2019届河南省名校联盟高三上学期尖子生11月调研考试(三)文科数学Word版含解析

河南省名校联盟2018—2019学年高三尖子生11月调研考试（三）数 学（文）卷注意事项：1．考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、函数与初等函数、导数及应用、不等式、数列、三角函数与解三角形、平面向量、立体几何。

2．本卷分选择题和非选择题两部分。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题的答案后，用铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案填写在答题卡上，写在本试卷上无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的） 1．（2－6i ）（1＋4i ）＝A ．－26－2iB ．26－2iC ．26＋2iD ．－26＋2i2．设全集为R ，集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x ｜y ，则A ∩（C R B ）＝ A ．{1，2} B ．{1} C ．{1，3} D ．{1，2，3} 3．已知等差数列{n a }的前n 项和为n S ，且S 8＝92，a 5＝13，则a 4＝ A ．16 B ．13 C ．12 D ．104．已知函数f （x ）＝x 2＋mx －4在（－∞，5]上是单调函数，则实数m 的取值范围为 A ．（－∞，－5] B ．（－∞，－5） C ．（－∞，－10] D ．（－∞，－10） 5．已知命题p ：0x ∈R ，02x＜0x －1；命题q ：在△ABC 中，“BC 2＋AC 2＜AB 2”是“△ABC 为钝角三角形”的充分不必要条件．则下列命题中的真命题是 A ．q ⌝ B ．p ∧q C ．p ∨（q ⌝） D ．（p ⌝）∧q6．已知实数a ，b ，c 满足a ＝ln 14，b ＝（12）0.9，c ＝233，则实数a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a 7．如图，在△ABC 中，AB ＝4，tanB ＝，点D 在线段BC 上，∠ADC ＝56π，则AD ＝A．3 B．3 C．3D．3 8．已知等比数列{n a }满足37610a a a a ＋＋＝8，a 3＝16，则a 5＋a 8＝A ．5B ．92 C ．58 D ．989．若tan （4π－α）＝－4，则sin2α＝ A ．－1517 B ．1517 C ．－817 D ．81710．已知三棱锥S —ABC 的直观图及其部分三视图如下所示，若三棱锥S —ABC的体积为3，则三棱锥S —ABC 的外接球半径为A．3 BC．3D11．已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝6，E 为线段D 1D 的中点，则直线C 1D 与直线BE 夹角的余弦值为A．170 B．170 C．34 D．17012．已知函数f （x ）＝52511ln 26x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩－，≤，－，1＜≤，若关于x 的不等式f （x ）＋ax ≤0在（－∞，2]上恒成立，则实数a 的取值范围为A ．[0，52] B ．[0，52） C ．[0，2] D ．[0，2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在题中的横线上）13．如图，正方形ABCD 中，E 为线段CD 的中点，若BD uuu r ＝λAE uu u r＋μBE uur ，则λ＋μ＝_________．14．已知实数x ，y 满足232x y x y y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥，＋≤，≥－则z ＝x －3y 的最小值为__________．15．已知函数f （x ）＝sin （3x －4π），x ∈[2π，π]，则函数f （x ）的单调递增区间为___________． 16．已知函数f （x ）＝x 2＋mcosx ＋3，若函数f （x ）的零点与函数f[f （x ）]的零点相同，则实数m 的值为___________．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分l0分）已知函数f （x ）＝lnx －8x 2－6x ，求函数f （x ）的极值．18．（本小题满分12分）已知△ABC中，（sinA－sinB）（sinA＋sinB）＝sinAsinC－sin2C．（1）求sinB的值；（2）若△ABC的面积S△ABC＝，且AB＋BC＝，求AC的值．19．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝mx3－2x2．（1）若m＝1，求曲线y＝f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝f（x）－mx2在[1，3]上单调递增，求实数m的取值范围．20．（本小题满分12分）已知三棱锥S —ABC 中，平面SAC ⊥平面ABC ，∠BAC ＝∠BCA ＝∠SAC ＝45°AB ＝ 2AS ，D 为线段AC 的中点．（1）证明：AS ⊥SB ；（2）若AD ＝2，求点C 到平面SBD 的距离．21．（本小题满分12分）已知数列{n a }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋n a ＝1336n ＋－．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）若数列{n b }满足n b ＝（4n ＋3）n a ，求数列{n b }的前n 项和n T ．