何江平-高数讲座
邢台学院课表
英语语 法词汇 (必) 总学 时：56 聂敬磊 (讲师) [4-17 周]3-4 节 11 国商专 2
1号楼 2003(50 )
经济法 (必) 总 学时： 48 郑志刚 (讲师) [1-16 周]1-3 节 10营 销专1 唐诗研 究 (必) 总 学时： 32 胡蓉 (中教二 级) [217周]12节 11 文秘接1 第二外 国语 （二） (必) 总 学时： 48 郝玉良 (讲师) [1-16 周]1-3 节 09英 语本1 毛泽东 诗词研 究 (必) 总 学时： 32 耿景珂 (副教 授) [217周]12节 11 文秘接2 英语写 作（二) (必) 总 学时： 32 张庆德 (讲师) [1-16 周]1-2 节 09英 语本2 商务英 语阅读 (必) 总 学时： 32 刘彦芬 (教授) [1-16 周]1-2 节 10英 语接2 档案管 理学 (必) 总 学时： 48 穆廷云 (副教 授) [116周]13节 09 文秘本1
晚 上
上 午
高等数 学 (必) 总学 时：56 吕运红 (讲师) [4-17 周]1-2 节 11 事管专 1 基础生 态学 (任) 总学 时：36 郭丽 (讲师) [1-10 周]1-2 节 09 园艺专 1 基础生 态学 (任) 总学 时：32 武宇红 (教授) [1-10 周]1-2 节 08 生技本 1 综合英 语技能 （一） (必) 总学 时：84 张少娟 (副教 授) [4-17 周]3-4 节 11 综合英 语技能 （一） (必) 总学 时：84 王晓杰 (讲师) [4-17 周]3-4 节 11 英语本 品牌管 理 (必) 总学 时：64 何军东 (讲师) [1-16 周]3-4 节 09 营销专 1 旅游市 场营销 学 (必) 总学 时：64 杨宇 (讲师) [1-16 周]3-4 节 09 旅管专
优化教学策略构建高中数学活力课堂
优化教学策略构建高中数学活力课堂作者：何江峰来源：《学习周报·教与学》2020年第01期摘 ;要：高中数学课堂的知识密度大大增加，所以教师的教学节奏难免加快，进而容易忽略学生的学习感受。
在这种情况下，数学课堂常常呈现一种沉闷的状态，学生的学习兴致大大降低。
为此，在高中数学教学中，教师要根据学生的学习实况来优化教学策略，争取构建充满活力的数学课堂。
这样才能促使学生积极参与，从而提升学生的学习效果。
关键词：高中数学;活力课堂;教学策略;优化在高考的压力下，很多教师盲目追求课程进度和教学成绩，忽略了教学策略的调整和改进，也忽视了学生的实际感受，进而加重了课堂的沉闷氛围，影响了学生的学习兴趣和学习效果。
为此，作为高中数学教师，要认真分析数学学科的特点，了解学生的学习需求，据此优化和创新教学手段，争取呈现数学课堂生动有趣、活力四射的一面，从而更好地实现高中数学的教学目标。
一、生活情境导入，激发探索兴趣数学广泛地应用于人类的生活之中，并且很多数学知识也是历代研究者从生活现象中发掘出来的，这充分说明了数学与我们的生活具有紧密的联系。
而在高中生眼里，数学是枯燥复杂的，生活是简单有趣的，所以生活化教学是构建活力课堂的重要途径。
因此，考虑到很多学生对数学心怀畏惧和反感，不愿意主动投入到课堂学习，教师不妨采取生活情境导入法。
即在正式上课开始前，给学生展示相关的生活图景，借此引出数学知识或数学问题，从而激发学生探索的兴趣，促使学生主动走进课堂。
例如，在学习《指数函数》一课时，我先向学生提问：“由于地面不平，所以地面上的桌子会晃动，这时候我们通常用什么办法来解决呢？”学生提出用纸来垫桌脚。
于是我提问道：“一张白纸有多厚？这么薄的东西怎么能垫桌脚呢？”学生解释道：“将一张纸反复对折，就可以变得很厚。
”接着我让学生撕下一张作业纸，进行反复对折，看谁折的纸最厚。
结果折了几次，学生就发现折不动了，而且纸已经变得很厚。
这时我便问道：“一张薄薄的纸，对折几次就变得这么厚，这是为什么呢？纸的厚度的增长规律是什么样的？”在问题的提示下，学生记录折纸的次数和纸的层数，于是我便引出《指数函数》这一概念，并顺势带领学生展开探究，从而为活力课堂的构建打开良好开端。
八年级数学上册三角形的高、中线与角平分线课件
长冲中学活力课堂
6.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC
的周长为25cm,求ΔADC的周长.
A
解：∵CD是△ABC的中线，
D
∴BD＝AD，
B
C
∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
则BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
交于一点吗？
钝角三角形的三条高 D B
C
不相交于一点；
(4)它们所在的直线交于
E
一点吗？
O
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
视频：画钝角三角形的高
长冲中学活力课堂
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
长冲中学活力课堂
典例精析 例1 作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确 的是( D)
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
长冲中学活力课堂
三角形的角平分线的定义: 在三角形中，一个内角 的平分线与它的对边相交， 这个角的顶点与交点之间 的线段叫三角形的角平分 B 线.
A 12
D
C
∠1=∠2
注意：“三角形的角平分线”是一条线段.
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
长冲中学活力课堂
做一做 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角 形纸片各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的
直角三角形的三条高交于直角顶点.
长冲中学数学组-“四学一测”活力课堂
长冲中学活力课堂
三角函数中的数学思想方法
三角函数中的数学思想方法作者：何大明作者单位：湖南省常德市汉寿二中,湖南常德,415900刊名：时代教育（教育教学版）英文刊名：TIME EDUCATION年，卷(期)：2008，""(2)被引用次数：0次1.期刊论文帅立玲中职数学三角函数简化公式教学探析-科技信息2009,""(31)三角函数是初等数学的重要组成部分,而三角函数的简化公式是三角函数的基础内容之一,简化公式之多是众所周知的.如何掌握并运用这些公式,关键是对"正负看象限,纵变横不变"正确理解,在课堂教学中应使学生正确理解和掌握这一口诀的含义并在解题时加以应用是非常重要的.2.期刊论文蒋黎明.李淑文.Jiang Liming.Li Shewen中职与普高三角函数部分内容难度的比较研究-中国职业技术教育2007,""(16)今年教育部将对《中等职业学校文化基础课程教学大纲》进行再修订.为此,本文利用课程难度定量比较模型:N=λG/T+(1-λ)S/T,对2000年颁行的《中等职业学校数学教学大纲(试行)》与《全日制普通高级中学数学教学大纲(试验修订本)》及《普通高中数学课程标准(实验)》中三角函数部分内容难度进行了比较,结果表明:就三角函数内容而言,原中职的数学课程比普高的数学课程难度大,这对中职文化基础课程教学大纲的修订提供了一些启示. 3.期刊论文张慧敏浅谈在三角函数教学中数学思想的渗透-成才之路2008,""(18)数学思想主要包括:符号与变元表示的思想,集合思想,对应思想,数形结合的思想,化归的思想,对立统一的思想,整体思想,函数与方程的思想,分类讨论思想等.本文以三角函数为例,归纳了在教学中几种数学思想的渗透,体现了数学思想在解题中的重要作用.4.学位论文刘洋高中数学新旧两版教科书三角函数部分的对比研究——以人教2003年版、2005年A版为例2008在正在进行的新一轮课改中使用的教材和上一版教材有了较大的差别。
基于线上线下混合式教学模式的高等数学教学
基于线上线下混合式教学模式的高等数学教学目录一、内容概要 (2)1. 背景介绍 (3)2. 研究目的和意义 (4)二、线上线下混合式教学模式概述 (5)1. 线上线下混合式教学模式定义 (7)2. 线上线下混合式教学模式的特点 (7)3. 线上线下混合式教学模式在高等教育中的适用性 (9)三、高等数学教学现状分析 (10)1. 传统高等数学教学面临的问题 (12)2. 学生数学学习需求与特点分析 (13)3. 教师角色与教学方法的转变 (14)四、基于线上线下混合式教学模式的高等数学教学设计 (15)1. 教学理念与原则 (16)2. 教学内容整合与优化 (18)3. 教学过程设计 (19)4. 线上线下教学平台的选用与功能利用 (20)五、线上线下混合式教学模式在高等数学教学中的实施策略 (21)1. 线上教学资源建设 (22)2. 线下课堂活动的组织与安排 (23)3. 学生评价与反馈机制构建 (24)4. 教师培训与技能提升 (26)六、线上线下混合式教学模式在高等数学教学中的实践效果分析 (27)1. 学生学习效果分析 (28)2. 教师教学效果分析 (30)3. 教学资源利用情况分析 (31)4. 存在问题及改进措施 (32)七、结论与展望 (33)1. 研究结论总结 (34)2. 线上线下混合式教学模式在高等数学教学中的前景展望 (35)3. 对未来研究的建议与方向 (36)一、内容概要在线上线下混合式教学模式下，高等数学教学打破了传统课堂的局限，融合了现代信息技术与教育教学理念，旨在提升教学效果，促进学生的全面发展。
我们利用多媒体课件、网络课程等资源，为学生提供丰富多样的学习材料。
学生可以随时随地通过电脑或手机访问这些资源，进行自主学习和探究。
线上平台还提供实时互动和在线测试功能，方便教师及时了解学生的学习进度和问题，并给予针对性的指导。
则以课堂教学为主，注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
从特殊到一般的思想方法在初中数学教学中的应用
景 下 的 对 照 图形 用 自己 的 理 解 的语 言 进行描 述对顶 角 和邻补 角 的定 义 ． 最
后 老 师 比较 严 密 规 范 的再 进 行 定 义 ． 学 生 在 自己理 解 的 基 础 上 进 行 归 纳 过 的 定 义 反 过 来 也 能 加
