河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学(理)试题
2020-2021学年河南省百校联盟高三(上)9月质检数学(理科)试题word版含解析
2020-2021学年河南省百校联盟高三（上）9月质检数学（理科）试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，5} D．{﹣1，1}2．（5分）设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a=（）A．4 B．3 C．2 D．13．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A．3 B．C．4 D．5．（5分）若输入a=16，A=1，S=0，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．7 C．6 D．56．（5分）已知将函数f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω=（）A．9 B．6 C．4 D．87．（5分）6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A．60 B．96 C．48 D．728．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．8π+2 B．10π+2 C．6π+2 D．12π+29．（5分）已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（c）＜f（a）10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF棱AD交于点P，则PE=（）A．B．C．D．11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为（）A．12 B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）若向量，满足||=2||=2，|﹣4|=2，则向量，的夹角为．14．（5分）若（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为30，则（3x2+1）dx= ．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3|x|+y的最小值为．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=，cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，求sinA+sinC的值．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有S n=a n+n﹣3成立．（1）求证：存在实数λ使得数列{a n+λ}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，E为PD中点，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AC⊥BD，AD=2BC=4．（1）证明：平面EBD⊥平面PAC；（2）若直线PD与平面PAC所成的角为30°，求二面角A﹣BE﹣P的余弦值．20．（12分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．（1）求A恰好获得4元的概率；（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列；（3）设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x=2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．22．（12分）设函数f（x）=lnx+﹣x．（1）当a=﹣2时，求f（x）的极值；（2）当a=1时，证明：f（x）﹣+x＞0在（0，+∞）上恒成立．2020-2021学年河南省百校联盟高三（上）9月质检数学（理科）试题参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}，则M∩∁R N=（）A．{0，1} B．{﹣1，0，1} C．{0，1，5} D．{﹣1，1}【分析】化简集合N，求出∁R N，再计算M∩∁R N．【解答】解：∵全集为R，集合M={﹣1，0，1，5}，N={x|x2﹣x﹣2≥0}={x|x≤﹣1或x≥2}，∴∁R N={x|﹣1＜x＜2}，∴M∩∁R N={0，1}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）设i是虚数单位，若复数a+（a∈R）是纯虚数，则a=（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求得a值．【解答】解：∵a+=a+是纯虚数，∴a=2．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，公差为d，则“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先根据d=4，分别求出a2=6，a3=10，则a1，a2，a3不成等比数列，再根据若a1，a2，a3成等比数列，求得d=0，再根据充分必要条件的得以判断即可．【解答】解：a1=2，公差为d，则“d=4”，则a2=2+4=6，a3=2+8=10，则a1，a2，a3不成等比数列，若a1，a2，a3成等比数列，∴（2+d）2=2（2+2d），解得d=0，故“d=4”是“a1，a2，a3成等比数列”既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，等差数列的定义，等比数列的定义，属于中档题．4．（5分）已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（）A．3 B．C．4 D．【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，∴=，∵y12=4x1，∴解得x1=或x1=4，∵|AF|＞2，∴x1=4，∴A点到原点的距离为=4，故选：B．【点评】本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键．5．（5分）若输入a=16，A=1，S=0，n=1，执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】模拟程序框图的运行过程，当S≥60时终止循环，输出n的值即可．【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入a=16，A=1，S=0，n=1，S=0+16+1=17，S＜60，n=2，A=2，a=8，S=17+8+2=27，S＜60，n=3，A=4，a=4，S=27+4+4=35，S＜60，n=4，A=8，a=2，S=35+8+2=45，S＜60，n=5，A=16，a=1，S=45+16+1=62，S≥60，终止循环，输出n=5．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．6．（5分）已知将函数f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）的图象重合，则ω=（）A．9 B．6 C．4 D．8【分析】由题意得到tan（ωx﹣+）=tan（ωx+），根据周期性求得ω．【解答】解：f（x）=tan（ωx+）（2＜ω＜10）的图象向右平移个单位之后与f（x）图象重合，所以tan（ωx﹣+）=tan（ωx+），所以ωx+=ωx++kπ，解得ω=﹣6k，k∈Z，又2＜ω＜10，所以ω=6；故选：B【点评】本题考查了正切函数的图象；关键是由题意得到函数为同一个函数，利用周期性得到所求．7．（5分）6名同学站成一排照毕业相，要求甲不站在两侧，而且乙和丙相邻、丁和戊相邻，则不同的站法种数为（）A．60 B．96 C．48 D．72【分析】根据题意，分3步进行分析，①、因为乙和丙相邻，用捆绑法分析可得其情况数目，②、丁和戊相邻，同理可得情况数目，③、将这两个整体与剩下的2人排列，因为甲不站在两侧，则甲有2个位置可选，分析可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3步进行分析，①、因为乙和丙相邻，将其看成一个整体，考虑两人的顺序，有A22=2种情况，②、同理，丁和戊相邻，也有2种情况，③、将这两个整体与剩下的2人排列，因为甲不站在两侧，则甲有2个位置可选，则共有2×A33=12种情况，则不同的站法种数为2×2×12=48种；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的运用，因为涉及的限制条件比较多，所以注意认真分析题意，认清问题是排列还是组合问题，还要注意相邻问题需要用捆绑法．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．8π+2 B．10π+2 C．6π+2 D．12π+2【分析】由三视图知该几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、球体的表面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：上面是半球，下面一个圆柱挖掉了个半圆柱，球的半径是1，圆柱的底面圆半径是1，母线长是3，∴几何体的表面积S=+π×1×3+π×1×2+π×12+2×1=8π+2，故选：A．【点评】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9．（5分）已知f（x）=2x﹣2﹣x，a=（），b=（），c=log2，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（b）＜f（c）＜f（a）【分析】由f（x）=2x﹣2﹣x是增函数，利用指数函数和对数函数的单调性能比较三个数f（a），f（b），f （c）的大小．【解答】解：∵f（x）=2x﹣2﹣x是增函数，0＜a=（）＜=1，b=（）＞=1，c=log2＜log21=0，∴f（c）＜f（a）＜f（b）．故选：C．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的单调性的合理运用．10．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是DD1和AB的中点，平面B1EF棱AD交于点P，则PE=（）A．B．C．D．【分析】由面面平行的性质定理可得EQ∥B1F，故D1Q=，B1Q∥PF，故AP=．求出DP，即可得出结论．【解答】解：由面面平行的性质定理可得EQ∥B1F，故D1Q=，B1Q∥PF，故AP=．∴DP=，∴PE==，故选：D．【点评】本题考查面面平行的性质定理，考查学生的计算能力，确定P的位置是关键．11．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，则2a5+a4的最小值为（）A．12 B．C．D．【分析】题意知a n＞0和公比q＞0，由通项公式代入式子：2a4+a3﹣2a2﹣a1同理化简2a5+a4，再把上式代入用q来表示且化简，设=x构造函数y==x﹣x3，再求导、求临界点和函数单调区间，求出函数的最大值，代入2a5+a4化简后式子求出最小值．【解答】解：∵各项均为正数的等比数列{a n}中，2a4+a3﹣2a2﹣a1=8，∴由题意知等比数列{a n}中a n＞0，则公比q＞0，，∴a1（2q3+q2﹣2q﹣1）=8，则a1（2q+1）（q2﹣1）=8，则a1（2q+1）=，∴2a5+a4==q3a1（2q+1）==，设=x，则y==x﹣x3，由y′=1﹣3x2=0，得x=﹣或x=．x∈（﹣∞，﹣）时，y′＜0；x∈（﹣，）时，y′＞0；x∈（，+∞）时，y′＜0．∴y=x﹣x3的减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），增区间为（﹣，）．∴当x=时，y max==，∴2a5+a4的最小值为=12．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，换元法、构造函数法，以及导数与函数单调性、最值的应用，属于数列与函数结合较难的题，考查了学生分析问题和解决问题的能力．12．（5分）已知函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，则实数k的取值范围是（）A． B．C． D．【分析】由题意可化为函数f（x）图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，结合题意作图求解即可【解答】解：∵函数f（x）=的图象上有且仅有四个不同的点关于直线y=﹣1的对称点在y=kx﹣1的图象上，而函数y=kx﹣1关于直线y=﹣1的对称图象为y=﹣kx﹣1，∴f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象有且只有四个不同的交点，作函数f（x）=的图象与y=﹣kx﹣1的图象如下，易知直线y=﹣kx﹣1恒过点A（0，﹣1），设直线AC与y=xlnx﹣2x相切于点C（x，xlnx﹣2x），y′=lnx﹣1，故lnx﹣1=，解得，x=1；故k AC=﹣1；设直线AB与y=x2+x相切于点B（x，x2+x），y′=2x+，故2x+=，解得，x=﹣1；故k AB=﹣2+=﹣；故﹣1＜﹣k＜﹣，故＜k＜1；故选：A．【点评】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）（2016秋•城区校级月考）．【分析】可知，对两边平方进行数量积的运算即可求出，从而便可得出的夹角．【解答】解：根据条件：；∴===28；∴=；∴．故答案为：．【点评】考查向量数量积的运算及计算公式，已知三角函数值求角，以及向量夹角的范围．14．（5分）若（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为30，则（3x2+1）dx= 10 ．【分析】根据题意求出（x+）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值，利用定积分求出结论．【解答】解：（x+）10展开式的通项公式为：T r+1=•x10﹣r•x﹣r=•x10﹣2r；令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为；令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为；所以（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为：﹣a=30，解得a=2．∴（3x2+1）dx==10．故答案为10．【点评】本题考查了利用二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项问题问题，考查定积分知识的运用，是中档题．15．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z=3|x|+y的最小值为．【分析】由线性约束条件画出可行域，转化目标函数为分段函数，根据角点法，求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组，表示的平面区域，如图所示：z=3|x|+y，，得A（﹣1，0），此时z=3，可得B（0，2），此时z=2．由可得C（，），此时z=x﹣4y+1=0，此时z=z=3|x|+y的最小值为．故答案为：．【点评】在线性规划问题中目标函数取得最值的点一定是区域的顶点和边界，在边界上的值也等于在这个边界上的顶点的值，故在解答，只要能把区域的顶点求出，直接把顶点坐标代入进行检验即可．16．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），A，B是圆（x+c）2+y2=4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为．【分析】连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，和△BF1F2中，运用余弦定理求得cos∠AF1F2，os∠BF2F1，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|﹣|AF1|=2a，|BF1|﹣|BF2|=2a，由|BF1|=|AF1|=2c，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c﹣2a，在△AF1F2中，可得cos∠AF1F2==，在△BF1F2中，可得cos∠BF2F1==，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，可得+=0，化为2c2﹣3ac﹣a2=0，得2e2﹣3e﹣1=0，解得e=（负的舍去），故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=，cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0．（1）求角B的大小；（2）若△ABC的面积为，求sinA+sinC的值．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数以及三角形的内角和，转化求解B的正切函数值，即可得到结果．（2）利用三角形的面积求出ac，利用余弦定理求出a+c，利用正弦定理求解即可．【解答】解：（1）由cosAsinB+（c﹣sinA）cos（A+C）=0，得cosAsinB﹣（c﹣sinA）cosB=0，即sib（A+B）=ccosB，sinC=ccosB，，因为，所以，则tanB=，B=．（2）由，得ac=2，…（6分）由及余弦定理得，…（8分）所以a+c=3，所以…（10分）【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的正整数n，都有S n=a n+n﹣3成立．（1）求证：存在实数λ使得数列{a n+λ}为等比数列；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的定义通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”、等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵S n=a n+n﹣3，∴a1=S1=+1﹣3，解得a1=4．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=a n+n﹣3﹣，化为a n=3a n﹣1+2，变形为：a n+1=3（a n﹣1+1），因此取λ=1，则数列{a n+1}为等比数列，首项为5，公比为3．（2）由（1）可得：a n+1=5×3n﹣1，可得a n=5×3n﹣1﹣1，∴na n=5n×3n﹣1﹣n．数列{na n}的前n项和T n=5（1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1）﹣．设A n=1+2×3+3×32+…+n×3n﹣1，∴3A n=3+2×32+…+（n﹣1）×3n﹣1+n×3n，﹣2A n=1+3+32+…+3n﹣1﹣n×3n=﹣n×3n，∴A n=．∴T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、递推公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为等腰梯形，E为PD中点，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AC⊥BD，AD=2BC=4．（1）证明：平面EBD⊥平面PAC；（2）若直线PD与平面PAC所成的角为30°，求二面角A﹣BE﹣P的余弦值．【分析】（1）推导出PA⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明平面EBD⊥平面PAC．（2）设AC和BD相交于点O，连接PO，则∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角，从而∠DPO=30°，以O为原点，分别以OB，OC为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣P的余弦值．