有理数及其运算
第二章 有理数及其运算(知识归纳+题型突破)(解析版)
第二章有理数1.了解具有相反意义的量，正负数的概念；2.理解有理数、相反数、绝对值、倒数的概念，能正确解题；3.理解数轴的概念，并能正确画出数轴,，在数轴上表示数；4.理解有理数加法、减法、乘法、除法法则、；5.理解有理数乘方定义及运算；6.能掌握加法、减法的运算定律和运算技巧，熟练计算；能掌握乘法的运算定律和运算技巧，熟练计算；7.通过将减法转化成加法和将除法转化成乘法，初步培养学生数学的归一思想8.进一步掌握有理数的五则混合运算；9.理解科学记数法，了解近似数；10.能运用科学记数法表示较大的数.知识点1 正数和负数1.概念正数：大于0的数叫做正数。
负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。
注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。
（不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。
）2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。
知识点2：有理数1.概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。
分数：正分数、负分数统称分数。
（有限小数与无限循环小数都是有理数。
）注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。
2.分类：两种⑴按正、负性质分类：⑵按整数、分数分类：正有理数正整数正整数有理数正分数整数0零有理数负整数负有理数负整数分数正分数负分数负分数知识点3：数轴1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
三要素：原点、正方向、单位长度2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。
比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。
3.应用求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。
（注意不带“+”“—”号）知识点3 ：相反数1.概念代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
（0的相反数是0）几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数。
有理数及其运算要点整理
有理数及其运算要点整理1. 有理数的定义有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，它们可以是正数、负数或零。
有理数包括整数、分数和小数。
2. 有理数的运算2.1 加法与减法有理数的加法和减法遵循以下规则：- 同号相加：两个正数相加，结果仍为正数；两个负数相加，结果仍为负数。
- 异号相减：一个正数减去一个负数，相当于两个正数相加；一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加。
- 异号相减取相反数：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
2.2 乘法与除法有理数的乘法和除法遵循以下规则：- 同号相乘：两个正数相乘，结果仍为正数；两个负数相乘，结果仍为正数。
- 异号相乘：两个不相等的有理数相乘，结果为负数。
- 除法是乘法的逆运算：一个数除以另一个数，等于将被除数乘以除数的倒数。
3. 有理数运算的要点3.1 加法与减法的要点- 将有理数按照同号、异号分类进行计算，遵循同号相加、留号不变；异号相减，取相反数相加的原则。
- 确保有理数的运算过程中，将同种类型的数进行运算，如整数与整数相加，分数与分数相加，小数与小数相加。
3.2 乘法与除法的要点- 乘法的结果符号由乘数和被乘数决定，同号得正，异号得负。
- 除法的结果符号由被除数和除数决定，同号得正，异号得负。
- 乘法和除法都要注意化简分数，使结果尽量简化。
4. 示例4.1 加法与减法示例例1：计算 -5 + (-3)。
解：两个负数相加，结果仍为负数，所以 -5 + (-3) = -8。
例2：计算 -4 - 2。
解：一个负数减去一个正数，相当于两个负数相加，所以 -4 -2 = -6。
4.2 乘法与除法示例例3：计算 -2 × 3。
解：两个不相等的有理数相乘，结果为负数，所以-2 ×3 = -6。
例4：计算 12 ÷ (-4)。
解：一个正数除以一个负数，结果为负数，所以 12 ÷ (-4) = -3。
以上是有理数及其运算的要点整理，希望对你理解有理数的运算有所帮助。
《有理数》有理数及其运算
《有理数》有理数及其运算汇报人：日期:contents •有理数的定义与分类•有理数的运算•有理数的混合运算•有理数的应用•有理数的数学史•有理数的实际应用案例目录01有理数的定义与分类有理数是一个数学术语，它表示为分数或整数。
有理数是由两个整数的商所得到的数，其中分子和分母都是整数。
有理数包括有限小数和无限循环小数，它们都可以表示为分数形式。
定义分类有理数可以分为正有理数、负有理数和零。
负有理数包括负整数和负分数。
正有理数包括正整数和正分数。
零是整数，它在有理数中起着特殊的作用，它是正有理数和负有理数的分界点。
02有理数的运算从低位到高位依次相加进位时，横线下面写几，下面用0顶替借位时，横线上面写几，同时下面减去一个相同数位的数相同数位对齐，是减法时，从高位到低位依次相减相同数位对齐进位时，横线下面写几，上面用0顶替相同数位对齐，是加法时，从低位到高位依次相加退位时，横线上面写几，同时下面加一个相同数位的数相同数位对齐从高位到低位依次相减乘法第一个数有几位数，积就有几位小数进位时，将进位点写在横线的上面，向高位进位从右向左，依次用第二个数的每一位去乘第一个数的每一位小数部分末尾有0，根据小数的基本性质，应该点上小数点除法商的小数点要和被除数的小数点对齐从高位除起，按照整数除法的法则进行计算如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0继续除整数部分有余数，要在后面添0继续除03有理数的混合运算先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减。
如果有括号，先算括号里面的，再算括号外面的。
在没有括号的不同级运算中，先算乘方或开方，再算乘除，最后算加减。
顺序结合律与分配律结合律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$分配律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$结合律与分配律是运算的基本性质，它们可以用于简化运算过程，提高运算效率。
第二章 有理数及其运算
1.理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小.
