探究什么与怎样探究——以一道解析几何题为例
优化解题过程,提升计算能力——以一道解析几何证明题为例
数学教学通讯投稿由0 箱:**********>试题研究优化解题过程，提升计算能力—以一道解析几何证明题为例孙世林北京市第八十中学100102［摘 要］历年高考解析几何解答题，综合性强，能力要求高，考生普遍失分较多.文章以一道解析几何问题为例，谈谈如何回归解析几何知识本质，如何优化解题过程，如何从多角度探究问题，从而提升计算 能力.［关键词］解析几何;解题思路;运算求解解析几何综合题是考查学生能力 的主要内容之一,在高考中占有重要地 位，试题呈现出综合性强，难度大，灵 活多变的特点，对能力要求高,普遍存 在解题思路不清、方法选择不当、计算 不过关等现象,下面就谈谈如何优化解 题过程，提升计算能力.问题:如图1,已知椭圆C ：手+£=1 (识>0)的离心率为*，杪椭圆C 的右焦 点,4(-a,0), |4F|=3.(D )设0为原点,F 为椭圆上一点(点 P 不是椭圆的长轴端点),AP 的中点为胚 直线OM 与宜线”=4交于点P ,过0且平行 于APtt 宜线与直线*4交于点E,求证：,ODF=,OEF 思路1：本题的第一问比较简单，第 二问是证明两个角相等.要想证明这两 个角相等，我们先看这两个角是怎样形 成的？ P 为椭圆上一点的中点M 与原 点0连接并延长,与直线*4相交，形成了 点。
，点E 是过0且平行于4阳直线与直 线*4相交形成的，这样才出现了线段DF^EF,从而有了厶ODF 与Z OEF,可见 这两个角与点P 有紧密的联系，所以可 以从直线4P 的方程或点P 的坐标入手.解法4：( I )椭圆C 的方程是手+彳= 1.(n )由(I )得A (-2,0).设直线AP 的方程为：y=A:(«+2)(^00),将其代入椭圆方程，整理得(4Q+ 3)x 2+16fc 2x+16fc 2-12=0,显然，其A>0，设AP 的中点M(x 0,y 所5工.1 42+3所以％=飞"丄=話5"必="(“。
几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例
几何解题研究的方法与思考——以一道中考试题为例胡坚波收稿日期：2020-09-23作者简介：胡坚波（1981—），男，中学一级教师，主要从事初中数学课堂教学研究.摘要：解题教学是必不可少的一种课堂教学形式，教师解题研究的能力直接影响到学生对问题理解的深度.教师只有掌握了解题研究的一般方法，才能在课堂中引导学生抓住问题的本质，从而优化解法，并进一步带领学生发现问题、提出问题、解决问题，进而得到一般性的结论，最终提高学生的解题能力、培养学生的数学学科核心素养.文章以2020年中考浙江杭州卷第14题的研究为例，谈谈几何解题研究的一般方法．关键词：中考试题；解题研究；一般方法中考试题的命制往往有其意义，一道看似不起眼的试题，其中很可能蕴含着丰富的内容.如果继续探究下去，或许就能发现试题背后隐藏的深意，从而体现解题的育人价值.本文以2020年中考浙江杭州卷第14题为例，谈谈应该怎样进行几何解题的研究.题目（2020年浙江·杭州卷）如图1，已知AB 是⊙O 的直径，BC 与⊙O 相切于点B ，连接AC ，OC.若sin ∠BAC =13，则tan ∠BOC 的值为.COAB图1作为填空题的第4道题，试题本身不难，主要考查了三角函数的相关知识.不妨设BC =1，则AC =3.解得AB =22，OB =2.则tan ∠BOC作为填空题，此题的求解到这里就结束了，但是作为解题研究，现在才刚刚开始.一、获得研究对象研究图形要抓住图形的本质，为了更容易抓住本质，几何研究要做减法，即去掉非关键因素.此题中，可以隐去圆，那么题目条件等价于“如图2，∠ABM =90°，点C 在射线BM 上，O 是AB 的中点”.观察图形的结构，不难发现，若点C 的位置确定了，则整个图形的形状就随之确定，即∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的度数也随之确定.原试题就是在确定的条件下进行的定量研究，而研究图形变化过程中的规律性也是几何研究的常见问题.在图2中，当点C 的位置变化时，∠BOC ，∠BAC ，∠ACO ，∠BCO 的大小也随之改变.当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，容易发现∠BOC 和∠BAC 的度数变大，∠OCB 的度数变小，但无法很快确定∠ACO 的变化情况.接下来，我们进一步探究∠ACO 的变化情况.CO ABM 图2··56二、借助技术获得初步猜想几何问题的研究一般要经历画图、测量、计算、猜想、证明的过程.几何画板软件为我们画图、测量、计算提供了很好的辅助.利用几何画板软件对复杂的问题进行初步研究、获得猜想，是常见的研究起点.利用几何画板软件，发现当点C 从点B 向射线BM 的方向移动时，∠ACO 的度数先变大后变小，且∠ACO 取到的最大值约为19.47°（如图3）.进一步计算，发现此时sin ∠ACO ≈0.33.∠OCA =19.47°∠CAO =35.58°sin∠OCA =0.33M ABCO图3猜想：如图3，当∠ABM =90°，点O 是AB 的中点时，射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，此时sin ∠ACO ＝13.三、从“数”的角度验证猜想通过利用几何画板软件进行探究，发现点C 的位置决定了∠ACO 的大小，而点C 的位置可以用BC 的长度来刻画，所以继续探究的思路是用BC 的长度表示sin ∠ACO.为了研究方便，不妨设AB =2，BC =x ，根据勾股定理，得OC 2=1+x 2，AC 2=4+x 2.因为S △ACO =12AC ·OC ·sin ∠ACO =12AO ·BC ，所以sin ∠ACO =x x 4+5x 2+4=14因为x 2＋4x 2≥4，所以当x 2=4x 2，即x =2时，x 2＋4x 2的最小值为4.所以得到sin ∠ACO ≤13，即当BC =2时，sin ∠ACO 取最大值13，猜想得证.四、从“形”的角度验证猜想前面我们从“数”的角度验证了猜想，接下来我们从“形”的角度来思考.抓住变化过程中不变的关系是研究几何问题的常用方法.进一步观察图形，我们发现当点C 的位置发生改变时，∠ACO 所对的边AO 的长度始终没有发生变化.即角度在变，角度所对的边不变.这让我们联想到了圆中同弦所对的角.构造过A ，C ，O 三点的⊙D.如图4，若⊙D 与射线BM 相交，设另一个交点为点E.在线段CE 上任意取一点F （除点C ，E 外），连接AF ，OF ，根据圆内角大于同弧所对的圆周角，可得∠AFO ＞∠ACO.故可知此时∠ACO 的度数并没有取得最大值.图4图5如图5，若⊙D 与射线BM 相切于点C ，在射线BM 上任意取一点G （除点C 外），连接AG ，OG ，根据圆外角小于同弧所对的圆周角，可得∠AGO ＜∠ACO.故此时∠ACO 取到最大值，于是得到第一个有价值的结论.结论1：∠ACO 取到最大值的充要条件是过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切.接下来，求此时∠ACO 的正弦值及BC 的长.可以沿用前面的解题思路，分别求出线段AO ，OC ，AC ，BC 的长度，再利用△ACO 的面积求解.解法1：如图6，连接DC ，AD ，作DH ⊥AO.H O ABCDM图6不妨设AO =BO =1，则AH =OH =12，BH =32.因为⊙D 与射线BM 相切于点C ，所以DC ⊥BC.因为∠B =90°.··57所以四边形BCDH为矩形.所以AD=DC=BH=32.在Rt△ADH中，由勾股定理，得DH=2.所以BC=DH=2.由勾股定理，得OC=3，AC=6.由S△ACO=12AC·OC·sin∠ACO=12AO·BC，代入解得sin∠ACO=13.显然，求解过程还是有些复杂，不妨进一步思考，此图形还有什么特殊性可以应用？从圆的视角看，⊙D与射线BM相切，∠ACO为圆周角，解法豁然开朗.解法2：利用圆周角定理，可以转化到圆心角进行求解，可得∠ADH=∠ACO.所以sin∠ACO=sin∠ADH=AHAD=13.利用圆幂定理，可得BC2=BO·BA.解得BC=2.解法2抓住了问题的本质，解法也更优化、更简洁.“数”和“形”两种思考方法都能验证猜想，可见这也是我们解决几何问题的一般思路.对比两种思路，从“数”的角度思考，往往需要设未知变量，再利用勾股定理、相似、面积关系、三角函数等，列出未知变量与所求量之间的关系，然后用代数的方法求解；从“形”的角度思考，往往需要根据图形的结构，抓住图形中不变的关系，构建出几何模型，再根据图形性质求解.用“数”的方法容易想到，但计算较复杂；用“形”的方法比较直观，计算也相对简单，但是要弄清楚几何模型结构有一定的难度，需要的知识综合度高，也需要一定的逻辑推理.数形结合的思想方法在教学中有其育人价值，在解题教学中我们应让学生经历基本的活动经验，这样才能培养学生必需的基本数学思想.五、追本溯源其实，本问题在数学史中已经存在，称为“米勒问题”.德国数学家米勒于1471年提出“塑像问题”：有一个高a米的塑像立在一个高b米的底座上，一个人朝它走去（人的高度忽略不计），问此人应站在离塑像底座多远的地方，才能使塑像看上去最大（即视角最大）？根据题意画出图形，如图7，AO为雕像，BO为底座，点C表示人，求∠ACO最大时，BC的长.ABO图7这与我们研究的问题非常相似，只是点O的位置不再是中点，这为我们进一步研究问题提供了思路，即可以改变图形的条件，使之更具一般性，进而获得一般性的结论，这是我们进一步研究几何问题的方向.六、改变条件进一步探究1.改变点O的位置受“米勒问题”的启发，我们可以改变点O的位置，使之一般化，为了研究的连贯性，不妨设AB=2，AO=n（0＜n＜2），这样点O在线段AB上就具有一般性了，本质上与“米勒问题”是等价的.因为结论1与点O在线段AB上的位置无关，所以结论1仍成立.如图8，当⊙D与射线BM相切于点C时，∠ACO取得最大值.此时，易得AH=n2，DC=BH=2－n2.所以AD=DC= 2－n2，sin∠ACO=sin∠ADH=AH AD=n4-n.根据圆幂定理，得BC=BO·BA=4-2n.显然当n=1，即点O是AB的中点时，sin∠ACO的最大值为13，此时BC=2.但是这只是其中的一种特殊情况，于是得到第二个有价值的结论.HOA BCDM图8··58结论2：如图8，设∠ABM =90°，AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则在射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时sin∠ACO =n 4-n，BC =4-2n.2.改变∠ABM 的大小此题条件里动点C 所在的射线BM 与AB 垂直，显然条件中的位置比较特殊.若从这个角度改变条件，当射线BM 与AB 不垂直，即∠ABM ≠90°时，相当于“米勒问题”中的雕像及底座与地面不垂直时，那么结论2是否仍成立？因为∠ABM ≠90°，所以四边形DCBH 不再是矩形，即DC ≠BH.求半径的解法相应会有所改变，猜想sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数有关.因为结论1与∠ABM 的大小无关，所以结论1仍然成立.∠ACO 取到最大值时，过A ，C ，O 三点的⊙D 与射线BM 相切，故圆幂定理仍然适用，所以BC =BO ·BA =4-2n.所以可得第三个有意义的结论.结论3：设∠ABM =α（0°＜α＜180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin ∠ACO 的值与∠ABM 的度数无关.接下来，求sin ∠ACO.因为∠ABM 有锐角和钝角两种情况，所以要分两种情形分类进行研究.情形1：如图9，当0°＜α＜90°时，⊙D 与射线BM相切于点C.根据前面的猜想sin ∠ACO 会与α有关，为了将α用上，所以考虑作垂线构造直角三角形.作DH ⊥AO 于点H ，BE ⊥AB 交DC 的延长线于点E ，作DF ⊥BE 于点F.M O AB CD EF GH图9易证∠CBE =∠EDF =90°-α，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()90°－α=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()90°－α=4-2n ·tan ()90°－α，AD =DC =DE -CE =4-n 2sin α-4-2n ·tan ()90°－αsin∠ACO =sin∠ADH =AH AD =n sin α4-n -24-2n cos α.