第2章-一阶动态电路的过渡过程分析
第2章 一阶电路的过渡过程
iC
C
τ = RC
为电路时间常数，单位为秒。 为电路时间常数，单位为秒。 时间常数
uC(t)
由初始条件U C (0 + ) = U 0 得
k = U0
U C (t ) = U 0 e τ
−t
电容电压响应（变化规律）： 电容电压响应（变化规律）： 电压波形为
uC
U
0
(t ≥ 0)
0 .3 6 8 U 0 .1 3 5 U
R
Us
uC(t)
dU C RC + UC = U S dt
解方程得 由初始条件
U C (t ) = U S + ke
特解
−
t RC
通解
U0 = US + k
→ k = U0 −US
R
全响应： 全响应： Us
uC(t)
− t RC − t RC
uC US U0 uC t
U C (t ) = U S + (U 0 − U S )e = U 0e
US iR (∞) = = 0.15 A 2R
+
−
τ
R
iR C
S
R′ =
3 R = 150Ω, 2
τ
= R′C =
1 10
除电容电压和电感电流外， 注意： iR (0+ ) ≠ iR (0− ) = 0 除电容电压和电感电流外，其 注意： 它量换路前后一般不相等。 它量换路前后一般不相等。
=0，
R
K
L
U K闭合后达到稳态时 iL = s . 闭合后达到稳态时 R
diL UL = L dt
Us ， 若电感电流 iL 能“瞬时”从0升到 瞬时” 升到 R
电路分析基础一阶动态电路的时域分析
动态电路 的过渡过程
电路的零输入、 零状态分析法
一阶电路响应 的三要素分析法
6.1
一阶电路的三要素分析法
(t=0)
1.过渡过程的的概念
US (t=t1)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。 暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
6
iL
6 1H
1 F -
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L 对于一阶RL电路 R0
注意：
对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
换路时刻，iC和uL为有限值，uC和iL在该处连续，不可跃变。
除过uC和iL，电路中其他的u、i可以在换路前后发生跃变。
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴维 南定理解题时计算电路等效 电阻的方法。即从储能元件 两端看进去的等效电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
U0
电路的过渡过程介绍
UC
0
UC
0
1 C
0
ic(t)dt
0
即UC 0 UC 0
➢同理：
iL 0 iL 0
1 0 L 0
uL(t)dt
0
即iL 0 iL 0
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
二、 什么是电路的过渡过程？ 稳定状态(稳态)
第2章 电路的过渡过程
2.1 电容元件与电感元件 2.2 动态电路的过渡过程和初始条件 2.3 一阶电路的零输入响应 2.4 一阶电路的零状态响应 2.5 一阶电路的全响应
第一节 电容元件与电感元件
•一、电容：
•线性电容元件：C（为常数）与 U •无关的电容元件。 ➢伏安关系U直流→则i=0→相当于开路
i dq d(cq) C du
dt dt
dt
dwC
Pdt
uidt
cu
du dt
dt
cudu
➢电容元件储存能量：
wc
u 0
cudu
1 2
cu 2
当C充电：u从0→u时：C获得的能量： 这些能量储存于C中，只与u有关与建立过程无关
u(t) u(0) 1
t
i(t)dt
[例2-4] 电路如图2－12所示，换路前K合于①，
电路处于稳态。 t=0 时Ｋ由① 合向②，求换路后的 iL(t)和 uL(t)
① K 2Ω
24V 4Ω
②
i1 3Ω
4Ω
iL 6Ω
uL 9H
图2-12 例2-4图
解: 换路前电路已稳定
iL(0)42 2 4 23 662A
电路原理5.3.3一阶电路的动态响应 - 一阶电路的动态响应2
解的构成：
dt
y = y' + y''
对应的齐次方程的通解
非齐次方程的特解
方法一：从数学方程形式求解
（1）先求对应齐次方程的通解y’’
dy + py = 0 dt
-t
y'' = Ae
动态电路的时域分析
（2）求非齐次方程的特解y’——待定系数法
a.形如
dy dt
+
py
=
K
（K为常数——直流）
则设 y' = （常数），代入非齐次方程，求得y’。
b.形如
dy + py = Kt dt
则设 y' = t + ，代入非齐次方程，求得y’。
c.形如 dy + py = Ksint （交流）
dt
则设 y' = sint + cost ，代入非齐次方程，求得y’。
（或者 y' = Am sin(t + ) ）
动态电路的时域分析
方法二：从电路的角度分析 y = y' + y''
i2 (t )
=
-
