第2章 一阶动态电路的过渡过程
一阶动态电路分析
一阶动态电路分析在一阶动态电路分析中，通常需要考虑以下几个步骤：1.确定电路拓扑结构：首先需要确定电路中的元件和它们的连接方式，以建立电路的拓扑结构。
2.建立电路微分方程：根据电路中的元件和连接方式，可以通过基尔霍夫定律、欧姆定律等来建立电路的微分方程。
对于电容和电感元件，可以利用其电压和电流的关系（即电压-电流特性）得到微分方程。
- 对于电容元件，根据电容的定义（Q=C*dV/dt），可以得到微分方程：C*dV/dt = I，其中C为电容值，V为电容的电压，t为时间，I为电流。
- 对于电感元件，根据电感的定义（V=L*di/dt），可以得到微分方程：L*di/dt = V，其中L为电感值，i为电感的电流，t为时间，V为电压。
3.求解微分方程：根据所建立的微分方程，可以通过分离变量、积分等方法对方程进行求解。
求解过程中需要考虑初始条件，即在其中一时刻电容的电压或电感的电流的初始值。
4.分析电路响应：根据微分方程的解，可以得到电路中电容的电压或电感的电流随时间的变化曲线。
根据这些曲线可以分析电路的稳定状态、暂态响应和频率响应。
在分析电路响应时，可以根据不同的输入信号类型进行分类，常见的输入信号包括：-直流输入：当输入信号为直流信号时，可以将微分方程简化为代数方程进行求解。
此时电路响应主要包括稳态响应和过渡过程。
-正弦输入：当输入信号为正弦信号时，可以利用拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程。
通过求解代数方程和对频率的分析，可以得到电路的频率响应。
-脉冲输入：当输入信号为脉冲信号时，可以将微分方程进行离散化，转化为差分方程进行求解。
此时电路响应主要包括脉冲响应和响应序列的叠加。
总结来说，一阶动态电路分析是通过建立微分方程，求解微分方程，分析电路响应的一种方法。
通过这种方法，可以了解电路的稳定状态、暂态响应和频率响应等特性。
同时，对于不同类型的输入信号，还可以通过不同的数学工具和方法进行求解和分析。
这种分析方法可以广泛应用于电子电路、控制系统等领域的研究和应用中。
电路的过渡过程
uC (0 ) uC (0 ) 10V
－
R1
+
iC t=0
i2
uC C
R2
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等
效电路，如图所示。由图得：
i1(0+)
i1(0 )
US
uC (0 ) R1
10 10 10
0A
i2 (0 )
uC (0 ) R2
10 5
2A
+
R1
+
iC(0+)
R3
R1 R2
+
U
－
iC
+
C －uC
R0
iC +
+
C －uC
US
－
iC
IS
R0
+ C －uC
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
2.1 经典分析法
1．RC电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
因为：
uL
L
diL dt
uR RiL
从而得微分方程：
S
+ US
－
L R
diL dt
iL
US R
解之得：
iL
US R
(I0
U
S
)e
t
R
iL
+
R －uR
+
L －uL
稳态分量 暂态分量
式中τ=L/R为时 间常数
电工学实验一阶过渡过程
用方波观察一阶过渡过程的条件：方波的周期要 大于5倍的时间常数。
时间常数的物理意义是当输入响应衰减到初始值 的36.8%或零状态上升到稳态值的63.2%时所需要 的时间。
电工学实验
一阶过渡过程
一阶过渡过程
一阶电路是由一个储能元件（电容或电感）和 电阻组成的电路，它的KVL或KCL是由一阶常系 数微分方程来描述的。理论课上已经学会了用 数学的方法求出它们的解。
零输入响应：电路在零初始状态下，由在初 始时刻施加于电路的输入所产生的响应。
零状态响应：电路在零初始状态下，由在初 始时刻施加于电路的输入所产生的响应。
信号源 示波器共地