情形2：如图10，当90°＜α＜180°时，⊙D 与射线BM 相切于点C.同样作DH ⊥AO 于点H ，作BE ⊥AB 交DC 于点E ，作DF ⊥BE 交BE 的延长线于点F.H A B CDOEF M图10易证∠CBE =∠EDF =α-90°，DF =BH =2-n 2.所以DE =DF cos ()α－90°=4-n 2sin α，CE =BC ·tan ()α-90°=4-2n ·tan ()α-90°，AD =DC =DE +CE =4-n 2sin α＋4-2n ·tan()α-90°sin∠ACO =sin∠ADH =AH AD 发现两种情形最后结果的表达式是一致的，而把α=90°代入，得sin∠ACO =n 4-n.与之前的计算结果一致，可见角度在变，结果的表达式不变，得到了变化过程中不变关系的本质，于是得到了问题的一般性结论.结论4：设∠ABM =α（0°<α<180°），AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），则射线BM 上存在点C ，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =3.当射线BM 改为直线BM 时，相当于“米勒问题”中人可以站到雕像的背面进行观察.如图11，当点C 在直线BM 上移动时，由前面的研究可知，当点C 在射线BM 1和BM 2上时，分别有一个点C 1和点C 2，使得∠AC 1O 和∠AC 2O 在各自的射线上取到最大值，那么∠AC 1O 和∠AC 2O 哪个更大一些呢？显然，当BM ⊥AB 时，BC 1=··59BC 2，由对称性可知∠AC 1O =∠AC 2O.当BM 与AB 不垂直时，不妨设∠ABC 1=α（0°<α<90°），则∠ABC 2=180°-α.根据结论4，可以得到sin ∠AC 1O =sin ∠AC 2O =因为0<cos α<1，所以sin ∠AC 1O ＞sin ∠AC 2O.所以∠AC 1O ＞∠AC 2O.得到结论5.M 2OAB MC 1C 2M 1图11结论5：如图11，当点C 在直线BM 上时，设AB =2，点O 是线段AB 上一点，AO =n （0＜n ＜2），如果直线BM 与线段AB 所成的较小的夹角为∠ABM 1（0°＜∠ABM 1≤90°），则点C 一定在射线BM 1上，使得∠ACO 取到最大值，且此时BC =4-2n ，sin∠ACO =七、解后思考回顾整个研究过程，通过图形的变化将一个确定的图形变为不确定的图形，从而获得研究对象.而对于变化中规律的研究，入手比较难，这时信息技术为化解难点提供了帮助.借助几何画板软件，不仅能方便地展示图形变化的过程，而且可以通过教师有意识地控制帮助学生观察影响变化的要素及其关系，从而获得初步的猜想.接着，从“数”和“形”两个角度验证了该猜想，进一步体会到几何问题在“数”和“形”上的统一，体会到数形结合思想在解题中的重要作用.在引出“米勒问题”后，通过进一步改变条件——点的位置变化、角度的大小变化、射线变为直线等，发现了在条件变化过程中不变的结论.通过这样的解题教学研究可以让学生进一步体会到研究几何问题的一般方法——从简单到复杂，从特殊到一般.整个研究过程，具备学习素材的真实性，问题的开放性，学习过程的探索性，学习手段的操作性，探索过程的动态化、可视化，学习体验的形象化、可表达，学习结果的创造性.这些都有利于在今后的学习中，提高学生发现问题和解决问题的能力，进而实现几何解题教学的育人价值.参考文献：［1］王红权.“高考真题分析”习题课的教学实践与思考［J ］.中小学数学（高中版），2015（4）：20-23.［2］章建跃.研究三角形的数学思维方式［J ］.数学通报，2019，58（4）：1-10.··60。
浅谈解析几何题的解题策略——以一道模考题为例
力倾 向． 即 在 理 想 条 件 下 掌 握 该 任 务 所 需 要 的 时 间．所 以 要想 提 高有 效 学 习 程
度． 就 要 想 办 法 让 实 际 用 于 学 习 的 时 间
试题 研究 ） 解题 技巧
数学教学通讯 （ 中等 教育 ） ……………………一 投稿邮 箱： ｓ ｘ ｊ ｋ ＠ ｖ ｉ ｐ ． １ ６ ３ 。 ｃ ｏ ｍ
（ 关 于ｋ 的函数 ） ；
生 对 数 学 概 念 的 理 解 和 掌 握 就 是 通 过
解 题来 完 成 的 ． 所 以教 会 学 生 怎 么 解 题 是 教师必须认真思考 的问题 ． 它 也 将 直
师要 不 断 反 思 自己 的 教 学 ． 切 实 抓 好 概 念 课 的教 学 ． 这 是提 高教学 效率 ． 减 轻
（ ２ ） 布鲁 纳 的发 现学 习理 论 ： 布 鲁
纳 认 为 在 数 学 学 习 中 强 调 学 习 过 程 是 相 当重要的 ： 强 调 直 觉 思 维 和 内 在 动 机
｝（ 关 。 （ 或 ） 的 函 数） ．
说明 ： 策略 １ 、 ２ 直接 从 设 点 ， 策略３ —
的 过 程 ．问 题 的解 决 也 是 一 帆风 顺 ， 但 在 学 生 实 际 的解 题 过 程 中 ． 往 往 是 充 满 艰 辛 和 错误 ．遇 到一 些 较 难 题 时 ．学 生
的思维一时不 能到达 ． 而 采 用 将 题 目的
策 略 ５ ： ｛ ’ 一 点 。 坐 标 一 维 量 小 ． 虽计 算 量稍 大 ．但 属 于 常规 解
一 点脞 标 ， 关 的 函
法． 易 于入 手 ． 其 中策略 ２ —６ 都 涉及 直 线
６ ． ９ ， ｋ 设斜 率 出发 ， 单 刀直 入 ． 一算 到 底 ， 思
探究性学习的案例
探究性学习的案例——以解析几何常规题的探究为例按照数学课程标准的要求，数学教材建设要落实实践育人，以数学知识的学习为载体，依据发展学生核心素养的要求选择和组织学习素材，并通过情境创设和任务驱动（问题解决）等方式，精心设计系列学习和实践活动，让学生在学习和应用数学知识的过程中发展核心素养，形成理性思维，培养创新精神和实践能力。
探究性学习成为改进学生学习方式的重要途径。
探究性学习以数学核心概念及其反映的基本思想为纽带，通过类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，使不同内容相互沟通，从而加深对数学的整体性认识，使学生建立功能优良迁移能力强的数学认知结构。
在探究性学习中信息技术作为数学学习的重要认知工具，将发挥巨大的作用，它可以使学生对于原来的常规问题可以作进一步深入的研究和探索，教师也可以将原来的确定问题改进为探索性、专题性、拓展性问题，供学生进行学习。
例1 已知椭圆C：22221x ya b+=()的离心率为33过点A（0，1）任意作直线l交椭圆C于P，Q两点，当l∥x轴时，｜PQ｜＝32。
（1）求椭圆方程；（2）①求｜PQ｜的最大值；②以Q为圆心，33为半径作圆，M，N是圆Q上任意两点，求△PMN面积S的最大值。
分析：(1)通过SOLVE（）命令，求得椭圆方程：; 设直线方程为,(2)代数方法：设|PQ|=d, 圆的两条弦MN与M1N1满足|MN|=|M1N1|，设QR⊥MN，QR1⊥M1N1，垂足分别为R，R1且R在PQ的延长线上，PH⊥M1N1,垂足为H，则|QR|=|QR1|，因此，|PR|=|PQ|+|QR|=|PQ|+|QR1|＞|PH|，这说明当MN与PQ垂直时，△PMN面积S的有最大值。
设|QR|=x ，则,,,显然当d最大,即时, △PMN面积S的有最大值,此时.利用TI 图形计算器的CAS功能，可求得面积的最大值为。
HR1R NQPM1 M（3）几何方法由图形分析可知，当过点M的圆的切线平行于PN，且过点N的圆的切线平行于PM时，即四边形PMP’N是菱形时，△PMN面积S的取得最大值。
多解探究 巧妙归纳——以一道解析几何题的探索为例
www 中学数学教学参考（下旬〉2021年第4期@多解探究15妙归納—以_道解析几何题的探索为例邵明冠(河南省兰考县第一高级中学）摘要：直线与圆锥曲线的位置关系问题，新颖多样，能综合考查相关知识，具有较高的选拔性与区分度，备受命题者的青睐，通过深入探究与变式拓展、归纳总结，可达到综合提升的目的。
关键词：橢圆；直线；平行；四边形；最大值；弦长文章编号：1002-2171 (2021)4-0051-03直线与圆锥曲线的位置关系中，涉及最值或取值 范围的问题是高考和竞赛中的一个热点内容，形式新 颖，通过转化，利用平面几何中的三角形或四边形、平 面向量的线性关系或数量积、线段的乘积或比值等关 系式，以及直线的倾斜角或斜率等加以巧妙设置，能 综合考查相关知识，具有较高的选拔性与区分度，备 受命题者的青睐，通过进一步挖掘问题的潜在功能，为进一步的探究、拓展与归纳提供条件。
1问题呈现为 j c =A (:^，％ )，B (:c2，火），联立-m y—,|x2消元并整理可得（m2+4)y ——4+y=1,1=0,根据根与系数关系可得M+力!+4，而 I A B丨=\/l+m2 |y\一y2 \= \/l+w2 V(^1 +^2 )2—4^1 yi=\/\+rrf2\[3n2+4/m2+4(2020届河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学理科第16题）设F,,F2是椭圆C:^+/=l 的两个焦点，过P\，F2分别作直线，且A//2，若 G与橢圆C交于A，B两点，匕与椭圆C交于C，D两 点（点八，0在^轴上方），则四边形A B C D面积的最 大值为________。
该题涉及椭圆内接四边形的面积，点、线等元素 较多，离不开系统的逻辑推理与繁杂的代数运算，能 很好地激发学生和教师的解题兴趣。
2解法探究解法1:(弦长公式法）由题意可得a==2,6=l,当直线斜率不存在时，易得四边形A B C D 面积为2 W，当直线6斜率存在时，设直线A的方程4(l+m2)m2+4°又点〇到直线/,的距离为结合y i+m2A//&及椭圆的对称性，可知四边形A B C D是平行四边形，且点〇是A C与B D的交点，所以 ^C J A B C D=4S a〇4b = 4 X — |A B |= 4 X -r- X X/ Z m十4 V3 =8V3y i +m2=_______8^/3 〈y i T^w2+4~y i+^+—^、V l + m2—-—-—=^=4,当且仅当2 L/Y T^x-3V\/l+所2、3 ,,即m2=2,亦即m=士#时等号成立，所以V l+m2四边形A B C D面积的最大值为4。
点燃思维火花 体验探究精彩——一道解析几何试题的讲评过程
解决 了新 问题 ， 让学生 再回头来看 原 问题 ， 切是那么 自然 与和谐 ： 不论 曲线是 圆还是椭
一
学生可 以求解 、点评．师生一起收获不少有价 值 的 问题 ：
圆都 ， 有僦： ２—Ｘ ２而点Ｍ（ ，１ － ｌ ， １孚Ｙ 茁 ） １ 、
Ｐ（２Ｙ） 曲线上， ｘ ，２在 只要将 ｌ ２ 、Ｘ 用 １ ２ 、 表
由以上分 析可 以看 出， 涉及 代 数运 算 的解 析几何综合 题仍然是学 生的一个难 点， 尽管经 过 了前期 的复习与训练， 学生分 析 问题 、计算 求解 的能力 还需加强， 以试题 讲评 的重 点是 所 如 何对条件进 行加工 、重 组， 过改进方法来 通 避 免 复杂 的计 算 ．
第 （） ３ 小题 ． 要 方 法 为 ： 主
的任 意两 点， 点 关于 Ｘ 的对称 点为 点 Ⅳ， 轴
若直线 、 Ｐ分别交 Ｘ轴于点 （ ０、 ｎ ０， Ⅳ ｍ，） （ ，） 求证： ｍｎ为定值 ． 面 对 这 样 一 道 似 曾 相 识 的 新 问题 ， 部 分 大
学 生都乐意一试 身手． 做 的学 生可 以重温原 会 题 的解题过程 、改进求解方 法， 而考试 时思维 受 阻的学 生也可 以通过重新审题 、分析来积累
解题经验 ．
９ １ －４
数 学款 学
２１ 年第 ９ ０２ 期
这道 题 的解 决方法 与 原题 如 出一辙， 是 只 计算 略微 复杂．在学 生尝试求解 后， 讲评 的工 作还 是 由他们 完成： 先选择几个 学生来 说解题 思路， 在对 比、分析 这些 方法后 ， 学生 体会 让 如何对条件进 行加工 、重组 ， 而感悟 问题 的 进 本质 ， 领会如何才能避 免复杂的计算．
开展“一题多解”,探究“一题多变”——一道解析几何题的破解