【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD，…（1分）又因为AC⊥BD，PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，…（3分）而BD⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面PAC…（4分）解：（2）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（1）知，BD⊥平面PAC，所以∠DPO是直线PD与平面PAC所成的角，从而∠DPO=30°，在Rt△POD中，由∠DPO=30°，得PD=2OD，因为四边形ABCD为等腰梯形，AC⊥BD，所以△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，所以，所以，…（7分）以O为原点，分别以OB，OC为x，y轴建立如图所示的空间直角坐标系，则…（8分）所以=（﹣，﹣2，0），=（﹣2，﹣，2），=（﹣，﹣2，4），=（3，0，0），设平面ABE的一个法向量为=（x1，y1，z1），由=0，，得，令x1=2，得=（2，﹣1，），…（9分）设平面BDP的一个法向量为=（x2，y2，z2），由•=0，•=0，得，令，得=（0，，1），所以cos＜＞==，…（11分）因为二面角A﹣BE﹣P的平面角为锐角，所以二面角A﹣BE﹣P的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A，如果A猜中，A将获得红包里的所有金额；如果A未猜中，A将当前的红包转发给朋友B，如果B猜中，A、B平分红包里的金额；如果B未猜中，B将当前的红包转发给朋友C，如果C猜中，A、B和C平分红包里的金额；如果C未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A、B、C猜中的概率分别为，，，且A、B、C是否猜中互不影响．（1）求A恰好获得4元的概率；（2）设A获得的金额为X元，求X的分布列；（3）设B获得的金额为Y元，C获得的金额为Z元，判断A所获得的金额的期望能否超过Y的期望与Z的期望之和．【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式能求出A恰好获得4元的概率．（2）X的可能取值为0，4，6，12，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（3）Y的可能取值为0，4，6；Z的可能取值为0，4．分别求出相应的概率，由此能求出A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．【解答】解：（1）A恰好获得4元的概率为…（2分）（2）X的可能取值为0，4，6，12，，，…（5分）所以X的分布列为：X 0 4 6 12P…（6分）（3）Y的可能取值为0，4，6；Z的可能取值为0，4．因为，…（8分），…（9分）所以，所以，又，…（11分）由于EX＞EY+EZ，所以A所获得的金额的期望能超过Y的期望与Z的期望之和．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的四个顶点组成的四边形的面积为，且经过点（1，）．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x=2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2．求S1S2的最大值．【分析】（1）由在椭圆C上，可得；又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，可得：=2，联立解出即可得出．（2）由（1）可知F（1，0），设M（2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则当t≠0时，，，直线AB的方程为2x+ty﹣2=0（t≠0），与椭圆方程联立：（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，利用根与系数的关系、弦长公式可得|AB|，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（1）∵在椭圆C上，∴，又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为，∴，解得a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为．（2）由（1）可知F（1，0），设M（2，t），A（x1，y1），B（x2，y2），则当t≠0时，，所以，直线AB的方程为，即2x+ty﹣2=0（t≠0），由得（8+t2）x2﹣16x+8﹣2t2=0，则△=（﹣16）2﹣4（8+t2）（8﹣2t2）=8（t4+4t2）＞0，，，又，∴，由，得，∴，∴，当t=0时，直线，∴当t=0时，．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．（12分）设函数f（x）=lnx+﹣x．（1）当a=﹣2时，求f（x）的极值；（2）当a=1时，证明：f（x）﹣+x＞0在（0，+∞）上恒成立．【分析】（1）利用导数求出原函数的单调性，即可求出f（x）的极值；（2）证明f（x）﹣+x＞0在（0，+∞）上恒成立，即证，实际是比较左边函数的最小值与右边函数的最大值，利用导数求出左边函数的最小值与右边函数的最大值；【解答】解：（1）当a=﹣2时，，∴当x∈（0，2）时，f'（x）＞0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＜0．∴f（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减；∴f（x）在x=2处取得极大值f（2）=ln2﹣3，f（x）无极小值；（2）当a=1时，，下面证，即证，设g（x）=xlnx+1，则g'（x）=1+lnx，在上，g'（x）＜0，g（x）是减函数；在上，g'（x）＞0，g（x）是增函数．所以，设，则，在（0，1）上，h'（x）＞0，h（x）是增函数；在（1，+∞）上，h'（x）＜0，h（x）是减函数，所以，所以h（x）＜g（x），即，所以，即，即在（0，+∞）上恒成立．【点评】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用、函数的最值以及构造新函数等综合知识点，属中等题．。
河南省名校联盟2020届高三数学11月教学质量检测试题 理(含答案)
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（1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最大值．
-4-
23．[选修 4－5：不等式选讲]（10 分）
已知 a，b 为正数，且满足 a＋b＝1．
（1）求证：（1＋ 1 ）（1＋ 1 ）≥ 9 ；
a
b
（2）求证：（ a ＋ 1 ）（ b ＋ 1 ）≥ 25 ．
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河南省八市重点高中联盟2021届高三数学9月领军考试试题 理(含解析).doc
河南省八市重点高中联盟2021届高三数学9月领军考试试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}2|2A x x x =，{|14}B x x =<<，则A B =（ ）A. (,4)-∞B. [0,4)C. (1,2]D. (1,2)【答案】C 【解析】 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：∵A {x |0x 2}=≤≤，B {x |1x 4}=＜＜，∴A B 12]⋂=（，． 故选：C ．【点睛】考查描述法、区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.已知复数z 的共轭复数为z ，若11z z i-=+，则z 在复平面内对应的点为（ ） A. (2,1)-- B. (2,1)-C. (2,1)-D. (2,1)【答案】A 【解析】 【分析】设R z x yi x y =+∈（，），代入11z z i-=+，整理后利用复数相等的条件列式求得x y ，的值，则答案可求．【详解】解：设R z x yi x y =+∈（，），由11z z i-=+，得()()11x yi i x yi -+=+-, 即()()1x y x y i x yi ++-=-+，则1x y x x y y+=-⎧⎨-=⎩，解得2,1x y =-=-.∴z 在复平面内对应的点为()2,1--， 故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．3.已知命题:p x y ∃<，使得x x y y ，则p ⌝为（ ）A. x y ∃≥，使得x xy yB. x y ∀，x x y y <C. x y ∃<，使得x x y y <D. x y ∀<，总有x x y y <【答案】D 【解析】 【分析】利用特称命题的否定性质即可得到. 【详解】因为命题:p x y ∃<，使得x xy y所以命题p ⌝：x y ∀<，总有x x y y < 故答案为D【点睛】本题主要考查了特称命题否定的形式，属于基础题.4.“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2021中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A. 134 B. 135 C. 136 D. 137【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1514n a n =-，求出15142019n a n =-≤，即可得出数列的项数.【详解】因为能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故1514n a n =-.由15142019n a n =-≤得135n ≤，故此数列的项数为135，故答案为B.【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、转化与化归思想及等差数列的通项公式及数学的转化与化归思想.属于中等题.5.函数2ln x x y x=的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性可排除B ，结合导数对函数2ln x x y x=在(0,)+∞的单调性即可得出答案。
河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学(理)试题(wd无答案)
河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学（理）试题一、单选题(★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 设（为虚数单位），则（）A．1B．C．D．(★) 3. 某工厂生产，，三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知 B种型号产品抽取了60件，则（）A．3B．4C．5D．6(★) 4. 在展开式中，含的项的系数是（）A．220B．-220C．100D．-100(★★★) 5. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 6. 2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★) 8. 将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象关于轴对称，则（）A．B．0C．D．(★★★)9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 10. 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（取，精确到0.1）A．B．C．D．(★★) 11. 在中，内角，，的对边分别为，，，且三边互不相等，若，，，则的面积是（）A．B．C．D．1(★★★★) 12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 已知实数，满足不等式组则的最小值为_______．(★★) 14. 若平面向量与的夹角为，，，则________.(★★★) 15. 已知双曲线的左右焦点为、，过左焦点作垂直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若是钝角，则双曲线离心率的取值范围是______.(★★★) 16. 已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为60°，则四面体的体积的最大值为________.三、解答题(★★) 17. 已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．(★★★) 18. 在棱长为1的正方体中，为的中点，过，，的平面交于点.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值.(★★★) 19. 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响.（1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由；（2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值；（3）若单局比赛甲班胜乙班的概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望.(★★★) 20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点），试判断以和为对角线的四边形是否为菱形?若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由.(★★★★) 21. 已知函数.（1）判断方程的根个数；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线和曲线的直角坐标方程；（2）设直线和曲线交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，求证：．(★★★) 23. 已知函数．（1）当时，解不等式．（2）若对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．。
河南省名校联盟2020-2021学年高三11月教学质量检测数学(理)试题
河南省名校联盟2020-2021学年高三11月教学质量检测数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{|20}A x x =-<，2{|20}B x x x =--<，则AB =（ ）A ．()2-∞，B ．()1-∞，C ．(21)-，D ．(12)-， 2．复平面内表示复数1212iz i-+＝的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设两个单位向量,a b 的夹角为23π，则34a b +=（ ）A ．1B CD ．74．设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题： ①若//a α，//b α，则//a b ； ②若//a α，//a β，则//αβ； ③若a α⊥，b α⊥，则//a b ； ④若a α⊥，a β⊥，则//αβ． 其中正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．如图是某市10月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数越小表示空气质量越好，空气质量指数小于100表示空气质量优良，下列叙述中不正确的是（ ）A ．这14天中有7天空气质量优良B ．这14天中空气质量指数的中位数是103C ．从10月11日到10月14日，空气质量越来越好D ．连续三天中空气质量指数方差最大的是10月5日至10月7日6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ） A ．甲不是海南人 B ．湖南人比甲年龄小 C ．湖南人比河南人年龄大 D ．海南人年龄最小7．已知数列{}n a 对于任意正整数m ，n ，有m n m n a a a +=+，若201a =，则2020a =（ ） A ．101B ．1C ．20D ．20208．函数()3sin 3x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是C 上一点，满足212PF F F ⊥，Q 是线段1PF 上一点，且12FQ QP =，120F P F Q ⋅=，则C 的离心率为（ ）A B 1 C ．22- D ．610．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是偶函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．(3)f x +是偶函数D ．()(2)f x f x =+11．将6名党员干部分配到4个贫困村驻村扶贫，每个贫困村至少分配1名党员干部，则不同的分配方案共有（ ） A ．2640种B ．4800种C ．1560种D ．7200种12．已知函数()sin sin2f x x x =⋅，下列结论中错误的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(,0)2π对称B ．()y f x =的图像关于直线x π=对称C ．()f x 的最大值为2D ．()f x 是周期函数二、填空题13．若一个棱长为2的正方体的八个顶点在同一个球面上，则该球的体积为__________．14．已知1F ，2F 分别为双曲线:C 22221x y a b－＝()00a b >>，的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与C 在第一象限内的交点，若线段1PF 的中点Q 在C 的渐近线上，则C 的两条渐近线方程为__________．15．若直线y kx b =+是曲线2x y e -=的切线，也是曲线1x y e =-的切线，则b =__________．16．设等比数列{}n a 满足32a =，10256a =，则数列2{4}n n a 的前n 项和为__________．三、解答题17．已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且cos 4a B =，sin 3b A =． (1)求a ；(2)若ABC ∆的面积为9，求ABC ∆的周长．18．《九章算术》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，1AC AA =60ABC ∠=︒．(1)证明：三棱柱111ABC A B C -是堑堵； (2)求二面角1A A C B --的余弦值．19．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点(10)F ，的距离减去它到y 轴距离的差都是1．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率为k 的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =，求直线l 的方程． 20．已知函数sin2()(n )l 1f x x x =-+，sin )2(g x x x =-． (1)求证：()g x 在区间(0,]4π上无零点；(2)求证：()f x 有且仅有2个零点．21．一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站、…、第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)．(1)求0P ，1P ，2P ，并根据棋子跳到第n 站的情况，试用2n P -和1n P -表示n P ； (2)求证：1{}12100()n n P P n --=⋯，，，为等比数列； (3)求玩该游戏获胜的概率．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221121t x t t y t ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩－＝，＋＝＋(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos sin 40ρθθ＋＝．(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最大值． 23．已知a ，b 为正数，且满足1a b +=． (1)求证：11(1)(1)9a b ++； (2)求证：1125()()4a b a b ++．参考答案1．D 【解析】 【分析】先求出集合={|12}B x x -<<，再与集合A 求交, 【详解】本题主要考查集合的运算和一元二次不等式的解法． 因为{|20}={|2}A x x x x =-<<，2{|20}B x x x =--<={|12}x x -<<，所以{|12}B x x A -<<⋂=． 故选：D 【点睛】本题考查解二次不等式，考查集合的交集。
