第2章 一阶动态电路的过渡过程

i L(A)
5 3 1
0
2
4
6
t(s)
2.7
电感电流的连续性和记忆性
电感电流的连续性质（又称电感的惯性）
若电感电压u L(t)在闭区间[ta，tb]上有界，则电感
电流i L(t)在开区间( ta，tb )内连续。即对于( ta，tb )
内的任意时刻t，恒有 i L(t- )= i L(t+ )= i L(t)
diL 2）当 =0时 uL (t )= 0 说明电感对直流相当于短路。 dt
2.6.2、电感VCR的积分式
diL (t ) u L (t)=L dt
1 iL (t ) L

t

u L ( )d
1 t iL (t0 ) uL ( )d L t0
电感VCR的积分式表明：
1）电感电流有“记忆”电压的作用。 2）如果以t0作为研究问题的起点，由iL(t0 )以及t≥t0 后的uL(tΒιβλιοθήκη Baidu)就可确定t≥t0 后任意时刻的iL(t )。
电感元件是一种磁链Ψ(t)与电流 i(t)相约束的元件，磁链Ψ(t)与 电流i(t)之间存在代数关系。
2.5.2、电感的分类 1）时变电感和时不变电感 L为单位电流流过电感时产生的 2）线性电感和非线性电感 磁链，称为自感系数（简称电感） 线性时不变电感
ψ
1
所有t
线性时不变电感L =ψ/i= 常数， L是电路参数
q
t1 t2 o
u
非线性时变电容的特性曲线
线性时不变电容
q
1
所有t
C为电容两端增加单位电压时 储存电荷的增量 , C是电路参数, 线性时不变电容 C =常数
C q+ o
C
u
u
q(t)、u(t)的参考方向关联
线性时不变电容的特性曲线
q(t )和 u (t ) 取关联参考方向情况下 q(t ) Cu (t )
L o
i i
L
ψ
ψ(t)、i(t)的参考方向符合右手定则
(t )与i (t )参考方向符合右手定则的情况下 (t ) Li(t )
3）电感的单位：1H =1Wb / 1A (1亨利=1韦伯/1安培）
线性时不变电感的特性曲线
2.6
电感元件的VCR
2.6.1
电感VCR的微分式
iL (t )
uL (t )
第三节 换路定律
• 换路——指电路因接通、断开、短路以及电压或 电路参数的改变。 不论电路的状态如何发生改变，电路中所具有的 能量是不能突变的。如电感的磁能及电容的电能 和 分别为 都不能突变。
换路定则 设t=0为换路瞬间，则 t=0– 和t=0+ 分别是换路前后的极限时刻。从 t=0– 到 t=0+ 瞬间，电感元件中的电流和电容元件两端的电压 不能突变。可表示为
电容的放电过程也是渐变的，如图：电容放电形 成电流，电阻两端的电压等于电容的电压，电流 的存在使电容继续放电。 i 可见只要 uC 0，则 放电过程就不能停止， 但电阻的存在又不能使 R uC 电流过大，直至电容电 压 uC = 0 为止。 本章就是讨论某些处于过渡过程的电路问题，也 就是电路的暂态过程。
iL(t0 )称电感的初始状态 分析含电感电路不可少的条件
例3：电感端电压波形如图所示,已知iL(0)=1(A) 求iL(t)，并绘出iL(t)的波形。