改变R=470Ω再次测量 时间常数
一阶过渡过程的观察-RL电路
CH1
CH2 方波Us=2Vp-p
f=1kHz
R=100Ω
L=10mH
测量时间常数
信号源 示波器共地
在坐标纸上画出 电感和电阻两端 电压波形
改变R=1KΩ再次 测量时间常数
实验数据记录
RC电路 C=0.2μF RL电路 L=10mH
用示波器测量相位差
1. 将显示方式按钮“ALT”按下；
2. 两个通道的输入耦合方式拨到接 地状态，调节扫描线的位置于中 央；
3. 再将两通道的输入耦合方式拨到 AC状态；
4. 测量两个波形的相位差格数X；
5. 测量一个波形完整周期的格数 XT；
6. 计算相位差: φ=
No
Image
R=100Ω R=470Ω R=100Ω R=1KΩ
一阶电路的过渡过程
一阶电路的过渡过程1、一阶电路的零输入响应零输入响应：换路后动态电路中没有外施激励，电路响应由动态元件所储藏的能量引起。
一阶电路的零输入响应包括有RC放电电路和RL 放电电路。
2、RC放电电路RC电路的时间常数：对于含有电容的一阶电路，电路的时间常数定义为，时间常数，其中为一阶电路中，除电容以外的含源一端口网络或无源一端口网络的等效电阻。
如：在图1电路中，电阻、电容以及电压源全部为已知参数，开关S 在t=0时刻从位置1合到位置2，开关移动之前电路处于稳态，换路后的、以及流过电路中的电流为：，，图1 RC放电电路图2 电容电压、电阻电压和电路电流随时间的变化根据所求得的、和，可得它们随时间的变化规律如图2所示。
从图22中电压和电流随时间的变化规律，可得结论：1）电流和电压都按照同样的指数规律变化，因电路的特征方程和特征根仅取决于电路的结构和元件的参数，而与变量的选择无关。
2）由于特征根是负值，电流和电压都按同样的指数规律衰减，最终趋于零。
从上可以看出，电压和电流的衰减的快慢取决于指数中的大小。
反映了一阶电路过渡过程的进展速度，越小，过渡过程越快，是讨论过渡过程的一个重要参数。
3、RL放电电路RL电路的时间常数：对于含有电感的一阶电路，电路的时间常数定义为，时间常数，其中为一阶电路中，除电感以外的含源一端口网络或无源一端口网络的等效电阻。
利用微分方程的求解，RL电路响应的电压和电流随时间的变化规律，可得出与RC电路相同的结论。
4、一阶电路的零状态响应零状态响应：换路后动态电路中动态元件所储藏的能量为零，电路响应是由外施激励引起。
零状态响应的时间常数与零输入响应的时间常数的求解相似。
且零状态响应的过渡过程变化规律主要也是由时间常数来决定。
一阶电路的过渡过程实验报告
一阶电路的过渡过程实验报告一阶电路的过渡过程实验报告引言：电路是电子学的基础，而一阶电路是最基本且常见的电路之一。
通过对一阶电路的过渡过程进行实验研究，可以更好地理解电路的工作原理和性能特点。
本文将介绍一阶电路的过渡过程实验的目的、实验装置、实验步骤、实验结果及分析，并对实验中遇到的问题进行讨论。
实验目的：1. 了解一阶电路的基本原理和性能特点；2. 研究一阶电路的过渡过程，掌握其响应特性；3. 探究不同参数对一阶电路过渡过程的影响。
实验装置：1. 信号发生器：用于产生输入信号；2. 一阶电路：包括电阻、电容等元件；3. 示波器：用于观测电路的输入输出信号。
实验步骤：1. 搭建一阶电路：根据实验要求，选择适当的电阻和电容值，按照电路图搭建一阶电路；2. 连接信号发生器和一阶电路：将信号发生器的输出端与一阶电路的输入端相连；3. 连接示波器：将示波器的探头分别连接到一阶电路的输入端和输出端；4. 设置信号发生器的参数：根据实验需要，设置信号发生器的频率、幅值等参数；5. 观测电路的过渡过程：调整示波器的触发方式和时间基准，观测电路的输入输出信号，并记录数据；6. 改变电阻或电容值：在实验过程中，可以改变电阻或电容的值，观察其对过渡过程的影响；7. 数据分析：根据实验数据，分析一阶电路的过渡过程特性，并进行讨论。
实验结果及分析：通过实验观测和数据记录，我们得到了一阶电路的过渡过程的波形图和相关数据。