一
实 际 上 这 些 问 题 都 可 以从 特 殊 情 况 人 手 ， 进 行 归 纳 相 再
应的答案 ． 不难解决． 就
３ ．应 用 性 问 题 ． 学 知 识 应 用 过 程 中 新课 程标 准 十 分 强 数 调 数 学 的 应 用 ，注 重 发 展学 生 的 应用 数 学 知 识 的 意识 与能 力． 在 一些 应 用方 面 的题 中 ． 可利 用 特 殊到 一 般 的思 维 方法 ， ： 就 如 有 一 根很 长的绳 ， 能绕 地球 赤道 一周 （ ４ 千米 长 ）探 它 约 万 ，
数学 课 不 是说 把 现 成 的 结 论 教 给 学 生 ， 是 根 据 数 学 思 而 想 发 展 脉 络 ， 造 问题 情 境 ， 分 利 用 各 种 手 段 ， 计 系 列 问 创 充 设 题 增 加 辅 助 环 节 ． 学 生进 行 大 量 的 图 形 观 察 和 实 际 问 题 的 让
ｌ
２
３
４
这 些 题 也 都 渗 透 了从 特 殊 到 一 般 的方 法 ． 际 上 人 的 对 实 自然 规律 的探 索 都 存 在 着 这 样 的 方 法 ． 特 殊 到 一 般 的 方 法 在 解 题 中广 泛 地 被 用 于 各 种 题 目的 类 型 中 ， 其 在 填 空 与 选 择 中 应 用 就 更 简单 、 方便 ． 尤 更 总 而 言 之 ， 数 学 教 学 巾 ， 特 殊 情 况 出发 ， 出一 般 情 在 从 推
简析高中学生对数学理论基础知识的学习
简析高中学生对数学理论基础知识的学习作者：何钢来源：《南北桥》2016年第05期【摘要】数学作为一门基础性学科，学生在学习的过程中要注重理论知识的学习。
理论知识的学习是学生进行一切数学学科学习活动的基础，本文就目前高中学生在数学理论知识学习中存在的不足进行分析，并提出相应的改良建议。
【关键词】高中数学理论基础知识重视中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2016.05.042随着现代教学的发展，人们注重提高课堂教学的有效性，希望通过使学生掌握更多的学习方法与技巧提升学生学习的有效性，似乎所有的目光都聚集于“效率”之上，而对学生理论基础知识的学习却没有引起足够的重视。
数学作为一门基础性学科，学生既要进行理论知识的学习，还要进行大量的试题练习。
理论知识的学习是学生进行一切数学学科学习活动的基础，笔者就教学过程中发现的目前高中学生在数学理论知识学习中应该注意的方面进行分析，并提出相应的改良建议。
一、学生要在思想上对理论基础知识的学习引起足够重视目前在学生基础知识学习过程中存在的一个明显问题就是学生对理论基础知识的学习没有引起足够的重视，很多学生将数学学习的目光聚集于如何提高学习成绩。
经过实际的调查发现，教师在课堂教学中用于对学生进行理论知识讲解的时间不多，学生在学习的过程中用于对基础知识学习的时间就更少。
实际上学生想学好数学这门学科，首先要对基础知识的学习引起足够的重视，高中阶段正是学生夯实数学基础知识的大好时机，学生只有夯实了数学理论基础知识，才能通过对基础知识灵活的应用去解决数学问题，学生只有夯实了基础知识，才能为以后更加有效的进行数学学科的学习奠定基础。
目前学生对数学理论基础知识学习重视程度不够的情况应该引起重视，教师先应该对数学基础知识学习的重要性有一个科学的认识，进而引导学生对基础知识学习引起重视，使学生在学习的过程中首先进行基础知识的学习，然后再去做数学练习题目。
人教A版高中数学必修五课件含参数的一元二次不等式的解法
高二年级 数学
含参数的一元二次不等式的解法
惠州市第三中学
解题回顾 解一元二次不等式的基本步骤：“三步曲”
（1）转化为不等式的“标准”形式； （2）计算△,解相应一元二次方程的根； （3）根据二次函数的图象以及不等号的方向，写出不 等式的解集.
高二年级 数学
含参数的一元二次不等式的解法
惠州市第三中学
分类，即分 a 0, a 0, a 0 三种情况． 二、按判别式 的符号分类，即分 0, 0, 0
三种情况
三、按对应方程 ax2 bx c 0 的根 x1 , x2 的大小
分类，即分
x1
x2 , x1
x2 , x1
x 三种情况． 2
高二年级 数学
分类汇总
一元二次不等式的解法（a>0）
判别式=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 ax2+bx+c>0的解集
ax2+bx+c<0的解集
ax2+bx+c ≥ 0的解集
ax2+bx+c ≤ 0的解集
>0
0
<0
y
y
x1 x2 x
xb
x x
高二年级 数学
含参数的一元二次不等式的解法
惠州市第三中学
解题回顾
二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是一个有机的 整体。通过函数把方程与不等式联系起来，我们可以通过 对方程的研究利用函数来解一元二次不等式。
请问:三者之间有何关系
方程的解即对应函数图象与x轴交点的横坐标;不等式的解集 即对应函数图象在x轴下方或上方图象所对应x的范围,且解 集的端点值为对应方程的根。
高等数学智慧课堂“三段五环多层联通”教学模式的建构与实施
高等数学是广东理工学院（以下简称我校）数学类公共必修课，旨在培养学生必要的数学基本知识、基本技能和基本能力，为专业课的学习提供扎实的数学基础。
本课程为2022年校级优秀课程和校级课程思政改革示范项目，已开展了两轮教学实践。
一、课程教学中的“痛点”（一）价值观引导不够深入价值观引导不够深入，，缺乏课程教学与思政育人的有机结合在以往的高等数学课程教学中，部分数学教师仅重视专业能力和数学学科核心素养的提升，忽视了对青年一代大学生的价值观引导，没有做好高等数学课程教学与思政育人的有机结合。
如何结合理工院校高等数学课程教学目标、毕业要求指标点和大一学生的认知特点及原有数学知识基础，将思政元素融入高等数学课程教学，发挥高等数学课程思政的育人功能，实现高等数学课程教学与思政育人的有机结合，是课程教学需要解决的一个重要问题。
（二）忽视与专业教育的联系忽视与专业教育的联系，，缺乏公共课与专业课的交叉融合高等数学课程面向我校工科类、经济类和管理类专业大一学生开设，如何从高等数学相关理论的发展历史出发，针对不同学科专业的特点以及不同学生的知识背景和认知水平开展教学，在理论和方法上有针对性地加强高等数学专业教学与不同专业教学的联系，使学生能深度体会和领悟数学与本专业之间的内在联系，由此实现公共课与专业课的交叉融合，是课程教学亟须改进的问题。
（三）教学模式陈旧教学模式陈旧，，缺乏教学创新传统的教学模式仍以教师讲授为主。
课前阶段，部分教师没有开展深度的课前分析，较少进行课前测试，没有做到根据学生的反馈进行教学设计。
课中阶段，一是新课、复习课和习题课等不同课型的导入环节缺乏新意，不能充分激发学生的学习兴趣和求知欲；二是课堂提问较少，问题内容缺乏创新性，且由于课时限制，留给学生课堂回答的时间较少；三是授课形式单一，大多是教师讲、学生听的传统授课形式，课堂交流互动较少，课堂气氛不够活跃；四是学生展示汇报较少，教师较少用数学语言向学生展示生活中的数学现象和问题，缺乏对学生数学表达能力的培养，学生较少有机会提出新问题、新观点和新方法；五是课堂检测较少，教师无法获得及时有效的反馈，无法有针对性地对学生［收稿时间］2023-06-20［基金项目］广东理工学院2023年校级科技项目暨“创新强校工程”科研项目“民办应用型本科院校数学教师MPCK 发展的研究”（2023YBSK012）。
利用“六何”深度学习法指导高中数学定理教学——以“平面向量基本定理”为例
2023年第36期教育教学SCIENCE FANS — 85 —利用“六何”深度学习法指导高中数学定理教学*——以“平面向量基本定理”为例李 静（贵阳市第八中学，贵州 贵阳 550000）【摘 要】文章将“六何”认知链与深度学习法有机结合，形成“六何”深度学习法，在教学中利用该方法指导高中数学定理或概念教学，帮助学生建构完善的知识体系，从而落实数学学科核心素养的培养。
【关键词】高中数学；“六何”深度学习法；定理教学【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2023）36-0085-031 问题的提出新课标要求教师在高中数学课堂中培养学生的逻辑推理能力,将学生思维能力的培养贯穿于整个教学过程中。
目前，一些教师在课堂教学中仍然使用的是灌输式教学法，不关注所教知识的本质是什么，而且过于注重学生对所学知识的记忆。
尤其是在教授数学定理或概念时，常常忽略学生的“最近发展区”，所提问题要么过于简单，学生不需要思考就能回答，要么过于复杂，学生回答不上来，不注重学生思考的过程，使得学生对新知的本质一知半解，更谈不上迁移应用。
因此，在教授数学定理或概念时，如何让学生理解其本质并进行迁移应用，从而培养学生的思维能力是一个急需解决的问题。
2 “六何”深度学习法概述2.1 “六何”认知链为保证数学课堂教学过程的连贯性和完整性，同时让学生学会学习和思考，周莹教授提出了“六何”认知链这一教学过程理论。
该理论在教学设计中将数学知识的来龙去脉问题化、细致化、完整化，具有很强的可操作性。
“六何”认知链的具体内容如下：第一，“从何”，即新知从何而来，它是学生学习知识的逻辑起点，是教师激发学生求知欲的着力点，在定理课或概念课中，主要指问题是怎样发现和提出的；第二，“是何”，即新知是什么，强调引导学生发现问题，把握知识本质，理解新知；第三，“与何”，即新旧知识之间有什么联系与区别，旨在促进新知的内化，让学生将所学知识融会贯通；第四，“如何”，包含新知有何用、如何用两方面内容，目的在于让学生学以致用；第五，“变何”，旨在引导学生对条件、结论、方法的变化进行思考和探究；第六，“有何”，即有何收获，旨在引导学生对学习过程进行回顾、梳理和反思总结。
高中数学几何教学法探究
高中数学几何教学法探究作者：何明强来源：《南北桥·人文社会科学学刊》2014年第05期【摘要】数学教学里面有一门和图形线条打交道的学科，这就是几何。
在几何的教学中会遇到诸多的问题。
比如学生的空间想象力不丰富、学生的绘图能力不强等等都困扰着很多教师。
那么什么样的几何教学才能适合现在的几何数学教学呢？我们经过积累经验，总结了以下几点教学方法，这些方法在学生学习几何时遇到问题能够帮助学生解答，让学生学得轻松，教师教得得心应手。
