高等数学习题及答案

高等数学（下册）考试试卷一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。

2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。

3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。

4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。

5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。

6、微分方程x yx y dx dy tan +=的通解为 。

7、方程04)4(=-y y的通解为 。

8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。

二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小； （D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。

2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。

3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰20213cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。

4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=（ ）（A ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a d ；（B ）⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ；（C ）⎰⎰-20cos 202248πθθa dr r a r d ；（D ）⎰⎰--22cos 20224ππθθa dr r a r d 。

5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成，L 取正向，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则⎰=+LQdy Pdx )(（A ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(； （B ）⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(； （C ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(； （D ）⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(。

6、下列说法中错误的是（ ）（A ） 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； （B ） 方程x y dxdyx dx dy ysin =+是一阶微分方程； （C ） 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； （D ） 方程xyx dx dy 221=+是伯努利方程。

7、已知曲线)(x y y =经过原点，且在原点处的切线与直线062=++y x 平行，而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ，则曲线的方程为=y （ ）（A ）x e x 2sin -； （B ）)2cos 2(sin x x e x-； （C ）)2sin 2(cos x x e x-； （D ）x e x 2sin 。

8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu（ ）（A ）收敛； （B ）发散； （C ）不一定； （D ）绝对收敛。

三、求解下列问题（共计15分）1、（7分）设g f ,均为连续可微函数。

)(),,(xy x g v xy x f u +==，求yux u ∂∂∂∂,。

2、（8分）设⎰+-=t x tx dz z f t x u )(),(，求tux u ∂∂∂∂,。

四、求解下列问题（共计15分）。

1、计算=I ⎰⎰-2022xy dy e dx 。

（7分） 2、计算⎰⎰⎰Ω+=dV y x I )(22，其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域（8分）。

五、（13分）计算⎰++-=L y x ydxxdy I 22，其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。

六、（9分）设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+，且)0(f '存在，求)(x f 。

七、（8分）求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间。

高等数学（下册）考试试卷 参考答案一、1、当10<<a 时，1022≤+<y x ；当1>a 时，122≥+y x ；2、负号；3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ； 4、dt t t )()(22ψϕ'+'；5、180π；6、Cx xy=sin； 7、xxe C eC x C x C y 2423212sin 2cos -+++=； 8、1；二、1、D ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、B ； 7、A ； 8、C ； 三、1、21f y f xu'+'=∂∂；)(xy x g x y u +'=∂∂； 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂；)()(t x f t x f t u-++=∂∂； 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ；2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标； 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(，)0,0(),(≠y x ； 于是①当L 所围成的区域D 中不含O （0，0）时，xQ y P ∂∂∂∂,在D 内连续。

所以由Green 公式得：I=0；②当L 所围成的区域D 中含O （0，0）时，xQ y P ∂∂∂∂,在D 内除O （0，0）外都连续，此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ，逆时针方向，并假设*D 为+L及-l 所围成区域，则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得： 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'=即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(arctan 即 ])0(tan[)(c x f x f +'=又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(tan()(x f x f '=∴七、令t x =-2，考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn tΘ212321232lim t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时，亦即31<<x 时所给级数绝对收敛；当1<t 即3>x 或1<x 时，原级数发散； 当1-=t 即1=x 时，级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛； 当1=t 即3=x 时，级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛； ∴级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。