分数裂项法解分数计算

分数裂项计算

本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分运算，使其变得更加简单明了。

本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。

分数裂项

一、“裂差”型运算

将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法.裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的观察每项的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。

(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b

⨯形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b

=-⨯- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：

1(1)(2)

n n n ⨯+⨯+，1(1)(2)(3)n n n n ⨯+⨯+⨯+形式的，我们有： 裂差型裂项的三大关键特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”

（3）分母上几个因数间的差是一个定值。

二、“裂和”型运算：

常见的裂和型运算主要有以下两种形式：

（1）11a b a b a b a b a b b a

+=+=+⨯⨯⨯ （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+⨯⨯⨯ 裂和型运算与裂差型运算的对比：

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。

【例 1】

111111223344556

++++=⨯⨯⨯⨯⨯ 。 【巩固】 111 (101111125960)

+++⨯⨯⨯ 【巩固】 2222109985443

++++=⨯⨯⨯⨯L 【例 2】 111111212312100

++++++++++L L L 【例 3】 111113355799101

++++=⨯⨯⨯⨯L 【巩固】 计算：1111251335572325⎛⎫⨯++++= ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭

L 【巩固】 2512512512512514881212162000200420042008

+++++⨯⨯⨯⨯⨯L 【巩固】 计算：3245671255771111161622222929

++++++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 4】 计算：11111111()1288244880120168224288

+++++++⨯= 【巩固】 11111111612203042567290

+++++++=_______ 【巩固】 11111113610152128

++++++= 【巩固】 计算：1111111112612203042567290

--------＝ 【巩固】 11111104088154238

++++= 。 【例 5】 计算：1111135357579200120032005

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【例 6】 7 4.50.161111181315356313 3.75 3.23

⨯+⎛⎫⨯+++= ⎪⎝⎭

-⨯& 【例 7】 计算：11111123420261220420

+++++L 【巩固】 计算：11111200820092010201120121854108180270

++++= 。 【巩固】 计算：1122426153577

++++= ____。 【巩固】 计算：1111111315356399143195

++++++ 【巩固】 计算：15111929970198992612203097029900+++++++=L ．

【例 8】

111123234789

+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【巩固】 计算：1111232349899100

+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【巩固】 计算：1111135246357202224

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【巩固】 4444 (135357939597959799)

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【巩固】 999897112323434599100101

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【例 9】 11111123423453456678978910

+++⋅⋅⋅++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【巩固】 333 (1234234517181920)

+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【例 10】 计算：57191232348910

+++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯L ． 【巩固】 计算：5717191155234345891091011

⨯++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L （） 【巩固】 计算：3451212452356346710111314

++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L 【例 11】 12349223234234523410

+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯L L 【例 12】 123456121231234123451234561234567

+++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 【巩固】 计算：23993!4!100!

+++=L . 【例 13】 234501(12)(12)(123)(123)(1234)(12349)(1250)++++⨯++⨯++++⨯+++++++⨯+++L L L 【巩固】 2341001(12)(12)(123)(123)(1234)(1299)(12100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++L L L 【巩固】 23101112(12)(123)(1239)(12310)

----⨯++⨯++++++⨯++++L L L （） 【例 14】 22222211111131517191111131

+++++=------ . 【巩固】 计算：2222221

11111(1)(1)(1)(1)(1)(1)23454849

-⨯-⨯-⨯-⨯⨯-⨯-=L 【巩固】 计算：222222223571512233478

++++⨯⨯⨯⨯L 【巩固】 计算：222222222231517119931199513151711993119951

++++++++++=-----L ． 【巩固】 计算：22222222

222213243598100213141991

++++++++=----L ． 【巩固】 计算：2222

1235013355799101

++++=⨯⨯⨯⨯L ． 【例 15】 5667788991056677889910

+++++-+-+⨯⨯⨯⨯⨯ 【巩固】 36579111357612203042

++++++ 【巩固】计算：1325791011193457820212435

++++++++= 【巩固】 123791117253571220283042+++++++