２０２３年９月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀开展 一题多解 ,探究 一题多变一道解析几何题的破解◉江苏省海安高级中学㊀朱函颍㊀㊀摘要: 一题多解 ,可以开阔解题思路㊁发散学生思维; 一题多变 ,可以拓展数学知识㊁聚合学生思维．合理解题探究与变式拓展可以很好提升解题效益,避免题海战术．结合一道抛物线问题实例,通过 一题多解 与 一题多变 ,在研究中寻找通法,在探究中升华能力,促使学生形成良好的数学品质．关键词:抛物线;准线;直线;斜率;变式㊀㊀根据现代思维的科学研究,问题是展开思维与应用的起点, 疑 是根本, 解疑 是目标,最容易引起定向探究反射与问题的深入思考．而在数学教学与数学学习过程中,更要合理培养与形成探究意识,从问题的内涵㊁问题的解法㊁问题的深入与问题的探究等多方面入手,合理拓展思维的深度与广度,进行必要合理创新应用,从而形成良好的数学品质．１问题呈现问题㊀ 燕博园２０２３届高三年级综合能力测试(C A T)数学(新高考Ⅰ卷)试卷 已知抛物线y２＝a x 的焦点为F,准线l交x轴于点Q,过点F的直线交抛物线于M,N两点,则直线Q M与直线Q N的斜率之和为．该题以抛物线为问题场景,对直线与抛物线的位置关系加以合理创设．借助过焦点的动直线的变化,以 动 态创设场景,利用两直线的斜率之和为常数,以 静 态形式设问,巧妙融合解析几何与平面几何中的相关知识,难度中等．利用圆锥曲线这一主干知识,抓住直线与圆锥曲线位置关系这一热点问题,合理创设,巧妙 动 与 静 变化, 数 与 形 融合,构建一幅完美的画卷．实际破解问题时,抓住问题内涵与实质,从问题根本入手,可以借助解析几何思维㊁平面几何思维与特殊情况思维等来展开,从不同的技巧方法视角来切入,实现问题的巧妙转化与应用．２问题破解２．１通性通法方法１:解析几何思维法．解析:依题知,焦点F(a４,０),准线方程为x＝－a４,Q(－a４,０)．设过焦点F的直线方程为x＝m y＋a４,M(x１,y１),N(x２,y２)．联立x＝m y＋a４,y２＝a x,{消去参数x,整理可得y２－a m y－a２４＝０,则y１＋y２＝a m,y１y２＝－a２４．于是有㊀k Q M＋k Q N＝y１x１＋a４＋y２x２＋a４＝x１y２＋x２y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝(my１＋a４)y２＋(m y２＋a４)y１＋a４(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２my１y２＋a２(y１＋y２)(x１＋a４)(x２＋a４)＝２mˑ(－a２４)＋a２ˑa m(x１＋a４)(x２＋a４)＝０．所以直线Q M与直线Q N的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:在解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中,最基本的 通性通法 就是解析几何思维法．通过设置相关的点的坐标㊁直线的方程㊁圆锥曲线的方程等,联立直线与圆锥曲线方程,结合函数与方程思维来进一步分析与转化,进而实现问题的解决．解析几何思维法的缺点之一就是数学运算量大,它也是制约部７７Copyright©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年９月上半月㊀㊀㊀分学生深入分析与应用的一个重要因素．２．２数形结合法方法２:平面几何思维法．图１解析:不失一般性,如图１所示,过M ,N 两点分别作准线l 的垂线,垂足分别为A ,B ,由于M A ʊF Q ʊN B ,因此可得|M F ||N F |＝|A Q ||B Q |．根据抛物线的定义,可得|M A |＝|M F |,且|N B |＝|N F |,则|M A ||N B |＝|A Q ||B Q |,可得әM A Q ʐәN B Q ,于是øM Q A ＝øN Q B ,所以øM Q F ＝øN Q F ．所以直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补,即直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:回归曲线的本质,结合平面几何图形的基本性质与特征,数形结合,逻辑推理,这是解决解析几何综合应用问题比较常用的一种技巧与方法,也是平面几何思维法处理的关键．２．３巧技妙法方法３:特殊情况法．解析:当过点F 的直线垂直于x 轴时,根据抛物线y ２＝a x 关于x 轴对称,可知点M ,N 关于x 轴对称,则知直线Q M 与直线Q N 的倾斜角互补．所以直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０．故填答案:０．解后反思:结合矛盾的普遍性寓于特殊性之中,通过填空题这一特殊形式的设置,借助 动 直线在运动变化过程中的某一特殊情况,以特殊代替一般,又从特殊回归到一般,实现解决问题的 巧技妙法 ．特殊思维法在解决解析几何 运动 问题中经常用到,借助点㊁直线㊁角或相关元素的运动变化情况,以特殊代替一般,实现问题的普遍性与特殊性的辩证转化．３变式拓展３．１类比拓展圆锥曲线中的不同曲线之间具有一定的相似性与可类比性,在以上抛物线背景下,改变圆锥曲线的类型以及对应曲线的场景,借助其焦点与相应准线的位置关系,也有类似的变式问题．变式１㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b ２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)变式２㊀已知双曲线C :x ２a ２－y ２b ２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,右准线l :x ＝a ２c交x 轴于点Q ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,则直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为．(答案:０．)以上两个变式问题的解析过程,可以参照原问题的方法１㊁方法３来展开,这里不多加赘述．当然,也可以将问题转化为探求两直线倾斜角的关系问题(两直线的倾斜角互补)进行探究．３．２逆向拓展在解题研究中,逆向思维也是变式拓展的一种基本思维方式．借助问题题设条件与结论之间的关系,通过数学思维的逆向操作与应用,合理加以探究与拓展,经常会有不错的收获．变式３㊀已知抛物线y ２＝a x 的焦点为F ,过点F 的直线交抛物线于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式４㊀已知椭圆C :x ２a ２＋y ２b２＝１(a ＞b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式５㊀已知双曲线C :x ２a ２－y２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的右焦点为F ,过点F 的直线交双曲线C 于M ,N 两点,在x 轴上存在异于点F 的定点Q ,使得直线MN 变化时,直线Q M 与直线Q N 的斜率之和为０,则定点Q 的坐标为．变式３~５的答案为:(－a ４,０),(a ２c ,０),(a２c,０)．以上三个变式问题的解析过程也可以参照原问题的方法１．４教学启示在解决一些典型的数学综合应用问题时,要合理引导学生深入挖掘,适当探究拓展,充分掌握问题的本质与内涵,剖析对应的数学基础知识与数学基本能力,从而实现 一题多解 一题多研 一题多变 ,不断提升与拓展破解数学问题的基本技能与策略,提高数学思维品质的变通性,真正达成 一题多练 一题多得 ．同时,有效调动学生数学解题的积极主动性与参与性,合理辨析概念㊁公式等的异同,深刻反思并有效拓展,努力培养发现问题的能力与深入质疑问题的探究精神．Z８７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
浅谈解析几何中“探究题”教学
设计要符合多样性 、 层次性 、 开放性 ； 其次又 要高 于教材 ， 以学 生 自主探 究为 主 ， 给 学生 以 充分的活动空问与时 间， 培养学生钻研 精神 和合作精神． ４ 解 析几何 中“ 探究题 ” 教 学 策略
２ ． １ 自主性 Fra bibliotek探究 性学 习改 变 了以往 学生被 动接 受 的
学习方式 ， 使学生积极主动地去探索、 尝试， 去谋求个体创造潜能的充分发挥． 它将学生
的需 要 、 动 机和 兴趣 置于 核心 地位 ， 鼓励 学生 自主选 择 、 主动探 究．
２ ． ２ 开放 性
在探究 性学 习 中 ， 问题 或 活动 的选择 、 探
反思 的习惯 ， 点燃创 新 的火 花． 让 我们 一线老 师感到幸 福 的是 ， 人 教 Ａ 版 高 中数 学 新教 材 中安排 了大 量 的探 究 题 （ 本 文 中将 教 材 中探 究、 探究 与 发 现 、 信 息 技 术 应 用 统 称 为 探 究 题） ， 如何合 理地 、 有 效地运 用这 些 素材 ， 是 我 们 教师必 须探 究 的 一 个课 题 ． 本 人结 合 自己 的教 学实 践 ， 针 对 解 析 几 何 中 的 各类 型 探 究 题教 学谈点 肤浅 认识 及作 法．
探究题 ， 学 生在 做试 验之前 ， 确 实很难 想到原 来他们 印 象 中 的椭 圆 是 可 以这 样 画 出来 的． 比如 ， 在 最近我 听 的一节 公开课 上 ， 老师 为了 让课 上得 花 哨一点 ， 让学 生在课 堂 上抛 ２ Ｏ次
中合 理有效 地 使 用 这些 探 究 题 ． 我 认 为 作 为 “ 探 究题 ” 首先应 立 足于 教材 ， 服务 于教材 ， 其
放．
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1、解题路线图
①一般先假设这种情况成立(点存在、直线存在、位置关系存在等)
②将上面的假设代入已知条件求解。
③得出结论。
2、构建答题模板
①先假定：假设结论成立。
②再推理：以假设结论成立为条件，进行推理求解。
③下结论：若推出合理结果，经验证成立则肯定假设;若推出矛盾则否定假设。
④再回顾：查看关键点，易错点(特殊情况、隐含条件等)，审视解题规范性。
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同构方程视角下高中数学解题思考——以解析几何试题为例
㊀㊀㊀解题技巧与方法１１９㊀㊀同构方程视角下高中数学解题思考同构方程视角下高中数学解题思考㊀㊀㊀ 以解析几何试题为例Һ苏建英㊀（云南省保山市龙陵县第一中学，云南㊀保山㊀６７８３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ解析几何是高中数学中的一个重要分支，涉及平面几何和空间几何中的各种问题，包括点㊁直线㊁圆㊁曲线等几何图形的性质和关系．在传统的解析几何教学中，学生通常通过代数方程或不等式表示几何图形的性质，然后利用代数方法进行推导和计算，这种计算方法有时会显得烦琐，尤其是在涉及复杂的图形和关系时．然而同构方程的引入为解析几何提供了一种新的思考方式，使解析几何问题的解决更加直观，让学生可以更好地理解和解决解析几何问题．基于此，文章主要从同构方程的引入㊁对学生解题思路的影响以及同构方程视角下高中数学几何试题教学策略这三个方面进行探析．ʌ关键词ɔ同构方程；解析几何；高中数学传统的解析几何教学通常依赖代数方程的应用，这种思维方式局限了学生的思考方向．而同构方程强调几何图形之间的同构关系，为学生提供了一种新的思考方式，使学生不仅要关注代数表达，还要注重图形的性质和变换规律，从而更好地理解和解决解析几何问题．这有助于拓宽学生的思维方式，使学生能更加多样化地解决解析几何问题．同构方程能将数学抽象与几何图形联系起来，使学生更好地理解数学的抽象性质，引导学生观察图形㊁图像和形状，了解它们的性质以及它们之间的联系，进而更好地理解数学概念的几何本质，提升数学学科核心素养，为今后的学习和发展打下坚实的基础．一㊁同构方程的引入（一）同构方程的定义和形式同构方程是指两个数学对象，在某种变换下保持形状和大小不变的关系．具体来说，如果两个图形或函数之间存在一个变换，可使得一个图形或函数可以通过一定方式变换成另一个，那么这两个图形或函数就是同构的．同构方程的一般形式可以表示为Ｆ（ｘ，ｙ）＝０，其中Ｆ（ｘ，ｙ）是一个函数，表示图形或对象的性质，ｘ和ｙ是变量，表示图形或对象上的点的坐标．同构方程的解即为满足该方程的点的坐标，它们对应同构中的相同位置．（二）同构方程与几何图形的关系同构方程与几何图形的关系非常密切．几何问题常常涉及复杂的图形和条件，使问题难以解决，而通过找到同构关系，可以将一个复杂的几何图形转化为另一个更简单的同构图形，从而简化问题的解决过程，帮助学生减少计算的复杂性，使问题更容易解决．在几何证明中，同构关系是一个强有力的工具，找到两个几何图形之间的同构关系，可以建立这两个图形之间的对应关系，进而证明它们具有相似性或其他几何性质．同时，同构关系有助于学生理解和应用抽象的数学概念．