9-5-6-7 电势

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注意: 电势能的大小是相对 相对的 与势能零点的选取有关; 注意 电势能的大小是相对的,与势能零点的选取有关 电势能的差是绝对的 与势能零点的选取无关. 电势能的差是绝对的, 与势能零点的选取无关 绝对
第九章 静电场 一 电势 9-6 电势


AB
q 0 E ⋅ d l = − ( E p B − E pA )
均匀带电球壳的电势. 均匀带电球壳的电势. 真空中, 的带电球壳. 真空中,有一带电为 Q ,半径为 R 的带电球壳 试求( )球壳外两点间的电势差;( ;(2) 试求(1)球壳外两点间的电势差;( )球壳内两点 间的电势差;( ;(3)球壳外任意点的电势;( ;(4) 间的电势差;( )球壳外任意点的电势;( )球壳 内任意点的电势. 内任意点的电势 +
i
q1 q2 q3
r2
r1
E3
VA = ∫ E ⋅ dl = ∑ ∫ Ei ⋅ dl
A

E2 E1
i A
r3
A
qi VA = ∑VAi = ∑ i i 4π ε 0 ri
电荷连续分布(微元法 电荷连续分布 微元法) 微元法
dq VP = ∫ (V∞ = 0) 4π ε 0r
dq = ρdV + +++ dq+ +++ r + +++ dE +++ ++ q P
x
y
dl + + + + + +R o +
+ + + + + + +
x
qdl dq = λdl = 2π R r P
1
x
z
qdl dVP = 4 π ε 0r 2 π R
2 π R qdl q 1 q VP = ∫ dVP = ∫0 2 πR = 4 πε 0 r = 4 π ε x 2 + R 2 4 πε 0 r 0
q 2 2 12 4π ε0 (x + R )
第九章 静电场
(2)均匀带电薄圆盘轴线上的电势 (2)均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dr
o rR
dq = σ 2π rdr
x
P σ 2π rdr d VP = 4 πε 0 x 2 + r 2
R
x +r
2
2
x
1 VP = ∫ dVP = 4 πε 0
x >> R
WABC = Q(VA − VC )
∵VA = VC = q 4πε 0 R
+q
A
i O
C D
∴WABC = 0
WC∞ = −Q(VC − V∞ ) Qq Qq W外C∞ = −WC∞ = V∞ = 0 WC∞ = − 4πε 0 R 4πε 0 R
第九章 静电场 三 电势的叠加原理 点电荷系

E = ∑ Ei (V∞ = 0)
W A→ B = ∫ q0 E ⋅ dl = EpA − EpB = − ( EpB − EpA ) = −∆Ep
AB
W AB

> 0 , E pB < E pA < 0, E pB > E pA
EpB =0 EpA = ∫AB q0 E ⋅ dl
试验电荷 q0 在电场中某 点的电势能, 点的电势能,在数值上就 等于把它从该点移到零势 等于把它从该点移到零势 能处静电场力所作的功. 能处静电场力所作的功.
第九章 静电场 9-5 静电场的环路定理 电势能 一 静电场力所做的功 (1)点电荷的电场 点电荷的电场
B
r ⋅ d l = rd l cos θ = rd r qq0 dW = dr 2 4π ε 0r qq 0 rB dr W = ∫rA r 2 4π ε0 qq 0 1 1 = ( − ) 4 π ε 0 rA rB
V = 0 位置