2.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义,知道|a|的含义(这里a表示有理数).
3.理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主).
4.理解有理数的运算定律,能运用运算律简化计算.
学生认识当用正、负数表示相反意义的量时要考虑“基准”.“0”是常用的基准,但不是所有的基准都必须为0.
探究活动3有理数的概念及分类
1.新的整数、分数概念:引进负数后,数的范围扩大了.过去我们说整数只包括正整数和零,引进负数后,正整数前加上负号的数叫做负整数,因而整数包括正整数、负整数和零,同样分数包括正分数、负分数.
2.培养学生养成认真做题的良好习惯,认识数学是解决实际问题和进行交流的重要工具.
3.在解决问题的过程中,能对问题提出自己的猜想,树立学好数学的信心.
对于负数的引入,教材借助生活中的实例,引进负数,让学生在活动中体会数概念的扩张,了解负数的本质意义,然后再指出可以用正负数表示现实生活中具有相反意义的量,使学生感受到负数的引入源自实际生活的需要,体会数学知识与现实世界的联系.
(3)每袋大米的标准质量应为10kg,但实际每袋大米可能有150g的误差,即每袋大米的净含量最多是10kg+150g,最少是10kg - 150g.
[过渡语]同学们,我们已经知道了可以用正数和负数表示具有相反意义的量,那么一起来试一试吧.
反馈练习
(出示课件4)(1)在知识竞赛中如果用“+10”表示加10分,那么扣20分记作什么?
(出示课件2)(教材议一议)生活中你见过其他用负数表示的量吗?与同伴进行交流.
想一想:根据上面各队分数的计算及2010年全国居民消费价格的上涨情况及温度计上的温度,你能知道正、负数和零的大小关系吗?
第二章 有理数及其运算
第二章 有理数及其运算1、正数和负数用来表示具有相反意义的量。
（0既不是正数也不是负数）2、有理数：整数和分数统称有理数。
（有限小数和无限循环小数都可以写成分数形式，因此它们也是分数）（π是无限不循环小数，因此它不是有理数）3、有理数的分类：①按定义分： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 ②按正负分： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数4、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。
（任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示）5、相反数：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个的相反数。
（0的相反数还是0）（a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数）6、绝对值：数轴上表示某数a 的点与原点的距离。
正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数。
用符号表示：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或 ⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a （绝对值的问题经常分类讨论） 7、有理数比较大小：（1）正数大于0；（如果a 是正数，那么a ＞0）（2）负数小于；（如果a 是负数，那么a ＜0）（3）正数大于负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大）8、互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数。
（0没有倒数）（若ab=1 a、b互为倒数）1）（若a≠0，那么a的倒数是a9、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（互为相反数的两数相加和为0）（3）一个数与0相加，仍得这个数。
10、有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。
11、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b）。
有理数及其运算
有理数及其运算
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数。
有理数可以用分数形式表示为p/q，其中p和q都是整数，且q不等于0。
有理数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
下面是有理数的四则运算规则：
1. 加法：将两个有理数的分子相加，分母保持不变。
例如：a/b + c/d = (ad + bc)/bd
2. 减法：将两个有理数的分子相减，分母保持不变。
例如：a/b - c/d = (ad - bc)/bd
3. 乘法：将两个有理数的分子相乘，分母相乘。
例如：(a/b) × (c/d) = (ac)/(bd)
4. 除法：将第一个有理数的分子乘以第二个有理数的分母，分母乘以第二个有理数的分子。
例如：(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = (ad)/(bc)
在进行有理数运算时，有时需要进行分数的约分和通分。
约分是将分子和分母的公因子约去，使分数最简形式。
通分是将两个分数的分母化为相同的公分母，以便进行加法和减法运算。
此外，有理数的比较大小也是常见的运算。
对于两个有理数a/b和c/d，可以比较它们的大小关系：
- 如果ad > bc，则a/b > c/d；
- 如果ad < bc，则a/b < c/d；
- 如果ad = bc，则a/b = c/d。
有理数的运算符合运算律和分配律，可以利用这些性质进行计算和简化。
有理数的运算在数学和实际生活中都具有广泛的应用，例如在金融、物流、测量等领域。
《有理数》有理数及其运算PPT课件
分数集合：{－0.314，25%，22，－4 1，0. 3，2 3，…}；
7
3
5
非正整数集合：{ －2， 0， …}.
知3－讲
导引：要严格按照各类数的概念进行填写，非负有 理数包含正有理数和0；非正整数包含负整 数和0.
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
(1)非负有理数一定是有理数，它包含正有理数和0， 不要误认为是除负有理数以外的任何数；
知2－讲
解：(1)沿顺时针方向转了 12圈记作－12圈； (2)－0.03 g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03 g; (3)每袋大米的标准质量应为10 kg,但实际每袋大米 可能有150 g的误差，即每袋大米的净含量最多 是10 kg＋150 g，最少是10 kg－150 g.