【数学】河南省百校联盟2020届高三9月联合检测 数学(理)(PDF版)
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知集合
M＝{x｜x2－3x－4＜0}，N＝{
x
｜
1 3－x
＞0
}，则
M∩N
等于
A．{x｜－4＜x＜3}
B．{x｜－1＜x＜3}
C．{x｜3＜x＜4}
D．{x｜1＜x＜3}
2．设复数
z
满足
若冬至的日影长为 13．5 尺，现在我们用如图所示的程序框图来
求解这十二个节气日影长的和，执行该程序框图，则输出的结果
是
A．94 尺
B．95 尺
C．96 尺
D．97 尺
9．在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，AB⊥BC，E，F 分别为棱
PB，PC 的中点，过 E，F 的平面分别与棱 AB，AC 相交于点 D，
（1）求角 B 的大小；
3 sin B－2 cos2 A＋C ＝0 ． 2
（2）若 sin2B＝2sinAsinC，且△ABC 的面积为 4 3 ，求△ABC 的周长．
19．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝1，且 AB⊥AC，点 M 在棱 CC1 上，
z z＋2
＝i
，则
z＋2
在复平面内对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限 3．已知 a＝log26，b＝log53，c＝20．8，则
A．b＜a＜c
D．第四象限 B．a＜c＜b
C．c＜a＜b
D．b＜c＜a
4．2019 年 7 月 1 日，《上海市生活垃圾管理条例》正式实施，生活垃圾要按照“可回收物”、
【数学】河南省百校联盟2020届高三9月联合检测 数学(文)(PDF版)
，若该甜品店从五种“网
红甜品”中随机卖出 2 种不同的甜品，求至少有一种甜品获利超过 x 的概率．
22．（本小题满分 12 分）
已知函数 f（x）＝ 1 x（1－ax）－lnx（a∈R）． 2
（1）当 a＝－ 1 时，求 f（x）的单调区间； 2
（2）当 x∈（1，＋∞）时， f x ＞－ax－ 1 ln x 恒成立，求实数 a 的取值范围
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．已知复数 z＝12＋－2ii ，则复数 z 的虚部为
A．－1
B．－i
C．1
D．i
2．已知集合 M＝{x∈Z｜（x＋1）（x－4）＜0}，N＝{x｜3－x＞0}，则 M∩N 等于
A．{0，1，2，3}
A．2
B．3
C．2 或 3
D．3
8．已知非零向量 a，b 满足｜a｜＝k｜b｜，且 b⊥（a＋2b），若 a，b 的夹角为 2 ，则实 3
数 k 的值为
A．4
B．3
C．2
D．1
2
9．《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作，《周髀算
经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成，主要阐明当时的
19．（本小题满分 12 分） 如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝AA1＝2， 且 AB⊥AC，点 M、N 分别为棱 CC1 和 BC 的中点． （1）证明：证明 A1C∥平面 ANB1； （2）求点 M 到平面 ANB1 的距离．
1
20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，直线 l：y＝x＋1 与抛物线 C 相切于点 P， 过点 P 作抛物线 C 的割线 PQ，割线 PQ 与抛物线 C 的另一交点为 Q，A 为 PQ 的中点．过 A 作 y 轴的垂线与 y 轴交于点 H，与直线 l 相交于点 N，M 为线段 AN 的中点． （1）求抛物线 C 的方程； （2）求证：点 M 在抛物线 C 上．
2020年9月河南省名校联盟2021届高三毕业班质量检测数学(理)试题
6 绝密★启用前
河南省名校联盟
2021届高三毕业班上学期9月联考质量检测
数学(理)试题
2020年9月
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0．5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本试卷主要命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M ＝{x ｜x 2－x ≤0},N ＝{－1,0,1,2},则M ∩N ＝
A ．{－1,0,1}
B ．{－1,0}
C ．{0,1}
D ．{1,2}
2．设11i z i
＝－＋（i 为虚数单位）,则｜z ｜＝ A ．1 B
．
2 C ．12 D ．14 3．某工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,某月生产这三种产品的数量之比依次
为2：a ：3,现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,已知B 种型号产品抽取了60件,则a ＝
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
4．在（2－x ）6（x ＋1）展开式中,含x 4的项的系数是
A ．220
B ．－220
C ．100
D ．－100。
2020-2021学年河南省名校联盟高二下学期期末考试数学(理科)试题答案
河南名校联盟2020 2021学年高二(下)期末考试数学(理科)答案第Ⅰ卷123456789101112ACACCBBDDDCB一㊁必做题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.ʌ答案ɔAʌ解析ɔ根据公式(∁U M )ɣ(∁U N )=∁U (M ɘN )直接得解,也可用韦恩图证明,故选A .2.ʌ答案ɔCʌ解析ɔ1+2(1-i )1+i=1+(1-i )2=1-2i =5,故选C .3.ʌ答案ɔAʌ解析ɔ依题意,S 7=7(a 1+a 7)2=7ˑ2a 42=7a 4=73,则a 4=13,又因为a 1=13,所以a n =13,则S 9=9a 1=3,故选A .4.ʌ答案ɔCʌ解析ɔ方程x 2+x -a (a +1)=0,即x +(a +1)[](x -a )=0,解得x =-a -1或x =a ,令-a -1=1可得a =-2,同时a =1时,-1-a =-2;令-a -1=-2可得a =1,同时a =-2时,-1-a =1,故选C .5.ʌ答案ɔCʌ解析ɔ由程序框图可知,一共进行4次循环,循环结束时S =1+2+22+23+24=31,所以最后输出的值为S =9331=3,故选C .6.ʌ答案ɔBʌ解析ɔ由y =a x 2,得x 2=1a y ,令14a =1得a =14,b 2b -a =b 2b -14,令t =b -14>0,则b 2b +a=b 2b +14=t +14æèçöø÷2t =t +116t +12ȡ2t ㊃116t +12=1,当且仅当t =116t ,即t =14时取等号.故选B .7.ʌ答案ɔBʌ解析ɔ根据题意知a ㊃b =|a ң|㊃|b ң|㊃c o s a ң,b ң =c o s a ң,b ң =12,所以 a ,b =60ʎ,建立平面直角坐标系,设a =(1,0),b =(12,32),则c =a +2b =(2,3),所以c o s a ,c =a ㊃c a ㊃c =(1,0)㊃(2,3)1ˑ7=27,所以t a n a ,c =32,故选B .8.ʌ答案ɔDʌ解析ɔ根据题意,外接球的直径为29,该几何体可看作长方体截得的一部分,如下图两种图形,该几何体外接球的直径为长方体的体对角线长,设长方体底面的宽为x ,则x 2+22+42=29,ʑx =3,故该几何体的体积为2ˑ3ˑ4-13ˑ12ˑ2ˑ3ˑ4=20或2ˑ3ˑ4-2ˑ13ˑ12ˑ2ˑ3ˑ4=16,故选D .9.ʌ答案ɔDʌ解析ɔ由f (x )=(x +1)e x ,得f '(x )=(x +2)e x,所以函数f (x )在(-¥,-2)上单调递减,在(-2,+¥)上单调递增,所以A 不正确;分析函数f (x )的大致图象(也可另f (x )=0,得x =-1),可知B 错误;设切点为(x 0,(x 0+1)e x 0),可得切线方程为y -(x 0+1)e x 0=(x 0+2)e x 0(x -x 0),又因为过坐标原点,可得x 20+x 0-1=0,该方程有两个解,所以D 正确;因为f (-x )ʂ-f (x ),所以C 错误.故选D .10.ʌ答案ɔD ʌ解析ɔ依题意,f (x )=3s i n x c o s x +s i n 2x =s i n 2x -π6æèçöø÷+12,函数g (x )=12-f (-x )=s i n (2x +π6),因此点5π12,0æèçöø÷是函数g (x )的图象的一个对称中心,故选D .11.ʌ答案ɔC ʌ解析ɔ易证正三棱锥的对棱垂直,所以A B ʅC D ,故A 正确;当A B=B C =22时,正三棱锥A -B C D 为正四面体,可放到边长为2的正方体内,所以正三棱锥A -B C D 的外接球的半径为3,外接球的表面积为12π,故B 正确;当A D ʒB C =21ʒ6时,取C D 的中点为M ,连接AM ,B M ,则øAM B 即为所求角,令A D =21,B C =6,则AM =23,B M =33,所以c o s øAM B =AM 2+B M 2-A B 22ˑAM ˑB M =12,øAM B =60ʎ,故C 不正确;将侧面沿A C 展开(如图),则әC MN 周长的最小值为3,故D 正确.故选C .12.ʌ答案ɔBʌ解析ɔ由l n a =-4a 2l n 2,得l n a a 2=l n1212æèçöø÷2,由4l n b =b 2l n 2,得l n b b 2=l n 222,由8l n c =c 2l n 2,得l n c c 2=l n442,令g (x )=l n x x 2,则g '(x )=1-2l n x x3,所以函数g (x )在(0,e )上单调递增,在(e ,+¥)上单调递减,且g (1)=0,当x >1时,g (x )>0,画出g (x )的大致图象如图所示,分析可得a <c <b ,故选B .第Ⅱ卷二㊁填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.ʌ答案ɔ28ʌ解析ɔ由棱台的体积公式可得V =13ˑ3ˑ(4+4ˑ16+16)=28,所以棱台A B C D -A 1B 1C 1D 1的体积为28.14.ʌ答案ɔ6ʌ解析ɔ不等式组表示的可行域如图所示,由图可知:当z =3y -4x 经过点A (0,2)时,z 取得最大值,即z m a x =6.15.ʌ答案ɔ401ʌ解析ɔ(2x 2+x -2)5=(2x 2+x -2)ˑ(2x 2+x -2)ˑ(2x 2+x -2)ˑ(2x 2+x -2)ˑ(2x 2+x -2),分析可知,展开式中x 5的项为C 15(2x 2)1C 34x 3C 11(-2)1+C 25(2x 2)2C 13x C 22(-2)2+C 55x 5=401x 5,所以x 5的系数为401.16.ʌ答案ɔ8ʌ解析ɔ如图,P 为圆A :(x -7)2+(y -3)2=4上一动点,Q 为圆B :(x -4)2+y 2=4上一动点,O 为坐标原点,取T (3,0),连接B Q ,T Q ,则|T B ||B Q |=|B Q ||O B |=12,所以易得әT B Q ʐәQ B O ,所以|O Q |=2|T Q |,又易知|P Q |ȡ|A Q |-2,所以|O Q |+|P Q |+|A Q |ȡ|O Q |+2|A Q |-2=2|Q T |+2|A Q |-2ȡ2|A T |-2=8,故答案为8.三㊁解答题:共70分,解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个考题考生都必须作答.第22㊁23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.ʌ解析ɔ(Ⅰ)X 的分布列为:X 8892100116134P110310310110210(4分)E (X )=88ˑ110+92ˑ310+100ˑ310+116ˑ110+134ˑ210=104810=104.8(元). (6分)(Ⅱ)根据数据,可估算员工甲日平均卖出的产品件数为110ˑ(22+23+23+23+25+25+25+29+32+32)=25.9.(8分)员工甲根据方案一的日平均奖励为25.9ˑ4.5=116.55(元),(10分)因为116.55>104.8,所以建议员工甲选择方案一.(12分)18.ʌ解析ɔ(Ⅰ)当n ȡ3时,a n =2a n -1+3a n -2,a n +k a n -1=(2+k )a n -1+3a n -2=(2+k )a n -1+3k +2a n -2æèçöø÷,(2分)令k =3k +2,则k 2+2k -3=0,解得k =-3或1,所以a n -3a n -1=-(a n -1-3a n -2),a n +a n -1=3(a n -1+a n -2).所以a n -3a n -1=(-2)ˑ(-1)n -1(n ȡ2),a n +a n -1=2ˑ3n -1(n ȡ2),从而可得a n =12ˑ3n -12ˑ(-1)n -1.(6分)(Ⅱ)S n =12ˑ3ˑ(1-3n )1-3-12ˑ1ˑ[1-(-1)n ]1-(-1)=3n +1+(-1)n -44.(12分)(本题为分组求和法求和:每一组求和正确,得3分)19.ʌ解析ɔ(Ⅰ)由鳖臑的概念,可知D E ʅ平面A B C D ,A C ⊂平面A B C D ,ʑD E ʅA C ,(2分)又ȵ四边形A B C D 是正方形,ʑA C ʅB D ,ȵB D ɘD E =D ,ʑA C ʅ平面B D E ,(4分)ȵA C ⊂平面A C E ,ʑ平面A C E ʅ平面B D E .(6分)(Ⅱ)ȵD A ,D C ,D E 两两垂直,ʑ建立如图所示的空间直角坐标系D-x yz ,(7分)设A M =t (0ɤt ɤ36),则D (0,0,0),M (3,0,t ),E (0,0,36),B (3,3,0),ʑB M ң=(0,-3,t ),E M ң=(3,0,t -36),D B ң=(3,3,0), (8分)设平面B E M 的法向量为n =(x ,y ,z ),则n ㊃B Mң=0n ㊃E Mң=0{,即-3y +t z =03x +(t -36)z =0{,令z =1,则平面B E M 的一个法向量为n =(6-t 3,t 3,1).(10分)ʑ线段B D 与平面B E M 所成角的正弦值等于c o s D B ң,n ,ʑc o s <D B ң,n >=|D B ң㊃n |D B ң㊃n =36-t +t32ˑ(6-t 3)2+t 29+1=3632ˑ(6-t 3)2+t 29+1=31313,(11分)所以t =26或6,故AM =26或6.(12分)20.ʌ解析ɔ(Ⅰ)设椭圆C 的方程为m x 2+n y2=1,由已知有m +94n =143m +2n =1ìîíïïïï,(2分)解得m =14,n =13ìîíïïïï所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(4分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知,A (0,3),F (1,0),假设存在直线l 满足题意,并设l 的方程为y =33x +t ,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).由y =33x +t x 24+y23=1ìîíïïïï,得13x 2+83t x +12(t 2-3)=0,(6分)由Δ=(83t )2-4ˑ13ˑ12(t 2-3)>0,得-393<t <393,x 1+x 2=-83t 13.(8分)由题意易知点F 为әAMN 的重心,所以x 1+x 2+x A =3x F ,即-83t 13+0=3,解得t =-1338,(10分)当t =-1338时,不满足-393<t <393,所以不存在直线l ,使得F A ң+F Mң+F N ң=0.(12分)21.ʌ解析ɔ(Ⅰ)f '(x )=2x -x 2ex,(2分)令f '(x )>0,得0<x <2,令f '(x )<0,得x <0或x >2,所以f (x )在(-¥,0)和(2,+¥)上单调递减,在(0,2)上单调递增;故函数f (x )的极小值为f (0)=0,当x >2时,分析可得f (x )=x 2ex >0,所以函数f (x )的最小值为f (0)=0.(4分)(Ⅱ)令φ(x )=e x (x -2)-a (x -1)2,当a =0时,φ(x )只有一个零点x =2,由题意知φ'(x )=(x -1)e x -2a (x -1)=(x -1)(e x-2a ),(6分)因为a <0,所以e x-2a >0,所以当x ɪ(-¥,1)时,φ'(x )<0,函数φ(x )为减函数;当x ɪ(1,+¥)时,φ'(x )>0,函数φ(x )为增函数.故当x =1时,φ(x )存在极小值φ(1)=-e <0;又因为φ(2)=-a >0,φ-1+1a æèçöø÷>-3e3+4>0,所以φ(x )在区间(1,2),-1+1a ,1æèçöø÷内各有一个零点;当a >0时,由φ'(x )=(x -1)(e x -2a )=0,得x 1=1,x 2=l n2a .当l n2a >1,即a >e 2时,随着x 的变化,φ'(x )与φ(x )的变化情况如下表:x(-¥,1)1(1,l n2a )l n2a (l n2a ,+¥)φ'(x )+-+φ(x )↗极大值↘极小值↗所以函数φ(x )在(-¥,1),(l n2a ,+¥)上单调递增,在(1,l n2a )上单调递减.又因为φ(1)=-e <0,φ(l n2a )=2a (l n2a -2)-a (l n2a -1)2=a [-(l n2a -2)2-1]<0,∃x 0>l n2a ,使得φ(x 0)>0,(10分)所以函数φ(x )在区间(l n2a ,+¥)只有一个零点;当l n2a =1,即a =e 2时,因为φ'(x )=(x -1)(e x-2a )>0(当且仅当x =1时等号成立),所以φ(x )在R 上单调递增,此时,函数φ(x )至多一个零点;当l n2a <1,即a <e 2时,随着x 的变化,φ'(x )与φ(x )的变化情况如下表:x(-¥,l n2a )l n2a (l n2a ,1)1(1,+¥)φ'(x )+-+φ(x )↗极大值↘极小值↗所以函数φ(x )在(-¥,l n 2a ),(1,+¥)上单调递增,在(l n 2a ,1)上单调递减.又因为a >0,所以当x ɤ1时,φ(x )=(x -2)e x -a (x -1)2<0,φ(1)=-e <0,此时,函数φ(x )在区间(-¥,1)无零点,在区间(1,+¥)上至多一个零点;又ȵφ(0)=-2-a ,ʑ当a =-2时,φ(0)=0.ȵg (x )=e x (x -2)-a (x -1)2,x ʂ0,ʑ当a ʂ-2时,g (x )零点的个数与φ(x )的零点个数相同.当a =-2时,g (x )只有一个零点;综上可知,若g (x )有两个不同的零点,a ɪ(-¥,-2)ɣ(-2,0).(12分)(二)选考题:共10分.请考生在第22㊁23题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一题计分.22.ʌ解析ɔ(I )依题意,曲线C :(x -2)2+y 2=9,故x 2+y 2-4x -5=0,(1分)即曲线C 的极坐标方程为ρ2-4ρc o s θ-5=0;(3分)由x =-t,y =1+t {消去参数t 可得直线l 的普通方程为x +y -1=0.(5分)(Ⅱ)先将直线l 的方程写成标准的参数方程为x =-22t,y =1+22t ,ìîíïïïï代入x 2+y 2-4x -5=0中,(7分)化简可得t 2+32t -4=0,设M ,N 所对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=-32,t 1t 2=-4,(8分)故AM +A N =t 1+t 2=t 1-t 2=(t 1+t 2)2-4t 1t 2=34.(10分)23.ʌ解析ɔ(Ⅰ)方法一:当x ɤ-1时,f (x )=1-3x +3(-x -1)=-2-6x ȡ4;(2分)当-1<x <13时,f (x )=1-3x +3(x +1)=4;(3分)当x ȡ13时,f (x )=3x -1+3(x +1)=6x +2ȡ4,所以m =4.(5分)方法二:f (x )=|3x -1|+3|x +1|=3ˑ(|x -13|+|x +1|)ȡ3ˑ43=4,当且仅当-1ɤx ɤ13时,f (x )m i n =4,所以m =4.(5分)(Ⅱ)由a 2+b 2=a +b ,得(a +b )2-(a +b )=2a b ɤ(a +b )22,即(a +b )22ɤa +b ,当且仅当a =b 时取等号,所以a +b ɤ2.(7分)因为(a +1)(b +1)ɤ(a +1)+(b +1)2[]2=(a +b +22)2ɤ4,(8分)且仅当a =b 时取等号,所以(a +1)(b +1)ɤ4.(10分)。