【关键词】高中数学几何教学法中图分类号：G4 文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2014.05.150一个点，一条线，一个面构成了丰富多彩的数学几何。
几何在高中数学教学中一直是一个难点，尤其是由简单的几何图形慢慢的过度到复杂的立体几何，教学难度再不断的加大。
学生在学习的过程中遇到以往不曾遇到的难题，让学生非常苦恼。
如何帮助学生更好的掌握立体几何的知识，提高学生综合运用知识解答习题的能力成为教师的一个教学难题。
事实上，在教学中老师也在不断的探究科学、高效的教学方法，希望可以让学生在最短的时间内掌握更多的知识，用更加简单的方法去解决问题。
一、发挥多媒体对图形演示的作用科技的快速发展让教师不必再像以前一样，利用一些真实的立体实物进行演示和讲解，可以通过计算机进行高效的讲解，而且还可以图文并茂，加上一些声音，让效果更加的完美。
教师通过自己掌握的知识，将要学习的几何内容做成一个课件，在上课的时候直接用课件进行讲课。
在讲到立体图形时，可以通过电脑上的三维动画对立体图形进行全面的展示，详细的讲解每一个知识点。
与传统的几何教学相比，新媒体的教学让整个几何的教学都有了全新的面貌。
在计算机普及的今天，学生每天沉浸在网络里的时间越来的越多，对计算机的熟悉程度也越来越高。
教师通过学生极为熟悉的方式将知识展现出来，学生的兴趣也会被调动起来，而且通过计算机进行的展示更加有效果，不必再担心灯光等一系列可能产生的问题。
将几何画板有效融入高中数学日常教学——“曲线与方程”的教学实践与思考
文献标识码：A
文章编号：1672-7894（2016）03-0099-02
摘 要 作者在数学内容“曲线与方程”讲解中利用了几何 画板的教学手段，将其充分穿插与融合到了数学日常教学 环节中，学生在这一过程中学习的主观能动性得到了加强， 与教师的互动增多，同时几何画板融合数学教学使得枯燥 的数学内容生动化、具体化，学生的学习效率得到了显著提 升。本论文通过对几何画板融合数学教学的实践与思考，希 望能给教师与相关教育爱好者提供一定的借鉴与参考。 关键词 几何画板 融合 实践 思考
“曲线与方程”是高中教学中的主要内容，在该内容的 教学过程中，曲线与方程的关系、方程的解与曲线的关系很
抽象，为了让学生更容易理解方程的解是位于曲线上的坐 标的点、以方程解为坐标的点正好位于曲线上，作者以几何 画板和该内容的结合作为研究对象，阐述如何更有效地将 几何画板融合到高中数学的日常教学中。
2 几何画板融入“曲线与方程”的教学实践
教师：我给大家一个二元方程 5x-y-6=0,大家尝试理解 与观察这个二元方程与直线之间的关系。隔 5 分钟好了，大 家在解答这个直线方程的时候必然使用到了该直线上的点 坐标（A,B）。那么如果老师现在随便给大家在直线上取 一点 W，大家来思考 W 点的坐标与直线方程 5x-y-6=0 之 间的关系如何。
教师：得出的结论是正确的，W 点不管如何移动它始终 都在直线上，也就是说 W 点的坐标值是方程 5x-y-6=0 的 解，因此就可以说直线 5x-y-6=0 上的点的坐标都是直线方 程 5x-y-6=0 的解。
2.1 启蒙过程 在很多高中教师授课的过程中很少有教师能将数学教
学与日常的生活联系起来进行授课。数学的教学过程实际 上是非常生动有趣的，如何在启蒙阶段就要给学生传递这 样一种信号，让学生能够自然灵活地运用几何画板的教学 方法进行学习，是非常重要的。授课起初阶段，教师可以给 学生呈现各种各样的曲线与几何图形，让学生明白数学与 生活中的美是有联系的，如各种各样的曲线与几何图形都 对应数学中的一个方程式。在启蒙阶段数学教师要告诉学 生的是数学与图形之间的关系，并给学生展示各种各样的 美的几何图形，让他们感受美，从而激发学生继续学习的热 情。
“翻转课堂”视角下高等数学与高中数学衔接重叠内容的教学设计
在高中数学 圆 锥 曲 线 中，强 调 代 数 与 几 何 的 融 合，重 点 讲 解 了 双 曲 线 的 渐 近 线，从 图 像 上 可 以 称 之 为斜渐近线，体现为双曲线与渐近线的无限逼近而不 相交．而在高等数学中，对于水平渐近线、铅垂渐近线 等概念进行了简单说明，但是在界定其概念时与高中 数学存在一定的差异，并且与函数极限的图形表现存 在一定的交叉．基于上述数学教学现状，本文以“渐近 线的概念”知识 点 为 例，剖 析 高 中 数 学 与 高 等 数 学 关 于渐近线知识点的差异性，探究翻转课堂模式下高等 数学与高中数学重叠内容的衔接教学设计．
一、“翻转课堂”模式内涵解析
（一）概念界定 “翻转课堂”的概念起源于美国，起初是为了辅助 落后学生学习或者帮助缺课学生补课，录制授课视频 上传 网 络，为 学 生 学 习 已 经 讲 授 过 的 知 识 提 供 平 台． 借助“翻转课堂”这一新的教学模式，学生能够充分利 用课 余 时 间 弥 补 不 足 或 者 延 伸 学 习，通 过 教 学 视 频、 网络教学 资 源 等 进 行 高 效 互 动，深 化 学 习 成 果，培 养 独自 思 考 的 能 力．在 互 联 网 技 术 快 速 发 展 的 背 景 下， 学生 接 触 到 网 络、便 携 式 学 习 设 备 的 机 会 越 来 越 多， 推动了“翻转课堂”教学模式在我国的普及与发展． （二）教学特点 “翻转课堂”一 般 都 是 借 助 视 频 资 源 开 展 教 学 活 动，通 过 精 简 的 视 频 概 括 整 节 课 的 教 学 内 容，帮 助 学 生抓好教学重点，提高学生的注意力．在视频中，教师 梳理的知识点清晰准确，视频中的操作能够很好地重 构课堂，方 便 重 难 点 的 讲 解 以 及 学 生 的 消 化 吸 收．此 外，翻转课堂模式下，有利于教师开展复习与检测，有 助于教师掌握学生个体的学习情况，进而有针对性地 解决学生的个性问题． （三）应用价值 在传统的数学教学中，主要通过课堂讲解与课后 练习来实现教学目标，在教学全过程中教师占据主体
前结构理论与高考数学应用题教学指导
前结构理论与高考数学应用题教学指导何铁军【期刊名称】《中学数学月刊》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】3页(P10-12)【作者】何铁军【作者单位】江苏省南通西藏民族中学 226011【正文语种】中文1 基础理论1.1 前结构理论由于人类的活动必然受到一定时空的影响和制约，绝不存在超越历史环境的存在，故我们理解任何事情、处理任何问题时都不可能是用空洞的头脑被动地接受，而是以其相对稳定的意识去积极、主动地参与．依据德国哲学家海德格尔的观点，这就是以我们意识的“前结构”去参与．每位高中生都有自己总的前结构和数学知识前结构．每个人总的前结构是其多种生活经历或是体验在大脑中留下记忆痕迹的全部的长时记忆内容．在人们总的前结构中的数学符号、几何图形和文字语言三个系统，则是数学知识前结构．在解答高考数学应用题的过程中，学生总的前结构必须通过数学知识前结构来理解高考数学应用题所给材料，进而将实际问题转化为数学问题，用解答的数学问题去回答实际问题．在这一过程中对数学符号、几何图形和文字语言的认识又处在不断的运动变化发展之中．学生运用数学的文字语言、图形语言和符号语言前结构阅读应用题中的文字、相关专业术语、图形和规则，理解文字、符号等载体中知识的能力表现为数学的审题能力．学生运用总的前结构判断、提炼问题中有用信息并运用其分析、处理问题的能力表现为数学应用能力．1.2 高考数学应用题的特征高考数学应用题命题的基本原则是：从应用题的实际背景、应用题的表述、实际问题数学化、数学知识能力考查与教育价值五个维度入手，考查学生应用数学的基本知识解决简单的实际问题(半数学化)的能力．高质量的数学高考应用题应具备五个特征:一是立意要深刻，即试题要具有积累数学活动经验或收获数学知识以外的教育意义；二是应用题的背景要“真”与“近”，其中，“真”是指能真实地反映实际问题与数学问题，“近”是指所选背景内容贴近学生生活；三是题干的表述要“清爽”，即试题表述通俗、适合中学生阅读、篇幅不宜过长、多种表达方式并存；四是模型要“自然”与“贴切”，即实际背景数学化模型自然合理，贴近学生的理解，能够体现“应用”的价值；五是试题所涉及的数学知识的“广度”和“深度”要适中，即能够考查学生高中所学的几个数学重点知识，计算与推理的难度要求不宜过高．解决问题是人们学习数学的最重要的活动．数学应用题取材具有广泛性和现实性，它充分体现了数学既来源于现实生活，又服务于现实生活，从而赋于数学“大众化”及“生活化”的特点.当学生“数学”地思考并尝试解决一些现实生活中的问题时，不但可以培养学生的数学思维能力，更重要的是可以帮助学生养成善于应用数学知识思考和解决问题的习惯．因此，数学应用题在对学生思维能力、创造能力、建模能力等方面的培养已经得到许多学者的充分认可．2 问题由来每年高考结束之后，总有许多考生反映，高考数学试卷中的应用题比较难，解出来很困难，有的考生拿高考数学应用题和课本中的例、习题比较感觉有天壤之别，学生不解的是针对高考的练习题、高考模拟题以及高考试卷中的应用题为何这么难，有时甚至不知所云．也有部分数学教师反映，评讲应用题时，如果没有参考答案，有些题目还有些吃不准，有时即使有参考答案，也较难讲清楚，更何况让学生理解并模仿去解决问题．针对以上问题，笔者认为，我们有必要弄清楚：(1)高考数学应用题的问题背景与教材上例、习题的背景材料是否处于同一水平或略高一点的水平？(2)影响学生审题的主要因素有哪些？(3)师生总的前结构和数学知识前结构有无欠缺?如果有，有什么方法可以补救？3 问题分析笔者借用2013年江苏高考卷的第18题在2014届三个班中进行了调研测试．图1如图1，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min．在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？测试结果是均分为5.85，其中不得分者主要原因是未能识别相应的数学模型．在调研测试之后，我用下列表格式的问卷对三个班125人做过一个统计(允许一人选多项)．项目题目长,有畏难情绪能够理解题意,得不出数学式子感觉运算吃力能独立解决人数57人69人51人12人百分率45.6%55.2%40.8%9.6%从上表可以发现，对学生来说，解高中数学应用题难在如何将现实问题转化为已学过的数学知识，即把现实问题“数学化”．