高考总复习数学课件：第八章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
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2020版高考数学第八章立体几何第5讲直线、平面垂直的判定与性质课件
2.
①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； ②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0°的角； ③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线 a，b，c，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c.( (2)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( α，则 n⊥α.( 一个平面．( ) ) ) )
直线与平面所成的角(师生共研)
(2019· 青海模拟)如图，正四棱锥 PABCD 的体积为 2， 底面积为 6，E 为侧棱 PC 的中点，则直线 BE 与平面 PAC 所 成的角为( )
A．60° C．45°
B．30° D．90°
【解析】 如图，正四棱锥 PABCD 中，根据底面积 为 6 可得， BC＝ 6.连接 BD， 交 AC 于点 O， 连接 PO， 则 PO 为正四棱锥 PABCD 的高， 根据体积公式可得， PO＝1.因为 PO⊥底面 ABCD，所以 PO⊥BD，又 BD⊥AC，PO ∩AC＝O，所以 BD⊥平面 PAC，连接 EO，则∠BEO 为直线 BE 与平面 PAC 所成的角．在 Rt△POA 中，因为 PO＝1，OA＝ 3， 1 所以 PA＝2，OE＝2PA＝1，在 Rt△BOE 中，因为 BO＝ 3，所 BO 以 tan∠BEO＝OE＝ 3，即∠BEO＝60°.
2 ． (2019· 安徽省知名示范高中联考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D 为 AC 上的 点，B1C∥平面 A1BD. (1)求证：BD⊥平面 A1ACC1； (2)若 AB＝1，且 AC· AD＝1，求三棱锥 ABCB1 的体积．
解：(1)如图，连接 ED， 因为平面 AB1C∩平面 A1BD＝ED，B1C∥平面 A1BD， 所以 B1C∥ED， 因为 E 为 AB1 的中点，所以 D 为 AC 的中点， 因为 AB＝BC，所以 BD⊥AC，① 由 A1A⊥平面 ABC，BD⊂平面 ABC，得 A1A⊥BD，② 由①②及 A1A，AC 是平面 A1ACC1 内的两条相交直线． 得 BD⊥平面 A1ACC1.
①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角； ②直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是 0°的角； ③当直线与平面斜交时，它们所成的角是锐角．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知直线 a，b，c，若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c.( (2)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( α，则 n⊥α.( 一个平面．( ) ) ) )
直线与平面所成的角(师生共研)
(2019· 青海模拟)如图，正四棱锥 PABCD 的体积为 2， 底面积为 6，E 为侧棱 PC 的中点，则直线 BE 与平面 PAC 所 成的角为( )
A．60° C．45°
B．30° D．90°
【解析】 如图，正四棱锥 PABCD 中，根据底面积 为 6 可得， BC＝ 6.连接 BD， 交 AC 于点 O， 连接 PO， 则 PO 为正四棱锥 PABCD 的高， 根据体积公式可得， PO＝1.因为 PO⊥底面 ABCD，所以 PO⊥BD，又 BD⊥AC，PO ∩AC＝O，所以 BD⊥平面 PAC，连接 EO，则∠BEO 为直线 BE 与平面 PAC 所成的角．在 Rt△POA 中，因为 PO＝1，OA＝ 3， 1 所以 PA＝2，OE＝2PA＝1，在 Rt△BOE 中，因为 BO＝ 3，所 BO 以 tan∠BEO＝OE＝ 3，即∠BEO＝60°.
2 ． (2019· 安徽省知名示范高中联考)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，AB＝BC＝BB1，AB1∩A1B＝E，D 为 AC 上的 点，B1C∥平面 A1BD. (1)求证：BD⊥平面 A1ACC1； (2)若 AB＝1，且 AC· AD＝1，求三棱锥 ABCB1 的体积．
解：(1)如图，连接 ED， 因为平面 AB1C∩平面 A1BD＝ED，B1C∥平面 A1BD， 所以 B1C∥ED， 因为 E 为 AB1 的中点，所以 D 为 AC 的中点， 因为 AB＝BC，所以 BD⊥AC，① 由 A1A⊥平面 ABC，BD⊂平面 ABC，得 A1A⊥BD，② 由①②及 A1A，AC 是平面 A1ACC1 内的两条相交直线． 得 BD⊥平面 A1ACC1.
新高考数学通用版总复习一轮课件第八章第5讲直线平面垂直的判定与性质
＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使点M
到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
(2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段
BC 上一点，且 BP＝DQ＝23DA，求三棱 锥 Q-ABP 的体积.
图 8-5-3
(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC. 又 BA⊥AD，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC，所以平面 ACD⊥平面 ABC.
∵BC＝2，∴CC1＝2 2.
则该长方体的体积为 22×2 2＝8 2.