（来自教材）
知2－练
C．－6，0.5，0
D．0，6，9
（来自《典中点》）
知识点 2 具有相反意义的量
知2－导
议一议 生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同 伴进行交流.
知2－导
“加分与扣分” “上涨量与下 跌量” “零上温度与零下温度”等 都是具有相 反意义的量.为了表 示具有相反意义的量,我们可把 其中一个量规定为正的,用正数 来表示,而把与这个量意义相反 的量规定为负的,用负数来表示. 例如,把上涨3.3%记为＋3.3%, 那么下跌0.6%就记为－0.6%.
如果答对题所得的分数用正数表示，那么你 能写出每个队答题得分的情况吗？试完成下表：
答对题的得分 答错题的得分 未回答题的得分
第一队
＋6
第二队
－2
知识点 1 正数和负数
知1－讲
1.定义：大于0的数叫做正数，在正数前面加上 符号“－”(负)的数叫做负数．
有理数的意义及运算
有理数的意义及运算有理数是数学中一个重要的概念，是在数轴上广泛应用的基本数类之一。
它们不只是简单的数字，还在我们生活的方方面面扮演着重要角色。
从日常的购物算账到工程设计，有理数都显得尤为重要。
有理数的定义是非常明确的。
一个数如果可以表示为两个整数之比（即在形式上为a/b，a和b是整数且b不为零），那么这个数就属于有理数的范畴。
比如，3（可以写成3/1）、-1/2、0都是有理数。
而平方根2、π等则不属于有理数，因为它们无法用整数字表示。
在我们的学习中，对有理数的理解不仅限于其定义。
还需掌握它们的性质和运算。
有理数的集合不仅包括正数和负数，还涵盖了零。
在数轴上，有理数通过分数和小数的方式表现出来，令其在实际问题中更易于使用。
有理数自身具备几个重要的性质。
有理数是稠密的，这意味着在任意两个有理数之间，总是可以找到另一个有理数。
例如，在1和2之间，有1.5、1.25等；在-1和0之间，有-0.5、-0.75等。
这一性质使得有理数能够精准地表示一些功能的变化，尤其在科学和工程中，需对数据进行细致分析时，这一优势极为显著。
在我们实际应用有理数时，运算是不可或缺的一环。
加法、减法、乘法和除法四种基本的数学运算是处理有理数的主要方式。
对于两个有理数进行加法运算，首先需要找到共同的分母，然后再合并分子。
而减法运算与加法类似，通常也是需要统一分母后再进行操作。
乘法和除法相对简单，直接将分子乘以分子，分母乘以分母。
值得注意的是，当进行除法运算时，除数不能为零，因为零在数学中是无法作为分母的。
运算过程中的简化同样重要。
比如，当我们有一项表达式，例如(3/4)+(1/2)，要想简化成一个更直接的形式，需要把1/2转换成相同的分母。
1/2可以写成2/4，如此一来，两者相加后的结果就是5/4。
类似地，在减法和乘法时，简化步骤能够提高计算速度并减少错误。
当面对负数时，计算的过程同样适用。
有理数的负数与正数在运算中同样可以灵活应用。
有理数的四则运算及应用
有理数的四则运算及应用一、有理数的概念•定义：有理数是可以表示为两个整数比值的数，其中分母不为零。
•分类：正有理数、负有理数和零。
二、有理数的加法•定义：两个有理数相加，就是它们的比值相加。
•法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
三、有理数的减法•定义：减去一个有理数，相当于加上它的相反数。
•法则：同号相减，取相同符号，并把绝对值相减；异号相减，先取绝对值较大的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值。
四、有理数的乘法•定义：两个有理数相乘，就是它们的比值相乘。
•法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
五、有理数的除法•定义：除以一个有理数，相当于乘以它的倒数。
•法则：除以一个不等于零的有理数，等于乘以这个有理数的倒数。
六、混合运算•定义：含有加、减、乘、除四种运算的算式。
•法则：按照从左到右的顺序进行计算，先算乘除，再算加减。
•定义：运用有理数的四则运算解决实际问题。
•举例：计算购物时的找零、计算物体的高度、计算速度和时间等。
八、注意事项•定义：在进行有理数运算时需要注意的问题。
•举例：避免出现分母为零的情况，注意运算符号的运用等。
•总结：有理数的四则运算及应用是数学中的基本内容，掌握好这部分知识，对于解决实际问题和进一步学习数学都有很大的帮助。
习题及方法：1.习题：计算2/3 + 5/6方法：将两个分数的分母通分，得到4/6 + 5/6 = 9/6，化简得到答案为1 3/6，即1 1/2。
2.习题：计算-4/5 + 3/4方法：将两个分数的分母通分，得到-16/20 + 15/20 = -1/20。
3.习题：计算8/9 - 1/3方法：将两个分数的分母通分，得到8/9 - 3/9 = 5/9。
4.习题：计算-2/5 * 3/4方法：将两个分数相乘，得到-6/20，化简得到答案为-3/10。
5.习题：计算5/6 * 2/7方法：将两个分数相乘，得到10/42，化简得到答案为5/21。
数学 第二单元 有理数及其运算 知识点汇总
七年级-上册
七年级上册-第二章 有理数及其运算
七年级上册-第二章 有理数及其运算
1.有理数 2.数轴 3.绝对值 4.有理数的加法 5.有理数的减法 6.有理数的加减混合运算 7.水位的变化 8.有理数的乘法 9.有理数的除法 10.有理数的乘方 11.科学记数法
七年级上册-第二章 有理数及其运算
思维导图
七年级上册-第二章 有理数及其运算
正数和负数的概念