它可以将数学从纯粹的代数或符号推广到与实际图形和空间相关的概念，增强数学的可视化和直观性．二㊁同构方程对学生解题思路的影响（一）提高学生转化与简化问题的能力通过同构方程，学生可以重新审视原本看似复杂的几何问题，然后将其转化为更简单的同构图形或性质．这一过程实际上是一项高级的问题解决技能，学生不仅需要深入思考如何找到问题中的同构关系，还需要具备重新表述问题㊁抽象出问题本质的能力．这个过程类似于将问题拆解成多个更小㊁更易管理的部分，而每个部分都更容易进行处理．首先，学生需要观察问题，寻找其中的几何图形或性质．这要求学生具备良好的观察能力，能够辨认出问题中隐藏的几何要素．例如，当涉及直线和圆的方程时，学生需要识别问题中的直线和圆，了解它们的性质和关系，而这就需要学生对几何图形有一定的了解和直觉．其次，学生需要思考如何将问题重新表述为同构图形或性质．这一步需要创造性思维能力，学生需要想象问题中的几何图形可以如何变换或变形，以便与其他图形相匹配．这种能力有助于学生将问题转化为更为简单㊁易于处理的形式．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１２０㊀（二）使几何推理更加直观化同构方程在学生的数学学习中扮演着重要角色，因为它们能将抽象的数学概念与直观的几何图形相联系．这种联系可为学生提供一个极好的机会，使其通过观察㊁分析和理解几何图形进行直观的几何推理．首先，同构方程可促使学生仔细观察图形．学生需要仔细观察给定的几何图形，了解它们各个部分以及整体的性质．通过观察，学生可以发现图形中的一些规律㊁对称性或其他有趣的特征，这些特征可能会在问题的解决中起到关键作用．其次，同构方程鼓励学生了解几何图形的性质．学生需要理解不同类型几何图形的定义㊁性质和特点，包括图形的角度㊁边长㊁面积等方面的性质，通过对几何图形性质的深入了解，从而更好地理解问题中涉及的几何概念，并能够更容易地将这些概念应用于问题解决过程中．最后，同构方程能够帮助学生建立图形之间的联系．学生需要识别不同图形之间的同构关系，掌握如何将一个图形映射到另一个图形，找到它们之间的对应关系．这种能力可培养学生的图形分析技能，使他们更好地理解和利用几何图形解决问题．（三）促进学生多角度思考问题同构方程鼓励学生从不同的角度思考问题．在解决问题时，首先，学生可以考虑使用平移㊁旋转㊁翻转等不同的同构类型找到与问题相适应的同构关系．这要求学生具备灵活运用数学知识的能力，不拘泥于一种方法，可以根据问题的特点选择合适的同构类型．其次，学生需要尝试不同的变换方法．同构方程通常涉及图形的变换，学生需要思考如何通过这些变换将问题中的图形转化为同构图形．这要求学生具备几何直观能力和创造性思维，能够想象不同的变换方法，并确定哪种方法最适合解决问题．最后，在解决问题时，教师可以引导学生使用数学归纳法㊁反证法㊁逆推法等推理方法，培养学生灵活运用各种数学工具解决复杂的几何问题．三、同构方程视角下高中数学解析几何试题教学策略（一）引入同构法理论知识，改变学生解题思路引入同构法理论知识的关键在于让学生建立起对同构概念的清晰理解，并将其与几何图形的性质联系起来，再进一步地拓展教学内容，通过具体的例子和实践操作，使学生对同构方程的应用有更深刻的认识．在具体的教学过程中，教师可以引入实例，通过变换操作说明同构的概念．此外，教师可以通过对数学性质的讨论，加深学生对同构的认识．如在平面几何中，两个三角形同构的条件是它们的对应角相等，且对应边成比例，教师通过引导学生推导这些条件，可以让学生更好地理解同构的概念，并逐步建立起对同构方程的认知和理解，从而为后续的学习打下坚实的基础．例如，在教学 椭圆 相关的内容时，首先，教师可以为学生详细介绍椭圆的同构法原理：在椭圆中，利用同构的方法可将椭圆与圆相互转化，从而帮助学生更容易地处理问题．具体来说，即通过同构将椭圆的方程变换成圆的方程，然后进行问题求解，最后通过同构的逆变换将结果还原到椭圆上．其次，教师可以举例说明同构法的应用：考虑一个椭圆和一个与之同构的圆，利用圆的性质解决一些椭圆上的问题，如求点到椭圆的距离㊁切线的斜率等．随后，教师通过具体的例题演示同构法的应用：给定一个椭圆和一个外部点，如何确定从该点到椭圆的切线？通过同构，可将椭圆变成与之同构的圆，然后求解，最后还原到椭圆上．最后，教师可以引导学生分组练习，为学生提供一些不同难度的椭圆问题，让学生利用同构法尝试解决，并鼓励学生在小组内合作讨论，分享解题思路．教师通过同构法进行教学，可引导学生理解同构的基本概念和原理，从而培养学生的问题解决能力．（二）比较同构法解题类型，发散学生数学思维通过比较不同同构类型，学生能够更深入地理解同构法的多样性和广泛应用，从而更灵活地运用它解决各种解析几何问题．在具体的教学中，教师可以引导学生理解平移同构㊁旋转同构㊁反转同构以及同构放缩图形的尺度同构等．在介绍同构的不同类型时，教师可以将其展示在坐标系中，让学生更加直观地了解它们之间的联系与区别．了解了不同的同构类型，学生便可以拥有更多的解题思路，能够更加敏锐地发现几何图形的特点和性质，从而快速找到解题的突破口．例如，在教学 三角函数 相关的内容时，首先，教师可以带领学生回顾正弦㊁余弦和正切的定义㊁性质以及它们的图像特点，确保学生对这些概念有清晰的理解．其次，教师可以为学生介绍同构的概念，简要解释不同同构类型，如平移㊁旋转㊁翻转同构在数学中的作用，强调同构可以简化问题或更容易找到解决问题的方法．最后，教师可以图形和函数的方式展示不同同构类型在三角函数中的应用，如展示正弦函数和余弦函数的图像，然后引导学生分析它们之间的关系，包㊀㊀㊀解题技巧与方法１２１㊀㊀括平移㊁伸缩等，并提出具体的问题 已知正弦函数的图像，求解余弦函数的图像 ，要求学生根据同构知识尝试解决问题．通过以上教学，学生不仅可以更深入地理解三角函数的同构类型，还能够提升数学思维能力和解决问题的能力．同时，这种比较不同同构类型的教学方法也能使学生更好地理解数学概念的多样性和广泛应用，激发学生对高中数学的学习兴趣．（三）开展实例分析教学，引导学生举一反三实例分析可以帮助学生更好地掌握解题思路，并引导学生举一反三，逐一突破各类题型．同时，实例分析可使数学变得更具趣味性．高中数学知识更加抽象，仅依靠教师讲解，学生很难深入理解和掌握，而通过实例探索和观察，学生可感受到所学方法的趣味性和实用性，从而增强对数学学习的热情．例如，在教学 直线和圆的方程 这部分内容时，首先，教师可在黑板上绘制一条直线和一个圆，并要求学生讨论它们的特征和方程，这个引入可引导学生思考直线和圆的方程是如何描述图形的．其次，教师可以介绍直线和圆的方程的基本概念，直线的方程通常表示为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，其中ｋ是斜率，ｍ是截距，圆的方程通常表示为（ｘ－ｈ）２＋（ｙ－ｋ）２＝ｒ２，其中（ｈ，ｋ）是圆心坐标，ｒ是半径长度，这些示意图和实例可帮助学生理解概念．最后，教师可以提供几组直线和圆的方程，要求学生分析它们是否同构．学生需要确定哪些图形具有相似的形状和属性，然后判断其是否同构．随后教师给出具体的例子：以原点为圆心且半径为２２的圆与过点Ｐ（２，２）的直线相切，求这条直线的方程．首先，在看到这道题时，教师要引导学生写出圆的方程ｘ２＋ｙ２＝８，根据题目，我们知道该直线过点（２，２），将（２，２）代入圆的方程，发现点Ｐ在圆上，因此，点Ｐ为直线与圆的切点．然后，教师引导学生使用切线的性质，即切线与半径垂直，得出直线的斜率ｋ应该是半径ＯＰ所在直线斜率的负倒数，而Ｏ是圆心（０，０），Ｐ是切点（２，２），半径ＯＰ所在直线的斜率为１，则切线的斜率ｋ＝－１，有了切线的斜率，并且我们知道它过点（２，２），则可以使用点斜式方程得到切线的方程：ｙ－ｙ１＝ｋ（ｘ－ｘ１），得到直线方程为ｙ＋ｘ＝４．同构方程视角下解决问题的关键在于将复杂的几何图形通过同构变换转化成更简单的形式，从而更容易解出所需的未知量或条件．（四）借助信息技术，提升学生学习兴趣在教授几何图形的相关内容时，教师应采取更加直观的教学方式，如借助几何绘图软件，让学生直观地理解几何图形，从而探索图形的性质，并进行数值验证．教师应在课堂上演示如何使用这些软件，并鼓励学生在课后通过软件进行练习和探索．同时，教师要充分利用在线教材和资源，为学生提供与几何相关的交互式模块，这些模块可以包括动画㊁模拟和互动练习，以帮助学生更好地理解几何概念．几何绘图软件和在线模拟工具的使用可使学生更加直观地观察和探索几何图形的性质和变换，提高学生对几何概念的可视化理解，使抽象的数学概念变得更加具体，同时使几何教学更加生动有趣，使数学课堂更具吸引力．例如，在教学 双曲线 相关的内容时，首先，教师可以通过投影或幻灯片展示双曲线的定义和基本性质，包括焦点㊁渐近线等，同时引导学生思考双曲线在实际生活中的应用．其次，教师可以通过几何绘图软件展示双曲线的图像和性质，引导学生思考双曲线与上节课所学习的椭圆有什么相似之处或不同之处．最后，教师可以引导学生使用几何绘图软件进行实践操作，观察双曲线的图像以及同构图形的构造，然后给出具体的例题，引导学生进行求解，并使用绘图软件进行验证．结㊀语综上所述，同构方程视角下的高中数学解析几何教学为传统的解析几何教学提供了一种新的思考方式，丰富了数学教学的内容和方法，有助于学生更好地理解和应用数学知识．在具体的教学过程中，首先，教师要将同构法理论知识引入数学课堂，改变学生的解题思路；其次，教师要引导学生对比同构法解题类型，发散学生的数学思维，开展实例分析教学，在具体例题中引导学生举一反三，借助信息技术将抽象题型变得更加直观，降低学生学习的难度；最后，教师要定期进行评估与测验，检查学生对解题技巧的掌握情况，确保学生在学习中能够获得好的成绩．ʌ参考文献ɔ［１］朱加义．同构方程视角下高中数学解题思考：以解析几何试题为例［Ｊ］．数学之友，２０２２，３６（１６）：６４－６６．［２］刘云庄．核心素养下高中数学运算能力有效教学探讨：以一道高考解析几何试题分析为例［Ｊ］．高考，２０２１（１３）：１５７－１５８．［３］骆妃景．创造性挖掘试题针对性提升素养：关于一道高考模拟解析几何题的评讲［Ｊ］．中学数学教学，２０１９（２）：１４－１９．。
一道解析几何高考题的解析与探究——以 2020年全国卷Ⅰ理科第 20题为例
解析：设点 P、C、D 的坐标为 P（6，t），C（x1，y1），D（x2，y2），则
t
t
直线 PA 的方程是 y = ( x + 3 )，直线 PB 的方程是 y = ( x 9
3
t
ì
ïy = 9 ( x + 3 ),
ï
消 元 得 ( t 2 + 9 ) x 2 + 6t 2 x + 9t 2 3 )；联 立 í 2
ï + y = 1,
î9
技法点拨
106
2mny + n2 - 9 = 0，设 C（x1，y1），D（x2，y2），则 y 1 + y 2 = y1 y2 =
n2 - 9
m2 + 9
（1）。又直线 AC 的方程为 y =
直线 BD 的方程为 y =
共点 P，所以
9y 1
x1 + 3
=
y2
x2 - 3
后对 C、D 横坐标分两种情况考虑，考查了分类与整合的数学
思想，强调思维的严谨性。
思路 3：先求直线带参数的方程（即共点的直线系方程）。
先引进直线 CD 的方程，当斜率不为零时，设其为 x=my+
n，联立直线 CD 与椭圆 E 的方程，利用韦达定理找到 C、D 坐标
的关系（用参数 m，n 表示），然后写出直线 AC、BD 的方程，利用
功能，以下着重讨论第二问的解法。
二、试题解析
思路 1：从命题者的角度寻找答案。
此题的命题背景是极点和极线的位置关系，即寻找极线
x=6 对应的极点。
解析：由于椭圆及直线 x=6 都是关于 x 轴对称的图形，若
一道解析几何题的探索与思考
得 k 2 + 9 -m 2 > 0 . , , 设点 E ( 则 x 1, F( x 2, y 1) y 2)
ìy = kx + m 消去 y 得 : íy 2 2 +x =1 î9 ( 由 Δ> 0 , k 2 + 9) x 2 + 2 km x +m 2 - 9 = 0 , - 2 km k2 +9
ìy = kx + m , 消去 y 得 : íx 2 y2 2 + 2 =1 îa b ( a 2 k 2 +b 2 ) x 2 + 2a 2 km x + a 2 m 2 - a 2 b 2 = 、 、 , 设点 E ( 0, x 1, F( x 2, P( x 0, y 1) y 2) y 0) 2a 2 km 则 x 1 +x 2 = a 2 k 2 +b 2 ①
x2 y2 定 理 3 若直线 l 与双曲线 2 - 2 = 1 ( a > a b 点 P 为该双曲线上不 0, b > 0 )交于 E 、 F 两点 , 同于 E 、 直线 P E 、 F 的任意一点 , P F 的斜率存在 b2 分 别为 k 1 、 则 k 1 ·k 2 = 2 的充要条件为直线 l k2, a 经过原点 .