(1)如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m.正确. (2)如果 l⊥α，l⊥m，则 m∥α.不正确，有可能 m 在平面α 内. (3)如果 l⊥m，m∥α，则 l⊥α.不正确，有可能 l 与α斜交、 l∥α. 答案：如果 l⊥α，m∥α，则 l⊥m
考点 1 直线与平面垂直的判定与性质 自主练习 1.如图 8-5-1，PA ⊥⊙O 所在平面，AB 是⊙O 的直径，C 是 ⊙O 上一点，AE⊥PC，AF⊥PB.给出下列结论：①AE⊥BC； ②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面 PBC.其中真命题的序号是 __________.
【题后反思】(1)证明线面平行，一般利用线面平行判定定 理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往 往结合平面几何知识.
(2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，线面垂直的 证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，线线垂直的 证明有时需要利用平面几何条件.
(3)求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂 直的性质定理得到线面垂直，再结合三角形可求得线面角.
由(1)B1C1⊥平面 A1AMN，
2021届高考数学一轮总复习第8章立体几何第5节直线平面垂直的判定及性质课件文ppt
解析：选 B 由题意得 BC⊥AC，因为 VA⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，所以 VA⊥BC. 因为 AC∩VA＝A，所以 BC⊥平面 VAC.因为 BC⊂平面 VBC，所以平面 VAC⊥平面 VBC. 故选 B.
5．设平面 α 与平面 β 相交于直线 m，直线 a 在平面 α 内，直线 b 在平面 β 内，且 b⊥m， 则“α⊥β”是“a⊥b”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既 不充分也不必要”)条件．
‖基础自测‖ 一、疑误辨析 1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α.( ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( ) (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直线，则 α⊥β.( )
②中，连接 A1C1，EC1，在△A1EC1 中，∠EA1C1 不是直角，所以 A1E 与 AC 不垂直， 所以②不正确；
③在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BD⊥平面 ACC1A1，而 A1E⊄平面 ACC1A1，所以 A1E 与 BD 不垂直，所以③不正确；
④在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，BC1⊥平面 A1B1CD，A1E⊂平面 A1B1CD，所以 A1E ⊥BC1，故正确结论的序号为④.
解析：选 A 因为 DD1⊥平面 ABCD，所以 AC⊥DD1. 又因为 AC⊥BD，DD1∩BD＝D， 所以 AC⊥平面 BDD1B1. 因为 OM⊂平面 BDD1B1，所以 OM⊥AC. 设正方体的棱长为 2， 则 OM＝ 1＋2＝ 3，MN＝ 1＋1＝ 2， ON＝ 1＋4＝ 5， 所以 OM2＋MN2＝ON2，所以 OM⊥MN.故选 A.
高考数学一轮总复习第八章立体几何5直线平面垂直的判定及性质课件理
第十一页，共59页。
4．空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC，
BD 的关系是( )
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
答案 C 解析 取 BD 的中点 E，连接 AE，CE.因为 AB＝AD＝BC＝CD， 所以 AE⊥BD，CE⊥BD.所以 BD⊥平面 AEC.又 AC⊂平面 AEC， 所以 BD⊥AC.故选 C.
＝
1 2
×
4
×
4
×
3 2
×
6
－
12
3＝
12 3. 【答案】 ①略 ②12 3
第三十五页，共59页。
★状元笔记★ (1)证明面面垂直的方法 证明两平面垂直常转化为线面垂直，利用判定定理来证 明．也可作出二面角的平面角，证明平面角为直角，利用定义来 证明． (2)面面垂直的性质 已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂 线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于 是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时 垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
第三十四页，共59页。
②解：四棱锥 A1－EB1C1C 的高为 h＝4sin60°＝2 3，底面 为直角梯形，面积为 S＝12×(3＋6)×4＝18，得 VA1－EB1C1C＝13 ×2 3×18＝12 3，故几何体 AA1EBC 的体积为 VAA1EBC＝
VABC
－
A1B1C1
－
VA1
－
EB1C1C
第三十一页，共59页。
(2)(2018·四川成都二诊)如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， AB＝4，AA1＝6，E，F 分别为 BB1，AC 的中点．
高考备考指南理科数学课件第8章第5讲直线、平面垂直的判定与性质
理科数学
【解析】(1)证明：设BD的中点为O，连接AO，EO，如图所示．
因为AB＝AD，所以AO⊥BD．
又E为BC的中点，所以EO∥CD．
因为CD⊥BD，所以EO⊥BD．
又OA∩OE＝O，所以BD⊥平面AOE.
又AE⊂平面AOE，所以AE⊥BD．
(2)由已知得三棱锥D－ABC与C－ABD的体积相等． 因为CD⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，
(2)由(1)得AD⊥BD，所以S△ADB＝12×2×2 3＝2 3.
因为三棱锥B－ACD的高BC＝2 2，S△ACD＝12×2×2＝2，
所以13×2 3h＝13×2×2 2，解得h＝236.
栏目索引
所以三棱锥C－ABD的高为2
3
6 .
