二次函数实际应用辅导讲义
二次函数的应用课件ppt课件ppt课件ppt
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
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二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。
二次函数在实际问题中的应用复习教案
二次函数在实际问题中的应用一、知识回顾二次函数是一种常见的函数形式。
其一般式为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c 是实系数，a≠0。
在二次函数图像的右开口和左开口两种情况下，其又有不同的性质：1.右开口。
此时 a>0，二次函数在顶点处取得最小值，最小值等于 c-b^2/(4a)。
2.左开口。
此时 a<0，二次函数在顶点处取得最大值，最大值等于 c-b^2/(4a)。
在实际问题中，用二次函数可以描述很多现象。
下面就来看看具体的应用。
二、实际问题中的应用1.水桶倒水有一个体积为 V 的圆柱形水桶，现在要倒掉其中的水，当水流速度为 v 时，需要 t 秒才能将桶内的水倒光。
现在需要求出水面下降深度 h 随时间 t 的变化关系。
分析：设最初水面为 y=0，水倒光时水面到桶底的距离为 h0。
可知 h(t)=h0-Vt/S，其中S 是底面积。
由于水的体积随时间的变化遵循等速度变化规律，即 V=Stv，将其代入 h(t) 中得到 h(t)=h0-tv。
得到与时间 t 的关系式后，可化为二次函数形式，即 h(t)=-\frac{v}{2}t^2+h0。
此时二次函数是左开口的，其最大值为 h0，即水面下降到最大深度时的位置。
2.抛物线运动有一个物体从平地上以初速度 v0 竖直向上抛，忽略空气阻力，球的落地时间为 t0。
现在需要求出球的最高高度和以及任意时间离落地面的高度 h(t)。
分析：在竖直上抛运动过程中，球的高度随时间的变化遵循自由落体公式 h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t。
由于自由落体是二次函数，且此时为右开口，所以球的最高高度为 h_max=v0^2/(2g)。
而将 t0 代入二次函数中，可以得到球落地时的高度 h0，即 h0=-\frac{1}{2}gt0^2+v0t0。
再将 h(t) 化为二次函数形式：h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v0t0+\frac{1}{2}gt0^2，此时是左开口的二次函数形式。
二次函数讲义(九)：实际问题与二次函数
实际问题与二次函数【知识要点梳理】知识点1: 利用二次函数解决实际问题的一般步骤1.用二次函数知识解决实际问题的一般步骤:(1)仔细审题;(2)找出题中的变量和常量及它们之间的关系;(3)列函数解析式表示它们之间的关系;(4)借助函数的图象及其性质求解;(5)检验结果的合理性。
2.在实际问题中,有关用料最省、造价最低、利润最大等问题可以通过分析、联想,建立二次函数模型,转化为二次函数的最大值或最小值问题加以解答。
3.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是最低点。
当x=时，函数的最小值为。
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是最高点。
当x=时，函数的最大值为。
知识点2:利用二次函数求几何图形面积的最大值问题利用图形的面积公式建立二次函数模型并求出表达式,再利用配方法或公式法求出二次函数的最值。
知识点3: 利用二次函数求最大利润问题利用“总利润=每件的利润×件数”建立二次函数模型并求出表达式,利用配方法或公式法求出二次函数的最大值,即最大利润。
知识点4: 利用二次函数解决抛物线型问题1.抛物线型建筑物问题:几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等.解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系,结合问题中的数据求出函数解析式,然后利用函数解析式解决问题。
2. 运动问题:(1)运动中的距离、时间、速度问题,这类问题多根据运动规律中的公式求解.(2)物体的运动路线(轨迹)问题,解决这类问题的图想方法是利用数形结合思想和函数思想,合理建立直角坐标系,根据已知数据,运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)的解析式,再利用二次函数的性质去分析、解决问题。
【知识点过关训练】知识点1: 利用二次函数求几何图形面积的最大值问题1. 如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．2. 某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元。
培优讲义二次函数的应用
“培优班”培优讲义《二次函数的应用》一、几何图形类11米高处飞出，水平飞行5例1.一个小朋友坐在池塘边向水中抛掷石头，石头从距离水面12米达到最高处，此时距离水面3米，石头落到水面上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相11米．同，最大高度比原来最大高度降低12（1）求石头飞出到第一次落到水面时的抛物线表达式；（2）石头第二次落到水面的位置距离池塘边多远？练习1：某市人民广场上要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）．若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，到柱子OP的距离为1米．(1) 求这条抛物线的关系式；(2) 若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．练习2：某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰好在水面中心，安装在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线的形状如图(1)和(2)所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系式是y ＝－x 2＋2x ＋54，请你寻求： （1）柱子OA 的高度为多少米?