第七章第4-5节重力势能,探究弹性势能的表达式

第七章第4-5节重力势能，探究弹性势能的表达式一、学习目标： 1. 理解重力势能的概念。

会用重力势能的定义式进行计算。

2. 理解重力势能的变化与重力做功的关系。

知道重力做功与路径无关。

3. 知道重力势能的相对性。

4. 理解弹性势能的概念及意义，学习计算变力做功的思想方法。

5. 猜测弹性势能的表达式与哪些因素有关，培养学生科学预测的能力。

6. 体会计算拉力做功的方法，体会微分思想和积分思想在物理学上的应用。

二、重点、难点：重点：1. 重力势能，重力势能的变化与重力做功的关系。

2. 利用微元法和图象法计算变力做功的问题。

难点：1. 重力势能的变化与重力做功的关系。

2. 理解用微元法把变力做功转化为恒力做功。

3. 理解利用力－位移的图象计算变力做功的依据。

内容和要求考点细目 出题方式 重力势能 重力势能的大小计算选择、计算题 重力做功的特点选择题 重力做功与重力势能变化的关系选择、计算题弹性势能弹性势能的概念和大小计算 选择、计算题 探究弹性势能表达式计算变力做功的方法 选择题势能势能：由相互作用的物体之间相对位置决定的能量叫势能。

重力势能、弹性势能都是势能的一种。

（1）势能是属于相互作用物体共有的。

（2）势能有多种形式，除上述两种外还有其他的如热运动中的分子势能，电磁运动中的电势能等。

一、重力势能1. 定义：物体由于被举高而具有的能量叫重力势能，用符号P E 表示，用公式表示为mgh E P 。

单位：m 用kg ，g 用2/s m ，高度h 用m ，则P E 的单位为焦耳，记作J 。

重力势能是能量，是状态量，是标量，其正负表示大小。

2. 重力势能的相对性重力势能的大小与高度有关，起点位置不同则相对高度不同，重力势能大小不同，所以重力势能有相对性。

如下图所示水平桌面高度为h 2，重物质量为m ，距桌面高度为h 1，取地面为起点（参考平面），则重力势能)(21h h mg E P +=，取桌面为参考平面，则重力势能1mgh E P ='，P E 与'P E 不等。

重物在参考平面以下时P E 为负值。

3. 重力势能是属于重物与地球系统共有的。

由于重力的施力是地球，物体在重力作用下，物体被举高才具有重力势能，若无重力作用，举起重物不用费力，重物也就没有做功的本领，无重力势能，所以重力势能是以有重力为前提的，因此重力势能属于重物与地球共有的。

4. 重力势能变化及绝对性如下图所示，重物从高为1h 处运动到2h 处，则重力势能由1mgh 变为2mgh 、重力势能变化)(1212h h mg E E E P P P -=-=∆。

若21h h >，0<∆P E ，重力势能减小；若21h h <，0>∆P E 则重力势能增加。

h mg h h mg E P ∆=-=∆)(12，h ∆只与1h 、2h 的差值有关，与1h 、2h 的大小无关，所以重力势能变化与参考平面的选择无关，又叫重力势能变化量P E ∆有绝对性。

如h h h -=∆，若参考平面向上移m 1，则1-='h h ，1-='h hh '∆5. 能变化∆重力势能变化初末PPPEEE-=∆)(1212hhmgmghmgh-=-=GW-=又如重物沿斜面由A运动到B重力做功)2cos(θπ-=mgLWGmghmgL==θsin取B为参考平面mghEPA=0=PBE初末PPPEEE-=∆GWmghmgh-=-=-=0BAhθL重力势能的变化量与重力做功的数值大小相等，符号相反，即重力做正功，重力势能变化为负值，即重力势能减小。

