河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测数学(理)试题

河南省名校联盟2020-2021学年高三9月质量检测

数学（理）试题

学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________

一、单选题

1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．

2. 设（为虚数单位），则（）

A．1

B．C．D．

3. 某工厂生产，，三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为，现用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本，已知B种型号产品抽取了60件，则（）

A．3 B．4 C．5 D．6

4. 在展开式中，含的项的系数是（）

A．220 B．-220 C．100 D．-100

5. 已知，则（）

A．B．C．D．

6. 2019年北京世园会的吉祥物“小萌芽”“小萌花”是一对代表着生命与希望、勤劳与美好、活泼可爱的园艺小兄妹.造型创意来自东方文化中百子图的“吉祥娃娃”，通过头饰、道具、服装创意的巧妙组合，被赋予了普及园艺知识、传播绿色理念的特殊使命.现从5张分别印有“小萌芽”“小萌花”“牡丹花”“菊花”“杜鹃花”的这5个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相

同）中随机选取3张，则“小萌芽”和“小萌花”卡片都在内的概率为

（）

A．B．C．D．

7. 已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

8. 将函数的图象向左平移个单位长度，若所得图象与原图象关于轴对称，则（）

A．B．0

C．D．

9. 已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

10. 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知利用打印技术制作如图所示的模型．该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上，

四个顶点在圆锥底面上），圆锥底面直径为，母线与底面所成角的正切值为．打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需

原料的质量约为（）（取，精确到0.1）

A．B．C．D．

11. 在中，内角，，的对边分别为，，，且三边互不相等，若，，，则的面积是（）

D．1

A．B．C．

12. 已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）

A．B．

C．D．

二、填空题

13. 已知实数，满足不等式组则的最小值为

_______．

14. 若平面向量与的夹角为，，，则________.

15. 已知双曲线的左右焦点为、，过左焦点作垂

直于轴的直线交双曲线的两条渐近线于、两点，若是钝角，则双曲线离心率的取值范围是______.

16. 已知半径为4的球面上有两点，，且，球心为，若球面上的动点满足：与所在截面所成角为60°，则四面体的体积的最大值为________.

三、解答题

17. 已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前项和．

18. 在棱长为1的正方体中，为的中点，过，，的平面交于点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

19. 某学校高三甲、乙两班同学进行拔河比赛，各局比赛相互之间没有影响.

（1）若单局比赛甲班胜乙班的概率为，比赛采用“3局2胜”制，即先胜两局的班获胜，那么甲、乙两班获胜的概率是否相等?并说明理由；

（2）设单局比赛甲班胜乙班的概率为，若比赛6局，甲班恰好获胜

3局，当甲班恰好获胜3局的概率最大时，求的值；

（3）若单局比赛甲班胜乙班的概率为（2）中的甲班恰好获胜3局的概率取最大值时的值，比赛采用“5局3胜”制，设为本场比赛的局数，求的数学期望.

20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为，坐标原点到直线的距离

为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆上一点作两条直线分别与椭圆相交于点，（异于点

），试判断以和为对角线的四边形是否为菱形?若是，求出直线的方程；若不是，请说明理由.

21. 已知函数.

（1）判断方程的根个数；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.

22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直

线的极坐标方程为．

（1）求直线和曲线的直角坐标方程；

（2）设直线和曲线交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，求证：．

23. 已知函数．

（1）当时，解不等式．

（2）若对任意的，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．