（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少?（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外．练习3：如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少．(1)m x二、销售问题例2．某商场出售一种成本为20元的商品，市场调查发现,该商品每天的销售量w (千克)与销售价x (元/千克)有如下关系:280w x =-+.设这种商品的销售利润为y (元).(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)在不亏本的前提下,销售价在什么范围内每天的销售利润随售价增加而增大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?练习4：某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时，平均每天销售量是500件，而销售单价每降低1元，平均每天就可以多售出100件．（1）假设每件商品降低x 元（每件商品都不亏本），商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请你写出y 与x 之间的函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）这种小商品每件销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？注：销售利润=销售收入－购进成本．练习5：某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元。
人教版初中数学同步讲义九年级上册第04讲 二次函数的实际应用与综合(解析版)
又∵28≤x＜80， ∴当 x＝40 时，y 有最大值，最大值为 2000 平方米； （3）由题意得，S 矩形 EAGH＝AG•AE＝ （100﹣ x）
x＝﹣
x2+25x，S 矩形 DEFC＝DC•DE＝（100
﹣ x）• x＝﹣ x2+50x，
设安装成本为 w 元，则 w＝40（﹣ x2+25x）+20（﹣ x2+50x）＝﹣25x2+2000x，
最大 元
D．36 或 37 元
【解答】解：设销售单价上涨 x 元，月销售利润为 y 元．
∵每件商品售价不能高于 40 元，
∴0≤x≤10，
依题意得：
y＝（30﹣20+x）（240﹣10x）
＝（10+x）（240﹣10x） ＝﹣10x2+140x+2400 ＝﹣10（x﹣7）2+2890，
A．y＝5×3﹣3x﹣5x
B．y＝（5﹣x）（3﹣x）
C．y＝3x+5x
D．y＝（5﹣x）（3﹣x）+5x2
【解答】解：设挡板的宽度为 xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为 ycm2，根据题意可得：
y＝（5﹣x）（3﹣x），
故选：B．
【即学即练 2】
4．某家禽养殖场，用总长为 200m 的围栏靠墙（墙长为 65m）围成如图所示的三块矩形区域，矩形 EAGH
500 千克；销售单价每涨 2 元，月销售量就减少 10 千克．设每千克涨 x 元，月销售利润为 y 元，则 y 与
x 的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x﹣40）（500﹣10x）
B．y＝（x+40）（ 10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（ x﹣50）]
二次函数辅导讲义
名思教育辅导讲义学员姓名 张晓楠 辅导科目 数学 年级 初三授课教师刘琳琳课题 二次函数 授课时间教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容一、知识点梳理一、定义与定义表达式一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y =ax 2+bx +c （a ≠0），则称y 为x 的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式：y =ax 2+bx +c （a ≠0）顶点式：y =a (x -h ) 2+k （a ≠0），此时抛物线的顶点坐标为P （h ，k ）交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)（a ≠0）仅用于函数图像与x 轴有两个交点时，x 1、x 2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A （x 1，0）和 B （x 2，0）），对称轴所在的直线为x=2x x 21+ 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h =-a 2b ，k =a 4b -4ac 2 ； x 1, x 2=a 24ac -b b -2± ；x 1+x 2=-a2b三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。
四、抛物线的性质1．抛物线是轴对称图形，对称轴为直线 x = -a2b，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P 。
特别地，当b =0时，抛物线的对称轴是y 轴（即直线x =0）2．抛物线有一个顶点P ，坐标为P （-a 2b ，a 4b -4ac 2）。
当x =-a2b时，y 最值=a 4b -4ac 2，当a >0时，函数y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。
当-a2b=0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为0）；当Δ= b 2-4ac =0时，P 在x 轴上（即函数与x 轴只有一个交点）。
3．二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。