根据波形图，我们可以看到电路的过渡过程包括上升过程和下降过程。
上升过程是指电路输出信号从低电平逐渐上升到稳定的高电平的过程；下降过程则是指电路输出信号从高电平逐渐下降到稳定的低电平的过程。
在过渡过程中，我们可以观察到以下几个重要的参数：1. 上升时间（Rise Time）：指电路输出信号从低电平上升到高电平所需的时间；2. 下降时间（Fall Time）：指电路输出信号从高电平下降到低电平所需的时间；3. 峰值时间（Peak Time）：指电路输出信号达到峰值的时间；4. 峰值幅值（Peak Amplitude）：指电路输出信号的最大幅值；5. 调整时间（Settling Time）：指电路输出信号从过渡过程到达稳态所需的时间。
第2章 一阶电路的过渡过程
iC
C
τ = RC
为电路时间常数，单位为秒。 为电路时间常数，单位为秒。 时间常数
uC(t)
由初始条件U C (0 + ) = U 0 得
k = U0
U C (t ) = U 0 e τ
−t
电容电压响应（变化规律）： 电容电压响应（变化规律）： 电压波形为
uC
U
0
(t ≥ 0)
0 .3 6 8 U 0 .1 3 5 U
R
Us
uC(t)
dU C RC + UC = U S dt
解方程得 由初始条件
U C (t ) = U S + ke
特解
−
t RC
通解
U0 = US + k
→ k = U0 −US
R
全响应： 全响应： Us
uC(t)
− t RC − t RC
uC US U0 uC t
U C (t ) = U S + (U 0 − U S )e = U 0e
US iR (∞) = = 0.15 A 2R
+
−
τ
R
iR C
S
R′ =
3 R = 150Ω, 2
τ
= R′C =
1 10
除电容电压和电感电流外， 注意： iR (0+ ) ≠ iR (0− ) = 0 除电容电压和电感电流外，其 注意： 它量换路前后一般不相等。 它量换路前后一般不相等。
=0，
R
K
L
U K闭合后达到稳态时 iL = s . 闭合后达到稳态时 R
diL UL = L dt
Us ， 若电感电流 iL 能“瞬时”从0升到 瞬时” 升到 R
电路分析基础一阶动态电路的时域分析
动态电路 的过渡过程
电路的零输入、 零状态分析法
一阶电路响应 的三要素分析法
6.1
一阶电路的三要素分析法
(t=0)
1.过渡过程的的概念
US (t=t1)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。 暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
6
iL
6 1H
1 F -
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L 对于一阶RL电路 R0
注意：
对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
换路时刻，iC和uL为有限值，uC和iL在该处连续，不可跃变。
除过uC和iL，电路中其他的u、i可以在换路前后发生跃变。
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴维 南定理解题时计算电路等效 电阻的方法。即从储能元件 两端看进去的等效电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
U0
电路的过渡过程介绍
UC
0
UC
0
1 C
0
ic(t)dt
0
即UC 0 UC 0
➢同理：
iL 0 iL 0
1 0 L 0
uL(t)dt
0
即iL 0 iL 0
过渡过程： 电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的过程。
二、 什么是电路的过渡过程？ 稳定状态(稳态)
第2章 电路的过渡过程