第八章 立体几何
高考备考指南
理科数学
平面与平面垂直的判定与性质
(2)求三棱锥C－ABD的高．
栏目索引
第八章 立体几何
高考备考指南
理科数学
【解析】(1)证明：由已知得AC＝2 2 ，BC＝2 2 ，又AB＝4，所以AC2＋BC2
＝AB2，所以AC⊥BC．又因为平面ADC⊥平面ABC，所以BC⊥平面ACD．所以 AD⊥BC．
又AD⊥CD，BC∩CD＝C，所以AD⊥平面BCD．
理科数学
【考纲导学】 1．以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂 直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理． 2．能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系 的简单命题．
栏目索引
第八章 立体几何
栏目导航
01 课前 基础诊断
02 课堂 考点突破
栏目索引
所以CD⊥平面ABD，BD＝ BC2－CD2＝2 3.
2018高考总复习数学(理科)课件：第八章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
基础诊断
考点突破
课堂总结
1．直线与平面垂直 项目 图形 条件 结论
a⊥b，b⊂α(b 为α内的任意直线)
判定
a⊥α
a⊥m，a⊥n，m，n⊂α，m∩n＝O a⊥α a∥b，a⊥α
基础诊断 考点突破
b⊥α
课堂总结
(续表) 项目 图形 条件 结论
a⊥α，b⊂α
性质
a⊥b
a⊥α，b⊥α
a∥b基础诊断来自考点突破∴AP⊥CD.因此 AP⊥BE.
∵四边形 ABCE 为菱形，
∴BE⊥AC.
又 AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面 PAC ，
∴BE⊥平面 PAC .
基础诊断 考点突破 课堂总结
【规律方法】直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与
平面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，通过直线与平
面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题．出现中点时，
考点分布
考情风向标
2011年大纲卷第8题考查直二面角的有关 1．垂直是立体几何的必 计算； 考题目，且几乎每年都 2011 年新课标卷第 18 题 (1)以四棱锥为背 有一个解答题出现，所 景，证明线线垂直； 以是高考的热点，是复 2012年新课标卷第19题 (1)以三棱柱为背 习的重点．纵观历年来 景，证明面面垂直； 的高考题，立体几何中 2013 年大纲卷第 11 题考查线面所成的角； 没有难度过大的题，所 2013 年新课标卷Ⅱ第 18 题考查直线与平 以复习要抓好三基：基 面的位置关系； 础知识，基本方法，基 2013年新课标卷Ⅰ第19题(1)以三棱柱为 本能力． 2．要重视和研究数学思 背景，证明线线垂直； 2014年新课标卷Ⅰ第19题 (1)以三棱柱为 想、数学方法．在本节 背景，证明线线垂直； (2)考查线面位置 中“化归”思想尤为重 判定定理、性质定理及求三棱柱的高； 要，不论何种“垂直” 2015年新课标卷Ⅰ第18题(1)以四棱锥为 都要化归到“线线垂直 背景，证明面面垂直； ”，观察与分析几何体 2016 年江苏卷、天津卷考查平行与垂直 中线与线的关系是解题 的证明 的突破口
高考文数一轮复习课件：第八章立体几何第五节直线、平面垂直的判定与性质
1.给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两个平面互相平行; ②垂直于同一平面的两个平面互相平行; ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相 互平行; ④若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线,那么这条直线垂直于 这个平面.
其中真命题的个数是 ( B )
A.1 B.2 C.3 D.4
垂直于同一个平面的两条ห้องสมุดไป่ตู้线⑦ 平行
⑧ a ⇒ a ∥ b ⑨ b
与“直线与平面垂直”有关的结论 (1)直线与平面垂直的定义常常逆用,即a⊥α,b⊂α⇒a⊥b.
(2)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于该平
面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
垂直.
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理
文字语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的② 两条相交直线 都 垂直,则该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言
③ a、b ④ a b O ⇒ l ⊥ α ⑤ l a ⑥ l b
性质 定理
∴AB∥l.
(3)∵C'D⊥BD,C'D⊥DE,ED∩BD=D, ∴C'D⊥平面BDE.
S C= C 'F , 1 ∵ = ' DF S
0, 2 .