当a ＞0时，抛物线开口向上；当a ＜0时，抛物线开口向下。
|a |越大，则抛物线的开口越小。
人教版数学九年级上学期机构一对一讲义：二次函数的应用
1．能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识．2．经历探索实际问题与二次函数的关系的过程，深刻理解二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型．3．掌握二次函数在实际问题中及几何综合中的应用。
重点：① 二次函数中销售利润问题、几何面积问题及抛物问题的理解及灵活运用。
② 二次函数与最值问题、几何图形存在性问题的综合应用。
难点：二次函数与最值问题、存在性问题。
1．一般地，形如 的函数叫做二次函数，当 时，是一次函数．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 .3．抛物线的开口方向由a 确定，当a ＞0时，开口 ；当a ＜0时，开口 ；a 的值越大，开口越 ．4．抛物线与y 轴的交点坐标为 ．当c ＞0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＜0时，与y 轴的 半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过 ． 5．若a 0，当x ＝2ba -时，y 有最小值，为 ； 若a 0，当x ＝2ba-时，y 有最大值，为 ．6．当a ＞0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而 ；当a ＜0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而 ．7．当m ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象向 平移 个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左 右 ；上 下 ．知识回顾知识重难点教学目标二次函数的实际应用精讲精练知识点一、二次函数的实际应用列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
第15讲 二次函数的实际应用中考复习课件
解：由题意得 − − + − = ，
整理，得 − + = ，
解得 = ， = ，
∵ − + ≥ ，解得 < ≤ . ，
∴ = ，
+ ， ∵ − < ， < ≤ . ，
∴ 当 = 时， 有最大值，最大值为300，
∴ 当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是300元.
重难点 2 抛物线形问题
［例2］ 如图1所示的某种投石车是古代一种远程攻击的武器．将投石车
置于山坡底部 处，以点 为原点，水平方向为 轴，建立如图2
将 = ， = ； = ， = 分别代入，
+ =
= −
得ቊ
，解得 ቊ
，
+ =
=
∴ 与 之间的函数关系式为 = − + > ；
（2）为了在春节前将这批干果销售完，每天的销售量不能低于150袋，如
解：石块能飞越防御墙.理由如下：
由题可知，点 与点 的水平距离为28米， = 米， = 米，
∴ , , , .
当 = 时， =
−
∵ . > ，
∴ 石块能飞越防御墙；
× + = . ，
（2）若要使石块恰好落在防御墙顶部 上（包括端点 ， ），求 的
第15讲 二次函数的实际应用
重难点突破
重难点 1 二次函数的实际应用
［例1］ 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理
九年级数学(下)提高班讲义(三) 二次函数的实际应用
九年级数学（下）提高班讲义（三）二次函数的实际应用九年级数学（下）提高班讲义（三）-二次函数的实际应用九年级数学改进课堂讲义（III）第1页，共8页九年级数学（下）提高班讲义（三）二次函数的实际应用班级：姓名：例1：一家公司生产的健身产品在市场上普遍很受欢迎，每年都能在国内外市场上销售一空。
该公司年产量为6000件。
如果在国内市场销售，每个产品的平均利润Y1（元）与国内销售数量x（1000件）之间的关系如下：（1）用x的代数式表示t为：t＝；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为y2＝；什么时候≤ x＜y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）公司在国内外的年销售额是多少，这能使公司每年的总利润最大化？最大值是多少？同步练习：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．（1）找出Y和X之间的函数关系，直接写出自变量X的取值范围；(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?（3）当每种商品的价格定在多少元时，每月的利润只有2200元？根据以上结论，请直接写下销售价格范围，每月利润不低于2200元？例2：知识迁移：当a?0且x?0时，因为(x?aa2)≥0,所以x?2a?≥0,从而xxx？AA≥ 2A（x？A时取等号）还记得函数y吗？十、（a？0，x？0）。
从以上结论可以看出，当XXX？A、该函数的最小值为2A直接应用：已知函数Y1？X（X？0）和函数Y2？最小值为____变形应用：已知函数y1?x?1(x??1)与函数y2?(x?1)2?4(x??1),求指出取得该最小值时相应的x的值.实际应用：据了解，一辆车的一次性运输成本包括以下三部分：一是固定成本，共计360元；第二，燃料成本为每公里1.6元；第三个是折旧成本，它与距离的平方成正比，假设一次运输的车辆距离为x公里，比例系数为0.001。
二次函数辅导讲义
名思教育辅导讲义Kx =-—，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点 P 。
特别2a地，当b =0时，抛物线的对称轴是 y 轴（即直线x =0 ）函数y 有最小值；当a <0时，函数y 有最大值。
K当-一=0时，P 在y 轴上（即交点的横坐标为 0）；当△ =b 2-4ac =o 时，P 在x 轴上（即函数与 x 轴只 2a有一个交点）。
3•二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小（即形状）。