iL (t )
us (t )
2H
u s(V)
4
uL (t )
4
0
6
2
t(s)
-4
1 t iL (t ) iL (t0 ) uL ( )d L t0
ic (t )
uc (t )
C
电容吸收的功率~
Pc (t ) uc (t )ic (t )
P c (t ) dwc (t ) dt
duc dwc (t ) pc (t )dt uc (t )ic (t )dt uc (t )C dt dt
dwc (t ) Cuc (t )duc
暂态过程的初始值
•
由于换路，电路的状态要发生变化。在t=0+时电 路中电压电流的瞬态值称为暂态电路的初始值。
初始值的确定，要依据换路定则及电路性质 来分析，也受电路约束方程的制约。 ①换路前的瞬间，将电路视为稳态 —— 电容 开路、电感短路。 ②换路后的瞬间，将电容用定值电压 uC(0–) 或电感用 i L(0–) 定值电流代替。若电路无储能， 则视电容C为短路，电感L为开路。 ③根据基尔霍夫定律计算出其它电压及电流 各量。
第二节 常见储能元件
2.1 电容元件
C
电容元件的电路符号
电容元件是实际电容器的理想化模型。在电路理论 中,电容元件只具有储存电荷(即电场能量)的作用。 2.1.1电容元件(简称电容)的定义：
如果一个二端元件A，只具有储存电荷的作用，而且在任意时 刻t 所储存的电荷q(t)决定于它的端电压u(t)，即 q(t)和 u(t) 的关系由u—q平面上的一条通过原点的曲线所决定，则称元件
A为电容元件。
电容元件是一种电荷 q(t)与电压 u(t) 相约束的元件，电荷q(t)与 电压 u(t) 之间存在代数关系。
2.1.2 电容元件的分类
电容元件是一种电荷与电压相约束的元件，电容元件的q(t)和u(t) 之间的关系是代数关系 q q t1 t2 o
u
o
u
线性时不变电容的特性曲线
线性时变电容的特性曲线
L
(t )
由法拉第电磁感应定律
d (t ) diL (t ) u L = L (t )= =L dt dt
diL u L =L dt diL uL = L dt
u 、i u 、i
取关联时
取非关联时
diL u L =L dt
u 、i
取关联时
电感VCR的微分式表明： 1) u L 的大小取决与 i L 的变化率，与 i L 的大小无关。
第2章 一阶动态电路的过渡过程
第一节 电路中的过渡过程
• 电路在一定条件下可以处于稳定状态，但 条件发生变化时电路的状态就会发生变化。并 且，任何稳定状态都是由其它状态转换来的。
• 在实际情况下，状态的转变往往不是突变 的，而需要一个过程——即过渡过程。电路中也 有过渡过程，如电路中的电容或电感等储能元件 的存在，则在电源接通后电容通过充电而升高电 压，这一过程是渐变的；电感则由于电磁感应作 用而使电流不能立即达到稳定值，也是渐变过程。
10
5
0
7 6 8
1
2 3 4
t(s)
图(a)
-10
图(b)
ic(A)
5
0
1
2 3
4 5
6
7
8
t(s)
-5
2.2.2 电容VCR的积分式
1 uc (t ) C