3.二面角的有关概念
(1)二面角:从一条直线出发的 面角. (2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分 别作 平面角. 垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的 两个半平面 所组成的图形叫做二
4.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质课件 文
12/11/2021
所以 A1C1⊥B1D1． 又 B1D1∩BB1＝B1，所以 A1C1⊥平面 BB1D1D． 又 BD1⊂平面 BB1D1D，所以 A1C1⊥BD1． 同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1， 所以 BD1⊥平面 A1C1D．② 由①②可知 EF∥BD1．
12/11/2021
12/11/2021
由 AC⊥平面 DBE，易知 AC⊥BD，故②正确； 因为 DE 为三棱锥 D-ABC 的高， 所以 V 三棱锥 D-ABC＝13S△ABC·DE ＝13×12×1×1× 22＝122，故③正确． 答案：①②③
12/11/2021
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 为棱 CD 的中点，则( )
2．(必修 2 P69 例 3 改编)如图，AB 是⊙O 的 直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆 周上不同于 A，B 的任意一点． (1)求证：平面 PAC⊥平面 PBC； (2)若 PA＝AC，D 为 PC 的中点．求证：PB⊥AD．
12/11/2021
证明：(1)设⊙O 所在的平面为 α， 由已知条件 PA⊥α，BC 在 α 内，所以 PA⊥BC． 因为点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点， AB 是⊙O 的直径， 所以∠BCA 是直角，即 BC⊥AC． 又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线，所以 BC⊥平面 PAC． 又因为 BC 在平面 PBC 内， 所以平面 PAC⊥平面 PBC．
2．如图，在四面体 ABCD 中，平面 BAD⊥ 平面 CAD，∠BAD＝90°．M，N，Q 分 别为棱 AD，BD，AC 的中点． (1)求证：CD∥平面 MNQ; (2)求证：平面 MNQ⊥平面 CAD．
所以 A1C1⊥B1D1． 又 B1D1∩BB1＝B1，所以 A1C1⊥平面 BB1D1D． 又 BD1⊂平面 BB1D1D，所以 A1C1⊥BD1． 同理，DC1⊥BD1，DC1∩A1C1＝C1， 所以 BD1⊥平面 A1C1D．② 由①②可知 EF∥BD1．
12/11/2021
12/11/2021
由 AC⊥平面 DBE，易知 AC⊥BD，故②正确； 因为 DE 为三棱锥 D-ABC 的高， 所以 V 三棱锥 D-ABC＝13S△ABC·DE ＝13×12×1×1× 22＝122，故③正确． 答案：①②③
12/11/2021
考点一 直线与平面垂直的判定与性质
(1)(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 为棱 CD 的中点，则( )
2．(必修 2 P69 例 3 改编)如图，AB 是⊙O 的 直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆 周上不同于 A，B 的任意一点． (1)求证：平面 PAC⊥平面 PBC； (2)若 PA＝AC，D 为 PC 的中点．求证：PB⊥AD．
12/11/2021
证明：(1)设⊙O 所在的平面为 α， 由已知条件 PA⊥α，BC 在 α 内，所以 PA⊥BC． 因为点 C 是圆周上不同于 A，B 的任意一点， AB 是⊙O 的直径， 所以∠BCA 是直角，即 BC⊥AC． 又因为 PA 与 AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线，所以 BC⊥平面 PAC． 又因为 BC 在平面 PBC 内， 所以平面 PAC⊥平面 PBC．
2．如图，在四面体 ABCD 中，平面 BAD⊥ 平面 CAD，∠BAD＝90°．M，N，Q 分 别为棱 AD，BD，AC 的中点． (1)求证：CD∥平面 MNQ; (2)求证：平面 MNQ⊥平面 CAD．
第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 (高中数学精品课件PPT)
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5．已知 PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，连接 PB，PC， PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有_____7___对． 解析：如图，由于 PD⊥平面 ABCD，故平面 PDA⊥平面 ABCD，平面 PDB⊥平面 ABCD， 平面 PDC⊥平面 ABCD，平面 PDA⊥平面 PDC，平面 PAC⊥平 面 PDB，平面 PAB⊥平面 PDA, 平面 PBC⊥平面 PDC，共 7 对．
∴四边形 MEFD 是平行四边形，∴EF∥MD. ∵PD＝AD，∴MD⊥PA.∵AB⊥平面 PAD，∴MD⊥AB. ∵PA∩AB＝A，∴MD⊥平面 PAB， ∴EF⊥平面 PAB.
考法(二) 证明线线垂直
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[例 2] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，P 为 D1D 的中点， O 为底面 ABCD 的中心，求证：B1O⊥AP.
这个平面． 4．若一条直线和两个不重合的平面都垂直，那么这两个平面
平行．
5．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．
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[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)垂直于同一个平面的两平面平行．
( ×)
(2)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一
平面 α 互相垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理定和义性中质强定调理的是：“任意一条直线”，
它与“所有直线”是同义的，但与
文字语言
“无图数形条语直言线”不同符，号定语义言的实质是
判定 定理
一条直线与一个平 面内的两条相交直 线都垂直❷，则该直
直线与平面内的所有a直，线b⊂都α垂直．
a∩b＝O
2016年高考数学总复习课件：第八章 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
由AA11BB11⊥ ⊥BB11CB1， ⇒AB1CB11⊂⊥平平面面BBCCCC11BB11.， ∴AB1CB11⊥⊥BB1CC1.， ∴BC1⊥平面 A1B1CD. ∴A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影． ∴∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角． 在 Rt△A1BO 中，A1B＝ 2a，OB＝ 22a， 则 sin∠BA1O＝AO1BB＝12.
