACD ·B 1A 1.由已知可得AP ＝5，PB 1＝5，AB 1＝ 2∴在等腰△AB 1P 中，S △A B 1P ＝12AB 1·AP 2－(12AB 1)2＝32， ∴S △DB 1A ＝12S △A B 1P ＝34， 又S △ACD ＝12AC ·CD ＝14，∴h ＝S △ACD ·B 1A 1S △DB 1A＝13.故C 到平面B 1DP 的距离等于13.解法二：如图，以A 1为原点，A 1B 1，A 1C 1，A 1A 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A 1－B 1C 1A ，则A 1(0,0,0)，B 1(1,0,0)，C 1(0,1,0)，B (1,0,1)．(1)设C 1D ＝x ，∵AC ∥PC 1，∴C 1P AC ＝C 1D CD ＝x1－x .由此可得D (0,1，x )，P (0,1＋x1－x ，0)． ∴A 1B →＝(1,0,1)，A 1D →＝(0,1，x )，B 1P →＝(－1,1＋x 1－x ，0)．设平面BA 1D 的一个法向量为n 1＝(a ，b ，c )，则⎩⎨⎧n 1·A 1B →＝a ＋c ＝0，n 1·A 1D →＝b ＋cx ＝0.令c ＝－1，则n 1＝(1，x ，－1)∵PB 1∥平面BA 1D ，∴n 1·B 1P →＝1×(－1)＋x ·(1＋x 1－x )＋(－1)×0＝0.由此可得x ＝12，故CD ＝C 1D .(2)由(1)知，平面BA 1D 的一个法向量n 1＝(1，12，－1)． 又n 2＝(1,0,0)为平面AA 1D 的一个法向量． ∴cos<n 1，n 2>＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝11×32＝23.故二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值为23. (3)∵PB 1→＝(1，－2,0)，PD →＝(0，－1，12)， 设平面B 1DP 的一个法向量n 3＝(a 1，b 1，c 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 3·PB 1→＝a 1－2b 1＝0，n 3·PD →＝－b ＋c12＝0.令c 1＝1，可得n 3＝(1，12，1)．又DC →＝(0,0，12)，∴C 到平面B 1DP 的距离d ＝|DC →·n 3||n 3|＝13.7．如图，棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC ＝60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∠A 1AC ＝60°.(1)求异面直线BD 和AA 1所成的角； (2)求二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值；(3)在直线CC 1上否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1？若存在，求出点P 的位置；若不存在，说明理由．[解析]连接BD 交AC 于O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，∴A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO ·cos60°＝3.∴AO 2＋A 1O 2＝AA 21.∴A 1O ⊥AO ，∵平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥平面ABCD . ∴以OB 、OC 、OA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)．(1)∵BD →＝(－23，0,0)，AA 1→＝(0,1，3)， ∴AA 1→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0， ∴BD ⊥AA 1，即异面直线BD 和AA 1所成的角为90°. (2)∵OB ⊥平面AA 1C 1C ，∴平面AA 1C 1C 的法向量n 1＝(1,0,0)．设n 2＝(x ，y ，z )是平面AA 1D 的一个法向量，则⎩⎨⎧n 2⊥AA 1→，n 2⊥AD →.∴⎩⎨⎧y ＋3z ＝0，－3x ＋y ＝0.取n 2＝(1，3，－1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝55.∴二面角D —A 1A —C 的平面角的余弦值是55.(3)假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C ， 设CP →＝λCC 1→，P (x ，y ，z )， 则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)．∴P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)．设n 3＝(x 3，y 3，z 3)是平面DA 1C 1的一个法向量，则⎩⎨⎧n 3⊥A 1C 1→，n 3⊥DA 1→.∴⎩⎨⎧2y 3＝0，3x 3＋3z 3＝0，不妨取n 3＝(1,0，－1)．又∵BP →∥平面DA 1C 1，∴n 3·BP →＝0， ∴－3－3λ＝0，∴λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且使C 1C ＝CP .。
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第5讲 空间向量及其运算分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．给出下列四个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a ，b 共面；②若p 与a ，b 共面，则p ＝x a ＋y b .③若MP→＝xMA →＋yMB →，则P ，M ，A 、B 共面； ④若P ，M ，A ，B 共面，则MP→＝xMA →＋yMB →. 其中真命题的序号是________．解析 其中①③为正确命题．答案 ①③2. 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则BM →用a ，b ，c 表示为________． 解析 BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c . 答案 －12a ＋12b ＋c3．(2011·苏州期末)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值是________．解析 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋16＝22λ，2μ－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝－3，μ＝12.答案 2，12或－3，124．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为________． 解析 b －a ＝(1＋t,2t －1,0)，∴|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝ 5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95， ∴当t ＝15时，|b －a |取得最小值为355.答案 3555. 如图，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA→，BC →〉的值为________．解析 设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π3，且|b |＝|c |，OA →·BC →＝a ·(c －b )＝a·c －a·b＝12|a||c |－12|a||b|＝0，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0.答案 06．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉＝________.