相反，重力做负功，重力势能变化为正值，重力势能增大。

再次看到重力做功与路径无关，只与始末位置的高度改变有关。

二、弹性势能1. 定义物体由于发生（弹性）形变而具有的能量叫弹性势能。

卷紧了的发条、被拉弯了的弓、被拉伸或压缩的弹簧、击球时的羽毛球拍等都具有弹性势能。

由定义可以看出（1）弹性势能存在于发生弹性形变的物体之中。

（2）弹性势能大小跟物体的性质和形变大小有关。

弹簧的弹性势能大小与劲度系数和形变大小有关。

弹簧处于自然长度状态无弹性势能。

发生形变时只要长度相等，弹性势能相等，弹性势能的参考点在弹簧原长时的长度。

弹性势能只有正值没有负值。

2. 弹力做功和弹性势能的关系（1）探究弹力做功与弹性势能①计算弹簧弹力的功。

由于弹力是一个变力，计算其功不能用W=Fs。

设弹簧的伸长量为x，则F=kx，画出F —x的图象。

如下图所示。

则此图线与x轴所夹面积就为弹力所做的功。

由图象可得W弹=21k21x－21k22x；x1、x2分别为始末状态时弹簧的形变量。

方法：分割——转化——累加，是求变力功的一般方法，这是微积分思想的具体应用。

求和或累加可以通过图象上的面积求得。

②弹性势能的表达式的确定。

由W 弹=－ΔE p =E p1－E p2和W=21k 21x －21k 22x ；可知E p =21kx 2。

这与前面的讨论相符合。

说明： ①在E p =21kx 2中，E p 为弹簧的弹性势能，k 为弹簧的劲度系数，x 为形变量（即压缩或伸长的长度）；本公式不要求学生掌握和使用。

②弹簧的弹性势能E p =21kx 2，是指弹簧的长度为原长时规定它的弹性势能为零时的表达式。

我们完全可以规定弹簧某一任意长度时的势能为零势能，只不过在处理问题时不方便。

在通常情况下，我们规定弹簧处在原长时的势能为零势能。

也可以依据功能关系由图象确定弹性势能的表达式如图a 所示，弹簧的劲度系数为k 且左端固定，不加外力时，右端在O 处，今用力F 缓慢向右拉弹簧，使弹簧伸长经A 处到B 处。

手克服弹簧弹力所做的功，其大小应该等于外力F 对弹簧所做的功，即为弹簧的弹性势能增加量。

由拉力F=kx 画出F 随x 变化的图线（见图b 所示），根据W=Fs 知，图线与横轴所围的面积应该等于F 所做的功。

有W=21（kx 1+kx 2）（x 2－x 1）= 21kx 22－21kx 21 所以E p =21kx 2（2）弹力做功与弹性势能变化的关系如下图所示。

弹簧左端固定，右端连一物体。

O 点为弹簧的原长处。

当物体由O 点向右移动的过程中，弹簧被拉长，弹力对物体做负功，弹性势能增加；当物体由O 点向左移动的过程中，弹簧被压缩，弹力对物体做负功，弹性势能增加。

当物体由A 点向右移动的过程中，弹簧的压缩量减小，弹力对物体做正功，弹性势能减小；当物体由A ′点向左移动的过程中，弹簧的伸长量减小，弹力做正功，弹性势能减小。

总之，当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时，弹簧的弹性势能增大，其他形式的能转化为弹簧的弹性势能。

这一点与重力做功跟重力势能变化的关系相似。

知识点一：重力势能例1. 关于重力势能，以下说法中正确的是（ ）A. 某个物体处于某个位置，重力势能的大小是唯一确定的B. 重力势能为０的物体，不可能对别的物体做功C. 物体做匀速直线运动时，重力势能一定不变D. 只要重力做功，重力势能一定变化分析：根据重力势能的表达式、重力势能的决定因素、重力做功与重力势能变化的关系进行判断。

解析：由重力势能的表达式E p =mgh 可知，由于高度h 具有相对性，重力势能的大小也具有相对性，即处于某个位置的某个物体，在选择不同的参考平面时，重力势能的大小是不同的。

