垂径定理
(2)垂径定理
垂 径 定 理圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
垂径定理⎩⎨⎧平分弦所对的两条弧。
）的直径垂直于弦，且推论：平分弦（非直径对的两条弧；平分弦，并且平分弦所定理：垂直于弦的直径垂径定理包含两个条件和三个结论，即条件⇒⎩⎨⎧）直线和弦垂直，（）直线过圆心，（21结论⎪⎩⎪⎨⎧弧。
）直线平分弦所对的优（弧，）直线平分弦所对的劣（）直线平分弦，（543 符号语言：⎩⎨⎧⊥ AB CD O ,O ，的弦，为圆的直径是圆AB CD ⎪⎩⎪⎨⎧===⇒BDAD BC AC BEAE 推论1：在（1）、（2）、（3）、（4）、（5）中，任意两个成立，都可以推出另外三个都成立。
推论2：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE ）。
应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题（利用弦心距、半径、半弦构造R t △OAE ）。
概念辨析题：1．下面四个命题中正确的一个是（）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧1．过⊙O 内一点M 的最长弦长为6cm ，最短弦长为4cm ，则OM 的长为（ ）A 、cmB 、cmC 、2cmD 、3cm2．已知：如图1，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB=8cm,OC=5cm, 则DC 的长为：A 、3cmB 、2.5cmC 、2cmD 、1cm3．一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 米．3、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.4．不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l ，垂足为E ，BF ⊥l ，垂足为F ．(a) (b) (c) 图3(1)在上面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论． 第一问答案（AB 与CD 交于 （AB 与CD 交于 （AB 与CD 平行）⊙O 外一点） ⊙O 内一点） 图2－11. 如图2－1，⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）A. 5OM 3≤≤B. 5OM 4≤≤C. 5OM 3<<D. 5OM 4<< 4、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm. 5、已知：在⊙O 中，弦cm 12=AB ，O 点到AB 的距离等于AB 的一半，求：AOB ∠的度数和圆的半径.6、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形. （2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.7、如图，已知⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=6cm ，EB=2cm ，∠BED=30°，求CD 的长.BACBDC OA B E FD 3. 如图3－3，在ABC Rt ∆中，∠C =900，AC =5cm ，BC =12cm ，以C 为圆心、AC 为半径的圆交斜边于D ，求AD 的长.4. 如图3－4，已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于E 点，BE ＝1，AE ＝5，∠AEC ＝300，求CD 的长.2．如图4－2，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D.求证：.21BF AD =图4－21. 如图6－1，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥ 于F .（1）求证：OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.图6－14. 如图6－4，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F .求证： CE ＝DF ；OE ＝OF.变式1. 如图6－5，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点M ，CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别是E ，F ．(1)求证：DF CE =．(2)若26=AB ，24=CD ，求BF AE -的值．8、在直径为50cm 的⊙O 中，弦AB=40cm ，弦CD=48cm ，且AB ∥CD ，求：AB 与CD 之间的距离.9、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.10、如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB ，交小圆于C 、D 两点，设大圆和小圆的半径分别为b a ,.求证：22b a BD AD -=⋅.11、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，于CD AE ⊥E ，CD BF ⊥于F .求证：FD EC =.12、已知：⊙O 的半径1=OA ，弦AB 、AC 的长分别是2、3.求BAC ∠的度数。
垂径定理说课课件
几何作图
垂径定理是几何作图中的 重要工具，可以用来确定 圆的中心和半径，从而画 出精确的圆。
圆的性质
垂径定理是研究圆的性质 的重要工具，可以用来推 导和证明许多圆的性质和 定理。
解析几何ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在解析几何中，垂径定理 可以用来解决一些涉及到 圆的问题，例如求圆的方 程和圆心坐标等。
定理在其他学科中的应用
天文学
CHAPTER 02
定理内容
定理的文字表述
定理名称：垂径定理
总结词：该定理描述了直线与圆的位置关系以及相关的性质。