当a >0时，抛物线开口向上；当 a v0时，抛物线开口向下。
|a |越大，则抛物线的开口越小。
对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a 相等；若形状相同，开口方向相反，贝U a 互为相反数。
4•二次项系数a 和一次项系数b 共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即： 当对称轴在y 轴左边时，a 与b 同号（即ab > 0）； 当对称轴在y 轴右边时，a 与b 异号（即ab v 0 ）。
5. 常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置，抛物线与 y 轴交于点（0, c ）。
6 .抛物线y =ax 2+bx +c （a 丰0） 与x 轴交点个数与方程 ax 2+ bx +c=0的根的判定方法： △ =b 2-4 ac > 0时，抛物线与x 轴有2个交点，对应方程有两个不相同的实数根； △ =b 2-4 ac =0时，抛物线与 x 轴有1个交点，对应方程有两个相同的实数根。
△ =b 2-4 ac v 0时，抛物线与x 轴没有交点，对应方程没有实数根。
五、二次函数与一元二次方程特别地，二次函数（以下称函数） y = ax 2+ bx + c （a 丰0），当y =0时，二次函数为关于 x 的一元二次方程， 即ax 2+ bx + c =0，此时，函数图像与 x 轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x 轴交点的横坐标即为方程的根。
（参考四-6 ）二、考点分析考点一、图象1、根据二次函数图象提供的信息，判断与a 、b 、c 相关的代数式是否成立例1、已知二次函数 y=ax 2+bx+c （a 工0）的图象如图1所示，有下列5个结论:1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线2 .抛物线有一个顶点K P ,坐标为P ( ------ , 2a4ac-b 2 4a）。
二次函数的应用讲义
22.3 二次函数的应用（1）——A班级____________ 姓名____________ 学号__________热身练习：（1）在一次羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作抛物线c bx x y ++-=241的一部分（如图），其中出球点B 离地面O 点的距离是1m ，球落地点A 到O 点的距离是4m. 那么这条抛物线的解析式是（ ）(A)143412++-=x x y (B)143412-+-=x x y(C)143412+--=x x y (D)143412---=x x y（2）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球距地面的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为3)4(1212+--=x y ，由此可知铅球推出的最大高度是_______m ，落地时的水平距离是_______m.（3）小汽车刹车距离s （m ）与速度v （km/h ）之间的函数关系式为21001v s =，一辆小汽车速度为100km/h ，在前方80m 处停放一辆故障车，此时刹车______有危险（填“会”或“不会”）.（4）某种火箭被竖直向上发射时，它的高度h （m ）与时间t （s ）的关系可以用公式1015052++-=t t h 表示，则发射后经过_______s ，火箭达到它的最高点.（5）如图所示为一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y =ax 2+bx 。
小强骑自行车从拱梁一端O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC ，当小强骑自行车行驶10秒和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC 共需________秒.例1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件。
市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？例2：如图，在边长为24cm的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A、B、C、D四个顶点正好重叠于上底面上一点）。
初中数学中考复习 二次函数 专题讲义(含解析)
二次函数 专题讲义考点回顾一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数， （2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
用二次函数解决实际问题优秀课件
如何定价才使他的利润最大？
第二十一页，共二十二页。
【解析】设将这种书包的售价上涨x元，他的利润为y元，
y=(40+x)×(200-10x)-30×(200-10x)
=-10x2+100x+2000=-10(x-5)2+2250
即将这种书包的售价上涨5元时，他的利润最大.
【解析】设每个房间每天增加x元，宾馆的利润为y元
y=(50- x)(180+x)-20(50- )x
10
10
= 1 +x234x+8 000
10
b 2a
=170,即房价定为170元时，宾馆利润最大.
第二十页，共二十二页。
4. 某个商店的老板，他最近进了价格为30元的书包.起初以40元每 个售出，平均每个月能售出200个.后来，根据市场调查发现：这
最多光线问题
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半
xx
部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度
和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确 y
到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解析 : 1由4 y 7x x 15
得, y 15 7x x .