重力势能的大小具有相对性，其大小与参考平面的选取有关，所以重力势能为０的物体，是指物体处于参考平面上，并不能表明物体不具有做功的本领。

如在地面上流动的一薄层水，若取地面为参考平面，则其重力势能为０，但当这些水流向更低处时仍可对别的物体做功。

物体的重力势能是由物体的重力和物体的高度共同决定的，只要物体的高度发生变化，物体的重力势能就一定发生变化。

例如，当物体沿斜面匀速下滑时，高度减小，重力势能将减小。

重力的方向总是竖直向下的，重力做功时物体的高度肯定发生变化，重力势能也一定发生变化。

可见，正确选项为D 。

解题后的思考：重力势能的大小是相对的，重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。

重力做功是重力势能变化的量度，因此重力势能的变化量和重力做功的数值总是相等的。

例2. 如图所示，质量为m 的物体静止在地面上，物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为k 。

现用手拉住弹簧上端P ，使弹簧上端缓慢提升高度h ，此时物体已经离开地面，求物体重力势能的增加量。

分析：物体被提升的高度等于弹簧上端提升的高度与弹簧拉伸长度之差。

解析：物体离开地面后，弹簧的伸长量为kmg x =∆。

可见，物体上升的高度为k mg h x h h -=∆-=∆。

从而，物体重力势能的增加量为)(kmg h mg h mg E p -=∆=∆。

解题后的思考：由于弹簧的伸长，物体上升的高度不等于拉力作用点上移的高度，如不注意这一点，往往会造成错解。

例3. 如图所示，圆柱形水箱高为5m ，容积为50m 3，水箱底部接通水管A ，顶部接通水管B 。

开始时箱中无水，若仅使用A 管或仅使用B 管慢慢地将水注入，直到箱中水满为止，试计算两种情况下外界各需做多少功（设需注入的水开始时均与箱底等高，g 取10m/s 2）分析：注水的过程外力克服水的重力做功，增加了水的重力势能，由于是缓慢注水，水的动能不增加，所以外力做功数值上就等于水所增加的重力势能。

解析：以H 表示水箱的高度。

水若从A 管注入，整箱水的重心被升高2H ，外界做功251050102231⨯⨯⨯=⋅=⋅=H Vg H mg W ρJ=×106J 。

水若从B 管注入，整箱水应先升高到H 的箱顶处，故外界做的功W 2=2W 1=2××106J=×106J 。

解题后的思考：本题是非常实用的一个例子，造成这种差异的原因是相同质量的水被提升的高度不一样，为了节省能源，我们应该采用从下方注水的方式。

有些同学认为，两种注水方式水的重心上升高度相同，故做功相同。

这种想法只是注意到了前后两个平衡状态，而没有注意两个过程不一样。

事实上，当从上管注水时，水被提升后再流入箱中，水的重力势能将减小而转化为水的动能，但是外界需做对应于把水提升到上管口的功。

例4. 如图所示，劲度系数为k 1的轻质弹簧的两端分别与质量为m 1、m 2的物块1、2拴接，劲度系数为k 2的轻质弹簧上端与物块2拴接，下端压在桌面上（不拴接），整个系统处于平衡状态。

现施力将物块1缓慢竖直上提，直到下面的那根弹簧刚好脱离桌面。

在此过程中，两物体的重力势能分别增加了多少分析：物体重力势能的增加等于物体重力与物体被提升高度的乘积。

开始时，整个系统处于平衡状态，两弹簧均被压缩。

现施力将物块1缓慢上提，直到下面的弹簧刚好脱离桌面，在此过程中下面的弹簧由压缩状态逐渐恢复到自由长度，而上面的弹簧由压缩状态逐渐恢复到自由长度，接着由于物块2施加拉力又逐渐变为拉伸状态。