详细描述：垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它指出如果一条直线垂直于圆 的一条直径，那么这条直线将平分这个圆，并且通过圆心。
定理的图形表述
总结词
通过图形直观地展示垂径定理。
详细描述
THANKS
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垂径定理说课课件
• 定理内容 • 应用举例 • 练习与巩固 • 总结与回顾
CHAPTER 01
引入
什么是垂径定理
01
垂径定理是圆的基本定理之一， 它描述了通过圆心并与圆相交的 任何直径将平分该圆。
02
该定理可以表述为：如果一条直 径同时垂直于圆上的一条弦和一 条直径，则它也将平分该弦。
垂径定理的重要性
垂径定理是几何学中非常重要的基本 定理之一，它在证明其他定理和解决 几何问题时经常被使用。
它对于理解圆的性质和解决与圆相关 的问题至关重要，是进一步学习几何 学的基础。
为什么学习垂径定理
学习垂径定理有助于培养学生的逻辑思维和推理能力，提高 他们解决问题的能力。
通过学习垂径定理，学生可以更好地理解圆的性质和特点， 为进一步学习更复杂的几何知识打下基础。此外，垂径定理 在日常生活和实际应用中也具有重要意义，例如在建筑设计、 机械制造和自然科学等领域中都有广泛的应用。
垂径定理的判定
垂径定理的判定垂径定理是以三角形的垂径来判定三角形的关系的一种定理，主要涉及三角形的内角和外角的知识点，这也是判定三角形的一种简单形式，并且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛。
一、垂径定理的定义垂径定理的核心是三角形的垂径，即以三角形的边长和角度为基础构建的一种关系，其定义如下：在任意一个三角形中，当给定A角的夹角，则其余两个角按照以下关系判定：A角的余边（另外两条边）分别对应B角和C角，并且其关系如下：A角的余边平方之和等于B 角的余边乘以C角的余边的总和。
二、垂径定理的应用垂径定理可以用来解决一些常见的实际问题，比如可以用来计算三角形内角和外角之间的关系，例如：有一个三角形，其中A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，那么根据垂径定理，C角的夹角就可以用下面的公式来计算：C角的夹角 = 180° - B角的夹角 - A角的夹角 = 180° - 90° - 60° = 30°，从而可以计算出三角形所有角度的值。
垂径定理也可以用来计算三角形的边长，例如：若A角的夹角为60°，B角的夹角为90°，且A角的余边为2，那么根据垂径定理，可以求得B角的余边 =(2 + 2) - 2 = 4，即B角的余边为4，从而可以得出三角形的边长。
三、垂径定理的表达垂径定理可以表达为数学式：a +b = c其中a为A角的余边，b为B角的余边，c为C角的余边，从根本上讲，就是三角形三条边长之和的平方等于第三条边长的平方加上夹角的余边的平方，因此从数学上可以看到，垂径定理是一种判定三角形关系的有效手段。
四、垂径定理的结论综上所述，垂径定理可以用来判断三角形的关系，是判定三角形的一种简单形式，而且可用于解决实际问题，所以在数学中使用广泛，因此其实质就是三角形内角和外角之间的关系，以及三角形三边之和的平方等于第三边长的平方加上夹角的余边的平方，这也是垂径定理最主要的表达方式。
人教版初中数学垂径定理知识点总结
人教版初中数学垂径定理知识点总结一、垂径定理的定义垂径定理是关于直径和过该直径的直线（或圆）交于圆内两点之间的线段长度和关系的重要定理。
如果一个直径和一条过该直径的直线交于圆内两点，那么这条直径平分过这两点的线段，并且这条直径垂直于过这两点的直线。
二、垂径定理的表述1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2.垂直于弦的直径平分弦（不是直径），并且平分弦所对的两条弧。
3.垂直于弦的直径平分过弦的两条直线，并且平分弦所对的两条弧。
三、垂径定理的应用垂径定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与圆和直径相关的问题时。
例如，可以利用垂径定理来证明圆的性质，如圆的对称性、圆的周长和面积等。
此外，垂径定理还可以用于解决与圆和直线相关的问题，如求圆的半径、确定圆的中心等。
四、垂径定理的推论1.从圆心到弦的垂线是弦的中垂线。
2.圆内一条弦的两端到圆心的距离相等。
3.圆内一条过圆心的弦最短，其长度为圆的直径。
4.圆内一条不过圆心的弦最短，其长度等于从圆心到弦中点的线段长。
五、垂径定理的证明垂径定理可以通过以下两种方法证明：1.直接证明法：通过作图和推理，直接证明垂径定理。
这种方法比较直观和简洁，但需要一定的几何知识和推理能力。
2.代数法：利用圆的性质和代数运算，证明垂径定理。
这种方法比较抽象，但具有普适性，可以用于证明其他类似的定理。
六、注意事项1.在使用垂径定理时，要注意区分直径和其他弦的区别，避免混淆。
2.在作图时，要确保所作的线段是垂直于弦的直径，否则将无法使用垂径定理。
3.在解决实际问题时，要根据具体情况选择合适的方法来应用垂径定理。
七、垂径定理的应用场景1.确定圆的形状和大小：垂径定理可以用于确定圆的形状和大小。
例如，通过测量圆的直径或半径，可以确定圆的大小；通过观察垂径定理的各种表现，可以判断圆的状态和形状。
2.计算圆的周长和面积：垂径定理可以用于计算圆的周长和面积。
例如，通过已知的直径或半径，可以计算出圆的周长和面积。
垂径定理及其10个推论
垂径定理是指，在一个曲线上，任意一点到曲线的切线的距离都是一样的。
它的10个推论是：1）曲线的切线方程是垂径定理的特例；2）曲线的切线方程可以由垂径定理推导出来；3）曲线的切线方程的斜率是曲线的切线的斜率；4）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；5）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；6）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；7）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；8）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；9）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根；10）曲线的切线方程的斜率是曲线的曲率的平方根。
垂径定理