关于一道几何探究题的思维解析与思考——以２０２１年扬州市中考几何探究题为例
２０２３年６月下半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀关于一道几何探究题的思维解析与思考以２０２１年扬州市中考几何探究题为例◉江苏省江阴市顾山中学㊀季军方㊀㊀几何探究题是中考常见的命题方式,往往以知识探究的形式设置问题,引导学生操作㊁观察㊁猜想㊁总结,继而解决实际问题．该类问题的设问具有极强的引导性,通常由易到难,解题的思维过程十分重要,下面结合考题进行过程探究㊁思维引导[１]．１考题再现考题㊀(２０２１年扬州市中考数学第２７题)在一次数学探究活动中,李老师设计了一份活动单:已知线段B C ＝２,使用作图工具作øB A C ＝３０ʎ,尝试操作后思考:(ⅰ)这样的点A 唯一吗?(ⅱ)点A 的位置有什么特征?你有什么感悟?图１ 追梦 学习小组通过操作㊁观察㊁讨论后汇报:点A 的位置不唯一,它在以B C 为弦的圆弧上(点B ,C 除外), 小华同学画出了符合要求的一条圆弧(如图１)．(１)小华同学提出了下列问题,请你帮助解决．①该弧所在圆的半径长为;②әA B C 面积的最大值为．(２)经过比对发现,小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上,而在如图１所示的弓形内部,我们记为点A ᶄ,请你利用图１证明øB A ᶄC ＞３０ʎ．图２(３)请你运用所学知识,结合以上活动经验,解决问题:如图２,已知矩形A B C D 的边长A B ＝２,B C ＝３,点P 在直线C D 的左侧,且t a n øD P C ＝４３．①线段P B 长的最小值为;②若S әP C D ＝２３S әP A D ,则线段P D 长为．２思维探究上述问题主要探究圆㊁矩形和三角形的相关知识,其中圆的性质是探究的重点,因此关注圆的模型十分重要．下面把握数学思维,深入探究解题过程．第(１)问 关联思考,基础强化图３思维分析:第(１)问围绕图１进行设问探究,需要关注两点,即øB A C 是所在圆的圆周角,以及әA B C 为圆的内接三角形．圆周角㊁内接三角形均可以通过半径与圆串联起来,故需要构建圆的半径．第(１)问的①小问求弧所在圆的半径,由øB A C为圆周角,且øB A C ＝３０ʎ,借助圆周角定理可知同弧所对的圆心角为６０ʎ,如图３所示．设圆心为O ,则әO B C 为等边三角形,则O B ＝O C ＝B C ＝２,即半径为２．第(１)问的②小问求әA B C 面积的最大值,可以B C 为底,点A 到B C 的距离为高．底边B C ＝２已知,结合面积公式,只需确保顶点A 到底边B C 的距离最大即可．图４过点O 作B C 的垂线,垂足为E ,延长E O 与☉O 交于点D ,如图４所示．此时点D 到B C 的距离最大,故当点A 位于点D 时,әA B C 的面积最大．已知B E ＝C E ＝１,D O ＝B O ＝２,由勾股定理可得O E ＝B O ２－B E ２＝３,则D E ＝３＋２,所以әA BC 的最大面积为S ＝１２ B C D E ＝３＋２．第(２)问 模型构建,猜想证明思维分析:第(２)问是基于圆弧的一般性进行角度大小的分析,可将两角放置在同一三角形中,利用几何性质来比较,故需要构建相应的模型．图５延长B A ᶄ,与☉O 交于点D ,再连接C D ,如图５所示．因为点D 在圆上,则øB D C ＝øB A C ＝３０ʎ．因为øB A ᶄC ＝øB D C ＋øA ᶄC D ,则øB A ᶄC ＞øB D C ,即øB A ᶄC ＞３０ʎ．第(３)问 知识应用, 隐圆 构建第(３)问显然是上述知识的实际应用,根据经验可知,需要利用圆的特性来解决问题,故需要构建 隐９７Copyright ©博看网. All Rights Reserved.试题研究２０２３年６月下半月㊀㊀㊀圆 模型．思维分析:第(３)问的①小问求线段P B 的最小值,已知点P 在直线C D 的左侧,且给出了相应的三角函数值 t a n øD P C ＝４３,实际上就是设定了相应的夹角,角度固定,则点P 必然在圆弧上运动,因此确定点P 的运动轨迹,再求线段最值即可．所以解题的关键是确定轨迹圆的圆心和半径,分析可知点P 必然存在在B C 边上的情况,故可据此特殊情形依托R t әP C D 来确定圆心,再确定B P 取最小值的情况．步骤一:特殊情形定圆心．图６当点P 在边B C 上,且P C ＝３２时,由øP C D ＝９０ʎ,A B ＝C D ＝２,可得t a n øD P C ＝４３．因此可连接P D ,取P D 的中点Q ,以点Q 为圆心,１２P D 长为半径画圆,如图６所示．在R tәP C D 中,由勾股定理,可得P D ＝C D ２＋P C ２＝５２,故☉Q 的半径P Q ＝５４．步骤二:三点共线求最值．由图６可知,当点P 在优弧C P D 上运动时,始终满足t a n øD P C ＝４３．连接B Q ,与☉Q 交于点P ᶄ,此时B ,P ᶄ,Q 三点共线,B Q 的长最小,即B P ᶄ的长为B P 的最小值．过点Q 作BC 的垂线,垂足为E ,分析可知E 为P C 的中点,则Q E ＝１２C D ＝１,P E ＝C E ＝１２P C ＝３４,所以B E ＝B C －C E ＝９４．在R t әB E Q 中,由勾股定理得B Q ＝B E ２＋Q E ２＝９７４．因此B P ᶄ＝B Q －P ᶄQ ＝９７－５４,即B P 的最小值为９７－５４．思维分析:第(３)问的②小问构建两个三角形的面积关系,要求P D 的长,显然需要构建面积模型．问题解析需要分两步进行．第一步,分析三角形的面积模型;第二步,提取线段关系,结合轨迹圆来确定点P 的位置,进而求P D 的长．步骤一:面积模型转化．图７已知A D ＝３,C D ＝２,由三角形面积公式及S әP C D ＝２３S әP A D 可知,若将A D ,C D 分别视为әP A D ,әP C D 的底,可得两个三角形底边上的高相等,即点P 到边A D 和C D 的距离相等,结合几何定理可知,点P 位于øA D C 的角平分线上．如图７,作øA D C 的角平分线交B C 于点M ,结合第(３)问的①小问可知,点P 又在☉Q 上运动,故☉Q 与DM 的交点即为点P 的位置．步骤二:确定线段长．由øA D C ＝９０ʎ,可得øA D P ＝øC D P ＝４５ʎ．过点C 作DM 的垂线,垂足为F ,所以әC D F 为等腰直角三角形,则C F ＝D F ＝２．因为t a n øD P C ＝C FP F ＝４３,所以P F ＝３２４,因此P D ＝D F ＋P F ＝７２４．３教学思考开展几何探究性问题教学有着重要的现实意义,对提升学生的思维极为有利．教学中除了要强化学生的基础知识外,还需让学生掌握几何探究题的解析方法,下面提出几点建议．(１)积累几何模型,掌握模型特征从上述几何探究题的破解过程来看, 定弦定角 模型是探究的核心,模型的性质特征是解题的关键．因此,教学中要指导学生积累几何模型,如常见的 一线三等角 模型㊁ 将军饮马 模型㊁ 对角互补 模型等,引导学生关注模型特征,总结模型性质结论．只有具备丰富的知识储备,才能在解题中 思 有所 想 , 用 有所依 ,才能准确定位考点,把握探究核心,高效破题．(２)掌握探究方法,活用解题策略几何探究法在解题中的应用极为广泛,有助于学生发现问题㊁归纳结论．以上述考题为例,第(３)问的②小问求线段P D 的长时运用了 特殊到一般 的分析方法,即把握动点的特殊位置,直接确定其轨迹特征,然后结合几何定理确定最值．教学中要引导学生总结探究方法,理解方法的内涵,在此基础上开展强化应用,使学生灵活掌握方法的使用步骤,从思维上提升学生的能力．(３)引导反思问题,促进知识吸收解后反思是解题探究的重要环节,也是知识强化㊁思维提升的重要方式．完成几何探究后,要合理开展解后反思,让学生重温解题过程,深入分析考题命制特征,反思解题方法及思路的构建,从而串联思维形成解题策略．在反思阶段,可以合理开展多解探究,引导学生切换视角,进一步分析问题的解法;也可进行方法拓展,让学生总结方法,探索关联问题．总之,反思时要注重对学生思维的引导,给学生留足思考空间,达到对知识与方法内化吸收的目的．参考文献:[１]顾香才． 我 的解题分析 :如何引导学生思考 以一道几何探究题的解法探索为例[J ]．中学数学,２０２０(１０):２５Ｇ２７,３７．Z０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
解读几何探究,探讨解析思考——以一道几何探究题的思路突破为例
***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯2020年4月（中旬）<作者简介:李茂辉（1973-），本科学历，中学高级教师，主要从事初中数学教学与研究.探究型问题是中考重要的新型问题,问题常围绕探究性内容的目标特征来开展探究活动,其中所探究内容的目标特征具有多个要素,主要包括条件性、解题原理及方法、结论等.在后续的问题探究时需要依托目标特征的要素进行,因此对学生的观察解析、综合思考、归纳概括和推理判断能力有着较高的要求.以几何探究题为例,在解析问题时需要提炼问题条件的文字信息和图像信息,提取几何模型,总结方法结论,然后结合问题情形加以应用突破.实则解题的过程也是探究学习的过程,有助于培养学生的发散思维和创新解题能力,这也是命题人的最终目的所在.几何探究题探讨几何探究题的类型较为众多,有操作设计、规律探索、材料阅读、应用推理等多种类型,但从其探究过程来看,无非就是从几何内容中提取特征、总结规律、形成方法、应用解题,通过联想思考、启发思维来完成关联问题的拓展探究.因此在解析问题时需要思考两个问题:一是探究目标内容可以得到哪些启示?二是后续的拓展问题与目标内容有哪些关联?下面结合一道几何探究题来探讨解析策略.1.呈现问题模型建立:如图1所示,△ABC 为等腰直角三角形,其中∠ACB=90°,CB=CA ,直线ED 经过点C ,分别过点A 和B 作ED 的垂线,垂足分别为点D 和E ,试求证△BEC ≅△CDA.图1BDCEA模型应用:(1)直线l 1的解析式为y=-43x -4,与坐标的y 轴相交于点A ,现将直线l 1绕着点A 逆时针旋转45°,得到直线l 2,如图2所示,试求直线l 2的解析式;图2O xy BA l 1l 2(2)如图3所示,四边形ABCO 为矩形,点O 为坐标的原点,点B 坐标(8,-6),点A 和C 分别位于坐标的y 轴和x 轴上.点P 为线段BC 上的一个动点,设PC=m ,点D 在直线y=-2x+6上,且位于坐标的第四象限.若△APD 是不以点A 为直角顶点的等腰直角三角形,试求点D 的坐标.图3Oy ABCx 解读几何探究，探讨解析思考———以一道几何探究题的思路突破为例李茂辉重庆市开州区西街初级中学405400［摘要］近几年出现了众多以知识探究为背景的几何探究题，该类考题以问题探究为基础，引导学生总结问题特征、解题方法，以知识应用作为最终目的.