第二页，编辑于星期五：二十三点 二十九分。
1．线面垂直与面面垂直
如果一条直线和平面内的任意一条直线都 定义 ___垂__直___，那么该直线与平面垂直
直线 判定 1 a 与α内任何直线都垂直⇒a⊥α
与平 面垂 判定 2
⇒l⊥α
直 判定 3 a∥b，a⊥α⇒b⊥α
判定 4 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图 D38
第二十三页，编辑于星期五：二十三点 二十九 分。
BD⊥AC， ∵BD⊥AA1，
AC∩AA1＝A
⇒BCDH⊥⊂平平面面AACCCC11AA11，
CH⊥BD， ⇒CH⊥C1O，
BD∩C1O＝O
⇒CH⊥平面 C1BD. ∴∠HDC 为 CD 与平面 BDC1 所成的角．
设 AA1＝2AB＝2，则 OC＝A2C＝ 22，
又 AE＝AB，则 ABCE 为菱形． ∴O 为 AC 的中点．
图 D37
又 F 是 PC 的中点，∴在△PAC 中，PA∥OF. ∵OF⊂平面 BEF，且 PA 平面 BEF， ∴AP∥平面 BEF.
第十页，编辑于星期五：二十三点 二十九分。
(2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC，
∴四边形 BCDE 为平行四边形． 因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD， ∴AP⊥CD，因此 AP⊥BE.
2020版数学新攻略总复习课标通用课件：第八章 -第五节 直线、平面垂直的判定与性质
第十六页，编辑于星期日：一点 二十三分。
又O为AC的中点, 所以OB⊥AC,OB= 1AC=2.
2
由OP2+OB2=PB2知,OP⊥OB. 由OP⊥OB,OP⊥AC,OB∩AC=O知,PO⊥平面ABC. (2)作CH⊥OM,垂足为H,又由(1)可得OP⊥CH, 所以CH⊥平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离.
栏目索引
第五节 直线、平面垂直
的判定与性质
第一页，编辑于星期日：一点 二十三分。
教 1.直线与平面垂直
材
研
2.平面与平面垂直
读 3.与垂直有关的四个常用结论
总纲目录 栏目索引
第二页，编辑于星期日：一点 二十三分。
总纲目录 栏目索引
考 考点一 直线与平面垂直的判定与性质
点 突 考点二 平面与平面垂直的判定与性质
第二十一页，编辑于星期日：一点 二十三分。
考点突破 栏目索引
1-2 如图,AC是圆O的直径,点B在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC交AC于 点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1. (1)证明:EM⊥BF; (2)求三棱锥E-BMF的体积.
第二十二页，编辑于星期日：一点 二十三分。
答案 C 对于选项A,α⊥β且m⊂α,可得m∥β或m与β相交或m⊂β,故A 不成立;对于选项B,α⊥β且m∥α,可得m⊂β或m∥β或m与β相交,故B不成 立;对于选项C,m∥n且n⊥β,则m⊥β,故C正确;对于选项D,由m⊥n且n∥ β,可得m∥β或m与β相交或m⊂β,故D不成立.故选C.
第十二页，编辑于星期日：一点 二十三分。
(1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.
第八章 第5节 直线、平面垂直的判定及其性质.pptx
a∩b＝O ⇒l⊥α
____ab__⊂_⊂___αα______
____ab__⊥⊥____αα______⇒a∥b
3
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直__二__面__角__，就说这两个平面互相垂直.
4
知识衍化体验
证明 (1)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1. 因为AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C. (2)在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形. 又因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1为菱形， 因此AB1⊥A1B. 又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC. 又因为A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因为AB1⊂平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.
28
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
考点三 平行与垂直的综合问题
多维探究
角度1 多面体中平行与垂直关系的证明
【例3－1】 (2018·北京卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面
PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.
(1)求证：PE⊥BC； (2)求证：平面PAB⊥平面PCD； (3)求证：EF∥平面PCD.
5
知识衍化体验
考点聚焦突破
[常用结论与易错提醒] 1.垂直关系的转化
@《创新设计》
6
知识衍化体验
考点聚焦突破
@《创新设计》
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图 8-5-4
(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD ，从而 AB⊥平面 PAD . 又 AB⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD . (2)解：如图 D60，在平面 PAD 内作 PE⊥AD，垂足为 E，
图 D60
由(1)知，AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PE，可得 PE⊥平面 ABCD.
又 AE＝AB，则 ABCE 为菱形. ∴O 为 AC 的中点. 又 F 是 PC 的中点， ∴在△PAC 中，PA ∥OF. ∵OF⊂平面 BEF，且 PA 平面 BEF， ∴AP∥平面 BEF. (2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC， ∴四边形 BCDE 为平行四边形. 因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD，
往结合平面几何知识，如本题构造一个平行四边形：取 BD 的 中点为 O，可证四边形 OGFE 是平行四边形，从而得出 FG∥
OE. (2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直
的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂 直的证明有时需要利用平面几何条件，如本题可由余弦定理解 出∠ADB＝90°，即 BD⊥AD.
设 AB＝x，则由已知可得 AD＝
2x，PE＝
2 2 x.
故四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD＝13AB·AD·PE＝13x3.
由题设，得13x3＝83，故 x＝2.
从而 PA＝PD＝2，AD＝BC＝2 2，PB＝PC＝2 2.
可得四棱锥 P-ABCD 的侧面积为
12PA·PD＋12PA·AB＋12PD·DC＋12BC2sin 60°＝6＋2 3.