垂径定理1.弦心距：（1）圆心到弦的距离叫做弦心距。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的圆心角也相等，所对弦的弦心距也相等。
四者有一个相等，则其他三个都相等。
圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距。
2.垂径定理及推论：（1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）平分弦（此弦不能是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（3）弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧。
（4）平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦（5）平行弦夹的弧相等。
1.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，求球的半径。
2.如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，D是弧AC中点，OD交弦AC于E，连接BE，若AC=8，DE=2，求（1）求半圆的半径长；（2）BE的长度。
3.如图，小明将一块三角板放在⊙O上，三角板的一直角边经过圆心O，测得AC=5cm，AB=3cm，求⊙O的半径1、（2011年北京四中中考模拟18）已知：如图1，AB是⊙O的弦，半径OC图1⊥AB 于点D ，且AB=8m ，OC=5m ，则DC 的长为（ ）A 3cmB 2.5cmC 2cmD 1cm2、（2011年北京四中中考模拟20）如图，C 是以AB 为直径的⊙O 上一点，已知AB=5，BC=3，则圆心O 到弦BC 的距离是( )A 、1.5B 、2C 、2.5D 、33、（2011年浙江杭州五模）如图，圆O 过点Ｂ、Ｃ，圆心Ｏ在等腰直角ABC∆的内部，090,1,6BAC OA BC ∠===，则圆O 的半径为（ ） Ａ、13 Ｂ、１３ Ｃ、６ Ｄ、213AOB C第3题图 4、（2011年浙江杭州六模）如图，把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2，两圆相交于A.B ，且O 1A ⊥O 2A ，则图中阴影部分的面积是（ ）A.4π-8 B . 8π-16 C.16π-16 D. 16π-325.（2011年重庆江津区七校联考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的AB 弧），点O 是这段弧的圆心，AB =120m ，C 是AB 弧上一点，OC ⊥AB 于D ，CD =20m ，则该弯路的半径为________米6. （2011浙江慈吉 模拟）如图，△ABC 内接于⊙O , ∠B=42°, 则∠OCA=__________.7．（2011年杭州市西湖区）工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小孔的宽口AB 是 mm ．8.（2011年北京中考）一个圆形花圃的面积为300лm 2，你估计它的半径为 （误差小于0.1m ）9.（2011年北京四中中考模拟19）在平面直角坐标系中，圆心O 的坐标为（-3，4），以半径r 在坐标平面内作圆，（1）当r 时，圆O 与坐标轴有1个交点；C A B OC A BO 第4题O C B A 第6题图 B A 8mm 第7题D C B A O 第5题图（2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点；（3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点；（4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点；10.（2011年黄冈市浠水县中考调研试题）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB＝6，CD＝8，则弦AC的长为__________．AB与CD间距离为。
第07讲 垂径定理
第07讲垂径定理（核心考点讲与练）【知识梳理】一．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．二．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．【核心考点精讲】一．垂径定理（共5小题）1．（2022•拱墅区一模）已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（）A．4B．4C．6D．62．（2016秋•北仑区期末）⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝6，EB＝2，∠CEA＝30°，则弦CD的长为（）A．8B．4C．2D．23．（2022春•长兴县月考）如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点E，连结CO并延长，交弦AD于点F．若AB＝10，BE＝2，则OF的长度是（）A．B．3C．D．4．（2022•博山区一模）如图，在平面直角坐标系中，半径为5的⊙E与y轴交于点A（0，﹣2），B（0，4），与x轴交于C，D，则点D的坐标为（）A．B．C．D．5．（2021秋•北仑区校级期中）如图，⊙•O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（）A．B．C．2﹣D．﹣1二．垂径定理的应用（共4小题）6．（2021秋•鹿城区校级期中）如图是一个小圆同学设计的一个鱼缸截面图，弓形ACB是由优弧AB与弦AB组成，AC是鱼缸的玻璃隔断，弓形AC部分不注水，已知CD⊥AB，且圆心O在CD上，AB＝CD＝80cm．注水时，当水面恰好经过圆心时，则水面宽EF为cm；注水过程中，求水面宽度EF的最大值为cm．7．（2022•旌阳区二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是（）A．1米B．2米C．米D．米8．（2021秋•温岭市期末）把一个球放入长方体纸盒，球的一部分露出盒外，球与纸盒内壁都刚好相切，其截面如图所示，若露出部分的高度为6cm，AF＝DE＝3cm，则这个球的半径是cm．