2.1 电容元件与电感元件 2.2 动态电路的过渡过程和初始条件 2.3 一阶电路的零输入响应 2.4 一阶电路的零状态响应 2.5 一阶电路的全响应
第一节 电容元件与电感元件
•一、电容：
•线性电容元件：C（为常数）与 U •无关的电容元件。 ➢伏安关系U直流→则i=0→相当于开路
i dq d(cq) C du
dt dt
dt
dwC
Pdt
uidt
cu
du dt
dt
cudu
➢电容元件储存能量：
wc
u 0
cudu
1 2
cu 2
当C充电：u从0→u时：C获得的能量： 这些能量储存于C中，只与u有关与建立过程无关
u(t) u(0) 1
t
i(t)dt
[例2-4] 电路如图2－12所示，换路前K合于①，
电路处于稳态。 t=0 时Ｋ由① 合向②，求换路后的 iL(t)和 uL(t)
① K 2Ω
24V 4Ω
②
i1 3Ω
4Ω
iL 6Ω
uL 9H
图2-12 例2-4图
解: 换路前电路已稳定
iL(0)42 2 4 23 662A
第2章__一阶动态电路的暂态分析[1]
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第2章 一阶动态电路的暂态分析
2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 电容元件与电感元件 换路定则及其初始条件 一阶电路的零输入响应 一阶电路的零状态响应 一阶电路的全响应 三要素法求一阶电路响应
第2章 电路的暂态分析
本章要求
1. 了解电感元件与电容元件的特征; 2. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状 态响应、全响应的概念，以及时间常数的物 理意义; 3. 掌握换路定则及初始值的求法; 4. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
i
+
u _ 电容元件 C
u
电容元件储能
dq ( t ) d [Cu( t )] i( t ) dt dt
du iC dt
将上式两边同乘上 u，并积分，则得： t u 1 2 0 ui dt 0 Cudu 2 Cu
1 t u (t ) u (to ) i ( )d C t0
U
uC
+ uC C –
U
暂态
–
iC (b)
o 稳态
t
图(b) 合S前: iC 0 , uC 0
合S后： uC 由零逐渐增加到U
所以电容电路存在暂态过程(C储能元件)
产生暂态过程的必要条件： (1) 电路中含有储能元件 (内因) (2) 电路发生换路 (外因) 换路: 电路状态的改变。如： 若 uc 发生突变， duC 电路接通、切断、 短路、电压改变或参数改变 则 iC dt 产生暂态过程的原因： 一般电路不可能！ 由于物体所具有的能量不能跃变而造成 在换路瞬间储能元件的能量也不能跃变
4 4
i1
R1 + uC 4 _
+ uL _
电路中的过渡过程及其分析方法
,
_
d“
一了
-
(
t
)
二
〔 :
变 这 两 种情 况 换路 时刻 的电容 电流 和 电感 电压 都 不 是 有 限值 因此 换 路 定律 不 适用 于 换 路 时刻 电 容 电流 和 电感 电压 为非有 限值 的情 况
、 。
d t
口 二
I产
一
前
.
李 (,
一
( J )
.
(”
,
“`
(, ) 中
(u 0
:
断 开 元件参 攀突 然 改变 等 等电珍工
.
、
个问 题分述如下 供 同学们学 习 参考
作 状态的 突 然 改变 统称为换路
( 四 ) 电路 中的 过 渡过 程
L
、
。
一 动态电峥及过 盆过租 的概念
( 一 ) 动态 电璐
1
,
动 态 电路 是 指含有储能 元 件电感
。
:
动 态 电路 由于 换 路 从 一 种 珍 定 抉 态 转变 到 另 一
第
2
今 总绍
2
.
期
N0
.
VO L
S
“
Co N T E M
即
尽
省 代电大 苦 攀学 , 丫 Tv U 《T 尽 八 零H 妞
1 9 5 年第 8 期 & s
刊DY )
N0
.
8
.