t

ic ( )d
duc (t ) ic (t )=C dt
1 uc (t0 ) C
电容VCR的积分式表明：

t
t0
ic ( )d
• 例
试确定如图电路在开关S闭合后的初始值。
iS iR iC
1k
iL
2k
uR
10mA
S
2k
uC
C
uL
L
解
设开关闭合前电路处于稳态，电容相当于开 路，电感相当于短路：则 t = 0–时刻
例
10mA
iS
uR
S
iR
2k
iC
1k
iL
2k
uC
C
uL
L
则 t = 0+ 时刻
第四节 一阶电路的零输入响应
例1：图(a)所示电路中 电容两端所加电压如图（b） 所示，求ic(t)、Pc(t)、 w c(t)的波形
us(v) W c(t)
0· 5 0· 25
us(t)
ic(t)
1μF
100
0· 75 1
0
t(ms)
(a)
-100
（b ）
ic(A)
40
p c(t)
0· 5
Pc(t)＞0 时w c(t)增加
uc ( t ) 0
wc (t )
1 2 Cuc duc Cuc (t ) 2
1 2 wc (t ) Cuc (t ) 2
电容的储能公式表明 1）电容在某一时刻的储能只取决于该时刻电容的 电压值u(t)。
2）电容的储能 wc(t) 0
3）当ic(t)为有限值时电容电压uc不能跃变,说明电容 的能量wc不能跃变。
零输入响应： 动态电路在换路后，外加激励为零时仅由电路
的初始状态(即初始储能)所引起的响应。 1. RC电路的零输入响应 a b S t=0 iC U0 R C uC t=t0=0 时换路
电容电流有界电 容电压不能跃变
i c（t) C
u C(t) R
t t0 =0
研究暂态电路的方法：
研究暂态过程，是要认识和掌握这种现象的规 律。 一般可以说，数学分析和实验分析是分析暂 态电路的两种方法。本章内容介绍最基本的数学 分析方法，其理论依据是欧姆定律及克希荷夫定 律。 实验分析方法，将在实验课程中应用示波器 等仪器观测暂态过程中各量随时间变化的规律。
重点讨论的问题是：（1）暂态过程随时间变 化的规律；（ 2）影响暂态过程快慢程度的时间常 数。
1）电容电压有“记忆”电流的作用。 2）如果以t0作为研究问题的起点，由uc(t0 )以及 t≥t0后的ic(t )就可确定t≥t0 后任意时刻的uc(t )。
uc(t0 )称电容的初始状态 分析含电容电路不可少的条件
例2：如图(a)所示电路中 is(t)的波形如图(b)所示，且 已知uc(0)=0。求t0时的电容电压uc(t)并绘出波形。 i s (t)
电容的单位：
1F = 1C / 1V
1法拉=1库仑/1伏特
2.2 电容元件的VCR
2.2.1 电容VCR的微分式
q(t ) cu (t )
ic (t )
uc (t )
q(t )
C
duc (t ) ic (t )=C dt
u 、i
取关联时
duc (t ) u 、i ic (t ) C dt
Pc(t)＜0 时w c(t)减少
0.4
0
1
t(ms)
-0.4 -40
2. 5 电感元件
L 电感元件的电路符号
电感元件是实际电感线圈的理想化模型。在电路 理论中，电感元件只具有储存磁场能量的作用。
2.5.1、电感元件(简称电感)的定义：
如果一个二端元件A，只具有储存磁场能量的作用，而且在任 意时刻t 其磁链Ψ(t)决定于流过它的电流i(t)，即Ψ(t)和i(t) 的关系由i —Ψ平面上的一条通过原点的曲线所决定，则称元 件A为电感元件。
ic(A)
u c (t)
图(a) 0.5F 1
0
1 2 3 图(b)
t(s)
1 uc (t ) uc (t0 ) C

t
t0
ic ( )d
uc(v) 4 2
0 1 2 3 4
t(s)
2.3 电容电压的连续性和记忆性
电容电压的连续性质（又称电容的惯性）
若电容电流ic(t )在闭区间[ta,tb]上有界，则电容 电压uc(t)在开区间(ta,tb)内连续。即对于(ta,tb)内
取非关联时
电容VCR的微分式表明：
1) ic 的大小取决与uc 的变化率，与uc 的大小无关。
du c = 0时 2）当 dt
ic (t ) = 0
说明电容对直流相当于开路
例1：如图(a)所示电路中 us(t)的波形如图(b)所 示，求电容电流ic(t)
us(v)
u s(t )
i c( t )
C 0.5F
的任意时刻t，恒有
uc(t- )=uc(t+)= uc(t) （证略）
结论：若电容电流有界，则电容电压不能跃变(即只能连续变化）
i s (t)
ic(A)
u c (t)
0.5F 1
0
uc(v)
4 2
1
2
3
t(s)
0
1 2 3 4
t(s)
电容电压的连续性质是分析含电容电路的重要概念。
2.4
电容的储能 当u 、i 关联时
i L(A)
结论：若电感电压有界，则电感电流不能跃变，即只能连续变化。
4
0
us(V)
4 2 6
5
t(s)
3 1
0
-4
2
4
6
t(s)
电感电流的连续性质是分析含电感元件电路的重要概念。
2.8 电感的储能
iL (t )
uL (t )
L
当u 、i 关联时
电感吸收的功率~ P L (t ) uL (t )iL (t )
dt di dwL (t ) pL (t )dt iL (t )u L (t )dt iL (t ) L dt dt dwL (t ) LiL (t )diL
wL (t )
iL ( t ) 0
PL (t )
dwL (t )
1 2 LiL diL LiL (t ) 2
1 2 wL (t ) LiL (t ) 2
电感的储能公式表明
1）电感在某一时刻的储能只取决于该时刻电 感的电流值iL(t)。 2）电感的储能wL(t) 0 3）当uL为有限值时iL不能跃变，说明wL不能跃变。
2.9 电容与电感的对偶关系。
C 和L 称为对偶元件。 对偶元素： u i 、 q 、C L等
若把 u i 、 q 、C L等对偶元素 互换,可由电容元 件的关系式得到电感元件的相应关系式