2013 年新课标Ⅱ第 18 题考查直线与平面 纵观历年来的高考题，立
的位置关系；
体几何中没有难度过大的
2013 年新课标Ⅰ第 19 题(1)以三棱柱为背 题，所以复习要抓好三基：
景，证明线线垂直；
基础知识，基本方法，基
2014 年新课标Ⅰ第 19 题(1)以三棱柱为背 本能力.
景，证明线线垂直；(2)考查线面位置判定 2.要重视和研究数学思想、
(2)证明：在△ABD 中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由 余弦定理可得 BD＝ 3 .
进而可得∠ADB＝90°，即 BD⊥AD. 又因为平面 AED⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， 平面 AED∩平面 ABCD＝AD， 所以 BD⊥平面 AED. 又因为 BD⊂平面 BED， 所以平面 BED⊥平面 AED.
∴AP⊥CD.因此 AP⊥BE. ∵四边形 ABCE 为菱形， ∴BE⊥AC. 又 AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面 PAC ， ∴BE⊥平面 PAC . 【规律方法】直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与 平面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，通过直线与平 面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时，平 行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆 周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角.
(3)求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂 直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，则 AH⊥平面 BED，从而直线 AB 与平面 BED 所成 角即为∠ABH.再结合三角形可求得正弦值.
【互动探究】 3.如图 8-5-7，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，各棱长都相等，侧 棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________.
(3)解：因为 EF∥AB，所以直线 EF 与平面 BED 所成角即 为直线 AB 与平面 BED 所成角.
过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，连接 BH，又因为平面 BED∩ 平面 AED＝ED，由(2)知 AH⊥平面 BED.
所以直线 AB 与平面 BED 所成角即为∠ABH.
在△ADE 中，AD＝1，DE＝3，AE＝ 6，
A.α∥β，且 l∥α B.α⊥β，且 l⊥β C.α与β相交，且交线垂直于 l D.α与β相交，且交线平行于 l 解析：根据所给的已知条件作图，如图 D58.由图可知α与β 相交，且交线平行于 l.故选 D.
图 D58
考点 1 直线与平面垂直的判定与性质 例 1：(2014 年山东)如图 8-5-2，在四棱锥 P-ABCD 中，AP
定理、性质定理及求三棱柱的高；
数学方法 . 在本节中“化
2015 年新课标Ⅰ第 18 题(1)以四棱锥为背 归”思想尤为重要，不论
景，证明面面垂直；
何种“垂直”都要化归到
2016 年江苏第 16 题、天津第 17 题考查 “线线垂直”，观察与分
平行与垂直的证明；
析几何体中线与线的关系
2017 年新课标Ⅰ第 18 题考查面面垂直及 是解题的突破口
性质 定理
如果两个平面垂直， 那么在一个平面内 垂直于它们交线的 直线垂直于另一个 平面
图形语言
符号语言
l⊂β， l⊥α
⇒α⊥β
α⊥β，
α∩β＝a， l⊂β，
⇒
l⊥a
l⊥α
3.直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所 成的角等于 0°. (2)如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等于 90°. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条 斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°).斜线与平面所成的 线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小 的角.
3
图 D61
4.(2016 年安徽皖南八校联考) 四棱锥 V-ABCD 中，底面
ABCD 是边长为 2 的正方形，其他四个侧面的腰长为 3 的等腰
【规律方法】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想 的常见类型.
①证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. ②证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. ③证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. ④证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证 明线线垂直.
【互动探究】 2.如图 8-5-5，在立体图形 D-ABC 中，若 AB＝CB，AD＝ CD，E 是 AC 的中点，则下列结论正确的是( )
线与另一个平面垂直. 3.能运用公理、定理和已获得 的结论证明一些空间图形的位 置关系的简单命题
2011 年新课标第 18 题(1)以四棱锥为背
景，证明线线垂直；
1.垂直是立体几何的必考
2012 年新课标第 19 题(1)以三棱柱为背 题目，且几乎每年都有一
景，证明面面垂直；
个解答题出现，所以是高
2013 年大纲第 11 题考查线面所成的角； 考的热点，是复习的重点.
答案：C
考点 2 平面与平面垂直的判定与性质 例 2：(2017 年新课标Ⅰ)如图 8-5-4，在四棱锥 P-ABCD 中， AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD ； (2)若 PA ＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.
A.A1E⊥DC1 C.A1E⊥BC1
B.A1E⊥BD D.A1E⊥AC
3.如图 8-5-1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列结论中正 确的个数是( D )
图 81；③BD1⊥B1C.
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
4.(2013 年新课标Ⅱ)已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n ⊥平面β.直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l α，l β，则( D )
第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.理解以下判定定理. ◆如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直，那么
该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平 面的垂线，那么这两个平面互
相垂直. 2.理解以下性质定理，并能够 证明. ◆垂直于同一个平面的两条直 线平行. ◆如果两个平面垂直，那么一 个平面内垂直于它们交线的直
4.二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角.从 二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是 直角的二面角叫做直二面角.