1 99 5
卜
电 路 中 岭 过 渡 城 程 瓜 其 令析 方 孩
中央 电 大
奇享 群
在《 电路 及 盛 垮 》的
电绮中过 碑 过 裸终 分析的 攀拼 内容 分析 是 电 终
第2章 一阶动态电路的过渡过程
ic(A)
u c (t)
图(a) 0.5F 1
0
1 2 3 图(b)
t(s)
1 uc (t ) uc (t0 ) C
t
t0
ic ( )d
uc(v) 4 2
0 1 2 3 4
t(s)
2.3 电容电压的连续性和记忆性
电容电压的连续性质（又称电容的惯性）
若电容电流ic(t )在闭区间[ta,tb]上有界，则电容 电压uc(t)在开区间(ta,tb)内连续。即对于(ta,tb)内
• 例
试确定如图电路在开关S闭合后的初始值。
iS iR iC
1k
iL
2k
uR
10mA
S
2k
uC
C
uL
L
解
设开关闭合前电路处于稳态，电容相当于开 路，电感相当于短路：则 t = 0–时刻
例
10mA
iS
uR
S
iR
2k
iC
1k
iL
2k
uC
C
uL
L
则 t = 0+ 时刻
第四节 一阶电路的零输入响应
L
(t )
由法拉第电磁感应定律
d (t ) diL (t ) u L = L (t )= =L dt dt
diL u L =L dt diL uL = L dt
u 、i u 、i
取关联时
取非关联时
diL u L =L dt
u 、i
取关联时
电感VCR的微分式表明： 1) u L 的大小取决与 i L 的变化率，与 i L 的大小无关。
例1：图(a)所示电路中 电容两端所加电压如图（b） 所示，求ic(t)、Pc(t)、 w c(t)的波形
电路的过渡过程
第四章 电路的过渡过程 .................................................................错误!未定义书签。
4.1电路的换路定则与初始值 ............................... 错误!未定义书签。
4.2一阶RC 电路的暂态分析 ................................ 错误!未定义书签。
4.2.1 一阶RC 电路的零输入响应 ........................ 错误!未定义书签。
4.2.3 RC 电路的零状态响应 ............................ 错误!未定义书签。
4.2.3 RC 电路的全响应 ................................ 错误!未定义书签。
4.3一阶RL 电路的暂态分析 ................................ 错误!未定义书签。
4.3.1 一阶RL 电路的零输入响应 ........................ 错误!未定义书签。
4.3.2 一阶RL 电路的零状态相应与全响应 ................ 错误!未定义书签。
4.4一阶电路的三要素法 ................................... 错误!未定义书签。
4.5 二阶电路简介 ......................................... 错误!未定义书签。
4.6电路中暂态过程的利弊 ................................. 错误!未定义书签。
4.7微分电路与积分电路 ................................... 错误!未定义书签。
4.7．1微分电路 ...................................... 错误!未定义书签。
电路分析基础 课题四 一阶动态电路的分析
输入响应。
2.
−
一阶动态电路的零输入响应的一般表达式为：() = (0+) ，其中，为时间常数（单位：s），
(0+)为初始值。
3.
“零输出响应”特点：
➢ 换路后电源信号为0（零输入/激励）
➢ 储能元件的初始值≠0
➢ 储能元件的稳态值=0
问题四：
闪光灯在实际使用中，会频繁充电；同时实
iL I 0 e
R
t
L
I0e
t
稳态值= iL (∞) = 0
1
最大储能：wL = 2 LI02
（5）其它响应：
（c）响应曲线
uL uR RI 0 e
t
t
L
...RL电路时间常数
R
知识链接3.一阶零输入响应的表达式
1.
