离散数学测验题--图论部分

离散数学图论单元测验题一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝<V ,E >中，结点总度数与边数的关系是( )(A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=Vv E v 2)deg( (D) ∑∈=Vv E v )deg(2、设D 是n 个结点的无向简单完全图，则图D 的边数为( ) (A) n (n －1) (B) n (n +1) (C) n (n －1)/2 (D) n (n +1)/23、 设G ＝<V ,E >为无向简单图，∣V ∣=n ，∆(G )为G 的最大度数，则有(A) ∆(G )<n (B)∆(G )≤n (C) ∆(G )>n (D) ∆(G )≥n4、图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系，是G ≌G '(同构)的( ) (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件5、设},,,{d c b a V =，则与V 能构成强连通图的边集合是( )(A) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E (B) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E (C) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E6、有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的( )，列元素之和是对应结点的( ) (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度7、设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．48、设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面，则r ＝( ) (A) m －n +2 (B) n －m －2 (C) n +m -2 (D) m +n +29、在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 4 10、图2是( ) (A) 完全图 (B)欧拉图 (C) 平面图 (D) 哈密顿图图2二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)1、设图G ＝<V ，E >和G '＝<V ',E '>,若 ，则G '是G 的真子图，若 ，则G '是G 的生成子图.2、设G 是完全二叉树，G 有15个结点，其中有8个是树叶，则G 有 条边，G 的总度数是 ，G 的分支点数是 ，G 中度数为3的结点数是 .3、一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，问它有几个度数为1的结点。

4、画出满足下列条件的图：(1) 画一个有一条欧拉回路和一条哈密顿回路的图； (2) 画一个有一条欧拉回路，但没有哈密顿回路的图； (3) 画一条没有欧拉路，但有一条哈密顿回路的图.5、设G 是n 个结点的简单图，若G 中每对结点的度数之和 ，则G 一定是哈密顿图.6、一个有向树T 称为根树，若 ，其中 称为树根，称为树叶. 7、设G 是平面图，G 有8个面，每个面的度数都是3，则G 有__________条边，G 有__________个顶点。

8、设G 是有n 个结点，m 条边的连通图，要确定G 的一棵生成树，必须删去G 的 条边.9、在下图中，哪些是欧拉图？哪些是哈密顿图？哪些是平面图？（1）（2） 10、设G 是n 阶无向带权边连通图，各边的权均为a(a>0),设T 是G 的一棵最小生成树，则T 的权W(T)=________（n-1）*a_______________。

三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分)1、设G ＝<V ,E>是一个无向图，},,...,,{821v v v V =)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(87434551133221v v v v v v v v v v v v v v E =(1) G ＝<V ,E >的∣V ∣，∣E ∣各是多少？ (2) 画出G 的图示； (3) 指出与v 3邻接的结点，以及与v 3关联的边； (4) 指出与e 1关联的结点； (5) 该图是否有孤立结点和孤立边？ (6) 求出各结点的度数；2、设图G 是具有3个顶点的无向完全图，试问(1) G 有多少个子图？ (2) G 有多少个生成子图？(3) 如果没有任何两个子图是同构的，则G 的子图个数是多少？将它们构造出来.3．图G =<V , E >，其中V ={a , b , c , d , e , f }，E ={(a , b ), (a , c ), (a , e ), (b , d ), (b , e ), (c , e ), (d , e ), (d ,f ), (e , f )}，对应边的权值依次为5，2，1，2，6，1，9，3及8．（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵；（3）求出G 权最小的生成树及其权值．4．设有一组权为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试（1）画出相应的最优二叉树； （2）计算它们的权值．四、证明题(本大题共3小题，任选2题，每小题10分，共20分)1．若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的．2．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于2的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．3．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2k条边才能使其成为欧拉图．补充1、若图G是不连通的，则G的补图G是连通的。

2、当且仅当G的一条边e不包含在G的回路中时，e才是G的割边。

3、设G是简单平面图，则它—定有一个度数≤5的结点。

解答：一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝<V ,E >中，结点总度数与边数的关系是( )(A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )=∣E ∣ (C)∑∈=Vv E v 2)deg( (D) ∑∈=Vv E v )deg(答案：(C)2、设D 是n 个结点的无向简单完全图，则图D 的边数为( ) (A) n (n －1) (B) n (n +1) (C) n (n －1)/2 (D) n (n +1)/2 答案： （C ）3、 设G ＝<V ,E >为无向简单图，∣V ∣=n ，∆(G )为G 的最大度数，则有 (A) ∆(G )<n (B)∆(G )≤n (C) ∆(G )>n (D) ∆(G )≥n 答案：(A)解答：因为G 中无平行边和环，任何结点最多有n －1条边与其相关联，最大度数小于或等于n －1. 故选择(A)4、图G 与G '的结点和边分别存在一一对应关系，是G ≌G '(同构)的( ) (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 答案：(B) 解答：见图的同构定义.5、设},,,{d c b a V =，则与V 能构成强连通图的边集合是( )(D) },,,,,,,,,{><><><><><=c d b c d b a b d a E (E) },,,,,,,,,{><><><><><=c d d b c b a b d a E (F) },,,,,,,,,{><><><><><=c d a d c b a b c a E (G) },,,,,,,,,{><><><><><=d c d b d a c a b a E答案：(A) 解答：有向图G 任何一对结点间都互相可达，称该图是强连通的. (A)所给的边的集合存在一个通过所有结点的通路. 故选择(A).6、有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的( )，列元素之和是对应结点的( ) (A)度数 (B) 出度 (C)最大度数 (D) 入度 答案：(B)，(D)解答：见邻接矩阵的定义. 7、设图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100000100则G 的边数为( )．A ．5B ．6C ．3D ．4 答案：(D)8、设m E n V E V G ==>=<,,,为连通平面图且有r 个面，则r ＝( )(A) m －n +2 (B) n －m －2 (C) n +m -2 (D) m +n +2答案：(A) 解答：见欧拉公式.9、在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。

(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 4 答案：(B) 解答：二元完全树，即每个结点只有0个或2树枝的树，树根必有2个树枝，于是2个树枝只能其一又有2个树枝，而另一个就无树枝. 满足5个结点4条边. 可见有3片树叶. 选择(B)正确.10、图2是( ) (A) 完全图 (B)欧拉图 (C) 平面图 (D) 哈密顿图 答案：(D) 解答：因为n =6, 每对结点度数之和大于或大于6，满足存在哈密顿回路的条件，故为哈密顿图. 选择(D)正确.二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)1、设图G ＝<V ，E >和G '＝<V ',E '>,若 ，则G '是G 的真子图，若 ，则G '是G 的生成子图.答案：E E V V E E V V ⊆'='⊂'⊂',;或解答：见真子图和生成子图的定义.2、设G 是完全二叉树，G 有15个结点，其中有8个是树叶，则G 有 条边，G 的总度数是 ，G 的分支点数图2是 ，G 中度数为3的结点数是 . 答案： 14； 28； 7； 6. 解答：可画图如图3. 有8个树叶，15个结点的完全3、一棵树有两个结点度数为2，一个结点度数为3，三个结点度数为4，问它有几个度数为1的结点。