2020届河南九师联盟高三上学期9月联考数学试题(解析版)
2020届河南九师联盟高三上学期9月联考数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，则复数3(2i)i -的虚部为（ ） A.2- B.2C.1-D.1【答案】A【解析】根据21i =-化简3(2)=12i i i ---根据虚部的定义即可选出答案。
【详解】由3(2)(2)12i i i i i -=--=--，所以虚部为2-．故选A ． 【点睛】本题考查复数的运算，以及虚部的定义，需要注意的是复数z a bi =+的实部为a ，虚部为b ，属于基础题。
2．已知集合2{|4}A x x x =<，{|25}B x x =<<，则A B =（ ）A.{|02}x x <<B.{|45}x x <<C.{|24}x x <<D.{|05}x x <<【答案】D【解析】解出A 集合，再由并集的定义写出A B 即可。
【详解】由2{|4}A x x x =<⇒{|04}A x x =<<，则{|05}A B x x ⋃=<<．故选D ． 【点睛】本题主要考查集合的并集，正确求解一元二次不等式，是首要条件。
属于基础题 3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值．金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米．因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现高大约为（ ） A.128.5米 B.132.5米C.136.5米D.110.5米【答案】C【解析】设出胡夫金字塔原高，根据题意列出等式，解出等式即可根据题意选出答案。
【详解】胡夫金字塔原高为h ，则2304 3.141592h ⨯= ，即2304146.42 3.14159h ⨯=≈⨯米， 则胡夫金字塔现高大约为136.4米．故选C ． 【点睛】本题属于数学应用题，一般设出未知数，再根据题意列出含未知数的等式，解出未知数，即可得到答案。
2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学(理)试题(解析版)
2021届河南省名校联盟高三9月质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}20x x x M =-≤，{}1,0,1,2N =-，则MN =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}1,2D ．{}0,1【答案】D【解析】由集合描述求M 的集合，应用集合交运算求交集即可. 【详解】因为{}{}2001M x x x x x =-≤=≤≤，所以{}0,1M N =．故选：D ． 【点睛】本题考查了集合的基本运算，根据集合交运算求集合，属于简单题. 2．设11iz i=-+（i 为虚数单位），则在复平面内z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由复数的运算求出z ，得出对应点的坐标后可得象限． 【详解】 因为()()1111111111222i i i z i i i i i --=-====-+++-，所以在复平面内z 所对应的点为11,22⎛⎫-⎪⎝⎭，在第四象限． 故选：D ． 【点睛】本题考查复数的综合运算，复数的几何意义，解题方法是由复数运算化复数为代数形式，然后由复数的几何意义得出结论．3．某工厂生产A ，B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为2::3a ，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B 种型号产品抽取了60件，则a =（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】利用样本容量与总体容量比值相等可得． 【详解】由题意，605120a a =+，解得5a =． 故选：C ． 【点睛】本题考查分层抽样，解题根据是样本容量与总体容量比值相等． 4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ） A ．15 B ．17C ．18D ．19【答案】C【解析】模拟程序运行，观察变量值的变化，判断循环条件可得结论． 【详解】第一次运行时，8412S =+=，3i =； 第二次运行时．12315S =+=，2i =； 第三次运行时，15217S =+=，1i =； 第四次运行时，17118S =+=， 此时满足判断条件1i =． 则输出S 的值为18． 故选：C ． 【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，解题方法是模拟程序运行，观察变量值的变化，从而得出结论．5．圆C ：2240x y y +-=被直线l 10y --=所截得的弦长为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】求出圆心到直线的距离，圆的半径，利用垂径定理得弦长． 【详解】圆C 的圆心为()0,2C ，半径为2R =，C 到直线l 的距离为d ==所以所截得的弦长为2==． 故选：B ． 【点睛】本题考查求直线与圆相交弦长，解题方法是几何法，求出圆心到直线的距离后由勾股定理得弦长．6．2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹．造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命．现从4张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”的这4个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取2张，则2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为（ ） A ．12B ．16C ．112D ．15【答案】B【解析】4个图案的卡片编号后用列举法写出任选2张的所有可能事件，而2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片方法恰有1种，计数后可得概率． 【详解】给“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”编号分别为1，2，3，4．从中选2个基本事件为：12，13．14，23，24，34共6个，所以2张恰好是“小萌芽”和“小萌花”卡片的概率为16． 故选：B ． 【点睛】本题考查古典概型，解题方法是列举法．7．函数()2421x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由奇偶性排除A ，C ，再求出0x >时函数有最值可排除D ，从而得正确选项． 【详解】由()()()()22442211x x f x f x x x --===+-+，所以()f x 偶函数，可排除A ，C ；当0x >时，()242222111x f x x x x ==≤=++，即当且仅当1x =时，()max 1f x =，可排除D ．故选：B ． 【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，通过研究函数的性质如奇偶性、单调性、对称性等排除一些选项，再由特殊的函数值、函数值的正负，函数值的变化趋势，图象的特殊点等排除一些选项，最终得出正确选项．8．将函数()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位长度，若所得图象与原图象关于x 轴对称，则π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A． B ．0C．2D【答案】A 【解析】由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，求出()()412k k ω=+∈Z ，求出解析式，再利用诱导公式即可求解. 【详解】 由题意得π4等于半个周期+周期的整数倍，即()()ππ124k k ω=+∈Z ，解得()()412k k ω=+∈Z ．所以()()πsin 4124f x k x ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦． 则π5πsin 2π44f k ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以π42f ⎛⎫=-⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查了三角函数的平移变换、诱导公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 9．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线a 和b 分别在上底面A 1B 1C 1D 1和下底面ABCD 上运动，且a b ⊥，若1A D 与b 所成角为60°时，则a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．90°【答案】B【解析】建立适当的空间直角坐标系，根据题意设出直线,a b 的方向向量，利用空间向量，根据异面直线所成的角的公式求得b 的方向向量的坐标关系，进而利用线面所成角的向量公式求得直线a 与平面侧面ADD 1A 1所成角的大小. 【详解】以D 为原点，以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，如图所示：直线,a b 分别在上下底面内且互相垂直，设直线a 的方向向量为(),,0u m n =,则直线b 的方向向量可以为(),,0v n m =-,直线1A D 的方向向量为()11,0,1DA =, 侧面ADD 1A 1的法向量()0,1,0DC =,1A D 与b 所成角为60°,11··60DA v DA v cos ∴=︒，即12n =，2·cos ,1?DC v n DC v DC v m ∴===, 故a 与侧面ADD 1A 1所成角的大小为45°. 故选：B. 【点睛】本题考查利用空间向量研究异面直线所成的角和线面所成的角问题，属创新题，难度一般.关键是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量进行有关计算.10．“跺积术”是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、三角垛等．现有100根相同的圆柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横截面为正三角形的垛，要求第一层为1根且从第二层起每一层比上一层多1根，并使得剩余的圆形铅笔根数最少，则剩余的铅笔的根数是（ ） A ．9 B ．10C ．12D ．13【答案】A【解析】设只能堆放n 层，由已知得从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +，根据等差数列的前n 项和公式可求得选项．【详解】设只能堆放n 层，则从最上层往下，每层铅笔数组成以首项为1、公差为1的等差数列，且余下的铅笔数小于1n +， 于是()11002n n +≤，且()110012n n n +-<+，解得13n =，剩余的根数为131410092⨯-=． 故选：A. 【点睛】本题考查数列的实际应用，关键在于将生活中的数据，转化为数列中的基本量，属于中档题.11．在ABC 中，3tan 4C =，H 在边BC 上，0AH BC ⋅=，AC BC =，则过点B 以A ，H 为两焦点的双曲线的离心率为（ ）A B ．43C D 【答案】D【解析】设3AH x =，求出,,,CA CH BA BH ，由双曲线的定义表示出2a ，2c AH =，再由离心率定义可得离心率．【详解】在ABC 中，0AH BC ⋅=，所以AH 为边BC 上的高，CA CB =．又3tan 4C =，令3AH x =，则|4CH x =，5AC CB x ==，BH x =，所以AB ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线中，)21a BA BH x =-=，23c AH x ==，所以过点B 以A 、H 为两焦点的双曲线的离心率为22c c e a a====故选：D ． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题方法是设3AH x =，根据双曲线的定义用x 表示出,a c 得离心率．12．3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用3D 打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，．打印所用原料密度为31 g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（ ）（取π 3.14=，精确到） A ．609.4g B ．447.3gC ．398.3gD ．357.3g【答案】C【解析】作出圆锥的轴截面，截正方体得对角面，由这个轴截面中可计算出正方体的棱长和圆锥的高，再由体积公式计算出体积．体积乘密度即得质量． 【详解】如图，是几何体的轴截面，因为圆锥底面直径为，所以半径为OB =．因为母线与底面所成角的正切值为tan B =10cm PO =．设正方体的棱长为a，DE =1010a -=，解得5a =．所以该模型的体积为(()2331500ππ105125cm 33V =⨯⨯-=-． 所以制作该模型所需原料的质量为()500π500π1251125398.3g 33⎛⎫-⨯=-≈ ⎪⎝⎭． 故选：C ． 【点睛】本题考查求组合体的体积，掌握圆锥与正方体的体积公式是解题关键． 二、填空题13．设向量()2,21a m m =-+，()1,3b =-，若a b ⊥，则m =_______． 【答案】1-【解析】0a b ⋅=可计算出m 值． 【详解】因为a b ⊥，所以()()2,211,32630a b m m m m ⋅=-+⋅-=-++=，解得1m =-． 故答案为：1-． 【点睛】本题考查向量垂直与数量积的关系，考查数量积的坐标表示，属于基础题．14．已知实数x ，y 满足不等式组24020x y y x y --≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则26z y x =-的最小值为_______．【答案】44-【解析】根据线性约束条件作出可行域，利用z 的几何意义即可求解. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如下图中阴影部分所示： 由26z y x =-，可得32zy x =+，作直线0:3l y x =， 将其沿着可行域的方向平移，由图可知， 当直线32zy x =+过点B 时，z 取得最小值． 由240,2,x y y --=⎧⎨=⎩解得8,2,x y =⎧⎨=⎩即()8,2B ，所以min 226844z =⨯-⨯=-． 故答案为：44-. 【点睛】本题主要考查了根据简单的线性规划求最值，理解目标函数的几何意义最关键，属于基础题15．曲线()320y x x x=-+>的一条切线的斜率为4，则该切线的方程为_______． 【答案】440x y --=【解析】利用切线的斜率求得切点坐标，然后利用点斜式可得出所求切线的方程. 【详解】设切点坐标为()00,x y ，其中00x >， 对函数32y x x=-+求导得231y x '=+，所以切线的斜率020314x x y x ='=+=，因为00x >，解得01x =，则02310y =-+=，切点为()1,0，则该切线的方程为()41y x =-，即所求切线方程为440x y --=． 故答案为：440x y --=． 【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，同时也考查了利用切线的斜率求切点的坐标，考查计算能力，属于基础题.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且364n n S a =-，若()*11,,m k a a m k m k N ⋅=≤≤∈，则k 的取值集合是_______．【答案】{}4,5【解析】利用已知n S 求n a 的法，求出数列314n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可知{}n a 是递减数列，所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，即可求得k 的取值集合.【详解】当1n =时，11364a a =-，解得116a =；当2n ≥时，364n n S a =-和11364n n S a --=-两式相减， 得13n n n a a a -=-，即114n n a a -=， 则数列{}n a 是首项为16、公比为14的等比数列， 所以13111644n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，{}n a 是递减数列，即各项依次为16，4，1，14，116，164，…， 所以151a a =，241a a =，31a =，结合1m k ≤<，得k 的取值集合是{}4,5． 【点睛】本题主要考查了已知n S 求n a ，利用递推公式求数列通项，考查了等比数列的定义，属于中档题. 三、解答题17．某网校推出试听的收费标准为每课时100元，现推出学员优惠活动，具体收费标准如下（每次听课1课时）：现随机抽取100位学员并统计它们的听课次数，得到数据如下：假设该网校的成本为每课时50元． （1）估计1位学员消费三次及以上的概率；（2）求一位学员听课4课时，该网校所获得的平均利润． 【答案】（1）310；（2）平均利润为25（元）． 【解析】（1）根据听课课时数表和古典概率公式可求得所求的概率．（2）分别计算出第1课时、第2课时、第3课时、第4课时听课利润，从而可求出这4个课时听课获得的平均利润． 【详解】解：（1）根据听课课时数表．估计1位学员听课三次及以上的概率1020310010P +==． （2）第1课时听课利润1000.95040⨯-=（元）； 第2课时听课利润1000.85030⨯-=（元）； 第3课时听课利润1000.75020⨯-=（元）； 第4课时听课利润1000.65010⨯-=（元）， 这4个课时听课获得的平均利润为40302010254+++=（元）．【点睛】本题考查由频数计算概率，统计的数字特征求实际问题中的平均利润，属于中档题. 18．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其面积为S ，且222b c a S +-=． （1）求角A 的大小；（2）若4sin sin 3B C ⋅=且2a =，求ABC 的面积S ．【答案】（1）π3；（2 【解析】()1已知等式利用余弦定理及三角形面积公式化简，整理求出tan A 的值，即可确定出A 的度数；()2由正弦定理和三角形的面积公式可求得答案．【详解】解：（1）由2223b c a S +-=，得12cos sin 32bc A bc A =⋅，所以cos A A =，所以tan A =()0,πA ∈， 所以π3A =．（2）由正弦定理，得2sin sin sin bc a R B C A ，解得R = 由正弦定理得2sin b R B =，2sin c R C =，所以2213sin 2sin sin sin 224S bc A R A B C ===⋅=⎝⎭ 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．19．在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长2的菱形，PAB △和PBC 都是正三角形，且平面PBC ⊥平面PAB ．（1）求证：AC PD ⊥；（2）求三棱锥P ABD -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【解析】（1）先证明PB ⊥平面AOC ，得到AC PB ⊥，再证明AC BD ⊥，则可证明AC ⊥平面PBD ，根据线面垂直的性质可得AC PD ⊥；（2）由原几何体的特点可知P ABD D PAB V V --=，而点D 到底面PAB 的距离等于点C 到底面PAB 的距离，即13D PAD PAB V CO S -∆=⋅⋅. 【详解】（1）证明：取PB 的中点O ，连接OA 和OC ．因为PBC 是正三角形，所以CO PB ⊥．同理OA PB ⊥．又CO OA O =，CO ，AO ⊂平面AOC ，所以PB ⊥平面AOC ．又AC ⊂平面AOC ，所以AC PB ⊥，因为四边形ABCD 是边长2的菱形，所以AC BD ⊥，又PB BD B ⋂=，PB ，BD ⊂平面PBD ，所以AC ⊥平面PBD ．