考虑到问题的解析思路较为特殊，需要学生充分利用基础知识，通过类比联想等方式来探究解题，因此十分有必要总结问题的解析策略，文章以一道几何探究题为例开展解法探究、教学反思.［关键词］探究题；几何；模型；全等；方程；分类讨论；数学思想71***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯>2020年4月（中旬）2.策略探索从问题设置来看,上述问题属于几何模型探究题,其目标内容为几何模型,因此需要对模型的结构和解析方法加以总结归纳,用于第二部分“模型应用”.对图1的模型加以解读,可知其中存在三个直角三角形,△BEC 和△ACD 的底边共线,且共用一个顶点C ,从而形成了新的直角———∠ACB.分析可知该模型就是几何中常见的“K ”型图,通过等角代换即可获得求证两三角形全等的条件.具体如下:由∠ACD+∠BCE=90°∠ACD+∠CAD=90°{可知∠BCE=∠CAD ,从而在△CBE 和△ACD 中有∠D=∠E=90°∠BCE=∠CAD CA=CB⎧⎩⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐(AAS ),所以△BEC ≅△CDA ,得证.完成问题模型的求解后,需要对其模型加以提炼,总结相应的解析方法.“K ”型图的结构为“共线对顶角,顶角夹直角”,即图中两个直角三角形存在共线直角边,且共用一个顶点,而共顶点所夹角为另一直角三角形的直角.从而在解析时联合顶角三角形的一组相等边即可求证两三角形全等.因此“模型应用”阶段可以联想上述模型作辅助线,利用其解析思路求解问题,具体如下.对于第(1)问,求解直线l 2的解析式,可设为y=kx+b ,则只需要求得其上的两个点即可,由直线l 1的解析式可求得点A 的坐标,只需求出直线l 2上的另一点即可.由图可知其中已经存在一直角三角形AOB ,可以联想上述所使用的“K ”型图模型来添加辅助线.令点B 为两直角三角形的对顶点,则过点B 作BC ⊥AB ,与坐标x 轴交于点B ,与直线l 2交于点C ,然后过点C 作x 轴的垂线,垂足为点D ,如图4所示.从而可构建“K ”型图,后续按照上述模型的转化思路即可获得共线对顶三角形相似或全等,具体如下.根据旋转特性可知∠BAC=45°,则△ABC 为等腰直角三角形,BC=AB ,根据上述模型的解析思路可证△CBD ≌△BAO.由全等特性可得BD=AO ,CD=OB ,根据直线l 1的解析式可知点A (0,-4),B (-3,0),则BD=AO=4,CD=OB=3,OD=BD+OB=7,所以点C 的坐标为(-7,-3),将点A 和点C 的坐标分别代入解析式y=kx+b 中,可得-3=-7k+b ,-4=b ,{可解得k=-17,b =-4,所以直线l 2的解析式为y=-17x -4.对于第(2)问,需要求解△APD 是不以点A 为直角顶点的等腰三角形时点D 的坐标,显然需要讨论点P 和点D 分别为直角顶点时的情形,其中点D 为直角顶点时又分为位于矩形内和矩形外两种情形,故共有三种情形需要讨论.①当点D 为直角顶点,且位于矩形ABCO 的内部时,过点D 作AB 的平行线,与y 轴交于点E ,与BC 交于点F ,如图5所示.显然可以构建“K ”型图———△AED-△PFD ,根据模型的解析思路可证△ADE ≅△DPF ,则有AE=DF.设点D (x ,-2x+6),则OE=2x-6,AE=12-2x ,DF=8-x ,所以有12-2x=8-x ,解得x=4,所以点D (4,-2).图5E xy OAB P FC Dy=-2x+b②当点D 为直角顶点,且位于矩形ABCO 的外部时,采用同样的方式作辅助线,如图6所示.构建“K ”型图———△AED -△PFD ,同理可证△ADE ≅△DPF ,则有AE=DF.设点D (x ,-2x+6),则OE=2x-6,AE=2x-12,DF=8-x ,所以有2x-12=8-x ,解得x=203,分析可知同样符合题意,所以点D203,-223().③当以点P 为直角顶点时,按照同样的方式添加辅助线,如图7所示,设点P 的坐标为(8,-m ),推理可得点D (14-m ,-m-8),从而有-m-8=-2(14-m )+6,解得m=143,所以点D 283,-383().图7Ex y O AB P FCD综上可知,满足条件点D 的坐标有三个,分别为(4,-2)、203,-223()和283,-383().上述是中考典型的几何探究题,其特殊之处在于使用了常见的几何“K ”型图,能够全面考查学生模型提炼和拓展应用能力.其中采用了分类讨论和数形结合的数学方法,实现了几何直观与代数运算的融合.整个过程思路清晰,过程简洁,充分把握图形特点和模型解析策略,是几何探究题的突破典例.探究解析的思考几何探究题具有知识综合、结构复杂、逻辑关联等特点,上述在探究时全面贯彻“模型提炼—联想拓展”的思路.基于问题模型添加辅助线,利用模型的解析策略来构建思路,其探究过程具有一定的学习价值.而在实际教学中依然需要教师引导学生立足教材基础,以总结方法、提升能力为根本,促进学生的思想发展,下面提出三点教学建议.1.立足教材内容,强化巩固基础几何探究题属于综合性较强的问题,其中涉及众多的知识内容,以上述图6Exy O A B P FC D 图4O x yA BCl 2l 1D72***************.com投稿邮箱:***************.com数学教学通讯2020年4月（中旬）<中,如果要平分一个角,你会采用什么样的方法呢?学生的第一反应就是用量角器,教师可以借助一个简短的动画,呈现出利用量角器平分角的过程,强调这是通过算术的方法来解决问题的;随后进一步提出问题:如果要用几何的方法来解决问题,你有什么办法呢?这个问题提出之后,让学生思考片刻.如果不出意外,学生一般是想不到成熟的方法的,这个时候教师就可以向学生介绍生活中人们用的平分角的仪器（如图，当然一开始是没有其中的三根线的）.很自然的学生就感觉到奇怪,这个仪器是怎么平分角的呢?学生产生了这个问题,意味着他们已经开始对平分角的仪器的原理的探究.图1BDC EA这个时候应当赋予学生足够的猜想时间,事实上有部分学生刚开始不知道平分的是哪个角,也不知道这个仪器是如何操作的,所以他们需要时间去想象、猜想.事实也证明,只要给足了时间,学生通过自主思考与合作探究,是能够知晓其原理的.学生明白原理的过程,实际上也就是用自己掌握的三角形全等等知识,证明图1中的△AED 与△AEB 全等的过程,这样一个证明过程自然能够验证该仪器平分角的原理.尽管这个过程没有严格的证明（因为学生是在草稿纸上完成的）,但是学生在猜想出了原理,并且得到证实之后,他们的喜悦之情还是溢于言表的,因为他们坚信自己的猜想和证明过程都是正确的.当课堂进行到推理出角平分线的性质的时候,再引导学生回过头来研究这个平分角的仪器的原理,绝大多数学生都会感叹:一个看似普通的自制仪器背后,却有着高深的数学原理.这样的认识拉近了数学与生活之间的距离,改变了数学学科在学生大脑当中生硬的形象.而纵观这样一个学习过程,学生在对情境加工的过程中,涉及了猜想与想象,这与数学学科核心素养中的直观想象相关;学生用自己所习得的知识进行证明,显然这与逻辑推理有关;学生将全等三角形作为工具使用,本身就意味着全等三角形已经成为一种模型,而形成的对角平分线性质的认识,是一种模型认知.核心素养下数学情境创设的视野从上面分析可以看出,当初中数学教学精心创设数学情境的时候,学生对数学情境中元素的加工,总能够让数学学科核心素养的六个要素或者其中的部分要素,得到不同程度的体现.这自然是一个核心素养得到培育的过程.众所周知,核心素养是指向学生的未来的,强调的是学生的终身发展与社会发展应具备的必备品格与关键能力.如果我们将视野拓展到国内外的研究,可以发现许多发达国家在核心素养的研究方面都有着自己独到的见解,有学者通过比较研究发现,美国的核心素养教育强调为学生未来的生活和工作做好准备,因此,在进行数学教学时,就着重强调教授学生运用、操控与真实世界和现实问题相关的科学和数学思想来学习,具体到课堂实践中就是情境教学.这也在客观上说明了情境创设对于核心素养培育的重要性.因此在初中数学教学中,继承以往对情境的正确认识,同时结合核心素养培育的需要,去优化情境创设的思路,以让学生在数学情境中真正能够有所思,有所悟,自然也就会有所得.这个“得”,既是指向数学知识建构的,也是指向核心素养培育的,因而对于当前的教学评价来说,对于学生的终身发展来说,都是有益的.同时对于教师而言,拓宽自身的视野,积极进行实践探究,是把握核心素养落地途径的重要手段.考题为例,包含了函数、几何图形、相似全等、几何旋转、代数方程等知识.正是这些基础知识的有效融合完成了综合题的构建,解析过程实则就是问题的拆解转化过程,该过程中需要利用基础知识和基本技能.因此教学中需要教师立足教材内容,开展基础知识强化与融合,使学生掌握一般问题的常用解法,形成较为完善的知识体系,为后续探究题的突破打下基础.2.开展教学探讨,掌握探究方法几何探究题的突破过程中需要经历核心目标内容的特征提炼、方法模型总结、拓展应用探究三个阶段.三个阶段之间存在着递进关系,需要教师采用知识探究的教学方式,引导学生进行观察解析、猜想思考、归纳概括和推理判断等思维活动.以上述问题为例,需要学生思考模型的特征结构、猜想构建思路、归纳方法策略,逐步将其上升到数学模型层面.拓展探究是提升学生知识水平和数学能力的重要方式,教学中应引导学生思考、鼓励学生发表见解,通过实践活动来使学生掌握知识探究的方法.3.重视数学思想,提升解题思维几何探究题的突破过程中一般会涉及众多的数学思想,例如上述几何探究题解答时首先进行了模型提炼,求解问题时采用数形结合的方法来转化问题,通过分类讨论加以探讨,最后构建代数方程求解.其中包含了模型思想、数形结合思想、化归转化思想、分类讨论思想、方程思想,这些思想也是几何探究题常用的数学思想.教学中需要结合相关的教材内容来合理渗透,使学生明晰数学思想的内涵,掌握数学思想构建解题思路的方法技巧.思想方法是蕴含在数学中的知识精华,也是素质教学的重要内容,依托探究考题开展思想渗透,不仅可以使学生掌握探究题的解析思路,还可以提升学生的解题思维.（上接第51页）73。
基于高阶思维的单元教学设计研究——以平面解析几何为例