⒈正数和负数的概念 负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数。 注意： ①字母 a 可以表示任意数，当 a 表示正数时，-a 是负数；当 a 表示负数时，-a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0。 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a, -a 就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 2. 具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量， 比如：零上 8℃表示为： +8℃； 零下 8℃表示为： -8℃ 3. 0 表示的意义 ⑴0 表示“ 没有”，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人； ⑵0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。
七年级数学有理数及其运算
负分数：如 -1/5、-3.5、-5/6、-2.8
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 1、数轴的特点
（1）数轴是一条直线 （2）数轴有原点（０点） （３）数轴有正方向（通常取向右为正方向）
（４）数轴有单位长度
２、数形结合
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
３、数轴的画法
(1)取原点 (2)规定正方向,通常取向右为正方向 (3)选取适当的长度为单位长度
3、确定和的绝对值—较大的绝对值 减去较小的绝对值 1、判断加法类型—异号相加
2、确定和的符号—取绝对值较大的 符号“+”
3、确定和的绝对值—较大的绝对值 减去较小的绝对值
（＋5）+（ －5）= 0 异号相加，绝对值相等，和为0
3、一个数同零相加，仍得这个数。
（ -5）+ 0 = -5
做一做
1、（-7.9） 4.3 2.9 （ 1.3）
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 任何数与0相乘，积仍未0。 当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数 个时，积为正；有因数为零时，积就为零。 倒数的概念
乘积为1的两个有理数互为倒数。 5 求 3、 、 6 、 0.5、 0.125的倒数 7
乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不
任何数的绝对值都是非负数。 １、一个数本身与它的绝对值的关系
正数的绝对值是它本身，｜＋３｜＝３ 负数的绝对值是它的相反数，｜－３｜＝３ 0的绝对值是0，｜０｜＝０
绝对值大于1而小于5的所有整数的和是______
２、利用绝对值比较两个负数的大小
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
例、比较－５和－８的大小
《有理数的乘法》有理数及其运算
汇报人：文小库 2023-12-30
目录
• 有理数的定义与性质 • 有理数的乘法规则 • 有理数的运算应用 • 有理数的乘法与除法关系 • 有理数乘法的扩展知识
01
有理数的定义与性质
有理数的定义
总结词
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，包括整数、分数和十进 制数。
03
有理数的运算应用
有理数在日常生活中的应用
01
02
03
温度计刻度
日常生活中的温度计刻度 ，如摄氏度、华氏度等， 都是有理数。
重量计量
在超市购物时，商品重量 通常以千克、克等为单位 ，也是有理数。
时间计算
小时、分钟、秒等时间单 位都是有理数。
有理数在数学问题中的应用
代数方程
在解决代数方程问题时， 需要使用有理数的运算， 如加减乘除等。
在日常生活和工作中，有理数的乘除法也广泛应用于购物、工程、建筑等领域。
05
有理数乘法的扩展知识
有理数乘法的几何意义
总结词
通过数轴理解
详细描述
有理数乘法可以通过数轴上的点来表示。当两个有理数相乘时，其结果可以看作是数轴 上相应点进行缩放或旋转的结果。例如，两个正数相乘，结果在数轴上向右移动；两个
负数相乘，结果在数轴上向左移动。
有理数的表示方法
总结词
有理数可以用分数、小数或百分数表示，其中分数是最基本的表示方法。
详细描述
有理数可以用分数形式表示，如2/3表示一个分数。小数是有理数的另一种表示 方法，如0.5表示1/2。百分数是有理数的另一种表示方法，如50%表示0.5。此 外，有理数还可以用十进制形式表示，如-10表示一个负整数。
《有理数的除法》有理数及其运算
在时间计算中的应用
秒
使用有理数来表示时间单位， 例如，1分钟等于60秒，1小 时等于3600秒等。
分钟
使用有理数来表示时间单位，例 如，1小时等于60分钟，1天等于 1440分钟等。
小时
使用有理数来表示时间单位，例如 ，1天等于24小时，1周等于7天等 。
在商业计算中的应用
货币
使用有理数来表示货币单位， 例如，使用元、角、分等单位
利用近似计算进行实际应用问题的解决。
05
有理数在实际生活中的应 用
在度量中的应用
长度
有理数可以用于度量物体 的长度，例如，使用米、 厘米等单位来表示长度。
面积
有理数可以用于计算面积 ，例如，使用平方米、平 方厘米等单位来表示面积 。
体积
有理数可以用于计算体积 ，例如，使用立方米、立 方厘米等单位来表示体积 。
分数和小数的互化
分数转小数
将分数转换成小数，使数值更加直观。
小数转分数
将小数转换成分数，以便进行分数运算。
实数的概念与表示
实数的定义
实数是有理数和无理数的总称，具有无限性、连续性和有序性等特征。
实数的表示方法
在数学中，实数可以用数轴上的点来表示，也可以用科学计数法、指数法等表示。
04
有理数运算技巧
通分法
当被除数和除数的分母不同时，采 用通分法将它们化成分母相同的分 数，再进行除法运算。
替代法
当被除数和除数都含有某些相同的 因式时，采用替代法进行除法运算 。
03
有理数除法的应用
约分与通分
约分
将一个分数化成多个相同分子的分数相加，从而使分数计算 更加简便。
通分
将多个分数化成相同分母的分数相加，从而使分数计算更加 直观。
有理数及其运算
有理数及其运算一、知识点回忆1、掌握有理数的概念和分类。
2、知道有理数与数轴上的点的关系。
掌握数轴的定义 ,会用数轴上的点表示有理数 ,理解有理数的有序性 ,会比拟两个有理数的大小。
3、利用数轴理解数的绝对值和一对相反数的意义。