因为PD ⊂平面PBD ，所以AC PD ⊥．（2）因为//CD AB ，AB 平面PAB ，CD ⊄平面PAB ，所以//CD 平面PAB ，所以D 到平面PAB 的距离就是C 到平面PAB 的距离，即CO =，所以三棱锥P ABD -的体积为22112133P ABD D PAB V V CO AB --====． 【点睛】本题考查空间垂直关系的判定及证明，考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，考查棱锥体积的求解，难度一般.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴长等于焦距，且经过点()0,1P ．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线与E 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，D 是y 轴上一点，且CD AB ⊥，求证：线段CD 的中点在x 轴上．【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得1b =； 1c =，从而得椭圆E 的方程．（2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ．直线l 与椭圆的方程联立得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+，表示点222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．设()0,D u ，根据直线的垂直关系得22t u t =+．可得证． 【详解】解：（1）由椭圆E 经过点()0,1P ，得1b =；由短轴长等于焦距，得22b c =，则1c =，所以a =故椭圆E 的方程为2212x y +=． （2）设直线l 的方程为()10x ty t =+≠，()11,A x y ，()11,B x y ，()00,C x y ． 由221,22,x ty x y =+⎧⎨+=⎩得()222210t y ty ++-=，由题意，得>0∆，且12222t y y t +=-+，12212y y t =-+， 则120222y y t y t +==-+，002212x ty t =+=+，即222,22t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭． 设()0,D u ，由CD AB ⊥，得，2212122tu t t t ++⋅=--+，解得22t u t =+． 所以00y u +=，所以002y u +=，故线段CD 的中点在x 轴上． 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系之交点问题，属于中档题.21．已知函数3()f x x ax =+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()ln g x f x x x =-在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）114ln 2,ln 222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求导，对a 分类讨论，利用导函数的正负可得f （x ）的单调性.（2）将已知进行转化，得到3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数a ，构造函数，求导求得值域，可得a 的范围.【详解】（1）因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增； ②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >令()0f x '<，解得x <<， 则()f x在,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭，3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在⎛ ⎝⎭上单调递减. （2）因为()()ln g x f x x x =-，所以()3ln g x x ax x x =+-， ()()ln g x f x x x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，等价于关于x 的方程()0g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. 因为3ln 0x ax x x +-=，所以2ln a x x =-+. 令()2ln h x x x =-+，则()21212x h x x x x =-'-=-+.令()0h x '<，122x ≤≤2x <≤；令()0h x '>，122x ≤≤，解得122x ≤<，则()h x 22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增， 因为2111ln 222h ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1ln24--，()222ln24ln2h =-+=-+， 所以()115224h h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 152ln2204->->，则()()min 24ln2h x h ==-+，()max 1ln 222h x h ⎛⎫==-+ ⎪ ⎪⎝⎭ 11ln222=--， 故a 的取值范围为114ln2,ln222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2,x u y u =⎧⎨=⎩（u 为参数）；以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()πsin 03a a ρθ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭． （1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，直线OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，k ，求证：12k k k +=．【答案】（1）直线l 20y a -+=，曲线C 的直角坐标方程为2x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中，可得直线l 的直角坐标方程，消参可得曲线C 的直角坐标方程．（2）将曲线C 的参数方程2,x u y u =⎧⎨=⎩代入直线l 20y a -+=，得220u a -=．由一元二次方程的根与系数的关系和参数的意义可得证．【详解】（1）解：由πsin 3a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得1sin cos 22a ρθρθ⋅-⋅=，则直线l 20y a -+=；曲线C 的直角坐标方程为2x y =．（2）证明：将2,x u y u=⎧⎨=⎩20y a -+=，得220u a -=． 由直线l 和曲线C 交于A 、B 两点且0a >，得380a ∆=+>；设方程220u a -=的两根分别为1u ，2u ，则12u u += 而y u x=表示曲线C 上的点(),x y 与原点O 连线的斜率，所以11k u =，22k u =，所以1212k k u u +=+=又直线l 的斜率为k =12k k k +=．【点睛】本题考查极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及直线与抛物线的位置关系之交点问题，注意理解参数的意义，属于中档题.23．已知函数()f x x x a =++．（1）当1a =-时，解不等式()3f x ≥．（2）若对任意的x ∈R ，总存在[]1,1a ∈-，使得不等式()22f x a a k ≥-+成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）(][),12,-∞-⋃+∞；（2）(],4-∞．【解析】（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥．分0x ≤，01x <≤，1x >三种情况分别求解不等式，可得原不等式的解集；（2）将问题转化为()2min 2f x a a k ≥-+．①，即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立，由不等式的恒成立的思想可求得实数k 的取值范围．【详解】解：（1）当1a =-时，()3f x ≥，即为13x x +-≥．当0x ≤时，不等式变为13x x -+-≥，解得1x ≤-；当01x <≤时，不等式变为13x x +-≥，无解；当1x >时，不等式变为13x x +-≥，解得2x ≥．綜上，不等式的解集是(][),12,-∞-⋃+∞．（2）要使对任意的x ∈R ，不等式()22f x a a k ≥-+成立，只需()2min 2f x a a k ≥-+．①而()()f x x x a x x a a =++≥-+=， 所以①可转化为22a a a k ≥-+．②即总存在[]1,1a ∈-，使得22a a a k ≥-+成立， 即总存在[]1,1a ∈-，使得()211a a k --+≥成立． 而当1a =-时，()2max113a ⎡⎤--=⎣⎦；当1a =±时，max 1a =， 所以当1a =-时，()2max 114a a ⎡⎤--+=⎣⎦， 所以4k ≤，故实数k 的取值范围是(],4-∞．【点睛】本题考查运用分类讨论的方法解绝对值不等式，不等式的恒成立问题，属于中档题.。
九师联盟 河南省名校联盟2020-2021学年高三9月联考语文试题
河南省名校联盟2020～2021学年高三9月质量检测语文考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间150分钟。
2．答题前，考生务必用直径0．5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0，5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：高考范围。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
关于美育观念的当下认知，我们和远古时代的审美态度发生了很大的变化。
简言之，传统的审美着眼于时间性的体悟和内涵感知，可以称为“静观审美”。
网络时代逐渐产生的审美走向强调能在变化中抓人眼球，否则就难以得到关注，我们叫“流观审美”。
静观审美在观念形态上与古代的仕女画、花鸟画、宫廷画以及春秋战国时期产生的韶乐艺术相适应，创作期待的是能够察之表现的意味，创作自身的情趣融入作品之中而自得。
作品培育的是人的一种静的心态，摒弃万物的嘈杂来静默地感知美。
而我们长期熏陶或受教于这种审美观念，形成的就是对审美主要形态、主要态度和主要的观赏方式的意识。
在网络时代，AI智能的时代，不仅是虚拟世界的意识到来，就是此前兴起的二次元的年轻人意识时代，审美感知也发生了很大的变化。
流观审美在年轻一代中培育出只信赖取悦的对象，理论家推波助澜地加以眼球注意力的解释，经济取悦于这一习俗偏斜到助力的程度，绘画书法变成了拍卖确定高低，音乐以点击率多少确定走红，电视借参与之名为一些上口的通俗作品开传播之风，电影把小鲜肉当成了卖座的不二法门，纸质媒体和网络媒体将娱乐明星出位离婚作为取悦受众的关注新闻。
所谓流观审美固然有需要取得受众的合理大众需求意味，但其实质首先是动感取悦而静不下来倾听观看，人们的某种兴趣需要造就差异的凸显才能获得关注，和需要吻合的就会成为捕捉对象。
2020-2021学年河南省九师联盟高三(上)联考数学试卷(理科)(1月份)(附答案详解)
2020-2021学年河南省九师联盟高三（上）联考数学试卷（理科）（1月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z=1+i3+i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集U=R，集合A={x|−2<x<2}，B={y|y=32x−1}，则A∩(∁U B)=()A. [−1,2)B. (−2,−1]C. (−1,2)D. [−2,1)3.“θ=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanθ=1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.某校拟从1200名高一新生中采用系统抽样的方式抽取48人参加市“抗疫表彰大会”，如果编号为237的同学参加该表彰大会，那么下列编号中不能被抽到的是()A. 327B. 937C. 387D. 10875.若单位向量a⃗，b⃗ 满足(a⃗−2b⃗ )⊥a⃗，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π6B. π3C. π2D. π6.摩索拉斯陵墓位于哈利卡纳素斯，在土耳其(TURKEY)的西南方，建筑的底面是长为40米，宽为30米的长方形，总高45米，其中墩座墙高20米，柱高12米，金字塔高7米，最顶部的马车雕像高6米，建筑物被墩座墙围住，旁边以石像作装饰，顶部的雕像是四匹马拉着一架古代战车，若摩索拉斯陵墓可视为一个长方体与一个正四棱锥的组合体，且长方体的上底面与正四棱锥的底面重合，则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为()(参考数据：√674≈25.962)A. 2.77B. 2.43C. 1.73D. 1.357.已知a=log23⋅log35，b=log√294，c=20.99，则()A. a<c<bB. c<a<bC. a<b<cD. c<b<a8.函数f(x)=e x−1e x+1⋅sinx在区间[−π,π]上的图象大致为()A.B.C.D.9. 在面积为S 的△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2+c 2=3+4StanA ，则a =( )A. 1B. √3C. 2D. 310. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(0<ω<4,|φ|<π2)，f(π12)=f(7π12)=0，则f(x)=( )A. sin(2x −π6)B. sin(3x −π4)C. sin(3x +π4)D. sin(2x +π3)11. 点F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，横坐标为m(m >0)的点P 为抛物线C 上一点，过点P 且与抛物线C 相切的直线l 与y 轴相交于点Q ，则tan∠FPQ =( )A. √m√mC. √m+12√m+112. 已知函数f(x)=xlnx ，若对任意x 1>x 2>0，λ2(x 12−x 22)>f(x 1)−f(x 2)恒成立，则实数λ的取值范围为( )A. [1,e]B. (−∞,1]C. [e,+∞)D. [1,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x −y −1≤0x +y −1≤05x −y +7≥0，则z =−x −3y 的最小值为______ ．14. 已知(2−x)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，则a 1+2a 2+3a 3+⋯+10a 10=______ ． 15. 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，A 为双曲线C 的右顶点，过点F 作x 轴的垂线，与双曲线C 交于P ，若直线AP 的斜率是双曲线C 的一条渐近线斜率的√3倍，则双曲线C 的离心率为______ ．16. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，且∠APB =60°，当△PAB 的面积最大时，四棱锥P −ABCD 的高为______ ，四棱锥P −ABCD 外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1=a n．a n+1(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n=4，求数列{b n}的前n项和S n．4− a n218.如图1中，多边形ABCDE为平面图形，其中AB=AE=√3，BE=BC=2，CD=4，BE//CD，BC⊥CD，将△ABE沿BE边折起，得到如图2所示四棱锥P−BCDE，其中点P与点A重合．(1)当PD=√11时，求证：DE⊥平面PCE；(2)当二面角P−BE−C为135°时，求平面PBE与平面PCD所成二面角的正弦值．19.某校为了调研学情，在期末考试后，从全校高一学生中随机选取了20名男学生和20名女学生，调查分析学生的物理成绩，为易于统计分析，将20名男学生和20名女学生的物理成绩，分成如下四组：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并分别绘制了如图所示的频率分布直方图：规定：物理成绩不低于80分的为优秀，否则为不优秀．(1)根据这次抽查的数据，填写下列的2×2列联表；优秀不优秀合计男生女生合计(2)根据(1)中的列联表，试问能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关？(3)用样本估计总体，将频率视为概率.在全校高一学生中随机抽取8名男生和8名女生，记“8名男生中恰有n(1<n<8)名物理成绩优秀”的概率为P1，“8名女生中恰有n(1<n<8)名物理成绩优秀”的概率为P2，试比较P1与P2的大小，并说明理由．附：临界值参考表与参考公式P(K2≥K0)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k0 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(K2=n(ad−bc)2，其中n=a+b+c+d.)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且垂直于x轴的直线与C 交于M ，N 两点，且M 的坐标为(1,32)． (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 2作与直线MN 不重合的直线l 与C 相交于P ，Q 两点，若直线PM 和直线QN 相交于点T ，求证：点T 在定直线上．21. 已知函数f(x)=x −1x −2alnx(a ∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若lnx 1−lnx 2=1x 1+1x 2，求证：x 1>x 2+2．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−12t,y =√32t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为{x =1+cosα,y =sinα(α为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求直线l 和曲线C 的极坐标方程；(2)已知A 是曲线C 上一点，B 是直线l 上位于极轴所在直线上方的一点，若|OB|=2，求△AOB 面积的最大值．23.设a，b，c∈R，且a+b+c=1．(1)求证：a2+b2+c2≥1；3(2)用max{a,b，c}表示为a，b，c，的最大值，求max{a+b,b+c,c+a}的最小值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：z=1+i3+i =(1+i)(3−i)(3+i)(3−i)=4+2i10=25+15i，所以复数z在复平面内对应的点(25,15)位于第一象限．故选：A．利用复数的运算法则及几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵全集U=R，集合A={x|−2<x<2}，B={y|y=32x−1}={y|y>−1}，∴∁U B={y|y≤−1}，∴A∩(∁U B)=(−2,−1]．故选：B．求出集合B，从而求出∁U B，进而求出A∩(∁U B)．本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由tanθ=1，解得θ=kπ+π4(k∈Z)，∴“θ=2kπ+π4(k∈Z)”是“tanθ=1”的充分不必要条件．故选：A．由tanθ=1，解得θ=kπ+π4(k∈Z)，即可判断出结论．本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：依据题意，抽样间隔为25， 又237除以25的余数为12，故所抽取的编号为：12+25k(k =0,1，…，47)， 所以327不符合． 