初中数学 相似三角形复习导航

相似三角形复习导航
一、知识解读：
1、两个三角形相似的条件。

具体为：
a ）两角对应相等的两个三角形相似；
b ）三边对应成比例的两个三角形相似；
c ）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

2、两个相似三角形的性质。

具体为：
a ）相似三角形的对应角相等；
b ）相似三角形的对应边成比例；
c ）相似三角形的对应角平分线、中线、高线的比等于相似比；
d ）相似三角形的周长的比等于相似比。

e）相似三角形的面积的比等于相似比的平方。

3、常见三角形相似的基本图形、基本条件和基本结论：
3.1平行线截三角形二边相似：
基本条件：DE∥BC
基本结论：△ADE∽△ABC；每个图形中有一对相似三角形。

特例：
基本条件：DE⊥AC，BC⊥AC
基本结论：△ADE∽△ACB；每个图形中有一对相似三角形。

3.2直线斜截三角形二边相似：
基本条件：∠ADE=∠ACB，或∠AED=∠ABC，或AE：AB=AD：AC
基本结论：△ADE∽△ACB；图形中有一对相似三角形
特例：
基本条件：∠BDE=∠BAC，或BD：AB=BE：BC或
DE：AC=BE：BC
基本结论：△BDE∽△BAC；图形中有一对相似三角形
3.3过三角形一顶点斜截三角形一边相似：
基本条件：∠ADE=∠ACB，或∠ACD=∠ABC，或AC：AB=AD：AC
基本结论：△ADC∽△ACB；图形中有一对相似三角形
特例：
基本条件：∠BCA=∠CDB=90°，
基本结论：△BDC∽△BCA；△ADC∽△ABC；△BDC∽△CDA；图形中有三对相似三角形。

二、考点例析
考点1、相似三角形的性质
例1、如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（）（08年贵阳市）
A．1:2B．1:4C．D．2:1
解析：直接考相似三角形的最基本的性质，面积之比等于相似比的平方。

选B。

例2、如图1，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为______________．（08年大连市）
解析：因为，△ABC ∽△DEF ，
所以，∠A=∠D ，（相似三角形的对应角相等），
仔细观察图形，知道∠A=30°，
所以，∠D=30°。

例3、(2008常州市) 如图2所示,在△ABC 中,若D E ∥BC,
AD DB =12
,DE=4cm,则BC 的长为
A.8cm
B.12cm
C.11cm
D.10cm 解析：因为，D E ∥BC,
所以，△ADE ∽△ABC,所以
BD
AD BC DE =，（相似三角形的对应边成比例）即314=BC ，解得DE=12. 因此，选B 。

考点2、相似三角形的判定
例4、如图3所示，∠DAB ＝∠CAE ，请补充一个条件： ，使△ABC ∽△ADE ．
（08湖北省咸宁市）
解析：添加的条件有三种，分别是D B ∠=∠或AED C ∠=∠或AD AE AB AC
=。

例5、如图4所示，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC 、CD 于点P 、Q 。

⑴请写出图中各对相似三角形(相似比为1 除外)；
(2)求BP ∶PQ ∶QR
（2008年安徽省中考试题)
解析：
（1）图中相似的三角形有：
△BCP ∽△BER,△PCQ ∽△PAB,△PCQ ∽△RDQ,△PAB ∽△RDQ;
（2）
因为，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，
所以，BC=AD=CE,AC ∥DE,所以，,2
1==RE PC BE BC 因为，△PCQ ∽△RDQ,DR=RE,所以，,21===RE PC DR PC QR PQ 所以，QR=2PQ,BP=PR=PQ+QR=3PQ,所以，BP:PQ:QR=3:1:2.
考点3、相似三角形的实际应用
例6、阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜。

请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案。

（1）所需的测量工具是：
；
（2）请在下图5中画出测量示意图；
（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x.
解析：
（1）皮尺、标杆。

（2）测量示意图6如图所示。

（3）如图6，测得标杆DE ＝a ，
树和标杆的影长分别为AC ＝b ，EF ＝c
因为，△DEF ∽△BAC 所以，DE FE BA CA = 所以，a c x b = 所以， 。

ab x c =。