㊀㊀㊀基于高阶思维的单元教学设计研究∗以平面解析几何为例◉云南师范大学㊀彭先琦㊀孔德宏㊀㊀摘要:基于高阶思维的单元教学设计是从发展学生高阶思维角度出发,在单元核心思想的基础上对相关教材内容进行统筹重组与优化形成一个相对独立的单元,在高阶思维生成机制的指导下设计学习体验．基于高阶思维的单元教学设计具有整体性㊁针对性㊁动态性的特征．具体操作顺序为:确定单元基本问题㊁设计学习体验㊁制定评估方式,根据反馈改进教学设计．关键词:单元教学设计;高阶思维;平面解析几何１问题提出为响应２０１４年教育部发布的«关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见»,落实 以人为本 的基本教学理念,«普通高中数学课程标准(２０１７年版)»(后文简称课标)凝练了六大数学核心素养,其中高阶思维是数学核心素养体系的关键[１]．学生高阶思维的形成建立在对问题的深度研究与知识的本质把握之上,同时对教学设计提出了更高的要求．当前,我国数学教材采用章节化的编排体系,存在知识点之间逻辑不清晰,章节内在联系不深入等问题．其中,泸教版和人教版数学教材的 平面解析几何 部分都存在小节内容之间衔接不连贯㊁公式推导与学生认知逻辑有差距等问题[２]．在这一背景下,本文中提出基于高阶思维的单元教学设计研究．２高阶思维的生成机制高阶思维指利用高阶规则在环境中求解问题的一种认知策略,其中高阶思维活动具有主动的㊁意图的㊁建构的㊁真实的和合作的五个特性．了解高阶思维的生成机制有助于培养高阶思维,本研究对高阶思维生成机制的应用主要参照段茂君等提出的高阶思维生成的四个阶段[３],具体生成机制如图１所示．图１㊀高阶思维生成机制６１教育教学教学导航㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年７月上半月∗本文系是云南师范大学研究生科研创新基金高中直线和圆的方程课程中高阶思维测评及培养 (项目编号:Y J S J J ２１ＧB ３３)的阶段性成果．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀阶段一:情景设置 激活问题．在真实情景中遇到不符合认知的元素从而激发思考,牵动高阶思维．该阶段是高阶思维生成的前提．阶段二:综合探究 分析问题．运用分析㊁判断㊁创新等思维技能对问题进行分析．该阶段是高阶思维生成的基础．阶段三:深度学习 解决问题．通过对问题的分析,概括新的知识或技能,进一步习得与掌握,提升高阶思维．该阶段是高阶思维生成的主体．阶段四:心理机能 反思问题．在问题解决后,回顾整个过程,凝练问题解决的途径与方法,并运用元认知能力评估自身心理机能变化情况．该阶段是对高阶思维生成的巩固．３平面解析几何 的高阶思维单元设计 平面解析几何 位于课标选择性必修的 几何与代数 主题,«普通高中教科书数学 选择性必修一(A 版)»第二章和第三章,内容包括:直线与方程㊁圆与方程㊁圆锥曲线与方程㊁平面解析几何的形成与发展(选修)[４]．本次高阶思维单元设计基于高阶思维生成机制与单元教学设计原则,按照确定基本问题㊁设计学习活动㊁制定评估方式的顺序生成．３．１阶段一:确定基本问题由于学生的高阶思维是在探究问题的过程中生成,因此单元教学设计应首先确定能引发学生对该单元本质思考的基本问题．基本问题设计需要考虑两方面内容:(１)关于学生认知,应考虑是否位于学生的最近发展区内及是否与已有认知产生冲突;(２)关于教学内容,是否能够体现与渗透本单元所包含的数学思想与核心素养．这两方面内容的确定依靠分析教学要素及确定教学目标．教学要素的分析应包括数学分析㊁课标分析㊁学情分析㊁教材分析㊁重难点分析㊁教法分析六个方面．以学情分析为例,应涵盖:(１)学生对平面解析几何的原有认知程度;(２)学生对圆锥曲线的了解程度;(３)学生对平面解析几何的情感态度;(４)学生学习平面解析几何的方法㊁习惯以及风格．教学目标在突出发展高阶思维的基础上从知识与技能㊁过程与方法㊁情感态度与价值观三个方面制定．基于上述分析,阶段一的详细设计如下．(１)确定教学目标．从现实和数学两个角度认识直线㊁圆㊁椭圆㊁双曲线和抛物线,掌握相应的几何特征与代数表达式;能运用代数法和几何法判断上述五类方程的位置关系,并能求解相关的几何数值;能够运用平面解析几何解决一些数学问题或现实问题;能根据问题情境,建立合适的直角坐标系;掌握代数几何化与几何代数化的方法与技巧;体会与感悟平面解析几何中蕴含的数学思想．(２)确定基本问题．为什么需要平面解析几何如何进行平面解析几何的研究?平面解析几何中几何与代数有哪些联系?圆锥曲线的价值是什么?代数法和几何法各自有什么优势与弊端３．２阶段二:设计学习活动根据高阶思维生成机制,结合已确定的基本问题,从情景认知㊁综合探究㊁深度学习㊁心理机能四个方面对学习活动的主要环节设计如下．(１)情景设置．目的:通过情景设置引导学生提出相关数学问题,激发学生主动思考,提高学生的学习兴趣．环节:了解解析几何的数学史;了解阿波罗尼乌斯研究中介绍三种曲线与圆锥曲线的联系;了解航天器飞行轨迹与椭圆之间的联系;利用工具探究圆锥曲线的现实意义;了解圆锥曲线在现实中的应用,如航天器飞行轨迹㊁通风塔等．(２)综合探究．目的:通过设置探究活动,培养学生团队协作能力,激发学生高阶思维．环节:学生分别运用和不运用平面直角坐标系研究物体运动轨迹;探究确定直线的最少要素有哪些?分别可以组成几组?探究椭圆参数对椭圆的影响与椭圆扁平程度的决定因素;探究双曲线渐近线的方程;判断二次函数㊁平抛运动是否是抛物线?为什么?(３)深度学习．目的:总结探究活动成果,得出数学概念或原理,并在相关问题中创造性使用,提高学生高阶思维．环节:总结直线㊁圆和圆锥曲线的定义㊁方程与性质;利用代数法求解几何中的位置㊁距离㊁对称㊁角度等问题;利用几何法求解直线㊁圆及圆锥曲线的方程．(４)心理机能．目的:激发学生元认知能力,总结深度学习成果,７１２０２２年７月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀教学导航教育教学Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀巩固学生高阶思维．环节:分析直线在代数和几何之间是如何联系的;根据问题情境选择合适的代数方程;创造性地将代数法和几何法进行结合;总结如何简便地实现直线㊁圆及圆锥曲线的几何特征与代数特征的相互转换;总结如何根据问题情境最大化使用代数法和几何法．基于高阶思维培养的单元教学,对阶段二的设计需注意以下两个问题:(１)课程内容设置是否能体现大单元的核心思想与培养相应的能力;(２)课程进度设置是否与学生认知发展相适应．设计的基本思路为:(１)通过追溯平面解析几何的历史再结合初中相关的学习,介绍什么是平面解析几何并渗透其核心思想,体会学习与掌握平面解析几何的必要性;(２)在初中对直线与圆的认知基础上,深化其教学,初步培养学生将几何问题转化为代数问题,再从代数分析中提炼出几何性质的思想与习惯;(３)从现实与数学两个角度进行学生未接触过的圆锥曲线教学,在这一过程中帮助学生建立几何与代数更加紧密的联系,深化点与坐标一一对应的思想;(４)反思与总结所学知识,提炼出平面解析几何所渗透的数学思想并考察自身心理机能的变化情况．３．３阶段三:制定评估方式高阶思维贯穿整个学习过程,因此制定评估方式应从不同方面进行综合评估,本文中选择探究活动成果㊁随堂检测㊁课题汇报㊁观察与谈话㊁课后作业㊁单元测验㊁自我评价与反思七种方式进行,具体内容见表１．其中,评估内容的设置应主要针对:(１)能够解决数学㊁其他学科和现实生活中相关问题的能力;(２)将数学作为交流工具的能力;(３)将数学作为一种推理方式的能力．评估内容应基于以下原则:(１)问题有非单一的答案;(２)问题的解决需要许多概念;(３)问题可以用很多方法来解决．这些原则旨在让学生多维思考问题,而非单一思维．使用几个概念来解决问题的目的是让学生运用所学知识,建立知识联系,从而获得解决方案．表１㊀评价体系评估方式评估内容探究活动成果探究活动分为各章节中的局部探究活动与大单元 下的综合探究活动局部探究应强调章节中重要概念的探索与揭示,成果应包括探索流程㊁探索结果㊁探索总结．综合探究应注重代数几何化㊁几何代数化思想的渗透与应用,以及同学间的相互合作,成果应包括小组合作效果㊁小组汇报㊁活动小论文撰写．(续表)课题汇报单元教学前对平面解析几何历史背景㊁数学价值与应用相关文献的收集汇报;单元教学后对平面解析几何核心思想㊁计算技巧与渗透数学思想的总结汇报．随堂检测主要利用课本 练习 部分习题进行(以人教A版为例),可根据基本问题进行适当增减．观察与谈话及时检测学生对知识点的理解程度与应用的真实情况．课后作业实时检测学生对直线㊁圆与圆锥曲线的相关计算与证明是否达标．单元测验检测学生平面解析几何知识点的综合掌握程度与代数几何化㊁几何代数化的应用程度．自我评价与反思单元结束后,总结自己解决平面解析几何问题的一般思路．单元结束后,思考自己在解决代数问题与几何问题时发生了变化吗发生了何种变化?(与单元学习前相比)单元结束后,反思自身在平面解析几何学习中存在哪一/些薄弱点?为什么会薄弱?其余数学 大单元 的学习中是否也存在这一/些问题?４总结基于高阶思维的单元教学设计的特点为:(１)在传统教学设计的基础上依据高阶思维生成机制将教学活动分为情景认知㊁综合探究㊁深度学习㊁心理机能四个模块,加强对学生高阶思维的开发与培养;(２)在此过程中将 大单元 的核心思想融入整个教学设计,以包含 大单元 核心思想的基本问题驱动整个单元教学,有利于教学实施的连续性与一致性;(３)深度落实学生的数学核心素养,高阶思维是数学核心素养体系的关键,而发展数学核心素养是培养高阶思维的落足点．参考文献:[１]夏雪梅．在传统课堂中进行指向高阶思维和社会性发展的话语变革[J]．华东师范大学学报(教育科学版),２０１９(５):１０５Ｇ１１４．[２]杨懿荔．H P M视角下解析几何的教学[D]．上海:华东师范大学,２０１８(１)．[３]段茂君,郑鸿颖．基于深度学习的高阶思维培养模型研究[J]．现代教育技术,２０２１(３):５Ｇ１１．[４]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[S]．北京:人民教育出版社,２０１８:４３Ｇ４６．Z８１教育教学教学导航㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年７月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
基于高三数学试卷讲评课的教法探究与反思——以一道高考模拟解析几何题的教学为例
基于高三数学试卷讲评课的教法探究与反思——以一道高考
模拟解析几何题的教学为例
胡容锁
【期刊名称】《中学数学研究（华南师范大学）：上半月》
【年(卷),期】2016(0)4
【摘要】高三频繁的模考统考，试卷讲评课将是高三阶段一个重要的课型，如何上好讲评课显得尤为必要．本文结合对2015年3月18日苏锡常镇四帝隋况调查测试第18题的一次讲评课的实录，与同行交流如何上好高三数学试卷讲评课的问题．
【总页数】3页(P11-13)
【关键词】试卷讲评课;高三数学;解析几何题;高考模拟;教学;反思;教法;第18题【作者】胡容锁
【作者单位】江苏省句容市第三中学
【正文语种】中文
【中图分类】G633.7
【相关文献】
1.基于核心素养的高中数学讲评课教学策略研究——以一道省检题讲评为例 [J], 葛明
2.基于“问题驱动教学”的探究式数学课堂实践——以一道导数求值题讲评为例[J], 朱清波
3.基于"问题驱动教学"的探究式数学课堂实践
——以一道导数求值题讲评为例 [J], 朱清波
4.基于问题驱动的高三课堂教学策略的思考——以一道诗歌鉴赏题的讲评为例 [J], 钱华南
5.大数据背景下高中数学解题教学探究——以一道解析几何题的讲评为例 [J], 于健;郭建华
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最新-初中数学教学论文 探究什么,怎样探究？ 精品