4
2 窗户面积S
x(元) 15
20
30
…
y(件) 25
20
10
…
若日销售量y是销售价x的一次函数. （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多 少元？此时每日销售利润是多少元？
第十七页，共则
用二次函数解决实际问题》优质课课件
某商店销售一种商品，进价为每件8元，售价为每件10元，每天可售出100件。为了增加 利润，商店决定降价销售，经过调查发现，每降价0.5元，每天可多售出20件。求该商店 的最大利润。
最短路径问题的案例
总结词
利用二次函数求最短距离
详细描述
通过建立二次函数模型，利用函数的性质求出最短路径。
案例
某村计划修建一条水渠，从A点到河边的直线距离为30米，河宽为40米。由于地形限制，水渠必须沿A点 的切线方向修建。求水渠的最短长度。
抛物线运动问题的案例
总结词
利用二次函数描述抛物线运动轨 迹
详细描述
通过建立二次函数模型，描述物体 在垂直方向上的运动轨迹，并利用 函数的性质分析运动规律。
案例
一个物体从高处自由下落，其运动 轨迹可以近似地看作是抛物线。已 知物体下落的高度为10米，求物体 下落的时间和速度。
05
练习与思考
基础练习题
综合思考题
总结词
综合运用知识
思考题1
已知二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$[0,n]$上的值域为 $[0,3]$，求实数$n$的取值范围。
思考题2
求二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$[0,4]$上的极值点 。
思考题3
已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$经过点$(0,1)$和 $(3,5)$，且在区间$[0,3]$上单调递减，求$a, b, c$的值。
01 02 03 04
总结词：巩固基础
练习题1：求二次函数$f(x) = x^2 - 2x$在区间$[-1,3]$的最大值和最小 值。
练习题2：已知二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的顶点坐标为$(2, -1)$， 求$a, b, c$的值。
初三二次函数辅导讲义
名思教育辅导讲义学员姓名 辅导科目 数学 年 级 初三授课教师刘琳琳课 题 二次函数---复习授课时间教学目标 理解二次函数的概念，掌握其性质和图象，还应注重其应用以及二次函数与几何图形的联系，此外对各种函数的综合应用还应多加练习. 重点、难点 考点及考试要求教学内容一、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：二次函数的图象和性质 一、考点讲解：1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（a ≠0，a ，b ，c 为常数）的函数为二次函数． 2．二次函数的图象及性质：⑴ 二次函数y=ax 2 (a ≠0）；当a ＞0时，抛物线开口向上，顶点是最低点；当a ＜0时，抛物线开口向下，顶点是最高点；a 越小，抛物线开口越大．y=a(x －h)2＋k 的对称轴是x=h ，顶点坐标是（h ，k ）。
⑵ 二次函数c bx ax y ++=2，顶点为（－2b a ，244ac b a -），对称轴x=－2b a ；当a ＞0时，抛物线开口向上，图象有最低点，且x ＞－2b a ，y 随x 的增大而增大，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而减小；当a ＜0时，抛物线开口向下，图象有最高点，且x ＞－2ba ，y 随x 的增大而减小，x ＜－2ba ，y 随x 的增大而增大．解题小诀窍：二次函数上两点坐标为（y x ,1），（y x ,2），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线221x x x +=。
3．图象的平移：二次函数y=ax 2 与y =－ax 2 的图像关于x 轴对称。
平移的简记口诀是“上加下减，左加右减”。
一、经典考题剖析：【考题1】在平面直角坐标系内，如果将抛物线22x y =向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后二次函数的关系式是（）Ａ．3)2(22+-=x y Ｂ．3)2(22++=x y Ｃ．3)2(22-+=x y Ｄ．3)2(22--=x y2．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ． 4=x B. 3=x C. 5-=x D. 1-=x4．已知二次函数c bx ax y ++=21(a ≠0）与一次函数y 2=kx+m(k ≠0）的图象相交于点A （－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所示，能使y 1＞y 2成立的x 取值范围是_______5．已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（ ） A 、2 B 、1 C 、3 D 、 4 6．已知反比例函数y= kx 的图象在每个象限内y 随x 的增大而增大，则二次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象大致为图1－2－3中的（ ）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化．例如：由抛物线22221y x mx m m =-++-①，有y=2()21x m m -+-②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即⎩⎨⎧-==12,m y m x ③④。
华师大初三上册提高讲义第九讲 二次函数的实际应用
第九讲二次函数的实际应用学习目标1、知识目标：能通过分析和表示实际问题在变量之间的二次函数关系，运用二次函数的知识求出实际问题的最大值（小）值，发展解决问题的能力。
2、能力目标：能形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神；能学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
3、情感目标：经历探索实际问题的过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，并感受数学的应用价值。
一、知识讲解课前测评1．如图，若用两堵相邻的足够长的墙和一段长20米的篱笆（图中虚线部分）围成矩形花圃，要使所围成的矩形花圃面积最大，则长和宽分别为（）A．10米，10米B．15米，5米C．16米，4米D．17米，3米2．（2015永州市中考模拟）如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是______。
3．（2016年秋衡阳市期末）某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，那么每天可销售200件。
现在采用提高销售价，减少进货量的方法增加利润，已知这种商品每涨价0.5元，其销量就减少10件。
（1）要使每天获得的销售利润700元，请你帮忙确定销售价；（2）问销售价定在多少元时能使每天获得的销售利润最大?并求出此时的最大利润。