R1
+
R R2
+
R3
i(t)
=
-2e-t A
动态电路的时域分析
二、一阶电路的零状态响应 1、零状态响应：电路在储能元件零初始条件下(电容电压
值uC和电感电流值iL为零），而由外施激励引 起的电路响应。
2、RC电路的零状态响应
S(t = 0) R iC(t)
+ US
2
1
+
uR C
一阶电路
uC (t ) Aest
(t 0)
uC (t ) Ae
根据换路后电容的初始值
1 t RC
uC (0 ) uC (0 ) U 0
1 t RC t 0
待定常数A由此确定，有 uC (0 ) Ae
U0
所以电容电压的零输入响应为
uC (t ) U 0e
1 t RC
待定常数A由初始条件确定，有
i L (0 ) Ae
R t L t 0
I0
A I0
3.2.1 一阶电路的零输入响应
所以电感电流的零输入响应为
iL (t ) I 0e
R t L
(t ≥ 0)
图3.12 RL零输入电路的电压、电流波形
3.2.1 一阶电路的零输入响应
与电感电流不同的是，和在处发生突变，其波 形如图3.12(b)所示。 电路中电感电压为
当开关S由位置2倒向位置1。根据换路定
则 uC (0 ) uC (0 ) 0 ,当 t 0 时电容相当于短
路，此刻的等效电路可以看出，电源电压全部施加 US 于电阻两端，此时的电流达到最大 i (0 ) 随着 R 电源流经电阻对电容充电，充电电流逐渐减小，直 至 uC U S ，充电过程结束。此时电流 容相当于开路，电路进入新的稳态。
uC (t ) uC (0 )e
t
时间常数表征动态电路过渡过程进行快慢的物理量。
，衰减越慢 ，衰减越快 如表3.1
3.2.1 一阶电路的零输入响应
2．RL电路的零输入响应
换路前，开关S在位置
1，电路处于稳态，此时电 感电流表示为 iL (0 ) I 0 。当 开关S由位置1倒向位置2。根据换路定则， 有 iL (0 ) iL (0 ) I 0 。
第2章 电路的分析方法
第2章 电路的分析方法电路分析是指在已知电路结构和元件参数的条件下，讨论激励和响应之间的关系。
电路分析虽然可以用欧姆定律和基尔霍夫定律，但由于电路形式各异，在某些电路应用时有些美中不足。
本章主要介绍线性电路中的一些重要定理，如叠加定理、戴维南定理以及诺顿定理等。
2.1 叠加原理叠加原理是线性电路的一个重要定理,它反映了线性电路的一个基本性质：叠加性。
应用叠加原理可以使某些电路的分析计算大为简化。
所谓叠加原理就是当线性电路中有几个电源共同作用时，各某支路的电流或电压等于电路中各电源单独作用时，在该支路产生的电流或电压的代数和。
叠加原理也称独立作用原理。
所谓单独作用，是指除该电源外其它各电源都不作用于电路（除源）。
对不作用于电路的电源的处理办法是：恒压源予以短路，恒流源予以开路。
对实际电源的内阻应保留。
叠加（求代数和）时以原电路的电流（或电压）的参考方向为准，若各个独立电源分别单独作用时的电流（或电压）的参考方向与原电路的电流（或电压）的参考方向一致则取正号，相反则取负号。
例2-1-1 图2-1（a ）所示电路中，已知R 1 = 100Ω，R 2 = 100Ω，U S = 20V ， I S = 1A 。
试用叠加原理求支路电流I 1和I 2。
解：根据原电路画出各个独立电源单独作用的电路，并标出各电路中各支路电流的参考方向，如图2-1-1（b ）和（c ）。
UI 2UI 2′R I 2 ″（a ）原电路 （b ）U S 单独作用电路 （c ）I S 单独作用电路图2-1 例2-1-1插图按各电源单独作用时的电路图分别求出每条支路的电流值。
由图（b ）恒压源U S 单独作用时 1212200.1A 100100S U I I R R ''====++由图（c ）恒流源V S 单独作用时120.5A I I ''''== 根据电路中电流的参考方向，一致取正，相反取负的原则，求出各独立电源在支路中单作用时电流（或电压）的代数和。
第2章一阶动态电路的过渡过程分析
例
iS
iR
iC
iL
1k
2k
uR 2k
10mA t 0 S
uC
uL
C
L
则t
iS
=01+ 5时m刻i LA,
iuRC
0i,CiCi R10im S A i,Lu
uL
R 5mA
t
uR005Vm,A
10V 0 10umLA0101V 0V uC 10V,
0 10V
t 0 5mA10V 10mA 0 15mA 0
研究暂态过程，是要认识和掌握这种现象的规 律。
一般可以说，数学分析和实验分析是分析暂 态电路的两种方法。本章内容介绍最基本的数学 分析方法，其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定 律。
实验分析方法，将在实验课程中应用示波器 等仪器观测暂态过程中各量随时间变化的规律。
重点讨论的问题是：（1）暂态过程随时间变 化的规律；（2）影响暂态过程快慢程度的时间常 数。
C 和L 称为对偶元件。
对偶元素： u i 、 q 、C L等 若把 u i 、 q 、C L等对偶元素 互换,可由电容元
件的关系式得到电感元件的相应关系式
第三节 换路定律
• 换路——指电路因接通、断开、短路以及电压或 电路参数的改变。