4、掌握有理数的运算法那么。
5、有理数的乘方。
了解底数、指数、幂等概念。
6、掌握有理数的运算律。
7、熟练进行有理数的混合运算。
运算时可合理运用运算律 ,使运算简便。
8、掌握科学计数法。
二、典型例题分析1、计算〔1〕、〔2〕、〔- 2 〕+ 1 + 1 + (- 5 )〔3〕、-150〔- 〕-250.125+50〔- 〕〔4〕、〔+3 〕〔3 -7 〕〔5〕、3 〔- 〕-〔- 〕2 - 〔- 〕〔6〕- ( + - )〔7〕、{1+[ -〔- 〕](-2)}(- - -0.05)〔8〕、〔9〕、〔10〕、〔11〕、|x|= ,|y|= ,且xy0,求代数式5x+7y-9的值。
〔12〕、〔13〕、〔14〕、的值。
2、实数在数轴上的位置如图,化简:3、a、b互为相反数 ,c、d互为倒数 ,求的值；4、有理数a、b、c满足 + + = -1 求的值。
5、用计算器计算以下各式 ,并将结果填写在横线上。
①1715873=②2715873=③3715873=④4715873=⑴你发现了什么规律？把你发现的规律用简练的语言写出来；⑵不用计算器 ,请你直接写出9715873的结果。
6、任意写出一个数3的倍数 ,把它的各个数位上数字分别立方 ,再把这些立方数相加 ,得到一个新的数；接着 ,把这个新得到的数的各个数位上的数字分别立方 ,再把这些立方数相加 ,又得到一个新的数； ,如此重复做下去 ,你发现了什么规律？请借助计算器进行探索。
7、欢欢在一家玩具厂里测量了20个底座是圆形玩具的底座直径 ,测得直径如下〔单位 mm〕：25、 25、 24、 24、 23、24、 24、 25、 26、 25、 23、 23、 24、 25、 25、 24、24、 26、 26、 25。
有理数的概念和运算法则
有理数的概念和运算法则一、有理数的概念1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数比的数，包括正整数、负整数、0、正分数和负分数。
2.整数：正整数、负整数和0。
3.分数：正分数和负分数，分子和分母都是整数，且分母不为0。
4.真分数：分子小于分母的分数。
5.假分数：分子大于或等于分母的分数。
6.带分数：由一个整数和一个真分数组成的数。
二、有理数的运算法则1.加法法则：a.同号相加，取相同符号，并把绝对值相加。
b.异号相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
c.0加任何数等于任何数。
d.任何数加0等于任何数。
2.减法法则：a.减去一个数等于加上这个数的相反数。
b.减法可以转化为加法，即减去一个数等于加上这个数的相反数。
3.乘法法则：a.同号相乘，取相同符号，并把绝对值相乘。
b.异号相乘，取相反符号，并把绝对值相乘。
c.0乘任何数等于0。
d.任何数乘0等于0。
4.除法法则：a.同号相除，取相同符号，并把绝对值相除。
b.异号相除，取相反符号，并把绝对值相除。
c.除以0没有意义，除数不能为0。
5.乘方法则：a.正数的任何正整数次幂都是正数。
b.负数的任何正整数次幂都是负数。
c.正数的任何负整数次幂都是正数。
d.负数的任何负整数次幂都是正数。
e.0的任何正整数次幂都是0。
f.0的任何负整数次幂都没有意义。
三、有理数的混合运算1.运算顺序：a.先算乘方。
b.再算乘除。
c.最后算加减。
d.同级运算，从左到右依次进行。
e.如果有括号，先算括号里面的。
2.运算律：a.加法结合律：三个数相加，可以先算任意两个数的和，结果不变。
b.乘法结合律：三个数相乘，可以先算任意两个数的积，结果不变。
c.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，结果不变。
d.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，结果不变。
e.分配律：一个数乘以两个数的和，等于这个数分别乘以这两个加数，然后把乘积相加。
四、有理数的应用1.化简：将复杂的分数或带分数化为简化形式。
第二章_有理数及其运算
第一章 有理数及其运算复习一、1、正数与负数：(三个重要的定义)【正数】：像+1.8，+420、+30、+10%等带有“+”号的数叫做正数。
为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。
【负数】：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。
而负数前面的“－”号不能省略。
【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。
★注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。
例如－a 不一定是负数，因为字母a 代表任何一个有理数，当a 是0时，－a 是0，当a 是负数时，－a 是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。
2、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。
整数包括三类：正整数、零、负整数。
分数包括两类：正分数和负分数。
按整数、分数的关系分类： 按正数、负数、零的关系分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。
二、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。
《有理数的减法》有理数及其运算
•有理数概述•有理数的运算•有理数的减法规则•有理数的减法运算技巧目•有理数的减法例题解析•有理数的减法练习题及答案录有理数是一个数学术语，指的是可以表示为有限小数或无限循环小数的数。
例如，1/3=0.333333...，2/5=0.4，这两个数都是有理数。
有理数包括整数和分数，其中整数包括正整数、0和负整数，如1，-3，-7，0等都是整数；分数包括正分数和负分数，如1/2，-4/5等都是分数。