知识点回顾1、理解二次函数在实际生活中的应用最优化问题是二次函数在实际生活中的重要应用之一，充分体现了数学建模思想，利用二次函数求出问题所需要的 或 ，从而找到解决问题的最优方案。
2、掌握二次函数的顶点坐标与最值的关系抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点是最低（高）点，当x= 时，二次函数2y ax bx c =++有最小（大）值 。
3、灵活运用二次函数模型解决实际问题，其一般步骤是：（1）建立适当的平面直角坐标系。
（2）根据实际问题中的一些数 据描出点的坐标。
（3）用待定系数法求出抛物线的表达式。
二次函数一对一辅导讲义(1对1辅导精品)
教学目标1、使学生理解二次函数的概念，学会列二次函数表达式和用待定系数法求二次函数解析式。
2、能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
重点、难点能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。
考点及考试要求 考点1：二次函数的有关概念考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系考点3：二次函数在生活中的运用教 学 内 容第一课时 二次函数知识重要考点（1）考点1、二次函数的概念定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数注意点：（1）二次函数是关于自变量x 的二次式，二次项系数a 必须为非零实数，即a ≠0，而b 、c 为任意实数。
（2）当b=c=0时，二次函数2ax y =是最简单的二次函数。
（3）二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 自变量的取值为全体实数 （c bx ax ++2为整式） 典型例题：例1： 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．例2：已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b ，c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时， 是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 考点2、三种函数解析式：（1）一般式： y=ax2+bx+c （a ≠0）， 对称轴：直线x=ab 2- 顶点坐标：( a b ac a b 4422--， )（2）顶点式：()k h x a y +-=2（a ≠0）， 对称轴：直线x=h 顶点坐标为（h ,k ）（3）交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）, 对称轴:直线x=22x1x + (其中x 1、x 2是二次函数与x 轴的两个交点的横坐标).例1：抛物线822--=x x y 的顶点坐标为 ；对称轴是 。
例2：二次函数y=-4（1+2x ）（x-3）的一般形式是 。
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课题二次函数的实际应用教学目标1.熟练运用二次函数的图像的性质。
2.会用函数思想解决实际应用题。
3.会确定实际问题取值范围。
重点、难点函数思想解决实际应用题考点及考试要求函数思想解决实际应用题类型一：利润最大问题典型例题：1、某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。
已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？2．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。
市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。
设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件．⑴求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？3.某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．(3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？针对练习：1、某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?2、某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?3、某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.多种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？类型二：面积最大问题典型例题：1．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12。
用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC，AB，BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？2．用一段长30m的篱笆，围城一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。
这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积为多少？3.如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值．4、如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从A开始沿边AB向B以2的速度移动，动点Q从B开始沿边BC以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么t为何值时△PBQ的面积S 最大？并求出最大值。
针对练习：1．已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？2．如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四边上。
四边形EFGH也是正方形。
当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？类型三：自由落体问题典型例题：1、要修建一个圆形喷水池，池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多高？2、抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m。
水面下降1m，水面宽度增加多少？3.桂林红桥位于桃花江上，是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图所示，上方可看作是一个经过Ａ、Ｃ、Ｂ三点的抛物线，以桥面的水平线为Ｘ轴，经过抛物线的顶点Ｃ与Ｘ轴垂直的直线为Ｙ轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为２米（图中用线段ＡＤ、ＣＯ、ＢＥ等表示桥柱）ＣＯ＝１米，ＦＧ＝２米。