不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的 能量是不能突变的。如电感的磁能及电容的电能 分别为 WLL2L i /2和 WC CuC2 /2 都不能突变。 换路定则 设t=0为换路瞬间，则 t=0– 和t=0+ 分别是换路前后的极限时刻。从 t=0– 到 t=0+ 瞬间，电感元件中的电流和电容元件两端的电压 不能突变。可表示为
2.5.1、电感元件(简称电感)的定义：
第2章__一阶动态电路的暂态分析[1]
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第2章 一阶动态电路的暂态分析
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 电容元件与电感元件 换路定则及其初始条件 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 三要素法求一阶电路响应
第2章 电路的暂态分析
本章要求
1. 了解电感元件与电容元件的特征; 2. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状 态响应、全响应的概念，以及时间常数的物 理意义; 3. 掌握换路定则及初始值的求法; 4. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
i
+
u _ 电容元件 C
u
电容元件储能
dq ( t ) d [Cu( t )] i( t ) dt dt
du iC dt
将上式两边同乘上 u，并积分，则得： t u 1 2 0 ui dt 0 Cudu 2 Cu
1 t u (t ) u (to ) i ( )d C t0
U
uC
+ uC C –
U
暂态
–
iC (b)
o 稳态
t
图(b) 合S前: iC 0 , uC 0
合S后： uC 由零逐渐增加到U
所以电容电路存在暂态过程(C储能元件)
产生暂态过程的必要条件： (1) 电路中含有储能元件 (内因) (2) 电路发生换路 (外因) 换路: 电路状态的改变。如： 若 uc 发生突变， duC 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变 则 iC dt 产生暂态过程的原因： 一般电路不可能！ 由于物体所具有的能量不能跃变而造成 在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变
4 4
i1
R1 + uC 4 _
+ uL _
一阶动态电路分析
一阶动态电路分析
实验电路如图4- 3所示。
R1
1 t＝ 02
＋
U0 －
S ＋
uC －
20μ F － 10 0k Ω C uR R
＋
图4-3 RC放电电路
一阶动态电路分析
实验按如下步骤进行。
（1） 将电路连接好。示波器的输入探头接在电容器两端。 打开稳压电源，调节输出电压至1V。t=0 时将开关S由位置1打 到位置2，仔细观测电容器两端电压的变化情况。（如果没有 慢扫描示波器，可以用机械万用表代替示波器观测电容两端的 电压， 以下同）。在这一过程中，我们可以从示波器中看到 如图4 - 4（a）的波形。一般将之称为电容器的放电曲线。其 形状与实训4中我们看到的在t1~t2时间电容器两端的波形类似。
一阶动态电路分析
2． 实训设备、
（1） 实训设备与器件：直流稳压电源一台，双通道示 波器一台，万能板一块，8Ω扬声器一个，按键一个，电 阻、电容、 导线若干。
（2） 实训电路与说明： 实训电路如图4 - 1所示。 图 中555为集成定时器电路。555定时器具有如下特点： 当 它按图4 - 1的方式将2、6脚连到一起时，如果连接点的电 位高于电源电压的2/3，则3脚的输出电压等于0V，7脚对 地短路，如果连接点的电位低于电源电压的1/3时， 则3脚 的输出电压等于电源电压，7脚对地开路。
在荧光屏上比较通道1与通道2的波形我们可以发现， 锯齿波的最小值与输出波形从低电平向高电平过渡对应， 锯齿波的最大值与输出波形从高电平向低电平过渡对应。
一阶动态电路分析
T
uo
T1
E
t (a)
uC1 2E /3
E /3
t
0
t1 t2
一阶动态电路分析
第3章电路的暂态分析【教学提示】暂态过程是电路的一种特殊过程，持续时间一般极为短暂，但在实际工作中却极为重要。
本章介绍了电路暂态过程分析的有关概念和定律，重点分析了RC和RL一阶线性电路的暂态过程，由RC电路的暂态过程归纳出了一阶电路暂态分析的三要素法。
最后讨论了RC的实际应用电路一-积分和微分电路。
【教学要求】了解一阶电路的暂态、稳态、激励、响应等的基本概念理解电路的换路定律和时间常数的物理意义了解用经典法分析RC电路、RL电路的方法掌握一阶电路暂态分析的三要素法了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件3.1暂态分析的基本概念暂态分析的有关概念是分析暂态过程的基础，理解这些概念能更好地理解电路的暂态过程。
1•稳态在前面几章的讨论中，电路中的电压或电流，都是某一稳定值或某一稳定的时间函数，这种状态称为电路的稳定状态，简称稳态( steady state)。