22．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝a （x －2）xe －22x ＋x ，a ∈R ．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）若a ＝1，关于x 的不等式x xe －xe －22x ＋2－f （x ）＜e 2在[－m ，m]上恒成立，求正实数m 的取值范围．数学（文）卷 参考答案1.【答案】C【解析】依题意，()()26i 14i 28i 6i 24262i -+=+-+=+，故选C.2.【答案】B【解析】依题意，B ={{}2x y x x ==≥，故{}2R B x x =<ð，则(){}1RAB =ð，故选B.3.【答案】D【解析】依题意，()()()184584884139222a a a a S a +⋅+⋅===+=，解得410a =，故选D.4.【答案】C【解析】因为函数()f x 开口向上，故只有可能函数()f x 在(],5-∞上单调递减，则52m-≥，则10m ≤-，实数m 的取值范围为(],10-∞-，故选C.5.【答案】D【解析】因为21R,xx x ∀∈>-，故命题p 为假命题；因为222BC AC AB +<，故cos 0C <，故“222BC AC AB +<”是“ABC ∆为钝角三角形”的充分不必要条件，命题q 为真，故p q ⌝∧（）为真，故选D. 6.【答案】A【解析】依题意，1ln 04a =<，0.9110122b ⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，203331c =>=，故a b c <<，故选A. 7.【答案】C【解析】在△ABC中，∵tan B =sin 3B =，因为∠ADC ＝56π，故∠ADB ＝6π，在△ABD 中，sin sin AB ADADB B=∠，∴AD＝3，故选C. 8.【答案】B【解析】依题意，36103718a a q a a +==+，故12q =，则25583311916164322a a a q a q +=+=⨯+⨯=，故选B.9.【答案】A【解析】依题意，1tan tan 441tan πααα-⎛⎫-==- ⎪+⎝⎭，则5t a n 3α=-，则222102sin cos 2tan 109153sin 225sin cos tan 13341719ααααααα-====-⨯=-+++，故选A. 10.【答案】C【解析】如图所示，1143233S ABC V h h -⎛=⨯⨯⨯⨯==⎝，解得4h =；过球心O 作1OO 垂直平面ABC 于点1O ，则1O 为ABC ∆的中心，连接1,OC O C，观察可知3OC ==，故选C.11.【答案】B【解析】依题意，在原长方体的上方作出形状、大小相同的长方体ABCD -2222D C B A 如图所示；取2BB 的中点F ，连接1,D F C F ，则1C D F ∠即为直线1C D 与直线BE 的夹角或补角，故1cos C DF ∠=1C D 与直线BE 夹角的余弦值为170，选B.12.【答案】A【解析】依题意，()()525,1,25,1,1ln 15,12,ln ,12,ex x x x f x x x x x ⎧-≤⎧-≤⎪⎪==⎨⎨---<≤<≤⎪⎪⎩⎩而()()0f x ax f x ax +≤⇔≤-，令()g x ax =-；在同一直角坐标系中分别作出()f x 、()g x 的图象如下所示；结合图象可得，当0a <时不成立；当0a =时，成立，当0a >时，需满足()()22g f ≥，即25a -≥-，故502a <≤；综上所述，实数a 的取值范围为50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选A.13.【答案】1【解析】依题意，11132222BD BE ED BE BE AE AE BE =+=+-=-+，故13122λμ+=-+=. 14.【答案】7-【解析】作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示；观察可知，当直线3z x y =-过点A 时，有最小值；联立2,3,x y x y +=⎧⎨+=⎩解得15,22x y ==，即15,22A ⎛⎫⎪⎝⎭；故所求最小值为153722-⨯=-.15.【答案】711,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】令232242k x k πππππ-+≤-≤+()Z k ∈，解得323244k x k ππππ-+≤≤+()Z k ∈，故2212343k k x ππππ-+≤≤+()Z k ∈，令1k =，解得7111212x ππ≤≤，故函数的单调递增区间为711,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.【答案】3-【解析】不妨设()1,2,3,...,i x i n =是函数()f x 的零点，故()0i f x =，而()()0i i f f x f x ==⎡⎤⎣⎦，故()00f =，即30m +=，解得3m =-.17.解：依题意，()0,x ∈+∞，故()()()2812111661'166x x x x f x x x x x-++-=--=-=-，（4分） 故当10,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >；当1,8x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <； 故当18x =时，函数()f x 有极大值73ln 28--，无极小值.（10分） 18.