9．（2021秋•诸暨市期末）一根排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝12，如果再注入一些水，当水面AB的宽变为16时，则水面AB上升的高度为．【过关检测】一．选择题（共7小题）1．（2022春•市中区校级月考）如图，在⊙O中，OC⊥AB于点C，若⊙O的半径为10，OC＝5，则弦AB的长为（）A．5B．10C．5D．102．（2021秋•温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D．已知OC＝5，OD＝4，则弦AB的长为（）A．3B．4C．5D．63．（2021秋•嘉兴期末）如图，⊙O的直径AB＝12，弦CD垂直AB于点P．若BP＝2，则CD的长为（）A．2B．4C．4D．84．（2021秋•嵊州市期末）如图，CD是⊙O的弦，直径AB⊥CD，垂足为M，连结AD．若CD＝8，BM＝2，则AD的长为（）A．10B．5C．4D．35．（2021秋•东阳市期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（）cm．A．1B．3C．3或4D．1或7 6．（2021秋•宁波期末）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝6cm，则球的半径为（）A．3cm B．cm C．cm D．cm 7．（2021秋•拱墅区期中）如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，若OC：OA＝4：5，则DE的长为（）A．6B．7C．8D．9二．填空题（共8小题）8．（2021秋•余姚市期末）如图1，水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产．如图2，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为8米，半径为5米，则圆心O到水面AB的距离为米．9．（2021秋•瑞安市期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CD＝10，BE＝3，则AE长为．10．（2021秋•拱墅区期末）如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内原有液体的最大深度CD＝4cm．部分液体蒸发后，瓶内液体的最大深度下降为2cm，则截面圆中弦AB的长减少了cm（结果保留根号）．11．（2021秋•温州校级月考）如图是郑州圆形“戒指桥”，其数学模型为如图所示．已知桥面跨径AB＝20米，D为圆上一点，DC⊥AB于点C，且CD＝BC＝14米，则该圆的半径长为米．12．（2022•瑞安市开学）如图，矩形ABCD中，E，F分别是边AB，BC上的两个动点，将△BEF沿着直线EF作轴对称变换，得到△B′EF，点B′恰好在边AD上，过点D，F，B′作⊙O，连结OF．若OF⊥BC，AB′＝CF＝3时，则AE＝．13．（2021秋•镇海区期末）⊙O的弦AB的长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为cm．14．（2020•金华模拟）如图，依据九上教材中的丁字尺，小明开始自制丁字尺：F、A、D、E在同一直线上，AF⊥AB，AB∥CD，AF＝4cm，AD＝DE＝2cm．（1）现有一圆经过F、E，弧EF为劣弧，且与AB交于G，如果测得AG的长为10cm，那么圆的半径为；（2）小明在DC上制作单位刻度时不小心把尺子割断了，只余DM＝1cm，此时只运用这把残破的丁字尺的已知数据（一条线段不能分段测量且不能作延长线），能计算或测量（不计误差）得到的最大半径是．15．（2022•海曙区一模）如图，圆O的半径为4，点P是直径AB上定点，AP＝1，过P 的直线与圆O交于C，D两点，则△COD面积的最大值为；作弦DE∥AB，CH ⊥DE于H，则CH的最大值为．三．解答题（共5小题）16．（2021秋•西湖区校级月考）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB于E，CE＝8，DE＝2，求AB的长．17．（2021•柯桥区模拟）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB＝2．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的周长．18．（2021秋•玄武区校级月考）如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB 的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．19．（2021秋•下城区校级月考）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为30m，拱高PM 为9m，当洪水泛滥到跨度只有15m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有2m，即PN＝2m时，试求：（1）拱桥所在的圆的半径；（2）通过计算说明是否需要采取紧急措施．20．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD 交AC于点E，AD＝CD．（1）求证：OD∥BC；（2）若AC＝10，DE＝4，求BC的长．。
垂径定理
A O B D C
图① 第（22）题
A O B l D E
图②
F
l
2013 年广东省梅州市初中毕业生学业考试数学试卷（圆） 11． （3 分）如图，在△ABC 中，AB=2，AC= 切，则∠BAC 的度数是 度． ，以 A 为圆心，1 为半径的圆与边 BC 相
（2012•贵港）如图，MN 为⊙O 的直径，A、B 是⊙O 上的两点，过 A 作 AC⊥MN 于点 C， 过 B 作 BD⊥MN 于点 D，P 为 DC 上的任意一点，若 MN=20，AC=8，BD=6，则 PA+PB 的最小值是 _________ ．
启示一：点与圆的位置关系 例 6、点 P 到圆 O 的最大距离为 6，最小距离为 2，求圆 O 的半径
启示二：点与弦的位置关系 例 7、 ABC 三个顶点都在圆 O 上， OD BC 于点 D，且 BOD 48 ,求 BAC
启示三：弦所对的圆周角 例 8、半径为 1 的圆中有一条长为 3 的弦，求弦所对圆周角的度数。