1.垂直于同一条直线的两条直线一定( D )
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上都有可能
2.(2017 年新课标Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( C )
⊥平面 PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F 分别为线段 AD，
PC 的中点.求证： (1)AP∥平面 BEF； (2)BE⊥平面 PAC.
图 8-5-2
证明：(1)如图 D59，
图 D59 设 AC∩BE＝O，连接 OF，EC. 由于 E 为 AD 的中点， AB＝BC＝12AD，AD∥BC. ∴AE BC.∴四边形 ABCE 为平行四边形.
(1)证明：取 BD 的中点为 O，连接 OE，OG. 在△BCD 中，因为 G 是 BC 的中点，
所以 OG∥DC，且 OG＝12DC＝1. 又因为 EF∥AB，AB∥DC， 所以 EF∥OG，且 EF＝OG， 即四边形 OGFE 是平行四边形. 所以 FG∥OE. 又 FG 平面 BED，OE⊂平面 BED， 所以 FG∥平面 BED.
图 8-5-7
解析：如图 D61，取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，则 AE ⊥平面 BB1C1C.所以∠ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.
设三棱柱的所有棱长为 a，
在 Rt△AED 中，AE＝ 23a，DE＝a2. 所以 tan∠ADE＝DAEE＝ 3， 则∠ADE＝π3. 故 AD 与平面 BB1C1C 所成的角为π3. 答案： π
图 8-5-5 A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE
(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD ，从而 AB⊥平面 PAD . 又 AB⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD . (2)解：如图 D60，在平面 PAD 内作 PE⊥AD，垂足为 E，
图 D60
由(1)知，AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PE，可得 PE⊥平面 ABCD.
又 AE＝AB，则 ABCE 为菱形. ∴O 为 AC 的中点. 又 F 是 PC 的中点， ∴在△PAC 中，PA ∥OF. ∵OF⊂平面 BEF，且 PA 平面 BEF， ∴AP∥平面 BEF. (2)由题意知，ED∥BC，ED＝BC， ∴四边形 BCDE 为平行四边形. 因此 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD，
往结合平面几何知识，如本题构造一个平行四边形：取 BD 的 中点为 O，可证四边形 OGFE 是平行四边形，从而得出 FG∥
OE. (2)面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直
的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂 直的证明有时需要利用平面几何条件，如本题可由余弦定理解 出∠ADB＝90°，即 BD⊥AD.
设 AB＝x，则由已知可得 AD＝
2x，PE＝
2 2 x.
故四棱锥 P-ABCD 的体积 VP-ABCD＝13AB·AD·PE＝13x3.
由题设，得13x3＝83，故 x＝2.
从而 PA＝PD＝2，AD＝BC＝2 2，PB＝PC＝2 2.
可得四棱锥 P-ABCD 的侧面积为
12PA·PD＋12PA·AB＋12PD·DC＋12BC2sin 60°＝6＋2 3.
2013 年新课标Ⅱ第 18 题考查直线与平面 纵观历年来的高考题，立
的位置关系；
体几何中没有难度过大的
2013 年新课标Ⅰ第 19 题(1)以三棱柱为背 题，所以复习要抓好三基：
景，证明线线垂直；
基础知识，基本方法，基
2014 年新课标Ⅰ第 19 题(1)以三棱柱为背 本能力.
景，证明线线垂直；(2)考查线面位置判定 2.要重视和研究数学思想、
(2)证明：在△ABD 中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，由 余弦定理可得 BD＝ 3 .
进而可得∠ADB＝90°，即 BD⊥AD. 又因为平面 AED⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， 平面 AED∩平面 ABCD＝AD， 所以 BD⊥平面 AED. 又因为 BD⊂平面 BED， 所以平面 BED⊥平面 AED.
∴AP⊥CD.因此 AP⊥BE. ∵四边形 ABCE 为菱形， ∴BE⊥AC. 又 AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面 PAC ， ∴BE⊥平面 PAC . 【规律方法】直线与直线垂直⇒直线与平面垂直⇒平面与 平面垂直⇒直线与平面垂直⇒直线与直线垂直，通过直线与平 面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时，平 行要联想到三角形中位线，垂直要联想到三角形的高；出现圆 周上的点时，联想到直径所对的圆周角为直角.
(3)求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂 直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，则 AH⊥平面 BED，从而直线 AB 与平面 BED 所成 角即为∠ABH.再结合三角形可求得正弦值.
【互动探究】 3.如图 8-5-7，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，各棱长都相等，侧 棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________.
(3)解：因为 EF∥AB，所以直线 EF 与平面 BED 所成角即 为直线 AB 与平面 BED 所成角.
过点 A 作 AH⊥DE 于点 H，连接 BH，又因为平面 BED∩ 平面 AED＝ED，由(2)知 AH⊥平面 BED.
所以直线 AB 与平面 BED 所成角即为∠ABH.
在△ADE 中，AD＝1，DE＝3，AE＝ 6，
A.α∥β，且 l∥α B.α⊥β，且 l⊥β C.α与β相交，且交线垂直于 l D.α与β相交，且交线平行于 l 解析：根据所给的已知条件作图，如图 D58.由图可知α与β 相交，且交线平行于 l.故选 D.