探究什么，怎样探究？《数学课程标准》要求教师应帮助学生“在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识”，体现了以学生发展为本的基本理念．“自主探究”就是在学习的过程中，以学生已有的知识和经验为基础，充分发挥学生自己的聪明才智获取知识的学习活动．由于学生个体的认知能力存在着差异，探究内容也有难易之别，所以“自主探究”的“成果”也会参差不齐，可以通过“合作交流”提高认识达成共识，从而把获取的知识进一步完善．显然，自主探究和合作交流相结合的教学是以学生为主体的开放的数学活动，是充满挑战性、能动性和创造性的数学活动．自主探究和合作交流相结合的教学能够使学生亲身经历探究的过程，体验自主获取知识的乐趣，因而有机会理解、感悟数学的本质，真正学习和掌握数学知识，提高学生学习数学的兴趣和能力，使学生终身受益．因此，作为一线数学教师，应该立足教材，积极开展数学自主探究性学习的研究．然而，自主探究和合作交流相结合的教学的关键是“探究”，设计教学时教师必须明确两个根本的问题——“探究什么”和“怎样探究”的问题．先请看下面的一个教学案例的片段：例：【浙教版八年级（下）P96页】探究任意一个多边形的内角和与外角和的规律．教师：三角形内角和是多少度？学生：180度．教师：四边形内角和是多少度？学生：？教师：我们看四边形ABCD，连结AC，四边形ABCD变成了——学生1：两个三角形．教师：四边形内角和是多少度？学生：360度教师：为什么？学生2：四边形内角和是两个三角形的内角和，所以四边形内角和是360度．教师：你回答得很好!大家同意他的说法吗?．学生：(大声齐答)同意.教师：接下来我们再看五边形ABCDE，哪又该怎么办？，学生3：连结AC，五边形ABCDE变成了一个四边形和一个三角形，所以五边形内角和是540度．教师：好！请同学们继续研究，可以独立研究，也可以几个同学共同研究，并把研究的结果填入下表：(学生探究，教师巡视)教师：n边形的内角和是多少度？学生4：六边形的内角和是720度，n边形的内角和是（n-2）×180度教师：为什么？学生4：因为三角形的内角和是1×180度，四边形的内角和比三角形的内角和多180度，五边形的内角和比四边形的内角和多180度，所以六边形的内角和比五边形的内角和多180度，依此类推，所以六边形的内角和是4×180度；n边形的内角和是（n-2）×180度．教师：大家说，他回答得对不对？学生：对！教师：很好，学生4的推理运用了数学中的递推思想．大家还有不同的意见吗？学生5：因为三角形的内角和是1×180度；四边形的内角和是2×180度；五边形的内角和是3×180度；所以六边形的内角和是4×180度；n边形的内角和是（n-2）×180度．教师：大家说，对不对？学生：对！教师：很好，学生5的推理实际上是一种猜想，我们说没有大胆的猜想就没有伟大的发现．所以，猜想是数学发现的一种重要学习方法，我们要学会并大胆地猜想．还有不同的意见吗？学生6：因为三角形的内角和是1×180度，四边形可以分成两个三角形，五边形可以分成三个三角形，六边形可以分成四个三角形，n边形可以分成n-2个三角形，所以六边形的内角和是4×180度；n边形的内角和是（n-2）×180度．教师：大家说，对不对？学生：对！教师：太棒了！学生6的分析推理真是一针见血，可见他的思维有独到之处．教师：n边形的内角和是多少度？（略）…1.探究什么如果说课程标准是教学之规，即指导教师如何开展教学，那么教材就是教学之本，即要求教师围绕教材内容进行教学．“教材内容”仅仅是教师进行教学的素材，教师必须把这些素材进行加工处理，依据“教学之规”将其转化为“教学内容”（区别于教材内容，包括知识、思想方法、情感价值观等），并设计一个教学过程实施教学．那么自主探究探究什么？也就是探究的目标是什么？笔者认为，探究的目标应该是探究“教学内容”，即探究“数学知识”和“数学思想方法”，并通过探究过程丰富学生的情感，形成正确的价值观．1．1探究数学知识探究数学知识包括探究数学概念的产生、形成和定义，探究数学公式、公理、定理、法则、性质的发现、提炼、证明、剖析和引申．本教学案例探究的数学知识是n边形的内角和公式和n边形的外角和公式，探究的过程是从三角形、四边形、五边形的特殊情形，推广到n边形的情形．1．2探究数学思想方法探究数学思想方法，就是探究“数学知识”或分析问题和解决问题过程中所蕴涵的数学思想方法．本教学案例探究的数学思想方法，就是通过探究能够巩固和提高对其认识的数学思想方法有由特殊到一般的思想方法；递推的思想方法；归纳猜想的思想方法和割补的思想方法等．2.怎样探究明确了“探究什么”才能具有针对性地设计“怎样探究”．2．1选择探究方法一般地，探究的方法有类比、迁移、由特殊到一般、由一般到特殊、归纳猜想、演绎推理等方法，应根据探究的内容，适当地选择探究方法．2．2确定探究形式一般地，探究的形式有独立探究、小组合作探究、师生合作探究等形式．如果探究问题的难度不大，可采用独立探究的形式；如果探究问题的难度较大，可采用小组探究的形式；如果探究问题的难度很大，可采用师生合作探究等形式．2．3设计探究过程一般地，探究课的流程是：①提出问题；②创设情境；③探究；④获得成果；⑤应用成果．探究过程一般是：①提供探究素材；②指明探究方向；③探究（观察素材，分析现象，推理运算，抽象概括，提炼成果）；④交流（去伪存真、去粗取精，求同存疑，达成共识）；⑤完善探究成果（包括合理的形式化、引申推广等）．在探究、交流、完善各个环节中，根据学生的年龄特点还可以加入学生执教、情景表演、实验操作和多媒体演示等，在具体操作上没有固定框架．设计和事实探究过程是要千方百计地调动学生的积极性，扩大学生单位时间内的活动空间，释放每个学生的自主探究学习的能量，使他们有机会尽情表达自己的感受、意见和思想，展示自己的创造性成果，迸发出耀眼的思维火花．本教学案例设计的探究方法是由特殊到一般的方法，探究形式是独立探究的形式，探究过程是①提供探究素材是一个表格；②通过教师启发学生探究四边形、五边形的内角和规律,指明了一般问题的探究方向；③探究，有成功，也有失败．若都成功说明教师启发过度；若没有成功或很少成功，说明教师调控不当．④交流，探究过程有生生交流，完善成果过程有师生交流．3．几个注意的问题3．1立足教材探究适度问题情境设置在“跳一跳，摘得到”的最近发展区，及时激发学生学习的兴趣，使学生的思维始终处于活跃状态．3．2教师调控探究过程教师要有效调控“探究”的过程，既要确保“探究”有成效，又不能包办使“探究”流于形式．3．3避免盲目探究首先，要避免教师设计毫无价值的探究．有的问题需要探究，有探究的价值．而有的问题没有探究的价值，不要过度追求形式，什么都搞探究．其次，要避免学生不知所措的探究．教师要使学生明确探究的内容和方向．挖掘合适的数学探究问题，使整个数学活动中既有生动活泼又有跌荡起伏的高质量探究过程.3．4营造民主氛围要营造宽松、和谐、民主的课堂人文氛围．我们可以想象：在一个过于严肃、死板的课堂氛围中，学生将如何展开思维的翅膀去探究？学生又如何敢于表达自己的看法和观点？所以，教师要在课堂上大力提倡民主，师生之间建立互教互学的平等和谐关系，教师应是平等中的首席．当然，这样的课堂学习氛围也不是一朝一夕就能形成的，需要教师长期不懈的努力和培养，对学生的可持续发展起到非常重要的作用．。
一类解析几何问题的探究式教学
一类解析几何问题的探究式教学
探究式教学是一种从学生探究知识获取最为练习并达知识理解最
核心之作用。
用此方式教学可以让学生充分激发发掘和理解能力，即学校更加重视从解决问题的角度进行学习，帮助学生获得更强的解决问题的能力，有助于提高学生的学习兴趣和动手实践能力。
其中，探究式教学可以特别有效地应用于解析几何问题。
探究式教学可以鼓励学生通过分析推理，通过实验和实践来学习，掌握几何信息和实际图形，进而解决现实生活中几何问题。
学习者需要灵活运用几何知识和公理观点去求解，并且需要灵活运用条件分析工具，如：测量、重绘的方法以及构图之法，并结合多种抽象的几何思维去解决问题。
为了较好地实施探究式教学，教师应使用实验、游戏、问题解决等教学方法以减少学生的误解和学习障碍，帮助学生对几何解决问题有更深入的理解。
学生也可以通过互相解答或参与讨论来增强自身学习，总结常见情况下的特殊求解策略，从而应用及拓展几何解决问题。
此外，教师也应加强在探究过程中的指导，让学生能及时发现自身理解错误，纠正自身错误，培养学生对几何问题的整体认知能力和实际运用能力。
总之，探究式教学是一种有效的解析几何问题的方法，教师以及学生都应根据特殊需要来设计和实施探究。
探究式教学不仅可以提供学生思维灵活性和独立思考能力，而且可以带给学生认知上的挑战和满足感，极大促进学生知识获取、知识体系建构和能力发展。
玩转“解析几何探究性问题”
玩转“解析几何探究性问题”毛金才数学中的探究性问题一般是条件开放或结论开放，高考中的探究性问题主要考查学生是否具备解决开放度较小的数学问题能力，即要求考生综合运用学到基本知识、基本技能和基本方法创造性地解决。
本文仅对解析几何探究性问题进行讨论。
一、以逆向思考的方法探究结论成立的条件例1 在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ，圆C 的方程是()()22241x a y a -+-+=，试求参数a 的取值范围，使圆C 上存在点M ,使MO MA 2=成立。
解析 设M 为(x,y)，因为MO MA 2=，所以22222)3(y x y x +=-+，整理得一个圆的方程()2214x y ++=，设为圆D ，所以，圆C 上存在点M ，使2MA MO =⇔圆C 与圆D 相交或相切⇔2121CD -≤≤+⇔13≤⇔1205a ≤≤。
点评 解这类问题时首先要搞清问题的条件和结论分别是什么，其次要准确理解探究的是充分条件还是必要条件，确保思维的严谨性，在探究过程中可以借用“数形结合”的方法启迪思维。
二、以判断是否存在某个“几何元素”使结论成立进行探究解析 由题意，()0,0E x ，0AE k x =-，因为过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，所以 ADk =，所以AD 的方程是y x =+令0y =得，08,0D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以08,0D x ⎛⎫⎪⎝⎭，则QG 的直线方程是000088y y x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， 因为00(,)Q x y 在椭圆22:184x y C +=上，所以220028x y +=()00y ≠，所以直线QG 的方程化简得，00082x y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入22184x y +=得， ()()222000021664160xy x x x y +-+-=，又220028x y +=代入得，220020x x x x -+=，解得00,x x y y ==，所以直线QG 与椭圆一定有唯一的公共点。