1 2
四、弧、弦、圆心角的关系 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角只要有一组量相等 其他两组量就都相等， 五、拓展内容（与相似三角形综合） 1、圆的内接四边形的一个外角等于与它相邻的内角的对角
2、相交弦定理： AE BE CE DE
3、割线定理 PA PB PC PD
例 1：
圆 垂径定理 要点 1、垂径定理及推论 2、圆周角定理及推论 3、圆周角、圆心角、弧的度数 4、弧、弦、圆心角的关系 5、补充内容 一、垂径定理： 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并平分弦所对的两条弧。 2、推论：①直径（过圆心的线段）②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧
⑤平分弦所对的劣弧，以其中的两个为条件，一定能得到其他三个结论， 即”知二推三” 二、圆周角定理 1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 2、推论1：半圆或直径所对的圆周角为 90 3、推论2：圆的内接四边形对角互补 三、圆周角、圆心角、弧的度数 1、弧的度数就是它所对圆心角的度数 2、弧的度数和它所对的圆心角度数相等 3、同弧所对的圆周角的度数，为它所对圆心角的度数的
垂径定理
垂径定理【知识导航】 一、思考什么图形叫做 轴对称图形, 什么直线叫做它的对称轴？举例说明。
二、探索新知：1、圆是轴对称图形，它的对称轴是任意一条过圆心的直线.2：在⊙O 上取一点C ，作CD ⊥AB ，垂足为E ，你能发现哪些结论？ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧．∵在⊙O 中，若AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足是E ∴CE=DE ， AC = AD ，CB = DB 垂径定理推论一条直线，4条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他两条结论 （1）.经过圆心（或直径） （2）.垂直于弦 （3）.平分弦(不是直径) （4）.平分弦所对的任一段弧【思路解析】一、垂径定理的计算应用在圆中解决有关于弦的问题时，经常是过圆心作弦的垂线段，连结半径等辅助线，构造直角三角形。
例1 已知：如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心 O 到AB 的距离为3cm 。
求：⊙O 的半径。
解：练习：1、（2012•河北）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且CD=24 m ，OE ⊥CD 于点E ．已测得sin ∠DOE= 12/13． （1）求半径OD；（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？例2 （2012湖北襄樊）已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB//CD ，AB =24cm ，CD =10cm ，则AB 、CD 之间的距离为（ ） A ．17cm B ．7 cm C ．12 cm D ．17 cm 或7 cmBA练习（2014•四川凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC．cm cm C．cm或cm．cm或cm练习：1.（2012年咸宁市）如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．例3（铁一中）在半径为1的⊙O中，弦AB、AC的长分别为3和2，则∠BAC度数为．练习．过⊙O内一点M的最长的弦为4,最短的弦为2,则OM的长为.二、垂径定理的证明应用因垂直得平分，因平分得垂直例3 （2012广东佛山）如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是A．MP与RN的大小关系不定 B.MP=RNC.MP＜RND.MP＞RN练习：（2011湖南邵阳）已知：在以圆O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于F、G两点，PQ是小圆的直径，PC⊥AB于C, QD⊥AB于D求证：AC = BD【拓展演练】三、垂径定理的作图应用不在同一条直线上的三点确定一圆过不在同一条直线上的三点确定一圆的方法：连接各点，作三条线段的中垂线。
垂径定理—知识讲解
垂径定理—知识讲解〔提高〕【学习目标】1．明白得圆的对称性；2．把握垂径定理及其推论；3．学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题．【要点梳理】知识点一、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，而且平分弦所对的两条弧.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)那个地址的直径也能够是半径，也能够是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展依照圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦〔该弦不是直径〕的直径垂直于弦，而且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线通过圆心，而且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，而且平分弦所对的另一条弧.（4）圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，明白任意两个，就能够推出其他三个结论.〔注意：“过圆心、平分弦〞作为题设时，平分的弦不能是直径〕【典型例题】类型一、应用垂径定理进展计算与证明1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD相互垂直，垂足为E，且AB=CD，CE=1，ED=3，那么⊙O的半径是．【答案】5.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，∵AB=CD，CE=1，ED=3，∴OM=EN=1，AM=2，∴OA=222+1=5.