2018版高中数学第二章函数2.1.2第1课时函数的表示方法学案新人教B版必修1

2．1.2 第1课时函数的表示方法学习目标 1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点.2.掌握求函数解析式的常见方法.3.尝试作图并从图象上获取有用的信息．知识点一列表法思考在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？能否用解析式表示？梳理列表法：通过列出________与______________的表来表示函数关系的方法叫做列表法．知识点二图象法思考要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？梳理图象法：用“图形”表示函数的方法叫做图象法．知识点三解析法思考一次函数如何表示？梳理 解析法：用________(或________)来表示函数的方法叫解析法． 函数三种表示法的优缺点：类型一 解析式的求法例1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (f (x ))＝2x －1，其中f (x )为一次函数； (2)f (x ＋1x )＝x 2＋1x2；(3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .反思与感悟 (1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．(2)如果已知f (g (x ))的表达式，想求f (x )的解析式，可以设 t ＝g (x )，然后把f (g (x ))中每一个x 都换成t 的表达式．(3)如果条件是一个关于f (x )、f (－x )的方程，我们可以用x 的任意性进行赋值．如把每一个x 换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )、f (－x )的方程，然后消元消去f (－x )． 跟踪训练1 根据下列条件，求f (x )的解析式． (1)f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9；(2)f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1； (3)2f (1x)＋f (x )＝x (x ≠0)．类型二 图象的画法及应用 命题角度1 画函数图象例2 试画出函数y ＝1－x 2的图象．反思与感悟 描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．跟踪训练2 作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．命题角度2 函数图象的应用例3 已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．反思与感悟函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，寻求最优解．跟踪训练3 函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．类型三列表法及函数表示法的选择例4 下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．(1)选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；(2)根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．跟踪训练4 若函数f (x )如下表所示：则f (f (1))＝________.1．已知函数f (x )由下表给出，则f (f (3))等于( )A.1 B ．2 C ．3 D ．42．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－13．已知正方形的边长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝22x B ．y ＝24xC．y＝28x D．y＝216x4．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )5．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值，最小值．1．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．2．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．3．如何用函数图象常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．答案精析问题导学 知识点一思考 对于任一个x 的值，都有一个他写的数字与之对应，故x ，y 之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x 的值与y 的值之间的对应关系． 梳理自变量 对应函数值 知识点二思考 一图胜千言． 知识点三思考 y ＝kx ＋b (k ≠0)． 梳理 代数式 解析式 题型探究例1 (1)解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1－2或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2. (2)解 ∵f (x ＋1x)＝x 2＋1x2＝(x ＋1x)2－2，∴f (x )＝x 2－2.又x ≠0，∴x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2，∴f (x )中的x 与f (x ＋1x )中的x ＋1x取值范围相同，∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)解 ∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ， 将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ， ∴联立以上两式消去f (－x )， 得3f (x )＝x 2－6x ， ∴f (x )＝13x 2－2x .跟踪训练1 (1)解 由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)解 设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数解析式为f (x )＝x 2＋2x －2.(3)解 ∵f (x )＋2f (1x )＝x ，将原式中的x 与1x互换，得f (1x )＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f 1x ＝x ，f 1x ＋2f x ＝1x，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．例2 解 由1－x 2≥0解得函数定义域为[－1,1]． 当x ＝±1时，y 有最小值0.当x ＝0时，y 有最大值1. x ＝±12时，y ＝32. 利用以上五点描点连线，即得函数y ＝1－x 2的图象如下：跟踪训练2 解 (1)列表：当x ∈[0,2]时，图象是直线的一部分， 观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)列表：当x ∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y ＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)列表：画图象，图象是抛物线y ＝x 2＋2x 在－2≤x ≤2之间的部分． 由图可得函数的值域是[－1,8]．例3 [－2,4]∪[5,8][－4,3]跟踪训练3 解f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)图象如图，f(x)与直线y＝m图象有2个不同交点，由图易知－1<m≤3.例4 解(1)不能用解析法表示，用图象法表示为宜．在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：(2)王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．跟踪训练4 1解析∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.当堂训练1．A 2.D 3.A 4.C5．解y＝2x2－4x－3(0<x≤3)的图象如下：由图易知，当x＝3时，y max＝2×32－4×3－3＝3. 由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，∴当x＝1时，y min＝－5.。