P
E ⋅ dl
与路径无关
(3)分段积分
第九章 静电场
如图所示,四个电量均为+q的点电荷, +q的点电荷 例2. 如图所示,四个电量均为+q的点电荷,固定 于水平面内边长为a的正方形的四个顶点上, 于水平面内边长为a的正方形的四个顶点上,O为正方 形的两对角线的交点, 点的正上方, PO垂直于 形的两对角线的交点,P在O点的正上方,(即PO垂直于 正方形所在平面) PO=a, 点的电场强度为___ ___, 正方形所在平面),PO=a,则O点的电场强度为___,电 势为___ ___, 点的电势为____ ____。 势为___,P点的电势为____。 解:O点的场强 点的场强
U AB = VA − VB = ∫ E ⋅ dl
AB
第九章 静电场 注意: 电势大小是相对的,与电势零点的选择有关; 注意: 电势大小是相对的,与电势零点的选择有关; 电势差是绝对的,与电势零点的选择无关。 电势差是绝对的,与电势零点的选择无关。
WAB = ∫ qE ⋅ dl = E pA − E pB = qVA − qVB = qU AB
σ 2 2 ∫0 x 2 + r 2 = 2ε 0 ( x + R − x) 2 V ≈ Q 4π ε0 x R 2 2 x +R ≈ x+ 点电荷电势) (点电荷电势) 2x
σ 2 πrdr
第九章 静电场
r < R , E1 = 0 + + A dr B R Q 解: r > R,E2 = er + o e + r 4 πε 0 r 2 + + + + rA rB r r Q (1) VA − VB = ) B ∫rA E2 ⋅ dr Q rB dr Q 1 1 = ∫rA r 2 er ⋅ er = 4 π ε 0 ( rA − rB ) 4π ε 0
第九章 静电场 总结 叠加法 求电势 点电荷系: 点电荷系:
V = ΣVi (V∞ = 0)
i
电荷连续分布有限带电体: 电荷连续分布有限带电体:
V
电势定义法
V =∫
VP = ∫
P
dq 4πε 0 r
(V∞ = 0)
V = 0 位置
wk.baidu.com
E ⋅ dl
V∞ = 0
有限带电体取
一般用于电荷分布具有高度对称性的带电体 一般用于电荷分布具有高度对称性的带电体 注意: 注意:(1)已知积分路径上的场强分布函数 (2)
Q 4 π ε0R
Q V外 ( r ) = 4 π ε 0r Q V内 (r ) = 4π ε 0 R
V
Q 4π ε 0r
o
R
r
第九章 静电场
无限长” 例5 “无限长”带电直导线的电势 无限长 解:
VP = ∫
PB
E ⋅ dl + VB
令 VB = 0
rB VP = ∫ E ⋅ dr r rB λ =∫ er ⋅ dr r 2π ε 0 r rB λ = ln r 2π ε 0
能否选 V∞ = 0 ?
o P r
B
r
rB
第九章 静电场 9-7 等势面 一 等势面的定义 等势面:空间电势相等的点连接起来所形成的面. 等势面:空间电势相等的点连接起来所形成的面. (电势图示法 规定任意两相邻等势面间的电势差相等 电势图示法, 规定任意两相邻等势面间的电势差相等). 电势图示法 二 等势面的特点 在静电场中,电荷沿等势面移动时,电场力不做功 在静电场中,电荷沿等势面移动时,
第九章 静电场
VP =
q 4π ε 0 x + R
2 2
q 4πε 0 R
V
讨论
x = 0,V0 =
(1)
q 4π ε 0 R
思考: 带电为+q的四分之一 思考 带电为 的四分之一 圆环在其圆心处的电势. 圆环在其圆心处的电势
o
x
q x >> R,VP ≈ 4 πε0 x
(点电荷电势 点电荷电势) 点电荷电势
AB

VB = 0
V =0位置
VA =
E ⋅ dl

AB
E ⋅ dl
VA = ∫
A
电势零点选择方法: 电势零点选择方法:有限带电体以无穷 远为电势零点, 远为电势零点,实际问题中常选择大地 或电子仪器的机壳或公共地线电势为零. 或电子仪器的机壳或公共地线电势为零.
VA =
电势差

A∞
E ⋅ dl
物理意义 把单位正试验电荷从点 A 移 到无穷远时,静电场力所作的功. 到无穷远时,静电场力所作的功. 将单位正电荷从 A 移到 B 电场力作的 功
r
∞ qdr qrdr =∫ 3 r 4 πε r 2 4 πε 0 r 0
q
r
V =
q 4 π ε 0r
q > 0, V > 0 q < 0, V < 0
V = V (r ) = V ( x, y , z )
标量点函数
第九章 静电场
如图所示,ABC是半径为 的半圆弧.电荷+q 是半径为R 例1 如图所示,ABC是半径为R的半圆弧.电荷+q 位于圆心O 若把电荷Q从点A (沿半圆 移至C 沿半圆) 位于圆心O处,若把电荷Q从点A经B (沿半圆)移至C,则 电场力对它所作的功_____; (2)将电荷 将电荷电场力对它所作的功_____; (2)将电荷-Q从C点沿直线 CD移到无限远处,外力所做的功_______. CD移到无限远处,外力所做的功_______. 移到无限远处 B 根据电场力的功与电势差的关系: 解: 根据电场力的功与电势差的关系:
P点的电势:VP = 4 点的电势: 点的电势
2q = O点的电势:O = 4V = 4 点的电势: 点的电势 V 1 a πε 0 a 4πε0 2 q
EO = 0
q
2 +q +q a a o 2 +qE +q
a
P3
a
4πε0
6q 3 = a 3πε 0 a 2
第九章 静电场
的细圆环上. 例3 正电荷 q 均匀分布在半径为 R 的细圆环上 圆环轴线上距环心为 的电势. 求圆环轴线上距环心为 处点 P 的电势
W ab =