2•换路当电路中的工作条件发生变化时，如电路在接通、断开、改接、元件参数等发生突变时，都会引起电路工作状态的改变，就有可能过渡到另一种稳定状态。
把上述引起电路工作状态发生变化的情况称为电路的换路(switching circuit )。
3•暂态换路后，电路由原来的稳定状态转变到另一个稳定状态。
这种转换不是瞬间完成的，而是有一个过渡过程，电路在过渡过程中所处的状态称为暂态( transient state)。
4•激励激励(excitation )又称输入，是指从电源输入的信号。
激励按类型不同可以分为直流激励、阶跃信号激励、冲击信号激励以及正弦激励。
5•响应电路在在内部储能或者外部激励的作用下，产生的电压和电流统称为响应。
按照产生响应原因的不同，响应又可以分为：(1)零输入响应(zero input response):零输入响应就是电路在无外部激励时，只是由内部储能元件中初始储能而引起的响应。
(2)零状态响应(zero state respo ns©:零状态响应就是电路换路时储能元件在初始储能为零的情况下，由外部激励所引起的响应。
电路课件第2章 电路的过渡过程
院
q
制
作
f(u,q)0
第 1-3 页 前一页 下一页
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2.1 电容元件 与电感元件
2. 线性定常电容元件
（1）特点
长 沙
任何时刻，电容元件极板上的电荷q与电压 u 成正比。q ~ u
理
工 大
特性是过原点的直线
q
学
q
计 算 机
qCuor C u
通 信 工
C
Ou
程 学
（2）电路符号
院 制 作
1
长
沙 理
K
工 大
10V
学
计
算 0+电路
机
通
1
信
工
程
学
院
制 作
10V
4
1 4
+
电
L uL
iL -
10V
感 短 路
4 2A
iL(0)11042A
+
uL
-
u L ( 0 ) 0 u L ( 0 ) 0
由换路定律:
iL(0+)= iL(0－) =2A
电感用电 流源替代
–
(t →)
i
R+
uC C
i=0 ,
US
uc
R?
uC= Us
US
i
–
初始状态 0
t1 新稳态
t
有一过渡期
过渡状态
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退出
2.2 动态电路的过 渡过程和初始条件
电感电路
K未动作前，电路处于稳定状态
长
沙
理
工 大 学
电路的过渡过程
第四章 电路的过渡过程 .................................................................错误!未定义书签。
4.1电路的换路定则与初始值 ............................... 错误!未定义书签。
4.2一阶RC 电路的暂态分析 ................................ 错误!未定义书签。
4.2.1 一阶RC 电路的零输入响应 ........................ 错误!未定义书签。
4.2.3 RC 电路的零状态响应 ............................ 错误!未定义书签。
4.2.3 RC 电路的全响应 ................................ 错误!未定义书签。
4.3一阶RL 电路的暂态分析 ................................ 错误!未定义书签。
4.3.1 一阶RL 电路的零输入响应 ........................ 错误!未定义书签。
4.3.2 一阶RL 电路的零状态相应与全响应 ................ 错误!未定义书签。
4.4一阶电路的三要素法 ................................... 错误!未定义书签。
4.5 二阶电路简介 ......................................... 错误!未定义书签。
4.6电路中暂态过程的利弊 ................................. 错误!未定义书签。
4.7微分电路与积分电路 ................................... 错误!未定义书签。
4.7．1微分电路 ...................................... 错误!未定义书签。
电路分析基础 课题四 一阶动态电路的分析
输入响应。
2.
−
一阶动态电路的零输入响应的一般表达式为：() = (0+) ，其中，为时间常数（单位：s），
(0+)为初始值。
3.
“零输出响应”特点：
➢ 换路后电源信号为0（零输入/激励）
➢ 储能元件的初始值≠0
➢ 储能元件的稳态值=0
问题四：
闪光灯在实际使用中，会频繁充电；同时实
iL I 0 e
R
t
L
I0e
t
稳态值= iL (∞) = 0
1
最大储能：wL = 2 LI02
（5）其它响应：
（c）响应曲线
uL uR RI 0 e
t
t
L
...RL电路时间常数
R
知识链接3.一阶零输入响应的表达式
1.
