高二年级数学排列组合复习讲义

排列、组合

1．排列、组合的定义

排列的定义 从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素

按照一定的顺序排成一列

组合的定义

合成一组

2．排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数

组合数

定义

从n 个不同元素中取出

m (m ≤n )个元素的所有排列的个数

从n 个不同元素中取出

m (m ≤n )个元素的所有组合的个数 公式

A m n ＝n (n －1)(n －2)·…·(n －m

＋1)＝n ！(n －m )！

C m

n ＝A m n A m m

＝

n (n －1)(n －2)·…·(n －m ＋1)

m ！

＝

n ！

m ！(n －m )！

性质

A n n ＝n ！，0！＝1 C m n n ＝C n

－m

n ，

C m n ＋C m －

1n ＝C m n ＋1， C n n ＝1，C 0n ＝1

概念方法微思考

1．排列问题和组合问题的区别是什么？

提示 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．

2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？

提示 (1)排列数与组合数之间的联系为C m n A m m ＝A m

n .

(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．

前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．

题组二教材改编

2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()

A．144 B．120 C．72 D．24

3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()

A．8 B．24 C．48 D．120

4．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________．

题组三易错自纠

5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()

A．192种B．216种C．240种D．288种

6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．

排列问题

1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有()

A．96个B．78个C．72个D．64个

2．(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是()

A．3 600 B．1 440 C．4 820 D．4 800

3．3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数有________．

思维升华(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”．②不相邻问题采用“插空法”．③有限制元素采用

“优先法”．④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．

组合问题

1．(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)

2．(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．

3．从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________．

思维升华组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

排列与组合的综合问题

命题点1相邻问题

例1(2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有()

A．12种B．24种C．48种D．96种

命题点2相间问题

例2某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()

A．72 B．120 C．144 D．168

命题点3特殊元素(位置)问题

例3大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有()

A．18种B．24种C．36种D．48种

思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则

(1)按元素(位置)的性质进行分类．

(2)按事情发生的过程进行分步．

具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．

跟踪训练(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)

1．“中国梦”的英文翻译为“China Dream”，其中China又可以简写为CN，从“CN Dream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()

A．360种B．480种C．600种D．720种

2．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有()

A．240种B．192种C．96种D．48种