有理数在生活中的应用定义运算法则运算顺序运算法则运算顺序运算法则运算顺序定义定义除数不能为0，否则无意义；被除数扩大（缩小）n倍，除数也跟着扩大（缩小）n倍。
运算法则运算顺序除法减法法则有理数减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数。
数学表达方式a-b=a+(-b)03减去一个数等于加上这个数的相反数01差不变性质02反向减法减法的性质加法交换律a+b=b+a加法结合律(a+b)+c=a+(b+c)减法与加法的互逆性a-b=a+(-b)，这是减法与加法的互逆运算律。
减法的运算律转化法总结词详细描述总结词结合律和交换律的应用可以帮助我们在进行有理数减法运算时，按照一定的顺序进行计算，避免出现错误的结果。
要点一要点二详细描述结合律是指多个有理数相加时，可以任意改变加数的顺序，其和不变。
交换律是指多个有理数相减时，可以任意改变减数的顺序，其差不变。
在进行有理数减法运算时，可以利用结合律和交换律对被减数和减数进行组合和调整顺序，以便更方便地进行计算。
例如，在计算(-4)-(-6)+3时，可以先计算(-4)+3和(-6)+3，再利用结合律将它们组合起来。
结合律和交换律的应用总结词分配律是有理数减法运算中的重要技巧，通过将减数分配到被减数的各个部分，可以简化计算过程并提高准确率。
详细描述分配律是指将一个有理数减数分配到被减数的各个部分，即将a-b+c转换为a-(b-c)的形式。
在进行有理数减法运算时，如果被减数和减数之间存在其他加减运算，可以利用分配律将减数分配到被减数的各个部分，以便更方便地进行计算。
有理数及其运算
有理数及其运算一．有理数的分类或1. 零既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界。
2. 数轴的意义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。
3. 数轴的建立使任何一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点，有的也可以表示有理数，而点是最基本的几何图形，从而就建立了数与几何图形之间的关系，我们称其为“数形结合”。
从而使有理数的大小直观化：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数。
二.有理数的加减1．有理数的加法法则（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值．（3）一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数加法的运算律（1）加法交换律：a+b=b+a ．（2）加法结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）．3．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
注意:有理数的加法运算及简化运算：在进行有理数的加法时，首先应判断相加两数的符号是同号还是异号，选定有理数的加法法则，然后确定和的符号，最后进行绝对值的计算． 异号两数的加法运算：关键应首先判断两加数的绝对值大小，确定和的符号．若正数的绝对值较大，则和取正；若负数的绝对值较大，则取负；然后判断用谁的绝对值减绝对值4、计算：（-1.25）+3.85+（+3.875）+（413-）+（21-）+1.15+（873-）．【解析】 简便运算时，应根据题目特点，把相加得0•的数结合在一起；把同分母的分数结合在一起；把相加得整数的数结合在一起；把同号的数结合在一起．答案是： 原式＝[（-1.25）+（413-）+（21-）]+（3.85+1.15）+[（+3.875）+（873-）]＝-5+5+0＝0．5、计算：（+1）+（-2）+（+3）+（-4）+…+（+9）+（-10）．【解析】 找出各加数间的内在规律，然后利用运算律，比较方便．答案是： 原式＝[（+1）+（-2）]+[（+3）+（-4）]+…+[（+9）+（-10）]＝（-1）+（-1）+…+（-1）＝-5．三.有理数的乘除1．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘得0．2．几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正；几个数相乘,有一个因数为0,积就为0．3．有理数乘法的运算律：交换律，结合律，分配律．4．有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。
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0 -1 -2 -3 1 2 3 越来越大《有理数及其运算复习》【知识回顾】★1、有理数的分类： 练习：将下列各数进行分类，并填在相应的横线上：－15，320，4.23，－141，－20%，0，6， －(－2)，－|－3|，-41，0.81,-3.1，-3.14，π 正整数： ；负整数： ； 正数： ；负数： ； 整数： ；分数： ； 正分数： 负分数： 有理数： 。
小提示：－（－2）= ，－︱－3︱= 写的时候要写原来的形式。
★2、数轴的三要素：（1）________________(2)______________(3)______________ （三者缺一不可）。
※数轴上两点表示的数， 边的总比 边的大。
正数在原点的 边，负数在原点的 边。
※任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）练习：1. 一个点从原点开始,先向右移动1个单位,再向左移动5个单位后到达终点,这个终点表示的数是 .2.小名在写作业时不甚将一滴钢笔水滴在数轴上,根据图中的数值,判断墨迹盖住的整数之和为3.数轴上与表示－3的点距离5个单位的点所表示的数为 。
4.在数轴上表示数-3,0，141，0.4，-123后，不在原点右边的是 。
5.观察图形，回答下列问题：数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示。