定义：在没有输入激励的情况下，仅由电路的初始状态（初始时刻的储能）所引起的响应，称为零
闪光灯的功能就是通过瞬间放电补光的过程。
知识链接 1.RC零输入响应电路分析
（a）换路前
（b）换路后
（1）换路前（0-时刻如图a）
（5）其它响应
Uc（0-）=U0≠0
uR uC U 0 e
（2）换路瞬间（0+时刻）
由换路定理：初始值Uc（0+）=Uc（0-）=U0≠0
1
最大储能：(0+) = 2 02
3.初始值的计算
【初始值求解步骤】
① 换路前的电路（t =0－）直流稳态下，电容相当于开路、电感相当于短路。
② 换路前的电路（t =0－）只求电感中电流iL(0－)或者电容中电压uC(0－)。
一阶动态电路分析
在低通滤波器中，随着频率的增加，输出信号的 幅度逐渐减小；而在高通滤波器中，随着频率的 增加，输出信号的幅度逐渐增加。
在一阶电路中，由于存在电容或电感元件，输出 信号与输入信号之间会存在一定的相位差。这种 相位差随着频率的变化而变化，形成了一阶电路 的相频特性。
一阶低通滤波器的截止频率决 定了信号通过的频率范围。
一阶高通滤波器
一阶高通滤波器允许高频信号通过， 而阻止低频信号。
一阶高通滤波器的截止频率同样决定 了信号通过的频率范围，但与低通滤 波器相反。
其电路结构也由一个电阻和一个电容 组成，但连接方式与低通滤波器相反。
幅频特性和相频特性
幅频特性描述了一阶动态电路对不同频率信号的 幅度响应。
电阻的作用
电阻在电路中起到分压、 分流、限流等作用，是电 路中的重要元件。
电阻的种类
电阻按照材料、结构、功 率等可分为多种类型，如 碳膜电阻、金属膜电阻、 线绕电阻等。
电容
电容的定义
电容是电路中存储电荷的 元件，用符号"C"表示，单 位为法拉（F）。
电容的作用
电容在电路中起到滤波、 隔直、耦合等作用，常用 于电源电路、信号电路等。
复数域分析法
将电路中的元件参数和变量表示为复数形式，通过复数运算来分 析电路稳定性。
06 一阶动态电路的应用举例
RC电路的应用
延时电路
利用RC电路的充放电特性，可以实现延时功能， 如电子门铃、延时开关等。
滤波电路
RC电路可以构成低通、高通或带通滤波器，用于 滤除信号中的特定频率成分。
振荡电路
在某些条件下，RC电路可以产生振荡，用于产生 特定频率的信号。
一阶电路的过渡过程
一阶电路的过渡过程1、一阶电路的零输入响应零输入响应：换路后动态电路中没有外施激励，电路响应由动态元件所储藏的能量引起。
一阶电路的零输入响应包括有RC放电电路和RL 放电电路。
2、RC放电电路RC电路的时间常数：对于含有电容的一阶电路，电路的时间常数定义为，时间常数，其中为一阶电路中，除电容以外的含源一端口网络或无源一端口网络的等效电阻。
如：在图1电路中，电阻、电容以及电压源全部为已知参数，开关S 在t=0时刻从位置1合到位置2，开关移动之前电路处于稳态，换路后的、以及流过电路中的电流为：，，图1 RC放电电路图2 电容电压、电阻电压和电路电流随时间的变化根据所求得的、和，可得它们随时间的变化规律如图2所示。
从图22中电压和电流随时间的变化规律，可得结论：1）电流和电压都按照同样的指数规律变化，因电路的特征方程和特征根仅取决于电路的结构和元件的参数，而与变量的选择无关。
2）由于特征根是负值，电流和电压都按同样的指数规律衰减，最终趋于零。
从上可以看出，电压和电流的衰减的快慢取决于指数中的大小。
反映了一阶电路过渡过程的进展速度，越小，过渡过程越快，是讨论过渡过程的一个重要参数。
3、RL放电电路RL电路的时间常数：对于含有电感的一阶电路，电路的时间常数定义为，时间常数，其中为一阶电路中，除电感以外的含源一端口网络或无源一端口网络的等效电阻。
利用微分方程的求解，RL电路响应的电压和电流随时间的变化规律，可得出与RC电路相同的结论。
4、一阶电路的零状态响应零状态响应：换路后动态电路中动态元件所储藏的能量为零，电路响应是由外施激励引起。
零状态响应的时间常数与零输入响应的时间常数的求解相似。
且零状态响应的过渡过程变化规律主要也是由时间常数来决定。
一阶电路的过渡过程实验报告
实验2 一阶电路的过渡过程实验2.1 电容器的充电和放电一、实验目的1.充电时电容器两端电压的变化为时间函数，画出充电电压曲线图。
2.放电时电容器两端电压的变化为时间函数，画出放电电压曲线图。
3.电容器充电电流的变化为时间函数，画出充电电流曲线图。