解：（1）记ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ；依题意，222sin sin sin sin sin A B A C C -=-，∴222a cb ac +-=，2221cos ,222a c b ac B ac ac +-∴===()0,,3B B ππ∈∴=，∴sin B =；（6分）（2）因为ABC ∆的面积为1sin 802ac B ac =∴=；AB BC +=a c +=()22222cos60333824098,b a c ac a c ac ∴=+-=+-=-=得b AC ==.（12分）19.解：（1）依题意，()322f x x x =-，()2'34f x x x =-， 故()'1341f =-=-，而()1121f =-=-，故所求切线方程为()11y x +=--，即0x y +=；（4分）（2）依题意，()()322g x mx m x =-+，则2'()32(2)g x mx m x =-+； 由()g x 在区间[1,3]上是增函数，则2'()32(2)g x mx m x =-+…0对于1≤x ≤3恒成立，所以(32)4m x -…；因320x ->，故432m x -…，记4()32h x x =-，则max ()m h x …， 而函数()h x 在[1,3]上为减函数，则max ()(1)4h x h ==，所以m …4；故实数m 的取值范围是[4,)+∞.（12分）20.解：（1）因为BAC BCA ∠=∠，D 为线段AC 的中点，BD AC ⊥，由平面SAC ⊥平面ABC ，且平面SAC 平面ABC AC =，所以BD ⊥平面SAC ；因为AS ⊂平面SAC ，所以BD AS ⊥.由已知易得AD AB =,又2AB AS =，所以AD =, 在ASD ∆中，由余弦定理得，22222cos 4SD AD AS AD AS AS π=+-⋅⋅=所以SD AS =，于是222AD SD AS =+，且AS SD ⊥；又SD BD D =，BD ⊂平面SBD ，DS ⊂平面SBD ，所以AS ⊥平面SBD ，因为SB ⊂平面SBD ，AS SB ⊥；（6分）（2）依题意，2BD CD ==，故112221323S BCD V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭；由（1）可知BD SD ⊥，故122BDS S =⨯=∆ 记C 到平面SBD 的距离为h ，故1233S BCD C SBD V V h --===，故h =（12分） 21.解：（1）依题意，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，故1633n n S +=-，故当2n ≥时，1633n n S -=-，故()11663333n n n n S S +--=---，解得13n n a -=； 当1n =时，213316a -==；综上所述，13n n a -=；（5分） （2）依题意，1(43)3n nb n -=+，∴12n n T b b b =+++…01173113(43)3n n -=⨯+⨯+++…，121373113(41)3(43)3n n n T n n -=⨯+⨯++-++…；∴121274343...43(43)3n n n T n --=+⨯+⨯++⨯-+， ∴(41)312n n n T +⋅-=．（12分） 22.解：（1）依题意，R x ∈，()()()()'1111x x f x a x e x ae x =--+=--；令()'0f x >；当0a ≤时，不等式的解集为{}|1x x <； 当10a e <<时，1ln 1a >，不等式的解集为1|1ln x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； 当1a e =时，1ln =1a，不等式的解集为{}|1x x ≠； 当1a e >时，0<1ln 1a <，不等式的解集为1|ln 1x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或； 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 当10a e <<时，函数()f x 在(),1-∞和1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,ln a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减； 当1a e >时，函数()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()1,+∞上单调递增，在1ln ,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1a e=时，函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增；（6分） （2）依题意，22x e x e -+<在[],m m -上恒成立；令()x g x e x =-，则令'()1=0x g x e =-，得0x =；当[],0x m ∈-时，'()0g x ≤，()g x 单调递减，当x ∈(]m ，0时，'()0g x >，()g x 单调递增；所以()max g x 是()()g m g m -、中的较大者，()()12m m g m g m e m e --=--，令()12x x h x e x e =--，()1'220x x h x e e =+-≥=，所以()h x 是增函数，所以当0m >时，()()00h m h >=，所以()()g m g m >-，所以()()max =m g x g m e m =-；故()22g x e <-恒成立等价于22m e m e -+<，即22m e m e -<-，由()g x 在(]m ，0上单调递增以及()222g e =-，解得02m <<； 综上所述，实数m 的取值范围为()0,2.（12分）。