故选：A ．抽样间隔为25，由237除以25的余数为12，得到所抽取的编号为：12+25k(k =0,1，…，47)，由此能求出结果．本题考查抽样编号的求法，考查系统抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：由(a ⃗ −2b ⃗ )⊥a ⃗ ，得(a ⃗ −2b ⃗ )⋅a ⃗ =0，所以a ⃗ ⋅b ⃗ =12，所以cos〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |⋅|b⃗ |=12，又〈a ⃗ ,b⃗ 〉∈[0,π]，所以〈a ⃗ ,b ⃗ 〉=π3． 故选：B ．利用向量的垂直关系，推出数量积的值，然后求解向量的夹角即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．6.【答案】C【解析】解：根据题意可得，金字塔的侧棱长为√72+252=√674， 则陵墓的高与金字塔的侧棱长之比大约为√674≈1.73， 故选：C ．由正四棱锥的几何结构特征可求出金字塔的侧棱长，从而计算陵墓的高与金字塔的侧棱长之比即可．本题考查了信息题，解题的关键是正确理解题意，从中抽取出立体几何模型进行求解，属于基础题．【解析】解：∵a=log25>2，b=log28116>log28016=log25=a，c<2，∴c<a<b．故选：B．利用对数与指数函数的单调性即可得出大小关系．本题考查了对数与指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由f(−x)=e −x−1e−x+1⋅sin(−x)=e x−1e x+1⋅sinx=f(x)，可知f(x)为偶函数，排除B，又由当x∈[0,π]时，f(x)=e x−1e x+1⋅sinx≥0.排除CD，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数值的符号，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．9.【答案】B【解析】解：因为b2+c2=3+4StanA，由三角形的面积公式可得：b2+c2=3+2bcsinAtanA，即b2+c2=3+2bccosA，由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccosA=3，所以a=√3．故选：B．由三角形的面积公式化简已知等式可得b2+c2=3+2bccosA，进而根据余弦定理可得a的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，熟练掌握余弦定理及三角形的面积公式是解本题的关键，是基础题．【解析】解：因为函数f(x)=sin(ωx+φ)(0<ω<4,|φ|<π2)，f(π12)=f(7π12)=0，所以{πω12+φ=k1π,7πω12+φ=k2π(k1,k2∈Z)，两式作差得πω2=(k2−k1)π(k1,k2∈Z)，解得ω=2(k2−k1)(k1,k2∈Z)，又由0<ω<4，可得ω=2，φ=kπ−π6(k∈Z)，又由|φ|<π2，可得φ=−π6，故f(x)=sin(2x−π6)．故选：A．利用特殊点的函数值列出关于ω，φ的方程组，作差后结合ω的范围，求出ω，φ，即可得到f(x)的表达式．本题考查了求解y=Asin(ωx+φ)解析式问题，一般是利用最值求A，利用周期求ω，利用特殊点求解φ，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由抛物线的对称性，不妨设点P位于第一象限，可得点P的坐标为(m,2√m)，设直线l的方程为y=k(x−m)+2√m，联立方程{y2=4xy=k(x−m)+2√m，消去x后整理为ky2−4y+8√m−4km=0，有△=16−4k(8√m−4km)=0，有mk2−2√mk+1=0，解得k=√m，可得直线l的方程为y=√m+√m，令y=0，得x=−m，直线l与x轴的交点D的坐标为(−m,0)，所以|DF|=1+m，又|PF|=m+1，所以|PF|=|DF|，所以∠FPQ=∠FDP，所以tan∠FPQ=tan∠FDP=k=√m，故选：B．设点P的坐标为(m,2√m)，设直线l的方程为y=k(x−m)+2√m，联立直线与抛物线方程，利用判别式为0，求解k=√m，得到直线方程，然后求解tan∠FPQ即可．本题考查直线与抛物线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：由λ2(x 12−x 22)>f(x 1)−f(x 2)，得λ2x 12−x 1lnx 1>λ2x 22−x 2lnx 2．令g(x)=λ2x 2−xlnx ，则问题可以转化为：对任意x 1>x 2>0，g(x 1)>g(x 2)恒成立， 即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增， 因为g′(x)=λx −lnx −1，故问题转化为g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立， 因为x ∈(0,+∞)， 所以λ≥lnx+1x在(0,+∞)上恒成立，即转化为λ≥[lnx+1x]max ．令ℎ(x)=lnx+1x，则ℎ′(x)=−lnx x 2，所以当x ∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，当x ∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0， 所以ℎ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减， 所以ℎ(x)max =ℎ(1)=1， 所以λ≥1． 故选：D ．首先将不等式进行变形可得λ2x 12−x 1lnx 1>λ2x 22−x 2lnx 2，构造函数g(x)=λ2x 2−xlnx ，则问题转化为为g′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，利用参变量分离法，问题转化为求解λ≥[lnx+1x]max ，构造函数ℎ(x)=lnx+1x，利用导数求解ℎ(x)的最大值即可．本题考查了函数与不等式的综合应用，主要考查了不等式恒成立问题、利用导数求解函数最值问题，要掌握常见的求解不等式恒成立的方法：参变量分离法、最值法、数形结合法等，属于中档题．13.【答案】−5【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{x +y −1=05x −y +7=0，解得A(−1,2)，化目标函数z =−x −3y 为y =−x3−z3，由图可知，当直线y =−x3−z3过点A(−1,2)时，z 取得最小值，z 的最小值为−5． 故答案为：−5．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．14.【答案】−10【解析】解：对(2−x)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，两边分别求导， 可得−10(2−x)9=a 1+2a 2x +⋯+10a 10x 9， 令x =1，得a 1+2a 2+3a 3+⋯+10a 10=−10， 故答案为：−10．对所给的等式求导数，再令x =1，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，求函数的导数，二项展开式的通项公式，属于中档题．15.【答案】2【解析】解：设焦点F 的坐标为(c,0)，双曲线C 的离心率为e ， 不妨设点P 位于第一象限，可求得点P 的坐标为(c,b 2a )，点A 的坐标为(a,0)，直线AP 的斜率为b 2ac−a=c 2−a 2a(c−a)=c+a a=e +1，又由b a=√c2−a 2a 2=√e 2−1，有e +1=√3(e 2−1)，整理为e 2−e −2=0，解得e =2或e =−1(舍)． 故答案为：2．设焦点F 的坐标为(c,0)，双曲线C 的离心率为e ，不妨设点P 位于第一象限，可求得点P 的坐标为(c,b 2a)，点A 的坐标为(a,0)，利用直线的斜率与渐近线的斜率关系，列出方程，求解离心率即可．本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.【答案】√3 28π3【解析】解：点P 在以弦AB =2，所对的圆周角为60°的优弧APB 上运动，作PH ⊥AB ，H 为垂足，由侧面PAB ⊥底面ABCD ，得PH ⊥底面ABCD ．当H 为AB 的中点时，△PAB 为等边三角形， 此时△PAB 的面积最大，且PH =√3，即四棱锥P −ABCD 的高为√3．设等边△PAB 的中心为O 1，正方形ABCD 的中心为O 2， 过O 1、O 2分别作平面PAB 、平面ABCD 的垂线，且交于点O ， 则O 为四棱锥P −ABCD 外接球的球心，则球的半径R =√O 2O 2+O 2A 2=√(√33)2+(√2)2=√73，于是四棱锥P −ABCD 外接球的表面积为4π(√73)2=28π3．故答案为：√3；28π3．作PH ⊥AB ，H 为垂足，利用面面垂直的性质定理得到PH ⊥底面ABCD ，确定当H 为AB 的中点时△PAB 的面积最大，求出棱锥的高即可；设等边△PAB 的中心为O 1，正方形ABCD 的中心为O 2，确定四棱锥P −ABCD 外接球的球心，求出球的半径，由球的体积公式求解即可．本题考查了空间几何体的综合应用，涉及了棱锥高的求解、球的体积公式的应用，要熟练掌握空间几何体的结构特征以及它们之间的联系，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为a n+1=a na n+1，所以1a n+1−1a n=a n+1a n−1a n=1，又1a1=1，所以数列{1an}是首项为1，公差为1的等差数列．所以1a n =1+(n−1)=n，得a n=1n，即数列{a n}的通项公式为a n=1n(n∈N∗)．(2)由(1)，得b n=44−a n2=44−1n2=4n24n2−1=4n2−1+14n2−1=1+1(2n−1)(2n+1)=1+12(12n−1−12n+1)，则S n=1+12(11−13)+1+12(13−15)+1+12(15−17)+⋯+1+12(12n−1−12n+1)=n+12(11−12n+1)=2n(n+1)2n+1．【解析】(1)将原数列的递推式两边取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，可得所求；(2)求得b n，结合数列的分组求和和裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查数列的通项公式的求法，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18.【答案】(1)证明：由BE//CD，BC⊥CD，BE=BC=2，CD=4，易求CE=DE=2√2，所以CE2+DE2=CD2，所以DE⊥CE．因为PE=√3，PD=√11，所以DE2+PE2=11=PD2，所以DE⊥PE．又PE∩CE=E，PE，CE⊂平面PCE，所以DE⊥平面PCE．(2)解：取BE的中点O，过点O在平面BCDE内作BE的垂线交CD于F，以直线OF为x轴，直线OE为y轴，过点O作平面BCDE的垂线为z轴，建立空间直角体系，则O(0,0，0)，B(0,−1,0)，E(0,1，0)，C(2,−1,0)，D(2,3，0)．因为PB=PE，O为BE的中点，所以PO⊥BE，又BE ⊥OF ，所以∠POF =135°．在△PBE 中，PE =√3，BE =2，所以PO =√2，所以P(−1,0，1)， 所以OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,1)． 设平面PBE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 由OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，有{m ⃗⃗⃗ ⋅OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即{y =0z =x ，令x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,0,1)； 设平面PCD 的法向量为n⃗ =(a,b,c)， 由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,0)，CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,1,1)， {n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{b =0c =3a ，令a =1，得n ⃗ =(1,0,3)，所以m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4，|m ⃗⃗⃗ |=√2，|n ⃗ |=√10，cos〈m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ 〉=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=4√2×√10=2√5，故平面PBE 与平面PCD 所成二面角的正弦值为√1−(2√5)2=√55．【解析】(1)证明DE ⊥CE.DE ⊥PE.然后证明DE ⊥平面PCE ．(2)取BE 的中点O ，过点O 在平面BCDE 内作BE 的垂线交CD 于F ，以直线OF 为x 轴，直线OE 为y 轴，过点O 作平面BCDE 的垂线为z 轴，建立空间直角体系，求出平面PBE 的法向量，平面PCD 的法向量，利用空间向量的数量积求解平面PBE 与平面PCD 所成二面角的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．19.【答案】解：(1)列出2×2列联表如下：(2)K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40(15×15−5×5)220×20×20×20=10>6.635，所以能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为物理成绩优秀与性别有关． (3)根据频率分布直方图，可得男生物理成绩优秀的概率为0.5+0.25=0.75=34， 女生物理成绩优秀的概率为0.2+0.05=0.25=14． 设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量ξ， “8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量η， 根据题意，得ξ～B(8,34)，η～B(8,14)， 则P 1=C 8n (34)n(1−34)8−n=C 8n (34)n (14)8−n=C 8n ⋅3n48，P 2=C 8n (14)n(1−14)8−n =C 8n (14)n (34)8−n=C 8n ⋅38−n48，所以P1P 2=C 8n ⋅3n 48C 3n ⋅38−n 48=32n−8，当n =4时，32n−8=1，于是P 1=P 2； 当1<n <4时，32n−8<1，于是P 1<P 2； 当4<n <8时，32n−8>1，于是P 1>P 2．【解析】(1)根据中给出的信息，列出2×2列联表即可；(2)利用(1)中的2×2列联表，求出观测值，与题中给出的临界值进行比较，即可得到答案；(3)根据题意，求出男生物理成绩优秀的概率和女生物理成绩优秀的概率，设“8名男生中物理成绩优秀”的人数为随机变量ξ，“8名女生中物理成绩优秀”的人数为随机变量η，则有ξ～B(8,34)，η～B(8,14)，分别求解P 1，P 2，然后利用作商法比较大小即可． 本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了概率的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意，得F 2(1,0)，F 1(−1,0)，且c =1，则2a =|MF 1|+|MF 2|=√(−1−1)2+(32−0)2+32=4，即a =2，所以b =√a 2−c 2=√3， 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)证明：由(1)及C 的对称性，得点N 的坐标为(1,−32)，设直线l 的方程为y =k(x −1)，点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2). 联立方程{x 24+y 23=1,y =k(x −1),消去y 后整理为(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0， 所以x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3．直线PM 的斜率为y 1−32x 1−1=k(x 1−1)−32x 1−1=k −32x1−2，直线PM 的方程为y −32=(k −32x 1−2)(x −1)，直线QN 的斜率为y 2+32x 2−1=k(x 2−1)+32x 2−1=k +32x 2−2，直线QN 的方程为y +32=(k +32x2−2)(x −1)．将直线PM 和直线QN 方程作差消去y 后整理为(32x 1−2+32x 2−2)(x −1)=3，可得(1x 1−1+1x 2−1)(x −1)=2，而由1x 1−1+1x 2−1=x 1+x 2−2(x 1−1)(x 2−1)=x 1+x 2−2x 1x 2−(x 1+x 2)+1=8k 24k 2+3−24k 2−124k 2+3−8k 24k 2+3+1=23．可得23(x −1)=2，解得x =4，即直线PM 和QN 的交点T 的横坐标恒为4， 所以点T 在定直线x =4上．【解析】(1)过F 2且垂直于x 轴的直线与C 交于M 的坐标为(1,32)，可得c =1，由椭圆的定义可得|MF 1|+|MF 2|=2a ，解得a ，由a 2=b 2+c 2，解得b ，进而可得椭圆的方程， (2)由(1)及C 的对称性，得点N 的坐标，设直线l 的方程为y =k(x −1)，点P 、Q 的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程可得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得x 1+x 2，x 1x 2，进而可得直线直线PM 的方程，直线QN 的方程，联立解方程组，可得答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1+1x 2−2a x=x 2−2ax+1x 2．令g(x)=x 2−2ax +1，方程x 2−2ax +1=0的判别式△=4a 2−4=4(a +1)(a −1)， (ⅰ)当△≤0，即−1≤a ≤1时，g(x)=x 2−2ax +1≥0恒成立， 即对任意x ∈(0,+∞)，f′(x)=g(x)x 2≥0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增． (ⅰ)当△>0，即a <−1或a >1．①当a <−1时，g(x)=x 2−2ax +1≥0恒成立，即对任意x ∈(0,+∞)，f′(x)=g(x)x 2≥0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增．②当a >1时，由x 2−2ax +1=0，解得α=a −√a 2−1，β=a +√a 2−1． 所以当0<x <α时，g(x)>0；当α<x <β时，g(x)<0；当x >β时，g(x)>0， 所以在(0,a −√a 2−1)∪(a +√a 2−1,+∞)上，f′(x)>0， 在(a −√a 2−1,a +√a 2−1)上，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,a −√a 2−1)和(a +√a 2−1,+∞)上单调递增； 在(a −√a 2−1,a +√a 2−1)上单调递减． 综上，当a ≤1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a >1时，f(x)在(0,a −√a 2−1)和(a +√a 2−1,+∞)上单调递增，在(a −√a 2−1,a +√a 2−1)上单调递减．(2)证明：由lnx 1−lnx 2=1x 1+1x 2，得lnx 1−lnx 2>0，所以x 1>x 2>0，因为lnx 1−lnx 2=1x 1+1x 2，所以lnx 1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=x 1x 2+1x 1，令x 1x 2=t ，则t >1，lnt =t+1x 1，所以x 1=t+1lnt，x 2=t+1tlnt，所以x 1−x 2=t 2−1tlnt，所以要证x 1>x 2+2，只要证t 2−1tlnt>2，即证t −1t >2lnt(t >1)，由(1)可知，当a =1时，所以f(x)=x −1x −2lnx 在(0,+∞)上是增函数， 所以，当t >1时，f(t)>f(1)=0，即t −1t >2lnt(t >1)成立， 所以x 1>x 2+2成立．