b
a
qE ⋅ d l = q (Va − Vb ) = 0
∵ q ≠ 0 , E ≠ 0 ,dl ≠ 0
∴ E ⊥ dl
在静电场中, 总是与等势面垂直的, (1) 在静电场中,电场强度 E 总是与等势面垂直的,即电场线 是和等势面正交的曲线簇. 是和等势面正交的曲线簇.
第九章 静电场 (2)等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小 (2)等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小
∫ E ⋅ dl
l
=0
静电场是保守场
第九章 静电场 静电场力是保守力,静电场是保守场. 静电场力是保守力,静电场是保守场. 三 电势能 电荷在静电场的一定位置上具有一定的电势能 电势能, 电荷在静电场的一定位置上具有一定的电势能,属于电 荷和电场系统. 荷和电场系统. 静电场力所做的功就等于电荷电势能的改变量(增量的负值) 静电场力所做的功就等于电荷电势能的改变量(增量的负值)
∞ ∞ Q Q dr = 或 V外 ( r ) = ∫ E 2 ⋅ d r = ∫ 2 r 4π ε 0r r 4 π ε 0r
第九章 静电场
(4) r < R )
Q Q 由 V外 ( r ) = 可得 V ( R ) = = V内 4 π ε 0r 4π ε 0 R Q R ∞ 或 V内 ( r ) = ∫ E1 ⋅ dr + ∫ E2 ⋅ dr = r R 4π ε0 R
+ +
例4
r
第九章 静电场
(2) r < R )
rB VA − VB = ∫ E1 ⋅ dr = 0 rA (3) r > R )

+ + A R + + r + + + + rA
+ + +
dr B
oe
r
r rB
rB → ∞, V∞ = 0
Q
Q Q 1 1 由 V A − VB = ( − ) 可得 V外 (r ) = 4π ε 0r 4 π ε 0 rA rB
E ⋅ dl = − ( E pB q0 − E pA q0
B
)
AB
q0
E
A点电势
(积分大小与
q 0无关) 无关)
EpB q0
A
VA = EpA q0
B 点电势
VB =
V A = ∫ E ⋅ dl + VB
AB
为参考电势,值任选) ( VB为参考电势,值任选)
第九章 静电场
V A = ∫ E ⋅ dl + VB
AB
静电场力做功 单位: 单位:
电势能
电势
电势差 伏特 (V)
焦耳 J) ( 原子物理中能量单位: 原子物理中能量单位: eV
1eV =1.602×10−19 J
第九章 静电场 二 点电荷的电势
E=
q 4π ε 0r
∞ r

3
r
3

V∞ = 0
dr
dl
θ
V =∫
=∫
q 4π ε 0r
r ⋅ dl
E
qq0 dW = q0 E ⋅ dl = r ⋅ dl 3 4 π ε 0r
rB
O
dr
dl
θ
E C
r
q
rA
A
q0
结果: 结果: W 仅与 q0 的始末位置 有关,与路径无关. 有关,与路径无关.
第九章 静电场 (2)任意电荷的电场(视为点电荷的组合) (2)任意电荷的电场(视为点电荷的组合) 任意电荷的电场
E = ∑ Ei
i
W = q0 ∫ E ⋅ dl = ∑ q 0 ∫l E i ⋅ dl
l
i
结论: 结论:静电场力做功与路径无关 二 静电场的环路定理
静电场力是保守力
q0

A1B
E ⋅ dl
= q0 ∫
A2 B
E ⋅ dl
1
B
2
q0 ( ∫ E ⋅ dl +
A1B
∫ E ⋅ dl )
B2 A
=0
A
E
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