定义：在没有输入激励的情况下，仅由电路的初始状态（初始时刻的储能）所引起的响应，称为零
闪光灯的功能就是通过瞬间放电补光的过程。
知识链接 1.RC零输入响应电路分析
（a）换路前
（b）换路后
（1）换路前（0-时刻如图a）
（5）其它响应
Uc（0-）=U0≠0
uR uC U 0 e
（2）换路瞬间（0+时刻）
由换路定理：初始值Uc（0+）=Uc（0-）=U0≠0
1
最大储能：(0+) = 2 02
3.初始值的计算
【初始值求解步骤】
① 换路前的电路（t =0－）直流稳态下，电容相当于开路、电感相当于短路。
② 换路前的电路（t =0－）只求电感中电流iL(0－)或者电容中电压uC(0－)。
一阶动态电路分析
在低通滤波器中，随着频率的增加，输出信号的 幅度逐渐减小；而在高通滤波器中，随着频率的 增加，输出信号的幅度逐渐增加。
在一阶电路中，由于存在电容或电感元件，输出 信号与输入信号之间会存在一定的相位差。这种 相位差随着频率的变化而变化，形成了一阶电路 的相频特性。
一阶低通滤波器的截止频率决 定了信号通过的频率范围。
一阶高通滤波器
一阶高通滤波器允许高频信号通过， 而阻止低频信号。
一阶高通滤波器的截止频率同样决定 了信号通过的频率范围，但与低通滤 波器相反。
其电路结构也由一个电阻和一个电容 组成，但连接方式与低通滤波器相反。
幅频特性和相频特性
幅频特性描述了一阶动态电路对不同频率信号的 幅度响应。
电阻的作用
电阻在电路中起到分压、 分流、限流等作用，是电 路中的重要元件。
电阻的种类
电阻按照材料、结构、功 率等可分为多种类型，如 碳膜电阻、金属膜电阻、 线绕电阻等。
电容
电容的定义
电容是电路中存储电荷的 元件，用符号"C"表示，单 位为法拉（F）。
电容的作用
电容在电路中起到滤波、 隔直、耦合等作用，常用 于电源电路、信号电路等。
复数域分析法
将电路中的元件参数和变量表示为复数形式，通过复数运算来分 析电路稳定性。
06 一阶动态电路的应用举例
RC电路的应用
延时电路
利用RC电路的充放电特性，可以实现延时功能， 如电子门铃、延时开关等。
滤波电路
RC电路可以构成低通、高通或带通滤波器，用于 滤除信号中的特定频率成分。
振荡电路
在某些条件下，RC电路可以产生振荡，用于产生 特定频率的信号。
第二章 一阶动态电路的暂态分析
第二章 一阶动态电路的暂态分析
Department of Computer Science & Technology
本章的目的
R0
1 2
K U0 C
uC
R
UC什么时候能达到1/2U0 ?
1
Department of Computer Science & Technology
第二章 一阶动态电路的暂态分析
稳态
过渡过程
稳态
例如：电机的起、停，温度的升、降等不能跃变，需要 经过一定的时间后才能稳定，这个过程称为过渡过程 。
K US
K US R
R
iR
R
uR us
uR
uC us
0
?
t
iC
C
u
C
0
t
3
Department of Computer Science & Technology
2.2 换路定则及其初始条件
t=0时闭合开关， 0+时刻 等效电路如下图(b)所示
L 2A K
iL
R2=1Ω
i1
R1=1Ω
iL (0 ) iL (0 ) 1A
(a)
iL(0+) uL(0+) R2
uL (0 ) R2 iL (0 ) (1 1) 1(V)
2A
i1
uC(0+)或iL(0+)怎么确定？
1) 先由t =0-等效电路求出 uC(0–) 、iL(0–)： 在直流激励下，换 路前，电路已处于稳定状态时，将电容→开路，电感→短路， 得到 t = 0-时的等效电路。
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的初始状态(即初始储能)所引起的响应。 1. RC电路的零输入响应 a b S t=0 iC U0 R C uC t=t0=0 时换路
电容电流有界电 容电压不能跃变
i c（t) C
u C(t) R
t t0 =0
10
5
0
7 6 8
1
2 3 4
t(s)
图(a)
-10
图(b)
ic(A)
5
0
1
2 3