【解析】(1)先求定义域，再求导函数，讨论导函数所对应方程根的情况，结合导数和函数的单调性的关系即可求出单调区间；(2)令x 1x2=t ，则t >1，lnt =t+1x 1，从而可得x 1=t+1lnt，x 2=t+1tlnt ，则x 1−x 2=t 2−1tlnt，所以要证x 1>x 2+2，只要证t 2−1tlnt>2，即证t −1t >2lnt(t >1)，最后根据函数单调性可得结论．本题主要考查了利用导数研究函数单调性，以及利用导数研究函数的最值，同时考查了换元法和转化法的应用，属于难题．22.【答案】解：(1)由l 的参数方程得l 的普通方程为y =−√3x ，所以l 的倾斜角为2π3， 所以直线l 的极坐标方程为θ=2π3(ρ∈R)；由曲线C 的参数方程得C 的普通方程为(x −1)2+y 2=1， 根据{x =ρcosθy =ρsinθ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ=2cosθ． (2)由|OB|=2，则B 的极坐标为(2,2π3)．设A(ρ,θ)(−π2≤θ≤π2)，则S △AOB =12|OA|⋅|OB|sin∠AOB =12×2×2cosθsin(2π3−θ)， =2cosθ(√32cosθ+12sinθ)=√3cos 2θ+sinθcosθ， =√3×1+cos2θ2+12sin2θ=sin(2θ+π3)+√32， 当sin(2θ+π3)=1，即θ=π12时，(S △AOB )max =1+√32．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用三角形的面积公式和三角函数关系的变换及正弦型函数的性质的应用求出三角形面积的最大值．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.【答案】(1)证明：∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立)，b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时等号成立)，c2+a2≥2ac(当且仅当c=a时等号成立)，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+ c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2)，由a+b+c=1，得a2+b2+c2≥13(当且仅当a=b=c=13时等号成立)；(2)解：设M=max{a+b,b+c,c+a}，则M≥a+b，M≥b+c，M≥c+a，从而3M≥2(a+b+c)=2，即M≥23．当且仅当a+b=b+c=c+a，a+b+c=1，即a=b=c=13时，max{a+b,b+c,c+a}的最小值为23．【解析】(1)直接由已知结合基本不等式即可证明；(2)设M=max{a+b,b+c,c+a}，由已知可得M≥a+b，M≥b+c，M≥c+a，由不等式的可加性求得max{a+b,b+c,c+a}的最小值．本题考查基本不等式的应用，考查函数最值的求法，考查化归与转化思想，是中档题．。
2020-2021学年河南省名校联盟高二下学期期末考试数学(理)试题及答案
2020-2021学年河南省名校联盟高二下学期期末考试数学（理）试题★祝考试顺利★(含答案)本试卷时间120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U =R ，则()()U U M N =（ ） A ．()U M N B ．M N C ．M N D ．R 2．已知i 为虚数单位，则2(1)11i i-+=+（ ）A ．．5 C 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1717,33a S ==，则9S =（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64．已知方程2(1)0x x a a +-+=，命题甲：1x =是该方程的解；命题乙：2x =-是该方程的解，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．执行如图所示的程序框图，则输出的S 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知抛物线2y ax =的焦点为(0,1)，若b a >，则2b b a -的最小值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．已知向量,a b 为单位向量且满足12a b ⋅=，若向量2c a b =+，则tan ,a c =（ ）A ．3B ．2C ．3 8．已知一个几何体的三视图如图所示，其外接球的表面积为29π，则这个几何体的体积为（ ）A ．20B ．16C ．20或12D ．16或209．已知函数()(1)x f x x e =+，则（ ）A ．函数()f x 的单调递增区间为(1,)-+∞B ．函数()f x 有两个零点C ．函数()f x 为奇函数D ．过坐标原点有两条直线与函数()f x 的图象相切。
2024届河南新未来高三数学上学期9月联考卷附答案解析
2024届河南新未来高三数学上学期9月联考卷2023.9（试卷满分150分，考试时间120分钟）本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，一元二次函数､方程和不等式，函数，导数概念，导数与函数单调性.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{},0A y y x x ==>，{}N 231B x x =∈-≤，则A B = （）A ．{0,1,2}B ．{1,2}C ．{1,2,3}D ．{2,3}2．命题“a ∃∈R ，210ax +=有实数解”的否定是（）A ．a ∀∈R ，210ax +≠有实数解B ．a ∃∈R ，210ax +=无实数解C ．a ∀∈R ，210ax +=无实数解D ．a ∃∈R ，210ax +≠有实数解3．函数()ln 1f x x x =+的单调递减区间是（）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,e C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．()e,+∞4．函数()23f x x x =-的最大值为（）A ．34B ．12C ．1D ．135．已知函数()()221,2log 12,2a x ax x f x x a x ⎧-+-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，则“2a ≥”是“()f x 在R 上单调递增”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件6．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过20%，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为1.5%，该品牌设置的质保期至多为（）（参考数据：lg 20.3010≈，lg985 2.9934≈）A ．12年B ．13年C ．14年D ．15年7．已知a ，b ，c 均大于1，满足2212log 1a a a -=+-，3323log 1b b b -=+-，4434log 1c c c -=+-，则下列不等式成立的是（）A ．c b a<<B ．a b c<<C ．a c b<<D ．c a b<<8．若存在k ，b ∈R ，使得直线y kx b =+与ln y x =，2y x ax =+的图象均相切，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1]-∞-B ．(,1]-∞C ．[1,)-+∞D ．[1,)+∞二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知0a >，则函数()2x f x a a =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．设函数223()3xx f x -+=，则下列说法正确的是（）A ．函数的定义域为RB ．()f x 的单调递增区间为[1,)+∞C ．()f x 的最小值为3D ．()f x 的图象关于1x =对称11．已知a ，b 为不相等的正实数，满足11a b a b+=+，则下列结论正确的是（）A ．2a b +>B ．11842a b a b ++≥+C ．1613b a b +≥D ．222841a b a +≥+12．定义域为R 的函数()f x 满足()()(1)(1)f x y f x y f x f y --+=++，且(0)0f ≠，则下列说法正确的是（）A ．(1)0f =B ．函数()f x 为奇函数C ．(0)2(2)2f f +=-D ．4为函数()f x 的一个周期三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．集合(){}22,2,Z,Z x y x y x y +<∈∈的真子集的个数是.14．请写出一个同时满足以下条件的函数：.①()f x 的定义域是R ；②()f x 是偶函数且在[0,)+∞上单调递减；③()f x 的值域为(,0]-∞.15．已知函数()f x 的定义域为R ，满足()(4)0,()()f x f x f x f x +-=-=-，当[0,2]x ∈时，()f x 的定义域为R 2()2f x x x n =-++，则(2023)f =.16．已知()2()ln 0e f x x ax b x =--<≤，[1,e]a ∀∈，使得()f x 有两个零点，则b 的取值范围是.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17．已知集合{}2230A x x ax =--<，{}10B x ax =-=.(1)若1a =，求()R A B ð；(2)若A B ⋂≠∅，求a 的取值范围.18．已知函数()x x f x a k a -=-⋅（0a >，且1a ≠）是奇函数，且3(1)2f =．(1)求a ，k 的值；(2)若对于[1,2]x ∀∈，不等式(2)()0f x mf x +≥成立，求m 的取值范围．19．已知函数32()31f x x x ax =-+-.(1)若()f x 的图缘在点00(,())x f x 处的切线经过点(0,0)，求0x ；(2)12,x x 为()f x 的极值点，若()()122f x f x +>-，求实数a 的取值范围.20．已知函数2()ln (0)f x a x a x=+≠.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数1122()()e x a g x f x a ax--=++，求()g x 的最小值.21．小云家后院闲置的一块空地是扇形AOB ，计划在空地挖一个矩形游泳池，有如下两个方案可供选择，经测量，π3AOB ∠=，2OA =.(1)在方案1中，设OE x =，EF y =，求x ，y 满足的关系式；(2)试比较两种方案，哪一种方案游泳池面积S 的最大值更大，并求出该最大值.22．设函数()(2)ln(1)f x x x ax =---，R a ∈.(1)若()f x 在(2,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；(2)已知()f x 有两个不同的零点12,x x ，（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：12111x x +=.1．B【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】{}{},00A y y x x y y ==>=> ，{}{}{}N 231N 121,2B x x x x =∈-≤=∈≤≤=，{1,2}A B ∴= ，故选：B.2．C【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，a ∴∃∈R ，210ax +=有实数解的否定是a ∀∈R ，210ax +=无实数解，故选:C.3．A【分析】利用导数求解单调区间即可.【详解】令1()1ln 0ef x x x '=+=⇒=，10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ，()0f x '<，1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()0f x ¢>，则()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.故选：A 4．D【分析】换元再配方可得答案.【详解】令(0)t x t =≥，则()2211()233033g t t t t t =--⎛⎫=- ⎪⎝+≥⎭，所以max 11()33g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D.5．C【分析】由分段函数在R 上为增函数列式，结合集合的包含关系即可求得结果.【详解】因为()f x 在R 上单调递增，所以 2 251 122441log 1252a a a a a a a a a ⎧⎪≥≥⎧⎪⎪>⇒>⇒≤≤⎨⎨⎪⎪-+-≤+⎩⎪≤⎩，所以2a ≥是522a ≤≤的必要不充分条件，即2a ≥是“()f x 在R 上单调递增”的必要不充分条件，故选：C.6．C【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.【详解】设该品牌设置的质保期至多为x 年，由题意可得，(1 1.5%)120%x -≥-，则0.9850.8x ≥，两边取对数lg 0.985lg 0.8x ≥，即lg 0.985lg 0.8x ≥，则9858lg lg 100010x ≥，即(lg 9853)lg 8lg10x -≥-，则(lg9853)3lg 21x -≥-，因为lg985 2.9934≈，所以lg 98530-<，则3lg 2130.3010114.6970lg9853 2.99343x -⨯-≤≈≈--，又因为*N x ∈，所以14x =，故选：C.7．B【分析】将式子变形，从而转化为比较11y x =-()1x >和log m y x =()2,3,4m =交点的横坐标的大小，数形结合即可判断.【详解】222112log log 11a a a a a -=+⇒=--，333213log log 11b b b b b -=+⇒=--，444314log log 11c c c c c -=+⇒=--，∴考虑11y x =-()1x >和log m y x =()2,3,4m =的图象相交，在同一平面直角坐标系中画出2log y x =、3log y x =、4log y x =与11y x =-()1x >的图象如下：根据图象可知a b c <<.故选：B.8．C【分析】设ln y x =，2y x ax =+图象上的切点分别为()11,ln x x ，()2222,x x ax +，可得出过这两点处的切线方程，联立得2212e 2x a x -=-，设21()e 2xf x x -=-，利用导数判断出()f x 的单调性可得答案..【详解】设ln y x =，2y x ax =+图象上的切点分别为()11,ln x x ，()2222,x x ax +，则过这两点处的切线方程分别为11ln 1x y x x =+-，()2222y x a x x =+-，则2112x a x =+，212ln 1x x -=-，所以2212e 2x a x -=-，设21()e 2xf x x -=-，()21()2e1xf x x -'=-，设()21()2e1xg x x -=-，则()221()221e 0xg x x -'=+>，所以()21()2e1xg x x -=-为单调递增函数，(1)0g =，可得1x <时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以(1)1a f ≥=-.故选：C.9．AD【分析】通过特值法，排除错误选项，通过a 的取值，判断函数的图象的形状，推出结果即可.【详解】由于当1x =时，(1)20f a a a =-=-<，排除B ，C ，当2a =时，()24x f x =-，此时函数图象对应的图形可能为A ，当12a =时，1()()12xf x =-，此时函数图象对应的的图形可能为D.故选：AD.10．ABD【分析】根据函数定义域判断A ，根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间和函数的最小值即可判断B 、C ，根据函数的对称性判断D.【详解】易知函数223()3x x f x -+=的定义域为R ，选项A 正确；223()3xx f x -+=由3u y =与2()23u x x x =-+复合，而3u y =为单调递增函数，所以函数223()3x x f x -+=的单调递减区间为2()23u x x x =-+单调递减区间(),1-∞，函数223()3xx f x -+=的单调递增区间为2()23u x x x =-+单调递增区间[1,)+∞，选项B 正确；由选项B 可知123min ()(1)39f x f -+===，故选项C 错误；因为22(2)2(2)323(2)33()x x xx f x f x ---+-+-===，所以()f x 的图象关于1x =对称.故选项D 正确.故选：ABD.11．ABD【分析】A 选项，方程变形得到1ab =，利用基本不等式求出答案；B 选项，由1ab =变形后，利用基本不等式求出最值；C 选项，由由1ab =变形得到22161616b b b a b ab b b+=+=+，构造216()(0)f x x x x =+>，求导得到其单调性，进而求出最值情况；D 选项，由1ab =证明出2244a b +≥，进而证明出222841a b a +≥+.【详解】A 选项，由11a b a b +=+可知110a b a b -+-=，即0b a a b ab--+=，故1()10a b ab ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，因为a b ¹，所以110ab-=，所以1ab =，故22a b ab +>=，A 选项正确；B 选项，由A 选项可知，1ab =，又0,0a b >>，故()()118888242b a ba ab a b a b a b a a ba bb ab ++=++=++≥+⋅=++++，当且仅当21a =+，21b =-时或21a =-，21b =+时取“=”，B 选项正确；C 选项，由A 选项可知，1ab =，又0,0a b >>，故22161616b b b a b ab b b+=+=+，令216()(0)f x x x x =+>，有()3222816()2x f x x x x-'=-=，令()0f x '>，解得2x >，令()0f x '<，解得02x <<，可知()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞，故()(2)12f x f ≥=，故1612b a b+≥，C 选项错误；D 选项，222841a b a +≥+等价于222844a b a +≥+，即2244a b +≥，因为1ab =，又0,0a b >>，故22444a b ab +=≥，当且仅当2a b =，即2,22a b ==时，等号成立，故D 选项正确.故选：ABD.12．ACD【分析】对于A ，令0x y ==可求出()1f ，对于B ，令0x =，再结合函数奇偶性的定义判断即可，对于C ，分别令1x y ==，1x y ==-分析求解，对于D ，令1y =，再结合周期的定义分析判断【详解】对于A ，令0x y ==，可得(1)0f =，A 选项正确；对于B ，令0x =，有()()(1)(1)f y f y f f y --=+，从而有()()f y f y -=，可知()f x 为偶函数，B 选项错误；对于C ，令1x y ==，有2(0)(2)[(2)]f f f -=；令1x y ==-，有2(0)(2)[(0)]f f f --=，可得2(0)(2)[(2)]f f f -=，从而有22[(0)][(2)]f f =，有(0)(2)f f =±，当(0)(2)f f =时，2[(0)]0f =，可得(0)0f =，与(0)0f ≠矛盾，可知(0)(2)f f =-，可求得(0)2f =，(2)2f =-，有(0)2(2)2f f +=-，C 选项正确；对于D ，令1y =，有(1)(1)(2)(1)f x f x f f x --+=+，有(1)(1)f x f x -=-+，从而有(3)(1)(1)f x f x f x +=-+=-，可知4是函数()f x 的一个周期，D 选项正确.