【点评】关于垂径定理的利用，一样多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题. 触类旁通：【变式1】如以下图，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如以下图，过点O别离作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，那么四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，2255 2OB BM OM=+=．【高清ID号：356965 关联的位置名称〔播放点名称〕：例2-例3】【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，假设AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.【高清ID号：356965 关联的位置名称〔播放点名称〕：例2-例3】2.：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离确实是它们的公垂线段的长度，假设别离作弦AB、CD的弦心距，那么可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.别离连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这种问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，万万别丢解.触类旁通：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，那么MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采纳间接的测量方式．若是用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h＝8mm(如以下图)，求此小孔的直径d．【思路点拨】此小孔的直径d确实是⊙O中的弦AB．依照垂径定理构造直角三角形来解决．【答案与解析】过O 作MN ⊥AB ，交⊙O 于M 、N ，垂足为C ， 那么1105mm 2OA =⨯=，OC ＝MC －OM ＝8－5＝3mm ． 在Rt △ACO 中，AC ＝22534mm -=，∴ AB ＝2AC ＝2×4＝8mm ．答：此小孔的直径d 为8mm ．【点评】应用垂径定明白得题，一样转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4. 只是圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ．(1)在下面三个圆中别离画出知足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观看(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(再也不标注其他字母，找结论的进程中所连辅助线不能出此刻结论中，不写推理进程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如以下图，在图①中AB 、CD 延长线交于⊙O 外一点；在图②中AB 、CD 交于⊙O 内一点；在图③中AB ∥CD ．。
垂径定理
垂径定理 - 几何定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧。
基本信息∙中文名称垂径定理∙别称圆的垂径定理∙表达式OA=OB∙应用学科数学∙适用领域范围制图目录1 垂径定理概念2 其他资料2.1 圆的有关性质2.2 知识点2.3 大纲要求3 相关示例4 相关推论展开1 垂径定理概念2 其他资料2.1 圆的有关性质2.2 知识点2.3 大纲要求3 相关示例4 相关推论+1QQ空间新浪微博腾讯微博百度贴吧人人豆瓣垂径定理概念编辑本段垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧其他资料编辑本段圆的有关性质知识点一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素：垂径定理1、半径：圆上一点与圆心的连线段。
2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。
（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（3）圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。
（2）推论：⌝平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
⌝平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
（1）同弧所对的圆周角相等。
（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
垂径定理及其推论知二推三
垂径定理及其推论知二推三
垂径定理是：垂直与弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论一：平分弦(不是直径)的直径垂直与这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧。
推论二：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧。
推论三：平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分这条弦所对的另一条弧。
推论四：在同圆或者等圆中，两条平行弦所夹的弧相等。
(证明时的理论依据就是上面的五条定理)
但是在做不需要写证明过程的题目中，可以用下面的方法进行判断：
在5个条件中：
1。
平分弦所对的一条弧；
2。
平分弦所对的另一条弧；
3。
平分弦；
4。
垂直于弦；
5。
经过圆心(或者说直径)。
只要具备任意两个条件，就可以推出其他的三个结论。
垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==，所以在Rt △AOD 中，5AO ==（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm ．2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）A ．MP 与RN 的大小关系不定B ．MP ＝RNC ．MP ＜RND ．MP ＞RN【答案】B ；【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系，首先可通过测量猜测MP 与RN 相等，而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP ≌△ONR ，如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ，∴ ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”.举一反三：【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ︒∠=，AD=13. 求弦BC 的长.【答案】6.类型二、垂径定理的综合应用3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（）A．5m B．8m C．7m D．【思路点拨】解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为数学问题中的已知条件和问题．【答案】B；【解析】如图2，AB表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为AB的中点，CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为AB的圆心，根据垂径定理的推论可知，C、D、O三点共线，且OC平分AB．在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．∴ OD＝5，∴ CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）及勾股定理求解.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，•其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．【答案与解析】如图，连接OC，设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m，∵OE⊥CD，∴CF=12CD=12×600=300(m)，根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2即R2=3002+(R-90)2，解得R=545，∴这段弯路的半径为545m．【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握．举一反三：【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．【答案】不需要采取紧急措施设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，解得R=34(m).连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，342=162+(34-x)2，x2-68x+256=0，解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．。
垂径定理—知识讲解(基础)
垂径定理—知识讲解（基础）责编：常春芳【学习目标】1.理解圆的对称性；2.掌握垂径定理及其推论；3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6 cm，OD＝4 cm，则DC的长为（）A．5 cm B．2.5 cm C．2 cm D．1 cm【思路点拨】欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA.【答案】D ；【解析】连OA ，由垂径定理知13cm 2AD AB ==， 所以在Rt △AOD 中，2222435AO OD AD =+=+=（cm ）．所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。
举一反三：【高清ID 号：356965 关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
垂径定理的推论
A
E · O
B
∴ ⊙O的半径为5cm.
4、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E， CE=1，AB=10，求直径CD的长。
A C E B · O D
已知⊙O的直径是10 cm，⊙O的两 条平行弦AB=6 cm ，CD=8cm，
求弦AB与CD之间的距离。
A
C
6
10 10 8
E
8 . O 6
1 垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧
C
∵ CD⊥AB
∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
⌒ ⌒
⌒
⌒
O · A E D B
垂径定理的本质是
（1）一条直线过圆心
满足其中任两 （2）这条直线垂直于弦 条，必定同时 满足另三条 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √
）
判断
①平分弧的直径必平分弧所对的弦
②平分弦的直线必垂直弦
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦， 必平分此弦所对的弧 ⑧分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对 的两条弧分别三等分
C
CD过圆心
CD⊥AB
AE=BE AC=BC AD=BD
（1）过圆心 （2）垂直于弦
C
O · A
E D
（3）平分弦
B
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧 讨论：上述五个条件中的任何两个条 件作为题设，是否都可以推出其他三 个结论.