求柱子ＡＤ的高度。
针对练习：1. 二次函数y=x 2-3x-4的顶点坐标是 , 对称轴是直线 ，与x 轴的交点是 ，当x= 时，y 有最 ，是 .2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是 ，b 的符号是 ，c 的符号是 . 当x 时，y=0,当x 时， y ＞0，当x 时，y < 0 .3. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（ ）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或24. 下列各图中有可能是函数y=ax 2+c,(0,0)a y a c x=≠>的图象是（ ）5. 抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象象经过第 象限.6. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ).7. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的最大值为94，则m= ．8. 把y= -x2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n的形式是（）A.y= - (x-2 )2 -2B.y= - (x-2 )2 +6C. y = - (x+2 )2 -2D. y= - (x+2 )2 +69. 正方形边长为2 ，若边长增加x，那么面积增加y，则y与二的函数关系式.10. 二次函数y=4x2-x+1的图象与x轴的交点个数是（）A. l个 B.2个 C. l个 D.无法确定11. 已知二次函数y=x2-4x-5，若y>0,则（）A . x>5 B.-l＜x＜5 C. x>5或x＜-1 D. x>1或2x<-512．在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：销售价x（元/千克）… 25 24 23 22 …销售量y（千克）…2000 2500 3000 3500 …（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P（元）与销售价x（元/千克）之间的函数关系式，并求出当x取何值时，P的值最大？13.市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）•与销售单价x（元）（x≥30）存在如下图所示的一次函数关系式．（1）试求出y与x的函数关系式；（2）设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x的范围（•直接写出答案）．14．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米，现在O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图所示）．（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；（2）求出这条抛物线的函数解析式；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下．15.一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD•为直径的半圆O ，下部是一个矩形ABCD ．（1）当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O 的面积；（2）已知矩形ABCD 相邻两边之和为8米，半圆O 的半径为r 米．①求隧道截面的面积S （米）关于半径r （米）的函数关系式（不要求写出r 的取值范围）；②若2米≤CD ≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S 的最大值（取3.14，结果精确到0.1米）反馈练习： 1．已知函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－11所示，给出下列关于系数a 、b 、c 的不等式：①a ＜0，②b＜0，③c ＞0，④2a ＋b ＜0，⑤a ＋b ＋c ＞0．其中正确的不等式的序号为___________- 2．已知抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为－1，则a ＋c=_________.3．抛物线c bx ax y ++=2中，已知a ：b ：c=l ：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为____________ 4．已知二次函数的图象开口向下，且与y 轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数解析式：_______________. 5．抛物线c bx ax y ++=2如图1－2－12 所示，则它关于y 轴对称的抛物线的解析式是___________.6．若抛物线过点(1，0)且其解析式中二次项系数为1，则它的解析式为___________．（任写一个） 7．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点（－2，0），(x 1，0)且1＜x 1＜2，与y·轴正半轴的交点连点(0，2）的下方，下列结论：①a ＜b ＜0；②2a+c ＞0；③4a+c< 0，④2a －b+l ＞0．其中的有正确的结论是（填写序号）__________． 8．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第8题图9．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c间的关系判断正确的是（）A ．ab ＜0B 、bc ＜0C ．a+b ＋c ＞0D ．a －b 十c ＜010．抛物线c bx ax y ++=2（a ＞0）的顶点在x 轴上方的条件是（ ）A ．b 2－4ac ＜0B ．b 2－4ac ＞ 0C ．b 2－4ac ≥0D ． c ＜011 二次函数⑴y=3x 2；⑵y= 23 x 2；⑶y= 43x 2的图象的开口大小顺序应为（ ） A ．（1）＞（2）＞（3）B ．（1）＞（3）＞（2）C ．（2）＞（3）＞（1）D ．（2）＞（1）＞（3）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 开始沿着AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，•设P ，Q 同时出发，问：（1）经过几秒后P ，Q 的距离最短？（2）经过几秒后△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？如图所示，一位运动员在距篮圈4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m ．（1）建立如图所示的坐标系，求抛物线的解析式；（2）该运动员身高1.8m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，问球出手时，他跳离地面的高度是多少？。