故选：ACD.13．31【分析】先求出集合中元素个数，进而求出真子集的个数.【详解】(){}()()()()(){}22,2,Z,Z 0,0,1,0,0,1,1,0,0,1x y x y x y +<∈∈=--共5个元素，则真子集的个数是52131-=.故答案为：3114．2()f x x =-（答案不唯一）【分析】从常见的偶函数来思考即可.【详解】2()f x x =-符合题意，显然2()f x x =-的定义域为R ，22()()()f x x x f x -=--=-=，是偶函数，2()(,0]f x x ∞=-∈-，值域为(,0]-∞，根据二次函数的性质可知，()f x 在[0,)+∞上单调递减.故答案为：2()f x x =-（答案不唯一）15．1-【分析】根据函数的奇偶性以及周期性即可代入求解.【详解】)(()f x f x -=- ，故()f x 为R 上的奇函数，(0)0f n ∴==，则2()2f x x x =-+，()(4)(4)f x f x f x =--=- ，4T ∴=，()f x 为周期为4的周期函数，(2023)(1)(1)1f f f =-=-=-.故答案为：1-16．)22e ,2⎡--⎣【分析】对()f x 求导后判断单调性，由题意可得()210e 0fa f ⎧⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩，从而可得[1,e]a ∀∈，使得22e ln 1a b a -≤<--，进而转化为min(ln 1)b a <--，()2max2e b a ≥-，从而可求解.【详解】1()f x a x'=-，令1()0f x a x ¢=-=，得11,1e x a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当21,e x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，()0f x '<，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在21,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又()f x 有两个零点，即()221ln 10e 2efa b a f a b ⎧⎛⎫=---> ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=--≤⎩，所以[1,e]a ∀∈，使得22e ln 1a b a -≤<--，所以min (ln 1)b a <--，()2max2eb a ≥-，因为ln 1y a =--在[1,e]上单调递减，所以当e x =时，min 2(ln 1)a --=-，因为22e y a =-在在[1,e]上单调递减，所以当1x =时，()22max2e 2e a --=，所以)22e ,2b ⎡∈--⎣.故答案为：)22e ,2⎡--⎣【点睛】方法点睛:已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围;（2）分离参数法:先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.17．(1)3(1,1)1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (2)22,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）根据一元二次不等式的解，结合集合的交并补运算即可求解.（2）根据题意可得1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，进而根据B A ⊆，代入即可根据不等式求解.【详解】（1）若1a =，则R {1}{1}B B xx =⇒=≠∣ð，{}2323012A x x x x x ⎧⎫=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，()3(1,1)1,2A B ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭R ð；（2）A B B ≠∅⇒≠∅ ，由于1B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，所以B A ⊆，有211230a a a ⎛⎫-⋅-< ⎪⎝⎭，且0a ≠，有224a <，有22a >或22a <-，22,,22a ⎛⎫⎛⎫∴∈-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18．(1)2a =，1k =；(2)52m ≥-【分析】（1）根据函数是奇函数求k ，再代入3(1)2f =，求a ；（2）利用指数幂的化简，将不等式恒成立转化为()min220x xm -++≥，转化为求函数的最小值问题.【详解】（1）因为函数是奇函数，所以()()f x f x -=-，即x x x x a k a a k a ---⋅=-+⋅，得1k =，所以()x x f x a a -=-，()1312f a a -=-=，得2a =或12a =-（舍），综上，2a =，1k =；（2）由（1）知，()22x xf x -=-，则()[]2222220,1,2x x x xm x ---+-≥∈恒成立，()()()2222220xx x x x x m ---+-+-≥，[]220,1,2x x x -->∈，所以220x x m -++≥，对[]1,2x ∀∈恒成立，即()min220x xm -++≥恒成立，设12222x x xxy -=+=+，函数由外层函数1y t t=+和内层函数2x t =复合而成，当[]1,2x ∈，[]2,4t ∈，2x t =单调递增，当[]2,4t ∈，1y t t=+单调递增，所以根据复合函数的单调性可知，函数[]22,1,2x x y x -=+∈单调递增，最小值为115222-+=，即502m +≥，则52m ≥-.19．(1)01x =或012x =-；(2)(2,3).【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解作答.（2）利用极值点的意义，结合韦达定理、根的判别式列出不等式，求解作答.【详解】（1）函数32()31f x x x ax =-+-，求导得2()36f x x x a '=-+，于是函数()f x 的图象在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x f x x x '-=-，即232000000363()()1y x x a x x x x ax =-+-+-+-，而切线过点(0,0)，因此32002310x x -+-=，整理得200(1)(21)0x x -+=，解得01x =或012x =-，所以01x =或012x =-.（2）由（1）知，方程()0f x '=，即2360x x a -+=有两个不等实根12,x x ，则36120a ∆=->，解得3a <，且121223x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，于是323212111222)()((31)(31)f x f x x x ax x x ax +=-+-+-+-22221211221212((3(2))())x x x x x x x x a x x =+-+-+++-122222121()222()2226x x a x a x a x x =--+-+=-++-=-，由()()122f x f x +>-，得262a ->-，解得2a >，因此23a <<，所以实数a 的取值范围是(2,3).20．(1)答案见解析(2)3【分析】（1）求导函数，根据a 的符号分类讨论研究函数的单调性；（2）求()g x 的导函数，记()()g x c x ='，利用导数研究函数()c x 的单调性，从而确定()g x '符号区间，即得函数()g x 的单调区间，进而求解()g x 的最值.【详解】（1）因为2()ln (0)f x a x a x=+≠，所以2222()a ax f x x x x -'=-=，当a<0时，()0f x '<，所以()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，令22()0ax f x x -'==，解得2x a=，因为20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，2,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 的单调递增区间为2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，当a<0时，单调递减区间为(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，单调递减区间为20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）由题意得1112222()ln e e ln (0)x x a g x a x x x a x ax x ---⎛⎫=+++=++> ⎪⎝⎭，则2112212e 2()e x x x x g x x x x--+-'=+-=，令21()e 2x c x x x -=+-，则()21()2e 10x c x x x -'=++>，所以()c x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0c =，所以(0,1)x ∈时，()()0g x c x '=<，(1,)x ∈+∞时，()()0g x c x '=>，故()g x 在()0,1上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故0min ()(1)ln12e 3g x g ==++=.21．(1)224240x xy y ++-=（其中(0,1)x ∈，(0,2)y ∈）(2)选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为233【分析】（1）连接OC ，在Rt OCF 中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围；（2）由（1）及基本不等式求得23xy ≤，结合三角形面积公式求方案一的最大值；在连接OM ，OC ，设OE m =，EF n =，在Rt OCM △中应用勾股定理得2234m mn n ++=，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可.【详解】（1）连接OC ，OE x = ，EF y =，π3AOB ∠=，2OA =，3DE x ∴=，在Rt OCF 中()22()34x y x ++=，x ∴，y 满足的关系式为224240x xy y ++-=（其中(0,1)x ∈，(0,2)y ∈）；（2）方案1：设游泳池DEFC 的面积为(1)S ，由（1）得2224242463x xy y xy xy xy xy ++=≥+=⇒≤，当且仅当2x y =，即13x =，23y =时等号成立，(1)2333S xy ∴=≤；方案2：设游泳池DEFC 的面积为(2)S ，取CF 的中点M ，连接OM ，OC ，设OE m =，EF n =，在Rt OCM △中223422m m n ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()223423423m mn n mn mn ++=≥+⇒≤-，当且仅当()231m n ==-时等号成立，()(2)423S mn ∴=≤-，而()23143245885764230333----==>，则(1)max (2)max S S >，所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为233.22．(1)(,0]-∞2)（i ）0a >（ii ）证明见解析【分析】（1）求得1()ln(1)11f x x a x '=-+---，令1()ln(1)11H x x a x =-+---，得到()0H x '>，得到()f x '在(1,)+∞上单调递增，进而得到(2)0f '≥，求得a 的取值范围.（2）（i ）由()0f x =，转化为(2)ln(1)x x a x --=，令()(2)ln(1)x x g x x--=，得到21(1)2ln(1)1()x x x g x x --+--'=，令1()(1)2ln(1)1h x x x x =--+--，求得()0h x '>，进而得到()g x 得到单调性，得到()(2)0g x g ≥=，进而求得a 的取值范围；（ii ）由（i ）不妨设12x x <，得到()21201x f x f x ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，进而证得12111x x +=.【详解】（1）解：由()(2)ln(1)f x x x ax =---，可得1()ln(1)1(1)1f x x a x x '=-+-->-，令1()ln(1)1(1)1H x x a x x =-+-->-，则211()01(1)H x x x '=+>--，所以()f x '在(1,)+∞上单调递增，要使得函数()f x 在(2,)+∞上单调递增，则满足(2)0f '≥，即(2)0f a '=-≥，解得0a ≤，即实数a 的取值范围是(,0]-∞.（2）证明：（i ）由()0f x =，即(2)ln(1)0x x ax ---=，即(2)ln(1)x x a x--=，令()(2)ln(1)x x g x x --=，可得21(1)2ln(1)1()x x x g x x--+--'=，令1()(1)2ln(1)1h x x x x =--+--，可得212()10(1)(1)h x x x '=++>--，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，又由(2)0h =，当(1,2)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当(2,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()(2)0g x g ≥=，又由当1x →时，21x x -→-，ln(1)x -→-∞，则()g x →+∞，当x →+∞时，21x x-→，ln(1)x -→+∞，则()g x →+∞，所以0a >，即a 的取值范围(0,)+∞；（ii ）由（i ）不妨设12x x <，则1212x x <<<，因为12,x x 是()f x 的2个零点，所以()()120f x f x ==，2()ln(1)1x f x x a x -'=-+--，当(1,2)x ∈时，()0f x '<，则(1,2)x ∈时，()f x 单调递减，要证：12111x x +=，可得2121x x x =-，其中22(1,2)1x x ⎛⎫∈ ⎪-⎝⎭，可得()21201x f x f x ⎛⎫== ⎪-⎝⎭，由222222222ln 11111x x x x f a x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭()2222222222221ln ln 111111x ax x ax x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()222212ln 11x x ax x ⎡⎤=---⎣⎦-()22101f x x ==-，所以12111x x +=.【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.结论拓展：与e x 和ln x 相关的常见同构模型①e ln e ln e ln a a a a b b b b ≤⇔≤，构造函数()ln f x x x =或()e x g x x =；②e e ln ln e ln a a a b b a b b <⇔<，构造函数()ln x f x x =或()e xg x x=；③e ln e ln e ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±或()e x g x x =±.。
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河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测
数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．
2. 设（为虚数单位），则（）
A．1
B．C．D．
3. 某工厂生产，，三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B种型号产品抽取了60件，则（）
A．3 B．4 C．5 D．6
4. 在展开式中，含的项的系数是（）
A．220 B．-220 C．100 D．-100
5. 已知，则（）
A．B．C．D．
6. 2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相
同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为
（）
A．B．C．D．
7. 已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
8. 将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象关于轴对称，则（）
A．B．0
C．D．
9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
10. 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，
四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需
原料的质量约为（）（取，精确到0.1）
A．B．C．D．
11. 在中，内角，，的对边分别为，，，且三边互不相等，若，，，则的面积是（）
D．1
A．B．C．
12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
13. 已知实数，满足不等式组则的最小值为
_______．
14. 若平面向量与的夹角为，，，则________.
15. 已知双曲线的左右焦点为、，过左焦点作垂
直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若是钝角，则双曲线离心率的取值范围是______.
16. 已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为60°，则四面体的体积的最大值为________.
三、解答题
17. 已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
18. 在棱长为1的正方体中，为的中点，过，，的平面交于点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
19. 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响.
（1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由；
（2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜
3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值；
（3）若单局比赛甲班胜乙班的概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望.
20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离
为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点
），试判断以和为对角线的四边形是否为菱形?若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由.
21. 已知函数.
（1）判断方程的根个数；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直
线的极坐标方程为．
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线和曲线交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，求证：．
23. 已知函数．
（1）当时，解不等式．
（2）若对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．。