4.电容器放电电流的变化为时间函数，画出放电电流的曲线图。
5.测量RC电路的时间常数并比较测量值与计算值。
6.研究R和C的变化对RC电路时间常数的影响。
二、实验器材双踪示波器1台信号发生器1台0.1µF和0.2µF电容各1个1KΩ和2KΩ电阻各1个三、实验步骤1.在电子平台上建立如图2-1所示的实验电路，信号发生器和示波器的设置可照图进行。
示波器屏幕上的红色曲线是信号发生器输出的方波。
信号发生器的输出电压在+5V与0之间摆动，模拟直流电压源输出+5V电压与短路。
当输出电压为+5V时电容器将通过电阻R充电。
当电压为0对地短路时，电容器将通过电阻R放电。
蓝色曲线显示电容器两端电压Vab随时间变化的情况。
在下面V-T坐标上画出电容电压Vab随时间变化的曲线图。
作图时注意区分充电电压曲线和放电电压曲线。
2.用曲线图测量RC电路的时间常数τ。
T=0.1ms3．根据图2-1所示的R,C元件值，计算RC电路的时间常数τ。
T=R*C=1000*0.0000001=0.00001s=0.1ms4．在电子工作平台上建立如图2-2所示的实验电路，信号发生器和示波器按图设置。
单击仿真电源开关，激活实验电路，进行动态分析。
示波器屏幕上的红色曲线为信号发生器输出的方波。
方波电压在+5V和0V之间摆动，模拟直流电源电压为+5V与短路。
当信号电压为+5V时，电容器通过电阻R放电。
当信号电压为0V对地短路时，电容器通过电阻R放电。
蓝色曲线表示电阻两端的电压与时间的函数关系，这个电压与电容电流成正比。
在下面的V-T坐标上画出电阻(电容电流)随时间变化的曲线图。
作图时注意区分电容的充电曲线和放电曲线。
一阶电路动态过程的研究
一阶电路动态过程的研究一、实验目的（1）研究一阶电路的零输入响应，零状态响应及全响应的基本规律和特点。
（2）学习一阶电路时间常数τ的测量方法。
（3）熟悉微分和积分电路结构，加深对构成微分和积分电路必要条件的理解。
（4）熟悉示波器的使用方法。
二、实验原理及说明 （1）含有L、C元件的电路称动态电路。
描述动态电路的方程是微分方程，由给定的初始条件可求得电路的响应。
对线性电路其响应可分为零状态响应、零输入响应及全响应。
初始状态为零，仅激励引起的响应叫零状态响应；激励为零，由初始条件引起的响应叫零输入响应；同时同激励和初始条件引起的响应叫全响应。
电路中只含有一个电感或电容元件时称为一阶电路。
（2）一阶电路的零输入响应总是按指数规律衰减，零状态响应总是按指数规律递增或递减，衰减和递增速率的快慢，决定于电路本身参数所确定的时间常数τ。
在RC电路中，τ＝RC；在RC电路中，τ＝L/R。
（3）动态电路的过渡过程是短暂的单次变化过程，在瞬间发生又很快消失，所以观察这一过程是有困难的，常用方法是用方波仪记录其过程。
在实验室中，根据电路时间常数τ的大小不同分别采用不同的实验方法。
当τ较大时（数秒），一般采用卡秒表的方法，即在“换路”的同时，既观测电压（或电流）的数值，又启动秒表记录时间，从而可以记录下电压（或电流）随时间变化的规律。
当τ较小时，一般采用示波器观测。
为了便于观测，必须使单次过渡过程重复出现。
可以用方波的前沿代替单次接通直流电源，这样，在方波的每一个前沿和后沿，都出现一次过渡过程。
（4）微分电路和积分电路是脉冲数字电路中最常见的波形变换电路。
如果输入是方波信号，对于微分电路，当电路时间常数τ远远小于方波的脉冲宽度T p（20倍以上）时，电路输出与输入近似呈微分关系，即将方波变换成正负极性的尖脉冲；对于积分电路，如果电路时间常数τ远远大于方波的脉冲宽度T p（20倍以上），电路输出与输入近似呈积分关系，即将方波变换成三角波。
电路的过渡过程
uC (0 ) uC (0 ) 10V
－
R1
+
iC t=0
i2
uC C
R2
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等
效电路，如图所示。由图得：
i1(0+)
i1(0 )
US
uC (0 ) R1
10 10 10
0A
i2 (0 )
uC (0 ) R2
10 5
2A
+
R1
+
iC(0+)
R3
R1 R2
+
U
－
iC
+
C －uC
R0
iC +
+
C －uC
US
－
iC
IS
R0
+ C －uC
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