4 5
6
7
8
t(s)
-5
2.2.2 电容VCR的积分式
1 uc (t ) C
t
ic ( )d
duc (t ) ic (t )=C dt
1 uc (t0 ) C
电容VCR的积分式表明：
t
t0
ic ( )d
例1：图(a)所示电路中 电容两端所加电压如图（b） 所示，求ic(t)、Pc(t)、 w c(t)的波形
us(v) W c(t)
0· 5 0· 25
us(t)
ic(t)
1μF
100
0· 75 1
0
t(ms)
(a)
-100
（b ）
ic(A)
40
p c(t)
0· 5
Pc(t)＞0 时w c(t)增加
i L(A)
结论：若电感电压有界，则电感电流不能跃变，即只能连续变化。
4
0
us(V)
4 2 6
5
t(s)
3 1
0
-4
2
4
6
t(s)
电感电流的连续性质是分析含电感元件电路的重要概念。
2.8 电感的储能
iL (t )
uL (t )
L
当u 、i 关联时
电感吸收的功率~ P L (t ) uL (t )iL (t )
diL 2）当 =0时 uL (t )= 0 说明电感对直流相当于短路。 dt
2.6.2、电感VCR的积分式
diL (t ) u L (t)=L dt
1 iL (t ) L
t
u L ( )d
1 t iL (t0 ) uL ( )d L t0
电感VCR的积分式表明：
1）电感电流有“记忆”电压的作用。 2）如果以t0作为研究问题的起点，由iL(t0 )以及t≥t0 后的uL(t )就可确定t≥t0 后任意时刻的iL(t )。
暂态过程的初始值
•
由于换路，电路的状态要发生变化。在t=0+时电 路中电压电流的瞬态值称为暂态电路的初始值。
初始值的确定，要依据换路定则及电路性质 来分析，也受电路约束方程的制约。 ①换路前的瞬间，将电路视为稳态 —— 电容 开路、电感短路。 ②换路后的瞬间，将电容用定值电压 uC(0–) 或电感用 i L(0–) 定值电流代替。若电路无储能， 则视电容C为短路，电感L为开路。 ③根据基尔霍夫定律计算出其它电压及电流 各量。
L o
i i
L
ψ
ψ(t)、i(t)的参考方向符合右手定则
(t )与i (t )参考方向符合右手定则的情况下 (t ) Li(t )
3）电感的单位：1H =1Wb / 1A (1亨利=1韦伯/1安培）
线性时不变电感的特性曲线
2.6
电感元件的VCR
2.6.1
电感VCR的微分式
iL (t )
uL (t )
第三节 换路定律
• 换路——指电路因接通、断开、短路以及电压或 电路参数的改变。 不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的 能量是不能突变的。如电感的磁能及电容的电能 和 分别为 都不能突变。
换路定则 设t=0为换路瞬间，则 t=0– 和t=0+ 分别是换路前后的极限时刻。从 t=0– 到 t=0+ 瞬间，电感元件中的电流和电容元件两端的电压 不能突变。可表示为
第二节 常见储能元件
2.1 电容元件
C
电容元件的电路符号
电容元件是实际电容器的理想化模型。在电路理论 中,电容元件只具有储存电荷(即电场能量)的作用。 2.1.1电容元件(简称电容)的定义：
如果一个二端元件A，只具有储存电荷的作用，而且在任意时 刻t 所储存的电荷q(t)决定于它的端电压u(t)，即 q(t)和 u(t) 的关系由u—q平面上的一条通过原点的曲线所决定，则称元件
第2章 一阶动态电路的过渡过程
第一节 电路中的过渡过程
• 电路在一定条件下可以处于稳定状态，但 条件发生变化时电路的状态就会发生变化。并 且，任何稳定状态都是由其它状态转换来的。
• 在实际情况下，状态的转变往往不是突变 的，而需要一个过程——即过渡过程。电路中也 有过渡过程，如电路中的电容或电感等储能元件 的存在，则在电源接通后电容通过充电而升高电 压，这一过程是渐变的；电感则由于电磁感应作 用而使电流不能立即达到稳定值，也是渐变过程。
Pc(t)＜0 时w c(t)减少
0.4
0
1
t(ms)
-0.4 -40
2. 5 电感元件
L 电感元件的电路符号
电感元件是实际电感线圈的理想化模型。在电路 理论中，电感元件只具有储存磁场能量的作用。