这就说明高中数学应用题教学的核心在于如何引导学生去“数学”地思考实际问题并把现实问题转化为纯数学问题的过程．同时从处理数学应用题的一般策略上也可以看出这一点．针对出现的这一问题，笔者有过一段时间的深入思考，认为除了与学生分析清楚实际问题与纯数学问题的必然联系和区别中的辩证统一之外，更重要的是应该使学生掌握解决高中数学应用题的有关方法，也就是要有一定的思考方向．数学应用题源于实际问题，是一个可以转化为纯数学问题来解答的实际问题．客观现实的多样性和复杂性使得实际问题的背景比较复杂，它牵涉到客观物质现象、社会生产和社会生活的方方面面．由于学生分析思考的能力不够，对社会生产和社会生活方面的常识了解不多，缺乏相关的经验.因此，将实际问题“数学化”是学生解数学应用题的一大障碍．3.1 影响学生“数学化”的主要因素应用题的背景是否“真”和“近”可以直观地反映题目的难易程度，对教师选择或编拟应用题有指导意义.教师还应了解更多的影响“数学化”的因素，以便在应用题解题教学指导中能化解难度，使学生能正确理解“数学化”的基本方法．通常数学应用题在“问题背景、语言表述和涉及的数学知识”等三个方面影响“数学化”的难度．就应用题的背景而言，要能比较真实地反映实际问题与数学问题，所选背景内容贴近学生生活，如测量问题、生活中的概率问题、游戏问题、社会热点问题等；题干的表述要“清爽”，即试题表述通俗,适合中学生阅读,篇幅不宜过长,文字语言、图形语言等多种表达方式并存．试题所涉及的数学知识内容的“广度”和“深度”要适中，即能够考查学生高中所学的几个数学重点知识．3.2 前结构与“数学化”难易度的关系将现实问题转化为已学过的数学知识，不是解题者感知应用题中文字的意义，而是解题者赋于实际问题以数学的意义．因此，“数学化”的过程就是利用学生已有的数学知识去感知、领悟眼前的实际问题(多数情况是半数学化的)并达到转化的过程．学生个体已有生活经历和知识体验的全部就是学生的“总的前结构”．毫无疑问，学生个体“总的前结构”的差异决定着不同的学生对同样的数学应用题的理解差异，所以难怪，对同一道应用题，有的学生会觉得容易，有的会觉得难;有的“数学化”过程清晰、自然，有的错误百出．因此，针对学生个体而言，应用题的难度还由学生的“总的前结构”决定．胡春洞和戴忠信认为总的前结构是一种状态，意即其具有不断发展性，个体以一总的前结构状态去感知新事物，感知新事物之后又形成一种更丰富的状态，个体又以这丰富的状态去感知新的事物．学生要将实际问题“数学化”，就必须在总的前结构中增加一个特殊的系统——数学知识系统，即“数学知识前结构”．数学知识前结构指学生在学习解数学应用题之初已经具备的有关数学知识和数学运用的一切东西．当然，数学知识前结构也有与总的前结构一样的特点，它也是一种状态，学生的数学知识前结构也是处于不断丰富和发展的状态．个体的数学知识前结构也存在差异,所以，对“数学化”也存在差异.因此，针对学生个体而言，问题“数学化”的难度亦由读者的“数学知识前结构”决定．4 对数学应用题解题教学的建议笔者认为，目前大部分教师在进行数学应用题解题教学指导方面，过多关注学生训练的量，即要求学生做大量的涉及数学各个知识点的数学应用题，然后根据教师自己的理解围绕参考答案进行分析，希望学生在“题海”中增加训练量，见多识广，提高数学应用题的解题能力.但缺乏有效的问题“数学化”的指导，在化解“数学化”难度方面没有做实质性的工作，也没有在改变学生“前结构”方面下功夫，而且教师可能关注解决题目要比关注学生多得多，而问题“数学化”可能更多的是“个体”的事．因此，针对这些问题，笔者提出以下三点数学应用题解题教学指导建议，供参考．4.1 关注个体根据前结构理论，个体的前结构差异影响问题“数学化”．因此，教师教应用题的“数学化”时，不仅要基于学生的平均水平,还要根据影响问题“数学化”的因素,特别是前结构，进行难度化解和背景知识的铺垫，而且要针对学生个体的特点，给予必要的个别指导，丰富其前结构，使其能在问题“数学化”中获得并丰富下次处理数学应用题的前结构．同时，要尊重个体的前结构，对前结构匮乏的个体要包容，要平等对待，要认识到前结构只是一种状态，是处于变化之中的，要给个体以信心，这样才能使每一个个体得到发展．4.2 易题深教教材中的数学应用题，对绝大部分高中生来说，难度比较适中，笔者建议这些“易题”宜“深教”．深教可以从以下几方面着手：(1)要求学生搜索与问题相关的背景知识，并尝试将问题“数学化”，以充实学生的前结构；(2)应用题的设置要在重要数学知识应用的基础上，设置概括、总结、判断、推理、猜测等深层次的问题，以提高学生思维的深度和广度；(3)要适当增加学生的活动阅历，如到企业、农村了解生产经营状况等.由于学生对“易题”无畏惧感，心理上易于接受，加上挑战性解题指导，能有效丰富学生的“数学化”前结构．4.3 难题浅教笔者建议的“难题浅教”中的“浅”是针对上文中提到的“易题深教”中的“深”而言的．这里所指的难题，是指问题叙述篇幅长，或是问题比较生疏，数量较多，数量关系显得分散隐蔽．比如2013年江苏高考数学卷中的第18题，就属于叙述篇幅长，同时问题也是部分学生比较生疏的，另外涉及数量较多，数量关系显得分散隐蔽．下面就以该题为例，谈谈笔者认为的“难题浅教”法．(1)去伪存真高中学生一般具备对数学应用题特点认知的前结构，即实际问题一定与某些重要数学知识相联系.将问题(1)“数学化”，其实就是解三角形问题．本题涉及的数量关系既有时间的又有距离的，还有三角函数值，对于每一个问题它所涉及的量需要加以筛选，剔除非本质因素，保留本质属性，问题便迎刃而解．(2)沟通联系学生通过提炼出已知、未知，并尽可能寻找出已知与未知的内在关系，将题目给定的信息经过分析、综合后，尝试自己复述问题的条件与要寻找的结论，对于问题(2)就可以大致地知道要用已学过的函数、最值等知识去解决问题，解题就有了一个比较明确的方向，也许在不经意中把现实问题“数学化”．这一过程也是培养学生“数学”地思考问题的最为关键的环节，也是大众数学的直接体现．(3)分化瓦解学生要学会用自己的经验进行类比理解和想象理解．从数量的角度或以名称符号的眼光看待实际问题．对于较难理解的句子，一方面，要适当分拆句子，逐个理解构成句子的各个子项(如主语、谓语、宾语、定语等等)；另一方面，要寻找等价说法，也就是说要学会换一种说法，用自己的语言重新表述这些语句．对于问题(3)这样的长句，我们作了适当的分拆，即两位游客到达C处所需的时间分别为t1,t2，则|t1-t2|≤3，如此就可以建立关于乙步行的速度的不等式．5 结语学生总的前结构和数学知识前结构的丰富是一个复杂的过程，并不能通过几次练习就能一蹴而就，要经过学生自己的大量训练、独立思考、积极感悟，以及丰富的生活阅历，才能达到总的前结构和数学知识前结构的相当水平，才能使解决数学应用题达到更高的水平，使学生数学地解决实际问题的能力得到充分的提高．。
高中数学竞赛平面几何讲座(非常详细)之欧阳育创编
第一讲注意添加平行线证题在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1、为了改变角的位置大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,内错角相等,同旁内角互补.利用这些性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要.例1、设P、Q为线段BC上两点,且BP＝CQ,A为BC外一动点(如图1).当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC是什么三角形？试证明你的结论.答：当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时,△ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在△DBP＝∠AQC中,显然∠DBP＝∠AQC,∠DPB＝∠C.由BP＝CQ,可知△DBP≌△AQC.有DP＝AC,∠BDP ＝∠QAC.ADB P Q C图1于是,DA∥BP,∠BAP＝∠BDP.则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP.所以AB ＝AC.这里,通过作平行线,将∠QAC“平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅.例2、如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF＝∠BCE.求证：∠EBA＝∠ADE.证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P,连PE. 由ABCD,易知△PBA≌△ECD.有PA ＝ED,PB ＝EC. 显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有∠BCE＝∠BPE,∠APE＝∠ADE.由∠BAF＝∠BCE,可知∠BAF＝∠BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是,∠EBA ＝∠APE.所以,∠EBA＝∠ADE.这里,通过添加平行线,使已知与未知中的四个角通过P 、B 、A 、E 四点共圆,紧密联系起来.∠APE 成为∠EBA 与∠ADE 相等的媒介,证法很巧妙.2、欲“送”线段到当处利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条,常可通过添加平行线,将某些线段“送”到恰当位置,以证题.例3、在△ABC 中,BD 、CE 为角平分线,P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、BC 的垂线,M 、N 、Q 为垂足.求证：PM ＋PN ＝PQ.证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于K 、G,连PG. ∥＝P E D G A B F C 图2A N E B Q K G CD M F P 图3由BD 平行∠ABC,可知点F 到AB 、BC两边距离相等.有KQ ＝PN. 显然,PD EP ＝FD EF ＝GD CG ,可知PG∥EC.由CE 平分∠BCA,知GP 平分∠FGA.有PK ＝PM.于是,PM ＋PN ＝PK ＋KQ ＝PQ.这里,通过添加平行线,将PQ“掐开”成两段,证得PM ＝PK,就有PM ＋PN ＝PQ.