（1）判断a ，b ，c 是正数还是负数。
（2）判断大小，在a ，b ，c 三个数中：比c 大的数是 ，a 比 小；b 大于6.把下列各数画在数轴上，并按从小到大的顺序用“<”号把它们连接起来： ()()-------4124230717，，，，，★3、如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的 ，也称这两个数互为 。
※在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离 。
练习：1.－323的相反数是 ， －(－12)的相反数是 ， 是13的相反数，0.35的相反数是 ，π的相反数是 ，______的相反数是1，23是__的相反数， 是13的倒数. 2. ____的相反数等于它本身.__________的相反数大于它本身；__________的相反数小于它本身.3.若a 与b 互为相反数,则代数式73a+73b －5= . 4. 若5-x 与3+x 互为相反数，则=x .★4、绝对值的定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与 的距离。
数a 的绝对值记作|a|。
※正数的绝对值是 ；负数的绝对值是 ；0的绝对值是 。
※运用绝对值比较两个负数的大小方法为： 。
※比较两个负数的大小的步骤如下： ①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数， 小”做出正确的判断。
※绝对值的性质：①对任何有理数a ，都有|a|≥0；②若|a|=0，则a=0，反之亦然; ③若|a|=b （b ≥0），则a=±b ;④对任何有理数a,都有|a|=|-a|练习：1. |-57 错误！未指定书签。
|= ，- |56错误！未指定书签。
|= ，-|-3|= ；2.3的绝对值是 ，－12的绝对值的相反数是 ，|－12|的倒数的相反数是 ，2-的相反数是 。
2. 若0>a ，则=a ；若0<a ，则=a ；若0=a ，则=a ．3._________的绝对值等于它本身；__________的绝对值等于它的相反数；绝对值最小的数是 ；绝对值相等的两个数的关系_____________4.绝对值等于本身的数数 ，相反数等于本身的是 ，倒数等于本身的是 .5. 若|x|=5,那么x=_____；如果|2x －4|=2,则x= 。
6. 一个数的绝对值是 6 ，这个数是 。
7.比较大小：65- 76-；﹣(31-) __﹣∣31-∣；-3.14 -π；﹣0.67 ____ 32-8.—451的相反数是 ，绝对值是 ，倒数是 。
9.绝对值小于2.5的整数有 ,它们的积为10.绝对值大于2，而小于5的所有整数为 ，它们的和为 。
11.在有理数中最大的负整数是___, 最小的正整数是___, 最大的非正数是___, 最小的非负数是___.指数 底数 a n 幂12.若|a-5|+|b+3|＝0，则a ＝___，b ＝___；若(x+2)2+|y-2|＝0,则x ＝___，y ＝___13.已知|x|=3,|y|=2,且x<y,则x+y=____,若题目中没有 “x<y ”这个条件, 则x+y=____. ★5、科学记数法※把一个大于10的数记成 的形式，其中 ，这种记数法叫做科学记数法 . ※百= 千= 万= 百万= 亿= 练习：1.用科学记数法表示: 605000= , 50302= ,32.5万= ，-1020= 。
2.一只苍蝇的腹内细菌多达2800万个，2800万用科学记数法表示为 。
★6、有理数运算♣有理数的加法法则：1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2）异号两数相加，①绝对值相等时，和为零（即互为相反数的两个数相加得0）； ②绝对值不相等时，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3）一个数和0相加仍得这个数。
※加法交换律：a+b=b+a ； 加法结合律：a+b+c=a+（b+c ） ※多个有理数相加时，（1）一般把 的数加在一起； （2）遇有分数可把 结合起来相加；（3）遇有小数应当把相加得 的小数结合起来；（4）互为 两个数加在一起．♣有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，即 a －b=a+（-b ）。
注意：运算符号“+”加号、“－”减号与性质符号“+”正号、“-”负号统一与转化，如a －b 中的减号也可看成负号，看作a 与b 的相反数的和：a+（-b ）；一个数减去0，仍得这个数；0减去一个数，应得这个数的相反数。
♣有理数的加减混合运算有理数的加减法混合运算可以运用减法法则统一成加法运算；加减法混合运算统一成加法运算以后，可以把“+”号省略，使算式变得更加简洁。
练习：① ②♣有理数乘法法则： ①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。
②任何数与0相乘，积仍为0。
※如果两个数互为倒数，则它们的乘积 。
（如：-2与21 、 3553与…等） ※乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。
有理数乘法运算步骤：①先确定积的符号；②求出各因数的绝对值的积。
♠乘积为1的两个有理数互为倒数。
注意：①零没有倒数；②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。
一个带分数要先化成假分数。
③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。
※在有理数乘法运算中，常把小数化成 ，带分数化成 ，以简化运算． ♣有理数除法法则： ①两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
②0除以任何非0的数都得0。
0不可作为除数，否则无意义。