解析 由条件知(a ＋3b )·(7a －5b )＝7|a |2＋16a ·b －15|b |2＝0，及(a －4b )·(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0.两式相减，得46a ·b ＝23|b |2，∴a ·b ＝12|b |2.代入上面两个式子中任意一个，即可得到|a |＝|b |.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12|b |2|b |2＝12.∵〈a ，b 〉∈[0°，180°]，∴〈a ，b 〉＝60°.答案 60°二、解答题(每小题15分，共30分)7．若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .解 k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063.8. 如图，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a ，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点．(1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ；(2)求MN 的长．解 (1)设A B →＝p ，A C →＝q ，A D →＝r .由题意可知：|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°.M N →＝A N →－AM →＝12(A C →＋A D →)－12A B →＝12(q ＋r －p )，∴M N →·A B →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2)＝12(a 2·cos 60°＋a 2·cos 60°－a 2)＝0.∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD .(2)由(1)可知，MN ＝12(q ＋r －p )．∴|M N →2|＝MN →2＝14(q ＋r －p )2 ＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )]＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 22－a 22＝14×2a 2＝a 22. ∴|M N →|＝22a ，∴MN 的长为22a .分层训练B 级 创新能力提升1．(2011·常州月考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM→＝12MC 1→，N 为B 1B 的中点，则|MN →|为________． 解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，a 2. 设M (x ，y ，z )，∵点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→， ∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a 3.得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 3，a 3， ∴|MN →|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －23a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 32＝216a . 答案 216a 2．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．①OM →＝2OA →－OB →－OC →；②OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →； ③MA→＋MB →＋MC →＝0；④OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝0； 解析 ∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴MA →＝－MB →－MC →，则MA →、MB →、MC →为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．答案 ③3．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________．解析 |a |＝22＋(－1)2＋22＝3，|b |＝22＋22＋12＝3，a·b ＝2×2＋(－1)×2＋2×1＝4，∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝49，sin 〈a ，b 〉＝659，S 平行四边形＝|a||b|sin 〈a ，b 〉＝65. 答案 654．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列四个命题：①(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 12；②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0；③向量AD 1→与向量A 1B→的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|A B →·AA 1→·A D →|.其中正确命题的序号是________．解析 设正方体的棱长为1，①中(A 1A →＋A 1D 1→＋A 1B 1→)2＝3A 1B 1→2＝3，故①正确；②中A 1B 1→－A 1A →＝AB 1→，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但AD 1→与A 1B →的夹角为120°，故③不正确；④中|AB →·AA 1→·AD →|＝0.故④也不正确．答案 ①②5．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋e 2，AC →＝2e 1＋8e 2，AD →＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明 令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0.则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎨⎧λ＋2μ＋3v ＝0λ＋8μ－3v ＝0. 易知⎩⎨⎧ λ＝－5μ＝1v ＝1是其中一组解，则－5AB→＋AC →＋AD →＝0. ∴A 、B 、C 、D 共面．6. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB 、AD 、CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →； (2)EF →·DC→； (3)EG 的长；(4)异面直线AG 与CE 所成角的余弦值．解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c .则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，DC →＝b －c ， (1)EF →·BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c －12a ·(－a ) ＝12a 2－12a·c ＝14，(2)EF →·DC →＝12(c －a )·(b －c ) ＝12(b·c －a·b －c 2＋a·c )＝－14；(3)EG →＝EB →＋BC →＋CG →＝12a ＋b －a ＋12c －12b ＝－12a ＋12b ＋12c ，|EG →|2＝14a 2＋14b 2＋14c 2－12a·b ＋12b·c －12c·a＝12，则|EG →|＝22. (4)AG →＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.。