2.5.1、电感元件(简称电感)的定义：
如果一个二端元件A，只具有储存磁场能量的作用，而且在任 意时刻t 其磁链Ψ(t)决定于流过它的电流i(t)，即Ψ(t)和i(t) 的关系由i —Ψ平面上的一条通过原点的曲线所决定，则称元 件A为电感元件。
电感的储能公式表明
1）电感在某一时刻的储能只取决于该时刻电 感的电流值iL(t)。 2）电感的储能wL(t) 0 3）当uL为有限值时iL不能跃变，说明wL不能跃变。
2.9 电容与电感的对偶关系。
C 和L 称为对偶元件。 对偶元素： u i 、 q 、C L等
若把 u i 、 q 、C L等对偶元素 互换,可由电容元 件的关系式得到电感元件的相应关系式
uc ( t ) 0
wc (t )
1 2 Cuc duc Cuc (t ) 2
1 2 wc (t ) Cuc (t ) 2
电容的储能公式表明 1）电容在某一时刻的储能只取决于该时刻电容的 电压值u(t)。
2）电容的储能 wc(t) 0
3）当ic(t)为有限值时电容电压uc不能跃变,说明电容 的能量wc不能跃变。
ic (t )
uc (t )
C
电容吸收的功率~
Pc (t ) uc (t )ic (t )
P c (t ) dwc (t ) dt
duc dwc (t ) pc (t )dt uc (t )ic (t )dt uc (t )C dt dt
dwc (t ) Cuc (t )duc
的任意时刻t，恒有
uc(t- )=uc(t+)= uc(t) （证略）
结论：若电容电流有界，则电容电压不能跃变(即只能连续变化）
i s (t)
ic(A)
u c (t)
0.5F 1
0
uc(v)
4 2
1
2
3
t(s)
0
1 2 3 4
t(s)
电容电压的连续性质是分析含电容电路的重要概念。
2.4
电容的储能 当u 、i 关联时
电感元件是一种磁链Ψ(t)与电流 i(t)相约束的元件，磁链Ψ(t)与 电流i(t)之间存在代数关系。
2.5.2、电感的分类 1）时变电感和时不变电感 L为单位电流流过电感时产生的 2）线性电感和非线性电感 磁链，称为自感系数（简称电感） 线性时不变电感
ψ
1
所有t
线性时不变电感L =ψ/i= 常数， L是电路参数
电容的放电过程也是渐变的，如图：电容放电形 成电流，电阻两端的电压等于电容的电压，电流 的存在使电容继续放电。 i 可见只要 uC 0，则 放电过程就不能停止， 但电阻的存在又不能使 R uC 电流过大，直至电容电 压 uC = 0 为止。 本章就是讨论某些处于过渡过程的电路问题，也 就是电路的暂态过程。
研究暂态电路的方法：
研究暂态过程，是要认识和掌握这种现象的规 律。 一般可以说，数学分析和实验分析是分析暂 态电路的两种方法。本章内容介绍最基本的数学 分析方法，其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定 律。 实验分析方法，将在实验课程中应用示波器 等仪器观测暂态过程中各量随时间变化的规律。
重点讨论的问题是：（1）暂态过程随时间变 化的规律；（ 2）影响暂态过程快慢程度的时间常 数。
dt di dwL (t ) pL (t )dt iL (t )u L (t )dt iL (t ) L dt dt dwL (t ) LiL (t )diL
wL (t )
iL ( t ) 0
PL (t )
dwL (t )
1 2 LiL diL LiL (t ) 2
1 2 wL (t ) LiL (t ) 2
iL(t0 )称电感的初始状态 分析含电感电路不可少的条件
例3：电感端电压波形如图所示,已知iL(0)=1(A) 求iL(t)，并绘出iL(t)的波形。
iL (t )
us (t )
2H
u s(V)
4
uL (t )
4
0
6
2
t(s)
-4
1 t iL (t ) iL (t0 ) uL ( )d L t0
1）电容电压有“记忆”电流的作用。 2）如果以t0作为研究问题的起点，由uc(t0 )以及 t≥t0后的ic(t )就可确定t≥t0 后任意时刻的uc(t )。
uc(t0 )称电容的初始状态 分析含电容电路不可少的条件