M
垂径定理推论
垂径定理及其推论
垂径定理及其推论：定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．注意：（1）垂径定理及其推论是证明线段相等、弧相等、角相等的重要依据．在圆中解有关弦的问题时，经常做垂直于弦的直径作为辅助线．（2）垂径定理可改写为：如果一条直线垂直于一条弦，并且过圆心，那么这条直线平分弦并且平分弦所对的两条弧．其中有四个条件：直线垂于于弦，直线平分弦，直线过圆心，直线平分弦所对的弧．它的三个推论可看作“如果四个条件中有两个成立，那么另外两个也成立”．这样理解与记忆垂径定理，理解深刻，记忆准确，有利于应用．定义：如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。
推论一:平分弦(不是直径)，的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)编辑本段证明如图，在⊙O中，DC为直径，AB是弦，AB⊥DC，AB、CD交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD垂径定理证明图连OA、OB∵OA、OB是半径∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形∵AB⊥DC∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三线合一）∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC∴弧AC=弧BC编辑本段讲解垂径定理又称“5-2-3”定理其意为：①CD是⊙O直径AB是弦;②CD⊥AB;③AE=BE;④弧AD=弧BD;⑤弧AC=弧BC在以上5个条件中满足任意2个则另外三个条件也成立.以下是推论编辑本段推论推论一:平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧推论二:弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的弧推论三:平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦,并且平分这条弦所对的另一条弧推论四:在同圆或者等圆中,两条平行弦所夹的弧相等(证明时的理论依据就是上面的五条定理)但是在做不需要写证明过程的题目中,可以用下面的方法进行判断:一条直线，在下列5条中只要具备其中任意两条作为条件,就可以推出其他三条结论1.平分弦所对的优弧2.平分弦所对的劣弧（前两条合起来就是：平分弦所对的两条弧）3.平分弦(不是直径)4.垂直于弦5.经过圆心6.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
初中数学 什么是垂径定理
初中数学什么是垂径定理
垂径定理是初中数学中的一个重要定理，它涉及到圆的直径和垂直关系。
下面我将详细介绍垂径定理的定义、性质和相关的概念。
1. 垂径定理的定义：
-垂径定理：如果一条线段垂直于一条直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。
2. 垂径定理的性质：
-垂直关系：垂径定理表明，如果一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交，那么这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦一定也是垂直于这条直径。
-直径与垂直弦的关系：垂径定理还表明，直径与垂直于它的弦是垂直的。
3. 垂径定理的应用：
-判断垂直关系：根据垂径定理，可以通过判断一条线段是否垂直于圆的直径来判断这条线段与圆的边界上的两个交点连线所得的弦是否垂直于这条直径。
-求解问题：根据垂径定理，可以在已知一条线段垂直于圆的直径，并且与直径的两个端点相交的情况下，得到与这条线段所得的弦垂直的弦。
垂径定理是圆的直径和垂直关系之间的重要定理，它可以帮助我们判断垂直关系和求解相关问题。
在应用垂径定理时，需要注意理解垂径定理的定义和性质，并运用几何知识进行推理和分析。
希望以上内容能够满足你对垂径定理的了解。
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1．[2014·毕节]如图33－6，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是
( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
图33－6
2．[2014，三明]如图33－7，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，则下列结论正确的是
( )
图33－7
A ．OE ＝BE
B.BC ︵＝BD ︵
C ．△BOC 是等边三角形
D ．四边形ODBC 是菱形
3．[2014·南宁]在直径为200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图33－8所示，若油面AB ＝160 cm ，则油的最大深度为
( )
A ．40 cm
B ．60 cm
C ．80 cm
D ．100 cm
图33－8
4．[2013·潍坊]如图33－9，⊙O的直径AB＝12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP∶AP＝1∶5，则CD的长为()
图33－9
A．4 2 B．8 2 C．2 5 D．4 5 5．[2013·吉林]如图33－10，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OA，OB.
点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OA＝5 cm，OC＝3 cm，则AP的长度范围是______________．
图33－10
6．[2013·邵阳]如图33－11所示，某窗户由一个矩形和一个弓形组成．已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出弧AB所在⊙O的半径．
图33－11
7．[2014·湖州]已知在以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C ，D (如图33－12)． (1)求证：AC ＝BD ；
(2)若大圆的半径R ＝10，小圆的半径r ＝8，且圆心O 到直线AB 的距离为6，求AC 的长．
图33－12
8．如图33－13，M 是AB ︵
的中点，过点M 的弦MN 交AB 于点C .设⊙O 的半径为4 cm ，MN ＝4 3 cm. (1)求圆心O 到弦MN 的距离； (2)求∠ACM 的度数．
图33－13。