2.1 经典分析法
1．RC电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
因为：
uL
L
diL dt
uR RiL
从而得微分方程：
S
+ US
－
L R
diL dt
iL
US R
解之得：
iL
US R
(I0
U
S
)e
t
R
iL
+
R －uR
+
L －uL
稳态分量 暂态分量
式中τ=L/R为时 间常数
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-10 图(b)
ic(A)
5
0 1 23 45 6 7 8
t(s)
-5
2.2.2 电容VCR的积分式
uc (t)
1 C
t
ic
(
)d
ic
(t )=C
duc (t) dt
uc
(t0
)
1 C
t
t0 ic ( )d
电容VCR的积分式表明：
1）电容电压有“记忆”电流的作用。
2）如果以t0作为研究问题的起点，由uc(t0 )以及 t≥t0后的ic(t )就可确定t≥t0 后任意时刻的uc(t )。
pL (t)dt
iL (t)uL (t)dt
iL (t)L
di dt
dt
dwL (t) LiL (t)diL
wL (t)
iL 0
(t
)
LiL
diL
1 2
LiL2
(t
)
wL (t)
1 2
LiL2 (t)
电感的储能公式表明
1）电感在某一时刻的储能只取决于该时刻电 感的电流值iL(t)。
0
0·25
t(ms)
(a)
-100
（b）
40 ic(A) p c(t)
Pc(t)＞0 时w c(t)增加 0.4
Pc(t)＜0 时w c(t)减少
0
-0.4
0·5
t(ms)
1
-40
2. 5 电感元件
L
电感元件的电路符号
电感元件是实际电感线圈的理想化模型。在电路 理论中，电感元件只具有储存磁场能量的作用。
uc(t0 )称电容的初始状态 分析含电容电路不可少的条件
例2：如图(a)所示电路中 is(t)的波形如图(b)所示，且
已知uc(0)=0。求t0时的电容电压uc(t)并绘出波形。
is(t) uc(t) 0.5F
ic(A)
1
0 123
t(s)
图(a)
图(b)
uc
(t )
uc
(t0
)
1 C
结论：若电容电流有界，则电容电压不能跃变(即只能连续变化）
ic(A)
is(t) uc(t)
0.5F
1
uc(v) 4
2
0 1 2 3 t(s) 0 1 2 3 4
t(s)
电容电压的连续性质是分析含电容电路的重要概念。
2.4 电容的储能
ic (t)
uc (t)
当u 、i 关联时
C 电容吸收的功率~ Pc (t) uc (t)ic (t)
电压值u(t)。
2）电容的储能 wc(t) 0
3）当ic(t)为有限值时电容电压uc不能跃变,说明电容
的能量wc不能跃变。
例1：图(a)所示电路中 电容两端所加电压如图（b）
所示，求ic(t)、Pc(t)、 w c(t)的波形 us(v) W c(t)
ic(t) us(t) 1μF
100
0·5 0·75 1
(t)=L
diL (t) dt
iL
(t0
)
1 L
t
t0 uL ( )d
电感VCR的积分式表明：
1）电感电流有“记忆”电压的作用。
2）如果以t0作为研究问题的起点，由iL(t0 )以及t≥t0 后的uL(t )就可确定t≥t0 后任意时刻的iL(t )。
iL(t0 )称电感的初始状态 分析含电感电路不可少的条件
Pc (t) dwc (t) dt
dwc (t)
pc (t)dt
uc (t)ic (t)dt
uc (t)C
duc dt
dt
dwc (t) Cuc (t)duc
wc (t)
uc 0
(t
)
Cuc
duc
12Cuc2 (t)
wc
(t 容的储能公式表明 1）电容在某一时刻的储能只取决于该时刻电容的
3）电感的单位：1H =1Wb / 1A (1亨利=1韦伯/1安培）
2.6 电感元件的VCR
2.6.1 电感VCR的微分式
iL (t )
uL (t) L (t) 由法拉第电磁感应定律
uL
=
L
(t )=
d (t)
dt
=L
diL (t) dt
uL
=L
diL dt
u 、i 取关联时
uL
=
L
diL dt
第2章 一阶动态电路的过渡过程
第一节 电路中的过渡过程
•
电路在一定条件下可以处于稳定状态，但
条件发生变化时电路的状态就会发生变化。并
