小学数学分数裂项

分数裂差

考试要求

（1） 灵活运用分数裂差计算常规型分数裂差求和

（2） 能通过变型进行复杂型分数裂差计算求和

知识结构

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

1、 对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即

1a b ⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-⨯- 2、 对于分母上为3个或4个自然数乘积形式的分数，我们有：

1111[]()(2)2()()(2)

n n k n k k n n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+++ 1111[]()(2)(3)3()(2)()(2)(3)

n n k n k n k k n n k n k n k n k n k =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⨯+ 3、 对于分子不是1的情况我们有：⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=+k n n k n n k 11)( ()11h h n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭

()()()()()

21122k n n k n k n n k n k n k =-+++++ ()()()()()()()()

31123223k n n k n k n k n n k n k n k n k n k =-++++++++ ()()()()()11222h

h

n n k n k k n n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎣⎦

()()()(

)()()()()11233223h h n n k n k n k k n n k n k n k n k n k ⎡⎤=-⎢⎥++++++++⎣⎦

()()()2

21111212122121n n n n n ⎛⎫=+- ⎪-+-+⎝⎭

二、裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

重难点

（1） 分子不是1的分数的裂差变型；

（2） 分母为多个自然数相乘的裂差变型。

例题精讲

一、 用裂项法求1(1)

n n +型分数求和 分析：1(1)

n n +型（n 为自然数） 因为

111n n -+＝11(1)(1)(1)

n n n n n n n n +-=+++（n 为自然数），所以有裂项公式：111(1)1n n n n =-++ 【例 1】 填空：

（1）1-21= （2）=⨯211 （3） =-3121 （4）=⨯3

21 （5）=⨯60591 （6）=-601591 （7）=⨯100991 （8）=-100

1991 【考点】分数裂项 【难度】☆ 【题型】填空 【解析】（1）原式=

112⨯；（2）原式=1112-；（3）原式=123⨯；（4）原式=1123-；（5）原式=115960-； （6）原式=15960⨯；（7）原式=1199100-；（8）原式=199100

⨯。 【答案】（1）

112⨯；（2）1112-；（3）123⨯；（4）1123-；（5）115960-；（6）15960⨯；（7）1199100-；（8）199100

⨯。

【巩固】

11111

1223344556

++++=

⨯⨯⨯⨯⨯

。

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】填空

【解析】原式

111111115 122356166⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

【答案】5

6

。

【例 2】计算：

111

...... 101111125960 +++

⨯⨯⨯

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答

【解析】原式

111111111 ()()......()

101111125960106012 =-+-++-=-=

【答案】

1

12

。

【巩固】计算：

11111 198519861986198719951996199619971997 +++++⨯⨯⨯⨯

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】解答

【解析】原式

1111111111 1985198619861987199519961996199719971985 =-+-++-+-+=

【答案】

1 1985

。

【例 3】计算：11224

26153577

++++=____。

【考点】分数裂项【难度】☆☆【题型】填空

【答案】

11

。

【巩固】11111111612203042567290

+++++++=_______。 【考点】分数裂项 【难度】☆☆ 【题型】填空

【解析】原式=11111111612203042567290

+++++++ 1111111123344556677889910

=+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 11=210

- 2=5

【答案】

25

【例 4】 计算：1111111112612203042567290

--------＝ 。 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式111111111()223344556677889910

=-+++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111()22334

910=--+-++- 111()2210

=-- 1

10=

【答案】

110

。 【巩固】计算：11111123420

261220420+++++ 【考点】分数裂项 【难度】☆☆☆ 【题型】解答

【解析】原式()1111112320261220420⎛⎫=++++++++++ ⎪⎝⎭ 1111121012233445

2021=++++++⨯⨯⨯⨯⨯ 1111111210122334

2021=+-+-+-++- 1210121=+-

20210

21=