♣有理数乘方：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方，用字母表示： an n a a a a a 个=⨯⨯⨯⨯，其中，a 为 ，n 为 ，乘方的结果叫做 .※乘方的符号规律：正数的任何次幂都是 ，负数的奇次幂是 .负数的偶次幂是________；正数的任何次幂都是_______.※平方数等于它本身的数________；立方等于它本身的数_______；平方相等的两个数的关系_________※运算顺序：先算 ，再算 ，最后算 ，如果有 ，就先算★6、有理数应用：练习：1. 2006年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区——张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如右表： ⑴此时这架飞机比起飞点高了多少千米？⑵如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？⑶如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米。
若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？2.某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的记为正数，不足的记为负数，记录的结果如下：+8，-3，+12，-7，-10，-4，-8，+1，0，+10；①这10名同学的中最高分是多少？最低分是多少？②10名同学的平均成绩是多少？(用简便方法计算)3.已知山区海拔每升高100米，气温大约降低0.6℃。
某种植物适宜生长在温度为20℃的山坡上，现在测得山脚下的温度为23℃，那么该植物种在山区的什么高度为宜？4.张先生在上周日买进某公司股票1000股,每股28元,下表为本周内连续几日该股票的涨跌情况 高度变化 记作 上升4.5 km5.4+km 下降3.2 km 2.3-km 上升1.1 km 1.1+km 下降1.4 km 4.1-km星期一 二 三 四 五 每日涨跌 2+ 5.2+ 2- 5.1+ 2-(1)星期三收盘时,每股_____元（列式说明）(2)本周内最高价是每股____元（列式说明）(3)若张先生想在这几天内将股票抛出,你认为哪天抛出最合适________,抛出后可赚_____元（列式说明）【基础训练】1.112-的相反数为 ，绝对值为 ，倒数为 ，-2.3的倒数为 2.绝对值等于3的数是 ；一个数的平方是16，这个数为 ；-0.125的相反数的倒数是______3.如果a －3与a+1互为相反数,那么a= .4.某次数学测验共20道选择题,规则是:选对一道的5分,选错一道的－1分,不选得零分,王明同学的卷面成绩是:选对16道题,选错2道题,有2道题未做,他的得分是 .5.比较大小：32 43---100 0.01 6.已知p 是数轴上的一点-4，把p 点向左移动2个单位后再向右移1个单位长度，那么p 点表示的数是____。
7. ()()22010210a b a b ++-=+=如果，则8.()23-= ，底数是 ，指数是 ； 23-= ，底数是 ，指数是 ； 334= ， 334⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()21n -= ，()211n +-= 。
9. 的倒数是它本身， 的相反数是它本身， 的绝对值是它本身， 的平方是它本身，的立方是它本身， 的平方等于他的立方， 的绝对值是它的相反数，绝对值最小的数为 ，最小的正整数是 ，最大的负整数是 。
10.有理数a,b,在数轴上的位置如图所示,则a+b ＿0,a-b 0,a ×b 0,a ÷b 011.下列各式中，正确的是（ ）A －｜－16｜＞０B |0.2|>|－0.2|C －47>－57D |－6|<0 12下列说法正确的是（ ）A .a 一定是正数 B.a 一定是负数 C.a 是一个整数 D.a 可以是正数也可以是一个负数13.若|a|+|b|=0,则a 与b 的大小关系是（ ）A a=b=0B a 与b 不相等C a,b 异号D a,b 互为相反数14.下列叙述正确的是（ ）A. 若|a|=|b|,则a=bB.若|a|>|b|,则a>bC.若a<b|,则|a|<|b|D.若|a|=|b|,则a=±b15.若a b a >-，则b 是（ ）A 、正数B 、负数C 、整数D 、任意有理数16.有理数-22,(-2)3,-|-2|,-(+ 12)按从小到大的顺序排列是（ ） A. (-2)3<-22<-|-2|<-(+ 12 ) B. -(+ 12)<-|-2|<-22<(-2)3 C. -|-2|<-(+ 12 )<-22<(-2)3 D. -22<(-2)3<-(+ 12)<-|-2| 17.有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简b a c b a --++的结果是（ ）A 、cB 、aC 、a c 2-D 、c b -218.在下列说法中，正确的个数是（ ） ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵任何有理数的绝对值都不可能是负数⑶每个有理数都有相反数 ⑷每个有理数都有倒数A 、4B 、3C 、2D 、119.若0,0>>+ab b a ，那么下面正确的是（ ）A 、0,0>>b aB 、0,0<>b aC 、0,0<<b aD 、0,0><b a20.如果一个数的平方等于它的绝对值，那么这个数是（ ）A 、－1B 、0C 、1D 、－1，0，1 21.计算题⑴(－487)－(－521)+(－441)－381 ⑵()8-)02.0()25.0(-⨯-⨯⑶）（81436524-+-⨯- ⑷()1-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷311431022.已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，且2x +1=0，试求 x 3+(a +b )2004－(－cd )2005的值.0 a b c。