证法非常简捷.3 、为了线段比的转化由于“平行于三角形一边的直线截其它两边,所得对应线段成比例”,在一些问题中,可以通过添加平行线,实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到的.例4设M1、M2是△ABC 的BC 边上的点,且BM1＝CM2.任作一直线分别交AB 、AC 、AM1、AM2于P 、Q 、N1、N2.试证：AP AB ＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM . 证明：如图4,若PQ∥BC,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行,设PQ 交直线BC 于D.过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于E.由BM1＝CM2,可知BE ＋CE ＝M1E ＋M2E,易知 AP AB ＝DE BE ,AQ AC ＝DE CE ,11AN AM ＝DE E M 1,22AN AM ＝DEE M 2. 则APAB ＋AQ AC ＝DE CE BE +＝DE E M E M 21+＝11AN AM ＋22AN AM . 所以,AP AB ＋AQ AC ＝11AN AM ＋22AN AM . 这里,仅仅添加了一条平行线,将求证式中的四个线段比“通分”,使公分母为DE,于是问题迎刃而解.A P E M 2M 1B Q N 1N 2图4例5、AD 是△ABC 的高线,K 为AD 上一点,BK 交AC 于E,CK 交AB 于F.求证：∠FDA＝∠EDA.证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分别交直线DE 、DF 、BE 、CF 于Q 、P 、N 、M.显然,AN BD ＝KA KD ＝AMDC .有BD·AM＝DC·AN. (1) 由BD AP ＝FB AF ＝BCAM ,有AP ＝BC AM BD ·. (2) 由DC AQ ＝EC AE ＝BC AN ,有AQ ＝BC AN DC ·. (3)对比(1)、(2)、(3)有AP ＝AQ.显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分∠PDQ.所以,∠FDA＝∠EDA.这里,原题并未涉及线段比,添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4、为了线段相等的传递当题目给出或求证某点为线段中点时,应注意到平行线等分线段定理,用平行线将线段相等的关系传递开去.例6在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,点M 在AB 边上,点N 在AC 边上,并且∠MDN＝90°.如果BM2＋CN2＝DM2＋DN2,求证：AD2＝41(AB2＋AC2). 证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E.连ME.由BD ＝DC,可知ED ＝DN.有△BED≌△CND. 于是,BE ＝NC.显然,MD 为EN 的中垂线.有 EM ＝MN. 图5M P A Q N F B D C E K 图6A N CD E B M由BM2＋BE2＝BM2＋NC2＝MD2＋DN2＝MN2＝EM2,可知△BEM 为直角三角形,∠MBE＝90°.有∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90°.于是,∠BAC ＝90°.所以,AD2＝221⎪⎭⎫ ⎝⎛BC ＝41(AB2＋AC2). 这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN,使解题找到出路.例7、如图7,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F,使EA ＝DA,FB ＝DB.过D 作AB 的垂线,交半圆于C.求证：CD 平分EF.证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线,G 、H 为垂足,连FA 、EB.易知DB2＝FB2＝AB·HB,AD2＝AE2＝AG·AB.二式相减,得DB2－AD2＝AB·(HB－AG),或 (DB －AD)·AB＝AB·(HB－AG).于是,DB －AD ＝HB －AG,或DB －HB ＝AD －AG. 就是DH ＝GD.显然,EG∥CD∥FH.故CD 平分EF. 这里,为证明CD 平分EF,想到可先证CD 平分GH.为此添加CD 的两条平行线EG 、FH,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等,在该直线的平行直线上截得的线段也相等.如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束,DE 是与BC 平行的直线.于是,有BN DM ＝AN AM ＝NC ME ,即BN DM ＝NC ME 或ME DM ＝NCBN . 此式表明,DM ＝ME 的充要条件是BN ＝NC.A G D O HB FC E 图7图8AD B NC E M利用平行线的这一性质,解决某些线段相等的问题会很漂亮.例8如图9,ABCD 为四边形,两组对边延长后得交点E 、F,对角线BD∥EF,AC 的延长线交EF 于G.求证：EG ＝GF.证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、AF 于M 、N.由BD∥EF, 可知MN∥BD.易知 S△BEF＝S△DEF.有S△BEC＝S△ⅡKG－ *5ⅡDFC.可得MC ＝CN.所以,EG ＝GF.例9如图10,⊙O 是△ABC 的边BC 外的旁切圆,D 、E 、F 分别为⊙O 与BC 、CA 、AB的切点.若OD 与EF 相交于K,求证：AK 平分BC.证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别交直线AB 、AC 于Q 、P 两点,连OP 、OQ 、OE 、OF.由OD⊥BC,可知OK⊥PQ. 由OF⊥AB,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有∠FOQ＝∠FKQ.由OE⊥AC,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有∠EOP＝∠EKP.显然,∠FKQ＝∠EKP,可知∠FOQ＝∠EOP.由OF ＝OE,可知Rt△OFQ≌Rt△OEP.则OQ ＝OP.于是,OK 为PQ 的中垂线,故 QK ＝KP.所以,AK 平分BC.综上,我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用.同学们在实践中应注意适时添加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用. 图9A B M E F N D C GO 图10练习题1. 四边形ABCD 中,AB ＝CD,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,延长BA 交直线NM 于E,延长CD 交直线NM 于F.求证：∠BEN＝∠CFN.(提示：设P 为AC 的中点,易证PM ＝PN.)2. 设P 为△ABC 边BC 上一点,且PC ＝2PB.已知∠ABC＝45°,∠APC＝60°.求∠ACB.(提示：过点C 作PA 的平行线交BA 延长线于点D.易证△ACD∽△PBA.答：75°)3. 六边形ABCDEF 的各角相等,FA ＝AB ＝BC,∠EBD ＝60°,S△EBD＝60cm2.求六边形ABCDEF 的面积. (提示：设EF 、DC 分别交直线AB 于P 、Q,过点E 作DC 的平行线交AB 于点M.所求面积与EMQD 面积相等.答：120cm2)4. AD 为Rt△ABC 的斜边BC 上的高,P 是AD 的中点,连BP 并延长交AC 于E.已知AC:AB ＝k.求AE:EC. (提示：过点A 作BC 的平行线交BE 延长线于点F.设BC ＝1,有AD ＝k,DC ＝k2.答：211k) 5. AB 为半圆直径,C 为半圆上一点,CD⊥AB 于D,E 为DB 上一点,过D 作CE 的垂线交CB 于F.求证：DE AD ＝FB CF .(提示：过点F 作AB 的平行线交CE 于点H.H 为△CDF 的垂心.)6. 在△ABC 中,∠A:∠B:∠C＝4:2:1,∠A、∠B、∠C 的对边分别为a 、b 、c.求证：a 1＋b 1＝c1.(提示：在BC 上取一点D,使AD ＝AB.分别过点B 、C 作AD 的平行线交直线CA 、BA 于点E 、F.)7. △ABC的内切圆分别切BC、CA、AB于点D、E、F,过点F作BC的平行线分别交直线DA、DE于点H、G.求证：FH＝HG.(提示：过点A作BC的平行线分别交直线DE、DF 于点M、N.)8. AD为⊙O的直径,PD为⊙O的切线,PCB为⊙O 的割线,PO分别交AB、AC于点M、N.求证：OM＝ON.(提示：过点C作PM的平行线分别交AB、AD于点E、F.过O作BP的垂线,G为垂足.AB∥GF.)第二讲巧添辅助妙解竞赛题在某些数学竞赛问题中,巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系,通过圆的有关性质找到解题途径.下面举例说明添置辅助圆解初中数学竞赛题的若干思路.1、挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”,此时若能把握问题提供的信息,恰当补出辅助圆,并合理挖掘图形隐含的性质,就会使题设和结论的逻辑关系明朗化.1.1 作出三角形的外接圆例1 如图1,在△ABC中,AB＝AC,D是底边BC上一点,E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A.求证：BD＝2CD.分析：关键是寻求∠BED＝2∠CED与结论的联系.容易想到作∠BED的平分线,但因BE≠ED,故不能直接证出BD＝2CD.若延长AD交△ABC的外接圆于F,则可得EB＝EF,从而获取.ABGCDFE图1证明：如图1,延长AD 与△ABC 的外接圆相交于点F,连结CF 与BF,则∠BFA＝∠BCA＝∠ABC＝∠AFC,即∠BFD＝∠CFD.