且，任何稳定状态都是由其它状态转换来的。
• 在实际情况下，状态的转变往往不是突变 的，而需要一个过程——即过渡过程。电路中也 有过渡过程，如电路中的电容或电感等储能元件 的存在，则在电源接通后电容通过充电而升高电 压，这一过程是渐变的；电感则由于电磁感应作 用而使电流不能立即达到稳定值，也是渐变过程。
③根据基尔霍夫定律计算出其它电压及电流 各量。
例• 试确定如图电路在开关S闭合后的初始值。
10mA
iS
iR
iC
iL
1k
2k
uR 2k
S
uC
uL
C
L
解 设开关闭合前电路处于稳态，电容相当于开 路，电感相当于短路：则 t = 0–时刻
例
10mA
iS
iR
iC
iL
1k
2k
uR 2k
S
uC
uL
us(V) 4
i L(A)
5
3
0
4 6 t(s) 1
2
t(s)
0
2 46
-4
电感电流的连续性质是分析含电感元件电路的重要概念。
2.8 电感的储能
iL (t )
uL (t)
当u 、i 关联时
L 电感吸收的功率~ PL (t) uL (t)iL (t)
PL (t) dwL (t) dt
dwL (t)
t t0 =0
u c(0+ )=? u c(0+ )=u c(0 -)=U0 =u c(0 )
1）数学分析
i c(t)
C uC(t) R
t 0
U0
0
U0 R
u c(0+ )=u c(0 -)=U0 =u c(0 )
1t
t
uC (t ) U0e RC U0e
t0
令 =RC (s) , 称为一阶电路的时间常数
电感电流的连续性质（又称电感的惯性）
若电感电压u L(t)在闭区间[ta，tb]上有界，则电感 电流i L(t)在开区间( ta，tb )内连续。即对于( ta，tb ) 内的任意时刻t，恒有 i L(t- )= i L(t+ )= i L(t)
结论：若电感电压有界，则电感电流不能跃变，即只能连续变化。
• 换路——指电路因接通、断开、短路以及电压或 电路参数的改变。
不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的
能量是不能突变的。如电感的磁能及电容的电能
分别为
和
都不能突变。
换路定则 设t=0为换路瞬间，则 t=0– 和t=0+ 分别是换路前后的极限时刻。从 t=0– 到 t=0+ 瞬间，电感元件中的电流和电容元件两端的电压 不能突变。可表示为
暂态过程的初始值
• 由于换路，电路的状态要发生变化。在t=0+时电 路中电压电流的瞬态值称为暂态电路的初始值。
初始值的确定，要依据换路定则及电路性质 来分析，也受电路约束方程的制约。
①换路前的瞬间，将电路视为稳态——电容 开路、电感短路。
②换路后的瞬间，将电容用定值电压 uC(0–) 或电感用 i L(0–) 定值电流代替。若电路无储能， 则视电容C为短路，电感L为开路。
研究暂态过程，是要认识和掌握这种现象的规 律。
一般可以说，数学分析和实验分析是分析暂 态电路的两种方法。本章内容介绍最基本的数学 分析方法，其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定 律。
实验分析方法，将在实验课程中应用示波器 等仪器观测暂态过程中各量随时间变化的规律。
重点讨论的问题是：（1）暂态过程随时间变 化的规律；（2）影响暂态过程快慢程度的时间常 数。
电容的放电过程也是渐变的，如图：电容放电形
成电流，电阻两端的电压等于电容的电压，电流 的存在使电容继续放电。
可见只要 uC 0，则
i
放电过程就不能停止，
但电阻的存在又不能使 电流过大，直至电容电 uC
R
压 uC = 0 为止。
本章就是讨论某些处于过渡过程的电路问题，也 就是电路的暂态过程。
研究暂态电路的方法：
第二节 常见储能元件
C
2.1 电容元件
电容元件的电路符号
电容元件是实际电容器的理想化模型。在电路理论
中,电容元件只具有储存电荷(即电场能量)的作用。
2.1.1电容元件(简称电容)的定义：
如果一个二端元件A，只具有储存电荷的作用，而且在任意时
刻t 所储存的电荷q(t)决定于它的端电压u(t)，即 q(t)和 u(t)
例3：电感端电压波形如图所示,已知iL(0)=1(A) 求iL(t)，并绘出iL(t)的波形。
iL (t )
u s(V)
4
us (t)
2H uL (t)
46
0
2
-4
iL
(t)
iL
(t0 )