作业题解答

P40四．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组
4321,,,b b b b 线性相关.
证明 设有4321,,,x x x x 使得
044332211=+++b x b x b x b x 则
0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x
(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k ,
411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;
由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.
(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+=+=+=+000043
322141x x x x x x x x 011
000110
0011
100
1
43
21=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⇒x x x x 由01
10001100
0111001
=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.
五．设r r a a a b a a b a b +++=+== 2121211,,,,且向量组
r a a a ,,,21 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.
证明 设02211=+++r r b k b k b k 则
++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211 0=+r r a k
因向量组r a a a ,,,21 线性无关,故
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨
⎧==++=+++000221r r r k k k k k k ⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001001101121 r k k k
因为011001101
1≠= 故方程组只有零解
则021====r k k k 所以r b b b ,,,21 线性无关
P42九．设向量组A :s a a a ,,,21 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21 的秩2r 向量组C : r s b b b a a a ,,,,,,,2121 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤
证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ''',,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ''',,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤
设A '与B '中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示, 即C 可由D 线性表示,从而C '可由D 线性表示，所以秩(C ')≥秩(D ),
D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.
16．验证T T T a a a )2,1,3(,)3,1,2(,)0,1,1(321==-=为3R 的一个基,并把
T T v v )13,8,9(,)7,1,6(21=-=用这个基线性表示.
解 由于062301113
21,,321≠-=-=a a a
即矩阵),,(321a a a 的秩为3
故321,,a a a 线性无关，则为3R 的一个基. 设3322111a k a k a k v ++=，则
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=++-=++7
23163232
321321k k k k k k k k ⎪⎩⎪
⎨⎧===
⇒3
21k k k 故=1v
设3322112a a a v λλλ++=，则
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=++-=++13
23893232
321321λλλλλλλλ⎪⎩⎪
⎨⎧===
⇒3
21k k k 故线性表示为=2v
十五．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为
T T )0,3,2,1(,)3,2,1,0(11==ξξ.
解 显然原方程组的通解为
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛03213210214321k k x x x x ,(R k k ∈21,)
即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+==1
4
213212
213322k x k k x k k x k x 消去21,k k 得
十六．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它 的三个解向量．且
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=43211η，
⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+543232ηη 求该方程组的通解．
解 由于矩阵的秩为3，134=-=-r n ，一维．故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量，且由于321,,ηηη均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得
齐次解
齐次解齐次解=⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=-+-=+-321
0)()()()()(22121321ηηηηηηη
为其基础解系向量，故此方程组的通解：
⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43213210k x ，)(R k ∈。