故BF:CF ＝BD:DC.又∠BE F ＝∠BAC,∠BFE＝∠BCA,从而∠FBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠BFE.故EB ＝EF. 作∠BEF 的平分线交BF 于G,则BG ＝GF.因∠GEF＝21∠BEF＝∠CEF,∠GFE＝∠CFE,故△FEG≌△FEC.从而GF ＝FC.于是,BF ＝2CF.故BD ＝2CD.1.2 利用四点共圆例2 凸四边形ABCD 中,∠ABC＝60°,∠BAD＝∠BCD＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O,如图2.则sin∠AOB＝____.分析：由∠BAD＝∠BCD＝90°可知A 、B 、C 、D 四点共圆,欲求sin∠AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD＝∠BCD＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P,则∠ADP＝∠ABC＝60°. 设AD ＝x,有AP ＝3x,DP ＝2x.由割线定理得(2＋3x)3x ＝2x(1＋2x).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有 BD·CA＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.A B C D P O 图2又SABCD ＝S△ABD＋S△BCD＝233. 故sin∠AOB＝263615 . 例3 已知：如图3,AB ＝BC ＝CA ＝AD,AH⊥CD 于H,CP⊥BC,CP 交AH于P.求证：△ABC 的面积S ＝43AP·BD. 分析：因S△ABC＝43BC2＝43AC·BC,只须证AC·BC＝AP·BD,转化为证△APC∽△BCD.这由A 、B 、C 、Q 四点共圆易证(Q 为BD 与AH 交点).证明：记BD 与AH 交于点Q,则由AC ＝AD,AH⊥CD 得∠ACQ＝∠ADQ.又AB ＝AD,故∠ADQ＝∠ABQ.从而,∠ABQ＝∠ACQ.可知A 、B 、C 、Q 四点共圆.∵∠APC＝90°＋∠PCH＝∠BCD,∠CBQ＝∠CAQ, ∴△APC∽△BCD.∴AC·BC＝AP·BD.于是,S ＝43AC·BC＝43AP·BD. 2 、构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关,但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的信息,此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆,将原问题转化为与圆有关的问题加以解决.2.1 联想圆的定义构造辅助圆A 图3B P Q DH C例4 如图4,四边形ABCD 中,AB∥CD,AD＝DC ＝DB ＝p,BC ＝q.求对角线AC 的长.分析：由“AD＝DC ＝DB ＝p”可知A 、B 、C 在半径为p 的⊙D 上.利用圆的性质即可找到AC 与p 、q 的关系. 解：延长CD 交半径为p 的⊙D 于E 点,连结AE.显然A 、B 、C 在⊙D 上.∵AB∥CD,∴BC＝AE. 从而,BC ＝AE ＝q.在△ACE 中,∠CAE＝90°,CE＝2p,AE ＝q,故AC ＝22AE CE -＝224q p -.2.2 联想直径的性质构造辅助圆例5 已知抛物线y ＝－x2＋2x ＋8与x 轴交于B 、C 两点，点D 平分BC.若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点,且∠BAC 为锐角,则AD 的取值范围是____. 分析：由“∠BAC 为锐角”可知点A 在以定线段BC 为直径的圆外,又点A 在x 轴上侧,从而可确定动点的范围,进而确定AD 的取值范围.解：如图5,所给抛物线的顶点为A0(1,9),对称轴为＝1,与x 轴交于两点B(－2,0)、C(4,0). 分别以BC 、DA 均交于两点P(1－22,1)、Q(1＋22,1).可知,点A 在不含端点的抛物线PA0Q 内时,∠BAC＜90°.且有3＝DP ＝DQ ＜AD≤DA0＝9,即AD 的取值范围是3＜AD≤9. A E D C B图4图52.3 联想圆幂定理构造辅助圆例6AD 是Rt△ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平行线交AD 于M,交AC 于N.求证：AB2－AN2＝BM·BN. 分析：因AB2－AN2＝(AB ＋AN)(AB －AN)＝BM·BN,而由题设易知AM ＝AN,联想割线定理,构造辅助圆即可证得结论.证明：如图6,∵∠2＋∠3＝∠4＋∠5＝90°, 又∠3＝∠4,∠1＝∠5,∴∠1＝∠2.从而,AM ＝AN. 以AM 长为半径作⊙A,交AB 于F,交BA 的延长线于E.则AE ＝AF ＝AN.由割线定理有BM·BN＝BF·BE＝(AB ＋AE)(AB －AF)＝(AB ＋AN)(AB －AN)＝AB2－AN2,即 AB2－AN2＝BM·BN.例7 如图7,ABCD是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E,延长AB 和DC 相交于E,延长AD 和BC 相交于F,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q.求证：EP2＋FQ2＝EF2.分析：因EP 和FQ 是⊙O 的切线,由结论联想到切割线定理,构造辅助圆使EP 、FQ 向EF 转化.证明：如图7,作△BCE 的外接圆交EF 于G,连结CG. 因∠FDC＝∠ABC＝∠CGE,故F 、D 、C 、G 四点共圆.由切割线定理,有EF2＝(EG ＋GF)·EF ＝EG·EF＋GF·EF＝EC·ED＋FC·FB＝EC·ED＋FC·FB＝EP2＋FQ2,即 EP2＋FQ2＝EF2.2.4 联想托勒密定理构造辅助圆 E A NC D BF M 12345图6例8 如图8,△ABC 与△A＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.分析：因∠B＝∠B＇,∠A＋∠A＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD∥AB 交圆于D,连结AD 和BD,如图9所示.∵∠A＋∠A＇＝180°＝∠A＋∠D,∠BCD＝∠B＝∠B＇,∴∠A＇＝∠D,∠B＇＝∠BCD.∴△A＇B ＇C ＇∽△DCB. 有DC B A ''＝CB C B ''＝DBC A '', 即 DC c '＝a a '＝DB b '. 故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab . 又AB∥DC,可知BD ＝AC ＝b,BC ＝AD ＝a.从而,由托勒密定理,得AD·BC＝AB·DC＋AC·BD,即 a2＝c·''a ac ＋b·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.练习题1. 作一个辅助圆证明：△ABC 中,若AD 平分∠A,则AC AB ＝DC BD . (提示：不妨设AB≥AC,作△ADC 的外接圆交AB 于E,证△ABC∽△DBE,从而AC AB ＝DE BD ＝DCBD .) 2. 已知凸五边形ABCDE 中,∠BAE＝3a,BC ＝CD ＝DE,∠BCD ＝∠CDE＝180°－2a.求证：∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.(1)(2)图8A B C A'B'C'c a b a'c'b'A B CD a b b c 图9(提示：由已知证明∠BCE＝∠BDE＝180°－3a,从而A 、B 、C 、D 、E 共圆,得∠BAC＝∠CAD＝∠DAE.)3. 在△ABC 中AB ＝BC,∠ABC＝20°,在AB 边上取一点M,使BM ＝AC.求∠AMC 的度数.(提示：以BC 为边在△ABC 外作正△KBC,连结KM,证B 、M 、C 共圆,从而∠BCM＝21∠BKM＝10°,得∠AMC＝30°.)4．如图10,AC 是ABCD 较长的对角线,过C 作CF⊥AF,CE⊥AE.求证：AB·AE＋AD·AF＝AC2.(提示：分别以BC 和CD 为直径作圆交AC 于点G 、H.则CG ＝AH,由割线定理可证得结论.)5. 如图11.已知⊙O1和⊙O2相交于A 、B,直线 CD 过A 交⊙O1和⊙O2于C 、D,且AC ＝AD,EC 、ED 分别切两圆于C 、D.求证：AC2＝AB·AE.(提示：作△BCD 的外接圆⊙O3,延长BA 交⊙O3于F,证E 在⊙O3上,得△ACE≌△ADF,从而AE ＝AF,由相交弦定理即得结论.)6．已知E 是△ABC 的外接圆之劣弧BC 的中点.求证：AB·AC＝AE2－BE2.(提示：以BE 为半径作辅助圆⊙E,交AE 及其延长线于N 、M,由△ANC∽△ABM 证AB·AC＝AN·AM.)7. 若正五边形ABCDE 的边长为a,对角线长为b,试证：a b －b a＝1.(提示：证b2＝a2＋ab,联想托勒密定理作出五边形的外接圆即可证得.)FD AE C图10图11第三讲 点共线、线共点在本小节中包括点共线、线共点的一般证明方法及梅涅劳斯定理、塞瓦定理的应用。
高考数学综合能力提升与指导第06讲--三角函数与三角形-(3)
