5-7 电磁场的动量

假有一平面电磁波的以θ角入射于理想导体表 面上而被全部反射，试求此导体表面所受到的辐 射压力。
θ
导体单位表面对空间电磁波所施加的作用力，
等于单位表面上电磁动量在单位时间内所发生的变
化。由于作用力与反作用力大小相等，它的量值就
等于电磁波对物体单位表面所施加的压力。由于电
磁波的传播速度为c，在单位时间内射到单位横截

dt V
c2
SdV
讨论：

T ds
S
d dt
V
1 c2
SdV
a) 若积分区域V 为全空间，则面积分项为零，而
dP d 1
dt dt c2 SdV
根据动量守恒定律，带电体的机械动量的增加等于电磁场
的动量的减少，因此称
P电磁


1 c2
SdV

0(E


0 (

E)E

1
0
(

B

0 0
E t
)
B
考虑对称性，利用
B 0 , E B t
构成一个恒等式：
1
0
(

B)B

0
(

E

B t
)
E

0
把此式与f 的表达式相加，则有
f
0 ( E)E
1
0
( B)B

1
0
(
分，所以把它解释为穿过区域V 的边界面S 流入体内的动量
流。故称 T为电磁场动量流密度。
下面再看动量流密度 T 的物理意义：因为
d

d
dt P机械 S T ds dt V gdV
此式左边第一项代表带电体与电磁场的作用力，右边的项
代表体积V内的电磁场动量的时间变化率。
如果把该式看成是场的运动方程，它表示场的动量 变化率等于外力作用于体积V内的场的合力，那么 等式左边第二项就表示作用在V内的场的作用力， 由于是面积分，所以它只能表示体积V的界面外的
ω是角频率。 从而可以看出：每个光子所带的动量
g光子

1 c
w光子 n

1 c
n

kn

k
b) 若积分区域V 为有限空间，则面积分项不为零，即
dP机
T
ds

d
gdV
dt
S
dt V
因为等式左边项表示机械动量，右边第二项代表了电磁
动量，因此右边第一项也必然具有动量的意义，而它是面积
P电磁 n T n[0 (EE

n


0
EE

1 2

0n

E
2
I

1
E
2
I )]
2
0E2n
1 2

0
E
2
n

1 2
0E2n
这说明单位面积上的电磁力P电磁沿电场方向，正号说明是
张力，它代表单位面积外侧（与n同侧）的电场对内侧电
场的作用。故沿电场线方向电场之间有张力。
场对体积内V的场的作用力，这样，正如弹性力学 中的张力一样， nT 代表面外的场对面内的场在
单位面积上的作用应力，亦称之为Maxwell应力张 量或张力张量。
Maxwell应力张量的分量物理含义：
z C
△S
O
A
y B
x
设ABC为一面元ΔS，这面元的三个分量为三角形OBC、
OCA和OAB的面积，OABC是一个体积元△V，
场对带电体的作用为Lorentz force，在Lorentz force 作用下带电体的机械动量变化为
dP dt

V
fdV

V (E
J
B)dV
下面利用真空中的场方程把等式中的电荷 和电
流 J 消去，把 Lorentz force density 改写为：
f E J B
面的电磁动量为：
g (c 1)
S
w
c
设电磁波的入射角为θ，则单位时间内射到单位表面 积上的电磁动量为
f1 gc cos w cos
同样，在单位时间内被物体单位表面反射的电磁动 量为
f 2 Rgc cos Rw cos
这里的R为反射系数。因此，单位时间内动量在法向 的变化为：
2) 若面法线方向的单位矢量n垂直于电场E，则单位面积上的
电磁力为
P电磁

nT

n [0 (EE

1 2
E2I )]

n


0
EE

1 2

0n

E
2
I


1 2

0
E
2n

其中用到 n E 0 , n I n
结果表明单位面积上的电磁力P电磁沿单位面积的法线方向， 与电场方向垂直，负号说明是压力，故垂直于电场线方向
因此，通过ABC面流出的动量各分量为：
p1 S1T11 S2T21 S3T31
p2 S1T12 S2T22 S3T32
p3
写成矢量式：
S1T13
P S
S2T23
T

S3T33
这就是通过面元ΔS流出的动量。因此，通过闭合曲
面流出的总动量为
§5.7 电磁场的动量
电磁场和带电体之间有相互作用力。场对 带电粒子施以作用力，粒子受力后，它的动量 发生变化，同时电磁场本身的状态亦发生相应 的改变。因此，电磁场也和其他物体一样具有 动量。辐射压力是电磁场具有动量的实验证据。
本节从电磁场与带电物质的相互作用规律 出发导出电磁场动量密度表达式。
一、电磁场的动量密度和动量流密度

T ds

S
张量 T 的分量Tij的意义是通过垂直于i 轴的单位面积
流过的动量j 分量。
二、Maxwell stress tensor进一步讨论
为了对Maxwell应力张量的进一步了解，下面讨论电场 中的几个特殊面上的力。
1) 若面法线方向单位矢量n平行于电场E，则单位面积上的
电磁力为

z
通过界面OBC单位面积流入
C
体内的动量三个分量为：
T11、 T12 、 T13 ；
△S
通过界面OCA单位面积流入
O
体内的动量三个分量为： A
y B
T21、 T22 、 T23 ；
x
通过界面OAB单位面积流入体内的动量三个分量为：
T31、 T32 、 T33 ； 当 V 0 时，通过这三个面流入体内的动量等于 从面元ABC流出的动量。
EE

1 2
E
2
I

1
0

BB

1 2
B
2
I


1 c2
S t
或者化为
1 S
f T c2 t
其中
T

0 EE

1
0
BB

1 2
( 0 E 2

1
0
B2)I
至此，可以把机械动量的变化率写成
dP

d1
dt


V
TdV
垂直于E时， P电磁也垂直于E，这时P与n平行或
反平行；
同理，磁场存在时的问题讨论，与上述完全 一样。
三、辐射压力
电磁场作为物质在流动（辐射）时，一旦遇 到其他物体，就会发生相互作用力，由电磁场引 起的对其他物体的压力称为辐射压力。如果是可 见光引起的辐射压力，通常称之为光的压力。
由电磁场动量密度式和动量守恒定律可以算出 辐射压力。
对于平面电磁波， B 1 n E c
根据电磁动量密度公式
g 0(E B)
即可得到一定频率的电磁波的平均动量密度.
g

1 2

0
Re( E*

B)

0
2c
|
E
|2
n
1 c
wn
这个关系式在量子化后的电磁场也是成立的，量子化后的电
磁场由光子组成，每个光子的能量为 ，其中 h / 2

1 2
0n
E2I )


2 0
E
4
cos2


1 2

2 0
E
4
cos2

1 2

2 0
E
4
cos2


1 4

2 0
E
4

1 4

2 0
E
4
所以 P电磁

1 2

0
E
2
其方向可这样来确定：
P电磁

E

1 2
0E 2n
E
结论：
P电磁与E的夹角等于n与E的夹角。当n与E
平行时，P电磁也与E平行，这时P与n平行；当n

B

0 0
E t
)
B

0
(

E

B t
)

E
其中 ( E)E ( E) E

(

E)E


1 2
(E

E)

(E

)E