图 D58
考点 1 直线与平面垂直的判定与性质 例 1：(2014 年山东)如图 8-5-2，在四棱锥 P-ABCD 中，AP
定理、性质定理及求三棱柱的高；
数学方法 . 在本节中“化
2015 年新课标Ⅰ第 18 题(1)以四棱锥为背 归”思想尤为重要，不论
景，证明面面垂直；
何种“垂直”都要化归到
2016 年江苏第 16 题、天津第 17 题考查 “线线垂直”，观察与分
平行与垂直的证明；
析几何体中线与线的关系
2017 年新课标Ⅰ第 18 题考查面面垂直及 是解题的突破口
性质 定理
如果两个平面垂直， 那么在一个平面内 垂直于它们交线的 直线垂直于另一个 平面
图形语言
符号语言
l⊂β， l⊥α
⇒α⊥β
α⊥β，
α∩β＝a， l⊂β，
⇒
l⊥a
l⊥α
3.直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内，那么直线与平面所 成的角等于 0°. (2)如果直线和平面垂直，那么直线与平面所成的角等于 90°. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条 斜线与平面所成的角，其范围是(0°，90°).斜线与平面所成的 线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小 的角.
3
图 D61
4.(2016 年安徽皖南八校联考) 四棱锥 V-ABCD 中，底面
ABCD 是边长为 2 的正方形，其他四个侧面的腰长为 3 的等腰
【规律方法】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想 的常见类型.
①证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. ②证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. ③证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. ④证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证 明线线垂直.
【互动探究】 2.如图 8-5-5，在立体图形 D-ABC 中，若 AB＝CB，AD＝ CD，E 是 AC 的中点，则下列结论正确的是( )
线与另一个平面垂直. 3.能运用公理、定理和已获得 的结论证明一些空间图形的位 置关系的简单命题
2011 年新课标第 18 题(1)以四棱锥为背
景，证明线线垂直；
1.垂直是立体几何的必考
2012 年新课标第 19 题(1)以三棱柱为背 题目，且几乎每年都有一
景，证明面面垂直；
个解答题出现，所以是高
2013 年大纲第 11 题考查线面所成的角； 考的热点，是复习的重点.
答案：C
考点 2 平面与平面垂直的判定与性质 例 2：(2017 年新课标Ⅰ)如图 8-5-4，在四棱锥 P-ABCD 中， AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD ； (2)若 PA ＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥P-ABCD 的体积为83，求该四棱锥的侧面积.
A.A1E⊥DC1 C.A1E⊥BC1
B.A1E⊥BD D.A1E⊥AC
3.如图 8-5-1，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列结论中正 确的个数是( D )
图 81；③BD1⊥B1C.
A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个
4.(2013 年新课标Ⅱ)已知 m，n 为异面直线，m⊥平面α，n ⊥平面β.直线 l 满足 l⊥m，l⊥n，l α，l β，则( D )
第5讲 直线、平面垂直的判定与性质
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.理解以下判定定理. ◆如果一条直线与一个平面内 的两条相交直线都垂直，那么
该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平 面的垂线，那么这两个平面互
相垂直. 2.理解以下性质定理，并能够 证明. ◆垂直于同一个平面的两条直 线平行. ◆如果两个平面垂直，那么一 个平面内垂直于它们交线的直
4.二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角.从 二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是 直角的二面角叫做直二面角.
1.垂直于同一条直线的两条直线一定( D )
A.平行
B.相交
C.异面
D.以上都有可能
2.(2017 年新课标Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 为棱 CD 的中点，则( C )
⊥平面 PCD，AD∥BC，AB＝BC＝12AD，E，F 分别为线段 AD，
PC 的中点.求证： (1)AP∥平面 BEF； (2)BE⊥平面 PAC.
图 8-5-2
证明：(1)如图 D59，
图 D59 设 AC∩BE＝O，连接 OF，EC. 由于 E 为 AD 的中点， AB＝BC＝12AD，AD∥BC. ∴AE BC.∴四边形 ABCE 为平行四边形.
(1)证明：取 BD 的中点为 O，连接 OE，OG. 在△BCD 中，因为 G 是 BC 的中点，
所以 OG∥DC，且 OG＝12DC＝1. 又因为 EF∥AB，AB∥DC， 所以 EF∥OG，且 EF＝OG， 即四边形 OGFE 是平行四边形. 所以 FG∥OE. 又 FG 平面 BED，OE⊂平面 BED， 所以 FG∥平面 BED.
图 8-5-7
解析：如图 D61，取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，则 AE ⊥平面 BB1C1C.所以∠ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.
设三棱柱的所有棱长为 a，
在 Rt△AED 中，AE＝ 23a，DE＝a2. 所以 tan∠ADE＝DAEE＝ 3， 则∠ADE＝π3. 故 AD 与平面 BB1C1C 所成的角为π3. 答案： π
图 8-5-5 A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC，且平面 ADC⊥平面 BDE