数学高考综合能力题选讲21抽象函数型综合问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测抽象函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述，综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考查学生对于一般和特殊关系的认识．可以说，这一类问题，是考查学生能力的较好途径，因此，在近年的高考中，这一类题目有增多和分量加重的趋势．范例选讲例1．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数,m n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<．（1）试求()0f 的值；（2）判断()f x 的单调性并证明你的结论；（3）设()()()(){}()({}22,1,,1,A x y f x f y f B x y f ax y a R =⋅>=-=∈，若A B ⋂=∅，试确定a 的取值范围．（4）试举出一个满足条件的函数()f x ．讲解：（1）在()()()f m n f m f n +=⋅中，令1,0m n ==．得：()()()110f f f =⋅．因为()10f ≠，所以，()01f =．（2）要判断()f x 的单调性，可任取12,x x R ∈，且设12x x <．在已知条件()()()f m n f m f n +=⋅中，若取21,m n x m x +==，则已知条件可化为：()()()2121f x f x f x x =⋅-．由于210x x ->，所以()2110f x x >->．为比较()()21f x f x 、的大小，只需考虑()1f x 的正负即可．在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x =，n x =-，则得()()1f x f x ⋅-=． ∵ 0x >时，()01f x <<， ∴ 当0x <时，()()110f x f x =>>-． 又()01f =，所以，综上，可知，对于任意1x R ∈，均有()10f x >． ∴ ()()()()2112110f x f x f x f x x -=--<⎡⎤⎣⎦． ∴ 函数()f x 在R 上单调递减．（3）首先利用()f x 的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f 的式子．()()()222211f x f y f x y ⋅>+<即，(()10f ax y f -==，即0ax y -+=．由A B ⋂=∅，所以，直线0ax y -+=与圆面221x y +<无公共点．所以，1≥．解得：11a -≤≤．（4）如()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．点评：根据题意，将一般问题特殊化，也即选取适当的特值（如本题中令1,0m n ==；以及21,m n x m x +==等）是解决有关抽象函数问题的非常重要的手段；另外，如果能找到一个适合题目条件的函数，则有助于问题的思考和解决．例2．已知定义在R 上的函数()f x 满足：（1）值域为()1,1-，且当0x >时，()10f x -<<； （2）对于定义域内任意的实数,x y ，均满足：()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+试回答下列问题：（Ⅰ）试求()0f 的值；（Ⅱ）判断并证明函数()f x 的单调性；（Ⅲ）若函数()f x 存在反函数()g x ，求证：21111511312g g g g n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．讲解：（Ⅰ）在()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+中，令0,0m n >=，则有()()()()()010f m f f m f m f +=+．即：()()()()()100f m f m f f m f +=+⎡⎤⎣⎦． 也即：()()()2010f f m ⎡⎤-=⎣⎦．由于函数()f x 的值域为()1,1-，所以，()()210f m ⎡⎤-≠⎣⎦，所以()00f =．（Ⅱ）函数()f x 的单调性必然涉及到()()f x f y -，于是，由已知()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+，我们可以联想到：是否有()()()()()1f m f n f m n f m f n --=-？（＊）这个问题实际上是：()()f n f n -=-是否成立？为此，我们首先考虑函数()f x 的奇偶性，也即()()f x f x -与的关系．由于()00f =，所以，在()()()()()1f m f n f m n f m f n ++=+中，令n m =-，得()()0f m f m +-=．所以，函数()f x 为奇函数．故（＊）式成立． 所以，()()()()()1f m f n f m n f m f n -=--⎡⎤⎣⎦．任取12,x x R ∈，且12x x <，则210x x ->，故()210f x x -<且()()211,1f x f x -<<．所以，()()()()()21212110f x f x f x x f x f x -=--<⎡⎤⎣⎦所以，函数()f x 在R 上单调递减．（Ⅲ）由于函数()f x 在R 上单调递减，所以，函数()f x 必存在反函数()g x ，由原函数与反函数的关系可知：()g x 也为奇函数；()g x 在()1,1-上单调递减；且当10x -<<时，()0g x >．为了证明本题，需要考虑()g x 的关系式．在（＊）式的两端，同时用g 作用，得：()()()()1f m f n m n g f m f n ⎡⎤--=⎢⎥-⎣⎦，令()(),f m x f n y ==，则()(),m g x n g y ==，则上式可改写为：()()1x y g x g y g xy ⎛⎫--= ⎪-⎝⎭．不难验证：对于任意的(),1,1x y ∈-，上式都成立．（根据一一对应）． 这样，我们就得到了()g x 的关系式．这个式子给我们以提示：即可以将2131n n ++写成1x yxy--的形式，则可通过裂项相消的方法化简求证式的左端． 事实上，由于()()()()()()211112111211131121111212n n n n n n n n n n n n -++++===++++-⎛⎫⎛⎫--⋅ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 所以，21113112g g g n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭．所以，211151131g g g n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111112334121122111222g g g g g g n n g g n g g g n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-> ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭点评：一般来说，涉及函数奇偶性的问题，首先应该确定()0f 的值．高考真题1．（2001年全国高考题）设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图像关于直线y x =对称，对任意121,0,2x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()()1212f x x f x f x +=⋅，且()10f a =>．（Ⅰ）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭及14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）证明：()f x 是周期函数；（Ⅲ）记122n a f n n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求()lim ln n n a →+∞．2．（2002北京高考题）已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的,a b R ∈都满足：()()()f a b af b bf a ⋅=+（Ⅰ）求()()0,1f f 的值；（Ⅱ）判断()f x 的奇偶性，并证明你的结论； （Ⅲ）若()()()*222, n n f f u n N n-==∈，求数列{}n u 的前n 项的和n S ．[答案与提示：1．（Ⅰ）1/21/411,24f a f a ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）略；（Ⅲ）()lim ln 0n n a →+∞=． 2．（Ⅰ）()()010f f ==；（Ⅱ）奇函数；（Ⅲ）112nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．]。
论高中数学教学中如何构建高效课堂
论高中数学教学中如何构建高效课堂
何江
【期刊名称】《课堂内外(高中教研)》
【年(卷),期】2022()2
【摘要】高中数学是一门内容复杂和难懂的主要学科之一,而课堂是学生接受和学习知识的主要阵地。
高中数学课堂教学质量直接决定了学生数学能力的培养效果,还会对学生的高考成绩起到至关重要的影响。
本文主要对高中数学教学中构建高效课堂的重要策略展开了详细的分析,以期提升高中数学课堂教学质量,不断培养学生的数学学习能力。
【总页数】2页(P61-62)
【作者】何江
【作者单位】礼县实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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妙用数学建模思想，提升数学思维能力——浅议初中数学建模思想方法
妙用数学建模思想，提升数学思维能力——浅议初中数学建模思想方法发布时间：2021-09-02T17:23:02.143Z 来源：《现代中小学教育》2021年8月下作者：何柏林[导读] 数学建构思想是学生学习数学的重要策略之一，影响着学生数学思维能力的发展。
在初中数学教材中，数学建模思想与课堂探究是紧密联系的，教师必须为数学建构思想的运用找到探究载体，使学生感受数学建模思想去理解问题的作用。
四川省达州市宣汉县桃花初级中学何柏林【摘要】数学建构思想是学生学习数学的重要策略之一，影响着学生数学思维能力的发展。
在初中数学教材中，数学建模思想与课堂探究是紧密联系的，教师必须为数学建构思想的运用找到探究载体，使学生感受数学建模思想去理解问题的作用。
本文尝试从贯彻灵活开放的建模观念，灵性提升数学思维能力；创设数学建模的相关情境，灵性提升数学思维能力；拓宽数学建模的教学手段，灵性提升数学思维能力三个方面阐述。
【关键词】初中数学；建模思想；思维能力随着我国教育事业的不断发展与进步，初中数学的教学形式也取得了创新型的大好成果，建模思想得到了越来越广泛的应用。
在实际的教学过程中，这种教学方法主要是通过构建数学模型，帮助学生对一些较为抽象化的知识点，展开具象化的理解，这样不仅能够对数学知识进行传授，同时也可以进一步拓宽学生的学习意识。
为了强化大家数学建模思想，本文结合当前初中数学的教学环境，对建模思想方法的应用展开深入的探究，希望能为相关人员，起到一些积极的参考作用。
一、贯彻灵活开放的建模观念，灵性提升数学思维能力在当前的初中数学学习课堂上，一些教师可能会过度看重自身在课堂上的存在感，将课堂的整体教学节奏，牢牢地控制在自己手中，对于数学建模的内容，学生缺乏足够的接触，自然难以养成有效的建模思想，这对于学生未来的发展也是极为不利。
为了改变这种情况，教师不妨在课堂上贯彻灵活多样的建模观念，自身担当“引导者”的角色，不要对学生的建模行为给予太多的干涉，在自由的课堂氛围下，学生自身的想象力才能得到有效的发挥。
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不一定可导。 （x）只在 x a 处连续，
[正确解法]
f ( x) f (a ) ( x a) ( x) 0 f (a) lim lim lim ( x) (a) x a x a x a xa xa
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错解分析
分段函数的导数
f ( x) f (1) ax b 1 ax a a f (1) lim lim lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
a2
b 1
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错解分析
可导函数的四则运算法则
相关内容链接：【函数的和、差、积、商的求导法则】 分段函数的导数
相关内容链接：【函数在一点处的单侧导数定义】
f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim lim x 0 x x 0 x x0 x x x0 f ( x0 x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim lim x 0 x x 0 x x0 x x x0
f ( x) g ( x) 0在x 0处可导
f ( x) 1 ，g ( x) x
f ( x) g ( x) x 在x 0处不可导
可导+可导=可导 可导+不可导=不可导 不可导+不可导=未定 可导×可导=可导 可导×不可导=未定 不可导×不可导=未定
注意
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错解分析
复合函数的导数
曲线y f ( x)在切点M 0 ( x0 , y0 )处的切线方程为： y y0 f ( x0 )( x x0 )
例9 求过点 2,0 且与曲线y 2x x3相切的直线方程。
[错解]
设所求直线斜率为k，
则 k （2 x x3 )
x2
2 3x 2
×
×
[错因分析]
f ( x) f ( x0 h)不一定存在，也不一定连续。
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错解分析
[正确解法]
与导数定义有关的命题
f ( x0 h) f ( x0 h) f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 ) lim lim[ ] h 0 h 0 h h h f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 ) lim lim h 0 h 0 h h
1
[错因分析]
多层复合函数与四则运算的求导顺序不对
1 1 2 f ( x) (1 ( x a 2 ) 2 2 x) 2 x x2 a2
[正确解法]
1
1 x2 a2
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错解分析
复合函数的导数
1 3 x sin 例7 设 ( x) x 0
x0 x0
又函数 f ( x)在点 x 0处可导，
求 F ( x) f x 在 x 0处的导数。
[错解]
F x f x x
×
x 0
1 1 2 f x 3x sin x x cos x
但 f [ g( x)] x2 x 在 x 0处不可导.
复合函数在某点处是否可导取决 于复合以后的性态，而与要作复合的 两个函数在相应点是否可导无关.
LOGO
注意
错解分析
复合函数的导数
例6 设f ( x) ln( x x2 a 2 )，求f ( x).
[错解]
1 1 2 f ( x) (1 ( x a 2 ) 2 ) 2 x 2 x x2 a2
2 3x x x
2 0 0
由于所求直线过点（2，0），
代入切线方程得 2 x0 x03 2 3x0 2 2 x0
x0 1
故所求切线为 y 1 x 1
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错解分析
参数方程的导数
相关内容链接：【由参数方程所确定的函数的导数】
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错解分析
分段函数的导数
a b 1 b 1 a
又当x 1时，f ( x) a; 当x 1时，f ( x) 2 x。
x 1
lim f ( x) lim 2 x 2
x 1
f (1) f (1) lim f ( x) lim f ( x)
ax b 例3 确定常数a, b, 使函数f ( x) 2 x
[错解]
x 1 x 1
在x 1处可导。
f (1) lim f ( x) lim x 2 1
x 1 x 1
f (1) lim f ( x) lim ax b a b
x 1 x 1
1 3 f x sin f 0 x lim lim x 0 x 0 x
f 0 0 0
1 3 f x sin f 0 1 x 2 x sin 1 x x3 sin x
LOGO
错解分析
复合函数的导数
1 dy 例8 求由方程x y sin y 0所确定的函数y y( x)的导数 2 dx 1 1 y cos y 0 y 2(1 cos y) [错解] 2
微分的概念与几何意义 微分运算法则及基本公式 一阶微分形式不变形 相关变化率
LOGO
错解分析
1
2
与导数定义有关的命题
分段函数的导数
3 可导函数的四则运算法则
4
复合函数的导数 曲线的切线方程
5
6 参数方程的导数 7
函数的微分
LOGO
错解分析
与导数定义有关的命题
相关内容链接：【函数在一点处的导数定义】
x 1 x 1
×
x 1
lim f ( x) lim a a
x 1
a2
b 1
[错解分析]
函数在某点的单侧导数 f ( x0 )和导数的单侧极限
f ( x0 ) 是两个不同的概念
1 x arctan 例如 f ( x) 1 x 0 x 1 x 1
[错因分析]
sin y是由v sin u和u y( x)复合得到的复合函数
[正确解法]
1 1 1 y cos y y 0 y 1 2 cos y 2
df ( y ) f ( y ) y dx
LOGO
注意
错解分析
曲线的切线方程
相关内容链接：【导数的 几何意义】
相关内容链接：【复合函数的求导法则】
如果函数u g ( x)在点x可导，y f (u)在点u g ( x)可导, dy 则复合函数y f [ g ( x)]在点x处可导，且 f (u ) g ( x). dx
例5 设 f u 在 u0处可导， u g ( x)在 x0处不可导，
x2
10
故所求直线方程为
[错因分析]
y 0 10( x 2)
点（2，0）不在曲线上，因此不是切点。
LOGO
错解分析
[正确解法]
曲线的切线方程
设切点为 x0 , y0 ， 其中 y0 2x0 x03
则所求直线斜率 k 2 3x02
3
那么切线为 y 2 x0 x0
f ( x0 ) f ( x0 ) 2 f ( x0 )
注意 例如:
f ( x0 h) f ( x0 h) lim 存在时，f ( x)在x x0未必可导 h 0 h
f ( x) x
h h f (0 h) f (0 h) lim lim 0 h 0 h 0 h h
F 0 lim F x 0
LOGO×错解分析源自[错因分析]复合函数的导数
1o f x 不一定存在
20 F x 在 x 0 处未必连续
[正确解法]
f x f 0 F x F 0 F 0 lim lim x 0 x 0 x0 x
如果函数 u(x)及 v(x) 都在点 x 处具有导数
那么它们的和、差、积、商（除分母为零的点外）
都在点 x 具有导数.
例4 设f ( x)在x a可导,g ( x)在x a处不可导，讨论
f ( x) g ( x)与f ( x) g ( x)在x a处的可导性。
[错解] [错因分析]
dy x 2t t 例10 设 ，求当 t 0 的导数 . 2 dx y 3t 5t t
LOGO
错解分析
[正确解法]
分段函数的导数
f (1) lim f ( x) lim x 2 1
x 1 x 1
f (1) lim f ( x) lim ax b a b
x 1 x 1
a b 1 b 1 a
2 x 1 f ( x) f (1) lim x 1 2 lim f (1) lim x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
LOGO
而显然f ( x) x 在x 0点处不可导
错解分析
与导数定义有关的命题
例2 设f ( x) ( x a) ( x)，其中（ x）在x a处连续，求f (a).
[错解]
f ( x) ( x) ( x a) ( x)
×
令xa
则得 f (a) (a)
LOGO
高等数学专题讲座
第二讲：导数与微分
主讲：何江平